O critério de divisibilidade por 3. Compreendendo como verificar se um número é divisível por três, ou seja, quais são os critérios de divisibilidade por 3.
Sabe-se que quando estamos fatorando um determinado número e verificamos que ele não é divisível por 2, o próximo número primo que vamos testar é o 3, sendo assim, devemos conhecer também os critérios de divisibilidade desse número.
O critério de divisibilidade por 3, ao contrário do critério para o número 2, depende de uma relação entre todos os algarismos do número a ser dividido. Vejamos que relação deve ser essa:
“Para que um número seja divisível pelo número primo 3, a soma dos algarismos deste número deve ser divisível por 3.”
Para compreendermos melhor, vejamos um exemplo: vamos verificar se o número 234 é divisível por 3.
A soma dos algarismos que constituem o número 234 é:
2+3+4 = 9. É bem mais fácil saber se o número 9 pode ser dividido por 3 do que o número 234. Como nove (número que resultou da soma dos algarismos do número 234) pode ser dividido por 3, podemos afirmar que o número 234 é divisível por 3.Portanto, para verificarmos a divisibilidade por 3 devemos nos atentar a todos os algarismos, adicioná-los com atenção e verificar se a soma é, de fato, divisível por 3. Veja que neste critério você mesmo, depois de somar os algarismos, deverá realizar uma divisão pelo número 3, entretanto, é uma divisão bem mais simples, vejamos uma prova desse fato.
Verifique se o número 134193621 é divisível por 3.
Se fôssemos dividir este número por três, com toda certeza iríamos gastar boas linhas de cálculo, mas vimos anteriormente que basta somarmos os algarismos deste número para obtermos a resposta da divisibilidade por 3.
Somando os algarismos: 1+3+4+1+9+3+6+2+1 = 30.
Caso a soma desses algarismos seja divisível por 3, podemos afirmar que o número
134193621 é de fato divisível por 3. É muito fácil verificar a divisibilidade do número 30 por 3, não é mesmo? 30 dividido por 3 é igual a 10, uma divisão exata.Lembre-se que o processo que fizemos serve apenas para verificar se a divisão do número
134193621 é divisível por 3, isto não significa que o valor 10 é o resultado da divisão deste número por três.
Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil
Ensino Fundamental
Crit�rios de divisibilidade
Ulysses Sodr�
Material desta p�gina
- 1 Sobre a divisibilidade
- 2 Verificador de divis�o exata
- 3 Divisibilidade no navegador
- 4 Alguns crit�rios de divisibilidade
1 Sobre a divisibilidade
Algumas vezes, precisamos apenas saber se um n�mero natural � divis�vel por outro n�mero natural, sem precisar obter o resultado da divis�o. Neste caso, utilizamos os crit�rios de divisibilidade. Na sequ�ncia, apresentamos as regras de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 29, 31 e 49.
2 Verificador de divis�o exata
Para saber se um n�mero inteiro \(M\) � divis�vel por um outro inteiro \(N\). Insira os n�meros inteiros, nas caixas do formul�rio e clique no bot�o apropriado. J� existem dois n�meros para teste do programa.
3 Divisibilidade no navegador
No navegador, podemos digitar a linha de comando: javascript: M % N exatamente como est�, na caixa com o nome do arquivo que est� sendo acessado no momento.
Para saber se 960 � divis�vel por 45, digite: javascript: 960 % 45.
Depois, pressione ENTER para ver uma calculadora em outra p�gina que tamb�m pode ser usada para outros c�lculos.
4 Alguns crit�rios de divisibilidade
Divisibilidade por 2: Um n�mero � divis�vel por 2 se ele � par, ou seja, termina em \(0,2,4,6,8,10,12,14,\cdots\).
Exemplos: O n�mero 5634 � divis�vel por 2, pois o seu �ltimo algarismo � 4, mas 135 n�o � divis�vel por 2, pois � um n�mero terminado com o algarismo 5 que n�o � par.
Divisibilidade por 3: Um n�mero � divis�vel por 3, se a soma de seus algarismos � divis�vel por 3.
Exemplos: 18 � divis�vel por 3 pois 1+8=9 que � divis�vel por 3, 576 � divis�vel por 3 pois: 5+7+6=18 que � divis�vel por 3, mas 134 n�o � divis�vel por 3, pois 1+3+4=8 que n�o � divis�vel por 3.
Divisibilidade por 4: Um n�mero � divis�vel por 4, se o n�mero formado pelos seus dois �ltimos algarismos � divis�vel por 4.
Exemplos: 4312 � divis�vel por 4, pois 12 � divis�vel por 4, mas 1635 n�o � divis�vel por 4 pois 35 n�o � divis�vel por 4.
Divisibilidade por 5: Um n�mero � divis�vel por 5 se o seu �ltimo algarismo � 0 ou 5.
Exemplos: 75 � divis�vel por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 n�o � divis�vel por 5 pois o seu �ltimo algarismo n�o � 0 e nem 5.
Divisibilidade por 6: Um n�mero � divis�vel por 6 se � par e a soma de seus algarismos � divis�vel por 3.
Exemplos: 756 � divis�vel por 6, pois 756 � par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 � divis�vel por 3, 527 n�o � divis�vel por 6, pois n�o � par e 872 � par mas n�o � divis�vel por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 que n�o � divis�vel por 3.
Divisibilidade por 7: Um n�mero � divis�vel por 7 se o dobro do seu �ltimo algarismo subtra�do do n�mero sem o �ltimo algarismo, resulta em um n�mero divis�vel por 7. Se a diferen�a ainda � grande, repetimos o processo at� verificar a divis�o por 7.
Exemplo: 165928 � divis�vel por 7 pois:
\[\begin{array}{r|l} \hline 16592 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -16 & \text{Dobro de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 16576 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 1657 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -12 & \text{Dobro de 6 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1645 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 164 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -10 & \text{Dobro de 5 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 154 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 15 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -8 & \text{Dobro de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 7 & \text{Esta diferen�a � divis�vel por 7} \\ \hline \end{array}\]
A diferen�a � divis�vel por 7, logo o n�mero dado inicialmente tamb�m � divis�vel por 7.
Exemplo: 4261 n�o � divis�vel por 7, pois:
\[\begin{array}{r|l} \hline 426 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -2 & \text{Dobro de 1 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 424 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 42 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -8 & \text{Dobro de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 34 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Como 34 n�o � divis�vel por 7, o n�mero 4261 tamb�m n�o � divis�vel por 7.
Divisibilidade por 8: Um n�mero � divis�vel por 8 se o n�mero formado pelos seus tr�s �ltimos algarismos � divis�vel por 8.
Exemplos: 45128 � divis�vel por 8 pois \(128/8=16\), mas 45321 n�o � divis�vel por 8 pois 321 n�o � divis�vel por 8.
Divisibilidade por 9: Um n�mero � divis�vel por 9 se a soma dos seus algarismos � divis�vel por 9.
Exemplos: 1935 � divis�vel por 9 pois: 1+9+3+5=18 que � divis�vel por 9, mas 5381 n�o � divis�vel por 9 pois: 5+3+8+1=17 que n�o � divis�vel por 9.
Divisibilidade por 10: Um n�mero � divis�vel por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 � divis�vel por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 n�o termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11: Um n�mero � divis�vel por 11 se a soma \(Sp\) dos algarismos de ordem par menos a soma \(Si\) dos algarismos de ordem �mpar � um n�mero divis�vel por 11. Em particular, se \(Sp=Si\), o n�mero dado � divis�vel por 11.
Exemplo: \(1353\) � divis�vel por \(11\), pois:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{N�mero}& 1 & 3 & 5 & 3 \\ \hline \text{Ordem}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar}& \text{par}\\ \hline \end{array}\]
O primeiro e o terceiro algarismos t�m ordem �mpar e a sua soma �: \(Si=1+5=6\). O segundo e o quarto algarismos t�m ordem par e a sua soma �: \(Sp=3+3=6\). Como a soma dos algarismos de ordem par \(Sp\) � igual � soma dos algarismos de ordem �mpar \(Si\), o n�mero \(1353\) � divis�vel por \(11\).
Exemplo: O n�mero 29458$ � divis�vel por 11, pois:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{N�mero} & 2 & 9 & 4 & 5 & 8 \\ \hline \text{Ordem}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar} \\ \hline \end{array}\]
A soma dos algarismos de ordem �mpar � \(Si=2+4+8=14\) e a soma dos algarismos de ordem par � \(Sp=9+5=14\). Como essas somas s�o iguais, o n�mero 29458 � divis�vel por 11.
Exemplo: 2543 n�o � divis�vel por 11, pois:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{N�mero} & 2 & 5 & 4 & 3 \\ \hline \text{Ordem}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar}& \text{par} \\ \hline \end{array}\]
A soma dos algarismos de ordem impar � \(Si=2+4=6\) e a soma dos algarismos de ordem par � \(Sp=5+3=8\). Como a diferen�a \(Sp-Si=8-6=2\) que n�o � divis�vel por 11, o n�mero 2543 n�o � divis�vel por 11.
Exemplo: 65208 � divis�vel por 11, pois, a soma dos algarismos de ordem impar � \(Si=6+2+8=16\), a soma dos algarismos de ordem par � \(Sp=5+0=5\) e a diferen�a \(Si-Sp=11\), que � divis�vel por 11.
Divisibilidade por 12: Um n�mero � divis�vel por 12 se o n�mero formado pelos seus dois �ltimos algarismos � divis�vel por 4 e a soma dos seus algarismos � m�ltiplo de 3.
Divisibilidade por 13: Um n�mero � divis�vel por 13 se o qu�druplo (4 vezes) do �ltimo algarismo, somado com o n�mero sem o �ltimo algarismo, resulta em um n�mero divis�vel por 13. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� que se possa verificar a divis�o por 13. Este crit�rio � similar ao da divisibilidade por 7, apenas que no presente caso usamos a soma ao inv�s de diferen�a no outro caso.
Exemplo: 16562 � divis�vel por 13? Vamos verificar.
\[\begin{array}{r|l} \hline 1656 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +8 & \text{Qu�druplo de 2 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1664 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 166 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +16 & \text{Qu�druplo de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 182 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 18 & \text{Soma sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +8 & \text{Qu�druplo de 2 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 26 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Como a �ltima soma � divis�vel por 13, ent�o o n�mero 16562 tamb�m � divis�vel por 13.
Divisibilidade por 14: Um n�mero � divis�vel por 14 se � par e tamb�m � divis�vel por 7.
Divisibilidade por 15: Um n�mero � divis�vel por 15 se � divis�vel por 3 e tamb�m � divis�vel por 5.
Divisibilidade por 16: Um n�mero � divis�vel por 16 se o n�mero formado pelos seus quatro �ltimos algarismos � divis�vel por 16.
Exemplos: O n�mero 54096 � divis�vel por 16 pois o n�mero 4096, formado pelos seus quatro �ltimos d�gitos, dividido por 16 fornece 256 que � divis�vel por 16. O n�mero 45321 n�o � divis�vel por 16 pois 5321, formado pelos seus quatro �ltimos d�gitos, n�o � divis�vel por 16.
Divisibilidade por 17: Um n�mero � divis�vel por 17 se o qu�ntuplo (5 vezes) do �ltimo algarismo, subtra�do do n�mero sem o �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 17. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� que se possa verificar a divis�o por 17.
Exemplo: 18598$ � divis�vel por 17 pois:
\[\begin{array}{r|l} \hline 1859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -40 & \text{Qu�ntuplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1819 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 181 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -45 & \text{Qu�ntuplo de $9$ (�ltimo algarismo)} \\ \hline 136 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 13 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -30 & \text{Qu�ntuplo de $6$ (�ltimo algarismo)} \\ \hline -17 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
A diferen�a negativa, mas � divis�vel por 17 e o n�mero 18598 tamb�m � divis�vel por 17.
Divisibilidade por 18: Um n�mero � divis�vel por 18 se � par e a soma dos seus algarismos � m�ltiplo de 9.
Divisibilidade por 19: Um n�mero � divis�vel por 19, se o dobro do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 19. Se o n�mero obtido ainda � grande, repetimos o processo at� verificarmos a divis�o por 19.
Exemplo: 165928 � divis�vel por 19? Vamos verificar.
\[\begin{array}{r|l} \hline 16592 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo}\\ \hline +16 & \text{Dobro de 8 (�ltimo algarismo)}\\ \hline 16608 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 1660 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +16 & \text{Dobro de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1676 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 167 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +12 & \text{Dobro de 6 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 179 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 17 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +18 & \text{Dobro de 9 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 35 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Como a �ltima soma n�o � divis�vel por 19, o n�mero 165928 n�o � divis�vel por 19.
Exemplo: 4275 � divis�vel por 19, pois:
\[\begin{array}{r|l} \hline 427 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +10 & \text{Dobro de 5 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 437 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 43 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +14 & \text{Dobro de 7 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 57 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 5 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +14 & \text{Dobro de 7 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 19 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Como a �ltima Soma � o pr�prio 19, o n�mero 4275 dado � divis�vel por 19.
Divisibilidade por 23: Um n�mero � divis�vel por 23, se o h�ptuplo (7 vezes) do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 23. Se o n�mero obtido ainda � grande, repetimos o processo at� verificarmos a divis�o por 23.
Exemplo: 185909 � divis�vel por 23? Vamos verificar.
\[\begin{array}{r|l} \hline 18590 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +63 & \text{H�ptuplo de 9 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 18653 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 1865 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +21 & \text{H�ptuplo de 3 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1886 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 188 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +42 & \text{H�ptuplo de 6 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 230 & \text{Soma (230=23{\times}10)} \\ \hline \end{array}\]
Como a �ltima soma � divis�vel por 23, ent�o o n�mero 185909 � divis�vel por 23.
Divisibilidade por 29: Um n�mero � divis�vel por 29, se o triplo (3 vezes) do �ltimo algarismo, subtra�do do n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 29. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� verificarmos a divis�o por 29.
Exemplo: O n�mero 8598 � divis�vel por 29?
\[\begin{array}{r|l} \hline 859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -24 & \text{Triplo de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 835 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 83 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -15 & \text{Triplo de 2 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 68 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 6 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -24 & \text{Triplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline -18 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]
Como a diferen�a negativa n�o � divis�vel por 29, o n�mero 8598 n�o � divis�vel por 29.
Divisibilidade por 31: Um n�mero � divis�vel por 31, se o triplo (3 vezes) do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, proporciona um n�mero divis�vel por 31. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� verificarmos a divis�o por 31.
Exemplo: 8598 � divis�vel por 31?
\[\begin{array}{r|l} \hline 859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +24 & \text{Triplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 883 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 88 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +9 & \text{Triplo de 3 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 97 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 9 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +21 & \text{Triplo de 3 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 30 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Como a soma n�o � divis�vel por 31, o n�mero 8598 n�o � divis�vel por 31.
Divisibilidade por 49: Um n�mero � divis�vel por 49, se o qu�ntuplo (5 vezes) do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, proporciona um n�mero divis�vel por 49. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� que se possa verificar a divis�o por 49.
Exemplo: 8598 � divis�vel por 49?
\[\begin{array}{r|l} \hline 859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +40 & \text{Qu�ntuplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 899 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 89 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +45 & \text{Qu�ntuplo de 9 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 134 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
\[\begin{array}{r|l} \hline 13 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +20 & \text{Qu�ntuplo de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 33 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]
Como a soma n�o � divis�vel por 4$, o n�mero 8598 n�o � divis�vel por 49.