20) se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. qual é esse número?

Transcrição de vídeo

RKA1MP Vamos ver se conseguimos fazer um problema mais complicado sobre frações parciais. Tenho 10x² mais 12x + 20, tudo sobre x³ - 8. A primeira coisa que tem que fazer com qualquer uma dessas expressões racionais que você quer decompor é ter certeza de que o numerador seja de grau menor que o denominador. Caso contrário, faça a divisão algébrica como fizemos no primeiro vídeo. Aqui, pode só olhar e vai ver que o termo de grau mais alto é um termo de segundo grau e aqui um termo de terceiro grau, então tudo bem. O do numerador é de um grau menor que o do denominador. Se fosse igual ou maior, a gente usaria um método da divisão. O próximo passo é, se vamos decompor em fatores, tem que determinar os fatores desse denominador para poder usar esses fatores como os denominadores em cada membro. Um polinômio de terceiro grau é mais difícil de fatorar que um polinômio de segundo grau. Mas, nesse caso, tem algo que esperamos que consiga perceber, se não imediatamente, espero que perceba em algum momento. Você sempre deve pensar sobre qual número, quando substitui em um polinômio, o fará ser igual a zero. Neste caso, que número ao cubo menos 8 é igual a zero? Espero que esteja pensando no número 2 e isso é algo que só vai conseguir fazer pela tentativa ou pela sua experiência. Imediatamente, verá que 2³ menos 8 é zero. Então, 2 faz essa expressão ser igual a zero e nos diz que x -2 é um fator. A gente pode reescrever como 10x² + 12x + 20 sobre x - 2 vezes alguma coisa, alguma coisa, alguma coisa. Ainda não sabemos o que é essa alguma coisa. Eu só quero reforçar o porquê isto é verdadeiro ou porque a intuição está certa. Se 2 torna isto zero, 2 também deveria tornar a expressão fatorada igual a zero. E sabemos que 2 tornaria essa expressão fatorada a zero porque quando coloco um 2, esse fator vira zero, então ele torna tudo zero e é esse o segredo. Se substituir um número e ele tornar isto um zero, pode fazer "x" menos esse número e vai ser um fator. Bom, o próximo passo, se realmente quiser decompor esta expressão racional, é determinar qual é esta parte. A forma de fazer é com uma divisão algébrica. Basicamente, dividimos x³- 8 por x - 2 para chegar aqui. Então, vamos lá. Você deve pegar x³ - 8 e deixa um espaço para colocar o termo de segundo grau e de primeiro grau, que é zero, e depois escrevo -8 que é o termo constante. -8. E gosto de colocar todos os meus termos nas suas posições corretas. Você não precisa fazer quando faz uma divisão algébrica. x³ dividido por x - 2. Para fazer isso, só precisa olhar para os termos de maior grau. Será x² vezes, vou colocar na posição reservada para os termos com "x²". x² vezes x - 2, x² vezes "x" é x³. x² vezes -2 é -2x². Agora, queremos subtrair isso disso, então poderia simplesmente... ou poderia somar o negativo porque sempre acho mais fácil. Esses se cancelam, então tenho 2x² - 8. Quanto é 2x² - 8 dividido por x - 2? Você só olha para os termos de maior grau. 2x² dividido por x é 2x e mais 2x. 2x vezes "x" é 2x². 2x vezes -2 dá menos 4x. Subtraímos isto disto e poderia só somar o negativo. A gente tem... 4x - 8. 4x dividido por "x" é 4. 4 vezes x - 2 é 4x - 8 e não resta nada. Esta é mais uma confirmação de que x - 2, definitivamente, era um fator de x³ - 8 e, ao fazer a divisão, achamos o outro fator que está bem aqui. x² + 2x + 4 vezes x - 2 é igual a x³ - 8. Agora, podemos escrever nosso problema original. Na verdade, vou escrever aqui. O denominador era 10, deixa eu mudar de cor, era 10x² mais 12x + 20 sobre x - 2, vezes x² mais 2x + 4. Todo o trabalho que fizemos até agora foi pra fatorar x³ - 8, mas agora dá para fazer uma expansão de fração parcial ou uma fração parcial. Então, isto será igual a, e essa é a parte interessante porque aqui que avançamos um pouco em relação ao primeiro vídeo. Isso será igual a uma constante (A) sobre este denominador, sobre x - 2. Mais, e é um pouco diferente daquilo que viu no último vídeo, mais um termo com "x", um coeficiente vezes um termo "x" mais C. Bx + C sobre x² + 2x + 4. Você poderia dizer: "Como sabe disso?" Você olha para o grau do denominador, esse é um denominador de primeiro grau e diz: "Ok, o grau do numerador nesta parte da fração, acho que poderia chamar de um a menos do que o grau desse termo". Então, esse primeiro grau será um grau e zero ou um termo constante. Aqui, o grau é 2. Então, o grau dos seus numeradores será 1 e, como seu grau é 1, ainda poderá ter um termo constante que é um termo de zero grau. Daí, você tem Bx + C e pode ser que acaba sendo mesmo uma constante. Nesse caso, podemos encontrar que B será zero. Dá para se perguntar por que não fatoramos mais. Na verdade, se olhar com atenção, poderia aplicar a fórmula quadrática de cabeça para ver que só tem raízes imaginárias aqui. Fatorar mais, na verdade, não é mais favorável. Não tem mais zeros ou raízes para fazer isso. Fatoramos o máximo possível. A chave para completar a nossa expansão em frações parciais é, simplesmente, encontrarmos A, B e C e vamos fazer exatamente da mesma forma que fizemos no último vídeo. Basicamente, queremos somar essas duas coisas. Então, se somar, vou escrever do lado esquerdo. 10x² + 12x + 20 sobre x - 2 vezes x² + 2x + 4 é igual a, se somar essas duas coisas, queremos chegar a um denominador comum que é x - 2 vezes x² + 2x + 4. E, para isso, é só multiplicar as duas coisas e isso será A vezes x² mais 2x + 4, mais Bx + C vezes x- 2. Bom, os denominadores são os mesmos, então, os numeradores têm que ser iguais entre si. Vou reescrever. 10x² + 12x + 20 é igual a A vezes x² + 2x + 4, mais Bx + C vezes x - 2. Isso pode parecer um problema cabeludo se fizer da maneira devagar que eu fiz no último vídeo, vai demorar mais. Então, seriam três equações e três valores desconhecidos. Para resolver, a gente pode usar um sistema muito parecido com que usamos no primeiro vídeo. Vamos pegar os valores de "x" que simplifiquem e nos permitam solucionar esses A, B ou C. Qual o valor de "x" posso substituir que irá cancelar pelo menos duas das variáveis A, B ou C? Se considerar "x" igual a 2, então dá zero, o que torna toda essa expressão zero, só fico com A e os "x" que sei que é 2, porque estou considerando que "x" é igual a 2. Se "x" é igual a 2, o que eu tenho? Tenho 10x², daí tenho 10 vezes 4, que é 2², mais 12 vezes 2, que é 24, mais 20 e é igual a A vezes 2², que é 4, mais 4, mais 4. Tudo simplesmente fica zero porque eu disse que "x" é igual a 2. Então, 10 vezes 4 é 40, mais 44, dá 84 e é igual a 12A. Dividimos os dois lados por 12 e tem A é igual a 7. Estamos progredindo. Muito bem. A gente sabe o quanto é A e podemos selecionar um outro valor de "x" que faça o B desaparecer ou o C? Bom, dá para fazer o B desaparecer se fizer o "x" igual a zero. Vamos tentar. Se disser, deixa eu pegar uma cor mais forte. Um amarelo. Se fizer "x" igual a zero, então o lado esquerdo disso sobrará somente 20. E 20 é igual a A, que é 7, vezes zero, mais zero, mais 4. 7 vezes 4 mais Bx + C. O Bx desaparece, porque B vezes zero é zero, mais C vezes zero menos 2C, vezes -2. Então, tem 20 é igual a 28 - 2C. Subtrairmos 28 dos dois lados, -8 é igual a -2C, C é igual a 4. Estamos quase terminando. Agora, vou escrever a nossa equação aqui em cima com A e C e ver se eu consigo fazer isso. Então, tenho 10x² + 12x + 20 é igual a 7. 7 vezes x² + 2x + 4 mais Bx mais C que é 4 vezes x - 2. Quase fiquei sem espaço aqui. Agora, tem "x" e B. Então, para calcular B dá para substituir qualquer valor de "x" que torne nossa matemática razoavelmente fácil e que não faça o B desaparecer. A gente pode escolher "x" é igual a 1. Então, se "x" é igual a 1, temos 10 + 12 + 20 é igual a 7 vezes 1, mais 2, mais 4 e isso é 7. Mais B vezes 1 que é B + 4, vezes 1 menos 2, que é -1. Isto é 22, 42 é igual a 49 - B - 4. Dá para falar, então, que 42 é igual a 45 - B. Subtraímos 45 dos dois lados e tem -3 é igual a "-B", e tem que B é igual a 3, pois dividimos os dois lados por -1. Então, no nosso problema original, a gente sabe que B é igual a 3, C era igual a 4, e A é igual a 7. A decomposição em frações parciais é 7 sobre x - 2 mais 3x + 4 sobre x² + 2x + 4. Esse problema foi cansativo, e você pode ver que a decomposição em fração parcial pode ficar bem mais complicada quando tem denominadores de grau mais alto, mas espero que tenha achado útil.