Conhecemos como função trigonométrica toda função que possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e que a lei de formação possui uma razão trigonométrica em função de um ângulo x. As principais funções trigonométricas são a função seno, a função cosseno e a função tangente. Show
Essas funções podem ser representadas no plano cartesiano e são classificadas como periódicas, porque o comportamento gráfico se repete de forma cíclica. Leia também: Quais as diferenças entre equação e função? Resumo sobre funções trigonométricas
Quais são as funções trigonométricas?Conhecemos como função trigonométrica qualquer função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais que possui uma razão trigonométrica com o ângulo como variável. As principais funções trigonométricas são a função seno, a função cosseno e a função tangente.
Chamamos de função seno a função f : IR → IR em que a lei de formação é representada porf(x) = sen (x), sendo x o ângulo em radianos. → Domínio da função senoComo vimos na definição da função seno, o domínio está no conjunto dos números reais. Sabemos que, para todo número real, existe um valor para sen(x), então podemos afirmar que o domínio da função é Df= IR. → Imagem da função senoCom o estudo do ciclo trigonométrico, sabemos que a razão trigonométrica seno possui como valor máximo 1 e como valor mínimo -1. Então, a imagem da função seno estáno intervalo [ -1, 1].
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) → Gráfico da função senoO gráfico da função seno é limitado entre o intervalo [-1, 1] e possui partes crescentes e partes decrescentes. Ele é conhecido também como senoide. Gráfico da função seno→ Sinal da função senoO sinal da função seno acompanha o sinal que o seno tem no ciclo trigonométrico. Se o arco for do I ou II quadrante, a função seno será positiva; caso o arco pertença ao III ou IV quadrante, será negativa. Sinal da função seno→ Período da função senoConhecemos como período o menor intervalo em que acontece a repetição do gráfico. Podemos notar que a função seno é periódica, ou seja, o gráfico se repete a cada período. O período da função seno é 2π. → Paridade da função senoA função seno é considerada uma função ímpar, ou seja, sen(–x) = – sen(x). Veja também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Chamamos de função cosseno a função f : IR → IR em que a lei de formação é representada por f(x) = cos(x), sendo x o ângulo em radianos. → Domínio da função cossenoA função cosseno está definida de IR → IR, ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais. Podemos representar porDf =IR. → Imagem da função cossenoAssim como a função seno, a função cosseno possui imagem nos números reais entre -1 e 1, ou seja, Im = [ – 1, 1]. → Gráfico da função cossenoO gráfico da função cosseno está contido no intervalo de -1 a 1 e também possui comportamento periódico, assim como a função seno, com intervalos crescentes e decrescentes. Gráfico da função cosseno→ Sinal da função cossenoO sinal da função, de acordo com a representação do cosseno no ciclo trigonométrico, possui valores positivos para os quadrantes I e IV e negativos para o II e III quadrante. Sinal da função cosseno → Período da função cossenoComo percebemos na representação gráfica, a função cosseno é periódica, ou seja, o seu comportamento passa a se repetir, e o período dessa função é 2π. → Paridade da função cossenoA função cosseno é considerada uma função par, ou seja, cos(x) = cos( – x). Veja também: Função exponencial – função que apresenta a incógnita como expoente
A função tangente possui um comportamento diferente das funções anteriores. Ela não é limitada como a função seno e a função cosseno. Além disso, existem alguns valores para os quais a função tangente não está definida. A lei de formação da função tangente é f(x) = tg(x). → Domínio da função tangenteA tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Para os valores em que cos(x) é zero, a função tangente não está definida, pois não realizamos divisão por zero. Os ângulos em que isso acontece são os ângulos de 90º, 270º e qualquer ângulo múltiplo deles: → Imagem da função tangenteA função tangente possui comportamento bem diferente das demais funções trigonométricas. Sua imagem está no conjunto dos números reais, ou seja, Im = IR. → Gráfico da função tangenteA função tangente é periódica. Vale lembrar que o domínio dela não está no conjunto dos números reais, então existem valores em que a função tangente não está definida. Gráfico da função tangente→ Sinal da função tangenteA função tangente possui sinal positivo no quadrante I e III e sinal negativo no quadrante II e IV. Sinal da função tangente→ Período da função tangenteA função tangente é uma função periódica, mas, diferentemente das anteriores, seu período é π. → Paridade da função tangenteA função tangente é ímpar, pois tan(– x) = – tan(x). Exercícios resolvidos sobre as funções trigonométricasQuestão 1 - Dada a função f(x) = 2 + 4sen(x), podemos afirmar que a imagem dessa função é o conjunto: A) [2,4]. Resolução Alternativa D. Sabemos que o menor valor de sen(x) é -1 e o maior valor é 1. O valor máximo da função é quando sen(x) = 1: f(x) = 2 + 4 · 1 f(x) = 2 + 4 f(x) = 6 O valor mínimo da função é quando sen(x) = – 1: f(x) = 2 + 4 · ( – 1) f(x) = 2 – 4 f(x) = – 2 Então, a imagem da função está no intervalo [-2, 6]. Questão 2 - (Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras: A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico: A expressão da função altura é dada por: A) f(t) = 80sen(t) + 88 B) f(t) = 80cos(t) + 88 C) f(t) = 88cos(t) + 168 D) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t) E) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t) Resolução Alternativa A. Sabemos que a função assume valor máximo quando t = π/2. A função que assume valor máximo em π/2 é a função seno. Então, temos que: f(t) = A + Bsen(t) Quando t = 0 f(t) = 88. f(0) = A + Bsen(0) 88 = A + B · 0 88 = A Conhecendo o valor de A, notamos que f( π/2) = 168. f( π/2) = 88 + Bsen( π/2) 168 = 88 + B · 1 168 – 88 = B 80 = B Então, a função altura é f(t) = 80 + 88sen(t). Qual é a função do seno cosseno e tangente?As funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente. Todas as funções trigonométricas relacionam o valor do ângulo em graus ou radianos com o valor da razão trigonométrica, relação essa que pode ser feita por meio do estudo do ciclo trigonométrico.
O que é seno no ciclo trigonométrico?Seno e co-seno no círculo trigonométrico
Formou-se um triângulo retângulo de catetos (a e b) e hipotenusa unitária (1). Logo: sen α = α 1 o seno de a é o cateto oposto sobre a hipotenusa. cos α = b 1 o co-seno de a é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Qual característica é comum aos gráficos das funções seno cosseno e tangente?As principais funções trigonométricas são a função seno, a função cosseno e a função tangente. Essas funções podem ser representadas no plano cartesiano e são classificadas como periódicas, porque o comportamento gráfico se repete de forma cíclica.
Qual o período da função tangente?A função tangente é periódica de período fundamental T=π.
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