Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Equação do 2º Grau e veja a resolução comentada. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui:
A) nenhuma solução real.
B) uma única solução real.
C) duas soluções reais.
D) três soluções reais.
E) infinitas soluções reais.
Uma região retangular teve as suas dimensões descritas em metros, conforme a imagem a seguir:
O valor de x que faz com que a área dessa região seja igual a 21 é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) -6
Uma equação foi descrita da seguinte maneira:
(k² – 4) x³ + ( k – 2 )x² + 7x - 8 = 0
Analisando os coeficientes, o valor de k que faz com que essa equação seja uma equação do 2º grau é:
A) k = ± 2
B) k = + 2
C) k = - 2
D) k = 0
E) k = 4
Das equações quadráticas abaixo e sabendo que a = 1, qual é a equação que possui as soluções x1 = 2 e x2 = - 3?
A) x² + x – 6 = 0
B) x² – x – 6 = 0
C) x² +5x + 6 = 0
D) x² – 5x +6 = 0
E) x² + x – 1 = 0
O produto entre as raízes da equação 2x² + 4x - 6 = 0 é igual a:
A) - 2
B) 2
C) 1
D) 3
E) - 3
Utilizando seus conhecimentos sobre equação do segundo grau, julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas.
I – Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.
II – Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.
III – Quando o valor do discriminante é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.
Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:
A) todas estão incorretas.
B) somente a afirmativa I está correta.
C) somente a afirmativa II está correta.
D) somente a afirmativa III está correta.
E) todas estão corretas.
Dada a equação -x² -4x +5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é:
A) x’ = 2 e x” = - 1
B) x’ = -10 e x” = -1
C) x’ = -5 e x” = 1
D) x’ =5 e x” = 1
E) x’ =6 e x” = - 6
A multiplicação entre a idade de Kárita e a idade de Karla é igual a 374. Kárita é 5 anos mais velha que Karla. Quantos anos Karla e Kárita possuem respectivamente?
A) 12 e 17 anos
B) 17 e 22 anos
C) 22 e 27 anos
D) 20 e 25 anos
E) 18 e 23 anos
(Enem 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = -t²/4 +400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
A) 19,0
B) 19,8
C) 20,0
D) 38,0
E) 39,0
(Fatec) Se a equação x² - 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é
A) 100
B) 25
C) 5
D) 1
E) 0
(Enem 2010) Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ - 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a
A) 1,3 h.
B) 1,69 h.
C) 10,0 h.
D) 13,0 h.
E) 16,9 h.
(UERGS) Sendo S a soma e P o produto das raízes da equação 2x² − 5x − 7 = 0, pode-se afirmar que:
A) S − P = 6.
B) S + P = 2.
C) S ⋅ P = 4.
D) S/P= 1
E) S < P
respostas
Resolução
Alternativa B.
Para encontrar o número de soluções reais de uma equação do 2º grau, é necessário encontrar o valor do discriminante (delta). Para isso, encontraremos primeiro o valor dos coeficientes a, b e c na equação:
a = 1
b = -2
c = 1
Agora vamos calcular o valor de delta:
Δ = b² – 4ac
Δ = (-2)² – 4 ·1·1
Δ = 4 – 4
Δ = 0
O valor de delta mostra o número de soluções da equação, sem ter a necessidade de calcular os valores dessas raízes. Como Δ = 0, a equação possui uma única solução real.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa D.
A área de um retângulo é calculada pelo produto entre as medidas de seus lados, então:
(x + 3) ( x – 1) = 21
Aplicando a propriedade distributiva, temos que:
x² – 1x +3x – 3 = 21
x² +2x – 3 = 21
Para que seja possível aplicar a fórmula de Bhaskara, vamos igualar a equação a zero:
x² + 2x – 3 – 21 = 0
x² + 2x – 24 = 0
Os coeficientes da equação são:
a = 1
b= 2
c = - 24
Calculando o valor de delta, temos que:
Δ = b² – 4ac
Δ = (2)² – 4 ·1·(-24)
Δ = 4 + 96
Δ = 100
Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontraremos:
Note que o valor x = -6 faria com que os lados do retângulo fossem valores negativos, logo, entre as soluções da equação, a única que faz sentido é x = 4.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa C.
Para que essa equação seja do 2º grau, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero, ou seja:
Condição I:
k² – 4 = 0
k² = 4
k = ±√4
k = ± 2
Logo, para satisfazer a primeira condição, temos k = 2 ou k = -2.
Agora vamos analisar a segunda condição.
Condição II:
k – 2 ≠ 0
k ≠ 2.
O valor que satisfaz ambas as condições é k = -2.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa A.
Conhecendo as soluções da equação, temos que:
a(x – x1) (x – x2) = 0
Substituindo os valores dados, temos que:
1·( x – 2 ) ( x - (-3)) = 0
(x – 2 ) ( x + 3) = 0
x² +3x – 2x – 6 = 0
x² + x – 6 = 0
Voltar a questão
Resolução
Alternativa E.
Pela fórmula da soma e produto, temos que:
Vamos analisar os coeficientes da equação:
2x² + 4x - 6 = 0
a = 2
b = 4
c = -6
Utilizando somente a segunda equação, temos que:
Logo, o produto entre as raízes da equação é -3.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa B.
Vamos analisar cada uma das afirmativas.
I – Falsa. Nem sempre a equação do segundo grau possui solução. Uma forma de verificar se a equação possui solução nos números reais é calcular o delta. Caso ele seja negativo, a equação não possui solução real.
II — Verdadeira. Por definição, a equação é incompleta quando b = 0 ou quando c = 0.
III – Falsa. Quando o valor do discriminante é positivo, há duas soluções reais na equação, independentemente de ele possuir raiz quadrada exata ou não.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa C.
Queremos encontrar as soluções da equação -x² -4x +5 = 0.
Para calcular o valor de delta, temos que:
a = - 1 b = -4 e c = 5
Δ = (-4)² -4·(-1)·5
Δ = 16 + 4 ·5
Δ = 16 + 20
Δ = 36
Agora utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que:
Voltar a questão
Resolução
Alternativa B.
Seja x a idade da Karla, então, como Kárita é 5 anos mais velha, a sua idade pode ser representada por x+5. Sabemos que o produto da idade delas é igual a 374, então temos que:
x (x+5) = 374
Aplicando a propriedade distributiva:
x² + 5x = 374
Igualando a equação a zero, teremos:
x² + 5x – 374 = 0
a = 1 b = 5 c = – 374
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 5² – 4.1. (– 374)
Δ = 25 + 1496
Δ = 1521
Agora utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que:
Note que x” resultaria em um valor negativo, o que faz com que ele não seja solução do problema, pois não existe idade negativa.
Como x é a idade da Karla, ela possui 17 anos.
Já a Kárita possui x+5, ou seja, 17 + 5 = 22 anos.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa D.
Devido à trava, o forno pode ser aberto somente quando ele atinge 39 ºC, então faremos T(t) = 39.
Como t é tempo, então ele é necessariamente positivo, ou seja, t = 38 minutos.
Voltar a questão
Alternativa B.
Para que uma raiz tenha multiplicidade 2, a equação precisa ter uma única solução, ou seja, Δ = 0. Vamos calcular o valor de Δ na equação x² - 10x + k = 0, em que a=1 b= -10 e c = k.
Δ = b² – 4ac
Δ = (-10)² – 4 ·1·k
Δ = 100 – 4k
Mas Δ= 0, então:
100 – 4k = 0
100 = 4k
100 : 4 = k
25 = k
Logo, k = 25 é o valor que faz com que a equação tenha uma solução de multiplicidade 2.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa A.
Para que o volume seja igual, faremos:
V1(t) = V2(t)
250t³ - 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000
Podemos isolar a incógnita t e encontraremos:
250t³ – 150 t³ – 100t – 69t = 3000 – 3000
100t³ -169t = 0
Colocando t em evidência, temos que:
t (100t² – 169) = 0
Sabemos que uma multiplicação é zero quando um dos seus fatores é zero, ou seja:
(I) t = 0 (solução já apresentada no enunciado) ou (II) 100t² – 169 = 0
Resolvendo o caso II, temos que:
Como t representa o tempo, então descartaremos a opção negativa, logo temos t = 1,3.
Voltar a questão
Resolução
Alternativa A.
Dada a equação 2x² − 5x − 7 = 0, sabemos que a soma e o produto das raízes podem ser calculados da seguinte maneira:
Os coeficientes da equação são:
a = 2
b = -5
c= -7
Então, a soma S e o produto P serão:
Agora, sabendo que S = 2,5 e P = -3,5 e analisando as afirmativas, é possível verificar que a alternativa A é a correta, pois:
S – P = 6
2,5 - (-3,5) = 6
2,5 + 3,5 = 6
Voltar a questão
Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas