QUESTÃO
Poderá ver também exercícios sobre: Matemática, Poliedros
(Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número
de faces.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 8
E) 11
RESPOSTA: D
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
respostas
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
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V: vértice
A: arestas
F: faces
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
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O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12
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* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
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P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3
arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
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Arestas (A) = 22
Faces (F) =
Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
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Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:
Cubo
Vértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6
Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!
Octaedro
Vértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8
Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!
Pirâmide quadrangular
Vértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5
Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?
O que aconteceu em todos os casos?
O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!
Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:
Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler
1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
Resolução:
De acordo com o
enunciado, temos:
A = V + 6
Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:
V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6
Eliminando V:
F = 8
O número de faces é igual a 8.
2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?
Resolução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9
Número de arestas:
3 faces com
4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:
A = 38 ÷ 2 = 19.
Usando, agora, a Relação de Euler, temos:
V + F = 2 + A
V + 9 = 2
+ 19
V = 21 - 9 = 12.