Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:
Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.
Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:
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n = 3
Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°
n = 4
Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°
n = 5
Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°
n = 6
Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°
n = n
Si = (n – 2)·180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:
Si = (n – 2)·180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.
ai = Si
n
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Os polígonos podem ser classificados como convexos ou não convexos, regulares ou não regulares. A respeito dessa classificação, assinale a alternativa correta:
a) Um polígono é dito convexo quando possui todos os lados iguais.
b) Um polígono é dito convexo quando possui todos os ângulos iguais.
c) Um polígono é regular quando possui lados congruentes.
d) Um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta, que possui extremidades em seu interior, não possui pontos fora dele.
e) Um polígono é dito regular quando um segmento de reta, que possui extremidades em seu interior, possui pontos fora dele.
Considerando os elementos dos polígonos convexos e suas definições básicas, assinale a alternativa correta:
a) Os lados de um polígono são segmentos de reta que podem cruzar-se em qualquer ponto.
b) O vértice de um polígono é o ponto de encontro entre seus dois maiores lados.
c) Os ângulos externos de um polígono são a abertura entre dois lados consecutivos, só que pelo lado externo do polígono.
d) Os ângulos internos do polígono são a abertura entre dois lados consecutivos do polígono, em seu interior.
e) As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices.
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a 2340°. Quantos lados esse polígono possui?
a) 13 lados
b) 15 lados
c) 17 lados
d) 19 lados
e) 21 lados
Um polígono convexo possui 25 lados. Qual é o número total de diagonais que esse polígono possui?
a) 200
b) 225
c) 250
d) 260
e) 275
Um polígono é dito convexo quando não existe nenhum segmento de reta com extremidades em seu interior com pontos fora dele. Um polígono é dito regular quando seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos têm a mesma medida. Assim, as alternativas a, b, c e e estão incorretas.
Alternativa D
a) Incorreta!
Os lados de um polígono são segmentos de reta que não se cruzam. Esses elementos encontram-se apenas em suas extremidades.
b) Incorreta!
Os vértices de um polígono são todos os pontos de encontro entre seus lados.
c) Incorreta!
Os ângulos externos de um polígono são a abertura entre um lado e o prolongamento do lado adjacente.
d) Correta!
e) Incorreta!
As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices, com a condição de que esses vértices não sejam consecutivos. O segmento de reta que liga dois vértices consecutivos de um polígono é o lado.
Alternativa D
Para fazer esse cálculo, basta usar a fórmula:
S = (n – 2)180
Em que S é a soma dos ângulos internos do polígono e n é seu número de lados. Substituindo 2340° nessa fórmula, teremos:
2340 = (n – 2)180
2340 = n – 2
180
13 = n – 2
n = 13 + 2
n = 15
O polígono possui 15 lados.
Alternativa B
Para encontrar o número de diagonais de um polígono convexo, basta usar a fórmula:
d = n(n – 3)
2
Na qual n é o número de lados do polígono. Substituindo n por 25, teremos:
d = n(n – 3)
2
d = 25(25 – 3)
2
d = 25(22)
2
d = 25·11
d = 275
Alternativa E