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A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$. Definição 1:Ângulo interno de um polígono é o ângulo formado por dois de seus lados, que seja interno ao polígono. [Figura 1] Teorema 1:A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de $N$ lados é dada pela fórmula: \begin{equation} $\bullet$
$S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos; Demonstração:Tomando um polígono convexo, para $N>3$, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer: [Figura 2] Vejam que há uma relação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo: [Tabela 1] Como soma das medidas dos ângulo internos de um polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os $N-2$ triângulos que o compõe, e como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a $180^\circ$, temos: \begin{equation} \begin{equation} onde $\alpha$ é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de $N$ lados. Ângulos ExternosDefinição 2:Ângulo externo de um polígono é aquele suplementar ao ângulo interno em um dado vértice, formado pelo prolongamento de um dos lados e o lado adjacente. [Figura 3] Teorema 2:A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de $N$ lados é igual a $360^\circ$: \begin{equation} $\bullet$ $\beta_N$ é o ângulo externo do polígono; Demonstração:Partimos do fato que a soma dos ângulos interno e externo é igual a um ângulo raso. Assim:
\begin{equation} Então, para cada par de ângulos associados a um lado $N$ do polígono, temos: \begin{equation} Somando membro a membro as $N$ igualdades, obtemos: \begin{equation} $\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos; $\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos; $\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono. Manipulando a equação $(7)$, obtemos: \begin{equation} Substituindo $S_\alpha$ dada na equação $(2)$, obtemos: \begin{equation} Uma consequência imediata desse resultado é a determinação da medida de um ângulo externo de um polígono regular, dada por: \begin{equation} Exemplo 1:Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono. Temos que $N=7$, já que o polígono é um heptágono. Assim: \begin{matrix} Desse modo, a soma dos ângulos internos de um heptágono vale $900^\circ$. Exemplo 2:Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono regular e determinar a medida de cada ângulo externo. Temos que $N=9$. Fazemos: \begin{matrix} Para sabermos quanto vale cada ângulo interno, dividimos a soma dos ângulos internos por $9$, obtendo $140^\circ$. Agora, para calcularmos o ângulo externo, basta fazermos: \begin{matrix} Exemplo 3:Qual polígono possui a soma das medidas dos ângulos internos igual a $1800^\circ$? Basta aplicarmos a fórmula: Logo, o polígono procurado é o dodecágono. Exemplo 4:Qual polígono regular possui a medida dos ângulos externos igual a $60^\circ$? Aplicamos a fórmula dada em $(10)$: $$ Logo, o polígono em questão é um hexágono. Exemplo 5:Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo? Podemos escrever que $\alpha = 3\beta$. E agora substituirmos as equações $(3)$ e $(10)$: $$ Referências:
Veja mais:
Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é igual a soma dos ângulos externos?Portanto, o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1440o é o decágono, que apresenta 10 lados. Observação: A soma dos ângulos externos de um polígono qualquer é igual a 360°.
Qual é o polígono convexo cuja a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 720?O polígono cuja soma dos ângulos internos vale 720° é o hexágono.
Qual é o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quadruplo da soma das medidas dos ângulos externos? Dessa forma, como são 10 lados, o polígono procurado se chama decágono.
Qual é a soma dos ângulos externos de um polígono convexo?Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
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