Como saber se a grandeza é diretamente proporcional ou inversamente proporcional?

Matem�tica Essencial

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Aplica��es das raz�es e propor��es

Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Propor��es com n�meros
• 2 Propriedades das propor��es
• 3 Grandezas Diretamente Proporcionais
• 4 Grandezas Inversamente Proporcionais
• 5 Elementos hist�ricos sobre a Regra de tr�s
• 6 Regra de tr�s simples direta
• 7 Regra de tr�s simples inversa
• 8 Regra de tr�s composta
• 9 Porcentagem
• 10 Juros Simples

1 Propor��es com n�meros

Quatro n�meros racionais \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) diferentes de zero, nessa ordem, formam uma propor��o quando:

\[\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

1. Os n�meros A, B, C e D s�o denominados termos
2. Os n�meros A e B s�o os dois primeiros termos
3. Os n�meros C e D s�o os dois �ltimos termos
4. Os n�meros A e C s�o os antecedentes
5. Os n�meros B e D s�o os consequentes
6. A e D s�o os extremos
7. B e C s�o os meios

Nota: A divis�o entre A e B e a divis�o entre C e D, � uma constante \(K\) denominada constante de proporcionalidade dessa raz�o.

2 Propriedades das propor��es

Para a propor��o

\[\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios � igual ao produto dos extremos, isto �:

   \[A{\times}D = B{\times}C \]

2. A soma dos dois primeiros termos est� para o primeiro termo, assim como a soma dos dois �ltimos est� para o terceiro termo, isto �:

   \[\frac{A+B}{A} = \frac{C+D}{C}\]

3. A diferen�a dos dois primeiros termos est� para o segundo termo, assim como a diferen�a dos dois �ltimos est� para o quarto termo:

   \[\frac{A-B}{B} = \frac{C-D}{D}\]

4. A soma dos antecedentes est� para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente est� para o seu consequente, isto �:

   \[\frac{A+C}{B+D} = \frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

5. A diferen�a dos antecedentes est� para a diferen�a dos consequentes, assim como cada antecedente est� para o seu consequente, isto �:

   \[\frac{A-C}{B-D} = \frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

3 Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas s�o diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra tamb�m aumenta na mesma propor��o, ou, diminuindo uma delas, a outra tamb�m diminui na mesma propor��o.

Se duas grandezas \(X\) e \(Y\) s�o diretamente proporcionais, os n�meros que expressam essas grandezas variam na mesma raz�o, isto �, existe uma constante \(K\) tal que:

\[X = K \cdot Y\]

Exemplo 1: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com �gua. A cada 15 minutos � medida a altura do n�vel de �gua. (cm=cent�metros e min=minutos) Constru�mos uma tabela para mostrar a evolu��o da ocorr�ncia:

Quando duplica o intervalo de tempo, a altura do n�vel da �gua tamb�m duplica e quando o intervalo de tempo � triplicado, a altura do n�vel da �gua tamb�m � triplicada.

Notas: Usando raz�es, podemos descrever essa situa��o de outro modo.

1. Se o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na raz�o \(15/30\), enquanto que a altura da �gua varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na raz�o \(50/100\). Estas duas raz�es s�o iguais:

   \[\frac{15}{30} = \frac{50}{100} = \frac12\]

2. Se o intervalo de tempo varia de \(15\) min para \(45\) min, a altura varia de \(50\) cm para \(150\) cm. Nesse caso, o tempo varia na raz�o \(15/45\) e a altura na raz�o \(50/150\). Estas raz�es s�o iguais:

   \[\frac{15}{45} = \frac{50}{150} = \frac13\]

Conclu�mos que a raz�o entre o valor num�rico do tempo que a torneira fica aberta e o valor num�rico da altura atingida pela �gua � sempre igual, assim dizemos ent�o que a altura do n�vel da �gua � diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

Exemplo 2: Em m�dia, um autom�vel percorre 80 km em 1 h, 160 km em 2 hs e 240 km em 3 h. (km=quil�metro, h=hora). Constru�mos uma tabela da situa��o:

Quando duplica o intervalo de tempo, duplica tamb�m a dist�ncia percorrida e quando o intervalo de tempo � triplicado, a dist�ncia tamb�m � triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a dist�ncia percorrida tamb�m aumenta na mesma propor��o.

Notas: Usando raz�es e propor��es, podemos descrever essa situa��o de outro modo.

1. Se o intervalo de tempo aumenta de \(1\operatorname{h}\) para \(2\operatorname{h}\), a dist�ncia percorrida varia de \(80\operatorname{km}\) para \(160\operatorname{km}\), ou seja, o tempo varia na raz�o de \(1/2\) e a dist�ncia percorrida varia na raz�o \(80/160\). Assim temos que tais raz�es s�o iguais, isto �:

   \[\frac12 = \frac{80}{160} = \frac13\]

2. Se o intervalo de tempo varia de \(2\operatorname{h}\) para \(3\operatorname{h}\), a dist�ncia percorrida varia de \(160\operatorname{km}\) para \(240\operatorname{km}\). Agora, o tempo varia na raz�o \(2/3\) e a dist�ncia percorrida na raz�o \(160/240\) e notaamos que essas raz�es s�o iguais, isto �:

   \[\frac23 = \frac{160}{240} = \frac13\]

Conclu�mos que o tempo gasto e a dist�ncia percorrida, variam sempre na mesma raz�o e isto significa que a dist�ncia percorrida � diretamente proporcional ao tempo gasto para percorr�-la, se a velocidade m�dia do autom�vel se mantiver constante.

4 Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas s�o inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma propor��o, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma propor��o. Se duas grandezas X e Y s�o inversamente proporcionais, os n�meros que expressam essas grandezas variam na raz�o inversa, isto �, existe uma constante \(K\) tal que:

\[X= \frac{K}{Y}\]

Exemplos 1: A professora de um col�gio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

1. o melhor aluno receber� 24 livros
2. cada um dos 2 melhores alunos receber� 12 livros
3. cada um dos 3 melhores alunos receber� 8 livros
4. cada um dos 4 melhores alunos receber� 6 livros
5. cada um dos 6 melhores alunos receber� 4 livros

Pela tabela, a quantidade de alunos escolhidos e o n�mero de livros que cada aluno receber�, s�o grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

1. Se o n�mero de alunos dobra, o n�mero de livros que cada um vai receber cai para a metade.
2. Se o n�mero de alunos triplica, o n�mero de livros que cada aluno vai receber cai para a ter�a parte.
3. Se o n�mero de alunos quadruplica, o n�mero de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.
4. Se o n�mero de alunos sextuplica, o n�mero de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condi��es, as grandezas envolvidas (n�mero de alunos escolhidos e n�mero de livros distribu�dos) s�o grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na raz�o de 2 para 4, a quantidade de livros distribu�dos varia de 12 para 6.

Estas raz�es n�o s�o iguais, mas inversas:

\[\frac24 = \frac1{\frac{12}6} = \frac12 \quad \text{e} \quad \frac{12}{6} = \frac1{\frac24}=2\]

Se a quantidade de alunos varia na raz�o de 2 para 6, a quantidade de livros distribu�dos varia de 12 para 4, e notamos que essas raz�es n�o s�o iguais, mas inversas:

\[\frac26 = \frac1{\frac{12}4} \quad \text{e} \quad \frac{12}4 = \frac1{\frac26}\]

Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a fun��o \(f(x)=\frac{24}{x}\), apresentada no gr�fico

Exemplo 2: Um autom�vel se desloca de uma cidade at� uma outra localizada a \(120\operatorname{km}\) da primeira. Se o percurso � realizado em:

1. em 1 hora, a velocidade m�dia � 120 km/h
2. em 2 horas, a velocidade m�dia � 60 km/h
3. em 3 horas, a velocidade m�dia � 40 km/h

A unidade � km/h = quil�metros por hora e uma tabela da situa��o �:

De acordo com a tabela, o autom�vel faz o percurso em 1 h com velocidade m�dia de 120 km/h. Quando diminui a velocidade para a metade, ou seja 60 km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a ter�a parte, 40 km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Para percorrer uma mesma dist�ncia fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, s�o inversamente proporcionais.

5 Elementos hist�ricos sobre a Regra de tr�s

Embora os gregos e os romanos conhecessem as propor��es, n�o chegaram a aplic�-las na resolu��o de problemas. Na Idade M�dia, os �rabes revelaram ao mundo a Regra de Tr�s. No s�culo XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princ�pios dessa regra em seu Liber Abaci (O livro do �baco), com o nome de Regra dos tr�s n�meros conhecidos.

6 Regra de tr�s simples direta

Uma regra de tr�s simples direta � uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomamos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z tamb�m diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

\[\frac{X}{Y} = K \quad \text{e} \quad \frac{W}{Z}= K\]

assim

\[\frac{X}{Y} = \frac{W}{Z}\]

Exemplo: Na extremidade de uma mola (te�rica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10 kg e ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 kg de massa na extremidade dessa mola, qual ser� o deslocamento na medida da mola? (kg=quilograma e cm=cent�metro).

Representamos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos a tabela:

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, s�o diretamente proporcionais. Conhecidos tr�s dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, montamos a propor��o:

\[\frac{10}{15} = \frac{54}{X}\]

Os n�meros 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os n�meros 54 e X tamb�m aparecem na mesma ordem direta que na tabela anterior e desse modo \(10{\times}X=15{\times}54\), logo \(10X=810\), assim X=81 e o deslocamento da mola ser� de \(81\operatorname{cm}\).

7 Regra de tr�s simples inversa

Uma regra de tr�s simples inversa � uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma propor��o.

Na resolu��o de problemas, sejam duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas tamb�m inversamente proporcionais C e D de modo que tenham a mesma constante de proporcionalidade K, isto �:

\[A{\times}B = K \qquad \text{e} \qquad C{\times}D = K\]

Assim

\[A{\times}B = C{\times}D\]

logo

\[\frac{A}{C} = \frac{D}{B}\]

Exemplo: Ao participar de um treino de F�rmula U, um corredor usando a velocidade m�dia de 180 km/h fez um certo percurso em 20 s. Se a sua velocidade m�dia fosse de 200 km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (km/h = quil�metro por hora, s = segundo). Tomamos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos a tabela:

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espa�o percorrido. Conhecidos tr�s valores, podemos obter um quarto valor T.

\[\frac{180}{200} = \frac{T}{20}\]

Os n�meros 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os n�meros 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim \(180{\times}20=200{\times}X\), de onde segue que \(200X=3600\), logo \(X=\frac{3600}{200}=18\). Se a velocidade do corredor for de \(200\operatorname{km}/\operatorname{h}\) ele gastar� \(18\s\) para realizar o mesmo percurso.

8 Regra de tr�s composta

Regra de tr�s composta � um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situa��es.

Um m�todo funcional para resolver um problema dessa ordem � montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas � primeira situa��o enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situa��o.

Se A1, B1, C1, D1, E1,\(\cdots\), s�o os valores associados �s grandezas para uma primeira situa��o e A2, B2, C2, D2, E2, \(\cdots\) s�o os valores respectivamente associados �s grandezas para uma segunda situa��o, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor num�rico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor num�rico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Quando todas as grandezas s�o diretamente proporcionais � grandeza Z, resolvemos a propor��o:

\[\frac{Z1}{Z2} = \frac{A1{\times}B1{\times}C1{\times}D1{\times}E1 {\times}F1...}{A2{\times}B2{\times}C2{\times}D2{\times}E2{\times}F2...}\]

Quando todas as grandezas s�o diretamente proporcionais � grandeza Z, MAS a grandeza B � inversamente proporcional � grandeza Z, resolvemos a propor��o com B1 trocada de posi��o com B2:

\[\frac{Z1}{Z2} = \frac{A1{\times}\fbox{B2}{\times}C1{\times}D1{\times}E1{\times} F1...}{A2{\times}\fbox{B1}{\times}C2{\times}D2{\times}E2{\times}F2...}\]

As grandezas que forem diretamente proporcionais � grandeza Z s�o indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais � grandeza Z aparecem na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Se na regra de tr�s composta, temos informa��ers das grandezas: A, B, C, D e Z, sendo que a grandeza A e a grandeza C s�o diretamente proporcionais � grandeza Z e as grandezas B e D s�o inversamente proporcionais � grandeza Z, devemos resolver a propor��o:

\[\frac{Z1}{Z2} = \frac{A1{\times}\fbox{B2}{\times}C1{\times} \fbox{D2}}{A2{\times}\fbox{B1}{\times}C2{\times}\fbox{D1}}\]

Nota: O problema dif�cil � analisar de um ponto de vista l�gico quais grandezas s�o diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como � muito dif�cil realizar esta an�lise de um ponto de vista geral, apresentamos alguns exemplos para entender o funcionamento da situa��o.

Exemplo 1: Funcionando durante 6 dias, 5 m�quinas produzem 400 pe�as de uma mercadoria. Quantas pe�as dessa mesma mercadoria ser�o produzidas por 7 m�quinas iguais �s primeiras, se essas m�quinas funcionarem por 9 dias?

Vamos representar o n�mero de pe�as pela letra \(X\). De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

A grandeza C serve de refer�ncia para as outras grandezas. Analisamos se as grandezas A e B s�o diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais � grandeza C que representa o N�mero de pe�as. Tal an�lise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Vamos considerar as grandezas N�mero de pe�as e N�mero de m�quinas. Fazemos uso de l�gica para constatar que se tivermos mais m�quinas operando produziremos mais pe�as e se tivermos menos m�quinas operando produziremos menos pe�as, assim, estas duas grandezas s�o diretamente proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas N�mero de pe�as e N�mero de dias. De novo, devemos usar a l�gica para constatar que se tivermos maior n�mero de dias produziremos maior n�mero de pe�as e se tivermos menor n�mero de dias produziremos menor n�mero de pe�as. Assim temos que estas duas grandezas tamb�m s�o diretamente proporcionais.

Conclu�mos que todas as grandezas envolvidas s�o diretamente proporcionais, logo, basta resolver a propor��o:

\[ \frac{400}{x} = \frac{5{\times}6}{7{\times}9}\]

que pode ser posta na forma

\[ \frac{400}{x} = \frac{30}{63}\]

Resolvendo a propor��o, obtemos X=840, assim, se as 7 m�quinas funcionarem durante 9 dias ser�o produzidas 840 pe�as.

Exemplo 2: Um motociclista, rodando \(4\operatorname{h}\) por dia, percorre em m�dia \(200\operatorname{km}\) em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista percorrer� \(500\operatorname{km}\), se rodar 5 horas por dia? (\(\operatorname{km}\)=quil�metro).

Vamos representar o n�mero de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

A grandeza C serve como refer�ncia para as outras grandezas. Vamos analisar se as grandezas A e B s�o diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais � grandeza C que representa o N�mero de dias. Tal an�lise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas N�mero de dias e Quil�metros. Usamos a l�gica para constatar que se rodarmos maior n�mero de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor n�mero de dias percorreremos menor quilometragem, logo, estas duas grandezas s�o diretamente proporcionais.

Na outra an�lise, vamos agora considerar as grandezas N�mero de dias e Horas por dia. Verificamos que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior n�mero de dias usaremos menor n�mero de horas por dia e se tivermos menor n�mero de dias necessitaremos maior n�mero de horas para o mesmo percurso. Assim, estas duas grandezas s�o inversamente proporcionais e desse modo:

\[\frac2{X} = \frac{200{\times}5}{500{\times}4}\]

que pode ser escrita na forma

\[\frac2{X} = \frac{1000}{2000}\]

Resolvendo esta propor��o, obtemos X=4, significando que para percorrer \(500\operatorname{km}\), rodando \(5\operatorname{h}\) por dia, o motociclista gastar� 4 dias.

9 Porcentagem

Praticamente todos os dias, vemos nos meios de comunica��o, express�es matem�ticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento prov�m do Latim per centum que significa por cem. Toda raz�o da forma \(a/b\) na qual o denominador b=100, � denominada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Historicamente, a express�o por cento aparece nas principais obras de aritm�tica de autores italianos do s�culo XV. O s�mbolo \(\%\) surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas opera��es mercantis.

Para indicar um �ndice de 10 por cento, escrevemos \(10\%\) e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomamos 10 unidades. \(10\%\) de 80 pode ser obtido como o produto de \(10\%\) por 80, isto �:

\[P = 10\%{\times}80 = \frac{10}{100}{\times}80=\frac{800}{100}=8\]

Em geral, para indicar um �ndice de \(M\) por cento, escrevemos \(M\%\) e para calcular \(M\%\) de um n�mero \(N\), realizamos o produto:

\[P = M\%{\times}N = \frac{M}{100}{\times}N = \frac{M{\times}N}{100}\]

Exemplo 1: Um fich�rio cont�m 25 fichas numeradas, sendo que \(52\%\) dessas fichas est�o etiquetadas com um n�mero par. Quantas fichas possuem etiquetas com n�meros pares? Quantas fichas possuem etiquetas com n�meros �mpares?

\[P = 52\% \text{ de } 25 = 52\%{\times}25 = \frac{52 {\times}25}{100} = 13\]

Este fich�rio cont�m 13 fichas etiquetadas com n�meros pares e 12 fichas com n�meros �mpares.

Exemplo 2: Num torneio de basquete, uma certa sele��o disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vit�rias obtida por essa sele��o nessa fase? Vamos indicar por \(X\%\) o n�mero que representa essa porcentagem. O problema pode ser expresso como \(X\% \text{ de } 4=3\), assim:

\[\frac{X}{100}{\times}4 = 3\]

Na primeira fase a porcentagem de vit�rias foi de \(75\%\), pois a equa��o anterior fornece: X=75.

Exemplo 3: Em um ind�stria h� 255 empregadas, que corresponde a \(42,5\%\) do total de empregados da empresa. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos empregados trabalham nessa ind�stria?

Vamos indicar por X o n�mero total de empregados da ind�stria. Esse problema pode ser representado por: \(42,5\%\) de \(X = 255\), assim

\[42,5\%{\times}X = 255\]

que pode ser escrito como

\[\frac{42,5}{100} X = 255\]

ou seja

\[42,5 X = 25500\]

logo

\[X = \frac{25500}{42,5} = \frac{255000}{425} = 600\]

Nessa ind�stria trabalham 600 pessoas, sendo 345 homens.

Exemplo 4: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de \(8\%\) sobre o pre�o marcado na etiqueta. Se paguei 690,00 pela mercadoria, qual � o pre�o original da mercadoria?

Seja X o pre�o original da mercadoria. Se obtive \(8\%\) de desconto sobre o pre�o da etiqueta, o pre�o pago representa

\[100\%-8\%=92\%\]

do pre�o original, isto �, \(92\%\) de \(X = 690\), logo

\[\frac{92}{100}{\times}X = 690\]

ou seja

\[\frac{92X}{100} = \frac{690}1\]

assim

\[X = \frac{69000}{92}=750\]

O pre�o original da mercadoria foi de 750,00.

10 Juros Simples

Juro � toda compensa��o em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que � emprestada em fun��o de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta (ou se pede emprestado) � chamado capital.
2. A taxa de porcentagem que se paga (ou se recebe) pelo aluguel do dinheiro � denominada taxa de juros.
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que est� submetida a taxa, e em caso contr�rio, deve-se realizar a convers�o para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compat�veis, isto �, estejam na mesma unidade.
4. O total pago no final do empr�stimo, que corresponde ao capital mais os juros, � denominado montante.

Para calcular os juros simples \(j\) de um capital \(C\), durante \(t\) per�odos com a taxa de \(i\%\) ao per�odo, basta usar a f�rmula:

\[j = \frac{C{\times}i{\times}t}{100} = \frac{C i t}{100}\]

Exemplo 1: Um aparelho custa � vista 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 presta��es mensais e iguais, mas o pre�o passa a ser de 652,00. Se a diferen�a entre o pre�o � prazo e o pre�o � vista � devida aos juros simples cobrados pela loja nesse per�odo, qual � a taxa mensal de juros simples cobrada por essa loja?

A diferen�a entre os pre�os dados pela loja �:

\[652,00-450,00 = 202,50\]

A quantia mensal que deve ser paga de juros � \(\frac{202,50}5=40,50\).

Se \(X\%\) � a taxa mensal de juros simples, ent�o esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:

\begin{align} X\% \text{ de } 450,00 & = 40,50 \\ \frac{X}{100}{\times}450,00 & = 40,50 \\ \frac{450X}{100} & = 40,50 \\ 450 X & = 4050 \\ X & = \frac{4050}{450} = 9 \end{align}

A taxa de juros simples � de \(9\%\) ao m�s.

Exemplo 2: Uma aplica��o feita por 2 meses � taxa de \(3\%\) ao m�s, rendeu juros simples de 1.920,00. Qual foi o capital aplicado?

O capital aplicado C rendeu mensalmente de juros foi de: \(\frac{1920,00}2=960,00\). Este problema pode ser expresso por:

\begin{align} 3\% \text{ de } C & = 960,00 \\ \frac3{100} C & = 960,00 \\ \frac{3C}{100} & = 960,00 \\ 3C & = 96000 \\ C & = \frac{96000}3 = 32000,00 \end{align}

O capital aplicado foi de 32.000,00.

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