Classificamos um número como irracional quando a sua representação decimal é uma dízima não periódica, ou seja, um número decimal infinito não periódico. O que leva esses números a serem conhecidos como irracionais é o fato de que eles não possuem representação fracionária. Show
São conhecidos como números irracionais as dízimas não periódicas — que são encontradas a partir de raízes não exatas, por exemplo — e também alguns casos particulares, como o π (lê-se: pi). Leia também: Como resolver operações com conjuntos? O que são os números irracionais? A descoberta dos números irracionais foi feita durante o estudo da geometria. Na tentativa de descobrir o comprimento da hipotenusa de um triângulo que possui lados medindo 1, ao aplicar o teorema de Pitágoras, o resultado encontrado foi um número irracional. h² = 1² + 1² h² = 1 + 1 h = √2 Ao encontrar o número √2, os matemáticos perceberam que esse número não poderia ser classificado como racional, pois não pode ser escrito como uma fração. Surgiu, então, a necessidade da criação e do estudo de um novo conjunto, o conjunto dos números irracionais. Para que um número seja irracional, a sua representação deve ser uma dízima não periódica. Um número irracional não pode ser representado como uma fração. Na tentativa de encontrar um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte em 2, chegamos a uma dízima não periódica: √2 = 1,41421356… Toda raiz não exata é um número irracional. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Exemplos:
Além das raízes não exatas, qualquer dízima não periódica é um número irracional. Exemplos:
Existem alguns casos especiais de dízimas não periódicas, como o número π, que é encontrado em problemas envolvendo a circunferência, e o número ɸ (lê-se: fi), que é bastante comum em problemas envolvendo proporções na natureza. π = 3,14159265… ɸ = 1,61803399… Leia também: Números primos — números que têm como divisores apenas o 1 e eles mesmos Conjunto dos números irracionaisCom a descoberta das dízimas não periódicas e a constatação de que esses números não podem ser escritos como uma fração, surgiu um novo conjunto, o conjunto dos números irracionais, que é formado por todos os números cuja representação decimal é uma dízima não periódica. Para representar o conjunto dos números irracionais, é comum o uso da letra I. Como existem infinitas dízimas periódicas, esse conjunto também é infinito. Da união dos números irracionais com os números racionais surgiu o conjunto dos números reais. Números irracionais e números racionaisOs números reais podem ser divididos em dois conjuntos: o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Diferentemente dos números naturais e inteiros, que são também racionais, o conjunto dos números irracionais não possui nenhum elemento em comum com o conjunto dos números racionais, ou seja, ou um número é racional, ou um número é irracional, mas nunca os dois ao mesmo tempo. O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados como uma fração. Já o conjunto dos números irracionais é formado por números que não podem ser representados como uma fração. São elementos do conjunto dos números racionais:
{ … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 …}
a) 1,5 b) 4,321 c) 9,83
a) 5,011111… b) 8,14141414… c) 0,33333… Em resumo, todos os números que podem ser representados como uma fração fazem parte do conjunto dos números racionais. Veja também: Diagrama de Venn — método de representação geométrica dos conjuntos numéricos Operações com números irracionais
Para somar ou subtrair números irracionais, o mais comum é usar uma aproximação racional desses números para conseguir realizar as operações. Muitas vezes, ao realizar a soma de dois números racionais, por exemplo, deixamos a operação indicada, mas não realizamos o cálculo em si. Exemplos:
A multiplicação ou a divisão quando o número é uma raiz não exata é uma operação possível, e o resultado nem sempre é um número irracional. Exemplos:
Exercícios resolvidosQuestão 1 - Durante a resolução de um problema envolvendo o teorema de Pitágoras, Marcelo encontrou o valor √20. Ao tentar calcular essa raiz quadrada, sobre o resultado encontrado, ele escreveu três afirmações. I. O resultado é um número irracional. II. A representação decimal é uma dízima periódica. III. A representação decimal desse número está entre 4 e 5. Das afirmativas feitas por Marcelo, ele acertou: A) somente I e II. Resolução Alternativa C. I → Correta, pois é uma raiz não exata. II → Errada, pois uma raiz não exata é uma dízima não periódica. III → Correta. √20 não é uma raiz exata, mas está entre √16 = 4 e entre √25 = 5. Somente as afirmativas I e III estão corretas. Questão 2 - Analise os números a seguir e classifique-os como racionais ou irracionais. I) 3,1415 II) π III) 1,123902123… IV) √36 São considerados números irracionais: A) somente I e IV. Resolução Alternativa B. I → É um número decimal exato, logo é considerado um número racional. II → O π é um número irracional, pois sua representação decimal é uma dízima não periódica. III → Esse número é uma dízima não periódica, logo é um número irracional. IV → Se calcularmos √36, o resultado é 6, que é um número racional. São números irracionais somente II e III. Como representar um número irracional na reta numérica?A intersecção com o eixo x (ponto P) determinará a localização na reta numérica, do número irracional raiz quadrada de 7. Nesse momento, você poderá mostrar a aproximação entre inteiros, verificando que a raiz procurada encontra-se entre 2 e 3. (4 < 7 < 9 ).
Como podemos representar os números irracionais?Conjuntos Numéricos
O conjunto dos números irracionais é representado por I.
Quais são os números irracionais na reta numérica?Os números irracionais são todos aqueles números que não podem ser obtidos através da divisão entre dois números inteiros, ou seja: não podem ser representados na forma "A sobre B". Resumindo: eles não podem ser representados na forma de fração, diferentemente dos números racionais, com os quais podemos fazer isso.
Como podemos representar os números racionais na reta numérica?Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e 4 em 100 partes iguais e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima.
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Como podem ser as representações os números irracionais numa reta numérica?
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