Qual deve ser o capital que no sistema de juros compostos a taxa de 20% ao ano gera um montante de R$ 14.400 0

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• Qual deve ser o capital que no sistema de juros compostos a taxa de 20% ao ano gera um montante de R$ 14.400 0
• Como descobrir o valor do capital em juros compostos?
• Qual o capital deve ser aplicado a um taxa de juros compostos de 6% ao ano de forma que o montante seja de R$ 9.941 20 em 3 anos?
• Quanto deve ser aplicado no sistema de juros compostos?

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3% ao mês. 1,12 = 1 + 4i 1,12 - 1 = 4i 0,12 = 4i i = 0,03 ou 3% EXEMPLO 5 A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00 no siste- ma de juros simples, para que, depois de 4 meses o montante seja de R$ 5040,00? Solução M = C (1 + i . t) 5040 = 4500 (1 + i . 4) Matemática Financeira 2 22 06. Juros compostos Um determinado capital de R$ 40.000,00 foi aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 3 meses. Qual foi o montante no  nal dos 3 meses? Solução Como estamos tratando de juros sobre juros (juros compos- tos), devemos aplicar a taxa sobre o montente no início de cada mês. Mês M = C (1 + i . t) 1º M = 40.000 (1 + 0,02 . 1) = 40.800 2º M = 40.800 (1 + 0,02 . 1) = 41.616 3º M = 41.616 (1 + 0,02 . 1) = 42.448,32 Ao  nal do 3º mês temos um montante de R$ 42.448,32. Este método não é viável para períodos longos. Ao invés dis- so, podemos usar uma fórmula para deduzir o montante acu- mulado sobre uma taxa de juros compostos. FÓRMULA DO JUROS COMPOSTOS Podemos calcular, no sistema de juros compostos, qual será o montante(M), produzido por um capital(C), aplicado à taxa(i), durante um determinado tempo(t). M = C (1 + i)t O problema anterior poderia ser resolvido da seguinte for- ma: Matemática Financeira 2 23 M = C (1 + i)t M = 40.000 (1 + 0,02)3 M = 40.000 (1,02)3 M = 40.000 . 1,061208 M = 42.448,32 EXEMPLO 1 Quanto receberá de juros, no  m de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6000,00 à taxa de 1% ao mês? Solução M = C (1 + i)t M = 6000 (1 + 0,01)6 M = 6000 (1,01)6 M = 6000 . 1,0615201506 M = 6369,12 Como: Juros = Montante - Capital J = M - C J = 6369,12 - 6000 J = 369,12 Receberá de juros R$ 369,12. 1 100 = 0,01 1 semestre = 6 meses Como trabalhamos com dinheiro, arredondamos para duas casas decimais. 1% = Matemática Financeira 2 24 EXEMPLO 2 Qual deve ser o capital que no sistema de juros compostos, a taxa de 20% ao ano gera um montante de R$ 14400,00 no  m de 2 anos? Solução M = C (1 + i)t 14400 = C (1 + 0,2)2 14400 = C (1,2)2 14400 = C . 1,44 = C C = 10.000 O capital será de R$ 10.000,00. EXEMPLO 3 O capital de R$ 2000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros? Solução M = C + J 14400 1,44 20 100 = 0,220% = M = 2000 + 165 M = 2165 Matemática Financeira 2 25 EXEMPLO 4 Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4000,00, usando o que tem depositado na caderneta de poupança, que está rendendo 1% ao mês. Ela quer saber, do ponto de vista  nanceiro, qual plano de pagamento é mais vantajoso: • Pagar à vista; • Pagar em duas prestações iguais de R$ 2005,00 cada, a se- gunda parcela será paga com 30 dias. Então: M = C (1 + i)t 2165 = 2000 (1 + i)4 2165 2000 433 400 = (1 + i)4 = (1 + i)4 1,0825 = (1 + i)4 1,020015981 = 1 + i 1,020015981 - 1 = i i = 0,020015981 ou 2,0015981% ao mês A taxa foi de 2,0015981% ao mês. 4 1,0825 = 1 + i Matemática Financeira 2 26 Solução Se ela pagar à vista sobrará zero. Pagando em 2 x de R$ 2005,00, após o pagamento da primei- ra sobra 4000 - 2005 = 1995. Ficando R$ 1995,00 na caderneta com juros de 1% teremos em 1 mês: M = C (1 + i)t M = 1995 (1 + 0,01)1 M = 1995 (1,01)1 M = 1995 . 1,01 M = 2014,95 Dessa forma é mais vantajoso pagar em 2 vezes. EXEMPLO 5 Maria tomou um empréstimo de R$ 150.000,00 a juros de 12% ao ano. Qual será a dívida de Maria após 3 anos? Solução M = C (1 + i)t M = 150000 (1 + 0,12)3 M = 150000 (1,12)3 M = 150000 . 1,404928 M = 210739,2 A dívida será de R$ 210.739,20. 1 100 = 0,011% = Matemática Financeira 2 27 07. Questões Resolvidas 1. (VUNESP) Se a taxa de in ação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, então a taxa de in ação no bimestre janei- ro/fevereiro é de: a) 11% b) 11,1% c) 11,2% d) 11,3% e) 11,4% Solução Esse tipo de problema pode ser resolvido de foma bem prática se tomarmos como base o número 100. Aplicando 6% em cima de 100 temos: 100 . 1,06 = 106 Agora, 5% em cima de 106: 106 . 1,05 = 111,3 Em relação a 100, o número 111,3 possui 11,3% a mais. Resposta: d 2. (UNICAMP-SP) Uma pessoa investiu R$ 3000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 40% do total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido. Com quantos reais ela  cou após os dois meses? a) R$ 2000,00 b) R$ 2060,00 c) R$ 2160,00 d) R$ 2220,00 e) R$ 2310,00 6 é 6% de 100 Matemática Financeira 2 28 Solução Se ela perdeu 40%, então: 40% de 3000 = . 3000 = 1200 ← Perdeu R$ 1200,00 Se ela recuperou 30% do que havia perdido, então: 30% de 1200 = . 1200 = 360 ← Recuperou R$ 360,00 Portanto, ela  cou com: 3000 - 1200 + 360 = 2160 Resposta: c 3. (UEL-PR) Em uma liquidação, os preços dos artigos de uma loja são reduzidos em 20% de seu valor. Terminada a liquidação e pretendendo voltar aos preços originais, de que porcentagem devem ser acrescidos os preços da liquidação? a) 27,5% b) 25% c) 22,5% d) 21% e) 20% Solução A exemplo da questão 1, tomaremos o número 100 como base: Se a mercadoria custa R$ 100,00 e diminui 20% de 100,  ca- remos com R$ 80,00. Agora iremos procurar a porcentagem para que, dado um au- mento em cima de R$ 80,00, chegue a R$ 100,00. Sabemos que devemos aumentar R$ 20,00, mas quantos por- cento 20 é de 80? 40 100 30 100 Matemática Financeira 2 29 Uma regra de três simples resolve o caso: Resposta: b 4. (UFRJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor do desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo: Preço total x 5 % - Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multi- plicar o preço total das mercadorias por: a) 0,05 b) 0,5 c) 0,95 d) 1,05 e) 1,5 Solução Se um produto sofre um desconto de 5%, seu valor  cará sen- do 95%. Como queremos saber o valor do produto com o desconto, devemos multiplicar por 95% ou . Resposta: c 80 20 100% x% 20 . 100 80 x = 25% x = 5 100 = 0,055% = 95 100 = 0,9595% = 95 100 Matemática Financeira 2 30 5. (UNIFOR-CE) Em certa loja, cada produto vendido tem um acréscimo de 60% sobre o preço de custo. No entanto, como a loja deve recolher impostos correspondentes a 25% do preço de venda, seu percentual de lucro sobre o preço de custo é muito inferior a 60%. Esse percentual é de: a) 35% b) 30% c) 25% d) 20% e) 15% Solução Algebricamente, o produto vale "x": 60x 100x + = ← (produto mais 60% do seu valor) 160x 100 16x 10 8x 5= = = 25 100 8x 5 8x 5 ← (tirando 25% do valor de venda)- . 5 40x 100 8x 5 8x 5 6x 5 2x 5- - = 6x 5 5x 5 x 5 x 5 20x 100= + x + x + x20 x20 20 100 = 20% Uma outra forma de fazer: x . 1,60 = 1,6x ← (valor  nal de venda) Vamos tirar 25% do valor de venda e ver quanto  ca, se tiramos 25%, sobra 75%. 75 100 = 0,7575% = Percentual em cima do produto Valor do produto Matemática Financeira 2 31 Uma terceira forma de fazer: Vamos supor que o produto vale R$ 100,00. 100 + 60% de aumento = 160 ← (60% de 100 é 60) Vamos tirar 25% de 160, vai sobrar 75%. 160 . 0,75 = 120 R$ 20,00 de lucro, o que é 20% de 100%. Resposta: d 6. (VUNESP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por "x" reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promo- ção, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda desse produto. Pode-se a rmar que, no dia de promoção,

Qual deve ser o capital que no sistema de juros compostos a taxa de 20% ao ano gera um montante de R$ 14.400 0

Como descobrir o valor do capital em juros compostos?

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