QUESTÃO
Poderá ver também exercícios sobre: Matemática, Poliedros
(Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número
de faces.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 8
E) 11
RESPOSTA: D
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
respostas
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
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V: vértice
A: arestas
F: faces
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
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O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12
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* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
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P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3
arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
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Arestas (A) = 22
Faces (F) =
Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
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Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre a relação de Euler, fórmula matemática que relaciona o número de faces, arestas e vértices de poliedros convexos.
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Exercícios de Matemática
Questão 1
Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?
a) 16
b) 18
c) 32
d) 34
e) 40
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Questão 2
(FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
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Questão 3
Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?
a) 16
b) 14
c) 11
d) 9
e) 7
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Questão 4
O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 34
e) 19
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Respostas
Resposta Questão 1
Para calcular o número de arestas, basta usar a relação de Euler. Observe:
V – A + F = 2
18 – A + 16 = 2
– A = 2 – 18 – 16
A = 16 + 16
A = 32
Gabarito: letra C.
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Resposta Questão 2
Dizer que o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades é o mesmo que escrever:
A = V + 6
Substituindo esse valor de A na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
V – (V + 6) + F = 2
V – V – 6 + F = 2
F = 2 + 6
F = 8
Gabarito: letra B.
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Resposta Questão 3
Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.
2F – 16 = 2
2F = 2 + 16
2F = 18
F = 18
2
F = 9
O poliedro possui 9 faces.
Gabarito: letra D.
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Resposta Questão 4
Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces:
2F – 34 = 2
2F = 2 + 34
2F = 36
F = 36
2
F = 18
O poliedro possui 18 faces.
Gabarito: letra A.
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