Exercícios de MatemáticaTeste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Anagramas e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva Show
questão 1 Na criação da senha de uma conta bancária, o cliente é informado que deve ser feita uma combinação de seis números sem repetição. Os números utilizados devem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Determine o número possível de senhas que podem ser criadas. questão 2 Em uma empresa de informática, o código de acesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letras e quatro números, sem repetição. Sabendo que o código pode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro números entre 10 algarismos, determine o possível número de códigos que podem ser criados. questão 3 Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança como a quantidade possível de senhas, determine em quantos por cento o nível de segurança aumentou? questão 4 (FUVEST – 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? respostas Questão 1 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151200 Podem ser criadas 151 200 senhas de algarismos distintos. Voltar a questão Questão 2 Letras → 26 * 25 * 24 = 15 600 Total de códigos → 15 600 * 5 040 = 78.624.000 O número de códigos de acesso que podem ser criados atendendo à restrição, corresponde a 78.624.000. Voltar a questão Questão 3 Senhas de 4 algarismos → 10 * 10 * 10 * 10 = 104 = 10 000 A segurança aumentou em:
 O nível de segurança do site aumentou em 900%. Voltar a questão Questão 4 Total de
senhas Senhas que aparecem o número 13
A senha 1313 foi verificada em Deste modo, aparece duas vezes, quando deveria aparecer só uma, logo, serão 74 possibilidades de aparecer os algarismos 1 e 3 seguidos. O número possível de senhas que atende à situação proposta e à superstição de Maria é: 625 – 74 = 551 combinações possíveis. Voltar a questão Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas Há registros de vários sistemas de numeração durante a história das civilizações. Com a necessidade de contabilizar, o ser humano desenvolveu a ideia de número e a sua representação em algarismos e sistemas de numeração. Acontece que cada povo desenvolveu um tipo de grafia para os números e, consequentemente, houve sistemas numéricos diferentes, com quantidade de símbolos e rigor matemático distintos. Entre os sistemas que se destacam, há o de numeração decimal, que usamos atualmente, mas há também os que foram desenvolvidos por povos como os:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Leia também: Curiosidades sobre os números – propriedades e peculiaridades O que é sistema de numeração?Os algarismos e a organização dos números nem sempre ocorreram com os símbolos que utilizamos hoje. Cada povo adotava um sistema de numeração. Entendemos como sistema de numeração os algarismos e a organização da sua representação. O nosso sistema de numeração atual possui 10 símbolos e é conhecido como sistema decimal posicional, ou seja, nele a posição dos algarismos é importante. Existem sistemas de cinco símbolos, 60 símbolos, entre outros, utilizados ao longo da história. Organizar os números em um sistema de numeração nem sempre foi fácil, e uma das dificuldades era, por exemplo, na representação do zero. Por mais que o principal sistema de numeração utilizado seja o decimal posicional, outros estão presentes nas nossas vidas, como o sistema de numeração romano, para numerar-se séculos, e o sistema de base sexagesimal, para medir-se as horas. Ainda, a base 12 é bastante presente no cotidiano, como quando consideramos que um ano possui 12 meses ou quando compramos objetos em dúzia no mercado. Origem dos sistemas de numeraçãoNa história vários povos diferentes usaram sistemas de numeração, e existem alguns deles que foram mais estudados: os sistemas de numeração chinês, maia, egípcio, romano e babilônico. O sistema numeração que adotamos hoje não apareceu pronto tal como é, mas foi sendo aperfeiçoado com o passar do tempo. Ele é conhecido como sistema decimal posicional, e sua origem é indo-arábica. Esse sistema foi escolhido pela grande facilidade de, com ele, realizarmos operações e pela sua praticidade em representar números maiores, já que é dividido em unidades, dezenas e centenas. Ele foi difundido pela Europa por conta dos comerciantes árabes, alcançando outros lugares do mundo. É importante compreender que todo sistema de numeração é uma construção, que inicialmente não havia a noção de posição ou entendia-se o que era o número zero, mas que, com o passar do tempo e a evolução da matemática, esse tipo de organização aperfeiçoou-se até chegar ao que conhecemos. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Tipos de sistemas de numeraçãoCada sistema tem suas características de acordo com a cultura dos povos. A matemática devolveu-se de acordo com a necessidade da humanidade, assim povos diferentes inventaram sistemas de numeração únicos. Ainda que os símbolos fossem diferentes, a ideia de número e de sistema de numeração esteve presente em quase todas as civilizações.
O povo sumério, que habitou a região da mesopotâmia, foi responsável pelo desenvolvimento da escrita cuneiforme. O sistema de numeração desse povo foi o primeiro, e muitas vezes é tratado também como o sistema de numeração babilônico. Não se sabe ao certo quem foi o povo responsável pelo desenvolvimento do sistema de numeração difundido no império babilônico, mas sabe-se que já era conhecido pelos sumérios. O sistema de numeração dos sumérios e adotado pelos babilônicos foi construído com base em dois símbolos. Características desse sistema:
Exemplo 3 x 60 + 10 + 2 = 192 Veja também: Números primos – números divisíveis por 1 e por eles mesmos
Os egípcios desenvolveram um sistema de numeração que também possibilitava a escrita de grandes números. No entanto, diferentemente do sistema dos sumérios, ele é posicional, embora existam símbolos específicos para as potências de 10. Para construir-se os números, no sistema de numeração egípcio, são utilizados sete símbolos, e as repetições e combinações desses símbolos tornam possível a expressão de números ainda maiores. Características desse sistema:
Exemplo ∩∩IIIII 2 x 10 + 5 = 25
O sistema de numeração chinês é utilizado até hoje, mas, para realização de operações, os chineses utilizam o sistema indo-arábico. Como ele continua atual, inventou-se um símbolo para o número zero, mas ele não existiu por vários séculos. Para escrever os números, esse sistema usa o princípio da multiplicação, um símbolo menor seguido de um símbolo maior significa a multiplicação entre eles. Por exemplo, para escrever-se o número 30, escreve-se o símbolo do número 3 junto ao do número 10. Características desse sistema:
Exemplo
Analisando o número, temos, respectivamente, os símbolos de 3, 1000, 5, 10 e 2. Quando se tem um símbolo menor à esquerda, multiplicamo-lo pelo número à direita. 3 x 1000 + 5 x 10 + 2 = 3052 Perceba que, para representar-se a centena zero, não foi necessário colocar nenhum símbolo.
A numeração romana é utilizada até hoje para representação de séculos. Como se trata de uma representação atual, ela recebeu algumas adaptações no decorrer do tempo. Os algarismos nesse sistema são representados por letras, e cada letra possui um valor. I → 1 V → 5 X → 10 L → 50 C→ 100 D→ 500 M→ 1000 Para representar números diferentes dos demonstrados, utilizamos repetições dos símbolos. Um mesmo símbolo repete-se até três vezes. Escrever um símbolo menor à esquerda, na numeração romana, implica subtração. Por exemplo, o número IV é igual a 5 – 1 = 4, ou o número CD é igual a 500 – 100 = 400. Exemplo MMCDLXIV Analisando os símbolos, temos: 1000, 1000, 100, 500, 50, 10, 1, 5. Para símbolos repetidos, realizamos a soma, e quando houver um símbolo menor à esquerda, fazemos a subtração. 2 x 1000 + 500 – 100 + 50 + 10 + 5 – 1 = 2464 Características desse sistema:
Acesse também: Quais são os subconjuntos dos números naturais?
O sistema de numeração maia é vigesimal, ou seja, utiliza 20 símbolos diferentes para representar números de 0 até 19. Os maias foram o primeiro povo a utilizar-se de um símbolo para o zero. Esse sistema é composto por três símbolos. Os números nesse sistema são acumulados de 20 em 20, assim os maias fizeram um sistema de numeração em que a posição numérica é importante. A escrita dos números maiores que 20 era na vertical, por exemplo: Nesse caso os pontos superiores representam a quantidade de vintenas, ou seja, há duas vintenas, e o conjunto de símbolos inferiores (quatro pontos e um traço) significa as unidades, nove unidades. O número representado então é: 2 x 20 + 9 = 49. Características desse sistema:
O sistema de numeração que ainda utilizamos sofreu algumas adaptações na grafia das letras, porém ele traz grande facilidade na realização das operações básicas e na escrita. Esse sistema, conhecido também como sistema de numeração decimal ou sistema posicional decimal, possui 10 símbolos para representar os números de 0 até 9. Nele a posição dos algarismos é importante, algarismos posicionados à frente valem 10 vezes mais que os da posição anterior. Trata-se da divisão que conhecemos como unidade, dezena, centena, e assim sucessivamente. Ele recebe esse nome, indo-arábico, por ter recebido a contribuição desses dois povos. Ao primeiro deve-se a sua invenção e organização; e ao segundo, algumas adaptações e a propagação desses números pelo comércio. Os 10 símbolos conhecidos pelo mundo todo hoje são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Características desse sistema:
Vale ressaltar que existiram outros sistemas numéricos e inclusive adaptações dos apresentados, já que esse tipo de organização e representação é uma espécie de linguagem que se adapta de acordo com a cultura e a necessidade numérica dos povos. Exercícios resolvidosQuestão 1 - (Enem) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2453. Para representar o zero, em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é: a) 364 b) 463 c) 3064 d) 3640 e) 4603 Resolução Alternativa C. Analisando-se a imagem, há três unidades de milhar, nenhuma centena, seis dezenas e quatro unidades. Sendo assim, o número representado é 3064. Questão 2 - (Enem) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base 10 para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal, e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM, que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura é: a) 46 171 b) 147 016 c) 171 064 d) 460 171 e) 610 741 Resolução Alternativa D. Note que as casas não estão na mesma posição do nosso sistema decimal, assim, ordenando as posições da maior para a menor, temos: Centena de milhar (CM) → 4 Dezena de milhar (DM ) → 6 Milhar (M) → 0 Centena (C) → 1 Dezena (D) → 7 Unidade (U) → 1 Dessa forma, o número representado é 460 171. Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos?Quantidade de números naturais com cinco algarismos
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 9×10×10×10×10=90000 números naturais com cinco algarismos e, portanto, T=90000.
Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados UsandoQuantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. Resposta: P(5)=120.
Quantos números de 5 dígitos podem ser formados?3 resposta(s)
O intervalo de números representáveis é dado por (2^n )- 1 onde n é o número de bits. Começando no 00000 e indo até o 11111. Dessa forma, é possível representar 31 números usando 5 Bits. Podem ser formados 120 números.
Quantos números de cinco algarismos distintos podem ser formados por 1 2 3 4 5 e 8?Resposta : 120 números.
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Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos disponíveis em nosso sistema numérico?
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