Qual é o coeficiente de atrito cinético entre a Caixa é a rampa?

Você está baixando duas caixas por uma rampa, uma sobre a outra, e como indica a Figura 5.53 você faz isso puxando uma corda paralela à superfície da rampa. As duas caixas se movemjuntas, a uma velocidade escalar constante de 15,0 cm/s. O coeficiente do atrito cinético entre a rampa e a caixa inferior é 0,444, e o coeficiente de atrito estático entre as duas caixas é 0,800. a) Qual força você deve aplicar para realizar isso? b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força de atrito sobre a caixa superior?

Passo 1

Primeiro passo é fazer um diagrama de corpo livre para cada uma das caixas, vamos representa-la na própria figura 5.53 para facilitar nossa visualização:

O bloco descerá com uma velocidade constante, isso significa que a força resultante nos dois blocos é nula, ou seja, as forças que puxam os blocos para a direita são iguais às forças que os puxam para a esquerda. Dessa forma, podemos equacionar da seguinte forma:

P 1 x + P 2 x = F + F a t 1     ( e q u a ç ã o   1 )

Pela 3º Lei de Newton, a F a t 2 , que é aplicada no bloco 2 (direcionada para a direita) gera uma reação no bloco 1, de mesmo módulo, mas com sentindo contrário. Essa força de atrito, corresponde a:

P 2 x = F a t 2   ( e q u a ç ã o   2 )

Passo 2

Agora, precisamos decompor os pesos de acordo com o eixo x e y:

Sendo θ o ângulo entre a horizontal e o plano inclinado, temos que:

P 1 x = P 1 ⋅ sen ⁡ θ

P 1 y = P 1 ⋅ cos ⁡ θ

P 2 x = P 2 ⋅ sen ⁡ θ

P 2 y = P 2 ⋅ cos ⁡ θ

Analisando o triângulo retângulo do plano inclinado, podemos inferir que:

tan ⁡ θ = 2,50 m 4,75 m

Então:

θ = tan - 1 ⁡ θ = tan - 1 ⁡ 2,50 m 4,75 m

θ = 27,76 °

Passo 3

Além disso, vamos definir a força de atrito, sabemos que:

F a t = μ ⋅ N

Logo,

F a t 1 = μ 1 ⋅ N 1

F a t 2 = μ 2 ⋅ N 2

Com todas as informações que juntamos, podemos voltar a equação 1. Então temos que:

P 1 ⋅ sen ⁡ θ + P 2 ⋅ sen ⁡ θ = F + F a t 1

⇒ m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ sen ⁡ θ = F + μ 1 ⋅ N 1     ( e q u a ç ã o   3 )

A normal N 1 , que age no bloco 1, pelo fato de o bloco estar se movimentando apenas no plano inclinado, é igual a soma de P 1 y e P 2 y . Desta forma:

N 1 = P 1 y + P 2 y

N 1 = P 1 ⋅ cos ⁡ θ + P 2 ⋅ cos ⁡ θ

N 1 = m 1 ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ + m 2 ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ

N 1 = m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ     ( e q u a ç ã o   4 )

Passo 4

O que temos que fazer agora é substituir a equação 4 na equação 3. Assim, ficamos com:

m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ sen ⁡ θ = F + μ 1 ⋅ m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ

Isolando F:

F = m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ sen ⁡ θ - μ 1 ⋅ m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ

Colocando m 1 + m 2 ⋅ g em evidencia:

F = m 1 + m 2 ⋅ g ⋅ ( sen ⁡ θ - μ 1 ⋅ cos ⁡ θ )

D a d o s :   m 1 = 48 k g m 2 = 32 k g g = 9,8 m s 2 sen ⁡ 27,76 ° = 0,46 5 ° cos ⁡ 27,76 ° = 0,88 ° μ 1 = 0,444

F = 48 k g + 32 k g ⋅ 9,8 m / s 2 ⋅ ( 0,46 5 - 0,444 ⋅ 0,88 4 )

F = 57,1 N

Passo 5

Vamos aplicar a 1º Lei de Newton, F = m ⋅ a, na caixa de cima, temos que:

F a t 2 = m ⋅ g ⋅ sen ⁡ θ = 32 k g ⋅ 9,8 m / s 2 ⋅ 0,465 = 146 N

Com direção para cima, na rampa.

Resposta

1. F = 57,1 N
2. 146 N   c o m   d i r e ç ã o   p a r a   c i m a ,   n a   r a m p a .

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