Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta. Essa figura é fechada e nenhum desses segmentos de reta encontra-se a não ser em suas extremidades. Quando o polígono é convexo, é possível descobrir a soma dos seus ângulos internos sem ter que medi-los. Isso é feito por meio de uma fórmula matemática. Show Polígono convexo Um polígono é convexo quando o segmento de reta cujas extremidades são pontos do interior do polígono está inteiramente dentro dele. Em outras palavras, alguns polígonos possuem uma espécie de “boca”, de modo que é possível escolher dois de seus pontos e ligá-los por um segmento de reta que não está inteiramente dentro do polígono. Esses são os chamados não convexos. Observe a imagem a seguir que mostra um polígono convexo à esquerda e um não convexo à direita.  Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180. Para tanto, é preciso criar uma divisão em que a soma dos ângulos dos triângulos seja igual à soma dos ângulos dos polígonos. É fácil ver que, se escolhermos um vértice de um polígono, as suas diagonais formarão triângulos que cumprem esse pré-requisito. Observe a imagem a seguir: Essa figura é um hexágono. Repare que, partindo de um mesmo vértice, é possível dividi-lo em quatro triângulos. Para qualquer figura, sempre será possível encontrar n – 3* diagonais partindo do mesmo vértice e, consequentemente, serão formados n – 2* triângulos nesse processo (*n = número de lados do polígono). Como já foi dito, a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao número de triângulos formados dentro dele multiplicado por 180°. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é: S = (n – 2)180° Exemplos:
Os icoságonos são polígonos que possuem 20 lados. A soma dos ângulos internos é: S = (n – 2)180 S = (20 – 2)180 S = 18·180 S = 3280°
Polígonos regulares possuem ângulos congruentes. Assim, já sabendo que a soma dos ângulos internos do icoságono é 3280°, cada ângulo dele é igual a: 3280
= 162°
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:
Todos sabem que a soma dos �ngulos internos de um tri�ngulo vale dois �ngulos retos. Este � um dos resultados centrais da Geometria Euclidiana. Ele se estende facilmente para mostrar que a soma dos �ngulos internos de um pol�gono convexo com n lados � igual a n A dificuldade para pol�gonos n�o-convexos se concentra em dois pontos cruciais: o primeiro � a decomposi��o de um pol�gono, por meio de diagonais internas, em tri�ngulos adjacentes e o segundo � a pr�pria defini��o de �ngulo externo. Nosso objetivo aqui � esclarecer esses pontos, mostrando que todo pol�gono de n lados, convexo ou n�o, decomp�e-se, mediante n
Soma dos �ngulos internos de um tri�ngulo Come�aremos recordando o caso de um tri�ngulo cujos �ngulos internos chamaremos de Esta � a demonstra��o que os livros trazem e que n�s costumamos repetir em classe. Dentro do princ�pio de que sempre vale a pena, para quebrar a monotonia e arejar as id�ias, olhar para as coisas fundamentais sob v�rios �ngulos (sem trocadilho), vejamos duas outras demonstra��es deste fato. Mostremos, por exemplo, como a f�rmula Suponhamos, ent�o, que o tri�ngulo seja ret�ngulo. Seus �ngulos s�o
2. Um caso particular significativo. O caso geral reduz-se a este, baixando-se a altura sobre o maior lado. (Essa altura cai sempre no interior do tri�ngulo.) Isto decomp�e o tri�ngulo arbitr�rio em dois tri�ngulos ret�ngulos. Usando o caso particular j� provado, e observando que
3. O caso geral resulta do particular. Outra
maneira de provar a f�rmula
4. A soma dos �ngulos externos. A demonstra��o de que a + b + c = 4R se faz fixando um ponto qualquer e, a partir dele, tra�ando semi-retas paralelas aos tr�s lados do tri�ngulo. Elas determinam 3 �ngulos iguais a a, b e c os quais, juntos, d�o uma volta completa no plano, logo a + b + c = 4R. Nesta �ltima demonstra��o, h� um cuidado a tomar. Para cada lado do tri�ngulo, h� duas semi-retas (opostas) partindo do ponto pr�-fixado e paralelas a esse lado. Se trocarmos uma delas por sua oposta n�o teremos mais 3 �ngulos iguais a a, b e c. Para escolher as semi-retas certas, d�-se uma volta ao longo do tri�ngulo, marcando com setas o sentido do percurso (figura acima), e tomam-se as semi-retas que correspondem ao sentido de cada seta. Soma dos �ngulos internos de um pol�gono Em seguida, consideremos a soma dos �ngulos internos de um pol�gono com n lados. Se ele � convexo, n�o h� dificuldade. A partir de um v�rtice qualquer, tra�amos n
Caso o pol�gono n�o seja convexo, a situa��o requer uma an�lise mais cuidadosa. J� n�o podemos mais tra�ar todas as diagonais a partir de um v�rtice qualquer, pois algumas delas podem ser externas ou podem cortar outros lados do pol�gono. Inicialmente, esclare�amos que a palavra pol�gono significar� sempre pol�gono simples, isto �, uma linha poligonal fechada que pode ser inteiramente percorrida sem que se passe mais de uma vez por qualquer dos seus pontos. Algumas vezes, pol�gono significar� tamb�m a por��o do plano limitada por essa poligonal. Chama-se diagonal a todo segmento de reta que une dois v�rtices n�o consecutivos de um pol�gono. Mostraremos agora que, mesmo n�o sendo convexo, qualquer pol�gono pode ser decomposto em tri�ngulos adjacentes por meio de diagonais convenientes. O teorema a seguir, que exprime este fato, raramente � demonstrado, embora n�o seja t�o dif�cil assim. Teorema 1. Tra�ando-se diagonais internas que n�o se cortam, pode-se decompor qualquer pol�gono em tri�ngulos justapostos. Demonstra��o: Primeiro caso: A, B e C s�o os �nicos v�rtices do pol�gono
P contidos no tri�ngulo ABC. 7. B � um v�rtice saliente. Como o tri�ngulo ABC n�o cont�m nenhum outro v�rtice de P al�m de A, B e C, a decomposi��o de P em tri�ngulos come�a tra�ando-se AC. Neste caso, o pol�gono P', obtido de P substituindo-se os lados AB e BC por AC, tem n
8. O tri�ngulo ABC cont�m outros v�rtices de P al�m de A, B e C. Sendo D ov�rtice de P contido no tri�ngulo ABC, mais
afastado de AC(D Segundo caso: O tri�ngulo ABC cont�moutros v�rtices do pol�gono P al�m de A, B e C. Dentre eles, seja D o mais distante do lado AC. Ent�o a diagonal DB n�o pode conter outros v�rtices de P al�m de D e B. Essa diagonal, portanto, decomp�e P em dois pol�gonos adjacentes P' e P", ambos com menos lados do que P. O teorema vale, ent�o, para P' e P", que se decomp�em em tri�ngulos justapostos, na forma do enunciado. Juntando essas decomposi��es com DB, obtemos uma decomposi��o de P. Contradi��o. Isto prova o segundo caso . A figura abaixo mostra o mesmo pol�gono decomposto em tri�ngulos mediante diagonais internas tra�adas de duas maneiras diferentes. Nos dois casos, o n�mero de tri�ngulos �igual e o mesmo se d� com o n�mero de diagonais. 0 teorema seguinte diz que isto n�o �uma casualidade. 9. Duas decomposi��es diferentes do mesmo pol�gono determinam 5 tri�ngulos e utilizam 4 diagonais. Experimentando outra decomposi��o qualquer, acharemos sempre estes mesmos n�meros. Teorema 2. Quando um pol�gono P de n lados � decomposto, tra�ando-se diagonais internasque n�o se cortam, em tri�ngulos justapostos, o n�mero de tri�ngulos � sempre n
Demonstra��o: Supondo, por absurdo, que o teorema seja, falso, consideremos P um pol�gono com o menor n�mero n de lados
para o qual o teorema n�o seja v�lido. Ent�o P decomp�e-se, por meio de d diagonais internas, em t tri�ngulos justapostos, com d
implicam imediatamente que t = n Corol�rio 1: A soma dos �ngulos internos de qualquer pol�gono (simples) de n
lados � igual a (n Com efeito, o pol�gono decomp�e-se em n Corol�rio 2: A soma dos �ngulos externos de qualquer pol�gono (simples) � igual a 4R . Aqui � necess�rio lembrar corretamente as no��es de �ngulo interno e externo de um pol�gono. Quando o pol�gono � convexo, seus v�rtices s�o todos salientes e os �ngulos internos s�o
menores do que dois �ngulos retos. Em cada v�rtice, o �ngulo externo �, por defini��o, formado por um lado do pol�gono e o prolongamento do lado adjacente. Isto equivale a dizer que o �ngulo externo Se o
pol�gono n�o � convexo, ele possui v�rtices reentrantes. O �ngulo interno a num desses v�rtices reentrantes � maior do que dois �ngulos retos. 0 �ngulo externo 10. Os �ngulos externos de um pol�gono convexo s�o todos positivos. Se o pol�gono n�o � convexo, h� pelo
menos um �ngulo interno Dada esta explica��o, o Corol�rio 2 torna-se
evidente. Com efeito, seja S a soma dos �ngulos externos de um pol�gono de n lados. A soma dos �ngulos internos sendo (n Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono convexo?A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser determinada conhecendo o número de lados (n), bastando subtrair este valor por dois (n - 2) e multiplicar por 180°.
Qual a medida da soma dos ângulos internos é externos de um polígono convexo?Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo.
Como calcular a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo?Em todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por: S = (V − 2) 360◦.
Como calcular a soma dos ângulos externos de um polígono convexo?Vejamos se a soma dos ângulos externos será 360° para qualquer polígono convexo. ... . Se somarmos os ângulos suplementares de um polígono convexo com n lados, teremos a seguinte expressão:. Ou seja, para qualquer que seja o polígono convexo, a soma dos seus ângulos externos será igual a 360°.. |
Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?
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