Quais são os fatores que influenciam a energia potencial gravitacional de um objeto?

Na seção “Trabalho e Forças Conservativas”, discutimos o que são forças conservativas. Por outro lado, devemos lembrar que o trabalho é a transferência de energia realizada por uma força ou conjunto de forças que agem num corpo.

Quando se tem o trabalho de uma força resultante, mostramos o teorema do trabalho-energia cinética:

A pergunta natural que se faz é a seguinte: para onde vai a energia quando o trabalho é negativo (corpo perde energia)?. Similarmente, de onde vem a energia quando o trabalho é positivo (corpo ganha energia)?

A animação abaixo mostra a oscilação de um pêndulo simples.

Embora existe a força de tração do fio (caso contrário estaria em queda livre!), podemos concentrar na força gravitacional (força peso) agindo sobre a massa pendurada pelo fio. Claramente a energia cinética da massa varia com a posição do pêndulo. Por outro lado, já vimos que o trabalho da força gravitacional transfere energia para a massa na descida e retira energia na subida. Afinal, de onde vem e para onde vai essa energia transferida?

Como resposta, a energia transferida pelo trabalho é armazenada   no sistema (no caso do pêndulo, o sistema é formado pelo pêndulo em si e a Terra, responsável por gerar a força gravitacional). Esta energia é chamada de energia potencial. A sua variação – energia potencial final menos a inicial, é definida como sendo

Como

A força de atrito, por exemplo, é uma força não-conservativa, como vimos. Logo, não faz sentido algum definir uma “energia potencial de atrito”.

Temos assim que, por definição,

A variação da energia potencial é o negativo do trabalho realizado por uma força conservativa.

Para recordar, no caso unidimensional com força variável, temos:

onde

Em princípio, existe uma função matemática

A seguir, vamos calcular a energia potencial associada a forças conservativas mais recorrentes na Física. Como para algumas forças conservativas nós já calculamos o trabalho, não vamos repetir novamente os cálculos.

Energia potencial gravitacional – próxima à superfície da Terra

Na seção Trabalho e Forças Conservativas, mostramos que para a situação abaixo, o trabalho  da força gravitacional de

Fazendo a posição

Vamos tomar como a origem da coordenada (

Quanto maior a altura (

Energia potencial gravitacional – caso geral

Conforme visto na seção Trabalho e Forças Conservativas, o trabalho da força gravitacional quando um corpo 2, de massa

Portanto,

Neste caso, é conveniente tomar

 Energia potencial gravitacional – discussões

Antes de ir para mais um exemplo de energia potencial, convém confrontarmos os diferentes resultados da energia potencial gravitacional:

Vamos mostrar mais adiante que a equação à esquerda é um caso particular da equação à direita. Isto não é surpresa alguma, se entendermos a relação entre as forças relacionadas às duas energias potenciais:

Vamos considerar a equação à direita acima para um caso particular em que o corpo 1 é a Terra, de massa 

onde

Em módulo, a força gravitacional que atrai a maçã para a Terra é dada por

Na segunda igualdade, apenas colocamos em evidência

Na situação que estamos tratando,

onde

Vamos agora mostrar que

Vamos novamente usar a fórmula da expansão binomial, agora com expoente

O primeiro termo é apenas uma constante. Lembrando que  podemos escolher o zero da energia potencial gravitacional, observamos que só o segundo termo é importante (por isto, mantivemos dois termos na expansão). Mas no segundo termo, já havíamos identificado

Energia Potencial Eletrostática

Para falarmos sobre a energia potencial eletrostática, temos que apresentar primeiro a força eletrostática, que é dada pela lei de Coulomb, que trata da força mútua entre dois objetos carregados eletricamente.

De acordo com a lei de Coulomb,

A magnitude da força eletrostática de atração ou repulsão entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das magnitudes das carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Assim como ocorre na lei da gravitação universal, a lei de Coulomb descreve uma força conservativa e fundamental a Natureza que é inversamente proporcional ao quadrado da distância. A diferença principal  é que enquanto só há massas de um “tipo”, cargas elétricas possuem dois tipos: as positivas e as negativas. Com isto, embora a direção da força eletrostática não dependa dos tipos de carga, o sentido depende:

Cargas do mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem. O módulo da força é dado por

onde

quando as cargas

Similarmente às forças gravitacionais entre dois corpos, as forças eletrostáticas também formam um par ação-reação, ou seja,

Como a fórmula matemática da força eletrostática é similar à da força de gravitação universal, não há necessidade de repetirmos todo o cálculo novamente para encontrar a energia potencial eletrostática. Vamos utilizar o resultado encontrado para a força gravitacional e fazer as adequações. Em especial, atente que no cálculo da trabalho da força eletrostática não há um sinal “

Novamente, podemos escolher um valor de referência em que a energia potencial é zero. É conveniente fazermos

Energia potencial elástica

Assim como o caso da força gravitacional universal, nós já calculamos o trabalho da força elástica da mola, que se trata também de uma força conservativa. Logo, podemos associar a ela e ao corpo a energia potencial elástica.

O ponto de referência usual é tomar o zero da energia potencial quando a mola está relaxada, ou seja, para

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