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A propriedade da derivada da transformada de Laplace tem uma aplicação importante na solução de equações diferenciais com coeficientes variáveis.
Exemplo 6.5.1. Vamos resolver o seguinte problema de valor inicial ty″(t)+y′(t)+9ty(t)=0y(0)=5y′(0)=0.
Começamos aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial
L{ty″(t)}+L{y′(t)}+9L{ty(t)}=0.(6.43)Depois aplicamos a propriedade :
−ddsL{y″(t)}+L{y′(t)}−9ddsL{y(t)}=0.(6.44)Em seguida aplicamos a propriedade para obter a seguinte equação subsidiária
onde usamos que y(0)=5, y′(0)=0 e Y(s)=L{y(t)}. Agora resolvemos as derivadas e obtemos uma equação diferencial mais simples para Y(s):
−s2Y′(s)−2sY(s)+sY(s)−9Y′(s)=0,(6.46)ou seja,
Logo,
ln(Y(s))=−12ln(s2+9)+C,(6.48)onde C é uma constante de integração. Então
Y(s)=K(s2+9)−12=Ks2+9,(6.49)onde K=eC. Pelo item 31 da tabela , temos
Como J0(0)=1, usamos que y(0)=5 para obter K=5. Portanto,
Observe que a solução satisfaz y′(0)=0, porém essa condição não é necessária. De fato, existe uma solução linearmente independente dessa, que não possui transformada de Laplace, pode ser encontrada pelo método das séries de potência.
Exemplo 6.5.2. Vamos resolver a equação de Laguerre dada por
ty″(t)+(1−t)y′(t)+2y(t)=0,(6.52)com as condições iniciais y(0)=1 e y′(0)=−2. Primeiro aplicamos a transformada de Laplace nessa equação:
L{ty″(t)}+L{y′(t)}−L{ty′(t)}+2L{y(t)}=0.(6.53)Depois usamos a propriedade :
−ddsL{y″(t)}+L{y′(t)}+ddsL{y′(t)}+2L{y(t)}=0.(6.54)Continuamos usando a propriedade para obter:
−ddss2Y(s)−sy(0)−y′(0)+sY(s)−y(0)+ddssY(s)−y(0)+2Y(s)=0,(6.55)onde Y(s)=L{y(t)}. Aplicando as derivadas chegamos na seguinte equação diferencial para Y(s):
−s2Y′(s)−2sY(s)+y(0)+sY′(s)+Y(s)+sY(s)−y(0)+2Y(s)=0.(6.56)ou seja,
Logo,
Y′(s)Y(s)=−3−ss(1−s).(6.58)Usamos o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial, temos:
ln(Y(s))=−∫3−ss(1−s)ds+C(6.59)onde C é uma constante de integração. A antiderivada do lado direito pode ser obtida pelo método de frações parciais: −3+ss(1−s)=−3s−21−s.
Isso nos dá
ln(Y(s))=−3ln(s)+2ln|1−s|+C=ln(1−s)2s3+C(6.60)ou
Y(s)=K(1−s)2s3=Ks3−2Ks2+Ks(6.61)onde K=eC. A transformada inversa fornece uma expressão para y(t):
Usando o fato que y(0)=1, temos K=1 e
Observe que, apesar da condição para a derivada ser satisfeita, isto é,
não usamos-a para calcular a solução. De fato, o problema possui um singularidade na origem que não é percebida pela transformada de Laplace. A solução linearmente independente dessa, que não possui transformada de Laplace, pode ser encontrada pelo método das séries de potência.