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Os primeiros seis números triangulares. Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de um triângulo equilátero. O n-ésimo número triangular pode ser visto como o número de pontos de uma forma triangular com lado formado por n pontos, o que equivale à soma dos primeiros n números naturais. A sequência dos números triangulares (sequência A000217 na OEIS), começando pelo 0-ésimo termo, até o 40-ésimo é: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820... Tal conceito é utilizado de maneira mais generalizada em progressões aritméticas. Fórmula[editar | editar código-fonte]Em geral, o n-ésimo número triangular é dado por: A primeira equação pode ser demonstrada por uma prova visual.[1] Para cada número triangular ,imagine um arranjo de objetos correspondente ao número triangular e que forme metade de um quadrado, como na figura ao lado. Exemplo de arranjo de objetos formando metade de um quadrado. Ao se criar uma cópia esse arranjo e juntá-la ao original, forma-se uma figura retangular com o dobro de objetos e de dimensões , que também é o número de objetos na figura. Evidentemente, o número triangular sempre equivalerá à metade do número de objetos do retângulo, ou seja: Segue o exemplo para : (soma dos pontos amarelos e verdes) implica Retângulo formado pelo quarto número triangular (soma dos pontos verdes) e sua cópia. A primeira equação também pode ser demonstrada usando-se o princípio da indução.[2] Primeiro, verifica-se a validade da equação para n = 1: Depois, assumindo a veracidade da hipótese para n = (n-1), verifica-se a validez para n = n para a confirmação a tese.
É dito que Carl Friedrich Gauss encontrou essa relação em sua juventude.[3][4] Independentemente da veracidade da história, Gauss não foi o primeiro a lidar com números triangulares; alguns pensam que seus estudos remontam à época dos pitagóricos no século V a.C. a partir de seus estudos com números figurados.[5] Relação com outros números figurados[editar | editar código-fonte]Os números triangulares tem uma variedade de relações com os número figurados.
Alternativamente, o mesmo fato pode ser demonstrado visualmente: 6 + 10 = 16 Um quadrado cujo lado é um número triangular pode ser dividido em quadrados e meios-quadrados cujas áreas formam cubos. Isso prova que o quadrado do n-ésimo número triangular é igual à soma dos primeiros n cubos.
com
com e
Por exemplo, o sexto número heptagonal (81) menos o sexto número hexagonal (66) resulta no quinto número triangular (15) - partindo do ponto de que o primeiro número triangular é 1.
,sendo um número triangular.
Outras propriedades[editar | editar código-fonte]
, onde p é um primo de Mersenne. Não se conhece nenhum número ímpar perfeito, portanto todos os números perfeitos pares são triangulares.
0 = 9 × 0 1 = 9 × 0 + 1 3 = 9 × 0 + 3 6 = 9 × 0 + 6 10 = 9 × 1 + 1 15 = 9 × 1 + 6 21 = 9 × 2 + 3 28 = 9 × 3 + 1 36 = 9 × 4 45 = 9 × 5 55 = 9 × 6 + 1 66 = 9 × 7 + 3 78 = 9 × 8 + 6 91 = 9 × 10 + 1 … Se um número triangular não é divisível por 3, existe uma propriedade mais específica que mostra que ao ser divido por 27, este número terá resto 1, ou ao ser divido por 81, este número terá resto 10.
O contrário da primeira afirmação nem sempre é verdadeiro. O número 12, por exemplo, não é triangular, mas é divisível por 3 e tem raiz digital 3.
Os primeiros pares dessa forma (excetuando-se 1x + 0) são: 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21, ...etc. Dado x = , essas fórmulas geram T3n + 1, T5n + 2, T7n + 3, T9n + 4, e assim por diante.
Isso pode ser mostrado pela soma de uma série telescópica:
e que podem ser estabelecidas ao se observar um padrão de pontos (ver acima) ou algebricamente.
Aplicações[editar | editar código-fonte]O número triangular resolve o problema do aperto de mão, que pergunta o número de apertos de mão em uma sala com n + 1 pessoas, sendo que cada pessoa cumprimenta outra apenas uma vez. Um modo de se calcular a depreciação de um ativo é o método da soma dos algarismos dos anos, que envolve encontrar Tn , sendo n os anos de vida útil do ativo. Cada ano o item perde (b − s) × n − yTn , onde b é o valor inicial do item, s é o valor de salvamento final, n a vida útil do item, e y o ano na tabela de depreciação.Usando este método, um item com n = 4 anos irá perder do seu valor "perdível" no primeiro ano, no segundo, no ano seguinte e no último ano, totalizando uma depreciação total de do seu valor perdível. Raízes triangulares e teste de identificação[editar | editar código-fonte]Por analogia à raiz quadrada de x, é possível definir a raiz triangular positiva de x desde que este seja um número triangular que deriva do algoritmo de resolução de equações quadráticas. Logo, um inteiro x é triangular se e somente se 8x + 1 for um quadrado. De modo equivalente, se a raiz triangular positiva n de x for um número inteiro, então x é o n-ésimo número triangular. Ver também[editar | editar código-fonte]
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
Qual é o próximo número da sequência 1 3 6 10 15?Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, ... Portanto, o próximo número triangular quadrado após o 36 é o ...
Qual o próximo número da sequência da frente 1 3 6 10 15 21 28?O próximo número da sequência é 36.
Qual é a lei de formação de 3 6 9 12 15?A lei de formação também é conhecida como fórmula do termo geral. por 1, 2, 3, 4 e 5 na lei de formação dada. A sequência com essa lei de formação é (3, 6, 9, 12, 15, …).
Como descobrir a lei de formação de uma sequência?A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência. Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
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