Quais os números não podem ser escritos em forma de fração?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Fra��es e n�meros decimais

Liliane E.Banzatto
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 O papel das fra��es e n�meros Decimais
• 2 Elementos hist�ricos sobre os n�meros Decimais
• 3 Fra��es e N�meros Decimais
• 4 Leitura de n�meros decimais
• 5 Transformando fra��es decimais em n�meros decimais
• 6 Transformando n�meros decimais em fra��es decimais
• 7 Propriedades dos n�meros decimais
  • 7.1 Anexar zeros ap�s o �ltimo algarismo
  • 7.2 Multiplicando por uma pot�ncia de 10
  • 7.3 Dividindo por uma pot�ncia de 10
• 8 Opera��es com n�meros decimais
  • 8.1 Adi��o e Subtra��o
  • 8.2 Multiplicando n�meros decimais
  • 8.3 Dividindo n�meros decimais
  • 8.4 Dividindo um n�mero por outro maior
  • 8.5 Divis�o de 10 por um n�mero natural
• 9 Compara��o de n�meros decimais
  • 9.1 N�meros com partes inteiras diferentes
  • 9.2 N�meros com partes inteiras iguais
• 10 Porcentagem

1 O papel das fra��es e n�meros Decimais

Esta p�gina trata do estudo de fra��es e n�meros decimais, bem como seus fatos hist�ricos, propriedades, opera��es e aplica��es. As fra��es decimais e n�meros decimais possuem not�ria import�ncia cotidiana. Tais conceitos s�o usados em muitas situa��es pr�ticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar \(1/2\) kg de caf� por 2,80 e pagando a compra com uma nota de 5,00, obt�m-se 2,20 de troco. Neste exemplo, observamos o uso de fra��es e n�meros decimais. Atrav�s deste tipo de compra, usamos o conceito de fra��o decimal juntamente com o sistema de pesagem (\(1/2\) kg, n�meros decimais juntamente com o sistema monet�rio. Muitas outras situa��es utilizam de fra��es e n�meros decimais.

Nota: Para dividir um n�mero \(X\) por outro n�mero n�o nulo \(Y\), usamos frequentemente a nota��o \(X/Y\), por ser mais simples.

2 Elementos hist�ricos sobre os n�meros Decimais

Hoje em dia � comum o uso de fra��es. Houve tempo, por�m que as mesmas n�o eram conhecidas. O homem introduziu o uso de fra��es quando come�ou a medir e representar medidas.

Os eg�pcios usavam apenas fra��es que possuiam o n�mero 1 dividido por um n�mero inteiro, como por exemplo: \(1/2\), \(1/3\), \(1/4\), \(1/5\),etc Tais fra��es eram denominadas fra��es eg�pcias e ainda hoje t�m muitas aplica��es pr�ticas das mesmas. Outras fra��es foram descobertas pelos mesmos eg�pcios as quais eram expressas em termos de fra��es eg�pcias, como: \(5/6=1/2+1/3\).

Em geral, os babil�nios usavam fra��es com denominador \(60\). Talvez o uso do n�mero \(60\) pelos babil�nios se deve ao fato que � um n�mero menor do que \(100\) com a maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fra��es com denominador \(12\). Provavelmente os romanos usavam o n�mero \(12\) por ser um n�mero que embora pequeno, possui um n�mero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas nota��es foram usadas para representar fra��es. A atual maneira de representa��o data do s�culo XVI.

Os n�meros decimais t�m origem nas fra��es decimais. Por exemplo, a fra��o \(1/2\) equivale � fra��o \(5/10\) que equivale ao n�mero decimal \(0,5\).

Stevin (engenheiro e matem�tico holand�s), em 1585 ensinou um m�todo para efetuar todas as opera��es por meio de inteiros, sem o uso de fra��es, no qual escrevia os n�meros naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posi��o ocupada pela v�rgula no numeral decimal. A nota��o abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matem�tico escoc�s.

\[\dfrac{1437}{1000}=1,\stackrel{1}{4}\stackrel{2}{3}\stackrel{3}{7}\]

A representa��o dos algarismos decimais, provenientes de fra��es decimais, recebia um tra�o no numerador indicando o n�mero de zeros existentes no denominador.

\[\frac{437}{100} = 437/100 = 4\underline{37}\]

Este m�todo foi aprimorado e em \(1617\) Napier prop�s o uso de um ponto ou de uma v�rgula para separar a parte inteira (PI) da parte decimal (PD).

\[\frac{437}{100} = 437/100 = 4,\underline{37}\]

e mais tarde para

\[\frac{437}{100} = 437/100 = 4,37\]

Por muito tempo os n�meros decimais foram usados apenas para c�lculos astron�micos em virtude da precis�o proporcionada. Os n�meros decimais simplificaram muito os c�lculos e passaram a ser usados com mais �nfase ap�s a cria��o do sistema m�trico decimal.

3 Fra��es e N�meros Decimais

Dentre todas as fra��es, existe um tipo especial cujo denominador � uma pot�ncia de \(10\). Este tipo � denominado fra��o decimal.

Exemplos de fra��es decimais, s�o:

\[\frac{1}{10},\quad \frac{3}{100},\quad \frac{23}{100},\quad \frac{1}{1000},\quad \frac{1}{10^3}\]

Toda fra��o decimal pode ser representada por um n�mero decimal, isto �, um n�mero que tem uma parte inteira (PI) e uma parte decimal (PD), separados por uma v�rgula.

A fra��o \(127/100=\frac{127}{100}\) pode ser escrita na forma mais simples, como:

\[127/100 = 1,27\]

onde \(1\) representa a parte inteira e \(27\) representa a parte decimal. Esta nota��o subentende que a fra��o \(127/100\) pode ser decomposta na seguinte forma:

\[\begin{align*} \frac{127}{100} & = \frac{100+27}{100}\\ & = \frac{100}{100}+\frac{27}{100}\\ & = 1 + 0,27 = 1,27 \end{align*}\]

A fra��o \(\frac{8}{10}=8/10=0,8\), onde 0 � a parte inteira e 8 � a parte decimal. Aqui notamos que este n�mero decimal � menor do que \(1\) pois o numerador � menor do que o denominador da fra��o.

4 Leitura de n�meros decimais

Para ler n�meros decimais, primeiro devemos observar a posi��o da v�rgula que separa a parte inteira (PI) da parte decimal (PD). Um n�mero decimal pode ser posto na forma gen�rica:

Centenas, Dezenas, Unidades, D�cimos, Cent�simos, Mil�simos

Por exemplo, o n�mero 130,824, pode ser escrito na forma:

1 Centena, 3 dezenas, 0 unidades, 8 d�cimos, 2 cent�simos e 4 mil�simos

Exemplos:

1. 0,6 Seis d�cimos;
2. 0,37 Trinta e sete cent�simos;
3. 0,189 Cento e oitenta e nove mil�simos;
4. 3,7 Tr�s inteiros e sete d�cimos;
5. 13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco cent�simos;
6. 130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro mil�simos.

5 Transformando fra��es decimais em n�meros decimais

Podemos escrever a fra��o decimal \(1/10\) como: \(0,1\). Esta fra��o � lida como: um d�cimo. A v�rgula separa a parte inteira(PI) da parte fracion�ria (PF):

\[\begin{matrix} \hline \text{PI} & \text{v�rgula} & \text{PF} \\ \hline 0 & , & 1 \\ \hline \end{matrix}\]

Uma outra situa��o mostra que a fra��o decimal \(231/100\) pode ser escrita como \(2,31\), que se l� da seguinte maneira: dois inteiros e trinta e um cent�simos. A v�rgula separa a parte inteira da parte fracion�ria:

\[\begin{matrix} \hline \text{PI} & \text{v�rgula} & \text{PF} \\ \hline 2 & , & 31 \\ \hline \end{matrix}\]

Em geral, transforma-se uma fra��o decimal em um n�mero decimal fazendo com que o numerador da fra��o tenha o mesmo n�mero de casas decimais que o n�mero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divis�o do numerador pelo denominador. Por exemplo:

1. \(130/100 = 1,30\)
2. \(987/1000 = 0,987\)
3. \(5/1000 = 0,005\)

6 Transformando n�meros decimais em fra��es decimais

Tamb�m � poss�vel transformar um n�mero decimal em uma fra��o decimal. Para isto, toma-se como numerador o n�mero decimal sem a v�rgula e como denominador a unidade (\(1\)) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do n�mero dado. Como exemplo, temos:

1. \(0,5 = 5/10\)
2. \(0,05 = 5/100\)
3. \(2,41 = 241/100\)
4. \(7,345 = 7345/1000\)

7 Propriedades dos n�meros decimais

7.1 Anexar zeros ap�s o �ltimo algarismo

Um n�mero decimal n�o se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros � direita do �ltimo algarismo n�o nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

1. 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
2. 1,0002 = 1,00020 = 1,000200
3. 3,1415926535 = 3,141592653500000000

7.2 Multiplicando por uma pot�ncia de 10

Para multiplicar um n�mero decimal por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a v�rgula para a direita 1, 2, ou 3 casas decimais. Por exemplo:

1. 7,4 x 10 = 74
2. 7,4 x 100 = 740
3. 7,4 x 1000 = 7400

7.3 Dividindo por uma pot�ncia de 10

Para dividir um n�mero decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a v�rgula para a esquerda 1, 2, 3, etc casas decimais. Por exemplo:

1. \(247,5 � 10 = 24,75\)
2. \(247,5 � 100 = 2,475\)
3. \(247,5 � 1000 = 0,2475\)

8 Opera��es com n�meros decimais

8.1 Adi��o e Subtra��o

Para somar ou subtrair n�meros decimais, devemos seguir alguns passos:

Passo1: Igualar a quantidade de casas decimais dos n�meros decimais a serem somados ou subtra�dos acrescentando zeros � direita de suas partes decimais. Por exemplo:

1. 2,4+1,723 = 2,400+1,723
2. 2,4-1,723 = 2,400-1,723

Passo2: Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

1. o algarismo das unidades de um n�mero deve ficar sob o algarismo das unidades do outro n�mero,
2. o algarismo das dezenas de um n�mero deve ficar sob o algarismo das dezenas do outro n�mero,
3. o algarismo das centenas deve ficar sob o algarismo das centenas do outro n�mero, etc),
4. a v�rgula deve ficar sob a outra v�rgula, e
5. a parte decimal (d�cimos, cent�simos, mil�simos, etc) de forma que d�cimos sob d�cimos, cent�simos sob cent�simos, mil�simos sob mil�simos, etc.

Duas situa��es: Uma com 2,4+1,713:

\[\begin{array}{cl} \hline & 2,400 \\ + & 1,713 \\ \hline & 4,113 \\ \hline \end{array}\]

e outra com 2,4-1,723:

\[\begin{array}{cl} \hline & 2,400 \\ - & 1,713 \\ \hline & 0,687 \\ \hline \end{array}\]

8.2 Multiplicando n�meros decimais

Multiplicamos dois n�meros decimais transformando cada um deles em fra��es decimais e realizando a multiplica��o com numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

\[\begin{align*} 2,25{\times}3,5 & = \frac{225}{100} {\times} \frac{35}{10} \\ & = \frac{225{\times}35}{100{\times}10} \\ & = \frac{7875}{1000} = 7,875 \end{align*}\]

Podemos tamb�m multiplicar os n�meros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas com as casas do multiplicador. Por exemplo:

\[\begin{array}{rcll} \hline 225 & 2,25 & \text{2 casas decimais} & \text{multiplicando} \\ 35 & 3,5 & \text{1 casa decimal} & \text{multiplicador} \\ \hline 7875 & 7,875 & \text{3 casas decimal} & \text{produto} \\ \hline \end{array}\]

8.3 Dividindo n�meros decimais

Como visto antes, se multiplicamos tanto o dividendo como o divisor de uma fra��o por 10, 100 ou 1000, o quociente n�o se altera. Usando essas informa��es podemos efetuar divis�es entre n�meros decimais como se fossem divis�es de n�meros inteiros.

Por exemplo, para realizar a divis�o: \(3,6�0,4\), notamos que tanto o dividendo como o divisor possuem apenas uma casa decimal, assim, multiplicando o numerador e o denominador da fra��o por 10, obtemos n�meros inteiros no numerador e no denominador da fra��o. Na pr�tica, dizemos que estamos cortando a v�rgula.

\[3,6�0,4=\frac{3,6}{0,4}=\frac{3,6{\times}10}{0,4{\times}10}=\frac{36}{4}=9\]

A divis�o \(0,35�7\) pode ser escrita na forma:

\[\frac{0,35}{7} =\frac{0,35{\times}100}{7{\times}100} = \frac{35}{700} = \frac{35�7}{700�7} = \frac{5}{100} = 0,05\]

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor � um inteiro, logo multiplicamos ambos por \(100\) para que o quociente n�o se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor ser�o inteiros.

Exerc�cio: Uma pessoa de bom cora��o doou \(35\) medidas de terra para \(700\) pessoas. Sabendo-se que cada medida corresponde a \(24.200\) metros quadrados, qual ser� a �rea que cada um receber�?

8.4 Dividindo um n�mero por outro maior

Vamos considerar a divis�o de \(35\div 700\). Transformamos o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, etc, para obter 350 d�cimos, 3500 cent�simos, etc at� que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divis�o se torne poss�vel. Neste caso, devemos multiplicar por 100.

Assim a divis�o de 35 por 700 � transformada numa divis�o de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma v�rgula ap�s o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente fica dividido por 100.

\[\begin{array}{rr|ll} \hline \text{dividendo} & 3500 & 700 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & 0,05 & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\]

Realizamos a divis�o de 3500 por 700 para obter 5, lembramos que foram anexados 2 zeros e conclu�mos que agora devemos dividir por 100, para obter 0,35/7=35/700=0,05.

8.5 Divis�o de 10 por um n�mero natural

A divis�o \(10\div 16\) n�o resulta em um inteiro no quociente. Como \(10<16\), o quociente da divis�o n�o � um inteiro, assim para dividir o n�mero 10 por 16, montamos uma tabela semelhante � divis�o de dois n�meros inteiros.

\[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 10 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & {} & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\]

1. Multiplicando o dividendo por 10, o quociente � dividido por 10. Isto justifica a presen�a do algarismo 0 seguido de uma v�rgula no quociente.

   \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 100 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & 0, & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\]

2. Realizamos a divis�o de \(100\) por \(16\). O resultado � 6 e o resto � 4.

   \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 100 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & -96 & 0,6 & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\]

3. O resto 4 corresponde a 4 d�cimos = 40 cent�simos, raz�o pela qual colocamos outro zero (0) � direita do n�mero 4.

   \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 100 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & -96 & 0,6 & \text{quociente} \\ \hline \text{resto} & 40 & {} & {} \\ \hline \end{array}\]

4. Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto 8.

   \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 100 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & -96 & 0,62 & \text{quociente} \\ \hline \text{resto} & 40 & {} & {} \\ \hline \text{resto} & -32 & {} & {} \\ \hline \text{resto} & 8 & {} & {} \\ \hline \end{array}\]

5. O resto 8 corresponde a 8 cent�simos = 80 mil�simos, raz�o pela qual inserimos um 0 � direita do n�mero 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

   \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 100 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & -96 & 0,625 & \text{quociente} \\ \hline \text{resto} & 40 & {} & {} \\ \hline \text{resto} & -32 & {} & {} \\ \hline \text{resto} & 80 & {} & {} \\ \hline \text{resto} & -80 & {} & {} \\ \hline \text{resto} & 0 & {} & {} \\ \hline \end{array}\]

   Assim, a divis�o 10/16 � igual a 0,625. O quociente � um n�mero decimal exato, embora n�o seja um inteiro.

9 Compara��o de n�meros decimais

A compara��o de n�meros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses n�meros. Para isso, fazemos uso dos sinais: \(>\) (maior), \(<\) (menor) ou \(=\) (igual).

9.1 N�meros com partes inteiras diferentes

O maior n�mero � aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:

1. \(4,1>2,76\), pois \(4\) � maior do que \(2\).
2. \(3,7<5,4\), pois \(3\) � menor do que \(5\).

9.2 N�meros com partes inteiras iguais

Igualamos o n�mero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necess�rios. Ap�s esta opera��o, temos dois n�meros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual � o maior deles. Alguns exemplos, s�o:

1. \(12,4>12,31\) se escreve \(12,40>12,31\) pois \(40>31\).
2. \(8,032<8,47\) se escreve \(8,032<8,470\) pois \(032<470\).
3. \(4,3=4,3\) pois \(4=4\) e \(3=3\).

10 Porcentagem

Ao abrir um jornal, ligar uma televis�o, olhar vitrines, � comum depararmos com express�es do tipo:

1. A infla��o do m�s foi de 4% (l�-se quatro por cento)
2. Desconto de 10% (dez por cento) nas compras � vista.
3. O �ndice de reajuste salarial de mar�o � de 0,6% (seis d�cimos por cento)

A porcentagem � um modo de comparar n�meros usando a propor��o direta, onde uma das raz�es da propor��o � uma fra��o cujo denominador � \(100\). Toda raz�o \(a/b\) na qual \(b=100\) chama-se porcentagem.

Exemplos:

1. Se h� \(30\%\) de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o n�mero de meninas com o n�mero total de alunos da sala, usando para isto uma fra��o de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos ent�o 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento � o mesmo que \(\frac{30}{100} = 30\%\).
2. Calcular \(40\%\) de \(\$300,00\) � o mesmo que determinar um valor \(X\) que represente em \(\$300,00\) a mesma propor��o que \(\$40,00\) em \(\$100,00\). Isto pode ser resumido na propor��o: \(\frac{40}{100} = \frac{X}{300}\). Como o produto dos meios � igual ao produto dos extremos, realizamos a multiplica��o cruzada para obter: \(100X=12000\), assim \(X=120\). Logo, \(40\%\) de \(\$300,00\) � igual a \(\$120,00\).
3. Li \(45\%\) de um livro que tem \(200\) p�ginas. Quantas p�ginas ainda faltam para ler? Basta tomar \(\frac{45}{100} = \frac{X}{200}\) o que implica que \(100X=9000\), logo \(X=90\). Como eu j� li \(90\) p�ginas, ainda devo ler \(200-90=110\) p�ginas.

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