Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 9
Dados os pontos A 3 , m - 1 , - 4 , B ( 8,2 m - 1 , m ), determinar m de modo que A B → = 35 .
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Passo 1
E aí, tudo bem?
Vamos montar o vetor A B →? Vai ficar assim:
A B → = ( 5 , m , m + 4 )
Tranquilo? Lembra que é só fazer as coordenadas de B menos A...
Passo 2
Agora aqui a gente vai montar o módulo do vetor A B → e igualar a 35 :
5 2 + m 2 + m + 4 2 = 35
Elevando os dois lados ao quadrado:
5 2 + m 2 + m + 4 2 = 35
25 + m 2 + m 2 + 8 m + 16 = 35
2 m 2 + 8 m + 6 = 0
m 2 + 4 m + 3 = 0
Show! Vamos resolver essa equação do segundo grau aí agora de boas...
Passo 3
Usando nossa queridinha Bháskara:
Δ = 4 2 - 4 ( 1 ) ( 3 )
Δ = 16 - 12
Δ = 4
m 1 = - 4 - 4 2 = - 3
m 2 = - 4 + 4 2 = - 1
Então nossos valores possíveis pra m são:
- 3 o u - 1
E acabamos😉
Resposta
- 3 o u - 1
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Passo 1
Primeiro vamos ver graficamente esses pontos para analisar melhor:
Agora vamos determinar os pontos M e N, para M temos que:
A M - = 1 2 A B - → M - A = 1 2 B - A → M = 1 2 B - A + A
Vamos então substituir os pontos para encontrar M:
M = 1 2 B - A + A → M = 1 2 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →
→ M = 1 2 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → M = 1 2 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →
→ M = 1 2 8 , - 4 + - 3,2 → M = 8 2 , - 4 2 + - 3,2 → M = 4 , - 2 + - 3,2 →
→ M = 4 + - 3 , - 2 + 2 = 1 , 0
Passo 2
Agora vamos determinar N, temos que:
A N - = 2 3 A B - → N - A = 2 3 B - A → N = 2 3 B - A + A
Vamos então substituir os pontos para encontrar N:
N = 2 3 B - A + A → N = 2 3 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →
→ N = 2 3 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → N = 2 3 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →
→ N = 2 3 8 , - 4 + - 3,2 → N = 2 ⋅ 8 3 , - 2 ⋅ 4 3 + - 3,2 → N = 16 3 , - 8 3 + - 3,2 →
→ N = 16 3 + - 3 , - 8 3 + 2 → N = 1 6 - 9 3 , - 8 + 6 3 = 7 3 , - 2 3
Passo 3
Vamos agora determinar P, temos que:
A P - = 3 2 A B - → P - A = 3 2 B - A → P = 3 2 B - A + A
Vamos novamente então substituir os pontos para encontrar P:
P = 3 2 B - A + A → P = 3 2 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →
→ P = 3 2 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → P = 3 2 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →
→ P = 3 2 8 , - 4 + - 3,2 → P = 3 ⋅ 8 2 , - 3 ⋅ 4 2 + - 3,2 → P = 12 , - 6 + - 3,2 →
→ P = 12 + - 3 , - 6 + 2 = 9 , - 4
Passo 4
Pronto, achamos os pontos que queríamos, vamos construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P:
Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.
Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.
Questão 1
Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?
Ver Resposta
Resposta correta: dPQ = 7.
Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.
dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Questão 2
Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).
Ver Resposta
Resposta correta: dRT = 2.
As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.
dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Veja também: Distância entre dois pontos
Questão 3
Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?
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Resposta correta: dDC =
Sendo
Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:
Ver Resposta
A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.
Rafael Asth
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.