Esta lista de exercícios sobre função inversa vai te ajudar nos seus estudos sobre o tema, com questões sobre a lei de formação dessa função e sua condição de existência.Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática Show
Questão 1 Dada a função f: R → R, com lei de formação igual a f(x) = 2x + 1, e seja f-1 sua função inversa, o valor de f- -1 (7) é: A) 0. B) 1. C) 2. D) 3. E) 4. Questão 2 Suponha que a função f seja inversível e que sua lei de formação seja f(x) = 5x – 10. A lei de formação da sua inversa é: Questão 3 Dada a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e lei de formação f(x) = 2x – 5. Sabendo que f-1 é sua inversa, o ponto a seguir que pertence ao gráfico de f-1 é: A) A(1, – 3). B) B(4, 5). C) C(2,1). D) D(1,3). Questão 4 (Consulpan) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é: A) 2 B) 9 C) 12 D) 15 Questão 5 Dada a função f(x) = log2 (x+3) – 2, suponha que ela seja uma função inversível. Desse modo, a lei de formação da sua função inversa é: A) f-1(x) = 2x – 2 – 3 B) f-1(x) = 2x+3 +2 C) f-1(x) = 3x – 2 D) f-1(x) = log3 (x – 2) E) f-1(x) = (x+3)² + 2 Questão 6 Dada a função f: A → B, em que A ={0,1, 2, 3} e B{ – 1, 0, 3, 8}, com lei de formação f(x) = x² – 1, podemos afirmar que: A) a função é inversível, pois ela é bijetora. B) a função não é inversível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora. C) a função não é inversível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora. D) a função não é inversível, pois ela é bijetora. Questão 7 Sabendo que a função f: A → B, com lei de formação f(x) = x3 + 2, é inversível, então a lei de formação da função inversa é: Questão 8 (UEL) Sendo f: R → R+* a função definida por f(x) = 2x, então a expressão que define a função inversa de f é: Questão 9 Dada a função bijetora f(x) = 2x – 4, o valor de f( f – 1 (2)) é: A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 Questão 10 Dada a função f: A → B, em que A= {-1, 0, 1} e B= {0, 1}, com lei de formação f(x)= x², podemos afirmar que: I → a função é injetora; II → a função é sobrejetora; III → a função é bijetora. É(são) verdadeira(s): A) somente as afirmativas I e II. B) somente a afirmativa I. C) somente a afirmativa II. D) nenhuma das afirmativas. E) todas as afirmativas. Questão 11 (FGV) Considere a função real f definida por:
A) – 3. B) – 5. C) – 7. D) – 9. E) – 11. Questão 12 (UERN) Considerando as funções f(x) 3x – 2 e g(x) – 2x + 1, o valor de k, tal que f(g(k)) – 1 = 1, é: A) 3. B) 2. C) – 1. D) – 5. Respostas Resposta Questão 1 Alternativa D. Primeiro encontraremos a lei de formação da função inversa de f. Para isso, trocaremos x por y e f(x) por x na lei de formação: Agora calcularemos o valor numérico para a função quando x = 7: Resposta Questão 2 Alternativa C. Dada a função f(x) = 5x – 10, para encontrar a sua inversa, vamos substituir x por y e f(x) por x. Então, temos que: x = 5y – 10 Isolando o y: Resposta Questão 3 Alternativa D. Dado o ponto do tipo (b,a), se ele pertence à função inversa de f(x), então o ponto (a,b) pertence à função f(x). Para verificar à qual ponto pertence a inversa, basta calcular o valor numérico invertendo os valores do par ordenado.
f (x) = 2x – 5 x = – 3 e y = 1 f( – 3) = 2 · (– 3) – 5 f( – 3) = – 6 – 5 = – 11 Note que o resultado tinha que ser 1, logo o ponto A não pertence à função inversa.
f(5) = 2 · 5 – 5 f(5) = 10 – 5 = 5 Note que o resultado tinha que dar 4, logo o ponto não pertence à inversa de f.
f(1) = 2 · 1 – 5 f(1) = 2 – 5 f(1) = – 3 O ponto C não pertence à função inversa, pois o resultado tinha que ser 2.
f(3) = 2 · 3 – 5 f(3) = 6 – 5 f(3) = 1 Nesse caso, o ponto (3,1) pertence à f(x), logo o ponto D(1,3) pertence à inversa de f(x). Resposta Questão 4 Se a função f- – 1(x) passa pelos pontos (2,5) e (3,0), a função f-(x) passa pelos pontos (5,2) e (0,3). Com isso, podemos encontrar a lei de formação da função. Sabemos que y = ax + b e usando o segundo ponto (0,3), temos que x = 0 e y = 3. 3 = 0 · x + b 3 = b b = 3 Então: y = ax + 3 Conhecendo o valor de b, é possível encontrar o valor de a usando o ponto (5,2):
Resposta Questão 5 Alternativa A. Para encontrar a função inversa, trocaremos f(x) por x e x por y na lei de formação:
f-1(x) = 2x – 2 – 3 Resposta Questão 6 Alternativa A. Verificaremos se a função é injetora e sobrejetora. A sua lei de formação é f(x) = x² – 1. Primeiro verificaremos se ela é injetora. Para isso, calcularemos o valor numérico da função para os valores do domínio A. f(0) = 0² – 1 = – 1 f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0 f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 f(3) = 3² – 1 = 9 – 1 = 8 Note que elementos distintos possuem imagem distinta, logo a função é injetora. Agora vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto B. Note que isso também acontece, pois todo elemento do contradomínio B é imagem de um elemento no conjunto A, então a função é bijetora, logo ela é inversível. Resposta Questão 7 Alternativa D. Trocando f(x) por x e x por y, temos que: x = y3 + 2 Isolando o y: Resposta Questão 8 Alternativa C. A lei de formação é: y = 2x Trocando x por y: x = 2y Aplicando logaritmo dos dois lados: log2x = log22y log2x = ylog22 log2x = y · 1 log2x = y y = log2x f – 1 (x) = log2x Resposta Questão 9 Alternativa E. Seja x um número tal que f(x) = 2, então sabemos que f – 1(2) = x. Igualando f(x) a 2, temos que: 2x – 4 = 2 2x = 2 + 4 2x = 6 x = 6 : 2 x = 3 Sabemos que f(3) = 2 → f – 1 (2) = 3, logo f( f – 1 (2)) = f(3), mas sabemos que f(3) = 2, então: f( f – 1 (2)) = 2 Resposta Questão 10 Alternativa C. I – Falsa. Verificando se a função é injetora, temos que: f( – 1) = ( – 1)² = 1 f(0) = 0² = 0 f(1) = 1² = 1 Note que a função não é injetora, pois f( – 1) = f(1). II – Verdadeira. Para todo elemento b do contradomínio B {0,1}, existe pelo menos um elemento no domínio tal que f(a) = b, logo a função é sobrejetora. III – Falsa. Como a função não é injetora, ela não pode ser bijetora. Resposta Questão 11 Alternativa C. Se f – 1 (2) = 5 → f(5) = 2, então: Resposta Questão 12 Alternativa D. Primeiro encontraremos a função f(g(x)): f(g(x)) = 3 (-2x + 1) - 2 f(g(x)) = -6x + 3 - 2 f(g(x)) = -6x + 1 Sabemos que f(g(k)) – 1 = 1, então f(g(1)) = k. Como queremos o valor de k, temos que: f(g(x)) = -6x + 1 x = 1 e f(g(1)) = k k = – 6· 1 + 1 k = – 6 + 1 k = – 5 Para quê valores reais de uma função não admite zeros reais?Uma função não terá zeros reais se o valor de seu discriminante (∆) for negativo.
Para quê valores reais de Ka função F x kResposta verificada por especialistas
Para k > 5/4, a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zero reais. Para que uma função do segundo grau não tenha raízes reais, o valor de delta tem que ser negativo, ou seja, menor que zero.
Para quê valores de Ka função F x )= KX² 6x 1 tem zeros reais e diferentes?Resposta verificada por especialistas
Para k < 9, a função f(x)= kx² - 6x +1 admite zeros reais e diferentes. É através do discriminante Δ que conseguimos analisar as raízes de uma equação do segundo grau. Se Δ < 0, então a equação não possui solução real.
Para quê valores de má função F x m 2 x 2 2x 6 admite valores reais?Questão 2. Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais. Para essa situação temos que ∆ ≥ 0. O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.
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