PorcentagensOs números fracionários (ou decimais) têm uma ligação direta com o cálculo da porcentagem. Show
A porcentagem nada mais é do que uma multiplicação por uma fração de denominador cem, como veremos nos exemplos a seguir. Antes, devemos portanto recordar essa transformação: SITUAÇÃO 1: O salário de uma pessoa é de R$ 800,00 qual a quantia que ele receberá se o salário aumentar 15%? Solução: de Logo, o salário após o aumento será de (800 + 120) R$ 920,00. SITUAÇÃO 2: Em um grupo de 75 pessoas, verificou-se que 8% usavam óculos. Quantas pessoas desse grupo não usavam óculos? Solução: de Logo, 69 pessoas não usavam óculos. Noções de matemática financeiraTerminologia básica Quando você deposita uma quantia monetária (Capital: C) em uma caderneta de poupança, você está fornecendo um crédito à empresa. A compensação recebida por esse crédito é o juro (J). a. Taxa de juros (i) – é o valor do juro numa unidade de tempo (mês, trimestre, semestre, ano, etc), expresso como uma porcentagem do capital (i = 5% ao mês: significa que a cada mês, você recebe 5 de juro para cada 100 de capital aplicado). b. Taxas de juros proporcionais – duas taxas i1 e i2, relativas respectivamente aos períodos de tempos n1 e n2, são proporcionais se, supondo n1 e n2 expressos na mesma unidade, se tem: . Assim, por exemplo, a taxa semestral de 12% é proporcional à taxa mensal de 2%, pois: . c. Taxas de juros equivalentes – duas taxas i1 e i2 são equivalentes se, a despeito de estarem referidas a períodos de tempos diferentes, produzem montantes iguais, quando aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo. d. Montante (M) – É a soma do capital com os juros auferidos: M = C + J Regime de capitalização simples No regime simples, os juros gerados em cada unidade de tempo são sempre constantes e iguais ao produto do capital pela taxa de juros: J = C.i Como J = C.i, em cada unidade de tempo; após um período de n unidades de tempo, o total dos juros auferidos será dado por: J = C.i.n A expressão do montante será: No regime de capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Com efeito, por exemplo, o montante M1, gerado por R$100,00, quando aplicado à taxa de 12% ao semestre pelo prazo de 1 ano é igual ao montante M2, gerado pelo mesmo capital, quando aplicado à taxa de 2% ao mês pelo mesmo prazo. De fato, . Exemplos: a. O capital de R$530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual será o valor do montante, após 5 meses? Solução: Capital (C): 530,00 Taxa (i): 3% ao mês Período (n): 5 meses O montante após 5 meses será de R$ 609,50. b. Um capital de R$ 600,00 aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 após um certo tempo. Qual foi esse tempo? Solução: Capital (C): 600,00 Taxa (i): 20% ao ano Montante (M): 1080,00 anos. O tempo necessário será de 4 anos. c. Que capital, aplicado em regime simples de capitalização, à taxa de 1,5% ao mês, renderá juros de R$ 90,00 em um trimestre? Solução: Taxa (i): 1,5% ano mês Tempo (n): 1 trimestre (3 meses) Juros (J): 90,00 O capital aplicado deverá ser de R$ 2000,00. d. A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no regime de capitalização simples, para que após 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00? Solução: Capital (C): 4500,00 Tempo (n): 4 meses Montante (M): 5040,00 ao mês A taxa deverá ser de 3% ao mês. e. Quanto renderá de juros a quantia de R$ 600,00, aplicada no regime de capitalização simples, com taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses? Solução: Capital (C): 600,00 Taxa (i): 2,5% ao mês Tempo (n): 1 ano e 3 meses (15 meses) O capital renderá R$ 225,00. Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de um aplicação financeira ou de uma compra feita a crédito, por exemplo. O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em porcentagem. Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado. Exemplo Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 6% ao mês nas compras a prazo, qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar? Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que iremos pagar. Assim, se compramos uma televisão a prazo iremos pagar um valor corrigido pela taxa cobrada. Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor, então temos:  Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 212. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60 a mais do valor inicial. Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060. Fórmula: Como Calcular o Juros Simples?A fórmula para calcular os juros simples é expressa por: J = C . i . t Onde, J: juros Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital). Sua fórmula será: M = C + J → M = C + C . i . t Da equação acima, temos, portanto, a expressão: M = C . (1 + i . t) Exemplos1) Quanto rendeu a quantia de R$ 1200, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? Sendo: C = 1200 J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360 Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360. 2) Um capital de R$ 400, aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao mês, resultou no montante de R$ 480 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? Considerando, C = 400 temos: Juros CompostosExiste ainda uma outra forma de correção financeira chamada de juros compostos. Esse tipo de correção é usada com mais frequência nas transações comerciais e financeiras. Diferente dos juros simples, os juros compostos são aplicados nos juros sobre os juros. Assim, o sistema dos juros compostos é denominado de "capitalização acumulada". Lembre-se que no cálculo dos juros simples, a taxa de juros é calculada sobre o mesmo valor (capital). Não é o que acontece com os juros compostos, pois neste caso o valor aplicado se altera a cada período. Leia também:
Exercícios ResolvidosPara compreender melhor a aplicação do conceito de juros simples, vejamos abaixo dois exercícios resolvidos, sendo que um deles caiu no Enem em 2011. 1) Lúcia emprestou 500 reais para sua amiga Márcia mediante uma taxa de 4% ao mês, que por sua vez, se comprometeu em pagar a dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no final pagará para a Lúcia. Ver Resposta Primeiro temos que transformar a taxa de juros para número decimal, dividindo o valor dado por 100. Depois vamos calcular o valor da taxa de juros sobre o capital (principal) durante o período de 1 mês: Logo: J = 0,04. 500 = 20 Portanto, o valor dos juros em 1 mês será de R$20. Se a Márcia ficou de pagar sua dívida em 3 meses, basta calcular o valor dos juros referentes a 1 mês pelo período, ou seja R$20 . 3 meses = R$60. No total, ela pagará um valor de R$560.
Logo, M = C . (1 + i . t) 2) Enem-2011 Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em um aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80 Ver Resposta Para sabermos qual das alternativas é mais vantajosa para o jovem investidor, devemos calcular o rendimento que ele terá em ambos os casos: Poupança: Logo, Primeiro dividir a taxa por 100, para transformar em número decimal, depois aplicar ao capital: 0,0056 * 500 = 2,8 Portanto, o ganho na poupança será de 2,8 + 500 = R$502,80 CDB (certificado de depósito bancário) Logo, Transformando a taxa para para decimal encontramos 0,00876, aplicando ao capital: 0,00876 * 500= 4,38 Portanto, o ganho no CDB será de 4,38 + 500 = R$504,38 No entanto, não devemos esquecer de aplicar a taxa do imposto de renda (IR) sobre o valor encontrado: 4% de 4,38 Para encontrarmos o valor final, subtraímos esse valor no ganho acima: 4,38 - 0,1752 = 4,2048 Portanto, o saldo final do CDB será de R$504,2048 que é aproximadamente R$ 504,21 Alternativa d: o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21 Veja também: como calcular porcentagem? Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. Quanto rendeu a quantia de 1.200 aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês no final de 1 ano e 3 meses?1) Quanto rendeu a quantia de R$ 1200, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na mesma unidade de tempo da taxa de juros. Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360.
Qual foi o capital que aplicado a taxa de juros simples de 2% ao mês rendeu R$ 900 0Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? O capital corresponde a R$ 1.500,00.
Quanto rendeu a quantidade de 600 aplicada a juros simples com a taxa de 2 5 ao mês no final de 1 ano e 3 meses?Quanto renderá de juros a quantia de R$ 600,00, aplicada no regime de capitalização simples, com taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses? O capital renderá R$ 225,00.
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Quanto rendeu a quantia de 1.200 simples com a taxa de 2% ao mês no final de um ano?
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