Por quê os conjuntos dos números é um corpo

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Referências
Como provar que um conjunto é um corpo?
O que é um corpo na matemática?
Porque Z não é corpo?
O que é um conjunto dos números?

Pergunta enviada por Zineide Pereira, São Paulo, SP

O conjunto dos números reais (R) é formado pela união (U) de outros quatro conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I). Pode-se representá-lo, portanto, com a expressão R = N U Z U Q U I. Não estranhe, porém, se encontrar por aí uma representação mais simples: R = Q U I. Para entender por que as duas querem dizer a mesma coisa, é preciso conhecer cada um dos conjuntos. Os números naturais são 0, 1, 2, 3, 4, 5... E assim por diante. Os inteiros incluem os números negativos (...-2, -1, 0, 1, 2...). Já os racionais são aqueles que podem ser expressos na forma A/B, em que A e B são números inteiros e B é diferente de 0 (1/2, 3/4, - 5/4, 0,25 etc.). Por fim, os irracionais são os que não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros ( 2, - 5, p ou 3,141592..., entre muitos outros). Sendo assim, perceba que: 1) Todo número natural é inteiro; 2) Todo número inteiro também é racional, embora não seja representado sob a forma de fração. Isso significa que N está contido em Z e que Z está contido em Q. Consequentemente, R = Q U I.

Consultoria Samuel Hazzan, matemático e professor da Fundação Getúlio Vargas (FGV).

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Referência : Monteiro, A., (2014) Corpo, Rev. Ciência Elem., V2(4):261
Autor: António Monteiro
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.261]

Seja \(K\) um conjunto qualquer, no qual estejam definidas duas operações binárias, denominadas “adição” e “multiplicação” e representadas pelos símbolos \(+\) e \(\times\), respetivamente (sendo que, como é habitual, uma designação do tipo \(a\times b\) é muitas vezes escrita abreviadamente apenas como \(ab\)). Diz-se que \(K\), com essas operações, constitui um corpo quando se verificam as seguintes propriedades:

1) Propriedades da adição

a) Propriedade comutativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \in K:\quad \alpha + \beta = \beta + \alpha\) b) Propriedade associativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)\) c) Existência de elemento neutro: \(\exists 0 \in K:\quad 0 + \alpha = \alpha \, \text{,} \forall \alpha \in K \) d) Existência de simétricos: \(\forall \alpha \in K \, \text{,} \exists -\alpha \in K:\quad \alpha +(-\alpha) = 0\)

2) Propriedades da multiplicação

a) Propriedade comutativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \in K:\quad \alpha \beta = \beta \alpha \) b) Propriedade associativa: \(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha \beta)\gamma = \alpha(\beta \gamma) \) c) Existência de elemento neutro: \(\exists 1 \in K\backslash \{0\}:\quad 1\alpha = \alpha \, \text{,} \forall \alpha \in K \) d) Existência de inversos:\(\forall \alpha \in K\backslash \{0\} \, \text{,} \exists \displaystyle\frac{1}{\alpha} \in K: \quad \displaystyle\alpha \frac{1}{\alpha} = 1\)

3) Propriedade (distributiva) de ligação

\(\forall \alpha \, \text{,} \beta \, \text{,} \gamma \in K:\quad (\alpha + \beta)\gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma\)

Exemplos

Entre os exemplos mais usuais de corpos contam-se: o conjunto \(\mathbb{R}\), dos números reais, com as operações habituais de adição e multiplicação; o conjunto \(\mathbb{Q}\), dos números racionais, com as operações habituais; o conjunto \(\mathbb{C}\), dos números complexos, com as operações habituais. Quando se diz apenas “o corpo dos números reais” (resp.: números racionais, números complexos), subentende-se que se consideram as operações usuais.

Mas é possível definir muitos outros corpos. Assim, por exemplo, podemos construir um corpo no conjunto \(K = \{0,1,2\}\), definindo as operações de adição e multiplicação através das seguintes tabelas:

A propriedade 2)c) da definição acima exige que um corpo tenha pelo menos dois elementos distintos. Mas mesmo com um conjunto apenas com dois elementos é possível construir um corpo: sendo \(K = \{0,1\}\), definimos as operações através das seguintes tabelas:

Referências

1. Aitken, A. C., Determinants and Matrices, Oliver & Boyd, Edinburgh and London, 9ª edição, 1967.

2. Blyth, T. S. & Robertson, E. F., Basic Linear Algebra, Springer, London, 2000.

3. Dias Agudo, F. R., Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Escolar Editora, Lisboa, 1983/86.

4. Farleigh, J. B. & Beauregard, A., Linear Algebra, Addison-Wesley Publ. Co., New York, 1990.

5. Lang, S., Linear Algebra, Addison-Wesley Publ. Co., New York, 2ª edição, 1970.

6. Laudesman, E. M. & Hestenes, M. R., Linear Algebra for Mathematics, Sciences and Engineering, Prentice-Hall International, New Jersey, 1992.

7. Lay, D. C., Linear Algebra and its applications, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1994.

8. Monteiro, A., Álgebra Linear e Geometria Analítica, Editora McGraw-Hill, Lisboa, 2001.

9. Monteiro, A. & Matos, I. T., Álgebra – um primeiro curso, Escolar Editora, Lisboa, 1995.

10 Robinson, D. J. S., A course in Linear Algebra, with applications, World Scientific, Singapore, 1991.

Criada em 26 de Junho de 2012
Revista em 31 de Dezembro de 2014
Aceite pelo editor em 31 de Dezembro de 2014

Como provar que um conjunto é um corpo?

Um corpo K é um conjunto = ∅ com as operaç˜oes + e · que satisfazem para x, y, z ∈ K: S1 x + (y + z)=(x + y) + z (associatividade de +). S2 Existe um elemento em K, denotado por 0, tal que x+0 = 0+x = x (elemento neutro de +).

O que é um corpo na matemática?

Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Porque Z não é corpo?

Exemplo: A estrutura (Z,+,.), em que Z é o conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação, não representa um corpo.

O que é um conjunto dos números?

Em resumo, os conjuntos numéricos são a união de números que tem as mesmas características. Um conjunto, em conceito, representa a união de elementos que têm atributos semelhantes. Então, dentro da matemática, os conjuntos numéricos reúnem números de características parecidas.