Quais as principais razões trigonométricas de um triângulo retângulo?

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria. Ele possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e a medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

• Equilátero: possui todos os lados com medidas iguais.

• Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.

• Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser:

• Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º.

• Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.

• Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado de ângulo reto.

No triângulo retângulo, existem algumas importantes relações. Uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.

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As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Seno = cateto oposto
            hipotenusa

Cosseno = cateto adjacente
                 hipotenusa

Tangente =    cateto oposto   
                   cateto adjacente

Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC, que possui lados que medem a, b e c.

senoB = b
            a

cossenoB = c
                  a

tangenteB = b
                  c
 

senoC = c
             a

cossenoC = b
                  a

tangenteC = c
                  b

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Trigonometria no triângulo retângulo"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm. Acesso em 13 de agosto de 2022.

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A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos.

Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo.

Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.

O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

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O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo abaixo:

Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que

Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:

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