O espaço amostral de um evento aleatório é composto por 42 elementos, e o evento por 21

O problema de Monty Hall é um problema que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970. O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas a um concorrente, sabendo que atrás de uma delas, escolhida ao acaso, está um carro e que as outras duas têm um bode. O protocolo da brincadeira é:

1. Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta ao acaso (que ainda não é aberta);
2. em seguida Monty Hall abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo que ela esconde um bode. Se são duas possibilidades, ele escolhe uma ao acaso;
3. em seguida, com duas portas fechadas apenas, e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o apresentador oferece ao concorrente a oportunidade de trocar de porta. O concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo se muda para a outra porta que ainda está fechada;
4. feita a escolha, o apresentador abre a porta escolhida e o concorrente leva o prêmio escondido pela porta.

O problema é determinar a estratégia (trocar ou não trocar no passo 4) que maximiza a chance de ganhar o carro. Assista ao show aqui. Teste o jogo aqui.

Um experimento aleatório é qualquer processo que nos fornece um resultado que não sabemos qual é até que o processo termine. Vários processos se encaixam nessa descrição vaga: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, o tempo de vida de uma lâmpada, e muitos outros. Um modelo probabilístico é um modelo matemático de um experimento aleatório, consiste de um espaço amostral, um espaço de eventos e uma probabilidade para cada evento.

— Espaço amostral —

O espaço amostral de um experimento, denotado por , é um conjunto que representa todos os resultados possíveis do experimento.

Exemplo 3 São experimentos com os respectivos espaços amostrais

1. lançamento de dado

2. lançamento de moeda

3. lançamento de moeda até sair Coroa

4. tempo de vida de uma lâmpada

5. a altura em metros de um brasileiro escolhido ao acaso

6. sortear um ponto no círculo de raio e centro na origem do plano cartesiano

Notemos que os resultados do experimento 4 estão superestimado no sentido de que, por exemplo, não é possível ocorrência do resultado . O que é importante no espaço amostral é que

Se o espaço amostral é finito ou infinito mas enumerável então ele é chamado de espaço amostral discreto. Caso contrário, os espaços infinitos mas não enumerável que consideraremos são chamados de espaço amostral contínuo. Por exemplo, são espaços discretos os espaços amostrais dos experimentos , e dados no exemplo 3 acima. Os experimentos e têm espaços contínuos.

— Probabilidade clássica: Probabilidade em Espaços Equiprováveis —

No modelo clássico com espaços amostrais finitos todos os pontos do espaço amostral são igualmente prováveis, isto é, para todo , a probabilidade de ocorrer é

e ocorre com probabilidade

Exemplo 5 (Lançamento de uma moeda) Uma moeda equilibrada é lançada, um modelo probabilístico clássico para o experimento é com .

Exemplo 6 (Lançamento de um dado) Um dado equilibrado é lançado, um modelo probabilístico clássico para o experimento é com .

Notemos que , que segue da equação (13) que se ou ocorre com probabilidade

de modo que se os subconjuntos disjuntos então

Também decorre de (13) que

portanto

e .

Exemplo 7 Com que probabilidade o lançamento de um dado resulta num múltiplo de 2 ou de 3? Os múltiplos de 2 definem cuja probabilidade é 1/2, os múltiplos de 3 definem cuja probabilidade é 1/3, portanto, por (14), um múltiplo de 2 ou de 3 ocorre com probabilidade ;

Notemos que a probabilidade de não depende da sua natureza, depende apenas da sua cardinalidade . O problema de determinar a probabilidade resume-se num problema de contagem, queremos contar quantos elementos são favoráveis à ocorrência de .

Exemplo 8 Com que probabilidade o 6 ocorre pelo menos uma vez em quatro lançamentos de um dado?

O número de resultados possíveis em 4 lançamentos é e o número de resultados possíveis onde não ocorre o 6 é , portanto a probabilidade de não ocorrer 6 é .

Usando a equação (17) a probabilidade de sair pelo menos um seis é . que é aproximadamente .

Exemplo 9 Com que probabilidade um par de 6 ocorre pelo menos uma vez em 24 lançamentos de dois dados? Rapidamente, a probabilidade de sair par de 6 pelo menos uma vez em 24 lançamentos é .

Exercício 20 Três bolas são retiradas aleatoriamente de uma caixa com 6 bolas brancas e 5 bolas pretas. Com que probabilidade a escolha resulta em 1 branca e 2 pretas?

Solução: No total são 13 bolas das quais escolhemos 3. O número de possíveis resultados é .

São modos diferentes de escolher uma bola branca e modos diferentes de escolher uma bola preta, portanto, o evento “6 bolas brancas e 5 bolas pretas” ocorre de modos diferentes, pelo princípio multiplicativo. Portanto a probabilidade é

Exercício 21 Cinco pessoas são escolhidas aleatoriamente dentre 6 homens e 9 mulheres. Com que probabilidade tal comitê é composto por 3 homens e 2 mulheres?

Solução: Seguindo a mesma linha de raciocínio do exemplo anterior, a probabilidade é Explique os detalhadamente como se chega a esse resultado.

Exercício 22 Cinco pessoas são escolhidas aleatoriamente dentre 6 homens e 9 mulheres. Com que probabilidade a maioria é homem?

Exercício 23 Numa mão de Bridge as 52 cartas de um baralho são divididas aleatoriamente entre 4 jogadores. Com que probabilidade um jogador recebe todas as cartas de um mesmo naipe?

Solução: O número de maneiras distintas de distribuir as cartas é o número de maneiras de distribuir 52 bolas distinguíveis em 4 caixas disntinguíves de modo que cada caixa receba 13 bolas. Vimos (exercício 14 da aula de Combinatória) que isso pode ser feito de maneiras distintas.

Agora, fixamos um naipe, digamos paus. Denotamos por o evento “o primeiro jogador receba todas as cartas de paus”. As 13 cartas de paus são entregues ao primeiro jogador e as cartas restantes são distribuídas aleatoriamente entre os outros 3 jogadores.
O número de maneiras que o evento ocorre é . Portanto, a probabilidade do primeiro jogador receber todas as cartas de paus é

e, se denotam os eventos “o segundo jogador receba todas as cartas de paus”, “o terceiro jogador receba todas as cartas de paus” e “o quarto jogador receba todas as cartas de paus”, então a probabilidade que algum jogador recebe todas as cartas de paus é a probabilidade da união de quatro subconjuntos disjuntos, cada um com a probabilidade dada acima, ou seja,
que é aproximadamente . Agora, qual a probabilidade se considerarmos qualquer um dos quatro naipes?

Exemplo 10 Numa mão de Bridge as 52 cartas de um baralho são divididas aleatoriamente entre 4 jogadores. Com que probabilidade cada jogador recebe um ás?

Solução: Os ases podem ser distribuídos de modos distintos e para cada um desses modos as 42 cartas restantes são distribuídas pelos jogadores de maneiras distintas. Portanto a probabilidade é

que vale, aproximadamente, .

Num espaço amostral finito há uma única maneira de definir probabilidade com todos os elementos do espaço amostral igualmente prováveis. Esta probabilidade define matematicamente a expressão intuitiva “aleatório” (como em escolha aleatória de uma carta de baralho, lançamento aleatório de dado, escolha aleatória de um indivíduo de uma população). Uma escolha aleatória é um resultado de um experimento idealizado com respostas equiprováveis.

Exemplo Em cada uma de cinco urnas de três tipos diferentes há seis bolas. Duas urnas são do tipo , nelas temos três bolas brancas e três bolas azuis; duas urnas são do tipo e nelas temos duas bolas brancas e quatro azuis; uma única urna é do tipo e todas as bolas são brancas. Uma urna é escolhida aleatoriamente e dessa urna uma bola é escolhida aleatoriamente. Representamos os resultados do experimento por um par de modo que o espaço amostral do experimento é

e a probabilidade definimos segundo o diagrama que representa cada etapa do experimento, em cada nível do diagrama, e com respectivas probabilidades nas ramificações correspondentes aos resultados de cada etapa, a probabilidade final de um ponto amostral é o produto das probabilidades no caminho até ele, por exemplo, ,

com isso temos um modelo probabilístico .

O evento definido por “a bola sorteada é branca” é

cuja probabilidade é . Observemos que essa probabilidade não depende do número de bolas brancas na urna , portanto, a probabilidade de não é a quantidade de bolas brancas dividido pelo número total de bolas.

Exemplo (Monty-Hall) No caso do Monty Hall, consideremos o experimento que consiste das seguintes três etapas

1. Monty, o apresentador, esconde o carro atrás de uma das portas, dentre 1,2 e 3 escolhida com probabilidade ;
2. com probabilidade , uma porta dentre 1,2 e 3 é escolhida pelo jogador;
3. Monty revela uma porta, dentre as que o jogador não escolheu aquela que não esconde o carro. Se houver duas possíveis portas para abrir então Monty escolhe uma delas com probabilidae .

O espaço amostral é

em que cada terna significa (porta do carro,escolha inicial,porta revelada). Definimos uma medida de probabilidade de acordo com o diagrama a seguir

Os eventos de interesse são dado por “o jogador vence trocando de porta” e dado por “o carro está na porta escolhida inicialmente”

O jogador ganha sem trocar de porta se ocorre

e ganha quando troca de porta se ocorre

— Probabilidade geométrica — o modelo clássico em espaços contínuos —

No caso de espaço amostral contínuo temos um pouco mais de trabalho. O principal objetivo dessa seção é chamar a atenção para alguns problemas de modelagem probabilística quando tratamos o caso contínuo. No caso finito a probabilidade é proporcional a cardinalidade do subconjunto, numa região do plano a probabilidade é proporcional a área do subconjunto.

Exemplo 11 Um dardo acerta aleatoriamente um alvo composto de círculos concêntricos de raios 1/4, 1, 2 e 3. Qual a probabilidade de acerto “na mosca”?

Consideremos o centro desses círculos no ponto do plano cartesiano

e a probabilidade de atingir qualquer ponto de uma região é proporcional a área de ,

Por exemplo

A probabilidade do dardo atingir a região azul é , a região verde , a região amarela aproximadamente e a probabilidade do dado cair na região vermelha é que é, aproximadamente, .

Podemos definir probabilidade num intervalo da reta com sendo proporcional ao seu comprimento. Por exemplo, um ponto escolhido aleatoriamente numa corda de 1 metro está a 10 centímetros de um de seus extremos com probabilidade .

Exemplo 12 Um palito é quebrado em dois pontos escolhidos aleatoriamente, com que probabilidade as três partes do palito formam um triangulo? Sem perda de generalidade, identificamos o palito com o intervalo ; o espaço amostral é

Suponhamos . Os três pedaços formam um triângulo se qualquer um deles é mais curto que o resultado da soma dos comprimentos dos outros dois (segue da desigualdade triangular). Desse modo, nenhuma das partes é maior é que , portanto,

Analogamente, no caso

Cada um desses casos define um triângulo em de área , a região azul abaixo é que interessa

portanto o evento “ define um triângulo” tem probabilidade .

Quanto à probabilidade geométrica, seu início se deu através de Georges-Louis Leclerc, conhecido como Conde de Buffon (1707–1788), com o conhecido problema das Agulhas de Buffon.

Exemplo 13 (O problema das agulhas de Buffon) Uma agulha cai aleatoriamente num piso com linhas paralelas que distam , a agulha tem comprimento , com . Qual é a probabilidade de que a agulha irá cruzar uma linha?

Sejam a distância do centro da agulha até a divisória entre tábuas mais próxima, o ângulo com que a agulha cai em relação às linhas paralelas. O espaço amostral é dado pelos pares e os subconjuntos de interesse incluem o produto de intervalos e ; a probabilidade de é

A agulha cruza uma linha paralela se e a probabilidade de é da área da região demarcada no gráfico abaixo, isto é,

Veja aqui uma simulação usada para determinar o valor aproximado de .

Notemos que como no caso finito vale a equação (14) ; vale a equação (15); vale (16) , vale a equação (17) e vale . Claramente, para todo .

Um problema dessa abordagem, que é bastante intuitiva, é que não é possível definir área para todo subconjunto (limitado) do plano, portanto, alguns subconjuntos não tem uma probabilidade associada. (Uma referência para esse fato é B.R. Gelbaum, J.M.H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, capítulo 11) Veja aqui o caso análogo de intervalos na reta.

Outro problema é que, ao contrário do caso finito, uma escolha aleatória não define unicamente o modelo probabilístico, como exemplifica o fato conhecido como Paradoxo de Bertrand, no qual três interpretações diferentes para escolha aleatória leva a três resultados distintos.

O fato importante para o qual chamamos a atenção de que pode ocorrer que nem todo subconjunto admita probabilidade só ocorre quando o espaço amostral é infinito e não-enumerável. Há casos em que não é possível definir para todo quando é infinito e não-enumerável (lei aqui se está curioso, com a advertência de que é, tecnicamente, bastante difícil).

A solução adotada é consideramos uma família de subconjuntos de para os quais podemos atribuir uma probabilidade, chamados eventos aleatórios.

— Eventos —

Um evento aleatório, associado a um experimento aleatório, é um subconjunto de sobre o qual podemos dizer, quando da realização do experimento, se ocorre ou não ocorre; em especial

O espaço de eventos é uma família de eventos de à qual os eventos certo e impossível pertencem, o complemento de todo evento do espaço també, pertence ao espaço e a união de eventos do espaço também pertence ao espaço de eventos. Falaremos mais sobre o espaço de eventos adiante.

Na realização de um experimento o evento ocorre se o resultado é um elemento (ou subconjunto) de , por conseguinte, o evento complementar de é o evento em que não ocorre.

Exemplo 4 No lançamento de dados, , são eventos

também são eventos

• , i.e., é o evento “ocorre um número par e ocorre um número ímpar”, que é o evento impossível;
• , i.e., é o evento “ocorre par ou ocorre ímpar”, que é o evento certo;
• , i.e., é o evento “ocorre um número e ocorre ”;
• ,i.e., é o evento “ocorre número e ocorre número par”.

Exercício 19 Sejam , e eventos. Determine expressões usando operações sobre conjuntos para

1. somente ocorre;
2. e mas não ocorrem;
3. os três eventos ocorrem;
4. pelo menos um evento ocorre;
5. pelo menos dois eventos ocorrem;
6. exatamente um evento ocorre;
7. exatamente dois eventos ocorrem;
8. nenhum evento ocorre;
9. não mais que dois eventos ocorrem.

e são eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, . Uma sequência de eventos é dita de eventos mutuamente exclusivos se os eventos são mutuamente exclusivos quando tomados dois-a-dois.

No caso geral, consideramos uma família de subconjuntos de para os quais podemos atribuir uma probabilidade, chamados eventos aleatórios, ou eventos simplesmente, que deve satisfazer

2. se então
3. se estão em então

na Matemática uma família de subconjuntos como acima é dita -álgebra de subconjuntos de . Notemos que se e são eventos aleatórios então também o são: , e .

A probabilidade propriamente dita, de acordo com a definição moderna, é uma função definida num espaço de eventos (uma -álgebra) e que satisfaz certos axiomas.

Quais são os elementos do espaço amostral?

Qual é o espaço amostral de 1 a 20?

O que é um espaço amostral de um experimento aleatório?

O que é um espaço amostral e evento?