Qual a probabilidade de ocorrer duas caras em um lançamento de duas moedas?

Hmmm... Temos um evento que já aconteceu (o lançamento de uma moeda e seu resultado cara), e queremos “voltar no tempo” e descobrir se essa moeda lançada foi a moeda que tinha duas caras. Isso tá com cara de que mesmo? Teorema de Bayes!

Lembrando a fórmula dele:

P A B = P ( B | A ) × P ( A ) P ( B )

Mas antes de aplicar valor nessa fórmula, bora organizar a notação dos eventos que vamos usar nessa resolução:

M 2 K :   M o e d a   l a n ç a d a   s e r   a   c o m   2   c a r a s

M J : M o e d a   l a n ç a d a   s e r   a   j u s t a

M V : M o e d a   l a n ç a d a   s e r   a   v i c i a d a

K :   S a i r   u m a   c a r a   n o   l a n ç a m e n t o

Então o que a questão tá pedindo pra gente é:

P ( M 2 K | K )

A probabilidade de a moeda lançada ter sido a com duas caras, sabendo que o resultado do lançamento foi cara! Aplicando isso aí na fórmula do Teorema de Bayes:

P M 2 K K = P ( K | M 2 K ) × P ( M 2 K ) P ( K )

Vamos precisar descobrir quem são essas probabilidades aí na fração pra descobrir nossa condicional de interesse então. Vem comigo!

Começando por:

P ( K | M 2 K )

Que nada mais é que a probabilidade de termos cara como resultado, dado que a moeda lançada é a moeda com duas caras. Opa! Se só tem cara na moeda, a probabilidade de sair uma cara dela é de 100%, certo? Então:

P K M 2 K = 1

E essa probabilidade aqui?

P M 2 K

A probabilidade de a moeda lançada ser a com duas caras. Como temos 3 moedas, a moeda com duas caras é 1 em um total de 3, ou seja:

P M 2 K = 1 3

E a probabilidade de termos cara como resultado?

P ( K )

Reparem que é a probabilidade de qualquer cara acontecer, ou seja, a cara pode ser proveniente de qualquer uma das 3 moedas! Vamos fazer um diagrama pra enxergar melhor como calcular isso:

E vamos completar as linhas pretas desse diagrama com a probabilidade do evento que está ao final dessa linha acontecer, assim ó:

Tranquilin? Lembrando que essas probabilidades em verde são as condicionais!

• Cada moeda tem 1 / 3 de chance de ser escolhida
• Moeda com duas caras tem 100% de chance de dar cara
• Moeda justa tem 50% de chance pra cada lado
• Moeda viciada tem 75% de chance de dar cara, e 25% de chance de dar coroa

Agora, para calcular a probabilidade de obtermos uma cara, independente de qual moeda foi escolhida, vamos fazer:

P K = P M 2 K × P K M 2 K + P M J × P K M J + P ( M V ) × P ( K | M V )

E olhando pro nosso diagrama, podemos substituir essa galera pelos seus respectivos valores:

P K = 1 3 × 1 + 1 3 × 0,5 + 1 3 × 0,75 = 0,75

E finalmente, podemos substituir todas as probabilidades calculadas na fórmula do Teorema de Bayes:

P M 2 K K = P ( K | M 2 K ) × P ( M 2 K ) P ( K )

P M 2 K K = 1 × 1 / 3 0,75 = 0,4444

A fra��o foi constru�da para mostrar a rela��o entre a parte e o todo. A experi�ncia mais conhecida � com o n�mero fracion�rio, para resolver o problema de repartir ou dividir determinadas quantidades.

Para retomar essa importante id�ia da matem�tica, vamos imaginar o cl�ssico problema de dividirmos duas ma��s entre tr�s crian�as. Nessa situa��o, dividimos cada ma�� em tr�s partes iguais, dando um total de seis peda�os. Logo depois, dividimos esses seis peda�os em tr�s partes, tendo como resultado dois peda�os para cada crian�a. Assim, a parte para cada crian�a fica sendo de dois peda�os, em um total de seis. Ent�o, registramos que cada crian�a recebeu duas partes em seis. Numericamente, 2/6.

Esse importante conceito produziu o n�mero fracion�rio - e pode ser aplicado em outras situa��es, como � o caso da probabilidade. Conhecida como ci�ncia do acaso, o estudo da probabilidade motivou a investiga��o de v�rios problemas e experi�ncias. O jogo � uma dessas experi�ncias que causa bastante curiosidade e ajuda a entender com facilidade essa forma de investigar o mundo.

Em um �nico lan�amento de um dado podemos obter face 1, face 2, face 3, face 4, face 5 ou face 6. No entanto, s� � poss�vel obter uma dessas faces como resposta. De todas as possibilidades que o dado oferece, o n�mero de respostas para este caso ser� 1. A fra��o das respostas poss�veis em rela��o ao total de possibilidades que s�o oferecidas nessa experi�ncia ser� de 1 por 6, de 1 em 6, ou um sexto. Al�m disso, todas as faces ter�o a mesma chance, descritas pela mesma fra��o, se n�o houver nada de errado com o dado.

O conceito de fra��o � aplicado na probabilidade para indicar a rela��o entre a parte e o todo, registrando a quantidade de fatos ou eventos que s�o poss�veis de acontecer diante de um determinado conjunto de possibilidades.

Outros exemplos

Podemos fazer tamb�m o lan�amento, ao mesmo tempo, de duas moedas. Cada moeda possui duas faces, definidas como "cara" e "coroa". E como s�o duas, as respostas s�o analisadas em pares, tendo como possibilidades: (cara, cara) - (cara, coroa) - (coroa, cara) - e - (coroa, coroa).

Da forma como o problema est� estruturado, a probabilidade de dar uma cara e uma coroa � de 2/4 ou, se voc� preferir, 1/2. Essa simplifica��o retoma o conceito de fra��o equivalente e possibilita reescrever a resposta na forma de porcentagem igual a 50%.

Explorando um pouco mais esse problema, num �nico lan�amento de duas moedas, qual � a probabilidade de obtermos duas caras? A resposta ser� igual a 1/ 4 - ou 25%:

A porcentagem passa, assim, a ser um tipo de linguagem aplicada � probabilidade. � uma forma de falar ou registrar a chance de que um determinado fen�meno possa ocorrer.

Qual � a chance de obtermos tr�s coroas em um �nico lan�amento de tr�s moedas? E de duas coroas?

Conjunto de possibilidades no lan�amento de tr�s moedas:
(cara, cara, cara), (cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, cara, cara), (coroa, coroa, cara), (coroa, cara, coroa), (cara, coroa, coroa), (coroa, coroa, coroa)

N�mero de possibilidades de dar tr�s coroas= 1
N�mero de possibilidades de dar duas coroas= 3
N�mero de possibilidade de dar duas caras= 3
N�mero de possibilidades de dar tr�s caras= 1

A chance de obtermos tr�s coroas � de 1/8, enquanto que, para duas coroas, � de 3/8. Percentualmente, escrevemos:

A probabilidade � uma rela��o entre a parte e o todo, concentrada no mundo das possibilidades. Representada por um n�mero fracion�rio, podendo ser transformada em porcentagem, transformou-se em uma das ferramentas mais importantes para ci�ncia no nosso s�culo, permitindo descrever numericamente o que antes era simplesmente o acaso e a incerteza.

*Antonio Rodrigues Neto, professor de matem�tica no ensino fundamental e superior, � mestre em educa��o pela USP e autor do livro "Geometria e Est�tica: experi�ncias com o jogo de xadrez" (Editora da UNESP).

Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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Qual a probabilidade de obter 2 caras?

Qual é a probabilidade de Lançando