Como calcular ângulos formados por retas paralelas e uma transversal?

Os fundamentos básicos em Geometria estão ligados aos estudos relacionados ao ponto, a reta e ao plano, constituindo os conceitos elaborados por Euclides. É de extrema importância que tais situações sejam abordadas nas séries iniciais da 2º fase do ensino fundamental, pois servirão de pré-requisito para os estudos dos conteúdos referentes à Geometria de posição, que apresenta o paralelismo entre retas, perpendicularidade, retas concorrentes e retas coincidentes.

O professor deve planejar a aula estabelecendo três momentos:

1º momento: abordar os ângulos formados pelo cruzamento entre retas paralelas e transversais, esquematizando a situação no quadro.

Observe um esquema de fácil elaboração e compreensão por parte dos alunos:

As retas r e s são paralelas (r//s), não possuem ponto em comum. A reta t é transversal às retas r e s, formando quatro ângulos com a reta s e quatro ângulos com a reta t, dessa forma notamos a formação de oito ângulos, os quais recebem nomes de acordo com a posição.

2º momento: ensinar nomes e a localização dos ângulos.

a e e, b e f, c e g, d e h = ângulos correspondentes
a = e, b = f, c = g, d = h

a e h, b e g = ângulos colaterais externos
a + h = 180º e b + g = 180º

a e g, b e h = ângulos alternos externos.

c e e =, d e f = ângulos alternos internos.

c e f, d e e = ângulos colaterais internos.

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3º momento: definição escrita dos ângulos para uma melhor contextualização e fixação dos conteúdos.

Correspondentes: possuem a mesma posição em relação às retas paralelas e a transversal.

Alternos internos: em lados diferentes em relação à transversal e na parte interna em relação às paralelas.

Alternos externos: em lados diferentes em relação à transversal e na parte externa em relação às paralelas.

Colaterais internos: do mesmo lado em relação à transversal e na parte interna em relação às paralelas.

Colaterais externos: do mesmo lado em relação à transversal e na parte externa em relação às paralelas.

A fixação dos conteúdos se dará através do desenvolvimento de atividades de fixação e correção comentada por parte do professor, esclarecendo dúvidas e formulando novas situações envolvendo as posições entre as retas.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Transcrição de vídeo

RKA - Então, temos duas retas aqui, vamos chamá-las de "AB" fica nessa reta. Vamos dizer que temos outra reta e a chamaremos de "CD", vai para o ponto "C" e vai para o ponto "D" e continua indo infinitamente. Digamos que essas retas ficam no mesmo plano e, nesse caso, o plano é a tela ou o pedaço de papel que estamos vendo e elas nunca se interceptam, então, elas estão todas no mesmo plano mas nunca interceptam uma à outra. Se essas duas coisas são verdadeiras, nunca interceptam e estão no mesmo plano, então, dizemos que essas retas são paralelas. Essas retas são paralelas. Elas estão na mesma direção, de fato, na mesma exata direção, se olharmos de um ponto fixo, poderemos dizer que elas têm a mesma inclinação, mas têm diferentes pontos. Elas envolvem pontos diferentes, se a gente desenhasse uma coordenada aqui, eles interceptariam em um ponto diferente mas, teriam exatamente a mesma inclinação. Agora, quero pensar em como ângulo se relacionam à retas paralelas. Aqui temos essas duas retas paralelas, podemos dizer que "AB", reta "AB" é paralela à reta "CD". Paralela a "CD". Às vezes, vai ver especificado em desenhos geométricos como esse, então, você põe uma seta pequena aqui para mostrar que essas duas retas são paralelas e, se já usou uma seta, você coloca duas setas para mostrar que essa reta é paralela àquela reta aqui. Com isso fora do caminho, agora o que eu quero fazer é desenhar uma reta que faça intersecção com as duas retas paralelas, então, aqui é a reta que faz intersecção com as duas. Deixa eu desejar um pouco mais perto, deixa eu desenhar essa reta aqui. E vou chamar essa reta, bom, vou só fazer alguns pontos aqui, vou chamar essa reta de "L" e, essa reta, que faz intersecção com as duas retas paralelas, vamos chamá-la de transversal. Essa é uma reta transversal, fazendo a transversal com as duas retas paralelas. Essa é uma transversal. O que eu quero pensar é nos ângulos que são formados e como estão relacionados um ao outro. Os ângulos que formam a intersecção entre as retas transversais e as duas retas paralelas. Primeiro de tudo, podemos começar com esse ângulo aqui, podemos chamar esse ângulo, bom, se colocarmos alguns rótulos, esse seria "D", esse ponto "E" mais alguma coisa mas vou só colocar um nome nesse ângulo aqui. Sabemos que ele será igual ao ângulo oposto pelo vértice àquele, então, será igual àquele ângulo ali. Também sabemos que esse ângulo aqui será igual ao seu ângulo oposto pelo vértice ou ao ângulo que é oposto à intersecção, então será igual àquele. Às vezes você verá especificado assim. Vamos ver uma marca dupla de ângulo assim ou, às vezes, verá algo assim para mostrar que esses dois são iguais e que esses dois são iguais. Agora, outra coisa que sabemos é que a gente pode fazer, exatamente, o mesmo exercício aqui em cima. Esses dois vão ser iguais um ao outro e esses dois vão ser iguais um ao outro, são todos os ângulos opostos pelo vértice. O interessante é pensar na relação entre esse ângulo e esse ângulo aqui, e esse ângulo aqui em cima e se você der uma olhada, é bem óbvia qual é essa relação. Eles serão, exatamente, o mesmo ângulo. Se colocar o transferidor aqui e medir, eles terão exatamente a mesma medida do daqui de cima e, se eu desenhasse uma paralela, talvez desenho reto da direita para a esquerda, talvez ficasse um pouco mais óbvio. Se desenhasse, se assumir que estas duas retas são paralelas e tem uma transversal aqui, o que estou dizendo é que esse ângulo terá exatamente a mesma medida do ângulo e, para visualizar isso, só para imaginar essa reta inclinando, se você pegar diferente, parece que é o caso ali, se pegar a reta assim e olhar aqui, fica claro que esse é igual a esse e, na verdade, não há prova para isso, essa é uma daquelas coisas que os matemáticos diriam: "Intuitivamente óbvio que se olhar para essa reta inclinada, você diria que esses ângulos têm a mesma medida." Ou, pensa em colocar um transferidor aqui para, na verdade, medir esses ângulos. Se colocar o transferidor aqui você tem um lado do ângulo no 0º e o outro lado especificaria aquele ponto e, se colocar o transferidor aqui, acontece a mesma coisa. Ou seja, um lado apontaria nessa reta paralela e o outro lado apontaria, exatamente, o mesmo ponto. Sendo assim, sabemos que não só esse lado é igual a esse mas, também é equivalente a esse lado aqui e, também, é equivalente a esse lado aqui. Todas essas coisas em verde são equivalentes e, com o mesmo argumento, esse lado aqui ou esse ângulo terá mesma medida desse ângulo, Isso vai ser igual a esse ângulo porque são opostos pelo vértice. Agora, ou são ângulos opostos pelo vértice. A coisa importante para saber: os ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida e os ângulos correspondentes no mesmo ponto de intersecção, também têm a mesma medida. Essa é uma nova palavra que estou introduzindo aqui: esse ângulo e esses ângulos são correspondentes, eles representam um meio que o topo do canto direito nesse exemplo que fizemos a intersecção. Aqui, eles representam o topo do topo do canto direito da intersecção e, então, seria o topo do canto esquerdo. O topo do canto esquerdo, eles sempre serão iguais, ângulos correspondentes e, mais uma vez, realmente, eles são um pouco óbvios. Além disso, existem outras palavras que as pessoas vão ver, estamos essencialmente provando que não só esse ângulo é equivalente a esse ângulo mas é, também, equivalente a esse ângulo aqui. E esses dois ângulos, talvez, se eu chamar esse, deixa eu rotular, assim podemos estabelecer relações aqui. Vou usar letra minúscula para os ângulos, então, vamos chamar isso de letra minúscula "a", letra minúscula "b" e letra minúscula "c". Então, letra minúscula "c" para o ângulo, letra minúscula "d" e, deixa eu chamar isso de "e", "f", "g", "h". Sabemos de ângulos opostos pelo vértice que "b" é igual a "c", mas também sabemos que "b" é igual à "f" porque são ângulos correspondentes. Então é igual a "f" que é igual a "g". Ângulos opostos pelo vértice são equivalentes, ângulos correspondentes são equivalentes, então vemos que, obviamente, "b" é igual a "g", vemos que os ângulos alternos e internos são equivalentes, que eles estão no interior da intersecção, estão entre as duas retas mas estão no lado oposto da transversal. E você não tem que saber essas palavras sofisticadas: ângulos alternos e internos. Só tem que fazer o que acabamos de fazer aqui, que os ângulos opostos pelo vértice terão que ser iguais aos ângulos correspondentes, eles serão iguais. E você vê isso, com os outros também, "a" vai ser igual a "d" que vai ser igual a "h", que vai ser igual a "e".

Como calcular ângulos com duas retas paralelas é uma transversal?