Um triângulo isósceles é um polígono de três lados, onde dois deles têm a mesma medida e o terceiro lado uma medida diferente. Este último lado é chamado de base. Devido a essa característica, recebeu esse nome, que em grego significa “pernas iguais”
Triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. Eles são aqueles que têm o menor número de lados e ângulos em relação aos outros polígonos, porém seu uso é muito extenso.
Características dos triângulos isósceles
O triângulo isósceles foi classificado usando a medida de seus lados como parâmetro, uma vez que dois de seus lados são congruentes (eles têm o mesmo comprimento).
De acordo com a amplitude dos ângulos internos, os triângulos isósceles são classificados como:
- Triângulo retângulo isósceles : dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é reto (90 o ) e os outros são iguais (45 ou cada)
- Triângulo obtuso isósceles : dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é obtuso (> 90 o ).
- Ângulo agudo de Isósceles : dois de seus lados são iguais. Todos os seus ângulos são agudos (<90 o ), onde dois têm a mesma medida.
Componentes
- A mediana : é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. Os três meios concordam em um ponto chamado baricentro ou centróide.
- A bissetriz : é uma semi-reta que divide o ângulo de cada vértice em dois ângulos de igual medida. É por isso que é conhecido como eixo de simetria e esse tipo de triângulos possui apenas um.
- A mediatriz : é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que se origina no meio dele. Existem três mediatices em um triângulo e eles coincidem em um ponto chamado circuncentro.
- A altura : é a linha que vai do vértice para o lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas, que coincidem em um ponto chamado ortocentro.
Propriedades
Triângulos isósceles são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, originários dos teoremas propostos por grandes matemáticos:
Ângulos internos
A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180 o .
Soma dos lados
A soma das medidas em frente e verso sempre deve ser maior que a medida em frente e verso, a + b> c.
Lados congruentes
Triângulos isósceles têm dois lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, são congruentes e o terceiro lado é diferente destes.
Ângulos congruentes
Os triângulos isósceles também são conhecidos como iso-triângulos, porque têm dois ângulos que têm a mesma medida (congruente). Eles estão localizados na base do triângulo, oposta aos lados que têm o mesmo comprimento.
Por isso, foi estabelecido o teorema que afirma que:
“Se um triângulo tem dois lados congruentes, os ângulos opostos a esses lados também serão congruentes”. Portanto, se um triângulo é isósceles, os ângulos de suas bases são congruentes.
Exemplo:
A figura a seguir mostra um triângulo ABC. Ao traçar sua bissetriz do vértice do ângulo B até a base, o triângulo é dividido em dois triângulos iguais BDA e BDC:
Dessa forma, o ângulo do vértice B também foi dividido em dois ângulos iguais. A bissetriz é agora o lado comum (BD) entre esses dois novos triângulos, enquanto os lados AB e BC são os lados congruentes. É o caso da congruência lado, ângulo, lado (LAL).
Isso demonstra que os ângulos dos vértices A e C têm a mesma medida, pois também pode ser mostrado que, como os triângulos BDA e BDC são congruentes, os lados AD e DC também são congruentes.
Altura, mediana, mediatriz e bissetriz são coincidentes
A linha que é desenhada do vértice oposto à base até o ponto médio da base do triângulo isósceles é a altura, a mediana e a mediatriz, bem como a bissetor em relação ao ângulo oposto da base.
Todos esses segmentos coincidem em apenas um que os represente.
Exemplo:
A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio M que divide a base em dois segmentos BM e CM.
Ao desenhar um segmento do ponto M para o vértice oposto, por definição é obtida a mediana AM, que é relativa ao vértice A e ao lado BC.
Como o segmento AM divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais AMB e AMC, significa que haverá o caso de congruência lado, ângulo, lado e, portanto, AM também será o bissetor de BÂC.
É por isso que a bissetriz será sempre igual à mediana e vice-versa.
O segmento AM forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos AMB e AMC; isto é, são suplementares para que a medida de cada uma seja:
Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ou
2 * Med. (AMC) = 180 ou
Med. (AMC) = 180 ou ÷ 2
Med. (AMC) = 90 ou
Pode-se saber que os ângulos formados pelo segmento AM em relação à base do triângulo são retos, indicando que esse segmento é completamente perpendicular à base.
Portanto, representa a altura e a mediatriz, sabendo que M é o ponto médio.
Portanto, a linha AM:
- Representa a altura do BC.
- É médio.
- Está contido na mediatriz BC.
- É a bissetriz do ângulo do vértice.
Alturas relativas
As alturas que são relativas aos lados iguais também têm a mesma medida.
Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, suas duas alturas respectivas também serão iguais.
Ortocentro, baricentro, incentor e circuncentro correspondentes
Como a altura, mediana, bissetriz e mediatriz em relação à base, são representadas ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, o ortocentro, o centro de incentivo e o circuncentro serão pontos colineares, ou seja, estarão na mesma linha:
Como calcular o perímetro?
O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados.
Como neste caso o triângulo isósceles tem dois lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:
P = 2 * (lado a) + (lado b).
Como calcular a altura?
A altura é a linha perpendicular à base, divide o triângulo em duas partes iguais à medida que se estende ao vértice oposto.
A altura representa a perna oposta (a), metade da base (b / 2) da perna adjacente e o lado “a” representa a hipotenusa.
Usando o teorema de Pitágoras, o valor da altura pode ser determinado:
a 2 + b 2 = c 2
Onde:
em 2 = altura (h).
b 2 = b / 2.
c 2 = lado a.
Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras e limpando a altura que você tem:
h 2 + ( b / 2) 2 = a 2
h 2 + b 2 /4 = um dois
h 2 = um 2 – b 2 /4
h = √ ( uma 2 – b 2 /4).
Se o ângulo formado pelos lados congruentes é conhecido, a altura pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Como calcular a área?
A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo entre duas:
Há casos em que apenas as medidas dos dois lados do triângulo e o ângulo formado entre eles são conhecidas. Nesse caso, para determinar a área, é necessário aplicar as razões trigonométricas:
Como calcular a base do triângulo?
Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, para determinar o valor de sua base, é necessário conhecer pelo menos a medida da altura ou de um de seus ângulos.
Conhecendo a altura, o teorema de Pitágoras é usado:
a 2 + b 2 = c 2
Onde:
em 2 = altura (h).
c 2 = lado a.
b 2 = b / 2, é desconhecido.
Limpamos b 2 da fórmula e temos que:
b 2 = a 2 – c 2
b = √ a 2 – c 2
Como esse valor corresponde à metade da base, ele deve ser multiplicado por dois para obter a medida completa da base do triângulo isósceles:
b = 2 * (√ a 2 – c 2 )
No caso em que apenas o valor de seus lados iguais e o ângulo entre eles são conhecidos, a trigonometria é aplicada, desenhando uma linha do vértice até a base que divide o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos.
Dessa forma, metade da base é calculada com:
Também é possível que apenas o valor da altura e do ângulo do vértice oposto à base seja conhecido. Nesse caso, a trigonometria poderia determinar a base:
Exercícios
Primeiro exercício
Encontre a área do triângulo isósceles ABC, sabendo que dois dos seus lados medem 10 cm e o terceiro lado mede 12 cm.
Solução
Para encontrar a área do triângulo, é necessário calcular a altura usando a fórmula da área relacionada ao teorema de Pitágoras, uma vez que o valor do ângulo formado entre lados iguais é desconhecido.
Os seguintes dados do triângulo isósceles estão disponíveis:
- Lados iguais (a) = 10 cm.
- Base (b) = 12 cm.
Os valores na fórmula são substituídos:
2º exercício
O comprimento dos dois lados iguais de um triângulo isósceles mede 42 cm, a união desses lados forma um ângulo de 130 o . Determine o valor do terceiro lado, a área desse triângulo e o perímetro.
Solução
Neste caso, as medidas dos lados e o ângulo entre eles são conhecidas.
Para conhecer o valor do lado que falta, ou seja, a base desse triângulo, desenhe uma linha perpendicular a ele, dividindo o ângulo em duas partes iguais, uma para cada triângulo retângulo formado.
- Lados iguais (a) = 42 cm.
- Ângulo (Ɵ) = 130 ou
Agora, a trigonometria calcula o valor de metade da base, que corresponde a metade da hipotenusa:
Para calcular a área, é necessário conhecer a altura desse triângulo que pode ser calculado por trigonometria ou teorema de Pitágoras, agora que o valor base foi determinado.
Por trigonometria, será:
O perímetro é calculado:
P = 2 * (lado a) + (lado b).
P = 2 * (42 cm) + (76 cm)
P = 84 cm + 76 cm
P = 160 cm
Terceiro exercício
Calcule os ângulos internos do triângulo isósceles, sabendo que o ângulo da base é Â = 55 ou
Solução
Para encontrar os dois ângulos ausentes (Ê e Ô), é necessário lembrar duas propriedades dos triângulos:
- A soma dos ângulos internos de cada triângulo será sempre = 180 ou :
 + Ê + Ô = 180 ou
- Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são sempre congruentes, ou seja, têm a mesma medida, portanto:
 = Ô
Ê = 55 ou
Para determinar o valor do ângulo Ê, os valores dos outros ângulos na primeira regra são substituídos e Ê é limpo:
55 ou + 55 ou + Ô = 180 ou
110 ou + Ô = 180 ou
Ô = 180 ou – 110 ou
Ô = 70 o .
Referências
- Álvarez, E. (2003). Elementos de geometria: com vários exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
- Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho técnico: caderno de atividades.
- Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Pearson Education.
- Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura
- José Jiménez, LJ (2006). Matemática 2.
- Tuma, J. (1998). Manual de Matemática de Engenharia. Wolfram MathWorld.