Dados os pontos a(-2 m) e b(1 3)

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Dados os pontos A - 3,2 e B 5 , - 2, determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento A B tais que A M - = 1 2 A B - e A N - = 2 3 A B -. Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, em que P seja tal que A P - = 3 2 A B -.

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Passo 1

Primeiro vamos ver graficamente esses pontos para analisar melhor:

Agora vamos determinar os pontos M e N, para M temos que:

A M - = 1 2 A B - → M - A = 1 2 B - A → M = 1 2 B - A + A

Vamos então substituir os pontos para encontrar M:

M = 1 2 B - A + A → M = 1 2 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →

→ M = 1 2 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → M = 1 2 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →

→ M = 1 2 8 , - 4 + - 3,2 → M = 8 2 , - 4 2 + - 3,2 → M = 4 , - 2 + - 3,2 →

→ M = 4 + - 3 , - 2 + 2 = 1 , 0

Passo 2

Agora vamos determinar N, temos que:

A N - = 2 3 A B - → N - A = 2 3 B - A → N = 2 3 B - A + A

Vamos então substituir os pontos para encontrar N:

N = 2 3 B - A + A → N = 2 3 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →

→ N = 2 3 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → N = 2 3 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →

→ N = 2 3 8 , - 4 + - 3,2 → N = 2 ⋅ 8 3 , - 2 ⋅ 4 3 + - 3,2 → N = 16 3 , - 8 3 + - 3,2 →

→ N = 16 3 + - 3 , - 8 3 + 2 → N = 1 6 - 9 3 , - 8 + 6 3 = 7 3 , - 2 3

Passo 3

Vamos agora determinar P, temos que:

A P - = 3 2 A B - → P - A = 3 2 B - A → P = 3 2 B - A + A

Vamos novamente então substituir os pontos para encontrar P:

P = 3 2 B - A + A → P = 3 2 5 , - 2 - - 3,2 + - 3,2 →

→ P = 3 2 5 - - 3 , - 2 - 2 + - 3,2 → P = 3 2 5 + 3 , - 4 + - 3,2 →

→ P = 3 2 8 , - 4 + - 3,2 → P = 3 ⋅ 8 2 , - 3 ⋅ 4 2 + - 3,2 → P = 12 , - 6 + - 3,2 →

→ P = 12 + - 3 , - 6 + 2 = 9 , - 4

Passo 4

Pronto, achamos os pontos que queríamos, vamos construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P:

Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.

Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

Questão 1

Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?

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Resposta correta: dPQ = 7.

Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.

dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Questão 2

Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).

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Resposta correta: dRT = 2.

As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.

dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Veja também: Distância entre dois pontos

Questão 3

Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?

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Resposta correta: dDC =

Sendo

Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:

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A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.

Rafael Asth

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Qual é a distância entre os pontos a 5

Qual é a distância entre os pontos a 2 4 EB 2 2?