If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. Show Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados. A propriedade da derivada da transformada de Laplace tem uma aplicação importante na solução de equações diferenciais com coeficientes variáveis. Exemplo 6.5.1. Vamos resolver o seguinte problema de valor inicial ty″(t)+y′(t)+9ty(t)=0y(0)=5y′(0)=0. Começamos aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial L{ty″(t)}+L{y′(t)}+9L{ty(t)}=0.(6.43)Depois aplicamos a propriedade : Em seguida aplicamos a propriedade para obter a seguinte equação subsidiária −ddss2Y(s)−5s+sY(s)−5−9ddsY(s)=0,(6.45)onde usamos que y(0)=5, y′(0)=0 e Y(s)=L{y(t)}. Agora resolvemos as derivadas e obtemos uma equação diferencial mais simples para Y(s): −s2Y′(s)−2sY(s)+sY(s)−9Y′(s)=0,(6.46)ou seja, Logo, ln(Y(s))=−12ln(s2+9)+C,(6.48)onde C é uma constante de integração. Então Y(s)=K(s2+9)−12=Ks2+9,(6.49)onde K=eC. Pelo item 31 da tabela , temos Como J0(0)=1, usamos que y(0)=5 para obter K=5. Portanto, Observe que a solução satisfaz y′(0)=0, porém essa condição não é necessária. De fato, existe uma solução linearmente independente dessa, que não possui transformada de Laplace, pode ser encontrada pelo método das séries de potência. Exemplo 6.5.2. Vamos resolver a equação de Laguerre dada por ty″(t)+(1−t)y′(t)+2y(t)=0,(6.52)com as condições iniciais y(0)=1 e y′(0)=−2. Primeiro aplicamos a transformada de Laplace nessa equação: L{ty″(t)}+L{y′(t)}−L{ty′(t)}+2L{y(t)}=0.(6.53)Depois usamos a propriedade : Continuamos usando a propriedade para obter: −ddss2Y(s)−sy(0)−y′(0)+sY(s)−y(0)+ddssY(s)−y(0)+2Y(s)=0,(6.55)onde Y(s)=L{y(t)}. Aplicando as derivadas chegamos na seguinte equação diferencial para Y(s): −s2Y′(s)−2sY(s)+y(0)+sY′(s)+Y(s)+sY(s)−y(0)+2Y(s)=0.(6.56)ou seja, Y′(s)−s2+s+Y(s)−s+3=0.(6.57)Logo, Y′(s)Y(s)=−3−ss(1−s).(6.58)Usamos o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial, temos: ln(Y(s))=−∫3−ss(1−s)ds+C(6.59)onde C é uma constante de integração. A antiderivada do lado direito pode ser obtida pelo método de frações parciais: −3+ss(1−s)=−3s−21−s. Isso nos dá ln(Y(s))=−3ln(s)+2ln|1−s|+C=ln(1−s)2s3+C(6.60)ou Y(s)=K(1−s)2s3=Ks3−2Ks2+Ks(6.61)onde K=eC. A transformada inversa fornece uma expressão para y(t): Usando o fato que y(0)=1, temos K=1 e Observe que, apesar da condição para a derivada ser satisfeita, isto é, não usamos-a para calcular a solução. De fato, o problema possui um singularidade na origem que não é percebida pela transformada de Laplace. A solução linearmente independente dessa, que não possui transformada de Laplace, pode ser encontrada pelo método das séries de potência. Quais os tipos de equações diferenciais?Equações Diferenciais. Tipo 1 - Equação Diferencial Ordinária (EDO). Tipo 2 - Equação Diferencial Parcial (EDP). Ordem de uma ED.. Linearidade de uma ED.. Solução de uma ED.. Onde aplicar equações diferenciais?As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.
Onde o estudo de equações diferenciais pode ser útil no seu cotidiano?O estudo das equações diferenciais é extrema- mente importante no estudo de crescimento populacional humano, decaimento radioativo, predador-presa, pois tais equações modelam, matematicamente, fenômenos de diversas áreas das ciências.
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Como as equações diferenciais podem ser geradas?
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