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Título: Professor: Turma: QUESTÕES DO SUPERPROFESSOR MEC NELSON RODRIGUES MARTINHO FILHO CURSO DE FÍSICA DO ENSINO MÉDIOCláudia, ginasta e estudante de Física, está encantada com certos apelos estéticos presentes na Física Teórica. Ela ficou fascinada ao tomar conhecimento da possibilidade de uma explicação unificadora para todos os tipos de forças existentes no universo, isto é, que todas as interações fundamentais conhecidas na natureza (gravitacional, eletromagnética, nuclear fraca e nuclear forte) poderiam ser derivadas de uma espécie de superforça. Em suas leituras, ela pôde verificar que, apesar dos avanços obtidos pelos físicos, o desafio da grande unificação continua até os dias de hoje. Cláudia viu, em um de seus livros, um diagrama ilustrando a evolução das principais idéias de unificação ocorrida na Física. Questão 1 See other formatsRAMALHO e NICOLAU e TOLEDO |
OS FUNDAMENTOS DA
1
Mecânica
å
= ||| Moderna
E ~ Es ct Clos: RE ia 9
Francisco Ramalho Junior
Professor de Física em cursos pré-vestibulares.
Nicolau Gilberto Ferraro
Licenciado em Física pelo Instituto de Física da Universidade de São Paulo.
Engenheiro metalurgista pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
Professor de Física em cursos pré-vestibulares e em escolas do ensino médio e superior.
Paulo Antônio de Toledo Soares
Médico diplomado pela Universidade de São Paulo.
Professor de Física em cursos pré-vestibulares e em escolas do ensino médio.
OS FUNDAMENTOS DA
; “Contém
CD-ROM
Mecânica
s P Novas seções:
P ESA
BN + * Entre na rede
dona * Leia mais
tensao e A Física em nosso Mundo
92 edição
= ||| Moderna
© Francisco Ramalho Junior,
Nicolau Gilberto Ferraro,
Paulo Antônio de Toledo Soares, 2007
= ||| Moderna
Coordenação editorial: José Luiz Carvalho da Cruz
Edição de texto: Patrícia Furtado, Karen Tibursky Alves Ventura, Alexandre
Raymundo, Dalva Quintilio
Assistência editorial: Marina Emi Katayama
Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma
Projeto gráfico: Ulhõa Cintra Comunicação Visual e Arquitetura Ltda.
Capa: Mariza de Souza Porto
Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de revisão: Estevam Vieira Lédo Jr.
Revisão: Lumi Casa de Edição
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho
Edição de arte: Wilson Gazzoni Agostinho
Hustrações: Adilson Secco, Adolar de Paula Mendes Filho, Nelson Matsuda
Cartografia: Alessandro Passos da Costa
Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica
Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares
Pesquisa iconográfica: Vera Lucia da Silva Barrionuevo
As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de
Informação e Documentação da Editora Moderna.
Coordenação de bureau: Américo Jesus
Tratamento de imagens: Evaldo de Almeida, Fabio N. Precendo, Rubens M.
Rodrigues
Pré-impressão: Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto
Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque
Impressão e acabamento: Cly
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ramalho Júnior, Francisco, 1940- .
Os fundamentos da física / Francisco Ramalho
Júnior, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antônio
de Toledo Soares. — 9. ed. rev. e ampl. —
| São Paulo : Moderna, 2007.
| “Apêndice : O Sistema Internacional de Unidades”
Suplementado pelo manual do professor.
Conteúdo : V. 1. Mecânica — V. 2. Termologia,
óptica e ondas — V. 3. Eletricidade, introdução à
física moderna e análise dimensional.
Bibliografia.
1. Física (Ensino médio) 2. Física (Ensino
médio) — Problemas, exercicios etc. |. Ferraro,
Nicolau Gilberto, 1940-. ||, Soares, Paulo Antônio
de Toledo, 1941. IIl. Título.
07-4124 CDD-530.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Física: Estudo e ensino 530.7
ISBN 978-85-16-05655-1 (LA)
ISBN 978-85-16-05656-8 (LP)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0... 11) 6090-1500
Fax (0. 11) 6090-1501
www, moderna.com.br
2007
Impresso no Brasil
1357910 8642
Aos professores
Cláudio Kraemer Cipoli
luda Dawid Goldman Vel Lejbman
Luiz Ferraz Netto
Mauro Sérgio Dorsa Cattani
Roberto Boczko
Vilma Sidneia Walder Vuolo
queremos expressar nosso profundo
agradecimento pela participação nesta
edição, fazendo leituras críticas da obra,
com valiosas sugestões, resolvendo
exercícios para garantir a correção das
respostas, além de outras importantes
contribuições aqui não mencionadas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Como acontece a cada nova edição de Os fundamentos da Física, ao preparar esta 9º edição, procura-
mos acatar sugestões e críticas de vários colegas professores, aos quais agradecemos, e incorporar novos
itens, sempre com a intenção de aprimorar nossa obra.
Nesta edição, o conteúdo programático dos três volumes foi mantido. O primeiro volume é dedicado
à Mecânica; o segundo aborda a Termologia, a Óptica e os Fenômenos Ondulatórios; e no terceiro volu-
me, além da Eletricidade e da Análise Dimensional, são apresentadas algumas noções de Física Moderna
(Relatividade Especial, Física Quântica e Física Nuclear).
, Os fundamentos da Física continua sendo um marco no ensino e aprendizado dessa ciência no país.
E uma obra que relaciona as leis e os fenômenos físicos ao dia-a-dia e ao desenvolvimento de processos
tecnológicos.
A estrutura básica da obra não foi modificada em relação à edição anterior. A exposição teórica de
um tema vem sempre acompanhada por exercícios resolvidos, cuja finalidade é analisar, elucidar e mes-
mo ampliar a teoria apresentada. Com objetivo semelhante, há os exercícios propostos, com os quais o
aluno pode exercitar e assimilar os itens teóricos. Há ainda, em muitos capítulos, exercícios propostos de
recapitulação, que, além de um grau de dificuldade maior que os anteriores, têm por objetivo revisar e
complementar os assuntos abordados. No final de cada capítulo, estão os testes propostos, ordenados
de acordo com a exposição da teoria. Os exercícios propostos de recapitulação e os testes propostos,
em sua maioria, foram extraídos de provas dos vestibulares recentes das principais escolas superiores do
país. Exercícios especiais, presentes em alguns capítulos, têm outra finalidade: aprofundar ainda mais os
conteúdos e relacioná-los com conceitos vistos anteriormente.
As Atividades experimentais foram em sua maioria mantidas; algumas foram ampliadas e novos expe-
rimentos foram incorporados. A fim de facilitar a realização das experiências propostas, acrescentamos
novas ilustrações e fotos. Esperamos que, ao “pôr a mão na massa” para realizar essas atividades, o aluno
tenha o interesse pela Física aumentado e que ele possa compreender melhor essa ciência e, assim o
desejamos, fascinar-se com ela.
Os textos sobre História da Física foram revistos e ampliados; alguns são novos. Esses textos situam
no tempo os cientistas e seus feitos, descrevendo seus estudos, suas pesquisas e suas descobertas. Assim,
revelam que a ciência está em constante desenvolvimento. Complementando a biografia, criamos o
item Enquanto isso..., em que fazemos breves considerações a respeito das personalidades importantes
do período, em diferentes ramos de atividade.
Ao final de vários capítulos, inserimos leituras especiais, com o título A Física em nosso Mundo, com
a finalidade de mostrar que essa ciência está fortemente relacionada com a vida e o cotidiano do ser
humano. Após cada uma dessas leituras, sugerimos novos exercícios em Teste sua leitura, para que o
aluno possa aplicar os conhecimentos apresentados no texto.
Acompanhando a expansão tecnológica de nossa sociedade, em cada capítulo indicamos endereços
eletrônicos (Entre na rede), onde o aluno poderá obter mais informações sobre os diversos assuntos de-
senvolvidos e trabalhar com animações e simulações de alguns dos fenômenos estudados. Paralelamente,
mantivemos na Internet um endereço que poderá ser visitado por professores e estudantes.
Cada volume da obra apresenta, em suas primeiras páginas, uma Linha do tempo, na qual são citados
cronologicamente os principais fatos históricos de nosso mundo e as pessoas que se destacaram nos
vários campos da atividade humana, desde 1500 até os dias atuais. Ao final de cada um dos três volumes
há um apêndice no qual são apresentados o Sistema Internacional de Unidades, um quadro geral de
unidades, as respostas de todos os exercícios do volume e o índice remissivo.
Críticas, sugestões e comentários dos colegas professores e dos estudantes — indispensáveis para o
aprimoramento desta obra — são sempre bem-vindos e podem ser encaminhados à Editora Moderna.
Ramalho
Nicolau
Toledo
Visite nosso site em: http://www.moderna.com.br/moderna/catalogo/index. html
INTRODUÇÃO GERAL
Capítulo 1 + Introdução à Física, 2
1. Introdução, 2
2. O que é a Física, 2
3. Ramos da Física, 3
4. O Universo, 3
5. Física e Matemática, 4
6. Método em Física, 4
7. Medidas de comprimento e tempo, 5
E Leitura — O metro, 5
8. Algarismos significativos, 6
9. Operações com algarismos significativos, 6
10. Notação científica, 7
11. Ordem de grandeza, 7
W História da Física — Primeiras descobertas e a revolução copernicana, 12
DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO: CINEMÁTICA ESCALAR
Capítulo 2 » Introdução ao estudo dos movimentos, 14
1. Introdução, 14
2. Posição numa trajetória, 14
3. Referencial, 16
4. Velocidade escalar média e velocidade escalar instantânea, 18
Œ Leitura — Comparando velocidades, 20
E Exercícios propostos de recapitulação, 24
E A Física em nosso Mundo — O sistema de posicionamento global, 28
Capítulo 3 e Estudo do movimento uniforme, 30
1. Movimento progressivo e retrógrado, 30
2. Função horária, 31
3. Movimento uniforme (MU), 32
4. Função horária do MU, 32
M Exercícios propostos de recapitulação, 36
E Exercícios especiais de movimento uniforme, 38
& Atividade experimental | — Análise de um movimento uniforme, 45
Æ Atividade experimental Il — Encontro de móveis em movimento uniforme, 46
Capítulo 4 « Movimentos com velocidade escalar variável. Movimento
uniformemente variado, 47
1. Movimentos com velocidade escalar variável, 47
2. Aceleração escalar, 47
E Leitura — Comparando acelerações, 48
3. Movimento acelerado e retardado, 50
4. Função horária da velocidade, 52
5. Movimento uniformemente variado (MUV), 53
6. Funções horárias do MUV, 55
7. Velocidade escalar média no MUV, 60
8. Equação de Torricelli para o MUV, 62
E Exercícios propostos de recapitulação, 63
E A Física em nosso Mundo — Da decolagem ao pouso, 67
Æ Atividade experimental — Análise de um movimento uniformemente variado, 69
Capítulo 5 « Movimento vertical no vácuo, 70
1. Introdução, 70
2. Descrição matemática, 70
E Leitura — Comparando acelerações com a da gravidade, 72
E Exercícios propostos de recapitulação, 76
& Atividade experimental — Determinação da aceleração da gravidade, 79
Æ História da Física — Galileu Galilei, 80
Capítulo 6 + Gráficos. Gráficos do MU e do MUV, 82
1. Gráficos, 82
2. Funções básicas, 83
PARTE 3
2.1. Função constante, 83
2.2. Função do 1º grau, 84
2.3. Função do 2º grau, 85
. Coeficiente angular da reta, 86
« Cálculo de áreas, 89
« Gráficos do MU, 90
. Gráficos do MUV, 93
6.1. Função s = F(t), 93
6.2. Função v = f(t), 94
6.3. Função o = f(t), 94
6.4. Resumo: gráficos do MUV, 95
E Exercícios propostos de recapitulação, 100
M Exercícios especiais de gráficos do MUV, 106
E A Física em nosso Mundo — Outras representações gráficas, 109
Aun Aw
VETORES E GRANDEZAS VETORIAIS: CINEMÁTICA VETORIAL
Capítulo 7 + Vetores, 114
« Noção de direção e sentido, 114
. Grandezas escalares e grandezas vetoriais, 114
. Vetor, 115
« Adição vetorial, 116
. Vetor oposto, 117
. Subtração vetorial, 118
« Produto de um número real por um vetor, 119
. Componentes de um vetor, 121
E Exercícios propostos de recapitulação, 123
ONA tw dd wN =
Capítulo 8 + Velocidade e aceleração vetoriais, 125
1. Introdução, 125
2. Vetor deslocamento, 125
3. Velocidade vetorial média, 126
4. Velocidade vetorial instantânea, 127
5. Aceleração vetorial média, 128
6. Aceleração vetorial instantânea, 129
6.1. Aceleração tangencial, 129
6.2. Aceleração centrípeta, 129
6.3. Aceleração vetorial, 130
7. Casos particulares importantes, 130
7.1. MRU (movimento retilíneo e uniforme), 130
7.2. MCU (movimento circular e uniforme), 130
7.3. MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), 131
7.4. MCUY (movimento circular uniformemente variado), 131
8. Composição de movimentos, 132
E Exercícios propostos de recapitulação, 138
E A Física em nosso Mundo — Como utilizar um guia de ruas, 142
Capítulo 9 + Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no vácuo, 144
1. Princípio da independência dos movimentos simultâneos (Galileu), 144
2. Lançamento horizontal no vácuo, 144
2.1. Queda livre, 145
2.2. Movimento horizontal, 145
3. Lançamento oblíquo no vácuo, 148
3.1. Movimento vertical (MUV), 148
3.2. Movimento horizontal (MU), 149
E Leitura— A parábola, 151
E Exercícios propostos de recapitulação, 154
mM Exercícios especiais de lançamento horizontal e oblíquo, 158
Æ Atividade experimental — Determinação da velocidade no lançamento
horizontal, 162
Capítulo 10 + Movimentos circulares, 163
1. Grandezas angulares, 163
1.1. Espaço angular, 163
PARTE
E Leitura — Definição de radiano (rad), 164
1.2. Velocidade angular, 164
1.3. Aceleração angular, 165
2. Período e frequência, 166
3. Movimento circular uniforme (MCU), 167
@ Leitura — Satélites geoestacionários, 170
4. Transmissão de movimento circular uniforme, 172
E Leitura — As marchas da bicicleta, 173
5. Movimento circular uniformemente variado (MCUV), 175
E Exercícios propostos de recapitulação, 177
E Exercícios especiais de movimento circular uniforme, 182
E A Física em nosso Mundo — Efeito estroboscópico, 186
FORÇAS EM DINÂMICA
Capítulo 11 + Os princípios fundamentais da Dinâmica, 189
. Introdução, 189
. Aristóteles, Galileu e Newton, 190
. Princípio da inércia (primeira lei de Newton), 190
. Inércia, 191
. Referenciais inerciais, 192
. Princípio fundamental da Dinâmica (segunda lei de Newton), 193
. O peso é uma força, 194
E Leitura — Deformações elásticas, 196
8. Classes de forças, 196
8.1. Forças de contato, 196
8.2. Forças de campo, 196
9. Massa inercial e massa gravitacional, 197
10. Sistema de unidades, 197
11. Princípio da ação-e-reação (terceira lei de Newton), 200
12. Críticas à Mecânica Clássica, 203
E Exercícios propostos de recapitulação, 214
Œ Atividade experimental | — Verificando o princípio da inércia, 221
E Atividade experimental 1 — Verificando o princípio da ação-e-reação, 222
E História da Física — Isaac Newton, 222
NA A wN
Capítulo 12 + Forças de atrito, 224
1. Introdução, 224
2. Atrito dinâmico, 224
3. Atrito estático, 228
E Leitura — Quando o atrito é importante!, 232
4. Força de resistência do ar, 233
E Leitura — Túnel aerodinâmico, 234
5. Velocidade limite, 234
Leitura — O pára-quedas, 235
Exercícios propostos de recapitulação, 237
Exercícios especiais de leis de Newton e forças de atrito, 242
Atividade experimental — Determinação do coeficiente de atrito
estático, 246
E A Física em nosso Mundo — O freio ABS, 247
“mma
Capítulo 13 + Forças em trajetórias curvilíneas, 248
1. Variação da direção da velocidade, 248
2. Resultante centrípeta, 249
3. Resultante centrípeta e resultante tangencial, 256
4. Força em referencial não-inercial, 257
M Exercícios propostos de recapitulação, 257
PARTE 5
PARTE 6
OS PRINCÍPIOS DA CONSERVAÇÃO
Capítulo 14 « Trabalho, 262
. Introdução, 262
« Trabalho de uma força constante paralela ao deslocamento, 262
« Trabalho de uma força constante não-paralela ao deslocamento, 263
. Trabalho de uma força qualquer, 265
. Dois casos notáveis, 267
5.1. Trabalho do peso, 267
5.2. Trabalho da força elástica, 269
6. Potência, 271
E Leitura — O covalo-vapor, 272
E Leitura — Comparando potências, 272
7. Rendimento, 276
E Exercícios propostos de recapitulação, 277
E Atividade experimental — Calculando trabalho e potência, 281
NAWN”
Capítulo 15 « Energia, 282
1. Introdução, 282
2. Energia cinética, 282
3. Energia potencial gravitacional. Energia potencial elástica, 285
4. Conservação da energia mecânica, 288
E Leitura — O mito do moto-perpétuo, 288
5. Diagramas de energia, 297
6. Outras formas de energia, 299
Leitura — Valores de energia, 302
Exercícios propostos de recapitulação, 303
Exercícios especiais de trabalho, potência e energia, 312
Atividade experimental — Conversão de energia potencial gravitacional em energia
cinética, 315
A Física em nosso Mundo — Fontes convencionais e fontes alternativas
de energia, 315
Ena
Capítulo 16 ° Impulso e quantidade de movimento, 320
. Introdução, 320
. Impulso de uma força, 320
« Quantidade de movimento, 322
« Teorema do impulso, 323
« Conservação da quantidade de movimento, 326
» Choques, 330
. Coeficiente de restituição, 332
E Exercícios propostos de recapitulação, 340
E A Física em nosso Mundo — O air-bag, 348
& Atividade experimental — A conservação da quantidade de movimento, 350
E História da Física — A conservação da quantidade de movimento, 351
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Capítulo 17 « A Gravitação Universal, 353
1. introdução, 353
2. As leis de Kepler, 355
E Leitura — A elipse, 356
3. Lei da Gravitação Universal, 360
E Leitura — Descobrindo planetas, 364
4. Campo gravitacional e campo de gravidade, 365
5. Aceleração da gravidade, 365
WE Leitura — A gravidade no interior da Terra, 366
6. Corpos em órbita, 369
6.1. Velocidade de escape, 370
6.2. Satélite rasante, 370
6.3. A imponderabilidade, 371
E Leitura — O lixo espacial — poluição em órbita, 372
E Exercícios propostos de recapitulação, 374
A bw Ns
E A Física em nosso Mundo — A Estação Espacial internacional, 380
Ææ História da Física — Johannes Kepler, 382
ESTÁTICA. HIDROSTÁTICA. HIDRODINÂMICA
Capítulo 18 + Sistema de forças aplicadas a um ponto material.
Equilíbrio do ponto material, 385
1. Resultante de um sistema de forças, 385
2. Determinação da resultante de um sistema de forças, 385
2.1. Sistemas de duas forças: casos particulares, 386
3. Equilíbrio de um ponto material, 389
3.1. Método da linha poligonal das forças, 389
3.2. Método das projeções, 389
E Exercícios propostos de recapitulação, 392
Capítulo 19 « Equilíbrio dos corpos extensos, 396
1. Momento de uma força em relação a um ponto, 396
2. Binário, 398
2.1. Momento do binário, 398
2.2. Resultante do binário, 398
3. Equilíbrio dos corpos extensos, 398
4. Teorema das três forças, 399
E Leitura — Centro de gravidade e centro de massa, 400
5. Tipos de equilíbrio de um corpo, 403
E Exercícios propostos de recapitulação, 408
E A Física em nosso Mundo — As máquinas simples, 416
= Atividade experimental — O equilíbrio e o centro de gravidade, 419
Capítulo 20 » Hidrostática, 421
1. Conceito de pressão, 421
2. Conceito de massa específica e densidade, 423
3. Pressão em um líquido. Teorema de Stevin, 426
3.1. Superfícies isobáricas num líquido em equilíbrio, 427
3.2. Pressão de colunas líquidas, 427
3.3. Unidades práticas de pressão, 427
3.4. A pressão atmosférica, 428
« Equilíbrio de líquidos imiscíveis. Vasos comunicantes, 432
« Princípio de Pascal. Prensa hidráulica, 433
. Teorema de Arquimedes, 435
Leitura — O Mar Morto, 437
Exercícios propostos de recapitulação, 442
À Física em nosso Mundo — Pressão arterial, 452
Atividade experimental | — Estudo do teorema de Arquimedes, 454
Atividade experimental H — Determinação aproximada de densidade (corpos
flutuantes), 454
EB História da Física — As bases da Hidrostática, 455
tn à
mma
Capítulo 21 + Hidrodinâmica, 457
1. Considerações iniciais, 457
2. Vazão, 457
3. Equação da continuidade, 458
4. Equação de Bernoulli, 460
5. Equação de Torricelli, 462
W Exercícios propostos de recapitulação, 466
& Atividade experimental — Comprovando o efeito Bernoulli, 468
& História da Física — Os Bernoulli, 469
APÊNDICE — O Sistema Internacional de Unidades, 471
QUADRO GERAL DE UNIDADES, 473
RESPOSTAS, 474
INDICE REMISSIVO, 488
LISTA DE SIGLAS, 491
BIBLIOGRAFIA, 494
|
|
|
E
Tomografia computadorizada, um dos exames de ponta na
Medicina diagnóstica: o notável avanço tecnológico alcançado
pelo ser humano nasceu de sua curiosidade e do interesse em
explicar os fenômenos naturais.
SN
Hroni
1. INTRODUÇÃO
2. O QUE É A FÍSICA
3. RAMOS DA FÍSICA
4. O UNIVERSO
5. FÍSICA E MATEMÁTICA E Nesta introdução geral à Física discutimos
6. MÉTODO EM FÍSICA seus ramos e seus métodos. Apresentamos,
7. MEDIDAS DE COMPRIMENTO E TEMPO em seguida, as principais unidades de
8. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS comprimento e tempo e verificamos que a
9. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS precisão da medida de uma grandeza depende
10. NOTAÇÃO CIENTÍFICA principalmente do instrumento utilizado,
11. ORDEM DE GRANDEZA como se destaca na foto.
B. Introdução
O ser humano sempre se preocupou em entender e dominar o Universo que o cerca. Interessou-se
em explicar, por exemplo, o som de um trovão, a luz de um relâmpago, por que os corpos têm cores
diferentes, como é o movimento da Lua em relação à Terra, como a Terra e os demais planetas se movem
em relação ao Sol ou como são os movimentos dos objetos nas proximidades da superfície terrestre.
Todas essas questões, por mais diferentes que sejam, são estudadas em Física, uma ciência tão presente
em nossa vida que não podemos desprezá-la. A Física é o motivo deste curso.
D J BALL / STONE-GETTY IMAGES
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À O desenvolvimento tecnológico possibilita à humanidade A As cores do mundo impressionam o ser
desvendar, cada vez mais, os segredos do Universo, como humano, inspirando-o nas artes e despertando
a galáxia em espiral M51 e a pequena galáxia NGC 5195. seu interesse em explicá-las.
Imagem obtida pelo telescópio Hubble em janeiro de 2005.
B>.o que é a Física
A palavra física (do grego: physis) significa Natureza. Em Física, como em toda ciência, qualquer
acontecimento ou ocorrência é chamado fenômeno, ainda que não seja extraordinário ou excepcional.
A simples queda de um lápis é, em linguagem científica, um fenômeno.
A necessidade do ser humano de compreender o ambiente que o cerca e explicar os fenômenos na-
turais é a gênese da Física. Essa compreensão é estabelecida com base em modelos do Universo, criados
de acordo com o momento em que se encontra o desenvolvimento da ciência.
MONACO UOL OA CON OR OS CAL Naa aU r a Canas rea canas sua escncarenco nao raro non an onto craque nas cequnoasmenas recuo o peer unne nana racer na sun ce naus ane
2 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Peral e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610:8ä 19 de fevereiro de 1998.
Precisamos entender a Física, não como algo fechado e terminado, mas sim como um patrimônio
em constante mudança. Tais mudanças ocorrem quando um determinado modelo, devido ao avanço
do conhecimento, não explica mais de maneira satisfatória os fenômenos naturais a que se refere.
Portanto, a Física pode ser definida como uma ciência que busca descrever os fenômenos que ocor-
rem na Natureza e prever a sua ocorrência, procurando atualmente não mais oferecer uma imagem da
Natureza, mas sim uma imagem da relação do ser humano com a Natureza. Os fenômenos naturais
são tão variados e numerosos que o campo de estudo da Física torna-se cada vez mais amplo, existindo
hoje diversos ramos da Física.
(1) 3. Ramos da Física
O ser humano tem suas primeiras informações do Universo por meio de seus sentidos: vê a luz de
um relâmpago, ouve o som de um trovão e pelo tato tem, entre outras, a noção de quente e frio. Conse-
quentemente, classificou os fenômenos observados de acordo com o sentido empregado na observação.
Relacionou a luz com a capacidade de ver, e daí surgiu uma ciência chamada Óptica. A audição o esti-
mulou a estudar as propriedades do som, e surgiu outra ciência, a Acústica. As noções de quente e frio,
sentidas pelo tato, motivaram o estudo do calor — a Termologia. O movimento é um dos fenômenos
mais comuns no dia-a-dia e foi o mais estudado até hoje, tendo dado origem à Mecânica.
Essas ciências (Óptica, Acústica, Termologia e Mecânica) foram muitas vezes estudadas independen-
temente umas das outras, mas fazem parte do vasto mundo da Física. Hoje, elas constituem os ramos
clássicos da Física.
As propriedades elétricas da matéria só foram estudadas profundamente no século XIX, e esse
estudo, conhecido como Eletricidade, é outro ramo da Física. No século XX, a discussão da constituição
da matéria deu origem à Física Nuclear.
E 4. O Universo
Todos os corpos existentes na Natureza são quantidades definidas de matéria. Por exemplo, a
madeira é matéria e uma mesa de madeira é um corpo; a borracha é matéria e um pneu de borracha
é um corpo.
A matéria e, portanto, todos os corpos do Universo são constituídos por pequenas unidades deno-
minadas átomos. Por serem extremamente pequenos, os átomos não podem ser vistos, nem com os
mais poderosos microscópios. Entretanto, os cientistas criaram modelos que, dentro de certos limites,
explicam os fenômenos naturais. Um dos modelos mais simples, proposto pelo físico Ernest Rutherford
(1871-1937), estabelece que cada átomo é constituído de um núcleo central, formado por dois tipos de
partículas, os prótons* e os nêutrons*, e pela eletrosfera, constituída por um terceiro tipo de partículas,
os elétrons*, que giram em torno do núcleo (figura 1). Na verdade, esta é uma visão extremamente
simplificada do átomo. Além das três partículas citadas, há um número muito grande de outras partí-
culas, como, por exemplo, pósitrons, mésons, neutrinos, etc., que surgem quando ocorrem alterações
nos núcleos dos átomos (reações nucleares). O estudo das propriedades dessas partículas é muito im-
portante, principalmente para a compreensão da estrutura do Universo.
a) b)
Elétron ð hd Figura 1. O átomo: a) o átomo
de hidrogênio possui um
, elétron, que gira em torno de
- ð ə ə ə | seu núcleo, constituído por
Núcleo &a um único próton; b) no átomo
de oxigênio, o núcleo contém
oito prótons (aqui indicados na
cor cinza) e oito nêutrons. Oito
ə elétrons giram em torno desse
núcleo. (Uso de cores fantasia.)
Próton
* Atribui-se aos elétrons e prótons uma propriedade: a carga elétrica. Convenciona-se como positiva a carga elétrica do próton
e como negativa a carga elétrica do elétron. Os nêutrons não possuem carga elétrica, isto é, são eletricamente neutros. Atual-
mente, sabe-se que prótons e nêutrons são constituídos de partículas ainda menores, denominadas quarks.
Carítulo 1 + INTRODUÇÃO À Física 3 e
Os átomos, por sua vez, formam outros agregados: as moléculas. Existem muitos tipos de molé-
culas e seu número tende a crescer, pois diariamente são sintetizadas novas moléculas em laboratórios de
Química.
O campo de estudo da Física abrange todo o Universo: desde a escala microscópica, relacionada às
partículas que formam o átomo, até a escala macroscópica, que diz respeito aos planetas, às estrelas
e às galáxias.
() 5. Física e Matemática
A Matemática ajuda muito a Física, sintetizando a compreensão dos fenômenos. Uma fórmula ma-
temática que resume um fenômeno físico constitui uma ajuda para a compreensão desse fenômeno, de
modo que nunca deve ser assustadora para você.
Por exemplo, apesar de ser necessária uma longa explicação para chegarmos ao fato de que a energia
de um corpo em movimento (energia cinética) depende de sua massa e de sua velocidade, recorrendo
à Matemática, obtemos a fórmula:
em que, E é a energia cinética; m, a massa; e v, a velocidade. Essa fórmula nos mostra que a energia
cinética varia em função da massa do corpo e de sua velocidade.
(eo)
uu
[o]
í
z
>
E
iu
(o)
ã
E
=
I
o
z
T
«4
O
E
tu
[ra
jan]
Sempre que um corpo está em movimento dizemos que ele possui energia cinética.
Assim, aos poucos, você irá aprender a ler e entender uma fórmula e saberá utilizá-la a seu favor.
E 6. Método em Física
Os físicos estudam os fenômenos que ocorrem no Universo. Entretanto, os percursos trilhados pelos
cientistas, para a formulação de teorias e leis que expliquem esses fenômenos são muito variados. Muitas
descobertas no campo da Física surgiram da imaginação de pesquisadores, da experimentação direta e,
em certas ocasiões, ocorreram de maneira não intencional, sem seguir um caminho preestabelecido.
Um dos processos de aquisição do conhecimento é o denominado método experimental ou científi-
co, que apresenta uma seguência rígida de etapas. Tal método é discutível, pois estabelece uma receita
definida de passos a ser seguida, o que nem sempre é possível. Em vista de seu caráter histórico, vamos
apresentar, de modo simplificado, o caminho sugerido pelo método científico. Em primeiro lugar, o
fenômeno é observado repetidas vezes, destacando-se fatos notáveis. Por meio de instrumentos de me-
dição — desde o relógio e a fita métrica, até instrumentos mais sofisticados — medem-se as principais
grandezas envolvidas no fenômeno. Com essas medidas, procura-se alguma relação entre tais grande-
zas, tentando descobrir alguma lei ou princípio que o descreva. Muitas vezes essas leis ou princípios são
expressos por fórmulas — como a da energia cinética, apresentada no item anterior. Frequentemente,
o fenômeno é repetido em laboratório em condições consideradas ideais em relação às condições reais
de suas ocorrências. Assim, por exemplo, podemos estudar idealmente a lei da queda de um corpo,
deixando-o cair em laboratório, num aparelho vertical onde se faz o vácuo (tubo de Newton), para
eliminar a interferência do ar.
“4 Os FUNDAMENTOS DA Física
S L. AMOS / PR-LATINSTOCK
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Na verdade, no processo de descobertas científicas, o cientista
não costuma seguir, necessariamente, regras previamente estabeleci-
das, embora em seu trabalho desenvolva procedimentos científicos.
Um bom exemplo de uma descoberta científica que não seguiu
etapas determinadas a priori, como as descritas acima, foi a previsão
de Albert Einstein de que a luz sofreria desvios em sua trajetória na
proximidade de grandes massas, elaborada a partir do desenvolvi-
mento matemático da Teoria da Relatividade Geral, publicada em
1915. A veracidade de tal previsão só foi comprovada mediante a
posterior observação, em Sobral, no Ceará, do eclipse do Sol, em 29
de maio de 1919: a luz, proveniente de estrelas, ao passar próxima
ao Sol, sofreu um desvio em sua trajetória.
EB 7. Medidas de comprimento e tempo
Para melhor conhecer as grandezas envolvidas num fenômeno, a Física recorre a medidas. Com uma
fita métrica podemos medir comprimento. O metro (símbolo: m) é a unidade fundamental de compri-
mento do Sistema Internacional de Unidades (Sl)*. O metro admite múltiplos, como o quilômetro (km),
e submúltiplos, como o centímetro (cm) e o milímetro (mm).
Outra unidade importante em nosso estudo é a unidade fundamental de tempo do Sistema
Internacional de Unidades (Sl): o segundo** (símbolo: s). O segundo admite múltiplos, como o
minuto (min) e a hora (h), e submúltiplos, como o milissegundo (1 ms = 107° s), o microssegundo
(1 us = 107“ s) e o nanossegundo (1 ns = 107? 5).
1 min = 60s
1h = 60 min = 60 - 60 s = 3.600 s
1.000 m = 10° m
1 dia = 24h = 24 - 3.600 s = 86.400 |
“O metro |
O metro foi inicialmente definido considerando-se a quarta parte de um meridiano terrestre dividida em
10 milhões de partes iguais. Cada uma dessas pequenas partes foi chamada de 1 metro.
Como os meridianos da Terra não são todos iguais, uma nova definição foi apresentada: 1 metro é a
distância entre dois traços marcados sobre uma barra de platina (90%) e irídio (10%), mantida no Instituto
Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, nas proximidades de Paris: é o metro padrão. Essa de-
finição perdurou até 1983, quando foi aprovada a definição atual de metro que é apresentada no quadro
geral de unidades, no final deste livro.
Pólo, 10 milhões
de metros
A Definição inicial de metro A O metro padrão
X Éo sistema de unidades oficialmente adotado no Brasil, estabelecido em 1960, durante a 11º Conferência Geral de Pesos e
Medidas, com base no Sistema Métrico Decimal,
* & A definição atual de segundo é apresentada no quadro geral de unidades, no final deste livro.
Caritulo 1 + INTRODUÇÃO À FÍsICA 5e
Bs. Algarismos significativos
A precisão da medida de uma certa grandeza depende principalmente do instrumento utilizado.
Vejamos um exemplo: pretende-se medir o comprimento L de uma barra e, para isso, dispõe-se de duas
réguas — uma centimetrada e outra milimetrada. Conforme veremos, a precisão da medida com a régua
centrimetrada é menor do que com a milimetrada.
Com a utilização da régua centimetrada (figura 2a) podemos dizer que o comprimento da barra
está compreendido entre 9 cm e 10 cm, estando mais próximo de 10 cm. O algarismo que representa
a primeira casa depois da vírgula não pode ser determinado com precisão, devendo ser estimado. Desse
modo, estimamos a medida do comprimento L em 9,6 cm. Note que o algarismo 9 é correto e o alga-
rismo 6 é duvidoso.
Em toda medida os algarismos corretos e o primeiro duvidoso são chamados algarismos significa-
tivos. Portanto, na medida 9,6 cm, temos dois algarismos significativos.
Com a régua milimetrada (figura 2b), como cada centímetro é dividido em 10 milímetros, podemos
com maior precisão dizer que o comprimento da barra está compreendido entre 9,6 cm e 9,7 cm. Nesse
caso, estimamos o comprimento L em 9,65 cm. Observe, agora, que os algarismos 9 e 6 são corretos e
o algarismo 5 é duvidoso, pois ele foi estimado. Temos, então, três algarismos significativos.
Os algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro duvidoso.
ia # E EEE EREE PEE RERE
ORSON EANES ENKAN AN PTANŅ EOKA OKIAAN OAOA AJEA AU OIJEN EEA AANEEN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b)
Figura 2.
Imagine agora que a medida L = 9,65 cm deva ser convertida para metro.
Desse modo, temos L = 0,0965 m. Note que a medida continua com três algarismos significativos, isto
é, os zeros à esquerda do número 9 não são significativos — eles apenas servem para posicionar a vírgula.
Portanto, os zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo não são significativos.
Estando o zero à direita do primeiro algarismo significativo, ele também será significativo. Por exem-
plo, na medida L = 9,05 m temos três algarismos significativos: 9, O e 5. Convertendo-se essa medida
para centímetro, temos L = 9,05 - 10º cm. Note que a medida continua com três algarismos significati-
vos, isto é, os algarismos correspondentes à potência de 10 não são significativos.
B s. Operações com algarismos significativos
Ao efetuarmos uma multiplicação ou uma divisão, com algarismos significativos, devemos apre-
sentar o resultado com um número de algarismos significativos igual ao do fator que possui o menor
número de algarismos significativos. Assim, por exemplo, considere o produto: 2,31 - 1,4. Ao efetuarmos
a operação, encontramos 3,234. Como o primeiro fator tem três algarismos significativos (2,31) e o
segundo tem dois (1,4), apresentamos o resultado com dois algarismos significativos, ou seja: 3,2.
Note como se faz o arredondamento: sendo o primeiro algarismo abandonado menor do que 5,
mantemos o valor do último algarismo significativo; ou, se o primeiro algarismo a ser abandonado
for maior ou igual a 5, acrescentamos uma unidade ao último algarismo significativo. No exemplo, o
primeiro algarismo abandonado é 3. Sendo menor do que 5, mantivemos o número 2, que é o último
algarismo significativo.
e 6 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Considere, agora, o produto: 2,33 - 1,4. Efetuando a operação encontramos 3,262. O resultado
deve apresentar 2 algarismos significativos. Assim, temos: 3,3. Nesse caso, o primeiro número a ser
abandonado é 6. Sendo maior do que 5, acrescentamos uma unidade ao número 2, que é o último
algarismo significativo.
Na adição e na subtração, o resultado deve conter um número de casas decimais igual ao da par-
cela com menos casas decimais. Assim, por exemplo, considere a adição: 3,32 + 3,1. Ao efetuarmos
a operação, encontramos como resultado 6,42. Como a primeira parcela tem duas casas decimais
(3,32) e a segunda somente uma (3,1), apresentamos o resultado com apenas uma casa decimal.
Assim, temos: 6,4.
Na adição 3,37 + 3,1 = 6,47, apresentamos o resultado com uma casa decimal e, levando em conta
a regra do arredondamento, obtemos: 6,5.
B io. Notação científica
Utilizar a notação científica significa exprimir um número da seguinte forma: N + 10”, em que
n é um expoente inteiro e Né tal que 1 < N < 10. Para exprimir a medida de uma grandeza em
notação científica, o número N deve ser formado por todos os algarismos significativos que nela
comparecem.
Por exemplo, considere que as medidas indicadas a seguir estejam expressas corretamente em alga-
rismos significativos: 360 s e 0,0035 m. Utilizando a notação científica e levando em conta o número de
algarismos significativos, escrevemos, respectivamente, para essas medidas: 3,60 - 10° s e 3,5 - 10 m.
EB 11. Ordem de grandeza
Determinar a ordem de grandeza de uma medida consiste em fornecer, como resultado, a potência
de 10 mais próxima do valor encontrado para a grandeza. Como estabelecer essa potência de 10 mais
próxima?
Partindo da notação científica, N « 10”, procede-se assim: se o número N que multiplica a potência
de 10 for maior ou igual a v10, utiliza-se, como ordem de grandeza, a potência de 10 de expoente
um grau acima, isto é, 10" *'; se N for menor que V10, usa-se a mesma potência da notação cientí-
fica, isto é, 10”.
É importante observar que 10% = V10 = 3,16 é o valor utilizado como limite de aproximação, isto
0+1
é, corresponde ao ponto médio do intervalo 10º e 10! hio 2 = 10%],
Em resumo, temos:
N > 410 > ordem de grandeza: 10” * '
| N < 10 = ordem de grandeza: 10” |
Para exemplificar, considere o raio da Terra igual a 6,37 » 10º m e a distância da Terra ao Sol igual a
1,49 + 10!! m. Vamos calcular a ordem de grandeza desses valores.
Sendo 6,37 > V10, a ordem de grandeza do raio da Terra é dada por: 10º*!'m = 107 m.
Sendo 1,49 < J10, temos para a distância da Terra ao Sol a ordem de grandeza: 10" m.
“vesolvidos
Um espetáculo musical tem início exatamente às 21 h 15 min 25 s e termina às 23 h 38 min 15 s. Determine a
duração desse espetáculo.
Solução:
À duração do espetáculo corresponde ao intervalo de tempo At = t, — f, em quet, = 21h 15 min 25 s é o instante
de início e f, = 23h 38 min 15 s é o instante de término.
Capitulo 1 © INTRODUÇÃO À Física 7º
O uva |
Para calcular essa diferença, devemos iniciar a subtração pela coluna dos segundos, de modo que o valor do
instante final () em cada coluna seja sempre maior que o do instante inicial (t)). No caso, na coluna dos se-
gundos, temos 15 s para t, e 25 s para t. Como 15 s é menor do que 25 s, passamos 1 min (60 s) da coluna dos
minutos para a coluna dos segundos.
Assim, teremos:
f = 23 h 38 min 15s > 23 h 37 min 75 s
t =21h 15min 25s — 21h25 min 25s
2h 22 min 50 s
Portanto o intervalo de tempo (At) correspondente à duração do espetáculo vale:
At = 2 h 22 min 50 s
Se quisermos dar a resposta em segundos, devemos lembrar que 1 h = 3.600 s e 1 min = 60 s. Portanto:
At = (2 - 3.600) + (22:60) + 50 = At = 7.200 + 1.320 + 50 = | At = 8.570 s
Resposta: 2 h 22 min 50 s ou 8.570 s
A balança da figura ao lado está graduada em quilogramas (kg). Qual é a massa do
pacote colocado sobre o prato da balança? Quais são os algarismos corretos e o
primeiro algarismo duvidoso?
Solução:
Observando que cada divisão corresponde a 0,1 kg, concluímos que a massa do
pacote está compreendida entre 2,4 e 2,5 kg. Avaliamos, então, a massa do paco-
te em 2,45 kg. Note que os algarismos 2 e 4 são corretos, e que o algarismo 5 é
duvidoso.
Respostas: 2,45 kg; 2 e 4 são os algarismos corretos; 5 é o algarismo duvidoso.
O sino de uma igreja bate uma vez a cada meia hora, todos os dias. Qual é a ordem
de grandeza do número de vezes que o sino bate em um ano?
Solução:
Se o sino bate uma vez a cada meia hora, concluímos que em um dia ele bate 48 vezes. Logo, o número de
batidas do sino em um ano é dado por:
X = 48 : 365 > X = 17.520 batidas
Em notação científica, com três algarismos significativos, temos X = 1,75 - 10º batidas.
Como 1,75 < 10, para a ordem de grandeza teremos o valor: | X’ = 10º batidas
Resposta: 10º batidas
Qual é a ordem de grandeza do número de batimentos cardíacos de um aluno do Ensino Médio, desde o seu
nascimento?
Solução:
Para a resolução desse exercício é necessário fazer algumas estimativas. Vamos, por exemplo, considerar que
o coração bata 70 vezes em um minuto e vamos adotar para a idade do aluno 15 anos. Devemos, inicialmente,
calcular o número de minutos existente em 15 anos:
15 anos = 15 : 365 : 24 - 60 minutos = 7.884.000 minutos
O número X de batimentos em 15 anos de vida será:
X = 70 batimentos por minuto - 7.884.000 minutos = X = 551.880.000 batimentos
Em notação científica, com três algarismos significativos, temos X = 5,52 - 10º batimentos.
Como 5,52 > 10, para a ordem de grandeza temos o valor: | Xº = 10º batimentos
Observe que a escolha da idade do aluno (para 14, 16 ou 17 anos) ou do número de batimentos por minuto
(para 60, 80 ou 90) não altera o resultado da ordem de grandeza.
Resposta: 10° batimentos
EUMDRNCLSORALSELADESVLDDCN DANILO CEDO DANS TLD A NA LENA ADORA DR DA DANDO CSA DOARAM NAU SACAS CARMA CAIA SO RASA NAS nano sa vu se sn ass
8 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P,1: Efetue as seguintes conversões:
a) 1 m em cm d) 1 km em m
b) 1 cm em m e) 1 mm em m
o) 1m emmm 9 1cmemmm
-P2 Um carro parte da posição O e percorre o caminho OABC confor-
me indicado na figura ao lado. Determine as distâncias percorri-
das: de O a A, deA a Bede Bac.
P.3 Efetue as seguintes conversões:
a) 1h em min o lhems
b) 1 min em s d) 1 dia ems
P.4 Uma corrida de automóveis tem início às 10 h 20 min 45 s e termina
às 12h 15 min 35 s. Determine o intervalo de tempo de duração da
corrida.
P.5 Um estudante utilizou um cronômetro para determinar o intervalo de tempo em que uma pedra, abandonada de
certa altura, atinge o chão. O resultado obtido é indicado na foto abaixo. Sabe-se que o ponteiro não completou
uma volta.
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
Qual é a leitura do cronômetro expressa em algarismos significativos? Quais são os algarismos corretos e o
primeiro algarismo duvidoso?
P6 Efetue as operações indicadas abaixo. Os números estão expressos corretamente em algarismos significativos.
Dê a resposta da 1º operação em m e da 2º em m’.
13 3,020 m + 0,0012 km + 320 cm
25) 4,33 m x 50,2 cm
P.7.: As medidas indicadas abaixo estão expressas corretamente em algarismos significativos.
a) 473 m b) 0,0705 cm co) 37 mm d) 37,0 mm
Escreva-as em notação científica e indique os algarismos corretos e o primeiro duvidoso, em cada medida.
P.8:: O intervalo de tempo de um ano corresponde a quantos segundos? Dê sua resposta em notação científica e
com dois algarismos significativos.
P.9 | Sabendo-se que em 1 cm? cabem aproximadamente 20 gotas de água, determine a ordem de grandeza do nú-
mero de gotas de água necessárias para encher a banheira de um apartamento.
P.10 (Fasp-SP) Uma partida normal de futebol é disputada em 90 minutos. O estádio do Morumbi, em São Paulo, já
recebeu cerca de 30 milhões de torcedores desde sua abertura em 1960. A média de torcedores por partida é
de aproximadamente 28.000. Então, qual é a ordem de grandeza do total de minutos de futebol já jogados no
Morumbi?
CNOBONCLOIALOODLANCOS CACOS CL DCLLDAL OCL OLL CLOSE RCE AULAS ESCOLAS SRU VASCO NENISASCANDOCAO LACAN IODO LUI COLO URCA Usar a nar n a
Carítuto 1 © INTRODUÇÃO À Física 9 °
e Testes
propostos
(PUC-Campinas-SP) Um intervalo de tempo igual
a 25.972,5 segundos corresponde a:
a) 7 h 12 min 52,5 s d) 432 h 52,5 min
b) 7 h 772 min 0,5 s e) 432,875 h
c) 7h21 min 145s
(Inatel-MG) A tabela abaixo descreve alguns
eventos temporais a respeito da formação do
nosso Sol e da Terra.
4,55 + 10º Formação do Sol
4,45 + 10º Formação da Terra
Os continentes
. 9
38-10 emergem das águas
Aparecimento das
. 8
4,2:10 plantas sobre o solo
6,7 + 10º Extinção dos dinossauros
t—
12-10 Aparecimento do homem
í de Neanderthal
4,0 - 10° Início da história do homem
N m A
Se adotarmos que a formação do Sol ocorreu há
l dia terrestre, quando se iniciou a história da
civilização humana nessa nova escala de tempo?
(1 dia terrestre = 86.400 segundos)
a) Há 76 segundos, aproximadamente.
b) Há 76 milissegundos, aproximadamente.
c) Há 76 microssegundos, aproximadamente.
d) Há 78 milissegundos, aproximadamente.
e) Há 78 microssegundos, aproximadamente.
As aulas num dado colégio de Florianópolis têm
início às 7 h 30 min, todos os dias. Em determinado
dia, por mau funcionamento do relógio sinaleiro, o
sinal de término das aulas soou às 13 h 15 min 20 s.
A duração das aulas nesse dia no colégio foi de:
a) 6h 15 min 20 s
b) 5h45min20s
c) exatamente 6 h
d) 5h 45 min 40 s
e) 6h 45 min 20 s
(Acafe-SC) No ano 2004 foram realizadas elei-
ções para prefeito, vice-prefeito e vereador em
todos os municípios do Brasil. Os candidatos
utilizaram o horário político gratuito na mídia
e realizaram comícios, fazendo diversos discur-
sos. Enrico Fermi observou, certa vez, que a
duração padrão de um discurso é de aproxima-
damente um micro-século.
|
H
|
|
l
|
Considerando todos os anos com 365 dias, é cor-
reto afirmar que a duração de um micro-século,
em minutos, é:
a) 24,25
b) 87,60
© 36,50
d) 120,00
e) 52,56
(1 micro = 109
(Ufac) Num campo de futebol não-oficial, as tra-
ves verticais do gol distam entre si 8,15 m.
Considerando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé
mede 30,48 cm, a largura mais aproximada desse
gol, em jardas, é:
a) 6,3
b) 8,9
c) 10,2
d 12,5
e) 14,0
(Fuvest-SP) No estádio do Morumbi 120.000
torcedores assistem a um jogo. Através de cada
uma das 6 saídas disponíveis podem passar 1.000
pessoas por minuto. Qual é o tempo mínimo ne-
cessário para se esvaziar o estádio?
a) uma hora
b) meia hora
o) 1 de hora
4
1
d) — de hora
3
e) Ž de hora
(UFRJ) Numa fila de banco há 300 pessoas. O
guarda autoriza a entrar no banco, durante 10 se-
gundos, 30 pessoas. Para nova autorização há a
espera de 20 minutos.
Levando-se em consideração serem sempre cons-
tantes os intervalos mencionados, as 300 pessoas
da fila serão atendidas, aproximadamente, em:
a) 201 min
b) 191 min
c) 181 min
d) 171 min
e) 161 min
(FELSP) O diâmetro de um fio de cabelo é 10“ m.
Sabendo-se que o diâmetro de um átomo é 10 m,
quantos átomos colocados lado a lado seriam
necessários para fazer uma linha que divida o fio
de cabelo ao meio exatamente no seu diâmetro?
a) 10º átomos
b) 10º átomos
o) 10° átomos
d) 10 átomos
e) 10º átomos
esesasereson sssnnnsasnsannnasennanosatasesenvecsevoeaeoanatnoncasoeoseneeneroetapevvasosssanessacoesocsuesosesauneteseacavetesososesoasoscsosasasososess
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proíbida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(UEL-PR) O velocímetro indica a velocidade ins-
tantânea de um veículo. Num certo instante, a
indicação do aparelho está representada abaixo.
A melhor leitura da velocidade, em km/h, é:
a) 80
b) 84
co) 87
d) 90
e) 92
(PUC-SP) O número de algarismos significativos
de 0,00000000008065 cm é:
a) 3
b) 4
c) 11
d) 14
e) 15
- (Cefet-PE) A medição do comprimento de um lá-
pis foi realizada por um aluno usando uma régua
graduada em mm. Das alternativas apresentadas,
aquela que expressa corretamente a medida obti-
da é:
a) 15 cm
b) 150 mm
œ) 15,00 cm
d) 15,0 cm
e) 150,00 mm
(UFJF-MG) Supondo-se que um grão de feijão
ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo
de arestas 0,5 cm x 0,5 em x 1,0 cm, qual das
alternativas abaixo melhor estima a ordem de
grandeza do número de feijões contido no volu-
me de um litro?
a) 10
b) 10°
o 10
d) 10º
e) 10
Carítuio1 + INTRODUÇÃO À Física
(Fuvest-SP) Qual é a ordem de grandeza do núme-
ro de voltas dadas pela roda de um automóvel ao
percorrer uma estrada de 200 km?
a) 10º
b) 10º
o 10
d 10”
e) 10º
(Cesgranrio-RJ) Alguns experimentos realizados
por virologistas demonstram que um bacte-
riófago (vírus que parasita e se multiplica no
interior de uma bactéria) é capaz de formar 100
novos vírus em apenas 30 minutos. Se introduzir-
mos 1.000 bacteriófagos em uma colônia suficien-
temente grande de bactérias, qual será a ordem
de grandeza do número de vírus existentes após
2 horas?
a) 10
b) 10º
o 10º
d) 10”
e) 10"
(UEL-PR) Um recipiente cúbico tem 3,000 m
de aresta, n é o número máximo de cubos, de
3,01 mm de aresta, que cabem no recipiente. À
ordem de grandeza de n é:
a) 10°
b) 10º
o 16
d) 10º
e) 10”?
: (UFG-GO)
Pois hã menos peixinhos a nadar no mar
Do que os beijinhos que eu darei na sua boca
Vinicius de Moraes
Supondo que o volume total de água nos oceanos
seja de cerca de um bilhão de quilômetros cúbi-
cos e que haja em média um peixe em cada cubo
de água de 100 m de aresta, o número de beijos
que o poeta beijoqueiro teria que dar em sua
namorada, para não faltar com a verdade, seria
da ordem de:
a) 10°
b) 10”
o 10!
d) 10!
e) 10º
CDILOCLEDIL DC ONDENIDOLNLOLVCL LLC ROCA ALLA U RECUSADO CR EO RALADO SOCO USO CRC LDO OR CRU Re AO ON OCA DOR AOC so Co Uno rosana oa
O estudo do movimento teve início com o surgimento das primeiras civilizações no Egito, Mesopotâmia
e Oriente Médio. Por interesses variados, esses povos procuraram compreender fenômenos como o curso dos
| astros, o fluxo das marés, o ciclo das eclipses e, a partir da observação do céu, puderam estabelecer as estações
do ano. À medida que as observações eram acumuladas, elas eram transmitidas e apropriadas pelos povos
das regiões do Mediterrâneo e proximidades. As primeiras explicações para os fenômenos observados eram
impregnadas de religiosidade e mito. Apenas por volta do século Vl a.C. é que pensadores gregos começaram
a desenvolver formas mais elaboradas de tratar o conhecimento empírico existente, com formulações racionais
associadas a um desenvolvimento da Matemática.
DEMÓCRITO (460-370 a.C.) descreveu de modo puramente
mecânico o movimento. Estabeleceu as noções de átomo e vazio. O
átomo (indivisível) era a menor partícula de matéria, e o vazio era a
ausência de matéria. Segundo ele, os átomos se moviam ao acaso e,
nesse movimento, se chocavam, se atraíam e se repeliam. Em conse-
quência disso se formaram todas as coisas do Universo.
HERÁCLITO (535-475 a.C.) afirmou que o movimento é o princí-
pio básico do qual tudo o que vemos e sentimos é decorrência.
Parece ter sido ARISTÓTELES (384-322 a.C.) o primeiro a elaborar
um sistema filosófico para a explicação do movimento dos corpos e
do mundo físico que o cercava. Para ele, toda e qualquer matéria era
composta de quatro elementos fundamentais: terra, água, fogo e ar, e
esses elementos tinham posições determinadas no Universo. O lugar
natural do fogo e do ar era sempre acima do lugar natural da terra e A Demócrito e Heráclito travam um
da água. Desse modo explicava por que uma pedra e a chuva caem: debate filosófico imaginário. Gravura
seus lugares naturais eram a terra e a água. Analogamente, a fumaça e de Donato Bramante, século XVI.
o vapor sobem em busca de seus lugares naturais acima da terra. Aris-
tóteles também elaborou várias outras teorias sobre ciências naturais, que foram aceitas até a Renascença.
Ainda na Grécia, menos de um século depois de Aristóteles, um outro grego, ARISTARCO DE SAMOS
(310-230 a.C.), propôs uma teoria do movimento dos corpos celestes. Teve a idéia de que a Terra e os planetas
giravam em torno do Sol, e por isso foi acusado de perturbar o descanso dos deuses e de contradizer as idéias
de Aristóteles sobre o movimento celeste. Para Aristóteles, os planetas, o Sol e a Lua giravam em torno da Terra
em órbitas circulares, e a Terra não se movimentava.
Quatro séculos depois da morte de Aristarco, já depois de Cristo, as idéias aristotélicas do movimento
celeste foram aperfeiçoadas por CLÁUDIO PTOLOMEU (século lI), astrônomo de origem greco-romana
nascido em Alexandria, no Egito.
Na Renascença, JEAN BURIDAN (1300-1360), reitor da Universidade de Paris, colo-
cou-se frontalmente contra as teorias de Aristóteles. Suas idéias espalharam-se pela Europa,
abrindo caminho para que nos séculos seguintes Copérnico e Galileu iniciassem a ciência
moderna.
NICOLAU COPÉRNICO (1473-1543) nasceu na Polônia, e lá estudou na Universidade
de Cracóvia. Esteve na Itália, em várias universidades, onde manteve contato com os cientistas
mais notáveis. De volta à Polônia, desenvolveu sua teoria sobre o movimento celeste. Propôs
um sistema análogo ao de Aristarco: os planetas e a Terra giram em torno do Sol, isto é,
um sistema heliocêntrico (do grego: helios, Sol). Copérnico localizou corretamente as
posições relativas dos planetas conhecidos e determinou seus períodos de translação
em torno do Sol. O sistema de Copérnico não encontrou apoio de quase ninguém;
na época, o sistema de Ptolomeu e as idéias de Aristóteles eram doutrinas estabelecidas
tanto na religião como na filosofia.
THE BRID Geman ART LIBRABYKE YS Tome
< Estátua de Nicolau Copérnico,
situada na Biblioteca Nacional
de Paris, França, erigida
no século XIX.
12 Os FUNDAMENTOS DA Física
“THE BRIDGEMAN ART LIBRARVKEYSTONE
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998,
Descrição do movimento:
Cinemática escalar
Nesta parte analisamos os movimentos, suas leis e propriedades
gerais. Discutimos dois movimentos particulares: o movimento
uniforme e o movimento uniformemente variado.
O movimento é uma característica
do Universo, que pode ser
observada nas mais variadas
situações, desde fatos do
cotidiano, como os graciosos
passos de um casal de bailarinos,
até a agitação dos átomos
e moléculas no microcosmo
e a movimentação de estrelas
e galáxias no macrocosmo.
E Neste capítulo iniciamos o estudo geral dos movimentos,
ou seja, a Cinemática. Veremos que os conceitos
de repouso, movimento e a forma da trajetória dependem
do referencial adotado. Na foto, os rastros de fumaça
. INTRODUÇÃO indicam as trajetórias das aeronaves em relação à Terra. ,
. POSIÇÃO NUMA TRAJETÓRIA A posição de um ponto material é determinada na própria
trajetória em relação a um referencial. Discutimos, ainda,
a noção de velocidade escalar média e a de velocidade
1
2
3. REFERENCIAL
4 escalar instantânea.
o VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
E VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
B. Introdução
A Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os movimentos, procurando determinar a posição,
a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante.
Em todas as questões e fenômenos discutidos neste livro, os corpos em estudo, denominados mó-
veis, são considerados pontos materiais. Ponto material é um corpo cujas dimensões não interferem
no estudo de determinado fenômeno.
Quando as dimensões de um corpo são relevantes no estudo de determinado fenômeno, ele é
chamado corpo extenso. Um carro que realiza uma manobra para estacionar numa vaga é um corpo
extenso. Já o mesmo carro, em uma viagem ao longo de uma estrada, pode ser tratado como um
ponto material.
2. Posição numa trajetória
A primeira etapa em Cinemática é a determinação, em cada instante, da posição de um móvel.
A posição de um móvel pode ser associada à noção de marco quilométrico numa moderna rodovia.
Ao longo de uma rodovia existem marcos quilométricos, cuja função é localizar, por exemplo, veí-
culos que nela trafegam. Assim, a posição do ônibus da figura 1* é determinada pelo marco km 90, o
que não significa que esse ônibus tenha andado necessariamente 90 km.
Se o ônibus tiver partido de uma localidade no km 60 (figura 2) e se deslocado até o km 90, terá
andado nesse intervalo de tempo 30 km, diferente portanto de 90 km. Desse modo, o marco quilomé-
trico numa rodovia apenas localiza o móvel e não indica quanto o móvel andou.
O automóvel na figura 2, que cruza com o ônibus e desloca-se em sentido contrário, também está
no marco km 90. Assim, o marco quilométrico não indica o sentido do movimento.
* Nos esquemas e figuras, os móveis frequentemente não são representados em suas reais dimensões.
“14 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Figura 1. O marco quilométrico km 90 localiza o ônibus Figura 2. Representação esquemática de posições
nessa estrada e fornece sua posição. numa rodovia.
Para generalizar essas noções, vamos chamar de trajetória o conjunto das posições sucessivas ocu-
padas por um móvel no decorrer do tempo (figura 3).
Figura 3. O móvel ocupa as posições
Pa Pa Ps Ps » nos instantes sucessivos
ty tos ty tyr em me i
A linha que contém P,, Pa Py Py Éa A As pegadas na areia da praia nos dão idéia
trajetória. da trajetória que a tartaruga descreve.
Na trajetória escolhemos arbitrariamente um marco zero, a partir do qual medimos comprimentos que
indicam a posição do móvel (figura 4) mas não fornecem nem o sentido nem a distância percorrida.
Marco
zero 10 km 20km . )
0 A Figura 4. O móvel À encontra-se
a 10 km do marco zero e o móvel
B, a 20 km.
10 km
Devemos observar que um móvel pode encontrar-se de um lado ou de outro em relação ao marco
zero (figura 5a), sendo portanto conveniente orientar a trajetória, adotando-se um sentido positivo
(figura 5b).
a) b)
Marco Marco
zero zero
A
10k
TO km m TTO km 710 km
Figura 5.
Assim, a posição do móvel A fica definida pela medida algébrica +10 km, e a de C, por —10 km.
A medida algébrica do arco da trajetória que vai do marco zero à posição do móvel recebe o nome
de espaço, indicado pela letra s. O marco zero (0) é chamado de origem dos espaços.
Na figura 5b o espaço do móvel A, independentemente do sentido do seu movimento, é s, = +10 km,
eo deC, ss = —10km.
seeesssooosassesesoonorososesanse eesuonosousssesosesesoorsesoossecosecssoseceosorosesessonoesesssesoonsuosonesesesoesesarosssuessoreososossonosasaceorno
Carítuio 2 * INTRODUÇÃO AO EstuDO DOS MOVIMENTOS 15º
MINDEN-LATINSTOCK
PATRICIO ROBLES GIL-SIERRA MADRE /
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O espaço s permite conhecer a posição de um móvel ao longo
da trajetória, em cada instante t (figura 6).
; OQ
1996 WISE AND ALDRICH / DISTR. BY ATLANTIC
Figura 6. A cada instante t
corresponde um espaço s
do móvel P. Não tenho
certeza,
mas a
experiência
me diz para
seguir essa
trajetória de
4 O marco zero (origem dos migalhas.
espaços) das estradas que
cortam o estado do Paraná
está localizado em Curitiba,
a capital paranaense, na
Praça Tiradentes, um de
seus principais logradouros.
(=) 3. Referencial
Um corpo está em movimento quando sua posição muda no decurso do tempo. Considere
um trem que parte suavemente de uma estação e se dirige a outra localidade (figura 7). Em relação a um
observador fixo na estação, a lâmpada presa ao teto do trem está em movimento, porque sua posição
varia com o tempo. Porém, para um observador no interior do trem, a lâmpada está em repouso.
Desse modo, a noção de movimento e de repouso de um móvel é sempre relativa a outro cor-
po. Essa noção é imprecisa se não definimos o corpo em relação ao qual se considera o estado de
movimento ou de repouso de um móvel.
O corpo em relação ao qual identificamos se um móvel está em movimento ou em repouso é cha-
mado referencial ou sistema de referência.
O ônibus da figura 8 se aproxima de um local onde uma pessoa o aguarda. O passageiro sentado
dentro do ônibus está em movimento em relação a um referencial fixo no solo e em repouso em relação
a um referencial fixo no ônibus.
Essas considerações permitem-nos estabelecer a noção de movimento e repouso de um ponto
material.
Um ponto material está em movimento em relação a um determinado referencial quando sua
posição, nesse referencial, varia no decurso do tempo.
Um ponto material está em repouso em relação a um determinado referencial quando sua
posição, nesse referencial, não varia no decurso do tempo.
Observador
Figura 7. Os conceitos de repouso e de Figura 8. O passageiro sentado dentro do ônibus
movimento dependem do referencial está em movimento em relação à pessoa situada no
adotado. ponto e em repouso em relação ao motorista.
“16 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução: proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 2.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A forma da trajetória descrita por um corpo também depende do referencial adotado. Como
exemplo, considere um trem em movimento em relação ao solo, conforme a figura 9. A trajetória de uma
lâmpada que se desprende do teto do trem é um segmento de reta vertical em relação a um referencial
fixo no trem (T). Assim, um passageiro, por exemplo, veria a lâmpada cair verticalmente. Em relação a
um referencial ($) no solo, porém, a lâmpada descreve uma curva — um arco de parábola, conforme
estudaremos mais adiante, em detalhes, neste livro.
Posição Do Posição 3 |
Figura 9. a) Em relação ao observador (T) a lâmpada descreve uma trajetória retilínea vertical.
b) Em relação ao observador (S) a lâmpada descreve uma trajetória parabólica.
BERENICE ABBOTT /
PR-LATINSTOCK
A Trajetórias, em relação ao solo, do centro e de um ponto da borda de um disco que rola sem derrapar.
O centro descreve uma trajetória retilínea e o ponto da borda, uma trajetória curvilinea denominada
ciclóide. A foto foi obtida fixando-se uma pequena lâmpada no centro e outra num ponto da borda.
A localização de uma. pessoa ou de um veículo na Terra, por meio das coordenadas latitude e n
“de, pode ser feita pelo Sistema de Posicionamento Global, cuja sigla é GPS. Na página 28, leia con
Exercícios
ostos
P.11 Você está viajando, sentado na poltrona
de um ônibus, pela Rodovia dos Bandei-
rantes, que liga São Paulo a Campinas.
Cite um referencial em relação ao qual
você está em repouso e outro referencial
em relação ao qual você está em movi-
mento.
GETTY IMAGES NEWS
P.12 Na foto ao lado você observa um avião
reabastecendo outro em pleno vôo. Pode-se
afirmar que os aviões estão em repouso?
AARON D. ALLMON I-U. S$. AIR FORCE /
P.13 Um aluno, ao ler este livro, está em sua
sala de aula, sentado em uma cadeira. O
aluno está em repouso ou em movimento?
Explique.
P.14: Considere três objetos A, Be C. Analise a afirmativa abaixo e indique se está certa ou errada:
“Se A está em movimento em relação a B e B está em movimento em relação a €, então A está
em movimento em relação a C”.
PADRAO CTN CORA ONA CNN ACO RA SACRO USAS ASA A SU PLN Ca LSD es an ra non sus ncrne nes aa RATO VIDAL A RUN O ON CASAS ROO DADE Quan aa ne nana tua sas renan ras
Capítulo 2 + INTRODUÇÃO AO EstuDO DOS MOVIMENTOS 17º
P.15 Um helicóptero sobe verticalmente em relação ao
solo, com velocidade constante. Esboce a traje-
tória descrita pelo ponto P da periferia da hélice,
em relação:
a) ao piloto do helicóptero;
b) a um observador parado no solo.
P.16 Um avião voa horizontalmente e com velocida-
de constante. No instante indicado na figura ao
lado, o piloto aciona um dispositivo e deixa cair
uma caixa com alimentos destinada a náufragos
que se encontram numa ilha de difícil acesso.
Despreze a resistência do ar. Qual é a trajetória
descrita pela caixa em relação:
a) ao avião?
b) à Terra?
() 4. Velocidade escalar média
e velocidade escalar instantânea
Considere um ônibus em movimento em relação ao solo, percorrendo 180 km em 3 h. A distância
percorrida (180 km) dividida pelo intervalo de tempo (3 h) caracteriza a velocidade escalar média v,,
do ônibus: 180 km
= = 60 km/h
Vm 3h /
Outro ônibus que percorresse a mesma distância (180 km) em apenas 2 h teria a velocidade escalar
média de:
” 2h
e seria mais rápido que o anterior, nesse percurso.
A qualquer movimento associamos a grandeza chamada velocidade escalar para medir a variação
do espaço do móvel no decorrer do tempo. Iniciaremos, portanto, nosso estudo analisando a velocidade
escalar média.
Considere um ponto material P descrevendo uma certa tra-
jetória em relação a um determinado referencial. No instante
tı seu espaço é s, e no instante posterior t, seu espaço é s,
(figura 10). No intervalo de tempo At = t, — t, a variação do
espaço do ponto material é As = s, — sı. A velocidade escalar
média v, no intervalo de tempo At é expressa pela relação: Figura 10.
v = 180M L oem
Vm
t Htz At
Note, na definição de velocidade escalar média, que At é sempre positivo, pois é a diferença entre
o instante posterior t, e o instante anterior t,. Já a variação do espaço As = s, — s, pode ser positiva, se
$2 > 51; negativa, se s, < s4; e eventualmente nula, quando o móvel retorna à sua posição inicial (s, = $4).
O sinal de As determina o sinal da velocidade escalar média.
RODO CO USO CO E O Ce O OC DORSO COS DO SACOS CAN An Asa Toa Sana 0a CONCNNCLL CINCO DLC SNUSN DONO ONTVESA ONO RECULU O AU CU Rs RCC coa CC ro na nn Cn Cacau seda
18 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
No exemplo inicialmente citado neste item, o ôni-
bus percorreu 180 km em 3 h e sua velocidade escalar
média, nesse intervalo, foi de 60 km/h. O velocímetro
do ônibus não marcará sempre 60 km/h, pois durante
uma viagem a velocidade aumenta, diminui, e o ôni-
bus eventualmente pára. O velocímetro nos fornece
o valor absoluto da velocidade escalar do ônibus em
cada instante. A velocidade escalar em cada instante é
denominada velocidade escalar instantânea.
A velocidade escalar instantânea v pode ser entendida
como uma velocidade escalar média V„ = z , conside-
rando-se o intervalo de tempo At extremamente peque-
. , . . A No instante da foto, a velocidade escalar
no, isto é, At tendendo a zero (At — 0), o que implica v
instantânea do veículo era 80 km/h.
, AS
que t, tende a t, (t, — t,). Nesse caso, o quociente AL
assume um determinado valor limite. Daí a definição:
A velocidade escalar instantânea v é o valor limite a que tende a velocidade escalar média
As
— , quando At tende a zero. Representa-se por:
At’
A notação lim da expressão anterior deve ser lida limite de, e representa uma operação de cálculo
que só será estudada no final do ensino médio ou em cursos superiores.
No caso em que a velocidade escalar instantânea é a mesma em todos os instantes, ela coincide com
a velocidade escalar média em qualquer intervalo de tempo.
A unidade de velocidade escalar (média ou instantânea) é expressa em unidade de comprimento por
unidade de tempo: km/h (quilômetros por hora), m/s (metros por segundo), mi/h (milhas por hora),
cm/s (centímetros por segundo) etc.
No decorrer deste livro encontraremos problemas em que será necessário converter velocidades
expressas em km/h para m/s e vice-versa.
1 km = 1.000 m
Sabemos que: 41h = 60mine 1 min = 60s Então: f km _ 1000m _ Im
h 3.600 s 3,65
1h = 60:60s = 3.600s
Portanto: 1 km = dm e 1 m/s = 3,6 km/h
h 36 s
Sendo assim, para converter km/h em m/s divide-se o valor da velocidade por 3,6; para converter
m/s em km/h, multiplica-se o valor da velocidade por 3,6:
Assim, por exemplo, um atleta que corre 100 m em 10 s terá uma velocidade escalar média:
As _ 100m
At 10s
Essa velocidade, expressa em quilômetros por hora, vale:
> Va = 10 m/s
km
Vm = 10: 3,6 > Vn = 36 km/h
tesesoresasaceaceceesocernossreoses eneresa DocnoDconsre senna c o reuse sus a e MevenconancanaUan ans CNN Re Den O nna con en LE GL ana nEaGa e pesa no nasc apa sr croata ção
Carítuio 2 e INTRODUÇÃO AO EsTUDO DOS MOVIMENTOS 19 °
Q
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[80]
ES
&
z
Portanto, uma velocidade baixa para um automóvel (36 km/h) repre-
senta para o homem uma velocidade extremamente alta, que somente
atletas olímpicos conseguem alcançar.
Por outro lado, um carro que desenvolve numa estrada a velocidade
de 108 km/h fará, em metros por segundo:
v = 108 km/h = = m/s => v=30m/s
+
KAZUHIRO NOGI / AFP-GETTY IMAGES
f
-~= Comparando velocidades
e A velocidade média de uma pessoa em passo normal é de aproximadamente 1,5 m/s, o que equivale a
5,4 km/h. Os atletas olímpicos nas provas de 100 m rasos desenvolvem velocidades médias de 10 m/s, ou
seja, 36 km/h.
* A lesma desloca-se com velocidade média de 1,5 mm/s, o bicho-preguiça com velocidade de 2 m/min no
solo, enquanto o guepardo, um dos animais mais velozes, atinge velocidades superiores a 100 km/h.
e O avestruz é a ave terrestre mais rápida, podendo atingir a velocidade de 72 km/h.
e Na França, o trem de grande velocidade (TGV) faz o trajeto de 430 km, entre Paris e Lyon, em 1 h 55 min,
desenvolvendo uma velocidade média de 224 km/h.
GEORGINA BOWATER / CORBIS-LATINSTOCK
A Um TGV cruzando um campo de girassóis na França.
* A velocidade do som no ar é de 340 m/s ou 1.224 km/h. Os aviões supersônicos superam 2.000 km/h
em vôos comerciais.
e Os aviões do projeto X-15, criado pela NASA nos anos 1970 para treinamento de astronautas, chegavam
a alcançar a fantástica velocidade de 7.358 km/h.
NASA/SPL-LATINSTOCK
A Avião supersônico do projeto X-15.
e A velocidade de translação da Terra, em torno do Sol, é de 30 km/s ou 108.000 km/h.
e Devido à rotação da Terra, um ponto do equador tem velocidade de aproximadamente 1.700 km/h.
e A velocidade da luz no vácuo é de 300.000 km/s ou 1,08 bilhão de km/h.
neem tum umas sessast cui mesma rms sr eine arma
e20 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
resolvidos
A E
Um ônibus passa pelo km 30 de uma rodovia às 6 h, e às 9 h 30 min passa pelo km 240. Qual é a velocidade
escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse intervalo de tempo?
s
[e
td
tri
Solução: ©
No instante t, = 6 h o espaço do ônibus é sı = 30 km e no instante t, = 9 h 30 min seu espaço é s, = 240 km.
A variação de espaço é igual a:
AS =S, -S
As = 240 — 30
As = 210 km
O intervalo de tempo correspondente vale:
At=t -h
At=9h30min — 6h
At = 3 h 30 min
At=35h
Assim, a velocidade escalar média será:
As _ 210 —
Um = Ar => Un = 35 > | Va = 60 km/h
Resposta: 60 km/h
Um carro de passeio percorre 30 km em 20 min. Determine sua velocidade escalar média nesse percurso.
Solução:
A variação do espaço do carro foi As = 30 km e o intervalo de tempo foi At = 20 min = 20 - a h= >h.
w | m
Assim, a velocidade escalar média será:
Um As > Un = 30 > | Un = 90 km/h
At
1
3
Resposta: 90 km/h
No exercício anterior, qual teria sido a velocidade escalar média do carro se, durante o percurso, tivesse parado
10 min para o abastecimento de combustível?
Solução:
À variação do espaço continua sendo As = 30 km, mas o intervalo de tempo aumenta, pois temos de acrescentar
a permanência no posto de abastecimento (10 min):
At=20 +10 => at=30min = At=30: Š h > At = h
N| =
A velocidade escalar média será então:
Um = As = Um = 2 Um = 60 km/h
At 1
2
Resposta: 60 km/h
* Um ônibus percorre a distância de 480 km, entre Santos e Curitiba, com velocidade escalar média de 60 km/h.
De Curitiba a Florianópolis, distantes 300 km, o ônibus desenvolve a velocidade escalar média de 75 km/h. Qual
é a velocidade escalar média do ônibus no percurso de Santos a Florianópolis?
Solução:
Devemos calcular os intervalos de tempo que o ônibus gasta para percorrer cada um dos trechos:
Santos-Curitiba:
AS As 480
v=— » A4 = — = — At =8h
' At, ! v; 60 > ah
Curitiba-Florianópolis:
n = ÊS aan = ê% = 300 L An=4h
At, Uz 75
tsesevesvossovossaossoosoocasososssesovozsoseosovosvsuenesevorervosssesavsorsesesoseesavesozevsoeeseseosoovesesosassesasasasassovesssessassensssspenseseo
Caritulo 2 e INTRODUÇÃO AO EstuDO DOS MOVIMENTOS 210
Portanto, a variação do espaço e o intervalo de tempo entre Santos e Florianópolis valem, respectivamente:
As = As, + As, = 480 + 300 => As = 780 km
At=Ah+Ab=8+4> At=12h
Assim, a velocidade escalar média do ônibus no percurso de Santos a Florianópolis vale:
Un As > Um 180 > | Um = 65 km/h
At 12
Resposta: 65 km/h
A velocidade escalar média de um móvel durante a metade de um percurso é 30 km/h e esse mesmo móvel tem
a velocidade escalar média de 10 km/h na metade restante desse mesmo percurso. Determine a velocidade
escalar média do móvel no percurso total.
Solução:
Chamemos 2d a distância total do percurso e d a metade do , 2d ,
percurso. Seja Af, o intervalo de tempo gasto pelo móvel na i At At i
primeira metade e At, o intervalo na segunda metade. ep eb
Na primeira metade a velocidade escalar média é 30 km/h: ! d ! d !
' (30 km/h) (10 km/h) '
%2- Ls At, = a
At, 30
Na segunda metade a velocidade escalar média é 10 km/h:
w=Ls Ab = À
At, 10
O intervalo de tempo total gasto no percurso AB (AB = 2d) é:
d d 4d
At = Af + Ah > At= — + > At = —
to? 30 10 30
A velocidade escalar média procurada é:
As 2d
Un = Ar > Un = ad > | Um = 15 km/h
30
Resposta: A velocidade escalar média no percurso AB é 15 km/h; observe que não é a média aritmética das
velocidades escalares médias em cada trecho do percurso.
` Uma carreta de 20 m de comprimento demora 10 s para atravessar uma ponte de 180 m de extensão. Determine
a velocidade escalar média da carreta no percurso.
Solução:
A figura mostra a posição de uma carreta em dois instantes distintos: t,, quando inicia a travessia da ponte, e
t,, quando termina essa travessia. Observe que no intervalo de tempo At = t, — t; qualquer ponto da carreta
(destacamos o ponto A na traseira) percorre a distância As = L. + L,, sendo que L, = 20 m é o comprimento
da carreta e L, = 180 m é o comprimento da ponte.
Assim, a carreta percorre As = 20 m + 180 m = 200 m no intervalo de tempo At = 10 s. Portanto, sua velocidade
escalar média no percurso vale:
no de
At 10
Un = 20: 3,6 > | Vn = 72 km/h
Em quilômetros por hora:
Resposta: 20 m/s ou 72 km/h
vasuesoseaecesecovesesecasororasevssessesoosecsesosooresesserzvrosesesosesesossesooococassersesneooscasvesuseuocreecsesesserarsesesesosaessseseo
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.i7 Um móvel percorre uma distância de 1.200 m em 4 min. Qual é sua velocidade escalar média?
P.18 (Olimpíada Paulista de Física) A velocidade de crescimento dos fios de cabelo de uma pessoa é de aproxima-
damente 1,5 cm/mês. Suponha que Júlio, que tem 1,8 m de altura, deseja ter os cabelos bem compridos, de
forma que eles cheguem a encostar no chão quando ele estiver em pé. Calcule quantos anos, no mínimo, Júlio
tem que ficar sem cortar os cabelos, até ele conseguir o seu objetivo.
- VELOCIDADE
MAXIMA
a) Se um automóvel e um caminhão mantiverem durante 1 minuto a respectiva
velocidade limite, quantos quilômetros cada um percorrerá nesse inter- I
valo de tempo?
b) Imagine que um automóvel e um caminhão saiam de São Paulo
P.19 Na rodovia dos Bandeirantes, os limites de velocidade para os automóveis e
caminhões são, respectivamente, 120 km/h e 90 km/h.
AUTOMÓVEIS |
no mesmo instante em direção a Campinas (distante
90 km). Se eles desenvolverem durante todo o (90)
trajeto, respectivamente, as velocidades
médias de 100 km/h e 60 km/h, quantos ÔNIBUS
minutos o automóvel chegará a Campinas CAMINHÕES
antes do caminhão?
PAULO LIEBERT / AE
P.20 Um atleta passa no instante t, = 10 s por uma posição cujo espaço é s, = 50 m e no instante t, = 20 s pela
posição de espaço s, = 120 m, conforme a figura abaixo. Determine a velocidade escalar média do atleta no
intervalo de t, a tp.
P.21 Um carro viaja de Atibaia (SP) a Cambuí (MG), que dista 90 km, parando durante 30 min num posto à beira da
estrada, para refeição e abastecimento. De Atibaia até o posto gasta 1 h 30 min, fazendo o percurso do posto
a Cambuí em mais 30 min. Calcule a velocidade escalar média do carro nessa viagem.
P.22 (Vunesp) Sentado em um ponto de ônibus, um estudante observa os carros percorrerem um quarteirão (100 m).
Usando o seu relógio de pulso, ele marca o tempo gasto por 10 veículos para percorrerem essa distância. Suas
anotações mostram:
| Veículo | 1° 2º | 3º | 42 | 52 | 6º | 72 se ge 10º |
| Temo) | 1 5 | 16/20 | 9 | 10 | 4 15 8 13)
Com os dados colhidos, determine:
a) os valores da maior e da menor velocidade média;
b) quais veículos tiveram velocidade média acima da velocidade máxima permitida de 60 km/h.
P.23 (Ufac) Um carro com uma velocidade de 80 km/h passa pelo km 240 de uma rodovia às 7 h 30 min. A que horas
este carro chegará à próxima cidade, sabendo-se que ela está situada no km 300 dessa rodovia?
P.24 (PUC-Campinas-SP) Numa corrida de carros, suponha que o vencedor gastou 1 h 30 min para completar o
circuito, desenvolvendo uma velocidade média de 240 km/h, enquanto um outro carro, o segundo colocado,
desenvolveu a velocidade média de 236 km/h. Se a pista tem 30 km, quantas voltas o carro vencedor chegou à
frente do segundo colocado?
CONES CONCEOL OCO LONLCL SCOTLAND OLL DOLL ALEC LCD LR SECULO SAL ELA UL SD SR OD AU Es a OLE L CL Da Des Ca UCL U an CnOnDU santa renas nano sa san sa nara san vos
CarítuLo 2 * INTRODUÇÃO AO EstTUDO DOS MOVIMENTOS 23 e
P.25
P.26
P.27
P.28
P.29
P.30
P.31
(UFRJ) Um estudante a caminho da UFRJ trafega 8,0 km na Linha Vermelha a 80 km/h (10 km/h a menos que o
limite permitido nessa via). Se ele fosse insensato e trafegasse a 100 km/h, calcule quantos minutos economi-
zaria nesse mesmo percurso.
(UFPE) Quatro cidades A, B, Ce D estão dispostas de tal modo que as distâncias rodoviárias entre 4 e B, B e C,
e Ce D são, respectivamente, AB = 60 km, BC = 100 km e CD = 90 km. Se um automóvel vai de A até B a uma
velocidade de 60 km/h, da cidade B até a C a uma velocidade média de 50 km/h e da C até a D a uma velocidade
média de 45 km/h, determine a velocidade média desse automóvel em km/h, para o percurso de À até D.
Um percurso de 310 km deve ser feito por um ônibus em 5 h. O primeiro trecho de 100 km é percorrido com
velocidade média de 50 km/h, e o segundo trecho de 90 km, com velocidade média de 60 km/h. Que velocidade
média deve ter o ônibus no trecho restante para que a viagem se efetue no tempo previsto?
A velocidade escalar média de um automóvel até a metade de seu percurso é 90 km/h e na metade restante
é 60 km/h. Determine a velocidade escalar média no percurso total. Ela é a média aritmética das velocidades
escalares médias em cada trecho do percurso?
A velocidade escalar média de um automóvel é 80 km/h no primeiro trecho de seu percurso e 60 km/h no trecho
restante. Os trechos são percorridos no mesmo intervalo de tempo. Qual é a velocidade escalar média durante
todo o percurso? Ela é a média aritmética das velocidades escalares médias em cada trecho do percurso?
Um trem de comprimento 200 m gasta 20 s para atravessar um túnel de comprimento 400 m. Determine a ve-
locidade escalar média do trem.
(Fuvest-SP) Uma composição ferroviária (19 vagões e uma locomotiva) desloca-se a 20 m/s. Sendo o compri-
mento de cada elemento da composição 10 m, qual é o tempo que o trem gasta para ultrapassar:
a) um sinaleiro? b) uma ponte de 100 m de comprimento?
cios propostos
P.32
P.33
P.34
P.35
-de recapitulação
(UFPE) Um caminhão se desloca com velocidade escalar constante de 144 km/h. Suponha que o motorista
cochile durante 1,0 s. Qual a distância, em metros, percorrida pelo caminhão nesse intervalo de tempo se ele
não colidir com algum obstáculo?
(Fuvest-SP) Um avião vai de São Paulo a Recife em 1 h 40 min. À distância entre essas cidades é aproximada-
mente 3.000 km. (Dado: velocidade do som no ar = 340 m/s)
a) Qual a velocidade média do avião? b) O avião é supersônico?
(Olimpíada Brasileira de Física) Um avião parte de uma cidade A para outra cidade B, mantendo a velocidade
constante igual a 250 km/h. Ao alcançar metade do caminho é forçado a diminuir a velocidade, mantendo-a cons-
tante em 200 km/h; conseguentemente, chega ao destino com 15 minutos de atraso.
Considerando que o tempo de mudança de velocidade é desprezível, qual a distância entre as cidades 4 e B?
(Unicamp-SP) A figura abaixo mostra o esquema simplificado de um dispositivo colocado em uma rua para
controle de velocidade de automóveis (dispositivo popularmente chamado de “radar”.
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Os sensores S, e S, e a câmera estão ligados a um computador. Os sensores enviam um sinal ao computador
sempre que são pressionados pelas rodas de um veículo. Se a velocidade do veículo está acima da permitida,
o computador envia um sinal para que a câmera fotografe sua placa traseira no momento em que esta estiver
sobre a linha tracejada. Para um certo veículo, os sinais dos sensores foram os seguintes:
' 1 1 '
' 1 1 i
i 1 1 i
1 1 t '
' 1 1 1
1 1 1 r
1 1 1 i
1 1 1 1
1 1 t L
1 1 t i
1 1 1 1
1 ' 1 '
1 1
1 1
i 1
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' 1
' 1
i 1
1
1
1
1
1
1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
d
0 0,1 0,2 0,3 t(s)
a) Determine a velocidade do veículo em km/h. b) Calcule a distância entre os eixos do veículo.
P.36 (Fuvest-SP) Diante de uma agência do INSS há uma fila de aproximadamente 100 m de comprimento, ao longo
da qual se distribuem de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a porta, as pessoas entram, durante 30 s, com
uma velocidade média de 1 m/s. Avalie:
a) o número de pessoas que entraram na agência;
b) o comprimento da fila que restou do lado de fora.
P37 (Unicamp-SP) Brasileiro sofre! Numa tarde de sexta-feira, a fila única de clientes de um banco tem comprimento
médio de 50 m. Em média, a distância entre as pessoas na fila é de 1,0 m. Os clientes são atendidos por três
caixas. Cada caixa leva cerca de 3,0 min para atender um cliente. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade (média) dos clientes ao longo da fila?
b) Quanto tempo um cliente gasta na fila?
c) Se um dos caixas se retirar por 30 min, quantos metros a fila aumenta?
ei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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5
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(UEPB) Um professor de Fisica, verificando em sala Considere desprezível a resistência do ar.
de aula que todos os seus alunos encontram-se Assinale a alternativa em que melhor estão
sentados, passou a fazer algumas afirmações para representadas as trajetórias da moeda, como
que eles refletissem e recordassem alguns concei- observadas por Júlia e por Tomás.
tos sobre movimento. a . 9 =" .
Das afirmações seguintes formuladas pelo pro- Júlia Tomás Júlia Tomás
fessor, a única correta é: |
a) Pedro (aluno da sala) está em repouso em rela-
ção aos demais colegas, mas todos nós estamos
em movimento em relação à Terra. |
b) Mesmo para mim (professor), que não paro de
andar, seria possível achar um referencial em | b) =" . d) = .
relação ao qual eu estivesse em repouso. | Júlia Tomás Júlia Tomás
€) A velocidade dos alunos que eu consigo obser- |
var agora, sentados em seus lugares, é nula para
qualquer observador humano. |
d) Como não há repouso absoluto, nenhum de nós
está em repouso, em relação a nenhum referen-
cial.
e) O Sol está em repouso em relação a qualquer | (UEM-PR) Um trem se move com velocidade
referencial. f horizontal constante. Dentro dele estão o obser-
| vador À e um garoto, ambos parados em relação
| ao trem. Na estação, sobre a plataforma, está o
(UFMG) Júlia está andando de bicicleta, em um
plano horizontal, com velocidade constante, | observador B, parado em relação a ela. Quando
quando deixa cair uma moeda. Tomás está para- o trem passa pela plataforma, o garoto joga uma
do na rua e vê a moeda cair. i bola verticalmente para cima.
CapituLo 2 * INTRODUÇÃO AO EstUDO DOS MOVIMENTOS 250
T2t
Estreito
de Bering
Desprezando-se a resistência do ar, podemos
afirmar que:
01) o observador A vê a bola se mover vertical-
mente para cima e cair nas mãos do garoto.
02) o observador B vê a bola descrever uma
parábola e cair nas mãos do garoto.
04) os dois observadores vêem a bola se mover
numa mesma trajetória.
08) o observador B vê a bola se mover vertical-
mente para cima e cair atrás do garoto.
16) o observador À vê a bola descrever uma
parábola e cair atrás do garoto.
Dê como resposta a soma dos números associa-
dos às proposições corretas.
(Vunesp) Ao passar pelo marco “km 200” de
uma rodovia, um motorista vê um anúncio com
a inscrição: “ABASTECIMENTO E RESTAURANTE
A 30 MINUTOS”. Considerando que esse posto
de serviços se encontra junto ao marco “km 245”
dessa rodovia, pode-se concluir que o anun-
ciante prevê, para os carros que trafegam nesse
trecho, uma velocidade média, em km/h, de:
a) 80 b90 ©9100 ®110 e) 120
(UFRN) Uma das teorias para explicar o aparecimen-
to do homem no continente americano propõe que
ele, vindo da Ásia, entrou na América pelo estreito
de Bering e foi migrando para o sul até atingir a
Patagônia, como indicado no mapa abaixo.
5.000 km
Rota de
migração
Patagônia
sij
Datações arqueológicas sugerem que foram
necessários cerca de 10.000 anos para que essa
migração se realizasse.
O comprimento AB, mostrado ao lado do mapa,
corresponde à distância de 5.000 km nesse mes-
mo mapa.
Com base nesses dados, pode-se estimar que a
velocidade escalar média de ocupação do conti-
nente americano pelo homem, ao longo da rota
desenhada, foi de aproximadamente:
a) 0,5 km/ano c) 24 km/ano
b) 8,0 km/ano d) 2,0 km/ano
(UEL-PR) Um automóvel mantém uma velocidade
escalar constante de 72,0 km/h. Em 1 h 10 min ele
percorre, em quilômetros, uma distância de:
a) 79,2 b)80,0 © 82,4 d)840 e) 90,0
(Uerj) A velocidade normal com que uma fita de
vídeo passa pela cabeça de um gravador é de,
aproximadamente, 33 mm/s. Assim, o compri-
mento de uma fita de 120 minutos de duração
corresponde a cerca de:
a) 40 m b) 80 m co) 120m d 240m
- (UFMA) A pista do “Castelinho” possui 400 m de
comprimento. Se um atleta corre, com uma ve-
locidade escalar constante de 10,0 m/s, quantas
voltas ele completará em 20 minutos?
a l0 b20 93% ®40 5
5 (Ufes) Uma pessoa caminha 1,5 passo/segundo,
com passos que medem 70 cm cada um. Ela
deseja atravessar uma avenida com 21 metros de
largura. O tempo mínimo que o sinal de trânsito
de pedestres deve ficar aberto para que essa
pessoa atravesse a avenida com segurança é:
a) 10s c) 20s e) 45s
b) 14s d) 32s
* (Mackenzie-SP) Um automóvel que trafega ao
longo de uma rodovia passa pelo marco de estra-
da 115 km às 19h 15 min e pelo marco 263,5 km
às 20 h 54 min. A velocidade escalar média desse
automóvel, nesse intervalo de tempo, é:
a) 1485m/s © 29,7 m/s e) 90,0 m/s
b) 106,8 m/s d) 25,0 m/s
(Olimpíada Paulista de Física) Beatriz parte de
casa para a escola com uma velocidade escalar
constante de 4,0 km/h. Sabendo-se que Beatriz
e Helena moram a mesma distância da escola e
que Helena saiu de casa quando Beatriz já havia
percorrido dois terços do caminho, qual deve
ser a velocidade escalar média de Helena para
que possa chegar à escola no mesmo instante
em que Beatriz?
a) 1,3 km/h
b) 2,0 km/h
© 4,0 km/h
d) 6,0 km/h
e) 12,0 km/h
| (Fatec-SP) O motorista de um automóvel dese-
ja percorrer 40 km com velocidade média de
80 km/h. Nos primeiros 15 minutos, ele manteve
a velocidade média de 40 km/h. Para cumprir seu
objetivo, ele deve fazer o restante do percurso
com velocidade média, em km/h, de:
a) 160 b) 150 9120 DIO 9
(UnB-DF) Um fazendeiro percorre, com seu jipe,
os limites de sua fazenda, que tem o formato de
um losango, com os lados aproximadamente
iguais. Devido às peculiaridades do terreno,
cada lado foi percorrido com uma velocidade
média diferente: o primeiro a 20 km/h, o segun-
do a 30 km/h, o terceiro a 40 km/h e, finalmente,
o último a 60 km/h.
A velocidade média desenvolvida pelo fazendei-
ro para percorrer todo o perímetro da fazenda,
em km/h, foi de:
a 50 b42 938 d3 3
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 2.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 da Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(Fuvest-SP) Um automóvel e um ônibus trafegam
em uma estrada plana, mantendo velocidades
constantes em torno de 100 km/h e 75 km/h,
respectivamente. Os dois veículos passam lado a
lado em um posto de pedágio. Quarenta minutos
2
É de hora depois, nessa mesma estrada, o
morista do ônibus vê o automóvel ultrapassá-lo.
Ele supõe, então, que o automóvel deve ter rea-
lizado, nesse período, uma parada com duração
aproximada de:
a) 4minutos œ) 10 minutos e) 25 minutos
b) 7 minutos d) 15 minutos
(UFPA) Certa pessoa viajava em um automóvel
cujo velocímetro não funcionava. Desejando sa-
ber qual era a velocidade escalar média do auto-
móvel e sabendo que os postes da rede elétrica
dispostos à margem da estrada distam 60 m um
do outro, a pessoa começou a marcar o tempo
no instante em que passou em frente de um certo
poste (chamemos de 1° poste), e constatou que
transcorreram 45,6 s até o instante em que pas-
sou diante do 20° poste. Assim constatou que, no
intervalo de tempo durante o qual ele se deslocou
do 1° ao 20° poste, a velocidade escalar média do
automóvel era, em km/h, de:
a25 D6 9% 5 9
(UEL-PR) Popularmente conhecido como “lomba-
da eletrônica”, o redutor eletrônico de velocidade
é um sistema de controle de fluxo de tráfego que
reúne equipamentos de captação e processamen-
to de dados. Dois sensores são instalados na pista
no sentido do fluxo, a uma distância de 4 m um
do outro. Ao cruzar cada um deles, o veículo é
detectado; um microprocessador recebe dois si-
nais elétricos consecutivos e, a partir do intervalo
de tempo entre eles, calcula a velocidade média
do veículo com alta precisão. Considerando que
o limite máximo de velocidade permitida para o
veículo é de 40 km/h, qual é o menor intervalo de
tempo que o veículo deve levar para percorrer a
distância entre os dois sensores, permanecendo
na velocidade permitida?
a) 0,066...s c) 0,365 e) 900s
b) 0,10h d) 11,ils
(UFSCar-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo e
Carlos, saíram de suas casas para se encontra-
rem numa lanchonete. Antônio realizou metade
do percurso com velocidade média de 4 km/h e
a outra metade com velocidade média de 6 km/h.
Bernardo percorreu o trajeto com velocidade
média de 4 km/h durante metade do tempo que
levou para chegar à lanchonete e a outra metade
do tempo fez com velocidade média de 6 km/h.
Carlos fez todo percurso com velocidade média
de 5 km/h. Sabendo que os três saíram no mes-
mo instante de suas casas e percorreram exata-
mente as mesmas distâncias, pode-se concluir
corretamente que:
a) Bernardo chegou primeiro, Carlos em segundo
e Antônio em terceiro.
b) Carlos chegou primeiro, Antônio em segundo e
Bernardo em terceiro.
c) Antônio chegou primeiro, Bernardo em segundo
e Carlos em terceiro.
d) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio
chegou em terceiro.
e) os três chegaram juntos à lanchonete.
(Enem-MEC) As cidades de Quito e Cingapura
encontram-se próximas à linha do equador e em
pontos diametralmente opostos no globo terres-
tre. Considerando o raio da Terra igual a 6.370 km,
pode-se afirmar que um avião saindo de Quito,
voando em média 800 km/h, descontando as
paradas de escala, chega a Cingapura em aproxi-
madamente:
a) 16 horas d) 32 horas
b) 20 horas e) 36 horas
c) 25 horas
* (Mackenzie-SP) Um trenzinho, de 60 cm de com-
primento, descreve uma trajetória, sobre uma
superfície plana e horizontal, da qual se destaca
o trecho ABC, ilustrado na figura. O movimento
é com velocidade escalar constante, os arcos
AB e BC da trajetória são semicircunferências
e o intervalo de tempo gasto para que ele atra-
vesse completamente o trecho AC, ao longo dos
trilhos, é 2,5 s. A velocidade escalar do trenzinho
é aproximadamente:
a) 0,9 m/s d) 2,2 m/s
b) 1,8 m/s e) 3,6 m/s
c) 2,0 m/s
Despreze a distância
entre os trilhos
: (Uesb-BA) Uma composição ferroviária, de 120 m
de comprimento, move-se com velocidade cons-
tante de 54 km/h. O tempo que ela gasta para
atravessar completamente um pontilhão de 60 m
de extensão, em segundos, é:
a) 4,0 d) 10
b) 6,0 e) 12
o 80
7 (UFMG) Uma escola de samba, ao se movimentar
numa rua reta e muito extensa, mantém um com-
primento constante de 2 km. Se ela gasta 90 min
para passar completamente por uma arquiban-
cada de 1 km de comprimento, sua velocidade
média deve ser:
a) Z km/h c) $ km/h e) 3 km/h
b) 1 km/h d) 2 km/h
eseosesorososscsseevosecosecasssssesosese sseneenseasonsuasesocsauevesevosesesseoaszesessesecevessrceseseonecansreacsrvesezorsarzessarvesoserssetecseerreo
Carítuio 2 © INTRODUÇÃO AO EsTUDO DOS MovIMENTOS 27º
a em nosso Mundo
O sistema de posicionamento global
O sistema de posicionamento global, cuja sigla é GPS (iniciais
das palavras Global Positioning System) é um sistema de posicio-
namento por satélites, desenvolvido pelo Departamento de Defe-
sa (DoD) dos Estados Unidos da América. Por meio desse sistema
uma pessoa pode determinar a posição em que se encontra na
superfície terrestre, no mar ou em órbita. A pessoa deve possuir
um receptor (chamado vulgarmente de GPS) que capta os sinais
(ondas de rádio) emitidos por satélites.
O sistema espacial é constituído de 24 satélites, em transmis-
são ininterrupta, sendo monitorados por estações terrestres. Os
satélites estão distribuídos em 6 órbitas circulares, cada uma com
4 satélites. Cada satélite completa duas voltas em torno da Terra
em um dia, a uma altitude de 20.200 km.
Cada satélite envia ao receptor uma mensagem digital informan-
do sua posição e o instante em que o sinal é emitido. O receptor
possui um relógio sincronizado com o relógio atômico do satélite,
o que permite determinar o intervalo de tempo entre a emissão
e a recepção do sinal. Multiplicando-se esse intervalo de tempo
pela velocidade do sinal (aproximadamente 300.000 km/s), tem-se
a distância entre o receptor e cada satélite.
Conhecendo-se pelo menos as distâncias a três satélites é pos-
sível determinar a posição do receptor, por meio de um processo
denominado triangulação, como descrevemos abaixo.
Seja R, a distância do receptor ao primeiro satélite. O receptor
pode estar em qualquer ponto da circunferência de centro no pri-
meiro satélite e raio A, (figura a). Indigquemos por A, a distância do
receptor ao segundo satélite e considere a circunferência de raio
R, e centro no segundo satélite. O receptor pode estar num dos
dois pontos em que as circunferências se interceptam (figura b).
Seja R, a distância do receptor ao terceiro satélite e considere a
circunferência de raio R, e centro no terceiro satélite. A intersec-
ção das três circunferências ocorre num ponto onde se localiza
exatamente o receptor (figura c).
SIMON FRASER / SPLLATINSTOCK
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A Constelação de satélites
L.1 — (UEM-PR) O GPS (Global Positioning System — Sistema de Posicionamento Global) consiste no mais moderno
método de localização geográfica. Através de uma rede de satélites em órbita da Terra, é possível saber,
por esse sistema:
a) latitude e aberração estelar.
b) declinação magnética e refração atmosférica.
c) longitude e latitude.
d) paralaxe e declinação magnética.
e) aberração estelar e refração atmosférica.
desses asd has da sa sin spa iss ásia virrasiskasis sas ias nadas esteki skeinki vocais vis né dd saseas esa dorpbasss seas ss aan as Dersa asa raras ads dd as
28
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9,610 de 19 de fevereiro de 1998.
Figura a
Figura c
Automaticamente o receptor fornece as coordenadas (latitude e longitude) deste ponto.
Conhecendo-se as coordenadas de outro ponto pode-se, por meio do receptor GPS, traçar a rota que vai
de um ponto ao outro. Daí a utilização do receptor GPS por veículos que transitam por ruas de cidades des-
conhecidas. O GPS tem aplicações na navegação marítima, na aviação e na cartografia.
Na agricultura, por meio de mapeamento, o GPS permite aumentar a produtividade de áreas cultivadas.
Localiza incêndios e o deslocamento de queimadas. Os receptores GPS são utilizados nas práticas esportivas
por ciclistas, balonistas, alpinistas etc.
O processo de triangulação foi apresentado de modo simplificado, isto é, em duas dimensões. Conside-
rando o posicionamento no espaço, ou seja, em três dimensões, a localização do receptor é feita por meio da
intersecção de três superfícies esféricas, em vez de circunferências. Receptores procuram geralmente por
4 ou mais satélites melhorando, desse modo, a exatidão e determinando precisamente a altitude em que o
receptor se encontra.
L.2 (Unifei-MG) O monitoramento por satélites e o GPS (Sistema de Posicionamento Global) são inovações tec-
nológicas atualmente usadas por órgãos governamentais, agricultura, empresas etc. Sobre essa questão,
escreva verdadeiro (V) ou falso (F) para os itens abaixo e assinale a alternativa correta:
e O GPS é um Sistema de Posicionamento Global constituído por 24 satélites que emitem sinais de rádio cap-
tados por aparelhos especiais em qualquer ponto da superfície terrestre.
e O GPS indica ao usuário sua localização em termos de latitude, longitude e altitude.
e Na agricultura, essas tecnologias podem ser utilizadas a fim de que se obtenha maior produtividade com
custos menores.
e Essas inovações tecnológicas permitem, por exemplo, detectar e acompanhar a direção e o deslocamento
de queimadas e avaliar prejuízos em áreas atingidas por secas ou inundações.
a) VFVV b) VVVF ©) FVVV d) VVVV
OET TTET Ts Ric ana sas inca asa ns das as nao west aneis wesvá ves cisToras ares nisi sda near sis irriki Cosa Casa dna ss dis Dan Ta sense essas
Capitu 2: INTRODUÇÃO AO Estubo DOS MOVIMENTOS 29 e
E Neste capítulo é feita a análise dos movimentos em que
a velocidade escalar permanece constante no decorrer
1. MOVIMENTO PROGRESSIVO E RETRÓGRADO do tempo. Em tais movimentos o móvel percorre
2. FUNÇÃO HORÁRIA distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, como
3. MOVIMENTO UNIFORME (MU) o pequeno ônibus da foto estroboscópica* acima.
4. FUNÇÃO HORÁRIA DO MU
@ 1. Movimento progressivo e retrógrado
O movimento é chamado progressivo quando o móvel caminha a favor da orientação positiva da
trajetória (figura 1a). Seus espaços crescem no decurso do tempo e sua velocidade escalar é positiva.
O movimento é chamado retrógrado quando o móvel caminha contra a orientação positiva da tra-
jetória (figura 1b). Seus espaços decrescem no decurso do tempo e sua velocidade escalar é negativa.
a) b)
ANTHONY MARSLAND / STONE-GETTY IMAGES
«4 Orientando-se a trajetória da direita
para a esquerda, qual dos pedestres
tem movimento progressivo e qual
tem movimento retrógrado?
* As fotos estroboscópicas permitem visualizar a trajetória descrita por um corpo em relação a um determinado
referencial. Nestas fotos, o obturador da máquina fotográfica é aberto em pequenos, e iguais, intervalos de tempo,
registrando no filme as sucessivas posições do corpo em movimento.
CORNO OROO ERROU DO COLS UU LERNER CANTAR CI CLAD NC O REED ORLACOOULUSL DCM ARCOS ECO OROA OLL NONE URU a RR LU AS RU an rc rno ua era canc aaa
30 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
B. Função horária
Considere um ponto material em movimento em relação a um dado referencial. Com o decorrer do
tempo seu espaço varia. A função que relaciona o espaço s com os correspondentes instantes t é deno-
minada função horária do movimento e é representada genericamente por s = f(t), expressão que se
lê: s é uma função de t.
Toda vez que fornecemos uma função horária, devemos indicar as unidades: se s estiver em metros
(m) e t em segundos (s), a unidade da velocidade v será m/s; se s estiver em quilômetros (km) e tem
horas (h), a unidade de v será km/h.
Exemplos:
a) s = 10 + 5t (s em metros e t em segundos)
A função horária descreve o movimento indicando matematicamente como o espaço varia com o
tempo. Assim, para o exemplo dado, atribuindo-se valores a t, obtemos valores de s, chegando à tabela
horária da descrição do movimento do móvel (P):
Como s = 10 + 5t, temos:
t=0: s=10+5-0=>s5s=10m
t=1s: s=10+5-1
t=2s: s=10+5:2 > s=20m
t=3s: s=10+5:3
> s=15m
> s=25m
Nesse exemplo, o espaço do móvel cresce no decurso do tempo e, portanto, o movimento é pro-
gressivo.
b) s = 20 — 5t (s em metros e t em segundos)
Para esse exemplo, temos:
t=0: s=20-5:0 > s=20m a =
t=1s:s=-20-5-155=15m o Elo
t=2s:s=20-5:2 >5s=10m E = 20 25 sim)
t=3s: s=20-5:3 >» s=5m
Nesse exemplo, o espaço do móvel decresce no decurso do tempo e, portanto, o movimento é re-
trógrado.
c) s = 8 — 4t + t?(sem metros e t em segundos)
t=3s5
t=0
=0: s=8-4:0+0 =>s=8m ER Sos
t=1Is:s=8-41+7 = s=5m o O
0 2 4 6 8
t=2s:s=8-4:2+2? >» s=4m sm)
t=3s:5=8-4:3+3º = s=5m
Nesse exemplo, o movimento do móvel foi inicialmente retrógrado e depois, progressivo.
O instante t = O é chamado origem dos tempos (corresponde ao instante em que o cronômetro é
acionado) e o espaço do móvel nesse instante é chamado espaço inicial, sendo indicado por so.
Espaço inicial (so) é o espaço do móvel no instante t = 0.
Nos exemplos citados, os espaços iniciais são: a) S = 10 m; b} ss = 20 m; €) s = 8 m.
CarítruLo 3: ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME 31 e
O uu
E 3. Movimento uniforme (MU)
Movimentos que possuem velocidade escalar instantânea constante (não-nula) são chamados
movimentos uniformes. Portanto, se a velocidade escalar é a mesma em todos os instantes, ela coincide
com a velocidade escalar média, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado:
A
V =Vn = S constante + O
At
Sendo assim, no movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de
tempo iguais.
B.. Função horária do MU
No movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea é constante e coincide com a velocidade
24: . . As As
escalar média, qualquer que seja o intervalo de tempo. Portanto, de v» = AL resulta v = —.
Fazendo As = s — e At = t~ 0 = t, vem:
S — S
Vv = F > vet=s—-s >
| função horária do MU
A função horária do movimento uniforme é do primeiro grau em t. Nessa função, sọ e v são constan-
tes com o tempo; v é a velocidade escalar do movimento; v > O quando o movimento é progressivo;
v < 0 quando o movimento é retrógrado.
Vejamos alguns exemplos, considerando s em metros e t em segundos:
s=10 +5t S =10m v= +5 m/s v > 0, progressivo
s=30 + 20t So = 30 m v= +20 m/s v > 0, progressivo
s=60 — 8t So = 60 m v= -8 m/s v < 0, retrógrado
s= 0,3 — 0,7t S = 03m v= —0,7 m/s v< 0, retrógrado
s=12 +t Sss=12m v= + m/s v > 0, progressivo
s= 9t S= 0 v= +9m/s v > 0, progressivo
s= — & S= 0 v= -8m/s v< 0, retrógrado o
Resumindo, temos:
Movimento uniforme
S= S + vt v = constante + O V = Vn = —
Um móvel realiza um movimento uniforme num determinado referencial. Seus espaços variam com o tempo
segundo os dados da tabela:
20 28 | 36 44 52 J
ersesecoessesesneseseosasoessonsvsessovosssovossesessosocoresusszovseesoszessesessapesernpevasevoseseenernorevosusoevsesasesasenasaesovasrenessasperesso
e32 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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a) Determine o espaço inicial sọ e a velocidade escalar v do movimento.
b) O movimento é progressivo ou retrógrado?
c) Qual é a função horária do movimento?
Solução:
a) Da tabela observamos que no instante t = 0 o espaço do móvel é:
Para o cálculo da velocidade escalar do movimento basta observar na tabela que, para cada intervalo de tempo igual
a 1 s, a variação do espaço do móvel é de 8 m. Assim, sendo At= 1 se As = 8m, vem:
A
At 1
b) Sendo v = 8 m/s > 0, concluímos que o movimento é progressivo. Os espaços crescem no decurso do tempo e o
móvel caminha a favor da orientação positiva da trajetória.
c) A função horária do movimento uniforme é s = sọ + vt. Sendo sọ = 20 m e v = 8 m/s, vem:
s=20+8t]| (sem metros e tem segundos)
Respostas: a) s, = 20 m; v = 8 m/s; b) progressivo; c) s = 20 + 8t (s em metros e t em segundos)
E dada a função horária s = 20 — 4t (para t em h e s em km), que descreve o movimento de um ponto material
num determinado referencial. Os espaços s são medidos numa trajetória a partir de um marco zero. Os instan-
tes f são lidos num cronômetro. Determine:
a) o espaço inicial e a velocidade escalar;
b) o tipo do movimento e se ele é progressivo ou retrógrado;
€) o espaço do móvel quando t = 2 h;
d) o instante quando o móvel está na posição cujo espaço é igual a 8 km;
e) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços (marco zero).
Solução:
a) e b) O movimento é uniforme, pois sua função horária é do primeiro grau em t£:
s=S, + vt
s=20- 4t
Nessa expressão, | s = 20 km | (no instante inicial o móvel está a 20 km do marco zero da trajetória) e
u = —4 km/h | constante com o tempo; seu sinal negativo significa que o movimento é retrógrado, isto é, o móvel
caminha no sentido contrário ao da orientação da trajetória, aproximando-se do marco zero.
c) Substituindo tpor2hems = 20 — 4t, vem:s=20-4-2=20-8 >
d) Substituindo s por 8 km em s = 20 — 4t, temos:8=20- 4t > 4t=20 -8 > 4t=12 >
e) O móvel passa pela origem dos espaços quando seu espaço s é nulo, isto é, s = 0.
Em s = 20 — 4t, temos: 0 = 20 — 4t > 4t = 20 =>
Respostas:
a) 20 km; —4 km/h; b) uniforme retrógrado; c) 12 km; d) 3 h; e)5 h
Observações:
e Pelo exercício, observe que t e s não têm valores fixos. Em Matemática, te s são chamados variáveis da função.
e O espaço s apenas localiza o móvel, não fornecendo nem o sentido nem a distância percorrida.
No instante t = 0 um móvel se encontra a +15 m do marco zero, estando em movimento uniforme com veloci-
dade escalar 5 m/s em valor absoluto. Determine a função horária do movimento:
a) admitindo-o progressivo; b) admitindo-o retrógrado. , ,
Movimento progressivo
Solução: 0 A —
: Pi : = PE ` z Sp
Se o movimento é uniforme, sua função horária obedece à expressão 15 s(m)
S = S + vt, na qual s = 15 m e v pode ser +5 m/s (se progressivo) ou
—5 m/s (se retrógrado).
Movimento retrógrado
Respostas:
<—
a) s, = 15 + ot (tem segundos e s em metros) Lo EO
b) sa = 15 — 5t (t em segundos e s em metros) 15 s(m)
Capítulo 3 * ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME 33º
O uva |
Dois móveis Á e B percorrem a mesma trajetória e seus espaços são medidos a partir de uma origem comum.
Suas funções horárias, para s em metros e t em segundos, são: s, = 10 + 2te sg = 40 — 4t.
Determine:
a) o instante do encontro; b) a posição do encontro.
= =0
Solução: t
Ç t=0 «Ds
a) Na figura ao lado representamos as posições dos móveis no instante t = 0. 9”
O espaço inicial de A é 10 m e seu movimento é progressivo (v = +2 m/s). 20 30 40 cm)
O espaço inicial de B é 40 m e seu movimento é retrógrado (v = —4 m/s). 10
No instante do encontro os móveis têm espaços iguais, independentemente de quanto cada qual percorreu:
Sa = Sg
10 +2t=40 — 4t
2t + 4t= 40-10 Entre na rede
6t = 30
(instante do encontro) | No endereço eletrônico http://
| br.geocities.com/saladefisica3/
b) Substituindo t por 5 s em qualquer uma das funções horárias, obtemos | laboratorio /uniforme/uniforme.
a posição do encontro: htm (acesso em 15/2/2007), você
| pode analisar as características do
movimento uniforme.
s=10+2:-5 > |s,=20m
Para confirmar: sg = 40 — 4t >» s,=40-4-5 =| s,=20m
Respostas: a) £ = 5 s; b) s4 = Sẹ = 20 m
Duas estações A e B estão separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetória. Pela estação A passa um
trem P, no sentido de À para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os trens P
e Q têm movimentos uniformes com velocidades de valores absolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente.
Determine:
a) o instante do encontro; b) a posição do encontro.
Solução:
Vamos escrever as funções horárias dos movimentos dos dois trens P e Q. Para isso devemos:
© adotar uma origem dos espaços; (4) escrever as funções horárias;
O orientar a trajetória; © impor a condição de encontro.
© adotar uma origem dos tempos;
0
+ 200 km
A! 200 km
Para o exercício em questão, temos:
O Origem dos espaços: estação À (marco zero).
®© Orientação da trajetória: de A para B (note que o espaço da estação B é +200 km).
© Origem dos tempos t = 0 h: instante simultâneo das passagens de P por 4, e de Q por B (note que nesse instante
os trens estão em suas posições iniciais).
®© Funções horárias do tipo s = sy + vt, pois os movimentos são uniformes. Observe que, com a orientação de tra-
jetória de À para B, P tem movimento progressivo (v > 0) e Q retrógrado (v < 0).
km
S = S +t vt S= So t Vt
TremP J%7F 0; v = +70 km/h; tem h; sp em km Trem Q So = +200 km; v = —30 km/h; tem h; sọ em km
© Encontro: no instante do encontro os móveis têm o mesmo espaço (sp = sọ) independentemente de quanto cada
qual percorreu.
Sp = Sọ > 0+ 70t= 200 — 30t > 70t+ 30t = 200 = 1004 = 200 t=2h]| (instante do encontro)
Q
Substituindo t por 2 h em qualquer uma das funções horárias, obtemos a posição do encontro:
Sp = 70t = 70:2 > | sp = 140 km
Para confirmar: sọ = 200 — 30t= 200 - 30:2 > | sọ = 140 km
O encontro ocorre a 140 km da origem dos espaços (estação A).
Respostas: a) 2 h após as passagens dos trens P e Q pelas estações A e B; b) a 140 km da estação A.
esencsrosesouosevsnosssesesoosresoracoesoonesosososonosessossoscsecarnsoososasespesesssseesecsersvosesessossusosesenerorsasnesueasresesessrass>
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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(] Exercícios
„propostos
P.38. Um móvel realiza um movimento uniforme num determinado referencial. Seus espaços variam com o tempo
segundo os dados da tabela:
1 2
120 80
E
E 40
a) Determine o espaço inicial s e a velocidade escalar v do movimento.
b) O movimento é progressivo ou retrógrado?
c) Qual é a função horária do movimento?
P.39 Um móvel descreve um movimento sempre no mesmo sentido num determinado referencial, percorrendo dis-
tâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Seus espaços variam com o tempo segundo os dados da tabela:
tg) 1 3 5 | 7 9 | un | g |
s (m) 150 250 350 | 450 550 | 650 |
a) Qual é a velocidade escalar média no intervalo de tempo entre 1 e 3 s?
b) Qual é a velocidade escalar média no intervalo de tempo entre 5 e 13 s?
c) O movimento em questão é uniforme? Por quê?
d) O movimento é progressivo ou retrógrado no intervalo de tempo observado? Por quê?
P.40 É dada a função horária do movimento de um móvel s = 100 + 80%, onde s é medido em metros e t em segundos.
Determine:
a) o espaço inicial e a velocidade escalar;
b) o espaço quando t= 2 s;
©) o instante em que o móvel se encontra a 500 m da origem dos espaços;
d) se o movimento é progressivo ou retrógrado.
P.41 É dada a função horária do movimento de um móvel s = 60 — 12t, na qual s é medido em quilômetros e tem
horas. Determine:
a) o espaço inicial e a velocidade escalar;
b) o espaço quando t = 3 h;
c) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços;
d) se o movimento é progressivo ou retrógrado.
P42. Os móveis Á, B, Ce D possuem movimentos uniformes. Escreva suas funções horárias e determine seus espaços
noinstantet=2s.
Espaço inicial (ralos absoluto) Movimento
o A 35m 12 m/s progressivo
B 30 m 90 m/s | retrógrado
C 29 cm 13 cm/s | retrógrado
a D | 43 m 21 m/s | progressivo
P,43.. Dois móveis percorrem a mesma trajetória e seus espaços estão medidos a partir do marco escolhido na tra-
jetória. Suas funções horárias são:
sa = 30 — 80t e sp=10+20t
Nessas funções, t é o tempo em horas e s4 € Sg são os espaços em quilômetros.
Determine o instante e a posição do encontro.
P.44: Dois móveis P, e P, caminham na mesma trajetória. Na figura P; P,
indicamos os sentidos de seus movimentos, bem como suas
posições no instante em que se aciona o cronômetro (t = 0). 15 45 stm)
As velocidades de P, e P, são respectivamente iguais a 20 m/s e 10 m/s (em valor absoluto). Determine o instante
e a posição de encontro dos móveis.
P.45- Duas cidades A e B estão separadas pela distância de 300 km, medidos ao longo da estrada que as liga. No
mesmo instante, um móvel P passa por À, dirigindo-se a B, e um móvel Q passa por B, dirigindo-se a 4. Seus
movimentos são uniformes e suas velocidades (em valor absoluto) são iguais a 80 km/h (P) e 70 km/h (Q).
Determine:
a) o instante do encontro; b) a posição de encontro.
CapítuLo 3 * ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME 35º
e —
a)
=
=
e]
tri
a B Exercic 5
P.46
P.47
P.48
P.49
os propostos
ETR ETE-TO
nã O di
Dois carros A e B realizam movimentos retilíneos
uniformes. À velocidade escalar de A é 15 m/s.
Determine a velocidade escalar de B, sabendo que
eles colidem no cruzamento C.
Um carro de 4,0 m de comprimento desloca-se
em movimento retilíneo uniforme com velocidade
escalar v = 15 m/s, aproximando-se de um cru-
zamento. Quando o carro está a 150 m do cruza-
mento, a luz do semáforo passa de vermelha para
verde, assim permanecendo por 15 s. A largura
da rua é de 26 m. Determine se o carro cruzará
totalmente a rua com a luz ainda verde.
(UFRJ) Dois trens, um de carga e outro de passageiros, movem-se nos mesmos trilhos retilíneos, em sentidos
opostos, um aproximando-se do outro, ambos com movimentos uniformes. O trem de carga, de 50 m de com-
primento, tem uma velocidade de módulo igual a 10 m/s e o de passageiros, uma velocidade de módulo igual
a v. O trem de carga deve entrar num desvio para que o de passageiros possa prosseguir viagem nos mesmos
trilhos, como ilustra a figura. No instante focalizado, as distâncias das dianteiras dos trens ao desvio valem
200 m e 400 m, respectivamente.
Trem de passageiros Desvio Trem de carga
MASERRGOESEELSUEAGASES
i 200 m i
!
Calcule o valor máximo de v para que não haja colisão.
(Vunesp) Uma caixa de papelão vazia, transportada na carroceria de um caminhão que trafega a 90 km/h num
trecho reto de uma estrada, é atravessada por uma bala perdida. A largura da caixa é de 2,00 m e a distância
entre as retas perpendiculares às duas laterais perfuradas da caixa e que passam, respectivamente, pelos
orifícios de entrada e de saída da bala (ambos na mesma altura) é de 0,20 m.
Orifício A
Direção e sentido do movimento do caminhão
Ca’
Orifício B Va
0,20m
Caixa vista de cima
Supondo que a direção do disparo é perpendicular às laterais perfuradas da caixa e ao deslocamento do cami-
nhão e que o atirador estava parado na estrada, determine a velocidade da bala, suposta constante.
CON CUDNO OCO RICA SALE VLCESLIDLLUL SELO LLELLLOSONTDECLO ONA CANL NACL ORLLDALC UU LAU TODO LLINC OLA PAS NRO CR DURA Ren na RU a as Res es sa encare anne senna ce
“36
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
P.50
P,51
Duas pequenas esferas A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com movimentos uniformes e veloci-
dades escalares 8,0 m/s e 6,0 m/s, respectivamente. No instante t = 0, as esferas estão posicionadas conforme
a figura abaixo. Determine em que instantes a distância entre as esferas é de 4,0 m.
(FGV-SP) De duas cidadezinhas ligadas por uma estrada reta de 10 km de comprimento, partem simultaneamente,
uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade de 5 km/h. No
instante de partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta,
com a velocidade de 15 km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível,
ela parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo, até pousar em
sua testa. E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre esmagada
entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?
Se a velocidade escalar de um móvel é positiva:
a) o movimento é progressivo.
b) o movimento é retrógrado.
c) o movimento é necessariamente uniforme.
d) o movimento é necessariamente variado.
e) nenhuma das afirmações anteriores é correta.
Num movimento retrógrado:
a) os espaços crescem com o decorrer do tempo.
b) os espaços decrescem com o decorrer do tempo.
c) a velocidade escalar média é nula.
d) a velocidade escalar é positiva.
e) nenhuma das afirmações anteriores é correta.
(Mackenzie-SP) Uma partícula descreve um movi-
mento uniforme cuja função horária és = —2 + 5t,
para s em metros e t em segundos. Nesse caso,
podemos afirmar que a velocidade escalar da
partícula é:
a) —2 m/s e o movimento é retrógrado.
b) —2 m/s e o movimento é progressivo.
c) 5 m/s e o movimento é progressivo.
d) 5 m/s e o movimento é retrógrado.
e) —-2,5 m/s e o movimento é retrógrado.
(Uesb-BA) Dois móveis, A e B, percorrem uma mes-
ma trajetória e suas posições são dadas, a partir da
mesma origem dos espaços, por s, = —30 + 10t
e€ Sg = —10 — 10ż (s em m e tems).
O instante e a posição de encontro são iguais,
respectivamente, a:
01) Ise-20m 04) 4se20m
02) 2s e -10m 05) 5s e -60m
03) 3s e —40m
(FEI-SP) Dois móveis, ambos com movimento
uniforme, percorrem uma trajetória retilínea
conforme mostra a figura a seguir. Em t = 0, eles
se encontram, respectivamente, nos pontos Å
e B na trajetória. As velocidades escalares dos
móveis são v, = 50 m/s e vg = 30 m/s no mesmo
sentido.
CapítruLo 3: ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME
150m
'
i
t
i
i
i
1
t
1
© 50m
0 A B s (m)
Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro
dos móveis?
a) 200 m d) 300 m
b) 225 m e) 350 m
c) 250m
(UFMG) Duas esferas se movem em linha reta e
com velocidades constantes ao longo de uma
régua centimetrada. Na figura abaixo estão indi-
cadas as velocidades das esferas e as posições
que ocupavam num certo instante.
„ 5 cm/s 3 cm/s
10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 22
As esferas irão colidir na posição corresponden-
tea:
a) 15 cm d) 20 cm
b) 17 cm e) 22 cm
c) 18 cm
(UFPA) Um rapaz e uma moça saem de suas casas
um ao encontro do outro, caminhando sempre
com velocidades respectivamente de 3,5 km/h
e 2,5 km/h. Estando a 100 m da moça, em linha
reta, o rapaz, ao avistá-la, aciona o seu cronô-
metro, travando-o apenas no instante em que
os dois se encontram. O intervalo de tempo, em
minutos, registrado pelo cronômetro vale:
a) 1,0 d) 10
b) 6,0 o 12
© 90
CUaco ronco sra n os cansa se sanar ont nana sans uda DLOONEDONENA LAVE CAE CROLEDCLLLI LORENA Cn DUM URL CODES MILAN DAN CLIO USAR DL OCA O A A RO sr Un cad ida
(UFRGS-RS) Um caminhoneiro parte de São Paulo | ss=-5+2
com velocidade escalar de módulo iguala 74km/h. | a:
. i | o (Valores válidos
No mesmo instante parte outro de Camaquã, no | ss=—T— 3 arat > 0)
Rio Grande do Sul, com velocidade escalar cons- | | s.=5t P `
tante de módulo igual a 56 km/h. | e
[so =—1-t
km km km km km km km
O 640 740 800 910 960 1.300
| Os dois móveis que deverão se encontrar em um
| tempo futuro são:
j
|
ji
1
' 1 1 '
1 1 t 1
1 t t 1
1 t ' 1
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i ' 1 t
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'
1
1
1
1
i
t
a) Aec o) Bel e) CeD
bAeD d) BeD
'
i
1
1
1
1
i
i
í
O
t F
è t í
+ '
1
i
: i : (Fuvest-SP) João está parado em um posto de ga-
Camboriú 1 Laguna Torres solina quando vê o carro de seu amigo, passando
São Paulo Garopaba Araranguá Camaquã | por um ponto P, na estrada, a 60 km/h. Preten-
dendo alcançá-lo, João parte com seu carro e
| passa pelo mesmo ponto P, depois de 4 minutos,
|
|
4
i
1 y
E
'
t
Em que cidade eles se encontrarão?
a) Camboriú œc) Laguna e) Torres
b) Garopaba d) Araranguá
já a 80 km/h. Considere que ambos dirigem com
velocidades constantes. Medindo o tempo, a par-
| tir de sua passagem pelo ponto P, João deverá
(FMTM-MG) São dadas as funções horárias dos | alcançar seu amigo, aproximadamente, em:
espaços de quatro móveis, Á, B, C e D, definidas a) 4 minutos d) 15 minutos
sobre a mesma trajetória retilínea, com valores | b) 10 minutos e) 20 minutos
medidos no SI (Sistema Internacional): l c) 12 minutos
Exercícios resolvidos
Determine o intervalo de tempo para a luz vir do Sol à Terra. No vácuo, a velocidade da luz é constante e apro-
ximadamente igual a 3,0 - 10º km/s. A distância entre o Sole a Terra é de 1,49 - 10º km. Considere o movimento
de propagação da luz como retilíneo e uniforme.
Solução:
Como o movimento é uniforme, vem: Sol
S= Sọ + vt
Considerando s, = 0 (adotando-se origem dos espaços no
Sol), temos s = vt.
Sendo s = 1,49: 10 km e v = 3,0: 10° km/s, vem:
s 1,49 + 10º km
t = = + t=497s 0
v 3,0- 10º km/s d s
, . 1 . 497 . .
Em minutos Imin = 60sels = min = P P t= 8&8 min 17s
O exercício também pode ser resolvido lembrando que no movimento uniforme a velocidade escalar instantâ-
nea é constante e coincide com a velocidade escalar média:
AS
At
Sendo v = 3,0 - 10º km/s e As = 1,49 + 10º km, resulta:
As 1,49 - 10º km (ar=4975)
At = = => | At = 497s
v 3,0: 10º km/s
Resposta: 497 s (aproximadamente 8 min)
OSLO SENTENCIADO LODO DSR ENGLCLLNLL CODIN DA UOL CLAD UCLA O OECD UCL ORAS O DAR CRU RA SORA SR OA A nn AU sa ss 48
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Observação:
Os dados abaixo se referem aos locais de onde a luz provém e os correspondentes intervalos de tempo apro-
ximados que ela demora para atingir a Terra:
Is 8 min 4,6 anos 26 anos 75 anos
Em Astronomia usa-se muito uma unidade de distância chamada ano-luz, que é a distância que a luz percorre
no vácuo em 1 ano:
1 ano-luz = 9,46 - 10º m
é Um atirador aponta para um alvo e dispara um projétil, que sai da arma com velocidade de 300 m/s. O impacto
do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 3,2 s após o disparo. Sendo de 340 m/s a velocidade de propagação
do som no ar, calcule a distância do atirador ao alvo.
Solução:
O intervalo de tempo At = 3,2 s é a soma do intervalo de tempo At, que o projétil leva para atingir o alvo com
o intervalo de tempo At,m que o som leva para ir do alvo ao atirador:
+ Ahom > 3,2 = Abroj, + Abom
At = At
proj.
Vproj .
ee
E “Projétil
Sendo
As As As As As As
proj. =Z BAR e Usom At, som o
U 300 Atom 340
proj.
proj. 7 AL
proj.
vem:
As As (340 + 300)As
= 32 = CE t WA (aç=510
32 = 300 * 340 300.340 `
Resposta: 510 m
A velocidade de projeção de um filme é constante e à razão de 24 fotografias projetadas em cada segundo na
tela. Quantas fotografias são projetadas na tela durante a projeção de um filme que dura 2 horas?
Solução:
Quando um raio luminoso, proveniente da imagem projetada, atinge a retina de nossos olhos produz uma
sensação luminosa que persiste durante um décimo de segundo. O movimento de personagens e objetos que
vemos na tela deve-se a essa particularidade de nossa retina.
Uma fotografia é projetada na tela durante um tempo muito curto (0,04 s aproximadamente, pois num segundo
são projetadas 24 fotografias), mas suficiente para impressionar nossa retina; logo é substituída por outra, ain-
da que em nosso olho persista a anterior, e assim sucessivamente. Para nosso olho, essa sucessão dá o efeito
da visão de um movimento contínuo.
Como a velocidade de projeção é constante (24 fotografias por segundo), podemos calcular o número de foto-
grafias projetadas em duas horas (2 h = 2 - 3.600 s = 7.200 s), utilizando uma regra de três simples:
ls > 24fotografias
= x=24-7.200 > | x= 172.800 fotografias
7.200s > x
Resposta: 172.800 fotografias
O CCRCoL ea ans Co en ss ac ancas a nara nature se snes tada PANDER CNOOUDELACLOLCO LO CADLOSC LED ULUC COLLOR SU RONCO RN NDA RONCO CAVACO SA SOCO NO RODO
Carítruto 3 © ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME 39º
i
' a) Velocidades de sentidos | b) Velocidades de mesmo | Conclusão:
contrários | sentido ' a) velocidades de sentidos
O módulo da velocidade re- ; O módulo da velocidade relati- | contrários
lativa entre os corpos Ae Bé | va entre os corpos A e Bé dado |
, , , z i Vas = Ivy + [val
dado pela soma dos módulos pela diferença entre os módu- | , .
das velocidades de A e B. É los das velocidades de Ae B. | b) velocidades de mesmo sentido
A . a f A . ` Af vas = lva] — |val
proximação : Afastamento proximação astamento | Observações:
1Oms Bm5) 10ms 8m
— €— —
é Duas localidades A e B estão separadas pela distância de 180 km. Simultaneamente passam por essas locali-
dades os móveis Pe Q. P passa por À e dirige-se a B; Q passa por B e dirige-se para 4. Seus movimentos são
uniformes, com velocidades de 90 km/h e 60 km/h, respectivamente. Determine o instante e a posição do
encontro dos móveis.
Solução:
Este exercício é do mesmo tipo do R.15, resolvido neste capítulo. Apresen-
taremos, agora, outra forma de resolução, mais simplificada, utilizando a
noção de velocidade relativa de aproximação e de afastamento (veja quadro
abaixo). Pe Q são dois móveis que se aproximam e a velocidade relativa de ;
aproximação de P em relação a Q é 150 km/h (90 km/h + 60 km/h). B
Haverá encontro quando a distância que inicialmente os separa (180 km) for percorrida com essa velocidade relativa
de 150 km/h (em outras palavras, considere Q em repouso e P se aproximando com velocidade de 150 km/h):
Sa = Va to 180 = 150
Esse é o instante de encontro. À posição de encontro é dada em relação a um referencial fixo na Terra. Então,
considere a velocidade de P em relação à Terra:
Sp = Vp’ t= 90- 1,2 > | sp = 108 km
Resposta: O instante de encontro é 1,2 h e a posição de encontro é 108 km da localidade A.
Velocidade rel
ativa de aproximação e de afastamento
10 m/s 8ms :
8 m/s e Nos cálculos acima, supõe-se:
—»
© 0 0 O
Vag = 18 m/s | Vag = 18 m/s
| 10 m/s
>
[va] > [vel
| © O resultado v, obtido é em mó-
dulo.
| * Se houver colisão e os móveis
permanecerem juntos após a
colisão, vs; = O.
T
|
|
|
|
|
|
|
|
]
|
|
|
|
i
Dois trens, Pe Q, percorrem trajetórias retilíneas e paralelas. O trem P possui 30 m de comprimento e velocidade
de 30 km/h, e o trem Q possui 50 m e a velocidade de 10 km/h; seus movimentos são uniformes. Determine:
a) o intervalo de tempo da ultrapassagem, isto é, o intervalo de tempo necessário para que o trem mais veloz (P)
ultrapasse o trem mais lento (Q);
b) a distāncia percorrida por P durante a ultrapassagem.
Solução:
A ultrapassagem inicia-se quando a parte dianteira do trem P se emparelha com a parte traseira de Q (ponto A
na figura, ver página 41) e termina quando a parte traseira de P se emparelha com a parte dianteira de Q (ponto
B na figura). Na figura, os comprimentos indicados já estão em km, pois as velocidades estão em km/h. Os trens
são corpos sólidos e, quando se deslocam em linha reta, o movimento de um de seus pontos é o movimento
do conjunto. Na figura (ID representamos o trem P pelo ponto extremo de sua parte traseira e o trem Q, pelo
ponto mais avançado da sua parte dianteira. À escolha desses pontos é arbitrária: assim fizemos para que, no
final da ultrapassagem, ficassem lado a lado, correspondendo a uma situação de encontro.
Vamos usar as noções de velocidade relativa de aproximação e de afastamento do exercício anterior.
a) Na figura (IN, o ponto P se aproxima de Q com velocidade relativa de 20 km/h e alcança Q após percorrer
0,080 km (adição dos comprimentos dos trens). Então, temos:
Sa = Da "£ => 0,080=20 > t=0,004h = 0,004: 3.600 s >
Note que 14,4 s é o intervalo de tempo da ultrapassagem.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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0,030 km
OD
Início da
ultrapassagem
P
aD
Fim da
ultrapassagem
aiD
0,080 km
b) A distância percorrida em relação ao solo é:
Asp = vp" t= 30 + 0,004 > Asp = 0,12 km >
Respostas: a) 14,4 s; b) 120 m
Observação:
Se os trens caminhassem em sentidos contrários [figura (IV), a seguir], apenas se alteraria a velocidade relativa
de aproximação dos trens. No restante, a solução do exercício seguiria as mesmas etapas anteriores, como se
indica na própria figura (IV).
P(30 km/h) V. = 40 km/h Q (10 km/h)
v)
' 1
! 0,080 km !
Sel = Vra, © £ => 0,080 = 40t => t= 0,002h = 7,28
Dois automóveis A e B passam por um mesmo ponto P de uma estrada. Suas velocidades escalares são cons-
tantes e valem respectivamente 15 m/s e 20 m/s. O automóvel B passa pelo ponto P 2 s após a passagem de A.
Determine a posição e o instante em que B alcança 4.
Solução:
Vamos escrever as funções horárias de A e B. Adotamos a origem dos espaços no ponto P e a origem dos
tempos no instante em que À passa por P (t = 0). Assim, após t segundos o automóvel À terá andado durante
t segundos e em sua função horária temos a variável t. O automóvel B passa por P 2 s depois.
B passa por P 2 s após a passagem de A.
Após t segundos, B andou (t — 2) segundos. Daí em sua função horária teremos (t — 2) em lugar de £:
Considerando a função horária s = sy + vt, temos:
Automóvel A
So = 0ev= 15 m/s
sa = l5t (s em metros, t em segundos)
Automóvel B
So = Q ev = 20 m/s
Sg = 20 » (t — 2) (s em metros, t em segundos)
No encontro: s4 = Sg > 15t = 20- t- 2) > (instante do encontro)
Substituindo t por 8 s numa das funções horárias, obtemos a posição do encontro:
sa = 15t = 15:8 > (s4= 120m)
Resposta: B alcança 4 8 s após a passagem de A por Pe a 120 m de P.
CaPÍTULo 3 * ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME 41º
(=) Exercícios
P.52
P.53
P54
P.55
P.56
P.57
P.58
P.59
„propostos
Um atirador aponta sua arma para um alvo, situado a 255 m de distância, e dispara um projétil. O impacto do
projétil no alvo é ouvido pelo atirador 1,6 s após o disparo. Sendo 340 m/s a velocidade de propagação do som
no ar, determine a velocidade do projétil, suposta constante.
Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais expedidos simultaneamente por um posto na costa,
um deles através do ar e outro através da água. Entre as recepções dos dois sons, decorre o intervalo de
tempo At = 4 s. Nas condições dos eventos, a velocidade do som é de 300 m/s no ar e de 1.500 m/s na água.
Determine a distância x entre o barco e o posto emissor dos sinais, conforme os dados acima.
(Fuvest-SP) Um filme comum é formado por uma série de fotografias individuais que são projetadas à razão
de 24 imagens (ou quadros) por segundo, o que nos dá a sensação de movimento contínuo. Esse fenômeno é
1
devido ao fato de que nossos olhos retêm a imagem por um intervalo de tempo um pouco superior a 30 de
segundo. Essa retenção é chamada de persistência da retina.
a) Numa projeção de filme com duração de 30 s, quantos quadros são projetados?
b) Uma pessoa, desejando filmar o desabrochar de uma flor cuja duração é de aproximadamente 6,0 h, pretende
apresentar este fenômeno num filme de 10 min de duração. Quantas fotografias individuais do desabrochar da
flor devem ser tiradas?
Um indivíduo filma o movimento de uma borboleta à razão de 64 fotografias por segundo, durante 5 s. Depois
de revelado, o filme é projetado à razão de 16 fotografias por segundo. Quanto tempo leva a projeção? O mo-
vimento da borboleta será visto, na projeção, mais lento ou mais rápido do que ocorreu na realidade?
Dois trens P e Q deslocam-se em trajetórias paralelas com movimentos uniformes de velocidades iguais a
40 km/h e 60 km/h, e seus comprimentos são 200 m e 300 m, respectivamente. Determine o intervalo de tempo
da ultrapassagem de um trem pelo outro, admitindo-se os seus movimentos:
a) no mesmo sentido; b) em sentidos opostos.
(Uece) Dois trens de comprimento 60 m e 90 m correm em trilhos paralelos e em sentidos opostos. O trem menor
move-se com o dobro da velocidade do maior, para um referencial fixo na Terra. Uma pessoa no trem menor observa
que o trem maior gasta 2 s para passar por sua janela. Determine a velocidade, em m/s, do trem menor.
Um trem sai da estação de uma cidade com velocidade escalar constante de 40 km/h; 20 min depois, sai da
mesma estação um segundo trem, com velocidade escalar constante de 60 km/h. Quanto tempo, após sua
partida, o segundo trem demora para alcançar o primeiro?
(Fuvest-SP) O sistema GPS (Global Positioning System) permite localizar um receptor especial, em qualquer
lugar da Terra, por meio de sinais emitidos por satélites. Numa situação particular, dois satélites, A e B, estão
alinhados sobre uma reta que tangencia a superfície da Terra no ponto O e encontram-se à mesma distância
de O. O protótipo de um novo avião, com um receptor R, encontra-se em algum lugar dessa reta e seu piloto
deseja localizar sua própria posição.
Os intervalos de tempo entre a emissão dos sinais pelos satélites A e B e sua recepção por R são, respectiva-
mente, At, = 68,5 + 10“ se At, = 648+10"*s.
Desprezando possíveis efeitos atmosféricos e considerando a velocidade de propagação dos sinais como igual
à velocidade c da luz no vácuo (c = 3,0 : 10º km/s), determine:
a) a distância D, em km, entre cada satélite e o ponto O;
b) a distância X, em km, entre o receptor R, no avião, e o ponto O;
c) a posição do avião, identificada pela letra R, localizando-a no esquema abaixo.
O
A A+ +++ +++ É
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
o
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3
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[=
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Ss
=)
e
a
E]
©
P.60 (Vunesp) A missão Deep Impact, concluída com sucesso em julho*, consistiu em enviar uma sonda ao cometa
Tempel, para investigar a composição do seu núcleo. Considere uma missão semelhante, na qual uma sonda
espacial S, percorrendo uma trajetória retilínea, aproxima-se do núcleo de um cometa C, com velocidade v
constante relativamente ao cometa. Quando se encontra à distância D do cometa, a sonda lança um projétil
. . , . 3v , .
rumo ao seu núcleo, também em linha reta e com velocidade constante 2º relativamente ao cometa. No ins-
tante em que o projétil atinge seu alvo, a sonda assume nova trajetória retilínea, com a mesma velocidade v,
desviando-se do cometa. A aproximação máxima da sonda com o cometa ocorre quando a distância entre eles
é “= + como esquematizado na figura:
Desprezando efeitos gravitacionais do cometa sobre a sonda e o projétil, calcule:
a) a distância x da sonda em relação ao núcleo do cometa, no instante em que o projétil atinge o cometa. Apresente
a sua resposta em função de D;
b) o instante, medido a partir do lançamento do projétil, em que ocorre a máxima aproximação entre a sonda e o
cometa. Dê a resposta em função de D e v.
i] Testes
prop
(Mackenzie-SP) A distância média da Terra à Lua
é 3,9 - 10° m. Sendo a velocidade da luz no vácuo
igual a 3,0 - 10º km/s, o tempo médio gasto por
ela para percorrer essa distância é de:
a) 0,77 s co 13s e) 1.300 s
b) 1,3 s d) 77s
(Cesgranrio-RJ) Uma cena, filmada originalmente
a uma velocidade de 40 quadros por segundo, é
projetada em câmera lenta a uma velocidade redu-
zida de 24 quadros por segundo. À projeção dura
1,0 min. A duração real da cena filmada é de:
a) 16s c) 100s e) 40s
b) 36 s d) 24s
(UFPE) Um projetor de filmes gira com uma
velocidade de 20 quadros por segundo. Cada
quadro mede 1,0 cm de comprimento. Despreze
a separação entre os quadros. Qual é o tempo de
projeção, em minutos, de um filme cuja fita tem
um comprimento total de 18 m?
a) 1,5 c) 4,5 e) 7,5
b) 3,0 d) 6,0
(UEPB) Em um dado trecho reto e plano de uma
rodovia, estão se movendo os carros 4, B, Ce D,
com velocidades e posições indicadas na figura.
% julho de 2005
Com base nessas informações, analise as propo-
sições a seguir e assinale a correta.
a) Para o motorista A (observador em 4), 0
carro B está se aproximando com uma veloci-
dade de 20 km/h.
b) Para o motorista B (observador em B), o carro
C está se afastando com uma velocidade de
10 km/h.
œ) Para o motorista D (observador em D), o car-
ro Cestá se afastando com uma velocidade
de 110 km/h.
d) Para o motorista À (observador em A), o carro
D está se aproximando com uma velocidade
de 20 km/h.
e) Para o motorista C (observador em C), o carro
A está se aproximando com uma velocidade
de 130 km/h.
CariruLo 3: ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME
O uva |
(Olimpíada Brasileira de Física) Uma máquina fo-
tográfica é ajustada para executar uma sequência
de fotografias de duas partículas movendo-se ao
longo de trilhos paralelos em movimento retili-
neo uniforme. Os intervalos de tempo entre duas
fotos consecutivas são constantes e iguais a 0,25
segundo. Na primeira fotografia, a distância entre
as partículas é de 24 cm. À comparação entre a
primeira e a segunda foto mostra que as partículas
se movem em sentidos opostos, tendo então se
deslocado distâncias respectivamente iguais a
5 cm e 2,5 cm. Pode-se afirmar que:
I. a partícula mais veloz vê a mais lenta se apro-
ximar com uma velocidade 1,5 vezes maior
que a sua;
IH. o instante em que uma partícula passa pela
outra é registrado em fotografia;
III. 5 fotografias são tiradas desde o instante inicial
até o momento em que a partícula mais veloz
passa pela posição inicial da partícula mais
lenta.
Assinale a opção correta.
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
c) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
d) Apenas as afirmativas I e Il são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas I e Il são verdadeiras.
(Fuvest-SP) Numa estrada, um caminhão com
velocidade constante leva 4 s para ultrapassar
outro, cuja velocidade é também constante.
Sendo 10 m o comprimento de cada caminhão,
a diferença entre as velocidades dos cami-
nhões é igual a:
a) 0,20 m/s d) 5,0 m/s
b) 0,40 m/s e) 10m/s
c) 25 m/s
(Furg-RS) Um comboio de vagões é puxado por
uma locomotiva com velocidade de 36 km/h.
Essa composição ferroviária tem um compri-
mento total de 210 m e é ultrapassada por um
automóvel que se desloca com velocidade de
15 m/s. Quanto tempo decorre desde o instante
em que o automóvel alcança o último vagão da
composição até o instante em que ultrapassa a
locomotiva? Considere as dimensões do auto-
móvel desprezíveis comparativamente com as
dimensões do comboio.
a) 42s b)84s © HMs
d 21s e 4s
(UFSC) Um trem À, de 150 metros de comprimen-
to, deslocando-se do sul para o norte, começa
a atravessar uma ponte férrea de pista dupla,
no mesmo instante em que um outro trem B,
de 500 metros de comprimento, que se desloca
do norte para o sul, inicia a travessia da ponte.
O maquinista do trem A observa que seu trem se
desloca com velocidade constante de 36 km/h,
enquanto o maquinista do trem B verifica que
seu trem está a uma velocidade constante de
72 km/h, ambas as velocidades medidas em rela-
ção ao solo. Um observador, situado em uma das
extremidades da ponte, observa que os trens com-
pletam a travessia da ponte ao mesmo tempo.
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) Como o trem B tem o dobro da velocidade
do trem À, ele leva a metade do tempo para
atravessar a ponte independentemente do
comprimento dela.
02) A velocidade do trem A, em relação ao trem
B, é de 108 km/h.
04) Não podemos calcular o comprimento da
ponte, pois não foi fornecido o tempo gasto
pelos trens para atravessá-la.
08) O comprimento da ponte é 200 metros.
16) Os trens atravessam a ponte em 35 segun-
dos.
32) A velocidade do trem B, em relação ao trem
A, é de 108 km/h.
64) O comprimento da ponte é 125 metros e os
trens a atravessam em 15 segundos.
Dê como resposta a soma dos números associa-
dos às proposições corretas.
(Uespi) Um passageiro perdeu um ônibus que
saiu da rodoviária há 5 minutos e pega um táxi
para alcançá-lo. O ônibus desenvolve uma veloci-
dade de 60 km/h, e o táxi, de 90 km/h. O intervalo
de tempo necessário ao táxi para alcançar o
ônibus é, em minutos:
225 D20 915 DIO 95
ETT terresvornoseensasanuosansoaesssrasesesosazooasevevessponsnpsossensucersosasessasasgsessosesesreseuevevossasacepensravecensesessrsoasssoscessoseene
° gA
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penai e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Realize a experiência com supervisão de seu
professor.
Análise de um movimento uniforme
Pegue um tubo cilíndrico de vidro (ou plástico
transparente duro) com cerca de 0,5 metro de compri-
mento e, utilizando fita adesiva transparente, fixe uma
régua milimetrada ao tubo. Encha o tubo com água e
feche com uma rolha a extremidade aberta, como mos-
| traa foto I. Estando o tubo na vertical, deve restar uma
pequena quantidade de ar sobre o nível da água.
THE NEXT © um
i
j
f
:
i
H
THE NEXT
À Fotol
Invertendo o tubo rapidamente, você verá que a
* bolha de ar se move subindo ao longo do tubo (foto ID).
| Se você der uma inclinação pequena, a subida da bolha
de ar é suficientemente lenta para permitir medidas
(foto HD.
Com a régua presa ao tubo e com o auxílio de um
cronômetro, meça a posição da bolha de 3 em 3 segun-
dos, e organize os valores obtidos de tempo (t) e de
espaço (s) em uma tabela, conforme o modelo abaixo.
À Foto ll
THE NEXT
Analisando os valores obtidos, responda:
* A bolha de ar percorre distâncias iguais em intervalos
de tempo iguais?
e Qual é o tipo de movimento da bolha de ar?
|» Qual é a velocidade média da bolha em todo o per-
curso?
* Qual é a velocidade da bolha em cada instante do
movimento?
á Foto III
CarítULO 3: ESTUDO DO MOVIMENTO UNIFORME 45 e
Realize a experiência com supervisão de seu
professor.
Encontro de móveis em movimento uniforme
Você vai utilizar um tubo cilíndrico de vidro (ou
de plástico transparente duro) com cerca de 0,5 metro
de comprimento como o da atividade anterior. Coloque
uma bolinha de aço na extremidade inferior do tubo e
encha-o com água, cuidando para que reste uma pequena
quantidade de ar entre o nível da água e a rolha que fecha
a extremidade superior do tubo (foto T).
Coloque com cuidado o tubo na horizontal e, em
seguida, dê uma pequena inclinação, de modo que a
bolha suba e a bolinha desça, com movimentos lentos
(foto IT).
Com o auxílio de um cronômetro e da régua fixada
ao tubo, avalie o instante de encontro dos dois móveis
(bolha de ar e bolinha de aço) e as distâncias que eles
percorreram até esse instante.
A partir dos valores obtidos:
* Calcule os módulos das velocidades escalares da
bolha de ar e da bolinha de aço.
* Escreva as funções horárias do espaço da bolinha de
aço e da bolha.
Adote como origem dos espaços a extremidade onde
se encontra inicialmente a bolinha de aço e oriente a
trajetória no sentido da bolinha de aço para a bolha.
* Determine, analiticamente, o instante de encontro e
compare com o valor obtido experimentalmente.
A Foto Il
À Fotol
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Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
E Movimentos com velocidade escalar variável no
decurso do tempo são comuns na Natureza. Neles
existe aceleração escalar e o movimento pode ser
1. MOVIMENTOS COM VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL acelerado ou retardado. Na foto, o pequeno ônibus,
2. ACELERAÇÃO ESCALAR ao descer a rampa, percorre distâncias sucessivamente
3. MOVIMENTO ACELERADO E RETARDADO maiores em intervalos de tempo iguais, ou seja,
4. FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE descreve um movimento acelerado. O MUV é um
5. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV) movimento particular de velocidade escalar variável
6. FUNÇÕES HORÁRIAS DO MUV e sua aceleração escalar é constante com o tempo.
7. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA NO MUV Movimentos desse tipo são detalhadamente discutidos
~ neste capítulo.
8. EQUAÇÃO DE TORRICELLI PARA O MUV
B 1. Movimentos com velocidade escalar variável
Os movimentos são classificados em movimentos uniformes, que possuem velocidade escalar
constante, e movimentos variados, cuja velocidade escalar varia com o tempo.
Os movimentos de velocidade escalar variável são os mais comuns. Em geral, uma pessoa andando,
um carro em deslocamento etc. têm velocidades escalares variáveis no tempo.
No movimento uniforme, a velocidade escalar média calculada em qualquer intervalo de tempo é
sempre a mesma e igual à velocidade escalar em qualquer instante. Esse fato não ocorre no movimento
variado.
Nos movimentos variados, devemos distinguir duas velocidades: a velocidade escalar média, definida
em um determinado intervalo de tempo, e a velocidade escalar instantânea.
Velocidade escalar média Velocidade escalar instantânea
As — S&S — $
At G-t
B .. Aceleração escalar
Num movimento variado, seja v, a velocidade escalar do móvel no instante t, e v, a velocidade
escalar no instante posterior t,. Seja Av = v, — v, a variação da velocidade no intervalo de tempo At.
A aceleração escalar média œ„ no intervalo de tempo At é, por definição:
Observe que a aceleração escalar média é a grandeza que indica de quanto varia a velocidade escalar
num dado intervalo de tempo.
CarítuLo 4 + MOVIMENTOS COM VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 47º
A aceleração escalar instantânea q pode ser entendida como uma aceleração escalar média
Av . , . z
Am = Ar considerando-se o intervalo de tempo At extremamente pequeno, isto é, At tendendo a zero
. Av . o ; oa
(At> 0 ou t, — t;). Nesse caso, o quociente AL assume um determinado valor limite. Daí a definição:
= . a z or = qo AV
A aceleração escalar instantânea a é o valor limite a que tende a aceleração escalar média Ar
quando At tende a zero. Representa-se por:
Se a variação da velocidade Av estiver em m/s (metros por segundo) e o intervalo de tempo At es-
. „_ AV . . m/s
tiver em s (segundos), a aceleração AL será medida em mis (metros por segundo, por segundo), que
S
se indica por m/s” (metros por segundo ao quadrado).
De modo geral, a unidade de aceleração é o quociente da unidade de velocidade por unidade de
km/h cm/s m/s km/h km/h
, , —— etc.
s
tempo:
+ +
s S min h
A aceleração escalar pode ser positiva ou negativa, conforme Av seja positivo ou negativo, já que At é
positivo. No movimento uniforme a velocidade escalar é constante e a aceleração escalar é nula.
Quando a aceleração escalar instantânea é a mesma em todos os instantes, ela coincide com a ace-
leração escalar média em qualquer intervalo de tempo.
-1 Comparando acelerações .
e A aceleração de queda de um corpo nas pro-
ximidades da superfície da Terra, desprezada
a resistência do ar, é de aproximadamente
10 m/s*. Então, numa queda de apenas 3 s,
um corpo atinge o solo a 30 m/s, equivalente
a 108 km/h.
:- © Em2savelocidade do guepardo varia de O a
| 72 km/h, correspondendo a uma aceleração
média de 36 “0.
e Os veículos terrestres de maior aceleração
são os dragsters. Numa corrida de apenas
402,25 m, na categoria Top Fuel (a mais
potente), a velocidade varia de O a aproxi- A Dragster
R ROSSI / GAMMA-OTHER IMAGES
ou 10 m/s?
madamente 530 km/h em apenas 4,5 s, o
que corresponde a uma aceleração média
de 117,8 PO ou 32,7 m/s?
e A Ferrari F430 faz de 0 a 100 km/h em 3,6,
correspondendo a uma aceleração média de
278 km/h
EMILIO FLORES / GETTY IMAGE:
ou 7,7 m/s?
e 48 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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.Xesolvidos
à
Em um anúncio de certo tipo de automóvel, afirma-se que o veículo, partindo do repouso, atinge a velocidade =
de 108 km/h em 8 s. Qual é a aceleração escalar média desse automóvel? =
Solução: (2)
A variação da velocidade Av = 108 km/h ocorre no intervalo de tempo At = 8 s. A aceleração escalar média do
veículo, portanto, vale:
Av _ 108km/h
At 8s
On =
Esse resultado indica que, em média, a velocidade desse carro aumenta de 13,5 km/h a cada segundo. Para
expressar o resultado em m/s”, devemos converter a variação da velocidade para m/s:
Av = 108 km/h = m/s > Av = 30 m/s
,
Om = Av _ 30 m/s O = 3,75 m/s”
At 8s
km/h
Resposta: 4, = 135 —— = 3,75 m/s”
s
Assim:
Um corpo, nas proximidades da Terra, cai com aceleração constante
de 9,8 m/s”, desprezada a resistência do ar. Supondo que tenha par-
tido do repouso, qual é a sua velocidade nos instantes 1 s, 2s, 3s,
4se5s?
Solução:
Se a aceleração do movimento de queda é constante e igual a
2 . m/s | “is .
9,8 m/s” | ou seja, 9,8 — |, significa que, a cada segundo decorri-
s
do, sua velocidade aumenta de 9,8 m/s.
Como o móvel partiu do repouso, sua velocidade no instante
fh = 0 é nula.
Então:
bh=0 > v,=0
to )Is> v=v+9,8m/s= 9,8m/s
b=2s>5> vw=v+98m/s=19,6m/s
b =385 > V =V, + 9,8 m/s = 29,4 m/s
h4 =4s = v= V + 9,8 m/s = 39,2 m/s
t =5s > vV; = V,+ 9,8 m/s = 49 m/s
Interditada em 1990 para p
evitar que continuasse se
inclinando, a Torre de Pisa, no
norte da Itália, foi restaurada
e voltou a receber
turistas em 2002.
Capitulo 4 * Movimentos com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 49 °
Um piloto de Fórmula 1 está se movendo a 250 km/h quando chega a uma curva, sendo forçado a reduzir a
velocidade de seu veículo para 88 km/h num intervalo de tempo de 3 s. Qual é a aceleração escalar média do
km/h
s
carro nesse intervalo de tempo, expressa em e em m/s”?
Solução:
Supondo a trajetória orientada no sentido do movimento do carro, temos v, = 250 km/h e v, = 88 km/h.
A variação da velocidade do veículo é: Av = v, — v, > Av = 88 — 250 Av = — 162 km/h
O intervalo de tempo é At = 3 s.
E z162 |a, = -s4 Wh
A aceleração escalar média do carro é: Om = A 3
s
Esse resultado indica que, em média, a velocidade do carro diminui 54 km/h a cada segundo.
Para expressar esse resultado em m/s”, devemos converter a variação da velocidade para m/s:
162
Av = “36 m/s = Av = —45 m/s
mas
Assim: à — = —— 15 m/s
n= 3 Om /
km/h
S
Resposta: 0, = —54 = —15 m/s?
Exercicios
P.61 Partindo do repouso, um avião percorre a pista e atinge a velocidade de 360 km/h em 25 s. Qual é o valor da
aceleração escalar média no referido intervalo de tempo?
P.62 Nas proximidades da superfície da Lua, um corpo cai com aceleração constante de 1,6 m/s”. Supondo ter partido
do repouso, determine a velocidade desse corpo nos instantes 1 s, 2 s,3se4s.
P.63 Trafegando por uma avenida com velocidade constante de 108 km/h, num dado instante o motorista percebe o
sinal vermelho à frente e pisa no freio até parar, ao fim de 5 s. Determine a aceleração escalar média do carrro
. km/h 2
nesse intervalo de tempo, expressa em e em m/s”.
E 3. Movimento acelerado e retardado
É costume dizer-se que, quando um carro está acelerando, sua velocidade aumenta no decurso do
tempo, e quando está retardando, sua velocidade diminui com o tempo. No entanto, cuidado com essas
noções! Elas somente seriam verdadeiras se as velocidades fossem sempre positivas.
Em Cinemática, de acordo com a orientação da trajetória, a velocidade escalar pode ser positiva ou
negativa. Assim, ao nos referirmos a acelerado ou retardado, devemos trabalhar com o módulo da
velocidade escalar. Quando aceleramos ou retardamos um veículo, estamos aumentando ou diminuindo
o módulo da velocidade escalar.
Movimento acelerado: o módulo da velocidade escalar aumenta no decurso do tempo.
Movimento retardado: o módulo da velocidade escalar diminui no decurso do tempo.
O sinal da aceleração escalar depende do sinal da variação da velocidade (Av) e, de acordo com a
orientação da trajetória, o movimento acelerado pode ser progressivo (a favor da orientação da trajetó-
ria) ou retrógrado (contra a orientação da trajetória). O mesmo ocorre no movimento retardado.
Vamos analisar um movimento acelerado (quadro |), orientando a trajetória primeiro a favor (pro-
gressivo) e depois contra o sentido do movimento (retrógrado). A partir dessa orientação determinamos
os sinais da velocidade escalar e da aceleração escalar. Note no quadro |: quando a velocidade escalar
é positiva, a aceleração escalar também o é (acelerado progressivo); quando a velocidade escalar é ne-
gativa, a aceleração escalar também é negativa (acelerado retrógrado).
Num movimento acelerado, a velocidade escalar e a aceleração escalar têm o mesmo sinal: ou
ambas são positivas ou ambas são negativas.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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QUADRO I
Movimento acelerado
| e e O módulo da velocidade escalar aumenta no decurso do tempo. |
| (80 km/h) (120 km/h) É
| Dependendo da orientação da trajetória, podem ocorrer duas situações: |
i
$ Ê
| Acelerado progressivo | Acelerado retrógrado |
| | |
| | |
| (+80 km/h) (+120 km/h) | (-80 km/h) (120 km/h) :
| A favor da trajetória | Contra a trajetória ,
| f
| (v>0) pois: v, = +80 km/h e v, = +120km/h | (v<0) pois: vı = -80 km/h e v; = —120 km/h |
| ore! | — A |
| (a>0) pois: Av = v, — v, = (+120) — (+80) | (@<0} pois: av=w-w=(-120)-(-80) |
| Av = 40 km/h > 0 | Av = —40 km/h <0 |
| Assim, sendo Av > 0, At > 0, vem: |
| om = & >0 | |
i
At i
O mesmo critério adotamos para o movimento retardado (quadro Il). Nesse quadro, quando a velocidade
escalar é positiva, a aceleração escalar é negativa (retardado progressivo); quando a velocidade escalar
é negativa, a aceleração escalar é positiva (retardado retrógrado).
Num movimento retardado, a velocidade escalar e a aceleração escalar têm sinais contrários:
quando uma é positiva, a outra é negativa, e vice-versa.
QUADRO II
| Movimento retardado
| t b O módulo da velocidade escalar diminui no decurso do tempo. |
ed O, k
| (120 km/h) (80 km/h) |
| Dependendo da orientação da trajetória, podem ocorrer duas situações: |
| Retardado progressivo | Retardado retrógrado |
| | |
| (+120 km/h) (+80 km/h) | (120 km/h) CBO km/h |
| A favor da trajetória | Contra a trajetória :
i i
| (v>0),pois: vı = +120 km/h e v, = +80km/h | (v<0), pois: vı = —120 km/h e v, = —80 km/h |
| (a <0), pois: Av = v, — w = (+80) — (+120) | (o > 0), pois: Av = v, — vı = (-80) — (-120) |
i H É
| Av = —40 km/h < 0 | Av =40km/h > 0 |
| Assim, sendo Av < 0, At > 0, vem: | Assim, sendo Av > 0, At > 0, vem: |
{
| Av | Av |
| Cm Sao! | im Tao |
AO CONONOUOLI PCC ADE CUL EDNSNALEGEDALNCNLDOC ONDE SSL LASASUN TCC LOCO LS OSLO ADULT SR Re Rana a TO E nO SAO SORA PAGA ada
Carítuio 4 e MOVIMENTOS COM VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 51º
Dessa discussão decorre que, para analisar se um movimento é acelerado ou retardado, devemos
comparar os sinais da velocidade escalar e da aceleração escalar. Apenas o sinal da aceleração escalar é
insuficiente para determinar se um movimento é acelerado ou retardado.
Em resumo:
€ = EA ER a a
À Movimento acelerado Movimento retardado
Cree teem poe e
|
v>0 ou v<0 | v>0 ou v<0
a>o0 a<0 | a<o a>o0
|
i
e O módulo da velocidade escalar aumenta no | + O módulo da velocidade escalar diminui no
decurso do tempo. | decurso do tempo.
e A velocidade e a aceleração escalares têm o | * A velocidade e a aceleração escalares têm
mesmo sinal. sinais contrários.
|
H
H
|
|
|
Í
í
t
|
|
|
H
|
ks
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
E i A A bolinha lançada verticalmente para cima
A Crianças descem um tobogã em movimento acelerado. descreve, até atingir o ponto mais alto, um
movimento retardado.
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Ba. Função horária da velocidade
Nos movimentos variados, além de o espaço s variar no decurso do tempo, também a velocidade
escalar é uma função do tempo. A velocidade escalar pode ser apresentada como função do tempo
através de tabelas ou de equações matemáticas.
* Num movimento, a velocidade escalar do móvel varia em função do tempo, de acordo com os valores apresen-
tados na tabela. O sinal da velocidade indica o sentido do movimento segundo uma orientação da trajetória.
Determine:
a) se o movimento é uniforme ou variado;
b) a velocidade escalar do móvel no instante inicial (£ = 0 s);
c) se o movimento é acelerado ou retardado nos intervalos de0sa4sede6sa8s;
d) a aceleração escalar média de 0 s a 2s, de 3sa5sede4sa7s.
°52 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
a) O movimento é variado, pois sua velocidade escalar varia no decurso do tempo.
b) Da tabela, emt = 0 s: (v= 10 m/s}
c) No intervalo de 0 s a 4 s o módulo da velocidade diminui com o tempo: o movimento é retardado. No inter-
valo de 6 s a 8 s o módulo aumenta com o tempo: o movimento é acelerado.
d) De 0sa2s: v = 10 m/s; v,=6m/s; Av =v —n=6-—10 Av = —4 m/s
aE
De 3sab5s: v =4m/s; v= 0 m/s; Av=v—vu=0-4 Av = —4 m/s
A —
De4sa7s: v=2m/s; v,—--4m/s; Av = v; ~ v, = (4) — 2 > Av = —6 m/s
Respostas: a) variado; b) vọ = 10 m/s; c) de 0 s a 4 s: retardado; de 6 s a 8 s: acelerado; d) -2 m/s*; —2 m/s”;
-2 m/s?
Observação:
Com os dados da tabela, em qualquer outro intervalo de tempo que se considere, a aceleração escalar média é
sempre constante. Isso se deve ao fato de a variação da velocidade escalar ser proporcional ao intervalo de
tempo correspondente.
„proposto
s
P.64 A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo conforme os dados da tabela seguinte. O sinal da velo-
cidade indica o sentido do movimento, segundo uma orientação da trajetória.
to lo Ja [2 [3 [4 [os 6 [7 [8 [9]
[o6m/9) | -18 15 2 | -9 -6 | -3 o | 3 | 6 | 9 J
a) O movimento é uniforme ou variado? Por quê?
b) Qual é a velocidade escalar do móvel no instante inicial (t = 0)?
c) Classifique o movimento como acelerado ou retardado nos intervalos de tempo de 0sa4sede7sa9s.
d) Calcule a aceleração escalar média do movimento nos intervalos de tempo de0sa3s,de4sa7 sede 6s
a9s.
E) 5. Movimento uniformemente variado (MUV)
Movimentos que possuem aceleração escalar instantânea constante (e não-nula) são chamados
movimentos uniformemente variados.
Decorre imediatamente que, se a aceleração escalar é a mesma em todos os instantes, ela coincide
com a aceleração escalar média, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado:
A
QA = An = X constante + O
At
Assim, no movimento uniformemente variado, a variação da velocidade Av é diretamente proporcional
ao intervalo de tempo At correspondente. Essa proporcionalidade significa que, no movimento uniforme-
mente variado, a velocidade escalar apresenta variações iguais em intervalos de tempo iguais.
Sendo v a velocidade escalar no instante t = 0, denominada velocidade inicial, e v a velocidade
escalar num instante t, vem:
Av V— vo
a = — > q=—D—
At t-0
Essa função estabelece como varia a velocidade escalar no decurso do tempo no movimento unifor-
memente variado: v e a são constantes, e a cada valor de t corresponde um único valor de v.
sesosecsososososesososon esesssesesessoscesosososesusssvsasassouasvoesususasesoosnrosoessosososossroosssvssonouenoseononessssssesesessoseserosoecesesssso
CapiTuLo 4 * MOVIMENTOS com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 53º
O 5
A tabela a seguir apresenta alguns exemplos, considerando a velocidade v em metros por segundo
(m/s) e a aceleração œ em metros por segundo ao quadrado (m/s?):
p Entre na rede mma
| |
+5 m/s a = +2 m/s5? | |
Í aa
= - 2 É No endereço eletrônico http:// |
“o 3 m/s a = +8 m/s | br.geocities.com/saladefisica3/ |
Y= 2m/s a = -3 m/s? | laboratorio/aceleracao/aceleracao. |
-T 2 : htm (acesso em 13/2/2007), é apre- |
vw=-4m/s | a=-Imis | sentada uma animação que mostra a |
v= 3t n= 0 a=+3m/s | relação entre velocidade e a acele- |
| ração de um veículo em movimento |
(| v= t v= 0 a= +1 m/s | numa estrada. )
an a
Um ponto material está em MUV com aceleração escalar iguala —2 m/s”. Sua velocidade escalar varia no tempo,
segundo os dados da tabela abaixo.
0 ı f| 2 3 | a | 5
6 a | 2 o | a2 | 4
Determine:
a) a velocidade escalar inicial do movimento;
b) em que intervalos de tempo o movimento é acelerado e em que intervalos de tempo é retardado;
c) em que intervalos de tempo o movimento é progressivo e em que intervalos de tempo é retrógrado.
Solução:
a) A velocidade escalar inicial v é a velocidade do móvel no instante ł = 0; da tabela .
b) Pela tabela notamos que no intervalo de tempo de 0 = t< 3 s o módulo da velocidade escalar decresce com o
tempo; portanto, nesse intervalo o movimento é retardado. No intervalo de tempo de 3s < t= 5 s o módulo
da velocidade escalar aumenta com o tempo e o movimento é acelerado.
c) No intervalo 0 «t< 3 s a velocidade escalar é positiva e o movimento é progressivo; no intervalo 3s <t=5s
a velocidade escalar é negativa e o movimento é retrógrado.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Observação:
O móvel muda de sentido no intervalo de tempo observado. Assim, no intervalo 0 <t<3s, a velocidade
escalar é positiva, isto é, o móvel está caminhando a favor da orientação da trajetória. Para 3s <t=5s,a
velocidade escalar é negativa, ou seja, o móvel retorna em sentido contrário ao da orientação da trajetória. Em
t=3s a velocidade é nula; nesse instante, o sentido do movimento está mudando.
Quando ocorre a mudança no sentido do movimento, necessariamente a velocidade escalar do móvel se anula
@ = 0). Por outro lado, a recíproca não é obrigatoriamente verdadeira, isto é, a velocidade escalar do móvel
pode se anular sem que esteja ocorrendo mudança no sentido do movimento — basta que ele permaneça
parado depois que a velocidade se anula. Esquematizando os dados da tabela, temos:
v>0/0=<t<3s P
v<03Is<t=<5s
É dada a função v = 12 — 2t, na qual t é medido em segundos e v em metros por segundo.
a) Determine a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar do movimento.
b) Discuta se o movimento é acelerado ou retardado nos instantes 2s e 8s.
© Verifique se há mudança de sentido do movimento (se houver, determine em que instante).
cosonanoros CNN DUCA SON CLO DSL LED RLLOLDSONNVICLLA DLL EUDELDUDA DONALD DALI DUBLADO ORAL CADU ANUNCIOU LUSO DURAN TR CE OU an Us Ud 0 406
“54 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de teverairode 1998.
Solução:
a) O movimento proposto é MUV, pois sua velocidade escalar varia em função do tempo de acordo com uma
função do tipo v = vy + ot.
Comparando v = v + ot com v = 12 — 2t e identificando cada termo, obtemos:
Va = 12 m/s a = —2 m/s?
A aceleração escalar do movimento é constante (definição do MUV) e igual a —2 m/s”.
b) Já sabemos que v = 12 — 2t. Então, temos:
t=2s v=12-2:2 v, = 8 m/s (v > 0)
t=8s > vwy=12-2:8 = v= —4m/s (v; <0)
No instante 2 s o movimento é retardado, pois a velocidade e a aceleração escalares têm sinais contrários
@ > 0,0 <0).
No instante 8 s o movimento é acelerado, pois a velocidade e a aceleração escalares têm o mesmo sinal (v < 0,
o < 0).
Observação:
Quando se dispõe de uma tabela da velocidade escalar em função do tempo, a discussão acelerado/retardado
é feita pelo módulo da velocidade escalar; quando se dispõe da função da velocidade v = v) + at, a discussão
acelerado/retardado é feita comparando-se os sinais de v e de q.
c) Mudança de sentido: se houver, devemos ter v = 0 no instante considerado. Substituindo v por zero em
v = 12 — 2t, vem:
0=12 2t = 2=12 => (r=6s)
Respostas: a) 12 m/s; —2 m/s”; b) 2 s: retardado; 8 s: acelerado; c) ocorre mudança de sentido em t = 6 s.
Exercícios
P.65 Um móvel em MUV possui aceleração igual a —0,5 m/s”. Sua velocidade escalar varia no decurso do tempo,
segundo os dados da tabela abaixo.
Determine:
a) a velocidade escalar inicial do movimento;
b) em que intervalos de tempo o movimento é progressivo; em que intervalos de tempo é retrógrado;
c) em que intervalos de tempo o movimento é acelerado; em que intervalos de tempo é retardado;
d) se o móvel em questão muda de sentido e em que instante.
P.66. É dado o movimento cuja velocidade escalar obedece à função v = 3 — 2t, na qual t está em horas e v está em
km/h. Determine:
a) a velocidade escalar inicial do movimento; c) a velocidade escalar no instante t = 1 h;
b) a aceleração escalar; d) em que instante o móvel muda de sentido.
P.67 É dada a função v = 10 + 5t (t em segundos e v em metros por segundo), que exprime a velocidade v de um
movimento em função do tempo t.
a) Determine a velocidade inicial e a aceleração escalar do movimento.
b) Verifique se há mudança de sentido do móvel após o instante tł = 0.
B.. Funções horárias do MUV
Todo MUV possui aceleração escalar constante com o tempo e velocidade escalar variável de acordo
com a função:
função horária da velocidade do MUV
Para que sua descrição seja completa, devemos também conhecer sua função horária dos espaços,
isto é, como os espaços s variam no decurso do tempo.
aceosascanecoscracancsa nes canada CMDEDCLADOCVAL DADO NC LLC TLALESO CALL CALOIRO OSC DE DISCO CONOR DONA CONDOR CACO Rn Uta Cas aa Ud Os
CarítuLo 4 * MOVIMENTOS com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 55 ©
(ro) uu
É possível demonstrar* que a função horária do MUV é uma função do 2º grau em t do tipo:
função horária do espaço do MUV
em que $% é o espaço inicial, vo é a velocidade escalar inicial e œ é a aceleração escalar constante do MUV.
As variáveis s e t se correspondem; a cada valor de t obtemos, em correspondência, um único valor de s.
Na função horária do MUV, o coeficiente de t? é > Assim, se a função for do tipo s = 5 + 2t + 4
(s em metros e t em segundos), devemos observar que:
1-5 > 0=2:4 > q=8m/$
Portanto, para se obter a aceleração escalar œ basta multiplicar o coeficiente de t° por 2.
Resumindo, temos:
| Movimento uniformemente variado (MUV)
|
s=stut+ Sr v=v+at a = constante + 0 |
nl
Essas funções definem o MUV em qualquer tipo de trajetória. No entanto, o conhecimento apenas
das funções anteriores não permite nenhuma conclusão sobre a forma da trajetória.
Da função horária dos espaços, após identificar sy, Yo € &, podemos chegar à função horária da ve- É
locidade escalar, como segue. g
a :
S= So + Vota 2! o —> V= VW% + ot 2
| ê
| | | è
RA, :
y 3 E
De s= 5-2 + SÉ vem:s=5m; w=-2m/s; q=3m/9 => v=-2+3t č
i
De s= -3 + 4t + É vem: S5 = -3 m; w=+4m/s; q=Im/S >v= 4+t f
Des= 7+ t- 5t? vemis=7m; vw=+1m/s; a= -10 m/s5 > v= 1 — 10t š
De s= -t + t? vem: 5 = 0; v = -1 m/s; a = 2 m/s? > v=—1 +2t É
De s= t? vem: So = 0; v = 0; a=2m/s/ >v= 2t 5
Da função horária mm -— >» chega-se à — > função horária
dos espaços da velocidade
O processo inverso é possível se conhecermos so.
Exercícios
resolvidos
é É dado o movimento cujo espaço s, medido na trajetória (em metros) a partir de uma origem, varia em função
do tempo conforme:
E
s=10-— 2t + z (os instantes ft estão medidos em segundos)
a) Determine o tipo geral do movimento.
b) Determine o espaço e a velocidade inicial, e a aceleração escalar.
c) Determine a função da velocidade escalar em relação ao tempo.
d) Verifique se o móvel muda de sentido; se mudar, determine o espaço nesse instante.
* A demonstração dessa função encontra-se na página 95 (observação (2), ao final do estudo dos gráficos do MUV).
e 56 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
a) O movimento proposto é MUV, pois seus espaços variam com o tempo, de acordo com uma função do 2º grau
em ft.
2
a t R .
b) Comparando s = sọ + vt + z” com s = 10 — 2t + 7 e identificando cada termo, obtemos:
s= 10m Vv = —2 m/s a = 1 m/s?
c) A função da velocidade escalar é do tipo v = v, + aí, na qual v = —2 m/s e a = 1 m/s?:
(t em segundos e v em metros por segundo)
d) Há mudança de sentido quando v = 0. Logo:
v=-2+t>50=-2+t>5>t=2s
Nesse instante, o espaço é:
2
— È — | 2
s=10-2 + =10 22+5 = (s=8m)
Observação:
As funções s = fi e v = f(?) determinam o espaço e a velocidade escalar do móvel no decurso do tempo.
O móvel muda de sentido, mas suas funções o definem na ida e na volta. No MUV as funções s = AÒ ev = fx(t) são
únicas, independentemente de o móvel ir ou voltar. Esse fato pode ser verificado tabelando-se alguns valores
dessas funções como indicamos a seguir (a tabela foi obtida atribuindo valores de t nas equações de s e v).
0 1 2 3 4 5
10 8,5 8,5 10
-2 -1 +1 +2 +3
Note que até o instante t = 2 s o movimento é retrógrado, pois sua velocidade escalar é negativa. No instante
t = 2 s o móvel muda de sentido e está na posição cujo espaço é igual a 8 m. Após o instante £ = 2 s o movimento
passa a ser progressivo.
Respostas: a) MUV; b) 10 m; —2 m/s; 1 m/s?; c} v = —2 + t (v em m/s e tem s); d) 8 m
Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e os seus espaços variam no tempo de acordo com a
função horária:
s=9+3t-2t (tem segundos e s em metros)
Determine:
a) a função da velocidade escalar; b) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
Solução:
a) Comparando a função dada (s=9+3t-2t)coms = s + ut + Se, obtemos s = 9 m, vo = +3 m/s
ea = -4 m/s3. A função v = v, + at fica:
(t em segundos e v em metros por segundo)
b) O móvel passa pela origem dos espaços
(marco zero) quando seu espaço s = 0.
Substituindo esse valor ems = 9 + 3t — 2º,
vem:
0=9+3t- 2
2- 3t-9=0
A expressão geral de uma equação do 2° grau em
xé:
a +bx+c=0
Trata-se de uma equação do 2º grau em t cuja
~ . . Nessa expressão, a + 0, be c são coeficientes
solução (veja o quadro) é:
numéricos, chamados parâmetros da equação.
As raízes dessa equação são dadas pela fórmula
geral:
-b + Vb? -4ac
Carítuio 4 * MOVIMENTOS COM VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 57 e
Como temos2t — 3t — 9 = 0 (a = 2, b = —3 e c = —9), vem:
o CDE 4209) o, +34 V9+72 _ 34V81 _ 349
4
2.2 4 4
+ —
r- DO. Es e r=- > |P 1,5s
O móvel passa pela origem dos espaços nos instantes t’ = 3 s e t” = —1,5 s. Esta segunda resposta significa
1,5 s antes do instante t = 0 s.
Admitindo-se que a função horária seja definida apenas para instantes posteriores a t = 0 s, então só a
primeira solução (3 s) é resposta.
Respostas: a) v = 3 — 4t (v em m/s e tem s); b) 3s
Um ponto material parte do repouso com movimento uniformemente acelerado de aceleração escalar a = +5 m/s”.
Quais são os valores de sua velocidade e de seu espaço após 10 s?
Solução:
O móvel parte do repouso. Portanto, sua velocidade inicial é v, = 0. Vamos convencionar que no instante inicial
o móvel se encontrava na própria origem dos espaços. Assim: Sọ = 0; vo = 0 (parte do repouso); a = +5 m/s”.
Substituindo esses valores nas funções horárias, para t = 10 s, temos:
a St 5
s=s tw + FË > s 3 > s= 5:10 = (5=250m)
v=wtat > v=5t>v=5:10 = (v=50m/s]
Resposta: O móvel se encontra a 250 m de sua posição de partida e com velocidade escalar de 50 m/s, no ins-
tante 10 s.
Sobre uma mesma trajetória, dois móveis A e B se movimentam obedecendo às funções horárias
SA 10 + 20t e sp = 15 + 5t + 2?’ (s em metros e t em segundos). Determine:
a) em que instantes os móveis A e B se cruzam;
b) onde, na trajetória, ocorrem os cruzamentos dos móveis.
Solução:
a) Os espaços iniciais (em t = 0) dos móveis são, respectivamente, —10 me +15 m e eles se movem a favor do
sentido da trajetória. Esquematicamente:
A B
-10 0 +15 s(m)
Para determinar os instantes em que os móveis se cruzam, devemos igualar os espaços: sy = Sp.
Temos: s, =—10 + 20t e s= 15 + 5t+ 2?
Igualando: —10 + 20t = 15 + 5t + 2? = 2P — 151+25=0
Resolvendo essa equação do 2° grau:
p- 15$V15 42:25 _ 1544/225-20 15 + 25 Ss B45
2-2 4 4 4
r- 1855 (Fass) e r- BH o Ts
Portanto, os móveis se cruzam duas vezes: no instante 2,5 s e no instante 5 s.
b) Para determinar as posições em que ocorrem esses cruzamentos, devemos substituir esses instantes numa
das funções horárias. Assim:
s} 10 + 20- 2,5 10 + 50 > | s =40m
s4=-10+20:5 10 + 100 > |sy=90m
Respostas: a) 2,5 s; 5 s; b) 40 m; 90 m
nesvasanposeceoveeracssessseneseeasneseunneneneesoeasn saresasasasoanaareseansnsacocasaasaseserassernpesesanao tesrsescesesesessoeroeseecsenessesesressrer
58
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um aútomóvel está parado diante de um sinal fechado. No instante em que o farol fica verde, passa por ele
uma motocicleta que mantém uma velocidade constante de 15 m/s. Supondo que, nesse mesmo instante, o
automóvel comece a se mover com aceleração constante igual a 2 m/s”, determine:
a) após quanto tempo o automóvel alcança a moto;
b) que distância o automóvel percorre até alcançar a moto;
c) a velocidade do automóvel no instante em que alcança a moto.
Solução:
a) Vamos adotar a posição inicial do automóvel como origem dos espaços e o instante em que o farol abre
como origem dos tempos (t = 0).
Para o automóvel: są = 0; vo = 0;0 = 2 m/s?
a, (0
Substituindo esses valores em s = Sọ + ut + aU (MUV), vem: s, = t?
Para a motocicleta: s, = 0; v = 15 m/s
Substituindo esses valores em s = sọ + vt (MU), vem: ss = 15t
No instante em que o automóvel (A) alcança a moto (B), os espaços são iguais. Portanto:
Sa = Sg > P= 15t >» P- 15t=0 >» t=0o0out=15s
Uma das soluções é o instante inicial t = 0.
Estamos interessados na outra solução, isto é:
Esquematicamente:
0 E (1=159)
b) Obtemos a distância percorrida pelo automóvel substituindo t por 15 s em s; = ť. Assim:
c) A velocidade do automóvel varia com o tempo, obedecendo à função horária: v = v +at > v = 2t
Substituindo t por 15 s, vem:
Respostas: a) 15 s; b) 225 m; c) 30 m/s
Exercicios
propostos
P.68: O desenho representa uma fotografia de múltipla exposição de um pequeno corpo em movimento. O intervalo de
tempo entre duas fotografias sucessivas é de 0,01 s. A escala abaixo do desenho está graduada em centímetros:
A B C D E F G H I J
o ooo 0 @ @ 0900
4 o 1 Lo au 1 Lo 4 1 1 4 |
a) No intervalo de tempo definido pelas posições de À a D, o movimento é uniforme ou variado?
b) De D a F o movimento é acelerado ou retardado?
c) DeF aJo movimento é acelerado ou retardado?
g
; 5 ; .
P.69. E dado um movimento cuja função horária é s = 13 — 2t + 3 , na qual s é o espaço em centímetros e t é
o tempo em segundos. Determine:
a) a velocidade inicial do movimento; c) o instante e a posição em que o móvel muda de sentido.
b) a aceleração escalar;
P.78. É dado um movimento cuja função horária é s = 0,25 + 0,75t — t’, sendo que s é o espaço em centímetros e t é
o tempo em segundos. Determine:
a) o espaço inicial; d) a função da velocidade escalar;
b) a velocidade escalar inicial; e) o instante em que o móvel muda de sentido.
c) a aceleração escalar;
sosencasenoa RUTLALO CALC OLLLLLLLDOSUICOCLTLLESLONLCLNLLLALO DANCA ALADONCLDLA LADO UNR DA SOLON LED LCD DOIDO UNODC ANCONA UU ACO DOU DOURO
Capítulo 4 + MOVIMENTOS com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 59 e
e—
kac]
>
re)
[ár |
tm
P.71
P.72
P.73
P.74
P.75
P.76
P.77
Um ponto material está em movimento e sua velocidade escalar varia com o tempo segundo a função v = 6 — 3t,
na qualt está em segundos e v em metros por segundo. Determine:
a) a velocidade escalar inicial do movimento;
b) a aceleração escalar;
c) o instante em que o móvel muda de sentido;
d) a função horária s = f( do movimento, sendo 15 m o espaço inicial.
É dado o movimento cuja velocidade obedece à função v = —8 + 2t, em que t está em segundos e v em metros
por segundo. Determine:
a) a velocidade escalar inicial;
b) a aceleração escalar;
©) o instante em que o móvel muda de sentido;
d) a função horária s = fÒ, sabendo-se que no instante inicial o espaço do móvel é igual a 5 m.
Um móvel passa pelo marco zero de uma trajetória, em movimento progressivo uniformemente acelerado, no
instante em que ź = 0 s. Nesse instante sua velocidade escalar é 25 m/s e a aceleração escalar é 12 m/s”. Escreva
as funções do movimento s = f, e v = AÒ.
Um móvel passa pela origem dos espaços, em movimento uniformemente retardado, no instante em que t = 0 s.
Nesse instante sua velocidade escalar é 10 m/s. A aceleração escalar do movimento é —2,5 m/s”.
Determine:
a) a função horária s = f,(f) e a função da velocidade v = FD);
b) o instante em que o móvel passa novamente pela origem dos espaços;
c) o instante em que o móvel muda de sentido.
No instante em que se aciona um cronômetro (t — 0), um móvel está numa posição a 36 m do marco zero,
medidos sobre sua trajetória, no trecho positivo. A partir desse instante, levantam-se os dados da tabela e
admite-se que a lei de comportamento do movimento seja válida para os instantes posteriores aos da tabela.
Determine:
a) as funções s = f£) e v = ft) do movimento; O) 0 1 2 3 | 4 ]
b) o instante em que o móvel muda de sentido;
c) seu espaço nesse instante. v (m/s) 21 18 15 12 | 9 ]
Considere dois móveis que, sobre uma mesma trajetória, realizam movimentos que obedecem às funções
horárias sı = —2 + 6t e s, = 4 — 3t + 3tº (s em metros e t em segundos).
a) Em que instante (ou instantes) esses móveis se cruzam?
b) Em que posição (ou posições) os móveis se cruzam?
Ao ver passar uma bela garota loura dirigindo uma Ferrari vermelha que desenvolve velocidade constante
de 72 km/h, um apaixonado rapaz resolve sair ao seu encalço pilotando sua possante moto. No entanto, ao
conseguir partir com a moto, com aceleração constante igual a 4,0 m/s”, o carro já está 22 m à frente.
a) Após quanto tempo o rapaz alcança o carro da moça?
b) Que distância a moto percorre até o instante em que os dois veículos se emparelham?
c) Qual é a velocidade da moto no instante em que alcança o carro?
a = 4,0 m/s?
22m
[|] 7. Velocidade escalar média no MUV
No movimento uniformemente variado (MUV), a velocidade escalar média (v,), num intervalo
. de tempo, é a média aritmética das velocidades escalares nos instantes que definem o intervalo*:
Essa é uma propriedade importante do MUV.
t — Y v — Vi + V2
m 2-2
b> v, tH 2
* A demonstração dessa propriedade encontra-se na página 96 (observação (2, ao final do estudo dos gráficos do MUV).
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Um movimento uniformemente variado é descrito pelas funções:
s=12+10t-?
F =10-2t
a) Determine a velocidade escalar média no intervalo de 1 s a 4s.
b) Chamando de v, e v, as velocidades escalares instantâneas em 1 s e 4 s, respectivamente, verifique a pro-
(t em segundos, s em metros e v em metros por segundo)
+
priedade do MUV: Um = MT ba
1H4 2
Solução:
a) À velocidade escalar média é dada por: | Vm = a
Em s = 12 + 10ż — £, determinamos:
t=1s > s=2+10:1-"> s=2lm
t=45 > s=12+10:4-4 > s,=36m
At=4-1 => At=3s As=s,—s > As= 15m
A 15
Um $ Um = 5m/s
1H4 At 3 1H4
b) Para verificarmos a propriedade do MUV, calcularemos v, e v4
Em v = 10 — 2t:
t=1s >» 0=10-2:1>v=8m/s
t=4s > v=10-2:4 v, = 2 m/s
vu +u o 8+2 10 R V + U,
2 2 2 2
A média aritmética:
= 5m/s
Esse resultado é a própria velocidade escalar média no referido intervalo.
Respostas: a) 5 m/s; b) 5 m/s
Um trem de comprimento 100 m atravessa um túnel reto de comprimento 200 m, com movimento uniforme-
mente variado. Quando o trem começa a entrar no túnel, sua velocidade escalar é de 10 m/s e, quando acaba
de sair do túnel, sua velocidade escalar é de 20 m/s. Qual é o intervalo de tempo decorrido do início ao fim da
travessia?
Solução:
100m
100 m
19
Q
o
3
As
Qualquer ponto do trem — como o ponto P na traseira, por exemplo — percorre a distância As = 300 m durante
a travessia do túnel.
As vy +v
De up =D e v, = 4—7, vem:
At 2
às tm 3 300 10 + 20
At 2 At 2
Resposta: 20 s
Carítuio 4 + MOVIMENTOS com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 610
P.78 Em5s,a velocidade escalar de um móvel em MUV variou de 10 m/s para 25 m/s. Determine:
a) a velocidade escalar média do móvel nesse intervalo de tempo;
b) a distância percorrida pelo móvel.
P.79: A velocidade escalar de um móvel varia no decorrer do tempo segundo a função v = 6 + 8t. Determine:
a) a velocidade escalar média do móvel entre os instantes 2 s e 10 s;
b) a distância percorrida pelo móvel nesse intervalo de tempo.
P.89' Um carro de 4m de comprimento em MUV atravessa uma ponte. Sua velocidade escalar é 36 km/h ao entrar na
ponte e 54 km/h ao sair. O intervalo de tempo decorrido na travessia é 4 s. Qual é o comprimento da ponte?
Bs. Equação de Torricelli para o MUV
No MUV há muitos casos nos quais interessa relacionar a velocidade escalar v em função do espaço s,
o que é feito com o emprego da chamada equação de Torricelli, que deduzimos a seguir.
Elevando ao quadrado ambos os membros de v = v, + at, obtemos:
a
v? = vi + 2atn + P > v? = y? + za [vê + že)
> e a
Comparando com a função horária s — sy = vot + p , vem: v? = vå + 2a(S — So)
Ou ainda: equação de Torricelli para o MUV
Nessa fórmula, a velocidade escalar v varia em função do espaço s; v é a velocidade inicial, e a é
a aceleração escalar do movimento (œ pode ser positiva ou negativa, de acordo com as convenções
adotadas).
EE Um carro a 90 km/h é freado uniformemente com a aceleração escalar de 2,5 m/s” (em módulo) até parar. De-
termine a variação do espaço do móvel desde o início da frenagem até parar.
Solução:
O exercício pode ser resolvido com as funções s = f(A e v = AÒ. No entanto, com a equação de Torricelli a solu-
ção é mais rápida. A velocidade inicial do movimento retardado é v, = 90 km/h = 2 m/s = 25 m/s; a aceleração
,
de retardamento é « = —2,5 m/s” (negativa, pois o movimento é retardado e, portanto, vo e a devem ter sinais
contrários). A velocidade final v é nula, pois o móvel pára ao fim do percurso. Assim:
252
2-5? = 952.9, . = =
v = v + 20As > 0=25-2:25-A8 > As 5 > | As=125m
Vo a = -2,5 m/s?
EYN v=0
fin (pára) ; ' Leia mais
As '
o s
vo- --
Início da frenagem
Resposta: 125 m
osrovseoesssosevvonovosoezsososceseesosvoopovecsesesocsecsononosooossescssososenorosovacresesnoueuenesovsesoecesrossosonecosossosorossossssosesesrosossere
e. 62 Os FUNDAMENTOS DA Física
q
Q
D
p
o]
e
E
S
>
2
E
ne]
D
[o]
ba
o
o
[=
3
Rr]
v
E
S
©
à
o
2
2
q
o
o
D
=
Es)
g
L
É)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro-de 1998.
P.81
P.82
P.83
P.84
P.85
P.86
P.87
P.88
P.89
Exercícios
ostos
Um móvel parte do repouso e, com aceleração constante de 5 m/s”, atinge a velocidade de 20 m/s.
Determine a variação do espaço do móvel durante essa variação da velocidade.
(UFPE) Um veículo em movimento sofre uma desaceleração uniforme em uma pista reta, até parar. Sabendo-
se que, durante os últimos 9,0 m de seu deslocamento, a sua velocidade diminui 12 m/s, calcule o módulo da
desaceleração imposta ao veículo, em m/s”.
Uma composição do metrô parte de uma estação, onde estava em repouso, e percorre 100 m com aceleração escalar
constante, atingindo 20 m/s. Determine a aceleração escalar q e a duração t do processo.
Num jogo de futebol de salão, um jogador chuta uma bola rasteira, que parte com velocidade inicial vo. A bola
pára depois de percorrer 18 m, sem colidir com nenhum obstáculo. A bola desacelera com aceleração constante
de módulo 1 m/s”. Determine a velocidade inicial da bola.
Um carro percorre a distância de 150 m entre dois locais (A e B) de uma estrada, reduzindo sua velocidade
escalar de 72 km/h para 36 km/h, com aceleração escalar constante. Mantida a mesma aceleração, determine
a distância que o carro percorre, a partir do local B, até parar.
arcícios propostos
de recapitulação
pem e o r
(Vunesp) O tempo de reação (intervalo de tempo entre o instante em que uma pessoa recebe a informação e
o instante em que reage) de certo motorista é 0,7 s, e os freios podem reduzir a velocidade de seu veículo à
razão máxima de 5 m/s em cada segundo. Supondo que ele esteja dirigindo à velocidade constante de 10 m/s,
determine:
a) o tempo mínimo decorrido entre o instante em que avista algo inesperado, que o leva a acionar os freios,
até o instante em que o veículo pára;
b) a distância percorrida nesse tempo.
(Unicamp-SP) Um automóvel trafega com velocidade constante de 12 m/s por uma avenida e se aproxima
de um cruzamento onde há um semáforo com fiscalização eletrônica. Quando o automóvel se encontra a
uma distância de 30 m do cruzamento, o sinal muda de verde para amarelo. O motorista deve decidir entre
parar o carro antes de chegar ao cruzamento ou acelerar o carro e passar pelo cruzamento antes de o sinal
mudar para vermelho. Esse sinal permanece amarelo por 2,2 s. O tempo de reação do motorista (tempo
decorrido entre o momento em que o motorista vê a mudança de sinal e o momento em que realiza alguma
ação) é 0,5 s.
a) Determine a mínima aceleração constante que o carro deve ter para parar antes de atingir o cruzamento e
não ser multado.
b) Calcule a menor aceleração constante que o carro deve ter para passar pelo cruzamento sem ser multado.
Aproxime (1,7) para 3,0.
(Olimpíada Brasileira de Física) Um motorista pisa bruscamente no freio do seu carro fazendo-o parar no tempo
de 2 segundos. O carro deixa marcas de comprimento igual a 5 metros no asfalto. Qual era a velocidade do
carro no instante que o motorista “pisa no freio”?
Considere que a trajetória do carro seja retilínea durante a freada e que sua aceleração escalar seja constante.
(Unicamp-SP) Um corredor de 100 metros rasos percorre os 20 primeiros metros da corrida em 4,0 s com
aceleração constante. A velocidade atingida ao final dos 4,0 s é então mantida constante até o final da
corrida.
a) Qual é a aceleração do corredor nos primeiros 20 m da corrida?
b) Qual é a velocidade atingida ao final dos primeiros 20 m?
c) Qual é o tempo total gasto pelo corredor em toda a prova?
Carituio 4 * Movimentos com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 63 e
e
"mg
=
[e
[ár
Hmm
P.90 (Efoa-MG) Um trem de 160 metros de comprimento está parado, com a frente da locomotiva posicionada
exatamente no início de uma ponte de 200 metros de comprimento, num trecho retilíneo de estrada. Num de-
terminado instante, o trem começa a atravessar a ponte com aceleração de 0,8 m/s”, que se mantém constante
até que ele atravesse completamente a ponte.
a) Qual é o tempo gasto pelo trem para atravessar completamente a ponte?
b) Qual é a velocidade no instante em que ele abandona completamente a ponte?
P.91 (Vunesp) Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada recomenda que os mo-
toristas que nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma "distância" de 2,0 segundos.
a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorrem a estrada com a
velocidade constante de 90 km/h?
b) Suponha que, nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração
constante de módulo 5,0 m/s”, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 0,50 s. Qual
deve ser a aceleração mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente?
P.92 Um carro viaja com velocidade de 90 km/h num trecho retilíneo de uma rodovia. Subitamente, o motorista
vê um cavalo parado na pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a
frear, o carro percorre 15 m. O motorista freia o carro à taxa constante de 5,0 m/s”, mantendo-o em sua trajetó-
ria retilínea e consegue parar antes de atingir o cavalo, que permaneceu imóvel durante todo o tempo. A que
distância mínima do animal o motorista deve têlo avistado?
(PUC-RS) Dizer que um movimento se realiza
com uma aceleração escalar constante de 5 m/s”
significa que:
(FEI-SP) A tabela dá os valores da velocidade
escalar instantânea de um móvel em função do
tempo, traduzindo uma lei de movimento que
a) em cada segundo o móvel se desloca 5 m vale do instante t = 0 s até o instante t = 5,0 s.
b) em cada segundo a velocidade do móvel au-
menta de 5 m/s.
c) em cada segundo a aceleração do móvel au-
menta de 5 m/s.
d) em cada 5 s a velocidade aumenta de 1 m/s.
e) a velocidade é constante e igual a 5 m/s.
À respeito desse movimento podemos dizer que:
a) é uniforme.
b) é uniformemente variado com velocidade
inicial nula.
(Unirio-RJ) Caçador nato, o guepardo é uma
espécie de mamífero que reforça a tese de que c) é uniformemente acelerado com velocidade
os animais predadores estão entre os bichos inicial diferente de zero.
mais velozes da natureza. Afinal, a velocidade é d) sua aceleração escalar é variável.
essencial para os que caçam outras espécies em
busca de alimentação.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro
e) nada se pode concluir.
(Uece) Um automóvel desloca-se numa estrada
reta com velocidade constante de 36 km/h. Devi-
| do a um vazamento, o carro perde óleo à razão
de uma gota por segundo. O motorista pisa no
|
freio, introduzindo uma aceleração constante
de retardamento, até parar. As manchas de óleo
deixadas na estrada, durante a freada, estão
representadas na figura.
S. L. MATTON. BILD/CID
im
| 10m 10m ` 9m 7m Sm3m,
; . . . o ca
| v=0
. . Movimento uniforme Carro sob a ação dos freios
O guepardo é capaz de, saindo do repouso e
correndo em linha reta, chegar à velocidade de Pode-se concluir que a aceleração de retarda-
72 km/h em apenas 2,0 segundos, o que nos per- mento vale, em módulo:
mite concluir, em tal situação, ser o módulo de a) 1 m/s? d 4 m/s?
sua aceleração escalar média, em m/s”, igual a: b) 2 m/s? e) nenhum desses valores
a l0 bi 918 D36 50 9 3 m/s?
o 64 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(UEPB) Um automóvel move-se com velocidade
constante de 20 m/s por uma avenida e aproxi-
ma-se de um semáforo com fiscalização eletrô-
nica, situado em frente a uma escola. Quando o
automóvel se encontra a 60 metros do semáforo,
o sinal muda de verde para amarelo, permane-
cendo amarelo por um tempo de 2,0 segundos.
Portanto, a menor aceleração constante que o
carro deve ter para passar pelo semáforo e não
ser multado, em m/s”, vale:
a) 10
b) 6,0
c) 80
d) 7,0
e 12
(UEL-PR) Um móvel efetua um movimento re-
tilíneo uniformemente variado obedecendo à
função horária s = 10 + 10ż — 5,0?, na qual o
espaço s é medido em metros e o instante tem
segundos. À velocidade do móvel no instante
t = 4,0 s, em m/s, vale:
a) 50
b) 20 -
o 0
d) —20
e) -30
(Olimpíada Paulista de Física) Um avião a jato,
partindo do repouso, é submetido a uma acele-
ração constante de 4,0 m/s”. Qual é o intervalo
de tempo At de aplicação dessa aceleração para
que o jato atinja a velocidade de decolagem de
160 m/s? Qual é a distância d percorrida até a
decolagem?
a) At = 80,0 s e d = 400 m
b) Aż = 20,0 s e d = 1.600 m
c) At = 20,0 s e d = 3.200 m
d) At = 40,0 s e d = 1.600 m
e) At = 40,0 s e d = 3.200 m
(Olimpíada Brasileira de Física) Uma partícula exe-
cuta um movimento retilíneo uniformemente varja-
do. Num dado instante, a partícula tem velocidade
50 m/s e aceleração negativa de módulo 0,2 m/s”.
Quanto tempo decorre até a partícula alcançar a
mesma velocidade em sentido contrário?
a) 500 s d) 100 s
b) 250 s e) 10s
œo 125s
(Univali-SC) Um ponto material percorre uma
trajetória retilínea segundo a equação horária
s = 4 + 6t + É (s em metros e t em segundos). No
intervalo de tempo entre os instantes t= 1se
t = 6s, a velocidade escalar média, em m/s, é:
a) 6 d) 34
b) 11 e) 59
co 13
' (Fatec-SP) Uma partícula tem seu espaço s varian-
do com o tempo t segundo a função:
s=28-15t+ 0,54
com s em metros e f em segundos. Pode-se afir-
mar que:
a) a aceleração é 1,0 m/s”, e o movimento é ace-
lerado no intervalo det = Oat = 3,0 s.
b) a aceleração é 0,5 m/s”, e o movimento é ace-
lerado no intervalo det = Qat = 3,0s.
c) aaceleração é 0,5 m/s”, e o movimento é retar-
dado no intervalo de t = 0a t = 3,0s.
d) a partícula inverte o sentido de movimento no
instante t = 15s.
e) o movimento se torna uniforme a partir do
instante t = I5 s.
(FMABC-SP) A função horária do movimento de
uma partícula é expressa por s = É — 10t + 24
(s em metros e ł em segundos). O espaço do
móvel ao mudar de sentido é:
a) 24m dilim
b) -25m e) -lim
co) 25m
* (Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimen-
to se desloca com velocidade escalar de 20 m/s.
Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte,
freia uniformemente, saindo completamente da
mesma 10 s após com velocidade escalar de 10 m/s.
O comprimento da ponte é:
a) 150m d 60m
b) 120 m e) 30m
c) 90m
(Vunesp) Um ponto material com movimento
retilíneo uniformemente variado passa pelo
ponto A de uma reta com velocidade de 15 m/s,
dirigindo-se para o ponto B dessa mesma reta. Se
a distância AB é de 40 m e o intervalo de tempo
desse percurso é de 5,0 s, a velocidade desse
ponto material ao passar por B é de:
a) 30 m/s d 5,0 m/s
b) 15 m/s e) 1,0 m/s
c) 10 m/s
(Uniube-MG) Durante uma viagem pelo interior
de São Paulo, um motorista de carro desloca-se
retilineamente com velocidade constante de
72 km/h quando vê uma vaca parada no meio
da estrada a 100 m de distância. Imediatamente
ele aciona os freios, adquirindo uma aceleração
escalar de módulo 5 m/s”. Pode-se afirmar que o
motorista:
a) não conseguirá evitar a colisão com o ani-
mal.
b) conseguirá parar o carro exatamente na frente
do animal.
c) conseguirá parar o carro a 60 m do animal.
d) conseguirá parar o carro a 50 m do animal.
e) conseguirá parar o carro a 40 m do animal.
correa so necs one reneresca CRUTOC ELITE CELLS OLL ESC CNNO ALUDE ACRN DOIDA DO DARDOS RAS ONCE ROD CARO CREDO DADA C sn ana r cana nen ne non nns anda
CarítuLo 4 * MOVIMENTOS com VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 65 e
(UEPB) Dois automóveis, A e B, deslocam-se um
em direção ao outro numa competição. O automó-
vel A desloca-se a uma velocidade de 162 km/h; o
automóvel B, a 108 km/h. Considere que os freios
dos dois automóveis são acionados ao mesmo
tempo e que a velocidade diminui a uma razão
de 7,5 m/s, em cada segundo. Qual é a menor
distância entre os carros À e B para que eles não
se choquem?
a) 135m
b) 60 m
© 210m
d) 195m
e) 75m
(UCPel-RS) Um carro aproxima-se de uma sinalei-
ra com velocidade constante. Quando a distân-
cia entre o carro e a sinaleira é de 27,5 m, a luz
vermelha acende e o motorista demora ainda
5,0 s para aplicar os freios. Estes imprimem ao
carro uma desaceleração constante de 5,0 m/s”.
Qual era a velocidade constante do carro, saben-
do-se que ele pára ao completar os 27,5 m?
a) 5,5 m/s
b) aproximadamente 60 km/h
c) 72 km/h
d) 7,0 m/s
e) 18 km/h
(ITA-SP) De uma estação parte um trem À com ve-
locidade constante v, = 80 km/h. Depois de certo
tempo, parte dessa mesma estação um outro
trem B, com velocidade constante vg = 100 km/h.
Depois de um tempo de percurso, o maquinista
de B verifica que o seu trem se encontra a 3 km
de A; a partir desse instante ele aciona os freios
indefinidamente, comunicando ao trem uma ace-
leração a = —50 km/h”. O trem A continua no seu
movimento anterior. Nessas condições:
a) não houve encontro dos trens.
b) depois de duas horas o trem B pára e a distân-
cia que o separa de À é de 64 km.
© houve encontro dos trens depois de 12 min.
d) houve encontro dos trens depois de 36 min.
e) não houve encontro dos trens; continuam
caminhando e a distância que os separa agora
é de 2 km.
(PUC-Campinas-SP) No instante em que a luz
verde do semáforo acende, um carro ali parado
parte com aceleração constante de 2,0 m/s”. Um
caminhão, que circula na mesma direção e no
mesmo sentido, com velocidade constante de
10 m/s, passa por ele no exato momento da parti-
da. Podemos, considerando os dados numéricos
fornecidos, afirmar que:
a) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do
semáforo.
b) o carro não alcança o caminhão.
c) os dois veículos seguem juntos.
d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do se-
máforo.
e) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do
semáforo.
(Olimpíada Brasileira de Física) Quando o sinal
abre, um carro parado inicia um movimento
uniformemente acelerado, sendo neste mesmo
instante ultrapassado por um caminhão que se
move com velocidade escalar constante v,. À
velocidade escalar do carro no momento que
ultrapassa o caminhão é:
a) 1,10,
b) 1,20,
co) 1,50,
d) 2,00,
e) 2,50,
(Uerj) O movimento retilíneo uniformemente
acelerado de um objeto pode ser representado
pela seguinte progressão aritmética:
7 11 15 19 23 27
Esses números representam as variações do
espaço, em metros, realizadas pelo objeto, a
cada segundo. Portanto, a função horária dos
espaços, em unidades SI, que descreve a posição
desse objeto pode ser:
a) 3t + 4t
b) 5t + 24º
o 1+2t+ 4P
D2+3 +28
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CORTESIA DA EMBRAER S.A. / TODOS OS DIREITOS RESERVADOS
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Da decolagem ao pouso
Após a corrida ao longo da pista, o piloto puxa suavemente o manche e o avião decola. O movimento inicial
da aeronave na pista é um movimento acelerado: o avião sai da imobilidade e corre até atingir a velocidade
necessária para a subida. Essa velocidade, que se mantém constante durante a subida, depende de vários
fatores, podendo variar conforme a massa da aeronave e as condições atmosféricas locais.
Quando o nível de cruzeiro é atingido, o piloto nivela o aparelho e faz os ajustes necessários para a via-
gem. A velocidade em que a maior parte do vôo se realiza é chamada velocidade de cruzeiro e é constante.
Portanto, o avião executa um movimento acelerado na pista e, em seguida, dois movimentos uniformes: um
durante a subida e outro ao atingir o nível de vôo.
A sequência de fotos mostra o jato Embraer-170,
de fabricação nacional, desde o momento
da decolagem até o instante em que atinge
a velocidade de cruzeiro, isto é, a velocidade que vai
ser mantida constante durante
o vôo na altitude estipulada.
Na descida ocorre o inverso, a velocidade de cruzeiro é reduzida e o avião desce com a menor velocidade
possível. Ao tocar a pista o movimento passa a ser retardado até a completa imobilização do avião.
É importante salientar que as velocidades indicadas nos instrumentos do avião não correspondem à ve-
locidade em relação ao solo. O movimento é relativo. Por exemplo, um avião que esteja voando com
velocidade indicada no velocímetro do painel de 900 quilômetros por hora, poderá estar se deslocando em
relação ao solo a 600 quilômetros por hora, desde que enfrente um vento contrário de 300 quilômetros por
hora. À recíproca é verdadeira: se a massa de ar estiver a favor, a velocidade em relação ao solo aumenta.
Como algumas correntes aéreas são constantes, os aviadores fazem uso delas para economizar combustível
e chegar mais rapidamente ao seu destino.
CORTESIA DA EMBRAER S.A. / TODOS OS DIREITOS RESERVADOS
O OCO COCO O sina
L3
LA
L5
L6
L7
: Teste sua leitura
(PUC-RJ) Um avião necessita de uma velocidade horizontal mínima, relativa ao ar, de 17 m/s, para le-
vantar vôo. Ao decolar, num certo dia, contra um vento de 3 m/s, o avião precisou percorrer a distância
de L = 50 m na pista, com MUV. Determine:
a) a velocidade horizontal mínima do avião relativa ao solo;
b) a aceleração sofrida pelo avião (despreze a resistência do ar);
c) o tempo que o avião levou para deixar o solo.
O enunciado a seguir refere-se às questões L.4 a L.6.
(UFSJ-MG) Um dos acidentes mais terríveis da aviação mundial ocorreu em julho de 2000, envolvendo
o Concorde da companhia Air France, que fazia o vôo AF 4590 entre os aeroportos Charles de Gaulle
(CDG) de Paris e o John Fitzgerald Kennedy (JFK) de Nova Iorque, e que foi fretado por turistas alemães.
Segundo as autoridades francesas (fonte: jornais Liberation e Le Monde), não houve negligência ou
falha humana nesse acidente, mas uma série de falhas mecânicas que culminou com a queda do avião.
Levando em consideração as notícias divulgadas e as declarações das testemunhas oculares do
acidente, imaginamos o seguinte diálogo entre a torre de controle e o comando do avião:
Torre: — AF 4590, positivo, permissão para a decolagem, câmbio!
Comando: — Ok, torre, dando seqiiência à decolagem, câmbio! (parte o avião)
Comando: — Atenção, tripulação, para a decolagem!
Torre: — AF 4590, há indícios de fogo no motor 2, câmbio!
Comando: — Positivo, iniciando corte no motor 2, câmbio!
Torre: — AF 4590, fogo aumentando no motor 2, câmbio!
Torre: — AF 4590, tentar manobra de aborto da decolagem, câmbio!
Comando: — Impossível, torre, tentando o procedimento 2, câmbio!
Sabendo que cada frase do diálogo acima durou, em média, 4 s, e supondo que a pista de decolagem do
aeroporto CDG tem 2,0 km e que o Concorde tem aceleração de 4,0 m/s” para poder levantar vôo, qual
a velocidade do avião no momento em que a torre conclui a ordem de abortar a decolagem?
a) 288,0 km/h
b) 345,6 km/h
© 403,2 km/h
d) 460,8 km/h
Qual é a distância percorrida pelo avião até aquele momento?
a) 1.600m
b) 1.152m
o 800m
d) 1.920 m
Supondo que a aceleração do reverso (mecanismo de frenagem do avião) do Concorde seja 2,5 m/s’,
qual seria a distāncia necessária para que os pilotos conseguissem parar o avião completamente?
a) 1.280 m
b) 1.000 m
e) 500m
d) 1.500 m
(FMTM-MG) Um avião começa a se preparar para o pouso, isto é, começa a reduzir sua velocidade de
cruzeiro, vc, 10 minutos antes de atingir, com velocidade vp, a cabeceira da pista, cuja extensão é
de 1.500 m. Suponha que ele utilize toda a pista para reduzir sua velocidade a 18 km/h, com a qual se
movimenta até o local de desembarque dos passageiros. Sabendo que o módulo das acelerações médias
de freamento desse avião são 0,30 m/s” no ar e de 2,4 m/s” na pista, determine:
a) a velocidade com que o avião atinge a cabeceira da pista;
b) a velocidade de cruzeiro desse avião.
PEC SO a RAN ER RR
Reprodução proibida Ari; 184 do Código Penal 6 Lei 0.610m6-18 de favordiro de 1908
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Realizem a experiência com supervisão de seu professor.
Análise de um movimento uniformemente variado
Em grupo, improvisem uma canaleta unindo, com fita crepe, dois tubos de PVC rígido com cerca de 1 m de com-
primento (foto D).
Apóiem os tubos numa pilha de livros de modo que a parte mais alta fique a 15 cm da superfície. Utilizem uma
régua milimetrada para medir distâncias ao longo da canaleta formada e marquem nos tubos as distâncias de 15 cm em
15 cm (foto TT).
Façam uma esfera percorrer, a partir do repouso, em experimentos sucessivos, as distâncias de 15 cm, 30 cm, 45 cm,
60 cm e 90 cm. Cronometrem o tempo de cada um dos percursos. Para facilitar a cronometragem, coloquem obstáculos
em cada posição, a fim de parar o cronômetro exatamente no instante da batida (foto HD.
Construam uma tabela indicando na 1 coluna os valores de s, em cm, e na 2º coluna os valores de +, em s.
Analisando a tabela, respondam:
* A esfera percorre distâncias iguais em intervalos de tem-
po iguais?
* O movimento é uniforme ou é variado?
* Sendo sọ = O (a esfera parte da origem) ev, = O (a :
esfera parte do repouso), os valores obtidos obedecem à p É
THE NEXT
= l . .
função s = 5 cf”, com q constante? Para isso, verifique
2s
2
se = Q é ou não constante.
* O movimento é uniformemente variado?
* Em caso afirmativo, qual é a aceleração do movimento da
esfera?
* Qual é a velocidade média do movimento da esfera após
percorrer 90 em?
* Qual é a velocidade da esfera ao atingir a posição cujo
espaço é s = 90 cm?
THE NEXT
THE NEXT
á Foto ll
å Foto III
CarítuLo 4 * MOVIMENTOS COM VELOCIDADE ESCALAR VARIÁVEL. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 69 e
É
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Ea
Eq
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m
E Neste capítulo estudamos o movimento
vertical de um corpo no vácuo nas
proximidades da superfície terrestre
e concluímos que é um MUV. Na foto, as gotas
de água que se desprendem da torneira,
1. INTRODUÇÃO
ç desprezando a ação do ar, realizam um MUV.
2. DESCRIÇÃO MATEMÁTICA
B. Introdução
O movimento vertical de um corpo próximo ao solo é chamado de queda livre quando o corpo é
abandonado no vácuo ou se considera desprezível a ação do ar. Seu estudo é idêntico ao de um lança-
mento na vertical, o qual difere da queda livre somente por apresentar uma velocidade inicial vertical.
Esses movimentos são descritos pelas mesmas funções horárias.
A aceleração do movimento vertical de um corpo no vácuo é denominada aceleração da gravidade
e indicada por g. Como o movimento se realiza nas proximidades da superfície terrestre, a aceleração da
gravidade é considerada constante. Assim, a queda livre e o lançamento na vertical são movimentos
uniformemente variados (MUV).
O valor da aceleração da gravidade, tomado ao nível do mar e a uma latitude de 45°, é:
g = 9,80665 m/s?
Esse valor é chamado aceleração normal da gravidade.
Na resolução de exercícios, para efeito de cálculo, arredondamos para 10 m/s”. Note que a acelera-
ção da gravidade tem um valor bastante alto quando comparado aos valores de aceleração de veículos.
Seu valor de praticamente 10 m/s” significa uma variação de velocidade de 10 m/s em cada segundo,
ou seja, de 36 km/h em cada segundo. Assim, em apenas 4 s de queda, o corpo atingiria 144 km/h se
não houvesse a resistência do ar.
B.. Descrição matemática
Em todos os fenômenos descritos neste capítulo despre-
zamos a resistência do ar.
Na queda, o módulo da velocidade escalar do corpo |
aumenta: o movimento é acelerado. Lançado vertical-
mente para cima, o módulo da velocidade escalar diminui
na subida: o movimento é retardado (figura 1).
ueda Lançamento para cima
ç p
O
D
Acelerado
= —
Retardado
s70 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
À medida que o corpo lançado verti- a) b) c)
calmente para cima sobe (figura 2a), sua
velocidade escalar decresce em módulo
até se anular na altura máxima (figura 2b).
Nesse instante ocorre mudança do sentido t
do movimento e o móvel passa a descer em H
|
movimento acelerado (figura 2c).
Estudemos os sinais da velocidade escalar
e da aceleração escalar segundo convenções
algébricas. Para isso, orientemos a trajetória
para cima (figura 3a). Segundo essa orienta-
ção, a velocidade escalar é positiva na subida
e negativa na descida (figura 3b). Na subida, o movimento é retardado e a aceleração escalar é negativa,
pois v e æ devem ter sinais contrários (figura 3c). Na descida, o movimento é acelerado e a aceleração
escalar continua negativa, pois œ e v devem ter o mesmo sinal (figura 3d).
Desse modo, orientando-se a trajetória para cima no percurso subida-descida, apenas o sinal da
velocidade escalar muda. A aceleração escalar é negativa, independentemente de o corpo subir ou
descer (a = —9).
O um
l
À
A
+
Figura 2.
a) 40 b) o 9 Or, O
v> — —
Q 8 Q g
9 ò é
v>0 € õ
E T
& < v<0
vo v<0 &<0
<0
Subida Descida Subida Descida
Figura 3. A velocidade escalar muda de sinal, mas a aceleração escalar é negativa quando
orientamos a trajetória para cima, esteja o corpo subindo ou descendo.
Baseando-nos na figura 4 e utilizando o mesmo raciocínio, concluímos: orientando-se a trajetória
para baixo, a velocidade escalar muda de sinal, mas a aceleração escalar é positiva, independente-
mente de o corpo subir ou descer (a = +9).
a) b) c) d)
v<0 v<0
£ g 2 g
v>0 $ 5
g 3 v>0
Vo B4 <
a>0 a>0
Subida Descida Subida Descida
O vo By Dry
Figura 4. A velocidade escalar muda de sinal, mas a aceleração escalar é positiva quando orientamos
a trajetória para baixo, esteja o corpo subindo ou descendo.
Assim, num lançamento vertical e numa queda livre, o sinal da aceleração escalar é determinado
somente pela orientação da trajetória e não depende do fato de o corpo estar subindo ou descendo.
Subir ou descer está associado apenas ao sinal da velocidade escalar.
Portanto:
Orientando-se a trajetória para cima: o = -g
Orientando-se a trajetória para baixo: a = +g |
As funções do MUV descrevem o lançamento na vertical e a queda livre:
s=es+twt+ LP
2
V= W% +t at
v? = vê + 20As
o = +g ®
Capítuio 5 è Movimento VERTICAL NO VÁcUO 71º
Os símbolos utilizados nessas funções são os mesmos da Cinemática Escalar e, portanto, conhecidos.
A aceleração escalar œ é +g (orientação da trajetória para baixo) ou —g (orientação da trajetória para
cima), independentemente de o corpo subir ou descer. O sentido do movimento (subida ou descida) é
dado pelo sinal da velocidade escalar, de acordo com a orientação da trajetória. Lembre-se de que essas
funções descrevem a ida e a volta do móvel, isto é, no MUV existe uma função única tanto para a ida
como para o retorno.
Foi Galileu Galilei quem estabeleceu a lei da queda dos corpos. Na página 80, em História da Física,
conheça as descobertas fundamentais, no campo da Física e da Astronomia, de Galileu Galilei.
peenema,
iniinniniamis uniram?
aaa ii tia
es si ns ar atoa a di ii ii caia ici nd iii ie iene onde seara oiii
* Comparando acelerações co com a ada gravidade l
e O valor da aceleração da gravidade nas proximidades da su-
perfície terrestre (g) é frequentemente usado na comparação
entre acelerações. Por exemplo, na categoria Top Fuel, os
dragsters atingem na arrancada a velocidade de 160 km/h em
somente 0,8 s e que corresponde a uma aceleração média de
55 m/s”, ou seja, aproximadamente 5,5g.
e O piloto de corrida David Purley, numa colisão em Silverstone,
inglaterra, em 13 de julho de 1977, sobreviveu a uma desace-
leração em que a velocidade de seu veículo variou de 173 km/h EMOÇÃO De ACELERAÇÕES
para zero, num percurso de apenas 66 cm. Ficou sujeito então À DE 5g!
a uma desaceleração de 178,49.
e Em aviação, ao efetuar manobras, o piloto pode sentir diferen-
tes sensações: em algumas, como no /oop, o sangue tende a
se concentrar nos seus membros inferiores. Nesse caso, diz-
se que o piloto sofre “g positivo”. Em outras situações, como
no /oop invertido, o sangue tende a se concentrar na cabeça.
Diz-se então que o piloto sofre “g negativo”. “Gente, vocês foram avisados sobre os potenciais
riscos da experiência. Agora, suas faces deverão
retornar ao normal em 18 ou 24 horas."
Loop direto Loop invertido
Ag tg Ss)
TS PEN
a
ca É N n
g positivo g =s
te
e Um piloto de avião, em manobras arriscadas, pode suportar até 10g durante 3 s. Entretanto, sob essa
aceleração, o avião, dependendo de sua estrutura, poderá até perder as asas.
e Uma pessoa sujeita a acelerações da ordem de 3g positivo, por algum tempo, terá grande dificuldade
para levantar os braços e as pernas. Se a aceleração estiver entre 4g e 5,5g positivos, ela poderá perder
completamente a visão, chegando a perder a consciência se essa condição perdurar por mais de 5 s.
A
CERCOCLCLANCLRONLETLOR CACAU RAR CNL CRESC CORO O NARA AURA ENC CAR SD SUR UERR US DAN EN CA OCA SRA NERO Ren o eau cre era nna casas c cancer ass
72 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a
resistência do ar e adote g = 10 m/s”, Determine:
a) as funções horárias do movimento;
b) o tempo de subida, isto é, o tempo para atingir a altura máxima;
c) a altura máxima;
d) emt = 6 s, contados a partir do instante de lançamento, o espaço do móvel e o sentido do movimento;
e) o instante e a velocidade escalar quando o móvel atinge o solo.
Solução:
Orientação da trajetória para cima (v, > 0). A aceleração é negativa (0 = -g = —10m/s?) Das
durante todo o movimento. Origem dos espaços: no solo. Origem dos tempos: con- — + o) v=0
tados do início do lançamento, o que determina sọ = 0. L
a) As funções são: 4-
2
s=9+unt+ ČP > s= 50- 1% > [s=50-5º) O +
2 2 h,
v=v +t > |[v=50-10t| © +
b) Quando o móvel atinge a altura máxima (Amar), ele muda de sentido (v = 0). Na
equação O vem:
0
v=50-10t=> 0=50-10t = (tempo de subida) a=-g
c) Substituindo t por 5 s na equação ©, determinamos a altura máxima (s = Aa):
s = 50t- 5Ë > hna =50:5-5:5 > | hna = 125m
O mesmo resultado poderia ser obtido pela equação de Torricelli, se não tivéssemos o tempo de subida:
v? = vi + 20As => 0=50-2-:10-h O | hna = 125m
d) Espaço do móvel em t = 6 s. Substituindo esse valor na equação s = 50t — 5”, temos:
Em t = 6 s o móvel está descendo, pois sabemos que em 5 s mudou de sentido (veja item b). Podemos ve-
rificar esse fato por meio da função horária da velocidade (v = 50 — 108). Para t = 6 s, temos:
v = 50 — 10:6 = v; = -10 m/s
Como a velocidade escalar é negativa, o móvel está descendo.
e) Quando o móvel atinge o solo, seu espaço volta a ser nulo. Lembre-se de que o espaço apenas localiza o
móvel ao longo da trajetória. Na equação Q, fazendo s = 0, vem:
t, = 0 (instante inicial)
(chegada ao solo)
v = 50 — 10t = 50 — 10-10 >
Resposta: a) s = 50¢ — 5ť° e v = 50 — 10t (s em m e tem s); b) 5 s; c) 125 m; d) 120 m, descendo; e) 10 s e 50 m/s
(em módulo)
sso + |
A velocidade escalar é:
Observações:
e O tempo do movimento ida e volta (10 s) é o dobro do tempo de subida, isto é, o intervalo de tempo da subida
é igual ao intervalo de tempo da descida.
e A velocidade inicial é + 50 m/s e a de chegada ao solo é —50 m/s, isto é, as velocidades de lançamento e de
chegada ao solo têm o mesmo módulo.
Essas propriedades só valem quando o ponto de partida coincide com o ponto de chegada. Não valem quando
há resistência do ar ou o móvel tem propulsão própria.
CarítuLo § + Movimento VERTICAL NO VÁCUO 73º
"
5
faz]
ma
t
Abandona-se uma pedra do alto de um edifício e esta atinge o solo 4 s depois. Adote g = 10 m/s” e despreze a
resistência do ar. Determine:
a) a altura do edifício;
b) o módulo da velocidade da pedra quando atinge o solo.
Solução:
Orientemos a trajetória para baixo (o = +g = +10 m/s?)
a partir do ponto de abandono da pedra (v, = 0, sy = 0).
at? 2
s=s+ut+ > s Ds s=5
2 2
v =bn + at > v= 10t
Quando t = 4 s, vem:
h=s=5:(4) >
Respostas: a) 80 m; b) 40 m/s
Dois móveis Á e B são lançados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo
ponto. O móvel À é lançado no instante t = 0 s e o móvel B é lançado 2 s depois. Determine, a contar do ponto de
lançamento, a posição e o instante do encontro dos móveis. Adote g = 10 m/s’ e despreze a resistência do ar.
Solução:
Orientemos a trajetória para cima (a = —g). O móvel À foi lançado no início da contagem dos tempos (t = 0 s).
Assim, após t segundos, ele terá andado durante t segundos e em sua função temos a variável t. O móvel B
parte 2 s depois. Após t segundos, B andou durante (t — 2) segundos, pois partiu depois. Logo, nas funções do
móvel B teremos (t — 2) em lugar de t.
B está deslocado lateralmente somente para efeito de ilustração; seu lançamento é do mesmo ponto.
Sabemos que s = s) + ut 4 Hi e v =n + at. Com s = 0, vy = +15 m/s e a = —10 m/s°, vem:
Móvel A
2
sa = 15 — 10r => s, = 15t - 5
2 DAS
v,= 15 10t
Q=-g
Móvel B
e4- N Vo Vo
ss = 15-¢- 2- — => s, =15:¢€ -2-5 €-
v =15-10- 0-2) o A B
t=0 (2 s depois)
No instante de encontro: $4 = Sp
Igualando essas expressões, vem:
15t- 5P = 15 - 2 - 54 - D? > 15t — 5P = 15t — 30 - 5P + 20t — 20 => 0 = -30 + 20t — 20 >
S 50-20 = (F255)
Em qualquer uma das equações, s, ou Sg, determinamos o ponto de encontro.
Substituindo t por 2,5 s em s, = 15t — 5t’, vem:
Resposta: O encontro ocorre 2,5 s depois do lançamento do primeiro e a 6,25 m do ponto de lançamento.
Uma pedra A é lançada verticalmente para cima a partir do solo, com a velocidade de 40 m/s. Simultaneamente,
na mesma vertical, outra pedra B é abandonada a partir do repouso do alto de um edifício com 80 m de altura.
Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s” para a aceleração da gravidade, determine:
a) o instante em que as pedras colidem;
b) a altura, relativamente ao solo, em que ocorre a colisão.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.81G:te 19 de fevereiro de 1998.
Solução: (mA
a) Para equacionar os dois movimentos é necessário adotar para ambos a 80b----------- 2. =0
mesma origem e a mesma orientação da trajetória. Escolhendo a origem !
no solo e orientando a trajetória para cima, teremos: '
Pedra A: œ = -g = —10 m/s7; va = +40 m/s; s = 0 i
Pedra B: a = -g = -10 m/s?; va = 0; so = 80 m '
Substituindo esses valores na função horária do MUV de cada pedra: '
s4 = 40t — 5P i
a
ssar $e >d , 10m
Sg = 80 — 5t ms
No instante de encontro: s, = sp. Então: 0 A
40t - 5 = 80 — 5t? => 40t = 80 5
b) Para determinar a posição de encontro, substituímos o valor do instante de encontro numa das funções ho-
rárias:
s, = 40:2-5. (@? > s, = 80 — 20 => s, = 60m
Respostas: a) 2 s; b) 60 m
Entre na rede
| No endereço eletrônico http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/quedalivre/
| quedalivre.htm (acesso em 13/2/2007), você pode realizar simulações de uma queda livre, mo-
| dificando o valor da velocidade de lançamento e a posição inicial do móvel. |
M
P.93
P.94
P.95
P.96
P.97
P.98
Um projétil é atirado verticalmente para cima a partir do solo, com velocidade inicial de 20 m/s. Despreze a
resistência do ar e adote a origem dos espaços no solo com a trajetória orientada para cima (dado: g = 10 m/s”).
Determine:
a) as funções horárias do movimento;
b) o tempo de subida;
c) a altura máxima atingida;
d) emt = 3 s, o espaço e o sentido do movimento;
e) o instante e a velocidade escalar quando o projétil atinge o solo.
Do topo de um edifício, a 20 m do solo, atira-se um corpo verticalmente para cima com velocidade inicial de
10 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s”, determine:
a) o tempo de subida do corpo; b) o tempo de chegada ao solo; c) a altura máxima.
De um andar de um edifício em construção caiu um tijolo, a partir do repouso, que atingiu o solo 2 s depois
(dado: g = 10 m/s”). Desprezando a resistência do ar, calcule:
a) a altura do andar de onde caiu o tijolo;
b) a velocidade escalar do tijolo quando atingiu o solo.
(EEM-SP) Calcule a relação entre as alturas atingidas por dois corpos lançados verticalmente com velocidades
iniciais iguais, um na Terra, outro na Lua. Sabe-se que a aceleração da gravidade na Terra é 6 vezes maior do que
na Lua. Desprezam-se as resistências opostas aos movimentos.
Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto e com velocidades iniciais iguais a 30 m/s.
O segundo corpo é lançado 3 s depois do primeiro. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s*,
determine:
a) o instante e a posição do encontro; b) as velocidades dos corpos no instante do encontro.
Dois corpos estão sobre a mesma vertical, à distância de 30 m um do outro. Abandona-se o de cima e, após 2 s,
o outro. Após quanto tempo e em que ponto se dará o encontro dos dois?
Despreza-se a resistência do ar (dado: g = 10 m/s”.
CarítuLo 5 e MovimENTO VERTICAL NO Vácuo 75º
esses
P.99
P.100
P.101
P.102
P.103
P.104
P.105
P.106
P.107
P.108
cios propostos
de recapitulação
Um objeto é lançado verticalmente para cima e volta ao solo após 4 s do lançamento. Considerando g = 10 m/s”
e desprezando a resistência do ar, calcule:
a) a velocidade de lançamento vo;
b) a altura máxima atingida.
Um corpo é atirado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 16 m/s. Considerando g = 10 m/s?
e desprezando a resistência do ar, determine:
a) a altura máxima;
b) o tempo empregado para atingir o ponto mais alto da trajetória;
c) o espaço e a velocidade escalar do corpo 3 s depois de ser lançado.
(UFPE) No instante t = 0 um menino lança uma pedra verticalmente para cima. Após 1,0 s, o movimento da
pedra ainda é ascendente com uma velocidade que é a metade da velocidade inicial de lançamento. Supondo
que o atrito com o ar pode ser desprezado, calcule a altura máxima atingida pela pedra, em metros.
Adote g = 10 m/s”.
Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de 60 m/s. Três segundos
depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de 80 m/s.
Considerando g = 10 m/s’ e desprezando a resistência do ar, calcule:
a) o tempo gasto pela segunda esfera até encontrar a primeira e a altura do encontro;
b) as velocidades de cada esfera no momento do encontro.
Exprima os resultados em m/s e km/h.
Duas pedras descrevem trajetórias paralelas ao serem lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo
instante. À primeira é lançada com velocidade de 20 m/s de uma plataforma situada à altura de 20 m e a segunda
é lançada a partir do solo com velocidade de 30 m/s. Adotando g = 10 m/s” e desprezando a resistência do ar,
determine:
a) o instante em que as pedras se cruzam;
b) a altura em que ocorre o cruzamento em relação ao solo;
c) as velocidades das pedras ao se cruzarem,
Um objeto é abandonado de um ponto situado a 20 m do solo. Desprezando o efeito do ar e considerando
g = 10 m/s”, determine:
a) a velocidade com que o objeto atinge o solo;
b) a velocidade média do objeto durante a queda até o solo.
Um corpo é abandonado de uma altura de 45 m. Considere g = 10 m/s”, despreze a resistência do ar e determine
o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
Abandona-se uma pedra de uma altura H do solo, num local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s” e o efeito
do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre 3 H . Calcule:
a) o tempo de queda;
b) a altura H de queda.
(Unicamp-SP) Uma torneira, situada a uma altura de 1,0 m acima do solo, pinga lentamente à razão de 3 gotas
por minuto.
a) Com que velocidade uma gota atinge o solo?
b) Que intervalo de tempo separa as batidas de 2 gotas consecutivas no solo?
Considere, para simplificar, g = 10 m/s”.
(Unicamp-SP) Um malabarista de circo deseja ter três bolas no ar em todos os instantes. Ele arremessa uma
bola a cada 0,40 s (considere g = 10 m/s).
a) Quanto tempo cada bola fica no ar?
b) Com que velocidade inicial deve o malabarista atirar cada bola para cima?
c) À que altura se elevará cada bola acima de suas mãos?
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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E propostos
Nota: Nos testes seguintes despreze a resistência do ar.
-T.79
Te
: (UFJF-MG) Um astronauta está na superfície da
Lua, quando solta simultaneamente duas bolas
maçicas, uma de chumbo e outra de madeira,
de uma altura de 2,0 m em relação à superfície.
Nesse caso, podemos afirmar que:
a) a bola de chumbo chegará ao chão um pouco
antes da bola de madeira, mas perceptivel-
mente antes.
b) a bola de chumbo chegará ao chão um pouco
depois da bola de madeira, mas perceptivel-
mente depois.
c) a bola de chumbo chegará ao chão ao mesmo
tempo que a bola de madeira.
d) a bola de chumbo chegará ao chão bem antes
da bola de madeira.
e) a bola de chumbo chegará ao chão bem de-
pois da bola de madeira.
(UFSM-RS) Um corpo é atirado verticalmente para
cima, a partir do solo, com uma velocidade de
20 m/s. Considerando a aceleração gravitacional
g=10 m/s” e desprezando a resistência do ar, a
altura máxima, em metros, alcançada pelo cor-
po é:
a) 15 b) 20 co) 30 d) 60 e) 75
(Vunesp) Para deslocar tijolos, é comum vermos
em obras de construção civil um operário no
solo, lançando tijolos para outro que se encon-
tra postado no piso superior. Considerando o
lançamento vertical, a resistência do ar nula, a
aceleração da gravidade igual a 10 m/s” e a dis-
tância entre a mão do lançador e a do receptor
3,2 m, a velocidade com que cada tijolo deve ser
lançado para que chegue às mãos do receptor
com velocidade nula deve ser de:
a) 5,2 m/s d) 8,0 m/s
b) 6,0 m/s e) 9,0 m/s
c) 7,2 m/s
* (Unitau-SP) Um modelo de foguete é impulsio-
nado verticalmente para cima, com a aceleração
constante de 50 m/s”. O motor pára de funcionar
após 4 s do lançamento. Em que altura está o
foguete, quando o motor pára?
a) 100m d) 350m
b) 250m e) 400m
c) 300m
(Unitau-SP) Na questão anterior, desprezando a
resistência do ar e usando g = 10 m/s”, podemos
dizer corretamente que a altura máxima atingida
pelo foguete é:
a) 1.800 m d) 3.500 m
b) 2.400 m e) 4.000 m
c) 3.000 m
CaríruLo 5 + MovimENTO VERTICAL NO Vácuo
(UEM-PR) Uma torneira localizada a uma altura H
em relação ao solo é deixada semi-aberta e come-
ça a gotejar. Considere que as gotas abandonam a
torneira com velocidade inicial nula, que o inter-
valo de tempo entre duas gotas consecutivas que
abandonam a torneira é T, e que g é a aceleração
da gravidade local. Nessas condições, é correto
afirmar que:
01) a distância percorrida por uma gota no instante
em que a próxima gota abandona a torneira é
sT
z`
02) a velocidade de uma gota no instante em que
a próxima abandona a torneira é gT.
04) a distância entre duas gotas consecutivas é
constante durante toda a trajetória.
08) o tempo que uma gota demora para atingir o
solo é 28.
VH
16) a velocidade com que a gota atinge o solo é
28H.
32) o intervalo de tempo entre duas gotas conse-
cutivas que atingem o solo é 27.
Dê como resposta a soma dos números associa-
dos às afirmativas corretas.
(PUC-Campinas-SP) Um foguete sobe vertical-
mente. No instante t = 0 em que ele passa pela
altura de 100 m, em relação ao solo, subindo com
velocidade constante de módulo 5,0 m/s escapa
dele um pequeno parafuso. Considere g = 10 m/s”
e despreze o efeito do ar. O parafuso chegará ao
solo no instante t, em segundos, igual a:
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5,0
e) 3,0
(Vunesp) Um corpo A é abandonado de uma altu-
ra de 80 m no mesmo instante em que um corpo
B é lançado verticalmente para baixo com velo-
cidade inicial de 10 m/s, de uma altura de 120 m.
Desprezando a resistência do ar e considerando
a aceleração da gravidade como sendo 10 m/s”, é
correto afirmar, sobre o movimento desses dois
corpos, que:
a) os dois chegam ao solo no mesmo instante.
b) o corpo B chega ao solo 2,0 s antes que o cor-
po A.
c) o tempo gasto para o corpo À chegar ao solo
é 2,0 s menor que o tempo gasto pelo B.
d) o corpo À atinge o solo 4,0 s antes que o cor-
po B.
e) o corpo B atinge o solo 4,0 antes que o cor-
po A.
O uva |
* (UFRJ) Um corpo em queda livre percorre uma
certa distância vertical em 2 s; logo, a distância
percorrida em 6 s será:
a) dupla.
b) tripla.
c) seis vezes maior.
d) nove vezes maior.
e) doze vezes maior.
' Um corpo em queda vertical no vácuo possui, a
partir do repouso, uma velocidade v após per-
correr uma altura A. Para a velocidade ser 3v, a
distância percorrida será de:
a) 2h d) 6h
b) 3h e 9h
©) 4h
(PUC-Campinas-SP) Um móvel é abandonado em
queda livre percorrendo, a partir do repouso,
uma distância d durante o primeiro segundo de
movimento. Durante o terceiro segundo de movi-
mento, esse móvel percorre uma distância:
a) dV3 d 7d
b) 3d e) 9d
c) 5d
(Mackenzie-SP) Joãozinho abandona do alto de
uma torre um corpo a partir do repouso. Durante
a queda livre, com g constante, ele observa que
nos dois primeiros segundos o corpo percorre a
distância D. À distância percorrida pelo corpo
nos 4 s seguintes será:
a) 4D d) 8D
b)5D e) 9D
c) 6D
(Uece) Em um circo, um malabarista lança bolas,
verticalmente para cima, que atingem uma altu-
ra máxima A. No caso de jogá-las para que elas
fiquem o dobro do tempo no ar, a nova altura
máxima será:
a) 2h c) 6h
b) 4h d) 8h
(UFPA) Em um local onde a aceleração da gra-
vidade vale 10 m/s”, deixa-se cair livremente
uma pedra de uma altura de 125 m em relação ao
solo. Dois segundos depois, uma segunda pedra
é atirada verticalmente da mesma altura. Saben-
do-se que essas duas pedras atingiram o solo ao
mesmo tempo, a velocidade com que a segunda
pedra foi atirada vale:
a) 12,3 m/s d) 41,2 m/s
b) 26,6 m/s e) 57,5 m/s
o 32 m/s
(UFMT) Dois projéteis iguais são atirados da
mesma posição (40 m acima do solo), vertical-
mente, em sentidos opostos e com a mesma
velocidade. Em 2 s o primeiro projétil atinge o
solo. Depois de quanto tempo da chegada do
primeiro o segundo atingirá o solo? (Despreze
qualquer atrito e considere g = 10 m/s”)
als b2s ©®3s dD4s ss
(Olimpíada Brasileira de Física) Dois estudantes
decidiram medir a velocidade das águas de um
rio usando apenas uma trena e conhecendo o
valor da aceleração gravitacional. Após algu-
mas tentativas perceberam que, abandonando
simultaneamente uma pedra do alto da ponte e
um barquinho de papel nas águas do rio, a pedra
atingia o barquinho quando ele era colocado na
água a 3 m do ponto de impacto e a pedra caía
em queda livre por 5 m. De posse desses resulta-
dos, eles chegaram à conclusão correta de que a
velocidade média da correnteza do rio tinha um
valor, em m/s, próximo de:
a) 5 b) 4 03 d) 2 e) l
Dado: g = 10 m/s”
(UEM-PR) Um vaso cai de uma sacada a 20 m de
altura. Sobre a calçada, na direção da queda do
vaso, encontra-se parado um homem de 2,0 m
de altura. Uma pessoa distante 34 m, que está
observando tudo, grita para que o homem saia
do lugar após 1,5 segundo desde o exato instante
em que o vaso começa a cair. Ao ouvir o alerta,
o homem leva 0,05 segundo para reagir e sair do
lugar. Nessa situação, considerando a velocidade
do som no ar de 340 m/s, assinale a alternativa
correta. (Use g = 10 m/s2.)
a) O vaso colide com o homem antes mesmo de
ele ouvir o alerta.
b) Ainda sobra 1,6 segundo para o vaso atingir a
altura do homem quando este sai do lugar.
œ Pelo fato de a pessoa ter esperado 1,5 segundo
para emitir o alerta, o homem sai no exato
momento de o vaso colidir com sua cabeça, a
2,0 m de altura do solo.
d) O vaso está a aproximadamente 6,4 m do solo
quando o homem sai do lugar.
e) Todas as alternativas estão incorretas.
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Realize a experiência com a supervisão de seu professor.
Determinação da aceleração da gravidade
Com uma bureta e um suporte, monte o dispositivo esquematizado na figura, de modo que a altura A corresponda
a aproximadamente 1 m.
Regule a torneira da bureta de maneira que se estabeleça uma segjiiência de gotas de água caindo. Ajuste com
cuidado a saída das gotas, de modo que o instante de saída de uma gota coincida com a batida da gota anterior
no prato.
Meça com um cronômetro o intervalo de tempo At, correspondente a um certo número n de gotas saindo. O inter-
ty
n
valo de tempo Aż da queda de uma gota corresponderá a At =
. Repita a experiência pelo menos quatro vezes e
1
calcule em cada caso a aceleração de queda da gota pela fórmula: h = qa"
Construa uma tabela de acordo com o modelo abaixo:
Média:
Ni
Responda:
* Por que se recomendou a realização de pelo menos quatro vezes o experimento?
e Quais os fatores prováveis de erro no processo?
* Você desprezou a resistência do ar na queda das gotas. Isso teve muita influência no resultado? Por quê?
COI C RL O A RU LOCO DLC CA LELLO DEDICADO UCL ONILNOUNLSO CDL OCT IO CONC DONO UCL RNC OSLO SODA RLC ADC SUS AU SUA na SUA as err anca Urca ds
Capítulo 5 e MOVIMENTO VERTICAL NO Vácuo 79º
HISTÓTIAa Da FÍS
Eri
TT
IL SAGGIATORE
Nel uale NDA a
Conbilancia efquifita é giuhta i
fipondevanole cofecontemite i
nella
LIBRA-ASTRONOMICA ETILO SOFICA |
DI LOTARIO EA mao]
“Serimo in forma difeter
RE Dnit hons DI
a o
1 VIRGINIO CESARINI
| AceºLinceo M'di Camera diN S-
DLE
GALILEO GALILEI
| AcóLinceo Nobile Borentino
Filofofo eMatematico Primario
. del
Sera Gran Duca di'Tofcana. |
A Capa do livro O ensaiador (1623),
no qual Galileu se defende de ataques
do padre jesuíta Orazio Grassi
e faz reflexões sobre novos métodos
científicos.
Enquanto isso...
Consulte a Linha do tempo, nas pri-
meiras páginas deste volume, onde são
destacados os principais acontecimentos
históricos que ocorreram na época de é
Galileu Galilei e personagens importan-
tes, em vários ramos de atividades, que
viveram nesse mesmo período. Dentre
eles, salientamos:
e Cardeal de Richelieu (Armand Jean
Du Pleiss, 1585-1642), político fran-
Ica
GALILEU GALILE!
BIBLIOTECA NACIONAL, MADRI / CID
A Capa de uma edição de 1700 do Diálogo sobre
Adotando novas maneiras de abordar os fenômenos, o cientista italiano GALILEU GALILEI (1564-1642) fez
descobertas fundamentais no campo da Física e da Astronomia, revolucionando a ciência de sua época. Galileu,
considerado o primeiro grande gênio da ciência moderna, valorizou a técnica, a experimentação e a descrição
do que se passa no mundo. Em vez de procurar o porquê das coisas, interessou-se em saber como os fenômenos
acontecem, descrevendo-os quantitativamente, procurando e descobrindo as relações entre eles.
Galileu mostrou que a Natureza é um conjunto de fenômenos mecânicos e advertiu que é preciso apren-
der a ler “o grande livro da Natureza”, escrito em caracteres matemáticos. Logo de início afastou as idéias
aristotélicas dos “corpos leves” e “corpos pesados” que tenderiam aos seus “lugares naturais”. Como explicar,
perguntava ele, que um barco flutua na água se é um “corpo pesado” e, como tal, seu “lugar natural” seria o
centro da Terra e sua “tendência natural” seria cair? Por meio de experiências e brilhante argumentação, Galileu
contestou as teorias de Aristóteles, defendidas ardentemente pela Igreja Católica.
“AKGLATINSTOCK
os dois principais sistemas do mundo, de Galileu
Galilei, na qual aparecem representados
Aristóteles, Ptolomeu e Copérnico.
cês, foi primeiro-ministro do rei Luís
XIII e arquiteto do absolutismo real
na França.
Evangelista Torricelli (1608-1647),
físico italiano, discípulo de Galileu,
inventou o barômetro e conceituou a
pressão atmosférica.
René Descartes (1596-1650), físico,
matemático e filósofo, criou a Geome-
tria Analítica. No Discurso do Método,
seu mais célebre tratado filosófico, ex-
põe sua teoria de que o Universo seria
todo feito de matéria em movimento.
Giovanni Domenico Campanella
(1568-1639), filósofo renascentista
italiano, poeta e teólogo dominicano.
Segundo Campanella, as ciências tra-
tam das coisas como elas são, cabendo
à filosofia explicar as coisas em seu
sentido mais profundo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CROLO LL DLL DODASNONDAGA CANCER CRC ELO LES CRB LUD OCO OL OL OE SOL DLU DORSO CO Can RASA Don ne nara nene s ae enesansesacnenoa nene an orto so ses enero das
«80
Os FUNDAMENTOS DA Física
Foi Galileu Galilei quem estabeleceu a lei da queda dos
corpos, afirmando que, quando um corpo está caindo livre-
mente, sua aceleração é constante e é a mesma para todos
os corpos, leves ou pesados, grandes ou pequenos. Segundo
a lenda, ele teria realizado uma demonstração pública desse
fato, abandonando simultaneamente vários corpos do alto
da Torre de Pisa e verificando que chegavam juntos ao solo.
Sabe-se que Galileu realizou experimentos utilizando planos
inclinados, fazendo rolar esferas de pesos e materiais diferen-
tes. As esferas adquirem velocidades bem menores do que
em uma queda vertical, tornando o movimento mais lento e
facilitando a sua análise.
As observações e descobertas astronômicas realizadas por
Galileu, utilizando um telescópio, levaram-no a concluir que,
ao contrário do que se pensava, os astros não são constituídos
por substâncias diferentes das que formam as coisas de nosso
mundo, e que, longe de serem perfeitos, apresentam manchas,
como o Sol, e rugosidades, como a Lua. Galileu foi ardente
OBRA DE JEAN-LEON HUENS
defensor do sistema heliocêntrico proposto por Copérnico, A Pintura de Jean-Leon Huens, que |
segundo o qual os planetas, inclusive a Terra, giram em torno representa Galileu tentando convencer |
do Sol. eclesiásticos da validade de suas :
Por suas idéias revolucionárias e seu espírito rebelde, Ga- descobertas e teorias.
lileu Galilei foi perseguido e condenado pela Inquisição. Foi
obrigado a abjurar publicamente suas teorias, negando inclu-
sive que a Terra se movesse no espaço. Galileu foi condenado
à prisão domiciliar pelo resto de sua vida. O mito de que,
após a sua abjuração, o genial cientista teria murmu-
rado, referindo-se à Terra: “Eppur si muove" (“No
entanto se move”) reforça a idéia de que Galileu
jamais abandonou suas teorias.
Em 1992, três séculos depois de ser
condenado pela Inquisição, Galileu foi
absolvido das acusações pelo papa João
Paulo Il.
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Galileu face ao Tribunal da »>
Inquisição, afresco de Nicolo
Barabino, 1880. Palazzina
Celesia, Gênova, Itália.
AKG-LATINSTOCK
e Francis Bacon (1561-1626), político, 1616), romancista, dramaturgo e poeta atividades como diplomata, empre- |
filósofo e ensaísta inglês, em sua obra espanhol, tem em Dom Quixote de La sário, colecionador e teórico de arte, |
filosófica exalta a ciência como benéfi- Mancha sua obra mais importante. o que o fez famoso e requisitado nas
ca, devendo restabelecer o império do e William Shakespeare (1564-1616), cortes mais luxuosas da Europa.
homem sobre as coisas. dramaturgo e poeta inglês, é consi- e Claudio Monteverdi (1567-1643), |
è Johannes Kepler (1571-1630), astrô- derado por muitos o mais importante compositor italiano, é considerado o j
nomo alemão, estabeleceu as três leis autor de língua inglesa. “pai da ópera”. Foi regente do coro |
do movimento planetário. e Peter Paul Rubens (1577-1640), pin- da Basílica de San Marco, em Veneza |
e Miguel de Cervantes e Saavedra (1547- tor flamengo, desenvolveu também (Itália). i
CapítuLo 5 e Movimento VERTICAL NO VÁCUO 81 o
1. GRÁFICOS
2. FUNÇÕES BÁSICAS
3. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA
4. CÁLCULO DE ÁREAS
5. GRÁFICOS DO MU
6. GRÁFICOS DO MUV
E 1. Gráficos
E Neste capítulo, trabalhamos graficamente com as funções:
constante, do 1º grau e do 2º grau. Essas funções estão
presentes no estudo cinemático do MU e do MUV. Desse
modo construímos os gráficos do espaço, da velocidade
escalar e da aceleração escalar para esses movimentos e
discutimos detalhadamente suas propriedades. Em seguida,
analisamos outras representações gráficas, correlacionando
grandezas nos mais diversos campos do conhecimento.
Nos fenômenos físicos há grandezas que se inter-relacionam e variam segundo determinadas fun-
ções. No caso particular de um movimento, o espaço s varia em função do tempo t. Uma forma simples
para indicar essa função é a tabela horária; outra forma é procurar a expressão analítica s = f(t). Outra
apresentação para a função s = f(t) é a construção de um gráfico, com o qual se mostra a relação entre
as variáveis espaço s e tempo t.
Construções gráficas com duas variáveis são feitas no chamado plano cartesiano. É o plano consti-
tuído por dois eixos x e y, perpendiculares entre si, que se interceptam num ponto denominado origem
(figura 1a). A um ponto P associamos um par ordenado (x, y) de números reais, chamado coordenadas
do ponto P (figura 1b). A coordenada x é chamada abscissa do ponto P (figura 1c) e a coordenada y é
a ordenada de P (figura 1d).
a)
AY
Plano cartesiano
b
) ay
3 l---- sP2,3)
2+ i
14%
+— + >
0 1 2 xX
Coordenadas de P:
x=2,y=3
c)
Ay
3t----0P
2+
17
Ls» >
0 12 x
Abscissa de P:
x=2
d)
Ordenada de P:
y=3
Figura 1.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9:6tÓ-de 19 de fevereiro de 1998.
Vejamos alguns exemplos de leitura de coordenadas (figura 2).
a) Ay
p abscissa: x = 1
P ordenada: y = 2
b) Ay
Q abscissa: x = O
ordenada: y = 3
Figura 2. Leituras de coordenadas.
c)
abscissa: x = 2
ordenada: y = 0
e
agd
>
fae]
"3
m
d)
abscissa: x = 3
ordenada: y = —2
As coordenadas x e y são frequentemente substituídas pelas variáveis do fenômeno físico em estudo.
Por exemplo, em Cinemática, temos: espaço s e tempo t; velocidade escalar v e tempo t; aceleração
escalar œ e tempo t.
B. Funções básicas
Recordemos os gráficos de algumas funções estudadas em Matemática e que ocorrem freqüen-
temente em Física.
2.1. Função constante
É a função do tipo y = k, sendo k um número real. Exemplos: y = 5; y = —3. O gráfico de uma função
constante é uma reta paralela ao eixo do x que passa pelo ponto (x = 0, y = k), conforme a figura 3.
Quando um ponto material está em repouso (por exemplo, no km 100 de uma rodovia), seu espaço
s é constante com o tempo (figura 4). A velocidade escalar v de um movimento uniforme é uma função
constante com o tempo (figura 5), bem como a aceleração escalar æ de um MUV (figura 6).
Figura 3.
Figura 5. No MU a velocidade escalar
é constante com o tempo.
s (km)
Figura 4. Um corpo em repouso: seu
espaço é constante com o tempo.
x
Figura 6. No MUV a aceleração escalar
é constante com o tempo.
CONDADOS ODAS LULU LN CASA OLEA SOCO ORADORES EA LUCLA LOCA D RARE R A DARCI PA NRO VO SOON OA CEDAR En ERAS OUR A asas so UA santa sas D o
CarituLo 6 e Gráricos. Gráficos co MU E DO MUV
2.2. Função do 1º grau
Função do 1º grau é a função da forma y = a + bx, na qual a e b são números reais, sendo b = 0.
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta que passa pelo ponto (0, a), conforme a figura 7.
Ay
y=a+bx
a
>
0 x
Figura 7.
Exemplos:
y=a+ bx
y=4+2x
(a=4,b= 2)
>
X
Figura 8. Gráfico da função y = 4 + 2x. Figura 9. Gráfico da função y = 8 — 4x.
A função horária do movimento uniforme s = Sọ + vt é do 1º grau em t (figura 10) e a função
v = v + at da velocidade escalar do MUV também é do 1º grau em t (figura 11).
AS
S = So + vt AV
v=vy+ot
So T
— ——>
0 t
Figura 10. Função horária s = f(t) de um MU. Figura 11. Função da velocidade escalar de um MUV.
Função linear é uma função do 1° grau no caso particular em que
a = 0. Assim, a função linear tem a forma y = bx, em que b é um número
real não-nulo. O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela
origem — ponto (0, 0) — do plano cartesiano (figura 12).
AY y=bx
Figura 12.
° 84 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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2.3. Função do 2º grau
Função do 2º grau é a função da forma y = a + bx + cx”, na qual a, be c são números reais, sendo
co.
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola (figura 13). Se o coeficiente c é positivo, a pa-
rábola tem concavidade voltada para cima (figura 13a); se c é negativo, a concavidade é voltada para
baixo (figura 13b).
a)
Ay
c>0
—+ >
0 x
Exemplos:
y=a+ bx+ cx?
y=8-4x+x
(a=8,b 4,c= 1)
b)
Ay
Figura 13.
y=a+bx+ ca
y=2+6x- 1,5x
(a=2,b=-6,c=-1,5)
0 1 2 3 4 x
Figura 14. Parábola de concavidade
voltada para cima (c > 0).
Figura 15. Parábola de concavidade
voltada para baixo (c < 0).
x z . . . Oo
A função horária do movimento uniformemente variado s = Sọ + vot + 2“ é do 2º grau em t.
O sinal da aceleração escalar œ determina a concavidade da parábola. Se o > 0, a concavidade da
parábola é voltada para cima (figura 16); se œ < 0, a concavidade é voltada para baixo (figura 17).
AS
Figura 16.
CORE era RAL CORRO Re Ena Cano Re CRU Ran Cantares caro asa cantante
Carítulo 6 + Gráficos. Gráficos co MU E po MUV
AS
So
0 t
Figura 17.
3. Coeficiente angular da reta
Na função do 1º grau y = a + bx, o número real b é chamado coeficiente angular da reta repre-
sentada no plano cartesiano. O coeficiente angular b está associado ao ângulo 6 entre a reta e o eixo x
(figura 18).
Ay
Figura 18.
Sejam x, e yı valores particulares correspondentes. Em y = a + bx, temos:
-a
yı =a + bx > yı a= bx >» b= 11 O)
X1
-a , . nei A . . a
A razão É é o valor da tangente trigonométrica do ângulo 9 (veja o quadro abaixo e o triân-
x
gulo destacado na figura 18):
nT = tge o
Comparando © e ®©, resulta:
| (numericamente)
Coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo de inclinação dessa reta com o eixo x.
] Elementos de trigonometria
| No triângulo retângulo ABC a tangente trigonométrica do ân-
| gulo 6 (representada pela notação tg 0) é a razão: Cateto
| oposto a 6
| tao = medida do cateto oposto a 8
| 9 medida do cateto adjacente a O C Cateto A
] adjacente a 6
|
| Se AB é a medida do cateto oposto a 8 e CA é a do cateto adjacente a 6, a tangente de 9 é:
| AB
, tgð = —
92 TA
Por exemplo, AB = 3; CA = 4:
3
tgð8 = — = 0,75
sq
Observação:
Da trigonometria, temos as seguintes propriedades:
e0<0<90º >tg0>0
e 90° <0<180º>tgo<o
e Sendo B o suplemento de 6, temos: 8 + B = 180º => tg 6 = —tg B
TULE L SOLDA CESTO NI CESRCA LTS SASELC DIR LULDLRDE CLEO CURTOS ENOINAL SONO DUO DA ULDONADDANDALOLL CEDO DNO DONO D CUCA DONO DADAS USAS DO SEA
«86 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Se a função y = a + bx é crescente (figura 19), o coeficiente angular b é positivo e a tg O é positiva.
Se a função y = a + bx é decrescente (figura 20), o coeficiente angular é negativo e a tg O é negativa.
Nesse caso, b = tg 6 = —tg p, sendo ß o ângulo suplementar de 6.
Ay
=Y
Figura 19. Na função crescente Figura 20. Na função decrescente
o coeficiente angular é positivo. o coeficiente angular é negativo.
A função horária s = f(t) do movimento uniforme (MU) é uma função do 1º grau em t, na qual o
coeficiente angular da reta é a própria velocidade escalar do movimento (figuras 21 e 22):
S= S + vt
y =a + bx
> b=v
gg=824 4 025v=2 m/s
2 2
2
tg0=-tg B=-
Figura 21. Figura 22.
12s -5 v=-5 m/s
A função da velocidade v = Kt) do movimento uniformemente variado (MUV) é uma função do 1° grau
em t, na qual o coeficiente angular é a própria aceleração escalar do movimento (figuras 23 e 24):
[ooo be
y=a+ bx > b=a
Av (m/s)
go-12-6.6 3 50-3ms
2 2
1g0=-1gB=-S=-4=0=-4mis
Figura 23. Figura 24.
COCO CA UCLA Mesa NE USC USAR LUCRAR LO LAS UCS CR CERRADO OU UC LCLAL OCCURRED OCULAR MORADORES ROUPA NONE RO erro Cen or arara
Carítuio 6 + Gráricos. Gráricos bo MU E Do MUV 87 e
O ia
Considere o gráfico da função s = f(t) de um movimento qualquer, não-uniforme (figura 25a).
A t, e t, correspondem os espaços sı e s, (figura 25b). A velocidade escalar média nesse intervalo de
tempo é: s-s As
t — ti At
. . . a o As
Para determinar a velocidade escalar instantânea em t,, devemos calcular o valor limite de AL quan-
Vm =
do At — 0 ou t, > t,. À medida que t, tende a t,, a reta secante que passa pelos pontos P, e P, tende a
uma reta tangente à curva no ponto P, (figura 25c). Portanto, o valor numérico da velocidade escalar
instantânea em t, será igual ao da tg 0, sendo 6 o ângulo formado pela reta tangente à curva, no
ponto P, com o eixo t (figura 25d):
(numericamente)
a) as — o
S-S = Às
2 1
~
v=tg6
(numericamente) (numericamente)
Figura 25.
Podemos tirar conclusões análogas para as funções da velocidade escalar v = f(t). Nesse caso, a tg 6
nos fornece a aceleração escalar x do movimento num instante t (figura 26).
Av
+
t
0
Figura 26. No gráfico da função v = f(t), œ é, no instante t,
numericamente igual a tg 0.
Resumindo:
No gráfico do espaço em função do tempo, a tg 6 nos fornece a velocidade escalar
(s —Sº v); no gráfico da velocidade escalar em função do tempo, a tg 6 nos fornece a
aceleração escalar (v —Eº 50).
88 Os FUNDAMENTOS DA Física
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
| 4. Cálculo de áreas
No movimento uniforme, a velocidade escalar é uma função constante com o tempo (figura 27). Nesse
gráfico, a área A é numericamente igual à variação do espaço As no intervalo de tempo t, a t.
De fato, a área A do retângulo é dada por:
A = (t — t) ev
As
Sendot,—-t=Atev=vyv,=—, vem:
A = At x | (numericamente)
Essa propriedade é válida em qualquer tipo de movimento. Na figura 28, no gráfico da velocidade
escalar em função do tempo, a área A da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas é nume-
ricamente igual à variação do espaço (As) do móvel nesse intervalo de tempo.
AV AV
i A i i
—— + —> 4 >
0 ti b t 0 b t
Figura 27. Figura 28. A área A é numericamente igual à
variação do espaço de t, a t, no gráfico v = f(t).
No movimento uniformemente variado (MUV), a aceleração escalar é uma função constante com
o tempo (figura 29). Nesse gráfico, a área A é numericamente igual à variação da velocidade Av no
intervalo de tempo t, a t.
De fato:
Av
A= (t-t) a > A=aAt:
(t= 6) A
Essa propriedade é válida em qualquer tipo de movimento. Na figura 30, no gráfico da aceleração
escalar em função do tempo, a área A da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas é nu-
mericamente igual à variação da velocidade (Av) do móvel nesse intervalo de tempo.
AG Aa
>
>
o] t
'
t
0 t, t
~
0
~
1
Figura 29. Figura 30. A área A é numericamente igual à variação
da velocidade de t, a t, no gráfico a = f(t).
Resumindo:
No gráfico da aceleração escalar em função do tempo, a área A é numericamente igual
à variação da velocidade (o —ár4 , Av); no gráfico da velocidade escalar em função do
tempo, a área A é numericamente igual à variação do espaço (v — > As).
área À
a —isi say v feias
Carítuto 6 « Gráricos. Gráricos po MU E DO MUV 89 e
——
bazd
>
w
ti
tri
Ri
| Retângulo Triângulo Trapézio
| b
| L ' b ' B i
'
_(b+B)h
b-h
2 2
o) 5. Gráficos do MU
A função horária do movimento uniforme é
uma função do 1° grau em t.
S= S + vt, com vÆ#0 | | Progressivo
a) 5
Movimento uniforme
Retrógrado
Graficamente é uma reta inclinada em re-
| S= Sg + vt
lação ao eixo dos tempos. A função pode ser |
|
|
crescente (figura 31a) ou decrescente (figura
32a), conforme a velocidade escalar seja positiva
ou negativa. O espaço inicial s, corresponde à |
ordenada do ponto onde a reta corta o eixo s. o t
A velocidade escalar no movimento unifor- |
me é uma função constante.
So
constante
H
l
i
i
Graficamente é uma reta paralela ao eixo |
t. Quando a reta está acima do eixo t (figura |
|
|
t
|
|
|
H
31b), v > 0, isto é, o movimento é progressivo;
quando a reta está abaixo do eixo t (figura 32b),
v < 0, ou seja, o movimento é retrógrado.
A aceleração escalar é nula, pois a velocida-
de escalar não varia.
|
l
Graficamente é uma reta que coincide com |
o próprio eixo t (figuras 31c e 32c). |
Figura 31. Figura 32.
OBSERVAÇÕES
© A trajetória não é determinada pelos gráficos — es- s v
tes apenas representam as funções do movimento.
®© Não confunda repouso com movimento uniforme. Um
ponto material em repouso possui espaço constante
com o tempo e velocidade escalar nula. Observe os 0 t 0 t
gráficos relativos à situação de repouso (figura 33). Figura 33.
ego Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
mm Um ponto material movimenta-se segundo a função s = 12 — 4t (t em segundos, s em metros).
Faça os gráficos do espaço, da velocidade escalar e da aceleração escalar em função do tempo desse movimento.
Solução:
O movimento proposto é uniforme:
S= Sa + vt
s=12-4t (s=12mev = —4 m/s)
Tabelando alguns valores da função s = 12 — 4t, temos:
Emt = 3s temos s = 0. Nesse instante o móvel passa pela origem O dos espaços — que
não é a origem (0, 0) dos eixos cartesianos. O gráfico s = f(£) é o da figura ao lado.
Observe que s = f(f) é decrescente (a velocidade escalar é negativa).
Como o movimento é uniforme, a aceleração escalar é nula para qualquer instante.
v (m/s)
su O espaço de um ponto material varia no decurso do
tempo de acordo com o gráfico ao lado. Determine:
a) o espaço inicial do movimento;
b) o que acontece com o ponto material no intervalo de
tempo de 2 sa5s;
c) em que instantes o móvel passa pela origem dos
espaços;
d) a velocidade escalar no instante 1,5 s.
Solução:
a) Do gráfico, no instante t = 0, obtém-se o espaço ini-
cial:
S=5m
b) De2sa5so ponto material está em repouso, pois não
há variação de espaço nesse intervalo de tempo.
c) O móvel passa pela origem dos espaços quando seu
espaço é nulo (s = 0). Isso ocorre nos instantes t= 7 s
et= 13s.
d) No gráfico s = f(t) a velocidade escalar é dada pela
tg 8.
Em 1,5 s, assim como em todo o intervalo de0a 2s,
a velocidade escalar é constante, pois o movimento
é uniforme.
tg0 = medida do cateto oposto a 0
8 medida do cateto adjacente a O
go - 1005. 5 25
2 2
Portanto:
Respostas: a) 5 m; b) repouso; c) 7 s e 13 s; d) 2,5 m/s
LUC OLOSCSLSLLCLADELELAEVECABLLESSLSADACESCNCALLDATINODOSLNSLSADCA ACD DON CENSO NONATOS DURO AMARRADOS SCANS A SANA NARA AD
Carítuio 6 «e Gráricos. Gráricos DO MU E DO MUV
o (m/s?)
s cte.
O gráfico ao lado representa a velocidade escalar de um móvel em v (m/s)
função do tempo. |
a) Caracterize o movimento proposto.
b) Determine a variação do espaço do móvel no intervalo de 1 s a 0 1 2 3 t(s)
3s.
Solução: “0
a) O movimento proposto é uniforme (v constante com £). Outro
aspecto que caracteriza esse movimento é que a velocidade t (m/s)
escalar é negativa; logo, esse movimento é retrógrado.
b) A variação do espaço em módulo é numericamente igual à área 1 3
A, indicada.
No intervalo de 1 s a 3 s, temos: 4, = 10:2 = 20 10 A,
Como v < 0, o movimento ocorre contra a orientação da tra- ;
jetória, e portanto seus espaços decrescem com o tempo, ou
seja, s, é menor que s,. Por isso As é negativo.
Respostas: a) uniforme e retrógrado; b) —20 m
—1 0 |
Exercícios
„propostos
P.109 Represente graficamente o espaço s e a velocidade escalar v em função do tempo dos seguintes movimentos:
a) s = 10 + 5t (t em segundos, s em metros) b) s = 8 — 2t (t em segundos, s em metros)
P.110 O espaço de um ponto material varia em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo. Determine:
a) o espaço inicial do movimento;
b) o que acontece no intervalo de tempo de 0 a 2 s;
c) os instantes em que o móvel passa pela origem dos espaços;
d) a velocidade escalar nos instantes 4s e 9 s.
P.111 Nos gráficos seguintes, calcule a velocidade escalar do móvel em t = 2 s.
a)
Así(m) As (cm)
20
P.112 No gráfico abaixo, determine a variação do espaço do móvel no intervalo de 0 a 10 s.
v (m/s)
92 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro da 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
B 6. Gráficos do MUV
6.1. Função s = f(t)
No MUV, s = f(t) é uma função do 2° grau em t:
Graficamente, essa função é uma parábola de concavidade voltada para cima, quando a aceleração
escalar é positiva (œ > 0, como na figura 34), ou uma parábola de concavidade voltada para baixo,
quando a aceleração escalar é negativa (a < 0, conforme a figura 35).
Representação gráfica da função s = f(t) do MUV
+Y
0
|
|
Cc
Figura 34.
Figura 35.
Considere o caso em que a aceleração escalar é positiva (figura 36a). Até o ponto Q, chamado vér-
tice da parábola, a função s = Kt) é decrescente — a velocidade escalar é negativa. A partir do vértice
Q a função é crescente — a velocidade escalar é positiva. No vértice Q o móvel muda de sentido — sua
velocidade escalar é nula. Comparando-se os sinais da velocidade escalar e da aceleração escalar (figura
36b), concluímos que o movimento é retardado até o vértice Q (ve a têm sinais contrários) e acelerado
após o vértice Q (pois v e œ têm o mesmo sinal). A velocidade escalar v muda de sinal, mas a aceleração
escalar œ permanece constante e positiva.
v>0
a>0
Acelerado
s crescente v<0
(v>0) a>0
Retardado
s decrescente
(v<0)
Q (vértice) Q (vértice)
a) as q >0 b) AS a>0
1 (v=0) Lo 1 tW-0
1
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ji
i
1
I
+—
Figura 36.
Considere agora o caso em que a aceleração escalar é negativa (figura 37a). Até o vértice da parábola,
a função s = f(t) é crescente — a velocidade escalar é positiva. Depois do vértice, a função é decrescente
— a velocidade escalar é negativa. No vértice Q o móvel muda de sentido — sua velocidade escalar é
nula. Comparando-se os sinais da velocidade escalar e da aceleração escalar (figura 37b), concluímos que
o movimento é retardado até o vértice Q (v e a têm sinais contrários) e acelerado após o vértice Q (pois
ve a têm o mesmo sinal). A velocidade escalar v muda de sinal, mas a aceleração escalar œ permanece
constante e negativa.
a) as b) AS
Q (vértice) ' Q (vértice)
s crescente s decrescente >o <
>0 <0
(v>0) tv<0) Retardado, Acelerado
Figura 37.
Carítuio 6 e Gráricos. Gráricos DO MU E DO MUV 93º
e————
fazd
=
[=]
mł
m
6.2. Função v = f(t)
No MUV, v = f(t) é uma função do 1º grau em t:
A representação gráfica dessa função é uma reta inclinada. No gráfico da velocidade escalar, a tg 6
(sendo 8 o ângulo de inclinação da reta com o eixo t) é numericamente igual à aceleração escalar q.
Se v = f(t) é uma função crescente, tem-se o > O (figura 38); se v = f(t) é uma função decrescente, tem-se
o < O (figura 39). No instante t, a velocidade escalar é nula — o móvel muda de sentido. No gráfico do
espaço, esse instante corresponde ao vértice da parábola.
Figura 38. Figura 39.
A área A (figuras 38 e 39) é numericamente igual à variação
do espaço As no intervalo de tempo considerado.
No gráfico da velocidade escalar podemos analisar se o
movimento é acelerado ou retardado. O módulo da velocidade
escalar decresce do instante inicial até o instante t,; portanto, |
nesse intervalo de tempo o movimento é retardado. O módulo
da velocidade escalar cresce do instante t, em diante e o movi-
AV
[v| cresce
(movimento
acelerado)
>
t
1
'
t
1
1
1
1
1
1
)
1
1
1
1
1
1
vof” |v] decresce :
mento passa a ser acelerado (figura 40). Essas mesmas conclu- (movimento '
sões podem ser obtidas comparando-se os sinais de ve o. retardado)
O gráfico de v = f(t) é importante, pois dele (figuras 38 e Figura 40.
39) podemos extrair tanto a aceleração escalar do movimento
(tg 9) como a variação do espaço As em determinado intervalo
de tempo (área 4):
AS área A v tg 6 a
6.3. Função q = f(t)
No MUV, a aceleração escalar é uma função constante com o tempo e seu gráfico é uma reta para-
lela ao eixo t, acima dele se a aceleração for positiva (figura 41) ou abaixo, se a aceleração for negativa
(figura 42).
Figura 41. Figura 42.
A área A (figuras 41 e 42) é numericamente igual à variação da velocidade Av no intervalo de tempo
considerado.
trePAMeRna asas a nana nana AA anne nos RAn DAS nana ONA CALA NAC ODUCNUD ICAO OO CANOA ON CRC U VOLS L LLC S CULPA SA UC USA AROS On DOS nosso sara asso cart co nos
94 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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6.4. Resumo: gráficos do MUV
Os gráficos das funções do espaço, da velocidade escalar e da aceleração escalar do MUV são os das
figuras 43a, 43b e 43c, para os casos em que a > 0, e os das figuras 44a, 44b e 44c, para os casos em
que a < 0.
Gráficos do MUV
a
S= So + vot + SË
(função do 2° grau)
a = constante
(função constante)
b) v ; b) Av !
V= V + ot Retardado, Acelerado y Retardado, Acelerado
(função do 1º grau) o i
i > 'v=0
Vo
| c) 4a c) ha
Figura 43.
Figura 44.
OBSERVAÇÕES
(D No gráfico da função horária do espaço, a abscissa do vértice da parábola corresponde ao ins-
tante em que o móvel muda de sentido. Nesse instante, a velocidade escalar é nula e o gráfico
de v(t) corta o eixo t.
O No gráfico do espaço, antes do vértice da parábola, o movimento é retardado e, após o vér-
tice, é acelerado nos dois casos considerados (a > 0 e œ < 0). Portanto, quando um móvel
em MUV muda de sentido, antes da mudança ele tem movimento retardado e, logo depois,
acelerado.
A partir do gráfico da velocidade do MUV pode-se obter a função horária do espaço do MUV.
A área A na figura 45 corresponde à área de um trapézio:
A= (v + vo) At
2
Mas:At=t-tb=t-0=t
Sabemos também que: v = v + at |
Substituindo At e v, obtemos:
>
+ + 0 t t
A = Lo = vo) + > A=vt+ Čr At
Figura 45.
Considerando que a área é numericamente igual à variação do espaço As = s — So, vem:
a
S — S = Vt + ZEP >
2
CapituLo 6 > Gráricos. Gráricos DO MU E DO MUV
O uva |
(4) Ainda a partir do gráfico da velocidade do MUV pode-se demonstrar que a velocidade escalar mé-
dia no MUV entre dois instantes é igual à média aritmética das velocidades escalares nos instantes
considerados. Já vimos que no gráfico da figura 45, a área A destacada é numericamente igual à
variação do espaço As no intervalo de tempo At = t — to. Assim:
A = MAO) (v + vo) A As v+vg
“At > As =
2 2 At 2
. eia Z AS
Como a velocidade média é dada por v, = AL vem:
É dado o movimento de função horária s = 12 — 8t + t°, na qual t está em segundos e s em metros (medidos sobre
ç
a trajetória). Tabele a função de 0 a 8 s e faça sua representação gráfica. A partir do gráfico, determine:
a) o instante em que o móvel muda de sentido;
b) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
Solução:
A tabela da função de 0 a 8 s é dada a seguir:
À representação gráfica é a parábola de concavidade voltada para cima
(a >0,0 = 2 m/s®.
a) O ponto Q é o vértice da parábola (t = 4 s, s = —4 m). Nesse instante
o móvel muda de sentido.
b) O móvel passa pela origem dos espaços quando seu espaço é nulo
(s = 0). Isso ocorre nos instantes 2 s e 6 s (veja gráfico ou tabela).
Respostas: a) 4 s; b) 2 s; 6s
oOo] É dado o gráfico da velocidade escalar de um móvel em função do tempo. A v (m/s)
Determine:
a) a aceleração escalar do movimento;
b) a variação do espaço entre Q e 4s.
Solução:
a) À aceleração escalar a é numericamente igual à tg 8 no triângulo des- A v (m/s)
tacado:
b) A variação do espaço entre 0 e 4 s é numericamente igual à área 4 do
triāngulo destacado:
Respostas: a) 4 m/s”; b) 32 m
seascovevoosososososcososesoscocosocsssesososoresesouoacozesosorecsossoseoresoeoseeszosecscesesasuosoessosonvoserocsooesesscossoososeosesecesen
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
gh É dado o gráfico da aceleração escalar o. de um movimento em fun-
ção do tempo t. Determine a variação de velocidade no intervalo de
0a4s.
Solução:
A variação da velocidade Av de 0 a 4 s é negativa, mas em módulo é
numericamente igual à área À no gráfico de a = ff):
Resposta: —-8 m/s
qua Dado o gráfico da velocidade escalar v = f(?), determine:
a) a aceleração escalar do movimento de 0 a 2sede2sa 6s;
b) a variação do espaço de 0 a 6 s;
© a velocidade escalar média no intervalo de 0 a 6 s;
d) o instante e a posição em que ocorre mudança de sentido, saben-
do que, no instante t, = 0, o móvel se encontrava na origem dos
espaços.
Solução:
a) No gráfico v = f( a aceleração escalar q é dada pela tg 0.
De 0 a 2 s temos: De 2 s a 6 s temos:
1 = |œ = -1m/s?
b) No gráfico v = f(t) a variação do espaço As é numericamente
igual à área A do triângulo destacado na figura:
4-6
A= 2 = 12 (área do triângulo)
Assim, temos:
c) De 0a 6s, a velocidade escalar média é v, = As , com As = 12 m
(item b) e Aż = 6 s. Portanto: At
12
6
d) O móvel muda de sentido no instante em que sua velocidade escalar se anula. Portanto:
Do instante zero até o instante t = 6 s temos As = 12 m, conforme foi calculado no item b. Como no instante
b = 0 o móvel se encontrava na origem dos espaços (sy, = 0), vem:
As=s->As=s-0>5=As>
Nessa posição, o móvel sofre a mudança de sentido.
Respostas: a) 2 m/s”; —1 m/s*;,b) 12 m; c)2m/s;d) 6 s; 12 m
Um = > | Un = 2 m/s
(O o] Um móvel parte do repouso realizando um movimento uniformemente acelerado durante 10 s, ao fim dos quais
atinge 72 km/h. Mantém essa velocidade durante 15 s e freia uniformemente com 1 m/s? (em módulo) até parar.
Determine:
a) durante quanto tempo o móvel esteve em movimento;
b) a velocidade escalar média do movimento desde o instante inicial até o instante final.
Conorero enc o raras ente na a co san cansa DOVALDC CC ORA TALCO LENCOL CLONE OSDLLOTONTALC VASO LDCLRU CON NILO CCR RO Cen O Corona san ou naca na couro Us nda
CarituLo 6 + Gráficos. Gráficos DO MU E DO MUV 97 o
Solução:
Observe no enunciado que o movimento descrito ocorre em três etapas:
OD durante os primeiros 10 s, o movimento é MUV acelera- A v (m/s)
do — o móvel parte do repouso até atingir a velocidade
de 72 km/h (ou 20 m/s); 204------
© nos próximos 15 s (isto é, até o instante 25 s), o movi-
mento é uniforme;
© de 25 s até o instante final f, (desconhecido), é MUV
retardado.
Uniforme
Essas três etapas são representadas no gráfico ao lado. De
25 s a t,a aceleração escalar é igual a 1 m/s” (em módulo). 0 10 25 b t(s)
À partir desse gráfico, calculamos:
20
tgo t =] >
a) lal = itge] = [tsb] = 5
> 20=h-95 >
Portanto, o móvel esteve em movimento durante 45 s.
b) A velocidade escalar média de O a t, = 45 s é dada por
10 15 4-25
AS . .
Um = AF sendo que At = 45 s e As é numericamente
igual à área do trapézio destacado:
= (15 + 45)» 20
2
Un = ~ > | Un = 13,3 m/s 45
Respostas: a) 45 s; b) =13,3 m/s
A
= 600 > As = 600 m
E] Duas estações P e Q, separadas pela distância de 60 km, são interligadas por uma estrada de ferro com linha
dupla. Dois trens percorrem-na de P para Q. Um deles passa por P com velocidade de 40 km/h e mantém essa ve-
locidade no percurso de 20 km e, em seguida, é freado uniformemente. No mesmo instante em que o primeiro
trem passa por P, um outro trem parte de P, do repouso, com movimento uniformemente acelerado em parte
do percurso e uniformemente retardado na parte restante. Ambos os trens param em Q no mesmo instante.
Determine a máxima velocidade atingida pelo segundo trem.
Solução:
O primeiro trem passa por P em t = 0 (adotado) com ve-
locidade de 40 km/h e a mantém constante no percurso v (km/h)
de 20 km (numericamente igual à área A,, na figura) até
t. Após esse instante, percorre a parte restante de 40 km
(área A») chegando a Q com velocidade nula em t.
Como 4, = 20 e A, = 40 - t, (área do retângulo), vem:
De modo análogo, temos:
40-(t — h)
2
Logo: 20 - (4 — 0,5) = 40 >
O segundo trem parte de P em t = 0 e atinge Q após 60 km
em t, = 2,5 h. Percorre parte do percurso com MUV ace-
lerado até atingir a máxima velocidade vma, € com MUV
retardado até atingir Q. No gráfico de sua velocidade,
Primeiro trem
A, = 40 =
(área do triângulo)
Umax b e
temos: 4, = o (área do triângulo)
Sendo ż = 2,5 h e A, = 60, vem:
e 25 60 > bu a = | Vmax. = 48 km/h
Resposta: 48 km/h
seesesusovesoscsoncesosoesssassrosoesosoasevososovosesssososszossecssaaossosssossecseseossosenassossossosesesssevevosssossossosossossascsseosososossasosso
eg8 Os FUNDAMENTOS DA Física
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P.113
PIM
P.115
P.116
P117
P.118
P.119
P.120
Exercicios
„propostos
É dado o movimento de função horária s = 150 — 20t + 0,5¢, em que t está em segundos e s em metros (medidos
sobre a trajetória). Tabele essa função no intervalo de 0 a 40 s (de 10 em 10 segundos) e faça sua representação
gráfica. À partir do gráfico, determine:
a) o instante em que o móvel muda de sentido;
b) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
É dado o gráfico da velocidade escalar de um móvel em função Av (m/s5)
do tempo. Sabe-se que no instante f = 0 o espaço do móvel é
15 m. Determine:
a) a aceleração escalar do movimento;
b) a variação do espaço entre 0 e 5 s;
€) o espaço do móvel no instante ż = 5 s.
É dado o movimento cuja velocidade escalar varia em função do tempo segundo a função v = 8 — 2t, na qual ¢
está em segundos e v em metros por segundo. Tabele essa função de 0 a 8 s e faça sua representação gráfica.
Determine, com auxílio do gráfico:
a) a aceleração escalar; b) o instante em que o móvel muda de sentido.
Um corpo efetua um movimento retilíneo cuja velocidade v varia com o tempo segundo a função v = 0,5 — t, na
qual f está em segundos e v em metros por segundo. Ao iniciar a contagem dos tempos, o corpo está a 2 m de
distância da origem dos espaços, no trecho positivo. Desenhe, em escala, os gráficos cartesianos do espaço,
da velocidade e da aceleração em função do tempo.
A velocidade escalar de um corpúsculo entre os instantes
de 0a 6 s é dada pelo gráfico ao lado.
Av (cm/s)
a) Determine a distância percorrida entre os dois instantes
dados.
b) Construa os gráficos do espaço e da aceleração escalares,
ambos em função do tempo. Admita que o corpúsculo
partiu da origem.
Um trem passa por uma estação A com velocidade de 20 km/h e mantém essa velocidade num percurso de 14 km,
sendo então freado uniformemente, parando na estação B, distante 16 km de A. Outro trem parte de A (v, = 0) no
instante em que o primeiro passou, com movimento uniformemente acelerado durante parte do percurso e
uniformemente retardado, em seguida, até parar em B, chegando junto com o primeiro trem. Determine qual
foi a máxima velocidade no percurso AB. (Sugestão: faça o gráfico v = fÙ.)
Um trem parte do repouso de um certo ponto À, acelerando uniformemente até a metade do percurso. Nesse pon-
to começa a desacelerar uniformemente, parando num ponto B situado a 500 m de A, ao fim de 20 s. Determine:
a) a velocidade máxima atingida pelo trem;
b) o módulo das acelerações nas duas metades do percurso.
É dado o gráfico da aceleração escalar o = ff) de um movi- a (m/s?)
mento em função do tempo t. Determine a variação da velo-
cidade do movimento no intervalo de 0 a 5s.
> i
; >
0 5 t(s)
CapítTuLo 6 + Gráricos. Gráricos po MU E DO MUV 99 O
ios propostos HM
“de recapitulação
R.121 (Ufla-MG) A figura ao lado representa o gráfico horário do movi-
mento de uma partícula, onde AB e CD são arcos de parábola
e BC e DE são segmentos de reta. Pergunta-se:
AS
a) Em que intervalo de tempo a partícula se encontra em re-
pouso?
b) Em que intervalo de tempo a partícula está em movimento
uniforme?
c) Em que intervalo de tempo a partícula apresenta movimento
acelerado progressivo?
d) Em que intervalo de tempo o movimento é retardado pro- 0 f
gressivo?
Bo
© f---==00— 00-00
P.122 (EEM-SP) Em uma corrida olímpica, numa pista plana, horizontal e reta, dois competidores A e B levam 2,0 s
e 5,0 s para atingir as velocidades máximas de 10 m/s e 12 m/s, respectivamente, as quais são mantidas até
o final da corrida. Os respectivos gráficos de suas velocidades em função do tempo, mostrados a seguir, não
estão desenhados em escala. Determine que corredor lidera a competição na marca de 8,0 s.
Corredor A Corredor B
P.123 (Unicamp-SP) O gráfico ao lado representa aproximadamente a J4 epeen
velocidade de um atleta em função do tempo em uma competi- 12.
ção olímpica.
a) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração tem o
menor valor?
b) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração é máximo?
c) Qual é a distância percorrida pelo atleta durante os 20 s?
d) Qual é a velocidade média do atleta durante a competição?
Velocidade (m/s
O 2 4 6 8 1012141618 20
Tempo (s)
P.124 (Vunesp) Um veículo A passa por um posto policial a uma ve- 50
locidade constante acima do permitido no local. Pouco tempo
depois, um policial em um veículo B parte em perseguição do
veículo A. Os movimentos dos veículos são descritos nos gráfi-
cos da figura.
Tomando o posto policial como referência para estabelecer as
posições dos veículos e utilizando as informações do gráfico,
calcule:
vím/s)
a) a distância que separa o veículo B de A no instante t = 15,0 s;
b) o instante em que o veículo B alcança A.
5 5 1015 20 25 30 35 40 45
t(s)
P.125 (UFRJ) Dois móveis, (1) e (2), partem do repouso de um mesmo
ponto e passam a se mover na mesma estrada. O móvel (2), no
entanto, parte 3,0 s depois do móvel (1). A figura ao lado repre-
senta, em gráfico cartesiano, como suas velocidades escalares
variam em função do tempo durante 18 s, a contar da partida do
móvel (1).
A v (m/s)
a) Calcule as acelerações escalares dos móveis (1) e (2) depois
de iniciados os seus movimentos.
b) Verifique se, até o instante t = 18 s, o móvel (2) conseguiu
alcançar o móvel (1). Justifique sua resposta.
eecosssososocasocoosoosassoeezocosoonosse sosessernesasecesosusosessoassossasoososssossssesosssooesossecsvsososososessoseasovososososovessnosorecosososoo
“100 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
o Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 1
(NEREhhicesPartiorrden dae eemave bivitileha, mia, está “AG (iim)
tonejidade amaléração ogblinaia dariaçãcichovia,tempo i ui
érmostianta margéáhiaweloditâde Salnsinhbes eleuê no
inótanteigua) a paftmyda Esliagnarepbhoságinadaosição
posidão pareakade movárpesiçãoshá ihattraido! a é 0s,
sagmietros.
A x (m)
| A i — —
l -0 ER Os JO O O S SA S t+) a
P.127 (Fuve$tSP) Um treri metrô pte de ie com aceleração la constante até atingi pós 10s
velocidade de 90 km/h, que é mantida por 30 s, para então ARIS Uh ARM ERR en ate inhão,
fagundes eeigtennial adotado, no instante o automóvel percorre uma distância, em métros,
by RELE AALOE Escalar em função de tempo
B) Cace aidistância entes Umas estações. a)
b) —12,50m e) 62,50 m
P.128 er) distância entre duas estações de metrô é ig
um trem deve chegar à segunda estação em um intervalo de (ep pe esga tados é equemalicime TEND Tuma
MIM Menna figuragariusepersentado mama ho trajeto, igual? fer m/s. Permanece com essa velocidade
PONOR LEPAL pS gAicesmenicdesAdcRRO AM 4 mesma taxa anferiyahté parar na segupdarestação.
a Carene a Vefociuade giad ei feh nf em m/s. m
boce O àsráfico velocidade X tempo e calcule o tempo gastá-para-alcançar-a-ve
15 918 AW 60
5 S MERSI D D is arros À e B têm seus movimen-
arti O repouso na primeira estação,
(a SaE Príáxima, em
FMG) Uma pessoa passeia durante 30 minutos.
esse tempo ela anda, corre e também pára por
BUS PRIbiasiparticiaas A e B somenirosntan
sobygowaromesma trajetória retilínea segundo o
200 álguns instantes. O gráfico representa a distância | Báfiselocidade média do carro B é igual à veloci-
100 Ex percorrida poressa o tempo | dadegnédia do carro À no intervalo de tempo
0 £ f + t + + > | o Fra z
1h, (m? ® 3,0 4,0 5,0 Tempo (s) |
Se esses móveis se mantiverem em movimento |
com asjmesmas características, durante um tem- ; o 5 a
po sufitiente, eles devem se cruzar no instante e á ;
nã.goísição iguais, respectivange
a) 2881200 m
b) 15 sj
c -20%
t (s)
i + i - eee
(PUCMampinasSPyUmiamahatC, de 25nim)de
comprimento, e um automóvel A, de 5,0 m de com- | horárias
Pelmenico nadess afsviarans an ieaiêmiado | são:
Pas pjg HRSSaBa: móveis, marcadas pelo pára-
ahandeuliánteinreloyepartos (Pstâanidolicaas | b) s4 4 é
bpagdóic6l pararan(Pechrreio (Boviménto4Em | 9 s, =146 > e
detemrin 4d) intvraR) datem eocontem(áyel | d sÓ + 20t e >
ditcapresáD cparinhg?), andou (3) e correu (4). | e) s4 220 + 40t e = 90 + {0t t
nn 0 6 0 00 0 0 0 90 0 0 08 40 080 000 0 aa a aa 0 02 RU OD 0 00 A PAG 0 GN 00 0 0 8 0 UR 0 00 A 0 0 0 0 0 QU 04 0 0 0 4 0 0 0 0 UU AA AA AA
MODO 6 » Gráricos. Gráricos DO MU E DO MUV Os FUNDAMENTOS mpg
O uva |
o Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibi
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a) Na origem do gráfico, ambos os trens estavam
parados.
b) Os trens aceleraram o tempo todo.
© No instante tz, ambos os trens têm a mesma
velocidade.
d) Ambos os trens têm a mesma aceleração em
algum instante anterior a fp.
e) Ambos os trens têm a mesma velocidade em
algum instante anterior a tp.
“ (UFMG) Um carro está andando ao longo de uma
estrada reta e plana. Sua posição em função do
tempo está representada neste gráfico;
gt Q
Posi
-— >
Tempo
Sejam Vp, Vo e Vg os módulos das velocidades
do carro, respectivamente, nos pontos P, Qe R,
indicados nesse gráfico.
Com base nessas informações, é correto afirmar
que:
a) Vo < Vp < Vr
b) Ve < Vk < Vo
O Vo < Vr< Vp
d) V< Vo < Vr
T.102. (PUC-MG) Um corpo se move em trajetória reti-
línea durante 2,0 s conforme o gráfico abaixo.
Av (m/s)
>
t(s)
Analise as afirmativas a seguir:
I. Ao final do movimento, o corpo terá percorri-
do 25 m.
II. Sua velocidade final é de 40 m/s e a velocida-
de média no percurso foi de 25 m/s.
HI. À aceleração entre t, = 1,0 s e f} = 2,0 s foi de
10 m/s’.
Assinale:
a) se todas as afirmativas são corretas.
b) se todas as afirmativas são falsas.
c) se apenas as afirmativas le II são corretas.
d) se apenas as afirmativas Ile Ill são corretas.
e) se apenas as afirmativas I e HI são corretas.
3 (UFSCar-SP) Em um filme, para explodir a parede
da cadeia a fim de que seus comparsas pudessem
escapar, o “bandido” ateia fogo a um pavio de
0,6 m de comprimento, que tem sua outra ex-
tremidade presa a um barril contendo pólvora.
Enquanto o pavio queima, o “bandido” se põe a
correr em direção oposta e, no momento em que
salta sobre uma rocha, o barril explode.
Carítuio 6 « Gráficos. Gráficos po MU E DO MUV
Rocha
Dublê Chama do pavio
v (m/s)
5.107?
;
6 t(s) 0 t(s)
Ao planejar esta cena, o piroplasta utilizou os
dados gráficos obtidos cuidadosamente da aná-
lise das velocidades do dublê (que representa o
bandido) e da chama no pavio, o que permitiu
determinar que a rocha deveria estar a uma dis-
tância, relativamente ao ponto em que o pavio foi
aceso, em m, de:
a) 20 b) 25
co) 30
D4 4
(AFA-SP) O gráfico abaixo mostra como variou a
velocidade de um atleta durante uma disputa de
100 m rasos.
v (m/s)
124$----------
55 85 t t9
Sendo de 8,0 m/s a velocidade média desse atleta,
pode-se afirmar que a velocidade v no instante em
que ele cruzou a linha de chegada era, em m/s:
a 50 W35 985 d)10
5 (Fuvest-SP) Na figura a seguir estão representadas
as velocidades, em função do tempo, desenvol-
vidas por um atleta, em dois treinos À e B, para
uma corrida de 100 m rasos.
A v (m/s) A
T.107
Com relação aos tempos gastos pelo atleta para
percorrer os 100 m, podemos afirmar que, aproxi-
madamente:
a) no B levou 0,4 s a menos que no 4.
b) no 4 levou 0,4 s a menos que no B.
c) no Blevou 1,0 s a menos que no 4.
d} no A levou 1,0 s a menos que no B.
e) no Á e no B levou o mesmo tempo.
(UFRJ) Um móvel em movimento retilíneo tem velo-
cidade escalar v variando com o tempo ż, de acordo
com o gráfico.
AV
Podemos afirmar corretamente que entre os ins-
tantes:
a) 0 eż o movimento é retrógrado acelerado.
b) +, e ft o movimento é progressivo acelerado.
c) et; o movimento é retrógrado acelerado.
d) ġ e t, o móvel está parado.
e) t,e t; o movimento é progressivo retardado.
(Ufal) Considere o gráfico v X tdo movimento de
um corpo que parte da origem de um referencial
e se desloca em linha reta. À seguir, analise as
afirmações.
A v (nvs)
01) Nos intervalos de tempo de 2,0 s a 4,0 s e de
6,0 s a 8,0 s o corpo permanece em repouso.
02) De 0 até 8,0 s só há um trecho de movimento
uniformemente acelerado.
04) De 0 até 8,0 s só há um trecho de movimento
uniformemente retardado. ,
08) O afastamento máximo da origem do referen-
cial é maior do que 40 m.
16) O corpo passa somente uma vez pela posição
30 m.
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as afirmativas corretas.
(Fesp-SP) Dois carros, À e B, deslocam-se em
uma mesma estrada reta, de acordo com o grá-
fico. Em ż = 0 ambos se encontram no quilômetro
zero.
A v(km/h)
1807
120
607 |
0 1 2 3 4 t(h)
Considere as afirmações:
I. B desloca-se com movimento uniformemente
acelerado.
IL De 4 = 0a t= 2h, A percorreu 120 km e B
percorreu 240 km.
HI. A alcança B no instante t = 2 h.
IV. A velocidade de À cresce de 60 km/h em cada
hora.
São corretas as afirmações:
a) II o HelV
b) IeM d) Melv
e) II, II e IV
9 (UFF-RJ) O gráfico mostra como variam as velo-
cidades de dois carrinhos que se movem sobre
trilhos paralelos. No instante de tempo t = Os, os
dois carrinhos estavam emparelhados.
A v (m/s)
-2 4 a
A alternativa que indica o instante em que os
carrinhos voltam a ficar lado a lado é:
ais b2s 93s d4s ess
: (Olimpíada Paulista de Física) O motorista de um
carro À, vendo o sinal verde do semáforo, arranca
com o seu carro. Nesse instante, um outro carro
B passa por ele e ambos passam a se movimentar
em trajetórias paralelas ao longo de uma extensa
avenida.
A v (m/s)
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O gráfico mostra a variação da velocidade de am-
bos os carros desde o instante em que À começa
a se movimentar até 15 segundos após.
Das afirmações abaixo, assinale aquela que é
verdadeira.
a) O carro À alcança B depois de t = 3,75 s.
b) No intervalo 0—15 s o carro À não alcança B.
c) Quando os velocímetros dos carros marcam a
mesma velocidade, A está cerca de 28 metros
na frente de B.
d) No instante t = 15 s o carro À está 25 metros
na frente de B.
e) O carro A ultrapassa B no instante t = 5s.
(Fuvest-SP) Dois trens, A e B, fazem manobra em
uma estação ferroviária deslocando-se parale-
lamente sobre trilhos retilíneos. No instante
t = 0 eles estão lado a lado. O gráfico representa
as velocidades dos dois trens a partir do instante
t = 0 até 150 s, quando termina a manobra.
A v (m/s)
+5
-5
A distância entre os dois trens no final da mano-
bra é:
a) Om ce) 100m e) 500 m
b) 50 m d) 250 m
(Mackenzie-SP) A aceleração de um móvel, que
parte do repouso, varia com o tempo de acordo
com o gráfico abaixo.
A a (m/s°)
4 1
no — >’
0 5 8 tís)
A
O instante, contado a partir do início do movi-
mento, no qual o móvel pára, é:
aos b6s dês d1l3s æ) 18s
(Mackenzie-SP) Um automóvel desloca-se a partir
do repouso num trecho retilíneo de uma estrada.
A aceleração do veículo é constante e algumas
posições por ele assumidas, bem como os respec-
tivos instantes, estão ilustrados na figura abaixo.
v= 0
At =1,0s At, =1,05 At, = 1,05
As, =1,0m As, =3,0m As, = 5,0m
O gráfico que melhor representa a velocidade
escalar do automóvel em função do tempo é:
a) Av (m/s) d) v (m/s)
6,0 +----------
4,0 +------ ' 1,0+------
Í
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ >
+
O| 1,0 2,0 3,0 t(s) 0
>
m
1,0 2,0 3,0 t(s)
0| 1,0 2,0 3,0 t(s)
(UFG-GO) O Visconde de Sabugosa vê uma jaca
cair da árvore na cabeça da Emilia e filosofa:
“Este movimento poderia ser representado,
qualitativamente, pelos gráficos da posição e da
velocidade, em função do tempo...”
a) yA vA
t t
b) y A yA
9 yA v
Da
e)
cesononenas COMU LO COLOR ALLE LLDOLCDOONONOUDANDO PULA DNO ONDULADO DUROU OL ONO O CLORO CL CO OUR OURO DOR RU UA AR RU ADORADA DAVA dna
Carítuio 6 e» Gráficos. Gráricos co MU E DO MUV
105º
Exercícios resolvidos
Te Num certo planeta, um móvel lançado verticalmente para cima tem
suas posições em relação ao solo e em função do tempo represen-
tadas pelo gráfico da figura. Determine:
a) a velocidade inicial com que o corpo foi lançado;
b) a aceleração da gravidade na superfície desse planeta.
Solução:
a) À trajetória é orientada para cima e a origem é adotada no solo.
Sendo g a aceleração da gravidade local, temos a = ~g.
Para t = 0, temos sọ = 0; para t = 4 s, temos s = 12mev =Q.
Aplicando a definição de velocidade escalar média v, € a proprie-
dade do MUV, vem:
As U +D 12-0 0 +
- 58. = =6
“a = i 2 4-0 7 > (w=6mis
bDev=w+atvem:0=6+0:4 > a= -1,5 m/s?
Sendo q = —g, resulta: | g = 1,5 m/s?”
Respostas: a) 6 m/s; b) 1,5 m/s”
Solução:
Veja na tabela ao lado alguns valores da função, no intervalo de 0 a
3,0 s:
Assim, construímos o gráfico ao lado. Como não houve mudança
de sentido, a distância percorrida, num certo intervalo de tempo,
coincide com a variação do espaço, nesse mesmo intervalo.
Cálculo das distâncias percorridas:
0 a 1,0 s:
A = GI 10 = 30 =
1,0 s a 2,0 s:
A = (6,0 : 4,0) -1,0 = 5,0 > |45,=50m
2,0 s a 3,0 s:
a - 6% : 60 10 -705
Observação:
Os resultados nos mostram que, no movimento uniformemente variado acelerado, o aumento da distância per-
corrida, em intervalos de tempo iguais e sucessivos, é sempre o mesmo. Em outras palavras, as distâncias
percorridas, em intervalos de tempo iguais e sucessivos, estão em progressão aritmética. Se o movimento for
4
0
Asm)
5
8
Um ponto material realiza um movimento uniformemente variado cuja velocidade em função do tempo é dada
por v = 2,0 + 2,0t, para t em segundos e v em m/s. Construa o gráfico v X te calcule, a partir do gráfico, as
distâncias percorridas nos intervalos 0a 1,0 s; 1,0 s a 2,0se2,0sa3,0s.
3,0 tís)
uniformemente variado e retardado, as distāncias percorridas, em intervalos de tempo iguais e sucessivos,
diminuem em progressão aritmética.
aenenonorosoocssecnsnononocceosooseseccossesnenovrensesooserosocosooossuesesossesosoeososeoosevsesesseononosassnoesretoeetessaevorerovsoeresesoserosooeos
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.129 (Fuvest-SP) A figura representa o gráfico espaço-tempo do movi- 10
mento de um corpo lançado verticalmente para cima com veloci-
dade inicial vo na superfície de um planeta.
a) Qual é o valor da aceleração da gravidade na superfície do
planeta?
b) Qual é o valor da velocidade inicial v?
Espaço (m)
0 1 2 3 4 5 6
Tempo (s)
P.130 Uma partícula realiza um movimento uniformemente variado. Na figura indicamos as posições sucessivas da
partícula de 1 em 1 segundo, a partir do instante t = 0. Qual é a distância percorrida pela partícula no quinto
segundo de seu movimento, isto é, no intervalo de tempo de 4,0 s a 5,0 s?
t=0 t=1,0s t=2,0s t=3,0s
nd
o es
Do) | |
1,0 cm 4,0 cm 7,0 cm
P.131 A velocidade de um corpo lançado verticalmente para cima varia com o tempo de acordo com o gráfico apre-
sentado. Com base nele, determine:
a) o instante em que o corpo atinge a altura máxima;
b) o instante em que o corpo está de volta ao ponto de lançamento;
c) a altura máxima atingida;
d) a velocidade do móvel ao retornar ao ponto de lançamento.
e (m/s)
P.132 O gráfico indica como variou a velocidade de um foguete lançado verticalmente a partir do solo. No instante
t = 10 s, acabou o combustível do foguete e, a partir de então, ele ficou sujeito apenas à ação da gravidade.
Av (m/s)
Desprezando a resistência do ar, adotando g = 10 m/s” e tomando no solo a origem da trajetória, determine:
a) a aceleração do foguete durante os primeiros 10 s;
b) a altura em que se esgotou o combustível;
© o instante f, em que o foguete atinge sua altura máxima;
d) a altura máxima atingida pelo foguete;
e) o instante t, em que o foguete retorna ao solo;
f) a velocidade v’ do foguete ao atingir o solo.
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Caríturo 6 e Gráficos. Gráricos po MU E po MUV 107º
() Testes
propostos
(FEI-SP) O gráfico abaixo representa o espaço (UFPE) No instante t = 0, dois automóveis, A e B,
percorrido, em função do tempo, por um móvel partem do repouso seguindo no mesmo sentido,
em MRUV. ao longo de uma estrada retilínea. O diagrama
a seguir representa a variação com o tempo da
posição de cada um desses automóveis.
204 Sabendo-se que o automóvel B manteve uma
aceleração constante durante o movimento,
15
: z. U ;
determine a razão ~ entre as velocidades dos
107% Up
dois veículos no mesmo instante t = 5 s.
5+ 1
a) 3 c) 1 e >
> 3
0
t = 0,5 s e a função horária da velocidade desse
“móvel são, respectivamente:
a) 18,750 m; v = 10 — 10t
b) 19,875 m; v = 15 — 5t
c) 17,500 m; v = 15 — 10t
d) 17,500 m; v = 10 — 10t
e) 18,000 m; v = 10 — 5t
T.116 (UFMA) O gráfico abaixo indica como varia o
espaço de um móvel em função do tempo para
certo MUV.
—
0 1 2 3 4 5 6 tiġ
Uma torneira libera gotas em intervalos iguais de
tempo. As gotas abandonam a torneira com velo-
cidade nula. Considere desprezível a resistência
do ar. A figura abaixo mostra uma representação
instantânea das cinco primeiras gotas.
A aceleração do móvel, em m/s”, é:
|
t(s) |
b) 2
Pode-se afirmar que a posição do móvel para
a) 5 b) 4 o 2 d) 3 e) 1
Unimep-SP) Para um móvel que parte do re-
pouso, temos abaixo o gráfico de sua posição em
função do tempo. 6 cm
As(m) —
d,
|
| —
d,
A função horária que melhor representa o movi-
mento do móvel é: As distâncias d, e d, indicadas valem respectiva-
a) s = 16 + 6t +24 d) s= 6t + 3f mente:
5o o a) 6 cm e 2 cm d) 10 cm e 13 cm
b) s= 6+ 16+ 5t =6+ —
) s Əs 2 b) 8 cm e 10 cm e) 10 cm e 14 cm
©) s= 16t + 6? ©) 10 cme 12cm
ororseesesesesesoesososesoosesosuososovoroesescscessososensosronososscesososeroscooecveassosonovesoozecosasesuonoecosocesesonsessesesrossiootoronerersrss
° 108 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida, Art 184 do.Código Penale Lal 9.610 de 19 de feverairo de 1999;
Outras representações gráficas
As representações gráficas fornecem uma rápida interpretação da relação en-
tre as grandezas envolvidas num determinado fenômeno. Essas grandezas podem
pertencer ao campo da Física e em particular à Cinemática, como estudamos ante-
riormente, ou a outros campos do conhecimento — econômico, social, geográfico
etc. Por exemplo, vamos analisar uma das questões propostas no Enem (Exame
Nacional do Ensino Médio), cujo enunciado é o seguinte:
O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes,
como eletricidade, gás de cozinha, lenha etc. O gráfico mostra a evolução do con-
sumo de energia elétrica residencial comparada com o consumo total de energia
residencial, de 1970 a 1995.
=-9— Energia total
i Energia elétrica
> u
So o
f J
30 4
20
10
Consumo de energia
(X 10° tep*)
1970 1975 1980 1985 1990 1995
* tep = toneladas equivalentes de petróleo
E Fonte: valores calculados através dos dados obtidos de:
http//infoener.iee.usp.br/1999
Verifica-se que a participação percentual da energia elétrica no total de energia
gasto nas residências brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, aproxima-
damente, de:
a) 10% para 40%
b) 10% para 60%
c) 20% para 60%
d) 25% para 35%
e) 40% para 80%
A resolução dessa questão baseia-se, essencialmente, na análise do gráfico for-
necido. Utilizando-se os dados apresentados no gráfico, verifica-se que, em 1970,
o consumo de energia elétrica residencial foi de aproximadamente 2,0 - 10° tep,
dentro de um total de 22 - 10º tep. Em termos de porcentagem, temos:
2,0 + 10º
22: 10º
= 0,09 = 10%
Em 1995, tivemos um consumo de energia elétrica residencial de 20 + 10º tep,
em um total de 33 - 10º tep, aproximadamente. Em termos de porcentagem:
20 + 10º
33 * 10º
Portanto, a participação percentual da energia elétrica no total da energia gasto
nas residências cresceu, entre 1970 e 1995, de 10% para 60% (alternativa b).
= 0,60 = 60%
EXCL as pesa ssa PC Ci E Aa ara nd sis da gas pos van Caviar ER a gs a as e na EE Ci CE ss dA PA retas EC nn der Es ds a a dd
Curituio 6 + Gráricos. Gráricos DO MU £ po MUV
Além dos gráficos cartesianos, existem outros
tipos. Vamos analisar mais uma questão proposta no
Enem, agora envolvendo um gráfico de colunas. Seu
enunciado é o seguinte:
Em reportagem sobre crescimento da população
brasileira, uma revista de divulgação científica pu-
blicou tabela com a participação relativa de grupos
etários na população brasileira, no período de 1970 a
2050 (projeção), em três faixas de idade: abaixo de
15 anos; entre 15 e 65 anos; e acima de 65 anos.
69,7
63,3 64,4
2000 2050
População abaixo de 15 anos
EH População entre 15 e 65 anos
EH População acima de 65 anos
Admitindo-se que o título da reportagem se refira
ao grupo etário cuja população cresceu sempre, ao
longo do período registrado, um título adequado
poderia ser:
a) “O Brasil de fraldas”
b) “Brasil: ainda um país de adolescentes”
c) “O Brasil chega à idade adulta”
Teste sua leitura
d) “O Brasil troca a escola pela fábrica”
e) “O Brasil de cabelos brancos”
A análise do gráfico nos mostra o crescimento da
população acima de 65 anos, fato que sugere o título
“O Brasil de cabelos brancos”.
Outro tipo de gráfico é aquele em que um disco
é dividido em setores. Cada setor representa a por-
centagem de incidência de uma parte de um deter-
minado evento. O disco todo representa 100%.
Observe o gráfico de setores que fornece as
porcentagens de incidência dos diversos ramos
compreendidos pela Física, nas questões do exame
de 2006 da primeira fase da Fuvest.
O gráfico abaixo nos mostra que houve predo-
minância de questões de Mecânica (41,6%). De
todas as questões, 25% referiram-se à Eletricidade,
16,6% à Termologia. Óptica e Ondas ficaram com
8,4% cada uma.
16,6%
Termologia
25%
Eletricidade
41,6%
Mecânica
L8 — (Enem-MEC) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na
expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A
Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande
aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200
novas linhas telefônicas.
Gráfico |
Número total de linhas telefônicas
2.2004 -------------------------- -a
2.1504 ------------------- -g
2.100+
2.050
2.000
© +-----------7---
i
Jan. Abr. Ago. D
Gráfico II
Número total de linhas telefônicas
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
b Teste sua leitura
19.
Lio
Lu
Analisando os gráficos, pode-se concluir que:
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. q
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o Il incorreto. =
c) o gráfico Il apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto. a
d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. (2)
(Enem-MEC) No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação ao real, entre o final
de 2001 e o início de 2005. Por exemplo, em janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.
4,00 ——— —
3,60 + —
3,20
2,80
2,40
2,00 +~
1,60 +
1,20 ++
Jan. 2002 Jan. 2003 Jan. 2004 Jan. 2005
m (Fonte: Banco Central do Brasil.)
Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em relação ao dólar foi no:
a) final de 2001. b) final de 2002. © início de 2003. d) final de 2004. e) início de 2005.
(Enem-MEC) No gráfico estão 6
representados os gols marcados ana@s s: Gols marcados
e os gols sofridos por uma equi-
pe de futebol nas dez primeiras
partidas de um determinado
campeonato.
Considerando que, nesse campeo-
nato, as equipes ganham 3 pontos
para cada vitória, 1 ponto por em-
geme Cols sofridos
Número de gols
Ua
+
pate e O ponto em caso de derrota, 0 , 2», A |
i 3 S + sy <> v D D > D >
a equipe em questão, ao final da $ $ º SP P Ñ$ x$ $ SP sf
décima partida, terá acumulado , .
um número de pontos igual a: Data da partida
a) 15 b) 17 c) 18 d) 20 e) 24
(Enem-MEC) As Olimpíadas são uma oportunidade para o congraçamento de um grande número de países,
sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características culturais,
socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 300 medalhas de ouro con-
quistadas apresentou a seguinte distribuição entre os 196 países participantes, como mostra o gráfico.
Distribuição das medalhas de ouro Olimpíadas de Sydney - 2000
200
0 | China | Austrália | Alemanha | Outros
EUA Rússia
| Número de medalhas | 40 32 28 | 16 | 13 | 171
O
b Teste sua leitura
Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000:
a) cada país participante conquistou pelo menos uma.
b) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países.
c) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados.
d) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados.
e) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos.
L12- (Enem-MEC) À escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina,
como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes
de futebol do Rio de Janeiro.
Total: 112 jogadores
60 54
40
20 14 16 14 14
Fundamental ` Fundamental © Médio ` Médio ` Superior
incompleto incompleto incompleto
E (O Globo, 24/7/2005.)
ai
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino
Médio é de aproximadamente:
a) 14% b) 48% © 54% d) 60% e) 68%
L13- (Enem-MEC) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos
de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representadas as por-
centagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.
X Y Z
24% 12%
12%
36%
RÈ Cd a A a A L a a di a e i a:
š
8
a
:
2
g
S
É
3
É
A
ê
$
E
E
ã
Ê
34% 2% 13%
Lixo BE Poluição do ar
NE Poluição sonora
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate à poluição
em cada uma delas seria, respectivamente:
CC | : Y Z )
Esgoto aberto Dejetos tóxicos
et Ea ai A tap
iii
a) | Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle de emissão de gases
b) | Controle de despejo industrial | Manejamento de lixo Controle de emissão de gases
c) | Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle de despejo industrial
d) | Controle de emissão de gases | Controle de despejo industrial | Esgotamento sanitário
ada A E E SAS Og
e) | Controle de despejo industrial | Manejamento de lixo Esgotamento sanitário
ve es é strsns asas anais + sire
FE
As gotículas de
água expelidas pela |
fonte descrevem r
trajetórias
parabólicas.
1. NOÇÃO DE DIREÇÃO E SENTIDO
2. GRANDEZAS ESCALARES E GRANDEZAS VETORIAIS
HAROLDO PALO JR. / KINI
3. VETOR
4. ADIÇÃO VETORIAL E Os vetores são extensivamente usados
5. VETOR OPOSTO em Física. Por esse motivo, neste capítulo
6. SUBTRAÇÃO VETORIAL definimos vetores e suas operações básicas.
E uma preparação matemática necessária para
7. PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR , =
a continuação deste curso.
8. COMPONENTES DE UM VETOR
B.. Noção de direção e sentido
Considere um feixe de retas paralelas a uma dada reta r (figura 1).
r
S
Figura 1.
O ângulo 9 que as retas do feixe formam com a reta s determina a direção de r e de todas as retas
paralelas a r. Sendo assim, direção é o que há de comum num feixe de retas paralelas.
Numa mesma direção podemos ter dois sentidos possíveis. Por exemplo, na direção horizontal,
temos o sentido da esquerda para a direita e o da direita para a esquerda; na direção vertical, temos o
sentido de cima para baixo e o de baixo para cima. É muito comum o uso de placas indicativas, que
fornecem direções e sentidos de vários destinos, como mostra a foto de abertura.
OB 2. Grandezas escalares e grandezas vetoriais
Muitas grandezas ficam perfeitamente definidas quando conhecemos seu valor numérico e a corres-
pondente unidade. Tais grandezas são denominadas grandezas escalares. É o caso, por exemplo, da
massa e do volume de um corpo. Quando dizemos que a massa de um corpo é igual a 20 kg e que seu
volume é de 10 litros, nada mais precisamos acrescentar para definir essas grandezas.
Existem, porém, grandezas que, além do valor numérico e da unidade, necessitam de direção e
sentido para que fiquem definidas. Por exemplo, a distância em linha reta de São Paulo a Belo Horizonte
é de aproximadamente 510 km (figura 2a). Para chegarmos a Belo Horizonte partindo de São Paulo, de-
vemos percorrer 510 km aproximadamente na direção sudoeste-nordeste, no sentido de sudoeste para
nordeste. Grandezas que necessitam, além do valor numérico e unidade, de direção e sentido para serem
definidas são chamadas grandezas vetoriais, sendo representadas matematicamente por vetores.
etT14 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O deslocamento entre dois pontos é uma grandeza vetorial. Um vetor pode ser representado como
na figura 2b, por meio de um segmento orientado.
e
"o
>
Faia
-a
tri
Figura 2a. A localização de São Paulo e Belo Horizonte no mapa. Figura 2b. A representação vetorial do
deslocamento de São Paulo a Belo
Horizonte.
B 3. Vetor
Os segmentos orientados da figura 3 têm o mesmo comprimento e,
por serem paralelos, têm a mesma direção. Têm ainda o mesmo sentido.
Vetor* é o ente matemático caracterizado pelo que há de comum ao
conjunto dos segmentos orientados acima descrito: o mesmo comprimen-
to, a mesma direção e o mesmo sentido. O comprimento comum dos B
segmentos orientados é chamado módulo do vetor. Assim, um vetor possui A
módulo, direção e sentido.
Vad vetor: V
Notação
4 , > Figura 3.
módulo do vetor: |V| ou V
Figura 4.
Representa-se o vetor por um segmento orientado, como o segmento orientado AB da figura 4:
A é a origem e B é a extremidade. O comprimento de A até B representa o módulo do vetor, de acordo
com a escala adotada para a representação gráfica.
Dois vetores são iguais quando têm o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Portanto,
nas figuras 3 e 4, AB representa um único vetor.
Dois vetores são diferentes quando têm ao menos um desses elementos diferente. A grandeza física
vetorial representada graficamente na figura 5 em três instantes distintos está variando porque os veto-
res têm direções diferentes, ainda que tenham o mesmo módulo. Assim, uma grandeza vetorial varia
quando variar ao menos um dos três elementos do vetor que a representa: o módulo, o sentido ou a
direção (figura 6).
(b)
t
(t) (t)
Figura 5.
A —> B D «— c F«—:£ AB CD (sentidos opostos)
AB + GH (módulos diferentes)
C —>H <x “a r AB + ZT (direções diferentes)
Figura 6. Mas: |AB | = |CO} = |EF| = |Z7|
* Vetor é um termo que provém do latim vector (condutor). Com esse significado ainda é utilizado em Biologia:
“o vetor transmissor de uma doença” significa “o agente condutor da doença”.
CORCUUCA LUA En D EA LORD UOL ROO ONES CERCADO LCOLTO LONDRES COUNTERS UCL LERDO CEDER DOU De Dan en ana s oa cu sanar a vn anos rasa so sena pata
Carítulo 7 + VETORES 115 °
B.. Adição vetorial
Considere os vetores V, e V, representados respectivamente C
pelos segmentos orientados AB e BC, com o ponto B em comum
(figura 7). O vetor V representado pelo segmento orientado AC,
cuja origem A é a origem do primeiro e a extremidade C é a extre- Vs V,
+ 2 . —> —+
midade do segundo, é denominado vetor soma dos vetores V; e V,
e se indica por: B
1 Y AAA
Figura 7.
Observe que a igualdade anterior é vetorial, diferente portanto das igualdades algébricas a que você
está habituado. Na figura 7, o módulo do vetor V, não é igual à soma dos módulos dos vetores V, e V,.
Portanto: V, + Vi + V.
Essa regra gráfica de operação se aplica quando os segmentos orientados que representam os vetores
que se deseja somar são consecutivos (ponto B em comum). Quando não o forem, os vetores devem
ser deslocados por translação até que se tornem consecutivos, aplicando-se então a regra (figura 8).
A ordem de colocação não altera o resultado final.
Essa regra vale para dois ou mais vetores (figura 9). Os vetores podem ter a mesma direção (figura
10) ou direções diferentes (figuras 7, 8 e 9).
D
A -
7 ⁄ c
1 ua 7 — —>
V, V a) Vo B V,
c D A maae E
B B =
A > á
A Ê D A v A —C
V v
` A A — y b) p ———~:F
V, v V z
V-V V, BXC voc D— «+
2 V= VVV AV, v,
Figura 8. Figura 9. Figura 10.
Note, na figura 11b, que o vetor soma V, = Y, + - V, é representado pela diagonal de um paralelogra-
mo, cujos lados são representações dos vetores V, e V,. Temos assim a chamada regra do paralelogramo
da adição de vetores, equivalente à regra gráfica de torná-los consecutivos (figura 11a).
a b
) . ) e
o “4 Entre na rede aa
Vs o l |
v | No endereço eletrônico http://
| www.walter-fendt.de/ph21br/
A = B A | resultant. br.htm (acesso em
v . | 13/2/2007), você pode fazer a adição
Figura 11. | de vetores, variando o número de veto-
l res, o módulo e o O ângulo entre eles.
OBSERVAÇÃO TT oee
Quando os segmentos orientados que vV
representam os vetores formam uma linha
poligonal fechada (a extremidade do último
segmento orientado coincide com a origem
do primeiro), o vetor soma é denominado
vetor nulo e é indicado por 0.
O módulo do vetor nulo é zero.
V=G+Wb+V=0
CLODOONSAMO NORA CLD COLO IEDASA LOCO VA DEAD DDT CANCUN RACIAL TS DADA CLS ACAO N SECCO ACTAS PASSO SAL SE NS ro once sa casas
en16 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercício
resolvi
i São dados os vetores x e yde módulos x = 3 e y = 4. Determine grafica-
mente o vetor soma V; e calcule o seu módulo.
Solução:
Podemos aplicar a regra dos vetores consecutivos ou a regra do paralelo-
EN
gramo para obter graficamente o vetor soma Vo
Para calcular o módulo do vetor soma V, podemos usar o teorema de
Pitágoras, uma vez que x, y e V, constituem os lados de um triângulo
retângulo.
=x +y > V=37 +? => Vi-9+16-295 5
Observe que, para o cálculo do módulo de um vetor, consideramos ape-
nas a solução positiva da equação.
Resposta: 5
Exercícios
- propostos
— —
P.133 Dados os vetores a e b, cujos módulos valem, respectivamente, 6 e 8,
determine graficamente o vetor soma e calcule o seu módulo.
P.134 Dados os vetores a, bec, c, represente graficamente os seguintes vetores:
+
ec
— > > > > <- >
a+b;a+ca+r+b+e.
P.135 Determine o módulo dos vetores a + be a + c. O lado de cada quadradi-
nho mede uma unidade.
—>
P.136 Considere os vetores a, b, ce d da figura ao lado. Determine graficamente
o vetor soma (a + b + c + d) e calcule o seu módulo. Sabe-se que o lado
de cada quadradinho mede uma unidade.
Ø 5. vetor oposto
—> —+ ` 4
Chama-se vetor oposto de um vetor Vo vetor — V que possui o mesmo módulo, +
a mesma direção e sentido oposto ao de V (figura 12).
CarítuLo 7 «e VETORES
=,
=<
Sl
v
Figura 12.
consusae deparo ra rena casar r erra serena sn ra narra
OBSERVAÇÃO
—> —> —
O vetor soma V, de um vetor V com seu oposto — V é o vetor nulo:
L=V+(D-d
B.. Subtração vetorial
Considere os vetores V, e V, e a operação V = V,- Vi = V, + (-V). O vetor Vo é a diferença entre
os vetores V, e V, nessa ordem. Portanto, para subtrair V, de V,, deve-se adicionar V, ao oposto de V,
(figura 13).
—
p= VVE VEV)
Figura 13.
O vetor diferença W=V-V, pode ser obtido diretamente, ligando-se as extremidades dos seg-
mentos orientados que representam V; e V, no sentido de V, para V, (figura 14).
Vo= V- V= V +V) — > — —
v: V= V-V,
V
Figura 14.
Exercício
resol
Dados os vetores a e b, cujos módulos valem, respectivamente, 6 e 8, determine grafica-
mente o vetor diferença V = = a — be calcule o seu módulo.
S}
Solução:
À operação = -a-bé equivalente a V= =a+ (— b). Então, ao vetor a a devemos somar
o vetor oposto de b, isto é, -b
>]
Sendo os módulos a = 6 e b = 8, podemos calcular o módulo do vetor diferença aplicando o teorema de Pitá-
goras ao triângulo retângulo formado pelos vetores a, —b e Vo:
V= @ +b => Vj=6+8> V5=36+6 > V5=100=> |V=10
Resposta: 10
OO CICLLESODLLOL CASE DONALD SLECLIDEDECLLLL CALC LL OCL NOLL DLCTL SANDRO LAOL ONDULADO USOU OU CDA RURAL De nes CORA RU ses e CoD noso asa soca
en8 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
ão proibida. Art. 184 da Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.137 São dados os vetores x e y y de módulos x=3ey = 4. Determine grafi-
camente o vetor diferença V= =x- y e calcule o seu módulo.
P.138 Dados os vetores a e b, determine graficamente o vetor diferença b-a.
P.139 Determine os módulos dos vetores a — b e c— d Sabe-se que o lado
de cada quadradinho mede uma unidade.
k
i : —+
: a
P.140 Represente graficamente os vetores diferença V, — V, e V — V..
Ø 7. Produto de um número real por um vetor
+ —
Chama-se produto de um número real n pelo vetor V ao vetor:
módulo: ipl = nl IV] (produto dos módulos)
| que: 4 direção: a mesma de V(é paralelo a V),senz0
sentido: de Vse n é positivo; contrário a Vse né negativo (figura 15)
Sen = 0, resulta p= ho) (vetor nulo).
a) b)
n=2;p=2V n=-1,5;p=-1,5V
vV V
——» —>
— <7
p=2V =-1,5V
CarítuLo 7 + VETORES 119º
Exercícios
“resolvidos
Dados os vetores a e b, represente graficamente o vetor 2a + 3b e calcule seu
módulo. Sabe-se que o lado de cada quadradinho mede uma unidade.
>
a
Solução:
> >
O vetor 2a tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor a e módulo 35
duas vezes maior, isto é, seu módulo é 4. O vetor 3b tem a mesma direção e
o mesmo sentido do vetor b e módulo três vezes maior, isto é, seu módulo
é 3. Na figura ao lado, representamos os vetores 2a, 3be 2a + 3b. O módulo
desse último vetor é igual a 5, de acordo com o teorema de Pitágoras: 2a
pa + V4 = J235 =5 22 +3b.
Resposta: 5
> >
> >
No gráfico estão representados os vetores a, b, i e j . Determine as expres-
sões de a e bem função de i Pej.
Solução:
> >
O vetor a tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor i e módulo três
vezes maior.
Portanto:
— i y
b
— . - . > A 7
O vetor b tem a mesma direção e sentido oposto ao vetor j e módulo duas j
vezes maior. 7
Portanto: | b = -27
Resposta: a-3:b= -27
Observação:
> Paa a . . A uso
Na escala dada, os módulos dos vetores i e j são iguais a uma unidade. Todo vetor de módulo 1 (vetor unitário)
recebe o nome de versor.
P.141 Dados os vetores a e 5, represente graficamente os vetores:
|
-a; 3b; a — b; a + 3b. b- a.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
-> > > > > >
P.142 No diagrama estão representados os vetores a a, b, c, d, i e j. Determine as
expressões de a, b, ce d, em função de ie ej. b
le
mê o
>|
Bs. Componentes de um vetor
Considere o vetor V representado pelo segmento orientado AB e o eixo x (figura 16). Sejam A’ e B'
as projeções ortogonais de 4 e B sobre o eixo x.
a) B b) B
ad Nx
Ai i ; A
| V i V
a_l > et 1
A! B' x B' A! xX
Figura 16.
O vetor V, representado pelo segmento orientado A'B' é denominado vetor componente do vetor
V no eixo x. a
Chamemos de V, a medida algébrica do segmento orientado A'B’. O sinal de V, será:
e Ð se o sentido de A'B for o mesmo do eixo x (figura 16a);
e O seo sentido de A'B for contrário ao sentido do eixo x (figura 16b).
V, é denominado componente do vetor V no eixo x ou projeção de Vem x.
É frequente o uso de trigonometria (veja quadro abaixo) quando se utilizam vetores. Na figura 17, o
ângulo 6 é adjacente ao cateto cujo comprimento é |V,| e o módulo de Vé a medida da hipotenusa; da
definição do cosseno obtemos V,.
B B
v | v
o o ooo o 8 o
A! 4 | | v IA
| v | v, |
us» —— m
A! B' X B' A! X
V=+Vcos6 V=-V.cos6
Figura 17.
DO
Elementos de trigonometria i:
mm EOS ES r
i ;
Í :
C b |
| snð =— > b=c-senô6 |
i c ;
| . Pan ` . . ,
| A medida de um cateto é igual à medida da hipotenusa |
| c multiplicada pelo seno do ângulo oposto a esse cateto. |
a fi
| b cos6=— > q=c:cos6
c
| o A medida de um cateto é igual à medida da hipotenu- |
| A 8 sa multiplicada pelo cosseno do ângulo adjacente a esse |
| a cateto. ,
renome +
CO CCOC LD OO E O ERLCAE UC CLTLLCL LELEO LAUEL NOSSA ANOS NODED CLOSE OLL DUO DOLLARS DONE O CUCA CU LRC RUN E DOADOR RODA SR Danca nd
Carítuio 7 + VETORES 121º
Na figura 18 indicamos os vetores componentes V, e V, do
vetor V nos eixos x e y de um plano cartesiano. Desse modo,
escrevemos: V = V, + V,
Observe nesse caso que as componentes serão:
V4=V:cos0 e V,=V-sen6
— — —
V, e V,: vetores componentes do vetor V
V, e V; componentes do vetor V
Figura 18.
cícios
resolvidos
Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de incli- yA
nação em relação à horizontal, conforme a figura. Determine as
componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical
(eixo y).
São dados: sen 30° = 0,500 e cos 30° = 0,866.
Solução:
—
v
> >
Na figura temos os vetores componentes vV, € U,.
Componente horizontal:
v, = v ' cos 30° > v, = 200 - 0,866 = |v, = 173,2 m/s
Componente vertical:
v, =v: sen 30° = v, = 200 -0,500 > |v, = 100 m/s v, = v» cos 30°
Resposta: 173,2 m/s; 100 m/s
v. sen 30°
4
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
>
Te Determine as componentes do vetor V segundo os eixos x e y. yA
O lado de cada quadradinho mede uma unidade.
>
0 x
Solução:
Na figura ao lado representamos os vetores componentes V. e yA
V, do vetor V.
Como o sentido de V. é contrário ao sentido do eixo x, concluí-
mos que a componente V, é iguala —2.
A componente V, é igual a + 3. Note que V, tem o mesmo senti-
do que o eixo y.
Respostas: V, = —2; V, = +3
>
0 x
e122 Os FUNDAMENTOS DA Física
P.143 Uma lancha se desloca numa direção que faz um ângulo de 60º com N
a direção leste-oeste, com velocidade de 50 m/s, conforme a figura. Y gy
Determine as componentes da velocidade da lancha nas direções nor-
te-sul (eixo y) e leste-oeste (eixo x). o 60º À:
São dados: sen 60º = 0,866 e cos 60º = 0,500. x
P:144 Determine as componentes dos vetores a, b, Z ea + 5, segundo os ei-
xos x e y. Sabe-se que o lado de cada quadradinho mede uma unidade.
>
X
gs
= gesso t
zns 10S propostos
£ D ~
: de recapitulação
3 P.145 Represente o vetor soma dos seguintes vetores:
E a) Y d) 8) y T
ã A meme |
È B ————>C x
3 X Z X
oO
: b) ) b) i
T e
Z N P D ————F O
ê < Fal v V
3 M
a 9 N K Ds c i)
E O
DO S
E v v;
T A
D
P.146 Represente o vetor diferença em cada caso.
a VWo=W- MW A Dh=V-—y A
vi V
O — B O — B
V v
P.147 (PUC-MG) Dados dois vetores aeb de soma 5e diferença D = a - b, esboce, num só diagrama,
as quatro grandezas vetoriais citadas.
P.148 Dado o conjunto de vetores representado na figura, escreva uma rela-
ção entre eles na forma vetorial. Di
Capítulo 7 + VETORES 123º
Tia
23
São grandezas vetoriais:
a) tempo, deslocamento e força.
b) força, velocidade e aceleração.
c) tempo, temperatura e volume.
d) temperatura, velocidade e volume.
21 (Unitau-SP) Uma grandeza vetorial fica perfeita-
mente definida quando dela se conhecem:
a) valor numérico, desvio e unidade.
b) valor numérico, desvio, unidade e direção.
c) valor numérico, desvio, unidade e sentido.
d) valor numérico, unidade, direção e sentido.
e) desvio, direção, sentido e unidade.
(PUC-MG) Para o Ex
diagrama vetorial ao
lado, a única igualda-
de correta é:
&
A}
+
`
]
=}
ny
I
aaa
>
a
+
Ii
R|
SLORY
|
SSI o/a
|
ZBEDSS
(UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores,
BA, FA, CB, CDe DE, conforme figura abaixo, as-
sinale a alternativa que contém a relação vetorial
correta.
a) CB + CD + DE = BA + EA
b) BA + EA + CB=DE+CD
© EÅ - DE + CB = BÀ + CB
d) EA - CB + DE = BA - CD
e) BÄ - DE - (B = EA + CD
E (Mackenzie-SP) Com
seis vetores de módu-
los iguais a 8 u, cons-
truiu-se o hexágono
regular ao lado.
O módulo do vetor re-
sultante desses seis ve-
tores é:
a) 40u b)32u ©924u d)l6u e) zero
5 (Unifesp) Na figura, são dados os vetores a, be c.
“(Fatec-SP) No
Sendo u a unidade de medida do módulo desses
vetores, pode-se afirmar que o vetor d=a-b+c
tem módulo:
a) 2 u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
©) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) J2 u e sua orientação forma 45º com a hori-
zontal, no sentido horário.
e) J2 u e sua orientação forma 45º com a hori-
zontal, no sentido anti-horário.
à (FMTM-MG) A figura apresenta uma “árvore veto-
rial” cuja resultante da soma de todos os vetores
representados tem módulo, em cm, igual a:
a) 8
b) 26
co) 34
d) 40
e) 52
gráfico estão re-
presentados os
vetores a, be c
Os vetores ře 7
são unitários.
Analise as ex-
pressões:
La=2+37 04 E
Lb=27 ilL
M.E + c= +i i
Podemos afirmar que:
a) são corretas apenas a le a II.
b) são corretas apenas a II e a III.
c) são corretas apenas a I e a Il.
d) são todas corretas.
e) há apenas uma correta.
n}
128 (UFMS) Considere o vetor
F que forma um ângulo
0 com o eixo x, conforme
figura ao lado.
Assinale a afirmativa
que apresenta a notação 8
correta para a compo-
nente de Fno eixo x.
a) F, = |F| - cos 8
b) F, = |F| - cos 8
o |F| =F- cos8
aj
=
d) F, = F- cos 8
© F -F.cos6
sroeereereerereeeeeerrernessetesrereuoeerseseensereroreeeuenrorevessensessesonenvesvsseuseseoeesessoscoesrervereoseesoeroseperasuvpvesersenssuvosersonano
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1. INTRODUÇÃO
2. VETOR DESLOCAMENTO
3. VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA E A velocidade e a aceleração são caracterizadas como grandezas
4. VELOCIDADE VETORIAL INSTANTÂNEA vetoriais, tendo módulo, direção e sentido. Neste capítulo,
5. ACELERAÇÃO VETORIAL MÉDIA analisamos a chamada aceleração centrípeta, que está |
6. ACELERAÇÃO VETORIAL INSTANTÂNEA relacionada com a variação da direção da velocidade vetorial e,
consequentemente, só aparece em trajetórias curvas. Discutimos,
7 COMBOSICÃO DE MOVIMENTOS também, a composição de movimentos.
B.. Introdução
Nos capítulos anteriores tratamos a velocidade e a aceleração como grandezas escalares, e por essa
razão elas foram chamadas de velocidade escalar e aceleração escalar.
Neste capítulo, a velocidade e a aceleração são caracterizadas como grandezas vetoriais. Estudaremos
a velocidade vetorial média e a instantânea, bem como a aceleração vetorial média e a instantânea.
2. Vetor deslocamento
Um ponto material ocupa num instante t, a posição P, cujo espaço é sı. No instante posterior t,, O
ponto material ocupa a posição P, de espaço s, (figura 1). Entre essas posições, a variação do espaço
É AS = S — S
O vetor d, representado pelo segmento orientado de origem P, e extremidade P,, recebe o nome
de vetor deslocamento do ponto material entre os instantes t, e tz.
Na situação representada na figura 1, em que a trajetória é curvilínea, o módulo do vetor desloca-
mento é menor do que o módulo da variação do espaço (di < |As)).
O
Figura 1.
No caso em que a trajetória é retilínea (figura 2), o módulo do vetor deslocamento é igual ao módulo
da variação do espaço (|d| = |As|).
As ®
4 mimo»
O P d P, s
(d|=| As]
Figura 2.
Caríruio 8 + VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 125 ©
E 3. Velocidade vetorial média
Vimos que a velocidade escalar média v„ é o quociente entre a variação do espaço As e o corres-
pondente intervalo de tempo At:
_ As
At
— a —
A velocidade vetorial média v, é o quociente entre o vetor deslocamento d e o correspondente
intervalo de tempo At:
A velocidade vetorial média Va possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento
d (figura 3).
P (h) —
F? d
5 —— ——€———— DD pos
P, (t) = Pt) Bt) S
E >
vV m
-> ap
Figura 3. O vetor v, tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento d.
Seu módulo é dado por:
Em trajetórias curvilíneas, temos Id] < |As] e portanto |V, m| < |vml. Para trajetórias retilíneas, resulta
[Vn] = vol, pois |d = Jas..
Por exemplo, na figura 4, uma partícula percorre uma semicircunferência de raio R, em certo interva-
lo de tempo At, partindo do ponto P, e chegando ao ponto P,. Nesse intervalo de tempo, a variação
do espaço é As = TR e o vetor deslocamento d tem módulo igual a 2R ad= = 2R). A velocidade escalar
2R
R
média v„ entre as posições P, e P, é v, = 7 E
Val =
P, T P,
Figura 4.
P.149 Um carro percorre a quarta parte de uma pista horizontal e circular de raio 100 m, em 10 s.
Determine, nesse intervalo de tempo, os módulos:
a) da variação do espaço;
b) do vetor deslocamento;
c) da velocidade escalar média:
d) da velocidade vetorial média.
PORIO CON CANA CORE Lana CA EO UC O RED OCL DU LOC NCR NENE DELLO DEDOS DAL DO COLAR CLOSE DUNCAN SSL NIO CLA SO AC U RC CO O CU Us Ton tr o sos dd
126 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2004 COMPANHIA DO METROPOLITANO DE SÃO PAULO-METRÔ
i
r
Tucuruvi
P.150 No mapa da rede metroviária de São Paulo, des- SÃO PAULO
i istânci ô Parada Inglesa
tacamos a linha azul. A distância que o metrô (Ses soro
percorre entre os terminais Jabaquara e Tucuruvi O o
é de 20,2 km e a duração da viagem é de 44 min.
a) Qual é o módulo da velocidade escalar média do
metrô entre os terminais Jabaquara e Tucuruvi?
b) Represente o vetor deslocamento entre as esta-
ções Jabaquara e Tucuruvi e calcule seu módulo.
Sabe-se que, na escala do mapa, cada 1 cm cor-
responde a 2 km.
c) Qual é o módulo da velocidade vetorial média
entre os citados terminais?
“O modes
“E
ei
e
i ga
I Cidade Jardim “4º” Vila Prudente
EES
„eE; Jemanduatot
“o do igiena es
nene 4 ki
< Sacomã
pN Olimpia
São hre D
SÃO CAETANO `
DO SUL
(|) 4. Velocidade vetorial instantânea
Considere uma pequena esfera descrevendo uma certa trajetória em relação a um dado refe-
rencial (figura 5). Num instante t, essa esfera ocupa a posição P.
A velocidade vetorial v da esfera, no instante t, tem as seguintes características:
e módulo: igual ao módulo da velocidade escalar no instante t (Vi = Iv);
e direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P;
e sentido: do movimento.
Lembre-se de que um vetor varia quando qualquer um dos seus elementos varia (módulo, direção,
sentido); logo, a velocidade vetorial varia quando um desses elementos varia. Desse modo, se um ponto
material descreve uma curva (figura 6), sua velocidade vetorial já está variando, pois, em cada
ponto da curva, existe uma reta tangente; portanto, em cada ponto a velocidade vetorial possui uma
direção. Assim, a velocidade vetorial varia num movimento curvilíneo independentemente do tipo do
movimento (uniforme, uniformemente variado etc.). Em resumo:
Trajetória curva < Variação da direção da velocidade vetorial
Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial tem módulo constante, pois a velocidade escalar
é constante.
Nos movimentos variados, o módulo da velocidade vetorial varia.
Movimento variado « Variação do módulo da velocidade vetorial |
Movimento
y Reta tangente Figura 6. Variação da direção da velocidade
Figura 5. `> à trajetória por P vetorial.
Carítuio 8 e VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 127º
Bs. Aceleração vetorial média
Quando estudamos os movimentos variados, definimos a aceleração escalar média (œn) como sendo
o quociente entre a variação da velocidade escalar (Av = v, — v,) pelo intervalo de tempo correspondente
(At=t— tj).
De modo análogo, podemos definir a aceleração vetorial média A . Seja v, a velocidade vetorial de
um ponto material num instante t, e v, a velocidade vetorial no instante posterior t, (figura 7a). A aceleração
vetorial média Am é dada por:
A aceleração vetorial média a, tem a mesma direção e o mesmo sentido de Av (figura 7b).
b)
—
Figura 7.
Por exemplo, na figura 8, uma partícula passa pelo ponto P}, no instante t,, com velocidade Vi;
e, no instante t, atinge o ponto P, com velocidade v;, tal que |v;| = |V| = v. Observe que v, e V, são
tangentes à trajetória nos pontos ?, e P, e têm o sentido do movimento. Para o cálculo do módulo da
aceleração vetorial média no intervalo de tempo At = t, — t, devemos, inicialmente, calcular o módulo
de Av = v — v, (figura 9).
P(b)
— A
v =
a Av
v
Pt)
y
Mi= i=”
Figura 8. Figura 9.
g g
AvP =v? +y? > Jav] =v: y2
lav] = w2
At At
Portanto: |a
i] Exercicio
P.151 As velocidades vetoriais U, v, e v; de uma partícula nos instan-
test, = 0, = 2s e h = 5 s, respectivamente, estão representa- P, 4
das na figura. Calcule o módulo da aceleração vetorial média nos
i P,
intervalos de tempo:
a) de 4 a t; E
b) de ża h. “
v% =
P
1,0 m/s
|o
1,0 m/s
°128 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
B.. Aceleração vetorial instantânea
A aceleração vetorial instantânea a pode ser entendida como sendo uma aceleração vetorial média,
quando o intervalo de tempo At é extremamente pequeno.
Sempre que houver variação da velocidade vetorial v, haverá aceleração vetorial a.
A velocidade vetorial v v pode variar em módulo e em direção*. Por esse motivo a aceleração vetorial
a é decomposta em duas acelerações componentes: aceleração tangencial (a,), que está relacionada
com a variação do módulo de v, e aceleração centrípeta (do), que está relacionada com a variação
da direção de v.
6.1. Aceleração tangencial
A aceleração tangencial a, possui as seguintes características:
e módulo: igual ao módulo da aceleração escalar a (|a = al;
e direção: tangente à trajetória;
e sentido: o mesmo de v, se o movimento for acelerado, ou oposto ao de v, se o movimento for retar-
dado.
a) b)
— —
v v
Vá Trajetória
Trajetória
Movimento acelerado Movimento retardado
Figura 10. A aceleração tangencial está relacionada com a variação do módulo da velocidade vetorial.
Nos movimentos uniformes, o módulo da velocidade vetorial não varia e, portanto, a aceleração
tangencial é nula. A aceleração tangencial existe somente em movimentos variados e independe do tipo
de trajetória (retilínea ou curvilínea).
6.2. Aceleração centrípeta
=}
Trajetória
A aceleração centrípeta a., possui as seguintes características:
2
e módulo: é dado pela expressão ja, , na qual v é a velocidade
p =
escalar do móvel e R é o raio de curvatura da trajetória;
e direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto;
e sentido: orientado para o centro de curvatura da trajetória (figura 11).
Nos movimentos retilíneos, a direção da velocidade vetorial não
varia e a aceleração centrípeta é nula. A aceleração centrípeta existe
somente em movimentos de trajetórias curvas e independe do tipo de Figura 11. A aceleração
movimento (uniforme ou variado). A aceleração centrípeta é também centrípeta d. está relacionada,
denominada aceleração normal. com a variação da direção de v.
“ec
% Eventualmente pode ocorrer variação de sentido do movimento, mas somente se também variar o módulo.
sesesessosseseseo sessseucsessesocsessesssosonvononesovsoesoseosesosesesosososoososvoessososssosensesosssenosososessecosscovovecoopossonesesesesvesesesseso
CaPíTULo 8 e VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 129 °
————
ho
=
kad
td
tm
6.3. Aceleração vetorial
A soma vetorial a + dp define a
aceleração vetorial a a do movimento
Aceleração vetorial
(figura 12): | z- z +i
i — t |
| Em módulo: |a P = |a}? + la, |
| > , . SP . e |
| a está relacionada com a variação da velocidade vetorial v |
o —
, Aceleração Aceleração
Trajetória , tangencial centrípeta
i > —
Ra a
cp
Está relacionada com
a variação do módulo de | a variação da direção de
+ . H > »
V; logo, existe somente V; logo, existe somente
l
H
= | q, |
E! į
|
H
|
| a
em movimentos variados | em trajetórias curvas (nos
|
f
|
í
|
$
1
l
H
Está relacionada com |
(nos movimentos unifor- | movimentos retilíneos,
Figura 12.
Ø 7. casos particulares importantes
7.1. MRU (movimento retilíneo e uniforme)
A velocidade vetorial é constante, isto é, tem módulo, direção e sentido constantes. Portanto, a
aceleração vetorial é nula: a velocidade vetorial não varia em módulo, pois o movimento é uniforme
(portanto, a, = = 0, e não varia em direção, pois a trajetória é retilínea (portanto, dep = = 0).
P, P, P,
a= 0 ão =0 a=0
Figura 13.
7.2. MCU (movimento circular e uniforme)
A velocidade vetorial v V tem módulo constante, pois o movimento é uniforme; logo, a aceleração
tangencial a, é nula. Por outro lado, a velocidade vetorial v varia em direção, pois a trajetória é curva.
2
. x , z 4 , Vl.
Consegiuentemente, a aceleração centrípeta não é nula; seu módulo la] = z) é constante, pois
a velocidade escalar v e o raio R são constantes. A aceleração centrípeta, porém, varia em direção e
sentido.
> + —
[v] = [v2] = [vs] = constante
açãO
Figura 14.
Dever renan neo sa ne nte sena na das MCNONSLODONOLCANLO ACESSOU DEDE PANDORA EAR Un a ARS O O On RO CO EO Us sa san dano nrne nero an 0
e130 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
fr)
Fes)
D
9
k]
e
E
S
>
2
É)
o]
o
v
no]
o
2
o
©
4
o
Bs
e
o
a
o
2
BD
Q
o
o
©
Reprodução proibi
7.3. MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado)
A velocidade vetorial varia em módulo, pois o movimento é variado e portanto a aceleração tangencial
a, não é nula. A aceleração centrípeta d.p é nula, pois a trajetória é retilínea. Como no MUV a aceleração
escalar o é constante, decorre que a aceleração tangencial a, tem módulo constante (/a,| = |a) e direção 5
constante. Quanto ao sentido, a, terá o mesmo sentido de v, se o movimento for acelerado, ou oposto E
O
+
ao de v, se retardado.
— — — — — —
vi v; Ys MRUV No, e > MRUV
Po. B P, acelerado P, Lp P, retardado
a a,
azo aç=0 asa
Figura 15.
7.4. MCUV (movimento circular uniformemente variado)
« > mo Ed
No movimento circular uniformemente variado, a aceleração tangencial a, e a aceleração centrípeta
> . . . - z . . . E”
Gp não são nulas, pois a velocidade vetorial varia em módulo (movimento variado) e em direção
(a trajetória é curva).
>
vi
/ MCUV acelerado
Figura 16.
rcícios
resolvidos
Uma partícula descreve um movimento circular uniformemente variado e acelera-
Sentido do
do no sentido horário. Represente a velocidade vetorial U, a aceleração centrípeta * movimento
dp, a aceleração tangencial a e a aceleração resultante a, no instante em que a a
partícula passa pelo ponto P indicado.
P
Solução: Sentido do
. Ds R ar . . movimento
À velocidade vetorial v é tangente à trajetória pelo ponto P e tem o sentido do a
movimento. À aceleração centrípeta a, p é orientada para o centro da circunfe-
rência. À aceleração tangencial a, temo mesmo sentido de U, pois o movimento é
acelerado. A soma vetorial A + a, define a aceleração resultante a.
Um ponto material percorre uma trajetória circular de raio R = 20 m com movimento uniformemente variado
e aceleração escalar à = 5 m/s”. Sabendo-se que no instante t = 0 sua velocidade escalar é nula, determine no
instante t = 2 s os módulos da:
a) velocidade vetorial;
b) aceleração tangencial;
c) aceleração centrípeta;
d) aceleração vetorial.
CapituLo 8 e VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 131º
Solução:
a) Sendo o movimento uniformemente variado, temos v = v + of. Sendo n = 0,0 =5 m/s et=2s, vem:
v=0+5:2 5 v=10m/s
À velocidade vetorial tem módulo igual ao módulo da velocidade escalar. Portanto:
ol = le] = 10 m/s
b) A aceleração tangencial tem módulo igual ao módulo da aceleração escalar:
lail = jo] = 5 m/s?
v
aal = R
> 10? >
laal = zy > laço = 5 m/s”
d) O módulo da aceleração resultante é dado por:
la = af + lay =5+5 5 | la | = 54/2 m/s? = 7 m/s
Respostas: a) 10 m/s; b) 5 m/s?; c) 5 m/s”; d) =7 m/s
c) O módulo da aceleração centrípeta é dado por |a . Sendo v = 10 m/s e R = 20 m, vem:
Exercicios
„propostos
P.152 Uma partícula realiza um movimento circular no sentido anti-horário. Represente P
a velocidade vetorial U, a aceleração centrípeta la a aceleração tangencial a,
e a aceleração resultante a, no instante em que a partícula passa pelo ponto P N
indicado, nos casos em que: Sentido do
, 2 movimento
a) o movimento é uniforme;
b) o movimento é uniformemente variado retardado.
P.153 Uma partícula descreve um movimento circular de raio R = 1 m com a aceleração escalar q = 3 m/s”. Sabe-
se que no instante t = 0 a velocidade escalar da partícula é v, = 0,5 m/s. Determine no instante t = 0,5 s os
módulos da:
a) velocidade vetorial; c) aceleração tangencial;
b) aceleração centrípeta; d) aceleração vetorial.
P.154 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme de raio R = 2 m e velocidade escalar v = 3 m/s. Deter-
mine os módulos da:
a) aceleração centrípeta; c) aceleração vetorial.
b) aceleração tangencial;
P.155 Um movimento retilíneo uniformemente variado tem aceleração escalar œ = 4 m/s”. Determine os módulos da:
a) aceleração tangencial; c) aceleração vetorial.
b) aceleração centrípeta;
Bs. Composição de movimentos
Considere uma placa de madeira em cima de uma mesa e uma formiga P situada na placa.
e132 Os FUNDAMENTOS DA Física
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Imagine a formiga movimentando-se em relação à placa, segundo a trajetória indicada na figura 18a.
Se a formiga estivesse em repouso em relação à placa e esta se deslocasse para a direita, num movi-
mento de translação uniforme, a trajetória da formiga seria a indicada na figura 18b. Na figura 18c,
representamos uma possível trajetória da formiga, em relação a um observador na Terra, se ocorressem
simultaneamente os dois movimentos citados.
Figura 18.
Três movimentos podem ser considerados (figura 19):
* o movimento da formiga P em relação à placa: movimento relativo;
* o movimento que a formiga P teria se estivesse em repouso em relação à placa e fosse arrastada por
ela: movimento de arrastamento (o movimento de arrastamento é o movimento de translação da
placa em relação à Terra);
e o movimento da formiga P em relação à Terra: movimento resultante.
Movimento relativo Movimento de arrastamento
N
Placa Terra
Movimento resultante
Figura 19.
A velocidade vetorial da formiga P em relação à placa é denominada velocidade relativa (Va).
A velocidade vetorial que a formiga P teria, se estivesse em repouso em relação à placa e fosse ar-
rastada por ela, é denominada velocidade de arrastamento (v,„). A velocidade de arrastamento é a
velocidade de translação da placa em relação à Terra. N
A velocidade vetorial de P em relação à Terra é denominada velocidade resultante (v...).
Essas velocidades (figura 20) relacionam-se pela igualdade vetorial:
Movimento
relativo Movimento resultante
—
V.
arr,
|
!
L | Movimento de
| arrastamento
Placa
Figura 20.
Em vez de uma formiga, poderíamos ter um barco movimentando-se em relação às águas de um rio,
as quais se movimentam em relação à Terra. Nesse caso, o movimento relativo é o do barco em relação às
águas. O movimento das águas em relação à Terra, isto é, em relação à margem, é o movimento de arrasta-
mento, e o movimento do barco em relação à Terra (margem) é o movimento resultante (figura 21):
Movimento relativo Movimento de arrastamento
Barco
Movimento resultante
Figura 21.
CarítuLo 8 + VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 133 C
e —
paz]
=
far)
[ee]
tri
Outros exemplos:
e O movimento de um avião em relação ao ar é o movimento relativo. O movimento do ar em relação
à Terra, que arrasta o avião, é o movimento de arrastamento, e o movimento do avião em relação à
Terra é o movimento resultante (figura 22).
Movimento relativo Movimento de arrastamento
Terra
Movimento resultante
Figura 22.
e O movimento da chuva em relação a um carro é o movimento relativo. O movimento do carro em
relação à Terra é o movimento de arrastamento e o movimento da chuva em relação à Terra é o mo-
vimento resultante (figura 23).
Movimento relativo Movimento de arrastamento
Carro Terra
Movimento resultante
Figura 23.
O estudo do movimento resultante a partir dos movimentos relativo e de arrastamento é denomi-
nado composição de movimentos. Galileu propôs o princípio da simultaneidade da realização desses
movimentos, isto é, de que os três movimentos considerados ocorrem ao mesmo tempo.
Assim, por exemplo, considere um barco que se movimenta mantendo seu eixo numa direção per-
pendicular à margem de um rio. Partindo de 4, o barco não atinge a margem oposta em 8, e sim em €,
devido à à correnteza (figura 24). No movimento relativo, o barco percorre a trajetória AB com velocidade
Va No movimento resultante, o barco percorre a trajetória AC com velocidade v,e. e, devido à corren-
teza, o barco é arrastado de B a C com velocidade vyr.
De acordo com Galileu, o intervalo de tempo gasto no movimento relativo é igual ao intervalo
de tempo gasto no movimento resultante, que é igual ao intervalo de tempo gasto no movimento de
arrastamento.
Figura 24.
Um barco está com o motor funcionando em regime constante; sua velocidade em relação à água tem módulo
igual a 5 m/s. A correnteza do rio movimenta-se em relação às margens com 2 m/s, constante. Determine o
módulo da velocidade do barco em relação às margens em quatro situações distintas:
a) o barco navega paralelo à correnteza e no seu próprio sentido (rio abaixo);
b) o barco navega paralelo à correnteza e em sentido contrário (rio acima);
c) o barco movimenta-se mantendo seu eixo numa direção perpendicular à margem;
d) o barco movimenta-se indo de um ponto a outro situado exatamente em frente, na margem oposta.
CELL DOCA SCCO CINE DC NLLUSLOC COD ED E ONO DESA CALLE ONT CUL U SOCORRER USO REL NAC DOSES CR UC OR UU Da conene sera ore nora sa nan credo
“134 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
>
O movimento do barco em relação à água é o movimento relativo (ju, | = 5 m/s). O movimento das águas em
= ` 2 . > . = >
relação às margens é o movimento de arrastamento (Jv,,.| = 2 m/s). O movimento do barco em relação às mar-
>
gens é o movimento resultante (V,es.):
> > >
Ures. = Ure. + Var
Barco, margens Barco, água Água, margens
a) Rio abaixo:
5
À velocidade resultante v,e. tem módulo igual à soma dos módulos > —
— > . = + - o ud V,
de Vie. € Varr, POis esses vetores têm a mesma direção e sentido: — Var. — ts
——»
-> > > > —» >v.
[Dres = Dre! + [Uar 5+2 > res 7 m/s res.
b} Rio acima:
>
A velocidade resultante v,e. tem módulo igual à diferença dos mó- —> E
-> - . i pa . - —+ > v
dulos de V,a, € Var, pois esses vetores têm a mesma direção, mas —> Vyr a
sentidos contrários:
—— <
Vies.
> >- —>
Dios. = [Vre [Varr 5
c) O barco atinge a outra margem num ponto rio abaixo, em relação B C
. . > , m ———
ao ponto de partida. A velocidade resultante v,., tem seu módulo “
obtido pelo teorema de Pitágoras: — '
> LL Lea v R
[Dies] = oral + [Var] (triângulo destacado) => > Vig.
—
—
— >
> [tel = V5 +22 > |, 5,4m/s
deve-se dispor o barco obliquamente em relação à correnteza, de
d) Para se atingir o ponto exatamente em frente ao ponto de partida B
modo que a velocidade resultante tenha direção perpendicular à ——— '
— e
margem. ———
as f ia —— >y,
O teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo destacado fornece: — >T
Wa? = Des + Dam > es =" 5 7 2 > [Ds] = 4,6 m/s
Respostas: a) 7 m/s; b) 3 m/s; c) 5,4 m/s; d) = 4,6 m/s
Num dia sem vento, a chuva cai verticalmente em relação ao solo com velocidade de 10 m/s. Um carro se des-
loca horizontalmente com 20 m/s em relação ao solo. Determine o módulo da velocidade da chuva em relação
ao carro.
Solução:
O movimento da chuva em relação ao carro é o movimento relativo, cujo módulo da velocidade Ta) quere-
mos determinar. O movimento do carro em relação ao solo é o movimento de arrastamento (0, = 20 m/s).
O movimento resultante é o da chuva em relação ao solo AUes] = 10 m/s). A aplicação do teorema de Pitágoras
ao triângulo destacado permite obter |U:
D 7 >y (Chuva/Solo)
Veal = [Vres T [Uar
z 7 Vas
Usei | = 10º T 20° o
V.
Ual = 10/5 m/s (Chuva/Carro)
D, Va
Ure = 22,4 m/s
> Vres.
Resposta: = 22,4 m/s eine Var.
(Carro/Solo)
DURA OLL RO NCIS USC INCLOAL CUL NOSNCADOLAVON CASAS RD UNO RUAS DT OCL DUDA CLEAR CCO DUC OSASCO OCO CORRO OR CR OA AUD a Cannon anna
CarituLo 8 + VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 135º
O] Um disco rola sem escorregar sobre o solo suposto horizontal, mantendo-se A
sempre vertical. A velocidade do centro O em relação à Terra tem módulo v. N
Determine os módulos das velocidades dos pontos 4, B, Ce D, em relação
à Terra, no instante mostrado na figura.
Solução:
O movimento do disco pode ser interpretado como a composição de dois
movimentos: um de translação e outro de rotação, em torno do centro O. C
v A v
D D
V v
Translação x
C v C Rotação
Observe que, no movimento de translação, todos os pontos do disco apresen-
tam a mesma velocidade v do centro O. No movimento de rotação, todos os
pontos periféricos giram em torno do centro O com a mesma velocidade em
módulo.
É importante notar que, no movimento resultante, o ponto de contato C
deve possuir velocidade nula em relação à Terra, pois o disco rola sem
escorregar. Sendo assim, o módulo da velocidade dos pontos periféricos,
na rotação, também deve ser igual a v, pois de outro modo a velocidade
resultante no ponto de contato não seria nula. Portanto, as velocidades dos
pontos 4, B, C e D, em relação à Terra, possuem módulos:
Va = 2V vs= 0/2 vc =0 vp = v42
v C v
Movimento resultante
OO] Um ponto material realiza um movimento no plano, tal que suas coordenadas são dadas pelas equações x = 2 + 6t
ey = 5 + 8t, com x e y medidos em metros e t em segundos. Determine:
a) a velocidade do ponto material;
b) a equação da trajetória descrita pelo ponto.
Solução:
a) O movimento resultante descrito pelo ponto material pode ser considerado a composição de dois movimentos unifor-
mes realizados segundo dois eixos ortogonais x e y. Às equações horárias desses movimentos são, respectivamente:
x=2+6t e y=5+8t
Como são movimentos uniformes (s = sy + ví), as velocidades escalares nas
duas direções valem: v, = 6 m/s e v, = 8 m/s
A velocidade resultante v é a soma das velocidades vetoriais v, e v,, cujos
módulos são iguais aos módulos das velocidades escalares. Então:
v’ = vi; + vi (teorema de Pitágoras)
v’ = 6° + 8° = 36 + 64
v = 100
b) A equação da trajetória relaciona as coordenadas x e y, sendo obtida pela eli-
minação do tempo t das duas equações anteriores. De x = 2 + 6t, obtemos:
x-2
6
emy = 5 + 8t, vem:
6
y =s ts [5]sy =s a 5)
> y=54 Sx - > |y = Sa } : (equação da trajetória)
6&=x-2 > t=
Substituindo t por
54
zi:
Graficamente, essa equação é representada por uma reta, que traduz no plano 3 ;
exatamente a trajetória descrita pelo ponto. Na figura, destacamos o instante 0 > 8 x (m)
inicialt=0(x=2m,y=5m)eoinstantet=Is(x=8m,y=1i3m).
Respostas: a) 10m/s;b) y = a + 1
OSASCO ne ro oa ses nen Pa a sen Ca CASE eU ns Rene nos san suco res costa ne sas es ca COLOR RUDE OL ALI NAGAVIC OLINDA LAOL OU NINO CACO COR Dona o no ad 0004
° 136 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
«propostos
P.156 Um barco alcança a velocidade de 18 km/h em relação às margens do rio, quando se desloca no sentido da
correnteza, e de 12 km/h, quando se desloca em sentido contrário ao da correnteza. Determine a velocidade
do barco em relação às águas e a velocidade das águas em relação às margens.
P.157 Um pescador rema perpendicularmente às margens de um rio com velocidade de 3 km/h em relação às águas.
As águas do rio possuem velocidade de 4 km/h em relação às margens. Determine a velocidade do pescador
em relação às margens.
P.158 A figura representa um rio, no qual as águas fluem com a velocidade de 3 km/h. No rio estão fixadas três balizas,
A, B e C. As balizas À e C estão alinhadas na direção da correnteza.
8 km Correnteza
—— A C
8 km
Dois nadadores, capazes de desenvolver a velocidade constante de 5 km/h, iniciam, respectiva e simultanea-
mente, os percursos de A a B e de A a C, percorrendo-os em linha reta em ida e volta. Calcular a diferença
entre os intervalos de tempo necessários para os nadadores completarem os respectivos percursos, dando a
resposta em horas.
P.159 (FCC-BA) A janela de um trem tem dimensões de 80 cm na horizontal e 60 cm na vertical. O trem está em movi-
mento retilíneo uniforme horizontal, com velocidade de valor v. Um passageiro, dentro do trem, vê as gotas de
chuva caírem inclinadas na direção da diagonal da janela. Supondo que as gotas, em relação ao solo, estejam
caindo com velocidade v,, na vertical, determine essa velocidade v, em função da velocidade v.
P.160 (Fuvest-SP) Um disco roda sobre uma superfície plana, sem deslizar. B
A velocidade do centro O é vp. Em relação ao plano:
a) Qual é a velocidade Ua do ponto 4? vV O
b) Qual é a velocidade Up do ponto B?
P.161 (FELSP) A roda da figura rola sem escorregar, paralelamente a um plano vertical fixo.
B
St
O centro O da roda tem velocidade constante v = 5 m/s. Qual é o módulo da velocidade do ponto B no instante
em que o diâmetro AB é paralelo ao plano de rolamento?
P.162 Um ponto material realiza um movimento em um plano tal que suas coordenadas são dadas pelas equações
x=1+3tey=1+4tcomxeyem metros e t em segundos. Determine:
a) a velocidade do ponto material;
b) a equação da trajetória.
asconenecoarros CnenORODe o e DU Cn LOC DALCLL CC LL TONLLDLL CICLO DER LNL LDU DC SACLLTIDLAL COLETADOS LONDON DO RODO SOCO LATO DA OA O URU Da pa nana nara
Carítuio 8 e VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 137º
O uva |
P.163
P.164
P.165
P.166
os propostos Ei
de recapitulacã
E, Se
As diversas posições de uma partícula estão representadas na figura. A partícula percorre, primeiro, a trajetória
retilínea AC, a seguir, a circunferência de centro O; e, finalmente, a trajetória retilínea CF. Os intervalos de tempo
entre duas posições consecutivas são iguais. Os sentidos e os tipos de movimento também estão indicados na
figura.
É Ñ MU
\
D
MUV MUV
e e e + 4 e e .—— es —T—— e
A B C E F
Represente a velocidade vetorial e a aceleração vetorial da partícula nos instantes em que ela passa pelos
pontos B, D e E.
(FEI-SP) Uma roda gigante de raio 36,0 m parte do repouso. À periferia da roda acelera a uma taxa constante
de 3,0 m/s”. Após 4,0 s, qual o módulo da aceleração vetorial de um ponto situado na periferia da roda?
As águas de um rio têm velocidade de 3 km/h. Um barco com velocidade de 4 km/h em relação às águas deve
atravessar esse rio, que tem 800 m de largura, partindo numa direção perpendicular à margem.
Determine:
a) o tempo de travessia;
b) a distância entre o ponto de chegada do barco e o ponto situado em frente ao de partida;
c) a distância efetivamente percorrida pelo barco na travessia;
d) qual será a velocidade resultante do barco, se ele partir numa direção adequada para atingir o ponto situado
exatamente em frente ao ponto de partida, na margem oposta.
(UFBA) Um pássaro parte em vôo retilíneo e horizontal do seu ninho para uma árvore distante 75 m e volta,
sem interromper o vôo, sobre a mesma trajetória. Sabendo-se que sopra um vento de 5 m/s na direção e sentido
da árvore para o ninho e que o pássaro mantém, em relação à massa de ar, uma velocidade constante de 10 m/s,
determine, em segundos, o tempo gasto na trajetória de ida e volta.
.propostos
* (UFPB) Um cidadão está à procura de uma festa.
Ele parte de uma praça, com a informação de que
o endereço procurado estaria situado a 2 km ao
norte. Após chegar ao referido local, ele recebe
nova informação de que deveria se deslocar 4 km
para o leste. Não encontrando ainda o endereço,
o cidadão pede informação a outra pessoa, que
diz estar a festa acontecendo a 5 km ao sul da-
quele ponto. Seguindo essa dica, ele finalmente
chega ao evento. Na situação descrita, o módulo
do vetor deslocamento do cidadão, da praça até
o destino final, é:
a) 11 km
b) 7 km
ce) 5km
d) 4km
e) 3km
(Mackenzie-SP) À figura em escala mostra os ve-
tores deslocamento de uma formiga, que, saindo
do ponto A, chegou ao ponto B, após 3 minutos
e 20 s. O módulo do vetor velocidade média do
movimento da formiga, nesse trajeto, foi de:
a) 0,15 cm/s
b) 0,20 cm/s
c) 0,25 cm/s
d) 0,30 cm/s
e) 0,40 cm/s
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Uma partícula realiza um movimento circular
uniforme, no sentido anti-horário, com velocidade
escalar 8 m/s. |
P,
Ao passar do ponto P, ao ponto P,, decorre um |
intervalo de tempo de 4 s. É correto afirmar que |
o módulo da aceleração vetorial média entre as |
posições P, e P, é igual a:
a) 2/2 m/s
b) 2 m/s?
o Im/s
d) V2 m/s? |
e) zero
um movimento retilíneo realizado por um objeto
(PUC-RS) As informações a seguir referem-se a
qualquer:
I. A velocidade vetorial pode mudar de sentido.
II. A velocidade vetorial tem sempre módulo cons-
tante.
IH. A velocidade vetorial tem direção constante.
A alternativa que representa corretamente o movi-
mento retilíneo é:
a) 1, H e I
b) somente II
c) somente I
d) II e II
e) somente l e Ill
(UFPA) Uma partícula percorre, com movimento
uniforme, uma trajetória não-retilínea. Em cada
instante teremos que:
a) os vetores velocidade e aceleração são paralelos
entre si.
b) a velocidade vetorial é nula.
c) os vetores velocidade e aceleração são perpen-
diculares entre si.
d) os vetores velocidade e aceleração têm direções
independentes.
e) o valor do ângulo entre o vetor velocidade e o
vetor aceleração muda de ponto a ponto.
į (FESP) Uma partícula descreve uma circunfe-
rência com movimento uniforme. Pode-se con-
cluir que:
a) sua velocidade vetorial é constante. |
b) sua aceleração tangencial é não-nula.
c) sua aceleração centrípeta tem módulo cons-
tante.
d) sua aceleração vetorial resultante é nula.
e) suas acelerações tangencial e resultante são
iguais, em módulo.
CapítuLo 8 e VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS
é (UFMG) Um ventilador
(UEPB) De acordo com os conceitos estudados
em Cinemática, complete adequadamente a co-
luna da direita com os itens da esquerda:
(1) Movimento reti-
líneo e uniforme
() Velocidade vetorial
de direção constante
e módulo variável
(2) Movimento reti- ( ) Velocidade vetorial
líneo e uniforme- constante
mente variado
(3) Movimento circu- () Velocidade vetorial
lar e uniforme variável em direção
e módulo
(4) Movimento cir- ( ) Velocidade vetorial
cular e uniforme- de módulo constante
mente variado e direção variável
Assinale a alternativa que corresponde à seqüên-
cia correta da numeração:
a) 1,2,3,4 o 3,4,1,2
b) 2,1,4,3 d) 1, 3, 4, 2
e) 3,4,2,1
(Fatec-SP) Na figura, representa-se um bloco
em movimento sobre uma trajetória curva, bem
como o vetor velocidade D, o vetor aceleração
a e seus componentes intrínsecos, aceleração
tangencial a, e aceleração normal a.
Analisando-se a figura, conclui-se que:
a) o módulo da velocidade está aumentando.
b) o módulo da velocidade está diminuindo.
c) o movimento é uniforme.
d) o movimento é necessariamente circular.
e) o movimento é retilíneo.
acaba de ser desliga-
do e está parando va-
garosamente, girando
no sentido horário.
A direção e o sentido
da aceleração da pá
do ventilador no pon-
to Pé:
d AN
s ' P
O ava |
* (UEL-PR) Uma pista é constituída por três tre-
chos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC,
conforme o esquema.
Se um automóvel percorre toda a pista com
velocidade escalar constante, o módulo da sua
aceleração será:
a) nulo em todos os trechos.
b) constante, não-nulo, em todos os trechos.
c) constante, não-nulo, nos trechos AB e CD.
d) constante, não-nulo apenas no trecho BC,
e) variável apenas no trecho BC.
O enunciado a seguir refere-se às questões T.139
e T.140.
(PUC-SP) Um móvel parte do repouso e percorre
uma trajetória circular de raio 100 m, assumindo
movimento uniformemente acelerado de acelera-
ção escalar 1 m/s”.
| As componentes tangencial e centrípeta da ace-
leração valem, respectivamente, após 10 s:
a) 1 m/s? e 10 m/s?
b) 10 m/s” e 1 m/s”
© 10 m/s” e 10 m/s”
d) 10 m/s” e 100 m/s?
e) 1 m/s’ e 1 m/s?
| O ângulo formado entre a aceleração total e o
raio da trajetória no instante t = 10 s vale:
a) 180º d) 45º
b) 90º e) 30º
o) 60º
: (Fuvest-SP) Num vagão ferroviário, que se move
com velocidade v, = 3 m/s em relação aos tri-
lhos, estão dois meninos, 4 e B, que correm um
em direção ao outro, cada um com velocidade
v = 3 m/s em relação ao vagão.
As velocidades dos meninos A e B em relação aos
trilhos serão respectivamente:
a) 6 m/s e 0 m/s
b) 3 m/s e 3 m/s
c) 0 m/s e 9 m/s
d) 9 m/s e 0 m/s
e) 0 m/s e 6 m/s
|
< (UFSC) Descendo um rio em sua canoa, sem re-
mar, dois pescadores levam 300 segundos para
atingir o seu ponto de pesca, na mesma margem
do rio e em trajetória retilínea. Partindo da mesma
posição e remando, sendo a velocidade da canoa,
em relação ao rio, igual a 2,0 m/s, eles atingem
o seu ponto de pesca em 100 segundos. Após a
pescaria, remando contra a correnteza do rio,
eles gastam 600 segundos para retornar ao ponto
de partida.
Ponto de Ponto de
partida — & ss pesca
Considerando que a velocidade da correnteza
Ver é constante, assinale a(s) proposição(ões)
correta(s).
01) Quando os pescadores remaram rio acima, a
velocidade da canoa, em relação à margem, foi
igual a 4,00 m/s.
02) Não é possível calcular a velocidade com que
os pescadores retornaram ao ponto de parti-
da, porque a velocidade da correnteza não é
conhecida.
04) Quando os pescadores remaram rio acima, a
velocidade da canoa, em relação ao rio, foi de
1,50 m/s.
08) A velocidade da correnteza do rio é 1,00 m/s.
16) O ponto de pesca fica a 300 metros do ponto de
partida.
32) Não é possível determinar a distância do ponto
de partida até o ponto de pesca.
64) Como a velocidade da canoa foi de 2,0 m/s,
quando os pescadores remaram rio abaixo,
então, a distância do ponto de partida ao ponto
de pesca é 200 m.
Dê, como resposta, a soma dos números que
precedem as proposições corretas.
: (UFMG) Um menino flutua em uma bóia que está
se movimentando, levada pela correnteza de um
rio. Uma outra bóia, que flutua no mesmo rio a
uma certa distância do menino, também está
descendo com a correnteza.
A posição das duas bóias e o sentido da corren-
teza estão indicados nesta figura:
Correnteza
neesa CONQUORL DO ONANCUILELONIUOLO AA CAGLENC UNODC OUDA GL CU LUS EDUCAR U SRU CUL CENSUS CADENA LOCO UE DUO CDA U A CCU SEA era cu ancas sena ses end
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Considere que a velocidade da correnteza é a
mesma em todos os pontos do rio.
Nesse caso, para alcançar a segunda bóia, o me-
nino deve nadar na direção indicada pela linha:
a) K
b) L
o M
DN
(UFMG) Um barco tenta atravessar um rio com
1,0 km de largura. À correnteza do rio é paralela
às margens e tem velocidade de 4,0 km/h. A veloci-
dade do barco, em relação à água, é de 3,0 km/h,
perpendicularmente às margens.
Nessas condições, pode-se afirmar que o barco:
a) atravessará o rio em 12 minutos.
b) atravessará o rio em 15 minutos.
c) atravessará o rio em 20 minutos.
d) nunca atravessará o rio.
(PUC-RS) A correnteza de um rio tem velocidade
constante de 3,0 m/s em relação às margens.
Um barco, que se movimenta com velocidade
constante de 5,0 m/s em relação à água, atraves-
sa o rio, indo em linha reta, de um ponto À a ou-
tro ponto B, situado imediatamente à frente, na
margem oposta. Sabendo-se que a direção AB é
perpendicular à velocidade da correnteza, pode-
se afirmar que a velocidade do barco em relação
às margens é de:
a) 2,0 m/s
b) 4,0 m/s
c) 5,0 m/s
d) 5,8 m/s
e) 80 m/s
(PUC-Campinas-SP) Um barco sai de um ponto
P para atravessar um rio de 4,0 km de largura.
A velocidade da correnteza, em relação às mar-
gens do rio, é de 6,0 km/h. À travessia é feita
segundo a menor distância PQ, como mostra o
esquema representado a seguir, e dura 30 mi-
I
:
:
i Correnteza
'
'
:
i
i
,
A velocidade do barco em relação à correnteza,
em km/h, é de:
a) 4,0
b) 6,0
c) 8,0
d) 10
e) 12
(Univale-MG) Um ultraleve mantém a velocidade
de 120 km/h em relação ao ar, estando o nariz
apontando para Leste. Sopra vento do Norte
para o Sul com velocidade de 90 km/h. Nessas
condições, podemos afirmar que a velocidade do
ultraleve em relação à Terra é:
a) 150 km/h, na direção Sudeste.
b) 30 km/h, na direção Leste.
c) 210 km/h, na direção Sudoeste.
d) 50 km/h, na direção Nordeste.
e) 210 km/h, na direção Sudeste.
(Fesp-SP) Um motorista viaja em um carro, por uma
estrada em linha reta, sob uma chuva que cai verti-
calmente a uma velocidade constante de 10 m/s (em
relação ao solo).
1
v=72 km/h ` E N
e `
l
So’
s
Sise
—— tulill
Se o carro se move da esquerda para a direita
com velocidade constante igual a 72 km/h, para
o motorista as gotas de chuva parecem estar
caindo na direção I, H, HI, IV ou V, conforme o
esquema?
a) I
b) II
o) H
d) IV
e) V
(Fatec-SP) Sob a chuva que cai verticalmente, uma
pessoa caminha horizontalmente com velocidade
1,0 m/s, inclinando o guarda-chuva a 30° (em
relação à vertical) para resguardar-se o melhor
possível. A velocidade da chuva em relação ao
solo (dado: tg 60° = 1,7):
a) é 1,7 m/s.
b) é 2,0 m/s.
c) é 0,87 m/s.
d) depende do vento.
e) depende da altura da nuvem de origem.
(FCMSCSP-SP) Uma pedra se engasta no pneu de
um automóvel que está com velocidade unifor-
me de 90 km/h. Supondo que o pneu não patina
nem escorrega, e que o sentido de movimento
do automóvel é o positivo, os valores algébricos
mínimo e máximo da velocidade da pedra em
relação ao solo e em km/h são:
a) —180 e 180
b) —90 e 90
c) —90 e 180
d) 0e 90
e) de 180
eccoccrseeocosesa CCL CLLOSOE SALADAS TOLEDO VE LEDALOA DADA LADO CONOR COCO TLD COLO CONCIONONDILADUDD CALADO DRA NONO NO A UCS O OU CO DA
Carítuio 8 e VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS
Como utilizar um guia de ruas
o guia de uma cidade?
um conjunto de plantas.
o Código de Endereçamento Postal (CEP).
rua procurada.
Como se faz a localização de uma determinada rua, utilizando-se
Normalmente o guia é constituído, essencialmente, de duas
partes: a primeira contém um índice de todas as ruas e a segunda,
O índice de ruas apresenta em ordem alfabética o nome de
todas as ruas da cidade. Reproduzimos ao lado um trecho de uma
das páginas do índice de ruas de um guia da cidade de São Paulo.
Veja, por exemplo a rua Pirapitingui. Ela está localizada na planta
162 e no quadrante C7. O número que antecede o nome da rua é
Observe abaixo a planta 162. Ela está dividida em quadrantes.
A localização de cada quadrante é feita por duas coordenadas: a
primeira é dada por uma letra maiúscula (C, no exemplo proposto)
e a outra é definida por um número (7, no caso em questão). Deste
modo, localizamos a rua Pirapitingui no quadrante C7. Note que o
guia permite também localizar outras ruas e avenidas próximas à
GUIA 4 RODAS 2002, ED. ABRIL
GUIA 4 RODAS 2002, ED. ABRIL
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
ste sua leitura
Na planta a seguir, localize no quadrante G9 a rua Topázio.
Imagine que, ao percorrer de carro essa rua, você entre
na avenida da Aclimação e se desloque até atingir a rua
Esmeralda. O velocímetro de seu carro indica que o trecho
percorrido na avenida da Aclimação se realiza com veloci-
dade escalar constante. Analise as proposições, a respeito
do trecho considerado:
GUIA 4 RODAS 2002, ED. ABRIL
01) O movimento do carro é uniforme.
02) À aceleração escalar do carro é nula,
04) À aceleração vetorial do carro não é nula.
08) A velocidade vetorial do carro tem direção e sentido
constantes.
16) Considere o vetor deslocamento d, com origem no ponto de
cruzamento da rua Topázio com a avenida da Aclimação
e extremidade no ponto de cruzamento da rua Esmeralda
com a mesma avenida. Seja As a variação do espaço entre
as citadas posições. Dessa forma, tem-se: |As| > |d |.
32) Sejam v, a velocidade escalar média e a a velocidade vetorial média, entre as posições citadas na pro-
posição anterior. Dessa forma, tem-se: |v,| = [Un]
Dê como resposta a soma dos números que antecedem as proposições corretas.
“L.15: Observe no quadrante C3, do trecho de planta abaixo, o início da rua Luís Góis.
Um ciclista percorre um trecho desta rua, partindo do cruzamento com a rua Dr. Bacelar.
Entra à esquerda na rua Napoleão de Barros e atinge o cruzamento com a avenida Dr. Altino Arantes,
onde pára.
a) Calcule a distância percorrida nesse trajeto, sabendo-se que na escala utilizada cada 1 cm representa
125m.
b) Sendo 6,0 m/s a velocidade escalar média do ciclista, qual é o intervalo de tempo gasto no percurso?
c) Represente o vetor deslocamento entre os pontos de partida e de chegada. Calcule seu módulo.
d) Calcule o módulo da velocidade vetorial média.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
GUIA 4 RODAS 2002, ED. ABRIL
E Analisamos, neste capítulo, os movimentos
dos corpos lançados horizontal e
obliquamente, nas proximidades da superfície
terrestre. Desprezamos a influência do ar, isto
é, estudamos os movimentos como se eles
ocorressem no vácuo. Por isso,
os denominamos lançamento horizontal
e lançamento oblíquo no vácuo. Tais
1 . ` movimentos são estudados com base no
« PRINCIPIO DA INDEPENDENCIA DOS MOVIMENTOS princípio da independência dos movimentos
SIMULTANEOS (GALILEU) , simultâneos. Na foto, observe as trajetórias
2. LANÇAMENTO HORIZONTAL NO VÁCUO parabólicas descritas pelas fagulhas.
3. LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO
B.. Princípio da independência dos movimentos
simultâneos (Galileu)
Estudando os problemas relativos a um movimento composto, isto é, resultante da composição de
dois ou mais movimentos, Galileu propôs o princípio da simultaneidade ou princípio da independên-
cia dos movimentos simultâneos (veja pág. 134).
Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes |
se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.
Assim, por exemplo, consideremos o caso de um barco que sai perpendicularmente às margens de
um rio e é arrastado pela correnteza, atingindo a margem oposta num ponto situado rio abaixo.
O tempo gasto pelo barco na travessia é o mesmo que ele gastaria sem correnteza. O movimento de
arrastamento rio abaixo é simultâneo ao movimento próprio do barco, mas independente dele. Os dois
movimentos ocorrem ao mesmo tempo, mas um não interfere na realização do outro.
B. Lançamento horizontal no vácuo
Quando um corpo é lançado horizontalmente no vácuo, nas proximidades da superfície terrestre,
ele descreve, em relação à Terra, uma trajetória parabólica (figura 1).
Esse movimento pode ser considerado, de acordo com o princípio da simultaneidade, como o
resultado da composição de dois movimentos simultâneos e independentes: queda livre e movi-
mento horizontal.
CONOSCO CLOSED OCCITAN OEIRAS DONO NOROESTE USAS CODE RC O CO ROCA ORA cana natos ans ..
“144 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
PROF RODOLPHO CANIATO E EQUIPE
PROF. RODOLPHO CANIATO E EQUIPE
Figura 1. A trajetória de um corpo
lançado horizontalmente no vácuo
é um arco de parábola.
2.1. Queda livre
E um movimento vertical, sob a ação exclusiva da gravidade.
Trata-se de um movimento uniformemente variado, pois sua acele-
ração se mantém constante (aceleração da gravidade).
2.2. Movimento horizontal
É um movimento uniforme, pois não existe nenhuma aceleração
na direção horizontal; o corpo o realiza por inércia, mantendo a ve-
locidade v, com que foi lançado. N
Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante v do corpo,
cuja direção é tangente à trajetória, é dada pela soma vetorial da
velocidade horizontal v,, que permanece constante, e da velocidade
vertical V, cujo módulo varia, pois a aceleração da gravidade tem
direção vertical (figura 2):
> > > É
vV=Yn+y|
Assim, no lançamento horizontal, à medida que o corpo se
movimenta, o módulo de sua velocidade v cresce em virtude do
aumento do módulo da velocidade vertical Vi
Fotos estroboscópicas do movimento de uma esfera que abandona uma mesa a certa altura
1
1
1
1
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1
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1
1
1
1
+
1
« Foto
estroboscópica
que mostra
a trajetória
parabólica
descrita por um
corpo lançado
horizontalmente.
Figura 2.
do solo, tiradas de duas posições diferentes. Em (A), tirada de cima, percebe-se o movimento uniforme
na direção horizontal: a mão do operador indica o ponto em que o corpo abandona a mesa. Em (B), tirada
de frente, destaca-se o movimento da esfera na direção vertical (queda livre), após abandonar a mesa.
Carítuio 9 * Lançamento HorizoNTAL E LANÇAMENTO OBLÍQUO NO Vácuo
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„resolvidos
Após uma enchente, um grupo de pessoas ficou ilhado numa região. Um avião de salvamento, voando horizon-
talmente a uma altura de 720 m e mantendo uma velocidade de 50 m/s, aproxima-se do local para que um pacote
com medicamentos e alimentos seja lançado para as pessoas isoladas. A que distância, na direção horizontal, o
pacote deve ser abandonado para que caia junto às pessoas? Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s.
Solução:
O pacote cai e, ao mesmo tempo, avança horizon-
talmente. Esse avanço horizontal se dá por inér-
cia, acompanhando o movimento do avião. Assim,
o pacote deve ser abandonado numa posição tal
que, no intervalo de tempo que leva para cair, ele
percorra a distância horizontal necessária para
chegar junto às pessoas. Calculamos o tempo
de queda como se o pacote caísse livremente na
direção vertical.
8, 10 2 =
s= É" 5 10=t =P =14= (t=128)
Durante esses 12 s, o pacote avança com movimento
uniforme na direção horizontal e com velocidade
constante v = 50 m/s. Assim:
x=vt> x=50-12 >
Resposta: O pacote deve ser abandonado quando o avião estiver a 600 m do grupo, medidos na direção hori-
zontal.
Uma esfera rola com velocidade constante de 10 m/s sobre uma mesa horizontal. Ao abandonar a mesa, ela
fica sujeita exclusivamente à ação da gravidade (g = 10 m/s?) atingindo o solo num ponto situado a 5 m do pé
da mesa. Determine:
a) o tempo de queda; c) o módulo da velocidade da esfera ao chegar ao solo.
b) a altura da mesa em relação ao solo;
Solução:
a) Ao abandonar a mesa, a esfera apresenta, na
direção horizontal, movimento uniforme com
velocidade v, = 10 m/s. Assim:
x=mt>s=l0t>
Esse tempo é também o tempo de queda, cujo
movimento é simultâneo.
b) Simultaneamente ao movimento horizontal, a
esfera cai de uma altura s em queda livre:
c) Ao chegar ao solo, a velocidade vetorial da esfera pode ser considerada resultante da composição da velo-
cidade horizontal que se mantém constante e da velocidade vertical (v,), cujo módulo é dado por:
v, = Va, + gt, sendo: vo, = 0; g = 10 m/s, t = 0,55
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Assim, temos: v, = 0 + 10 + 0,5 > 0,= 5 m/s
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo
destacado na figura, obtemos o módulo da velo-
cidade vetorial da esfera ao chegar ao solo:
v =+ >
> v? = (10? + (5¥ = 100 + 25 >
=» v? = 125 > | v= 11,2 m/s
Respostas: a) 0,5 s; b) 1,25 m; c) =11,2 m/s
° 146 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.167 Um avião voa horizontalmente a 2.000 m de altura com velo-
P.168
P.169
P,170
cidade de 250 m/s no instante em que abandona um pacote.
Adote g = 10 m/s” e despreze a ação do ar. Determine:
a) o tempo de queda do pacote;
b) a distância que o pacote percorre na direção horizon-
tal desde o lançamento até o instante em que atinge o
solo;
c) o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.
Da beira de um barranco situado a 39,2 m em relação ao
nível inferior do solo, um garoto chuta uma bola, imprimin-
do-lhe uma velocidade horizontal de 4,0 m/s, como mostra
a figura ao lado. Na parte inferior do barranco, a 40,0 m
da vertical do primeiro garoto, um outro garoto vai tentar
pegar a bola. Determine a que distância, à frente ou atrás
do segundo garoto, a bola chutada cairá (adote g = 10 m/s”
e despreze a resistência do ar).
Um avião de socorro voa horizontalmente a uma altura
h = 720 m, a fim de lançar um pacote de mantimentos para
uma população flagelada. Quando o avião se encontra à dis-
tância d = 1.200 m da população, na direção horizontal (veja
a figura), o piloto abandona o pacote. (Adote g = 10 m/s?)
a) Qual é atrajetória do pacote vista pelo piloto, consideran-
do que o avião mantenha invariável o seu movimento?
b) Qual é a trajetória do pacote vista por uma pessoa da
população?
c) Quanto tempo o pacote leva até chegar aos flagelados?
d) Qual é o módulo da velocidade v do avião?
e) Qual é o módulo da velocidade do pacote quando ele
chega ao solo?
Uma bolinha rola com velocidade de módulo constante
v = 5 m/s sobre uma mesa horizontal de altura A = 1,25 m
e, com essa velocidade, abandona a borda da mesa.
(Adote g = 10 m/s”)
a) Desenhe a trajetória descrita pela bolinha, em relação
ao solo, após abandonar a mesa.
b) Em quanto tempo a bolinha chega ao chão?
c) O intervalo de tempo calculado no item anterior seria
maior, menor ou igual, se a bolinha fosse apenas aban-
donada a partir da borda da mesa? Por quê?
d) Localize o ponto em que a bolinha toca o chão, calcu-
lando seu deslocamento na direção horizontal a partir
do instante em que abandona a borda da mesa.
e) Calcule o módulo da velocidade com que a bolinha
chega ao chão.
Carítuio 9 + LANÇAMENTO HORIZONTAL E LANÇAMENTO OBLIQUO NO VÁCUO
B :. Lançamento oblíquo no vácuo
Considere um corpo sendo lançado com veloci-
dade Vo numa direção que forma com a horizontal
um ângulo 6 (ângulo de tiro). Desprezada a resis-
tência do ar, a aceleração do corpo é a aceleração
da gravidade. A trajetória descrita, em relação à
Terra, é uma parábola (figura 3).
A distância horizontal que o corpo percorre desde
o lançamento até o instante em que retorna ao nível
horizontal do lançamento é denominada alcance (4).
O máximo deslocamento do móvel na direção verti-
cal chama-se altura máxima (H) do lançamento.
O movimento descrito pelo corpo pode ser
considerado como resultado da composição de dois
movimentos simultâneos e independentes: um mo-
vimento vertical uniformemente variado, cuja acele-
ração é a da gravidade, e um movimento horizontal
uniforme, pois na horizontal não há aceleração.
Vamos analisar separadamente cada um desses
movimentos componentes.
3.1. Movimento vertical (MUV)
Consideremos o eixo y com origem no ponto
de lançamento e orientado para cima. A aceleração
escalar do movimento vertical será: & = —g. N
Se projetarmos a velocidade de lançamento vo
na direção do eixo y, obteremos a velocidade inicial
vertical Voy cujo módulo (figura 4) é dado por:
Sob a ação da gravidade, o módulo da veloci-
dade vertical v, diminui à medida que o corpo sobe,
anula-se no ponto mais alto e aumenta à medida que
o corpo desce. Na figura 4 representa-se a velocidade
V, em várias posições do corpo, tendo-se omitido a
componente horizontal.
Como o movimento na direção vertical é unifor-
memente variado, valem as funções:
Nessas funções, como a trajetória foi orientada
para cima, a aceleração escalar é « = —g. Para cal-
cular a altura máxima do lançamento (H), pode-se
utilizar a fórmula seguinte, cuja dedução se encontra
no quadro ao lado:
A
Figura 3. Lançamento oblíquo no vácuo.
>
Figura 4. O módulo da velocidade vertical v,
varia como no lançamento vertical para cima.
near tr pi,
Altura máxima
No ponto mais alto da trajetória:
y=H e v=0
Pela equação de Torricelli, temos:
v;=vo, + 2ay
0 =v? + 2(-9)H
29H = vá,
2
H = Yo,
29
Mas: v, = Vo * sen 5)
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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3.2. Movimento horizontal (MU)
Consideremos o eixo x com origem no ponto de lançamento e orientado no sentido da velocidade
. . mo . . + .
horizontal v,, dada pela projeção sobre esse eixo da velocidade de lançamento v (figura 5).
=]
Yo
5}
0 v x
É —
Figura 5. A velocidade horizontal v, permanece
constante durante o movimento.
O módulo da velocidade horizontal V, é dado por:
V= Vo: cos8 |
. mo . . . => .
A figura 5, na qual não foi representada a velocidade vertical v, mostra que, qualquer que seja o ponto
da trajetória em que o corpo esteja, a velocidade horizontal é sempre a mesma:
5
v, = constante
Assim, sendo um movimento uniforme, a função horária do movimento horizontal pode ser escrita
deste modo:
x= vi
No quadro abaixo, deduzimos a fórmula que nos permite determinar o alcance (A) em função da
velocidade v, e do ângulo de tiro 6:
Por essa fórmula, verifica-se que o alcance máximo (Amx) para o lançamento, com dada velocidade
Vo, é obtido quando:
sen 20 = 1 > 20 = 90° = (e= 45°}
Alcance do lançamento
Durante esse tempo, o corpo avança ho-
rizontalmente a distância A (alcance); assim,
xX=A.
Como x = vit, Vo, = Yo: send e
Ve = Vo * COS 0, vem:
|
|
|
E
| ^ |
l 4-v. 2v |
| Quando o corpo retorna ao nível de lan- =v g :
| çamento: v, = —v,, 2
vo * sen O f
| Logo, sendo a = —g, temos: A =w'csg. SL |
v,=vo+at g |
—VYo, = Vo, — 9t Como 2: sen 8: cos O = sen 26, temos: |
p= 2vo, 4- vô - sen 20 |
g g |
Aeee aan erre
Carítuio 9 * LANÇAMENTO HorizonTaL E LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO 149º
e —T
bc)
>
w
+]
tri
Nessa condição (0 = 45º), há uma relação simples entre o alcance (Amsx.) € a altura máxima (H).
Substituindo O por 45º, nas respectivas fórmulas, vem:
1
vê - sen 20 vo - sen (2: 45º) vé * sen 90º vê
AÅ máx. = e = 2 = 2 => Á máx = 2
g g g
2
ag)
2 o CA.
y= Vorsento L vosen? 45 9 2 „p“
2g 2g 2g 4g
Comparando:
Portanto, no lançamento com 6 = 45º (figura 6), o alcance (A ax.) é quatro vezes maior que a altura
máxima (H) do lançamento.
Vo
45°
A
máx.
Figura 6. Lançamento com 6 = 45º,
É importante ressaltar que, considerando o movimento resultante, a velocidade v do projétil é sempre
dada pela soma dos vetores componentes v,e v;
—
Figura 7. Em qualquer ponto da trajetória, a velocidade resultante v é dada por v= v, +v,
Observe, pela figura 7, que a velocidade vé sempre tangente à trajetória. No ponto mais alto da
trajetória, tem-se V, =0e, portanto, v = v, Sendo assim, nesse ponto, a velocidade v v tem módulo
mínimo.
Ao retornar ao nível horizontal de lançamento, o projétil apresenta velocidade v, cujo módulo
é igual ao módulo da velocidade de lançamento Vo. isso equivale a dizer que a velocidade escalar
v do corpo, no instante de retorno ao solo, é igual à velocidade escalar v com que foi lançado a
partir do solo.
“150 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
x
Ò
©
E
o
zZ
T
=
fa
a
Z
z
a
>
a
zZ
z
O
E
z
[a
w
- Aparábola .
Denominam-se cônicas as curvas que podem ser
obtidas a partir da secção de um cone circular reto por um
plano. Dependendo da inclinação desse plano em relação
à base do cone, como indica a figura ao lado, pode-se
obter uma circunferência, uma elipse, uma hipérbole ou
uma parábola.
Etimologicamente, a palavra parábola provém do gre-
go e significa lançar ao longe. Portanto, originalmente o
termo surgiu com base num fenômeno físico e seu signi-
ficado foi estendido para designar a trajetória, em relação
à Terra, de um projétil lançado horizontal ou obliquamente
no vácuo, nas proximidades da superfície terrestre. So-
mente depois é que o termo parábola assumiu o significa-
do matemático que tem hoje.
CapituLo 9 + Lançamento HorizoNTAL E LANÇAMENTO OBLIQUO NO Vácuo
No endereço eletrônico http://
www.ngsir.netfirms.com/
englishhtm/ThrowABall.htm
| (acesso em 13/2/2007), você pode
simular o movimento de projéteis. |
hasa
een ma rem,
pres
« Trajetória parabólica descrita por um corpo
lançado obliquamente.
Cone
Circunferência
Hipérbole
Parábola
ml
ty
e
fal
Ear
tri
Um corpo é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial vy = 100 m/s, numa direção que forma com
a horizontal um ângulo 9 tal que sen 6 = 0,8 e cos 0 = 0,6. Adotando g = 10 m/s”, determine:
a) os módulos das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de lançamento;
b) o instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória;
c) a altura máxima atingida pelo corpo;
d) o alcance do lançamento.
Solução:
> >
a) Do triângulo retângulo destacado, formado por D, Ux € Voa
tiramos:
Vo, = Vot sen® e v = UV * cos6
Como v = 100 m/s, sen 9 = 0,8 e cos 9 = 0,6, vem:
b) No ponto mais alto da trajetória, v, = 0. Como v, = Vo, + at,
coma = -g = —10m/s”, vem:
0 = 80- 10 > 10t = 80 >
c) Substituindo t = 8s em y = vot + Ha sendoy=He a g 10 m/s”, vem:
10-64
H = 80-8 7 640 — 320 > | H= 320m
d) O tempo total do movimento é t = 2t = 2 - 8 = 16s.
Para o movimento horizontal x = v, * t, temos: x = 4, quando t = 16 s, e v, = 60 m/s. Portanto:
A=60-16 >
Respostas: a) v, = 80 m/s; v, = 60 m/s; b) 8 s; c) 320 m; d) 960 m
Observação:
Os itens c e d podem também ser resolvidos respectivamente pelas seguintes fórmulas, deduzidas anterior-
mente:
vs - sen? O Jo v? * sen 26
H = a para a altura máxima, e À = —————— , para o alcance.
5 8
Um projétil é lançado obliquamente com velocidade que forma com a horizontal um ângulo 9, atingindo a al-
tura máxima de 7,2 m. Sabendo que no ponto mais alto da trajetória a velocidade escalar do projétil é 10 m/s,
determine:
a) o intervalo de tempo para o projétil chegar ao ponto mais alto de sua trajetória (tempo de subida);
b) o tempo total do movimento;
c) a velocidade de lançamento e o ângulo de tiro 6, expresso por uma de suas funções trigonométricas;
d) o alcance horizontal do lançamento.
Solução:
a) Em y = H = 7,2 m, v, = 0. Aplicando a equação de Torricelli,
vem:
v, = vo, + 2ay (com a = -g = —10 m/s) >
> 0=09,-20:72 > v, = 144 > va = 12 m/s
Substituindo em v, = vo, — gt:
0=12 10t, > 10, =12 > (4 =12s)
A
b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida. Logo, o tempo total do movimento será:
HEM > t=2-1,2 h =24s
sssssrsesovosvesassseseronesnespeassssneorusessssnarevveszsserovsusreeresesrerparoeeerrereserorosepssvosoessesssrosesensacpseneeraszosenezsronessoprasro
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c) A velocidade de lançamento v, é obtida a partir de suas componentes Vy e Vo, aplicando-se o teorema de
Pitágoras ao triângulo destacado na figura anterior:
vo = vi, + vi, sendo vo, = 12m/s e v= 10m/s
Portanto: vi = 144 + 100 > v$ = 244 > | v,=15,6m/s
10
Como v, = vy* cos 9, vem: 10 = 15,6: cos 0 > cos6 = 156 = | cos 60 = 0,64
, 12
Ou, ainda, Va = Vo * sen 6. Logo: 12 = 15,6 - sen 0 => sen6 = i56 = | sen 8 = 0,77
d) Para obter o alcance x = A, substituímos f; = 2,4 s em x = v,t. Assim:
A=10:24 5
Respostas: a) 1,2 s; b) 2,4 s; c) 15,6 m/s; cos 9 = 0,64; sen 8 = 0,77; d) 24 m
P.171 Um corpo é lançado obliquamente a partir do solo, no vácuo, sob ângulo de 60º com a horizontal e com velo-
cidade de 10 m/s. Adotando g = 10 m/s”, sen 60º = sen 120º = 0,86 e cos 60º = 0,50, determine:
a) a velocidade escalar mínima assumida pelo corpo;
b) o instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória;
c) a altura máxima atingida pelo corpo e o alcance do lançamento.
P.172 No lançamento oblíquo de um projétil, a altura máxima é 20 m. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade
escalar do projétil é 5 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s”, determine:
a) o tempo total do movimento e o tempo de subida;
b) a velocidade escalar de lançamento;
e) o ângulo de tiro expresso por uma de suas funções trigonométricas;
d) o alcance do lançamento.
P.173 (FMR-MG) Uma bola está parada sobre o gramado de um campo horizontal, na posição A. Um jogador chuta a
bola para cima, imprimindo-lhe velocidade D de módulo 8,0 m/s, fazendo com a horizontal um ângulo de 60°,
como mostra a figura. A bola sobe e desce, atingindo o solo novamente, na posição B. Desprezando-se a resis-
tēncia do ar, qual será a distância entre as posições A e B? (Use g = 10 m/s”, sen 60º = 0,87 e cos 60º = 0,5.)
P.174 Um corpo é lançado de um ponto O do solo com velocidade
inicial Do, que forma com a horizontal um ângulo 9, como indica
a figura, tal que cos 9 = 0,80 e sen 8 = 0,60. Sendo v, = 100 m/s
eg=10 m/s?, despreze a resistência do ar e determine:
a) o instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da tra-
jetória;
b) o instante em que o corpo está de volta ao solo;
c) o alcance horizontal 4;
d) a altura máxima H;
e) a velocidade escalar do corpo no ponto de altura máxima;
f) a velocidade escalar do corpo no instante em que toca o solo.
CarítuLo 9 + LANÇAMENTO HorizonTAL E LANÇAMENTO OBLíQuO NO VÁCUO 153 °
P.175 No exercício anterior, trace o gráfico em função do tempo das componentes hori-
zontal e vertical da velocidade do corpo.
sua mesa segundo um ângulo de 30º com a horizontal e, utilizando a ponta do dedo
indicador, golpeia violentamente um pedacinho de giz sobre a carteira. Após um
breve vôo, o giz atinge as costas de um colega de classe, na mesma altura em que
foi lançado.
Considere:
* O módulo da velocidade do giz no momento do lançamento foi 10 m/s.
e O giz praticamente não encostou no tampo da mesa no momento do lançamento.
e Aceleração da gravidade = 10 m/s?.
e Desprezar a ação resistiva do ar ao movimento do giz.
e sen 30° = 0,5 e cos 30° = 0,8.
Sob estas condições, determine:
P.176. (UFSCar-SP) Em plena aula, o menino decide aprontar mais uma das suas. Inclina na
; Giz
a) O valor aproximado da altura alcançada pelo giz, em m, relativa à posição de seu
lançamento.
b) O tempo de vôo do giz, em s, do momento de seu lançamento até o instante em
que atinge as costas do colega de classe.
P.177 (FMTM-MG) Em um espetacular show de acrobacia, uma motocicleta abandona a
extremidade da rampa com velocidade de 108 km/h, sobrevoa uma fileira de fuscas
estacionados, descendo finalmente em uma outra rampa idêntica e à mesma altura
em que abandonou a primeira.
Considere desprezíveis ações resistivas do ar e do atrito.
Dados:
g = 10 m/s?
inclinação do plano da rampa = 32°
sen 32° = 0,53
cos 32° = 0,85
sen 64° = 0,90
cos 64°= 0,44
a) Determine quanto tempo a motocicleta permanece “voando” sobre os carros.
b) Se os fuscas foram estacionados lado a lado, ocupando uma vaga de 2,1 m de
largura, determine quantos carros compunham a fileira entre as rampas.
ios propostos
de recapitulacão
P.178 Um corpo é lançado horizontalmente a partir de um ponto A, com velocidade de módulo 50 m/s, atingindo o solo
no ponto B, conforme mostra a figura. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s”, determine:
a) as funções horárias dos movimentos horizontal e vertical;
b) a equação da trajetória do movimento;
c) as coordenadas (x, y) do ponto B, que foi atingido 10 s após o lançamento;
d) a velocidade resultante do corpo no ponto B.
A to
7 i
P.179. (Olimpíada Brasileira de Física) Dois rapazes brincam de tênis na praia. Um deles dá uma raquetada na bola a
2,45 m de altura, imprimindo-lhe uma velocidade de 72 km/h na horizontal. Qual deve ser a velocidade mínima
do outro rapaz, situado inicialmente a 20,3 m à frente do primeiro, para que consiga aparar a bola antes que
ela bata na areia? (Use g = 10 m/s”)
“154 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.180
P.181
P.182
P.183
P.184
Um projétil é lançado obliquamente para cima com velocidade de 100 m/s numa direção que forma um ângulo
de 60º com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s”, determine o módulo da ve-
J3 1
locidade vetorial do projétil 4 s após o lançamento. | Dados: sen 60º = -——; cos 60º = —
(Faap-SP) Um projétil lançado para cima, sob um ângulo de 60º com a horizontal, tem velocidade de 30 m/s no
ponto culminante de sua trajetória. Calcule a velocidade do projétil ao retornar ao solo. (Dados: sen 60º = 0,87;
cos 60º = 0,50)
(Vunesp) Um garoto, voltando da escola, encontrou seus amigos jogando uma partida de futebol no campinho
ao lado de sua casa e resolveu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua mochila por cima
do muro, para o quintal de sua casa: postou-se a uma distância de 3,6 m do muro e, pegando a mochila pelas
alças, lançou-a a partir de uma altura de 0,4 m. Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança,
foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 m do solo. Considere que a mochila tivesse
tamanho desprezível comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve movimento de rotação
ou perda de energia. Tomando g = 10 m/s”, calcule:
a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila atingir a altura máxima;
b) o ângulo de lançamento.
Dados:
(Unicamp-SP) Um habitante do planeta Bongo atirou uma flecha e obteve os gráficos mostrados. Sendo x a distância
horizontal e y a vertical:
a) qual é a velocidade horizontal da flecha?
b) qual é a velocidade vertical inicial da flecha?
©) qual é o valor da aceleração da gravidade no planeta Bongo?
(Unicamp-SP) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado,
o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante.
Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção
de impetus era equivocada. Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de
100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil:
um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros
concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil. Considere J3 = 1,8 e g = 10 m/s”. Despreze o
atrito com o ar.
3
Dados: sen 30º = L. cos 30º = —
2 2
a) Qual é o alcance do projétil?
b) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Salviati?
c) Qual é a altura máxima calculada por Simplício?
O ue
Carítuio 9 + LANÇAMENTO HorizonTAL E LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO 155 °
Testes
propostos.
Nos testes seguintes, caso seja necessário, use os
valores das funções trigonométricas dos ângulos
envolvidos. À resistência do ar é sempre conside-
rada desprezível.
(UFMG) Um corpo P é lançado horizontalmente
de uma determinada altura. No mesmo instante,
um outro corpo Q é solto em queda livre, a partir
do repouso, dessa mesma altura, como mostra a
figura.
P Q
Sejam vp e vy os módulos das velocidades dos
corpos Pe Q, respectivamente, imediatamente
antes de tocarem o chão, e tp e ty os tempos
despendidos por cada corpo nesse percurso.
Despreze os efeitos da resistência do ar. Nessas
condições, pode-se afirmar que:
a) p> Vo e tp=ty
b) vp > Ugo e tp>to
C) Up= Vo e t= to
Dv=v e tp>to
- (Cefet-PR) Dois projéteis que têm massas 0,5 kg
e 1 kg são disparados do alto de um edifício,
na direção horizontal, com a mesma velocidade
inicial. Desconsiderando a resistência do ar, po-
demos afirmar que:
a) o projétil de 0,5 kg terá maior alcance hori-
zontal.
b) o projétil de 1 kg chegará ao solo antes.
c) o projétil de 1 kg terá maior alcance horizontal.
d) os dois projéteis terão o mesmo alcance hori-
zontal e chegarão ao solo juntos.
e) o projétil menor terá menor alcance, mas to-
cará o solo antes do outro.
(UFMG) Uma pessoa observa o movimento pa-
rabólico de uma pedra lançada horizontalmente
com velocidade v,. À pessoa poderia ver a pedra
cair verticalmente se se deslocasse:
a) com velocidade v’ = 2v,, paralela a vo e no
mesmo sentido.
b) com velocidade v’ = vo, paralela a v, e no sen-
tido oposto.
c) com velocidade v’ = v,, paralela a v, e no mes-
mo sentido.
d) com velocidade v’ = 2v,, paralela a v e no
sentido oposto.
e) com velocidade v’ = vo, em qualquer direção
e em qualquer sentido.
- (PUC-MG) A figura desta questão mostra uma es-
fera lançada com velocidade horizontal de 5,0 m/s
de uma plataforma de altura 1,8 m.
(Use g = 10 m/s?)
Ela deve cair dentro do pequeno frasco colocado
a uma distância x do pé da plataforma. A distân-
cia x deve ser de, aproximadamente:
a) 1,0 m c) 2,5m e) 3,5m
b) 2,0 m d) 3,0 m
(UFG-GO) Uma esfera rola sobre uma mesa hori-
zontal, abandona essa mesa com uma velocida-
de horizontal v, e toca o solo após 1 s. Sabendo
que a distância horizontal percorrida pela bola é
igual à altura da mesa, a velocidade v,, conside-
rando g = 10 m/s”, é de:
a) 1,25 m/s
b) 10,00 m/s
c) 20,00 m/s
d) 5,00 m/s
e) 2,50 m/s
O enunciado a seguir refere-se aos testes T.156
e T.157.
(PUC-SP) O esquema apresenta uma correia que
transporta minério, lançando-o no recipiente R. A
velocidade da correia é constante e a aceleração
local da gravidade é 10 m/s”.
Para que todo o minério caia dentro do recipien-
te, a velocidade v da correia, dada em m/s, deve
satisfazer a desigualdade:
a) 2<v<3
b)2<v<5
o) l<v<3
dli<v<4
e i<v<5
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Reprodução proibida. Art. 184 do Cédigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
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portadora e o recipiente R, o intervalo de variação
das velocidades-limite para que todo o minério
caia em R:
a) permanece o mesmo, assim como os valores
das velocidades-limite.
b) permanece o mesmo, mas os valores das velo-
cidades-limite aumentam.
c) permanece o mesmo, mas os valores das velo-
cidades-limite diminuem.
d) aumenta.
e) diminui.
< Se for aumentado o desnível entre a correia trans-
H
8 (Mackenzie-SP) Arremessa-se obliquamente uma
pedra, como mostra a figura.
C
Nessas condições, podemos afirmar que:
|
a) a componente horizontal da velocidade da
pedra é maior em A do que nos pontos B, €,D |
eE.
b) a velocidade da pedra no ponto À é a mesma
que nos pontos B, Ce D.
©) a componente horizontal da velocidade tem o
mesmo valor nos pontos Å, B, C, D e E.
d) a componente vertical da velocidade é nulano |
ponto £. |
e) a componente vertical da velocidade é máxi-
ma no ponto C.
: T159 (FEI-SP) Um projétil é lançado com velocidade Vo,
formando um ângulo 8 com um plano horizontal,
em uma região onde a aceleração da gravidade é |
g. O projétil atinge a altura h e retorna ao plano l
horizontal de lançamento, à distância d do ponto
em que foi lançado. Pode-se afirmar que:
a) o alcance d será tanto maior quanto maior for 6.
b) no ponto de altura A, a velocidade e a acelera-
ção do projétil são nulas.
© no ponto de altura A, a velocidade do projétil
é nula, mas a sua aceleração não o é.
d) no ponto de altura A, a aceleração do projétil
é nula, mas a sua velocidade não o é.
e) nenhuma das afirmativas anteriores é correta.
7.160 (UEL-PR) Um corpo é lançado para cima, com
velocidade inicial de 50 m/s, numa direção que |
forma um ângulo de 60º com a horizontal (da- |
dos: sen 60º = 0,87; cos 60º = 0,50; g = 10 m/s”).
Desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar
que no ponto mais alto da trajetória a velocidade
do corpo, em m/s, será: |
a) 5 d) 40
b) 10 e) 50
co) 25
CLCORA CLICANDO SALUD CALAR TALOS CR DO CORO nL Na Ur casas ra dans
Carítuio 9 + LANÇAMENTO HORIZONTAL E LANÇAMENTO ÓBLÍQUO NO VÁCUO
O enunciado a seguir refere-se aos testes T.161
e T.162.
(FMK-MG) Uma pedra é lançada para cima, fa-
zendo ângulo de 60º com a horizontal e com uma
velocidade inicial de 20 m/s, conforme a figura
abaixo. (Use g = 10 m/s")
Vo
X
J3
Dados: cos 60º = (0,50; sen 60º = ER
Qual é o gráfico que melhor representa a varia-
ção do módulo de sua aceleração vetorial com o
tempo enquanto ela permanece no ar? Despreze
a resistência do ar.
a) Aa d) Aa
0 t ol t
b) Aa e) Aa
> — >
0 t 0 t
o Aa
O ‘y
0 t
A que distância x do ponto de lançamento, na
horizontal, a pedra tocou o solo?
a) 35 m o 173m
b) 40 m d) 17m
e) nd.a.
. (Uece) Num lugar em que g = 10 m/s”, lançamos
um projétil com a velocidade inicial de 100 m/s,
formando com a horizontal um ângulo de eleva-
ção de 30°. A altura máxima será atingida após:
a) 3s b4s Jos dls
Dados: sen 30° = 0,50; cos 30° = E
(Fatec-SP) A velocidade do lançamento oblíquo
de um projétil vale o dobro de sua velocidade no
ponto de altura máxima. Considere constante a
aceleração gravitacional e despreze a resistência
do ar.
O ângulo de lançamento 9 é tal que:
a) sno = > c) TEE e) cotg6 = 2
b) coso = + d) tg9 =
sessasaoesussensesossosesesssesesonoesovasavossssoasassesesesaseresseoseon
é (Uerj) Um projétil é lançado segundo um ângulo
de 30º com a horizontal e com uma velocidade
de 200 m/s. Supondo a aceleração da gravidade
igual a 10 m/s” e desprezando a resistência do
ar, concluímos que o menor tempo gasto por ele
para atingir a altura de 480 m acima do ponto de
lançamento será de:
a)8s bls 9s dDl4s © 12s
(Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de vôo de
um projétil disparado a 60° com a horizontal, e
seja vo, = 200 m/s o valor da componente vertical
da velocidade inicial. Desprezando a resistência
do ar e considerando a aceleração da gravidade
g = 10 m/s”, os valores da componente vertical
. . T
da velocidade nos instantes t = T e t= 7 são,
respectivamente:
a) zero; zero
b) zero; 200 m/s
c) 200 m/s; zero
d) 200 m/s; 200 m/s
e) 200 m/s; 100 m/s
(UFMG) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas
(P, Q e R), cujas trajetórias estão representadas
nesta figura:
Exercicios resolvidos
Sejam tp, to € tros tempos gastos, respectiva-
mente, pelas bolas P, Q e R, desde o momento
do chute até o instante em que atingem o solo.
Considerando-se essas informações, é correto
afirmar que:
a) to>tr= tr
b) R>to= tp
O > RD tp
d) ir> to tp
< (Unip-SP) Em uma região onde o efeito do ar é
desprezível e o campo de gravidade é uniforme,
dois projéteis, A e B, são lançados a partir de uma
mesma posição de um plano horizontal. O inter-
valo de tempo decorrido desde o lançamento até
o retorno ao solo horizontal é chamado de tempo
de vôo.
Projétil A
Projétil B
Solo horizontal
N
Sabendo que os projéteis A e B atingem a mesma
altura máxima H e foram lançados no mesmo
instante, podemos concluir que:
a) os projéteis foram lançados com velocidades
de mesma intensidade.
b) as velocidades dos projéteis no ponto mais
alto da trajetória são iguais.
c) os ângulos de tiro (ângulo entre a velocidade
de lançamento e o plano horizontal) são com-
plementares.
d) a cada instante os projéteis A e B estavam na
mesma altura e o tempo de vôo é o mesmo
para os dois.
e) durante o vôo os projéteis têm acelerações
diferentes.
Um homem com um rifle faz pontaria num objeto situado a 500 m e a uma altura de 100 m do solo, como mostra
a figura. No instante em que o projétil sai do cano da arma, o objeto inicia um movimento de queda. Despreze
a resistência do ar e adote g = 10 m/s”. Sendo 200 m/s a velocidade inicial do projétil, determine:
a) o instante em que o projétil atinge o objeto;
b) a altura do objeto em relação ao solo no instante em que é atingido.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Solução:
a) Observe que, se o objeto não caísse, mantendo-se na sua po-
sição inicial, ele não seria atingido pelo projétil. Isso porque, à
medida que avança horizontalmente, o projétil vai caindo sob a
ação da gravidade. Desse modo, ele passaria sob o objeto, que
não teria se movido. No caso, objeto e projétil caem simultanea-
mente com movimentos verticais idênticos e se encontram na
vertical de queda do objeto, como é mostrado no esquema. Para
calcular o instante de encontro, basta considerar o movimento
horizontal do projétil, que é admitido uniforme:
x = vt (com x= 500m e v= 200 m/s) > 500 = 200t >
b) A posição de encontro em relação ao ponto de partida do objeto pode ser obtida substituindo-se esse valor
de tna função horária do movimento de queda:
a
S = So + Vot + 5” (com s = 0; v = 0; a = +g = 10 m/s >
= s= 5P > s=5-2,5) = s=31,25m
No entanto, pergunta-se a altura em relação ao solo em que ocorreu o encontro. Então, sendo h, = 100 m a
altura inicial do projétil, temos:
h=h-—-s> h=100-31,25 > | h = 68,75 m
Respostas: a) 2,5 s; b) 68,75 m
Uma bola é lançada com velocidade 20 m/s numa direção que faz um ângulo de 60° com a horizontal. A bola,
em sua trajetória, choca-se contra um muro vertical, situado a 30 m do ponto de lançamento.
Desprezando a resistência do ar, determine:
a) o instante em que a bola atinge o muro;
b) a altura do ponto do muro atingido pela bola.
(Dados: g = 10 m/s”; sen 60º = 0,87; cos 60° = 0,5)
Solução:
De acordo com o esquema ao lado, que representa o ocorrido, temos:
a= =g = —10 m/s?
yw=>0ex=0
va = 20 m/s e 8 = 60º
As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial valem:
v, = v * cos 60° =20-0,5 > v, = 10 m/s
Vo, = Vo * sen 60° = 20 : 0,87 = v, = 17,4 m/s
a) O impacto com o muro ocorre após a bola ter percorrido x = 30 m na direção horizontal. Como o movimento
horizontal é uniforme:
x=X% + vt > x= 10t => 30 10r = (1=38)
b) A posição do ponto de impacto na direção vertical (altura) pode ser obtida substituindo-se o valor de tí na
função horária do movimento na direção vertical (MUV):
Y = Yo + Vot 4 Hi > y= 17,4t - 5P
Para ft = 3 s, temos:
Respostas: a) 3 s; b) 7,2 m
Carítuio 9 ° Lançamento HORIZONTAL E LANÇAMENTO OBLIQUO NO Vácuo 159 °
P.185 Num exercício de tiro, um homem sobre uma plataforma
aponta sua arma na direção de um objeto parado no ar e
situado na mesma horizontal, a 200 m de distância, como
mostra o esquema. No instante em que a arma é disparada,
o objeto, que inicialmente se encontrava a 80 m do solo,
inicia seu movimento de queda. Desprezando a resistência
do ar e adotando g = 10 m/s”, determine a velocidade míni-
ma que deve ter a bala para atingir o objeto.
P.186 Um atirador aponta sua espingarda para um objeto pa- Mo
rado no ar a uma altura de 525 m, como indica a figura. é
Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da a
gravidade g = 10 m/s”. Admitindo que, no momento em que ”
a bala sai da arma com velocidade 200 m/s, o objeto inicia
seu movimento de queda, determine: ” 525 m
a) o instante em que a bala atinge o objeto; Ha
b) a altura, relativamente ao solo, em que a bala atinge o í
objeto. N
a o — o— A
(Dados: sen 45° = cos 45° = 0,7) ' 525 m
P.187 Num parque de diversões um dos brinquedos consiste em
usar um canhão fixo, inclinado, fazendo um ângulo igual a
45° com o solo, para atingir uma pequena bola suspensa o—
a 3,0 m de altura da boca do canhão e a uma distância
horizontal de 5,0 m do canhão. Determine a velocidade
inicial que deve ser imprimida ao projétil para se conseguir
acertar o alvo.
J2
[Dados = 10 m/s?; sen 45° = cos 45º = “2 ]
P.188 (PUC-SP) Um garoto parado num plano horizontal, a 3 m de uma parede, chuta uma bola, comunicando-lhe
velocidade de 10 m/s, de tal modo que sua direção forma, com a horizontal, um ângulo de 45º (dados:
sen 45º = cos 45º = 0,7). A aceleração da gravidade no local é 10 m/s” e a resistência do ar pode ser desprezada.
Determine:
a) o instante em que a bola atinge a parede; c) a velocidade da bola no instante do impacto.
b) a altura do ponto da parede atingido pela bola;
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.189 (EEM-SP) Em um jogo de futebol, houve a cobrança de uma falta a 30 m do gol, com a barreira posicionada a 9,6m
da bola. A bola passa sobre a barreira, a 2,3 m de altura. Nesse instante, o vetor velocidade da bola forma um ângulo
de 30º com a horizontal. A altura máxima atingida pela bola é 4,8 m. Desprezando efeitos viscosos, determine:
a) a componente vertical da velocidade da bola ao chegar ao gol, também, a 2,3 m de altura:
b) o tempo que o goleiro tem para tentar a defesa, após o instante em que a bola passa sobre a barreira, admi-
tindo que ele esteja sobre a linha do gol. (Use g = 9,8 m/s")
Jestes
«propostos,
9 (Aman-RJ) A figura ao lado mostra uma canhão sobre uma plataforma. Anteparo
A 1.200 m a norte dele, há um anteparo onde deverá ser colocado um
alvo. O canhão, apontando para o ponto A, realiza um disparo de um
projétil, que sai com velocidade inicial de 600 m/s. Sabendo-se que o + -ooo
1.200 m
ponto Á, indicado na figura, está na mesma horizontal que a boca do GS
canhão e que, no local, sopra um vento lateral constante, de oeste a
para leste, com velocidade de 15 m/s, assinale a alternativa que con- G
tém a distância do ponto de impacto, no anteparo, até o alvo A. be
Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s”.
a) 10/13m b 30m 95/10m ®ANV130m e 50m
e160 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(UFRN) À experiência ilustrada na figura a seguir
é realizada na superfície da Terra. Nessa experiên-
cia, uma pessoa lança uma pequena esfera no
mesmo instante em que um objeto que estava
preso no teto é liberado e cai livremente. À es-
fera, lançada com velocidade vy, atinge o objeto
após um tempo £,. Se repetirmos, agora, essa mes-
ma experiência num ambiente hipotético, onde a
aceleração local da gravidade é nula, o tempo de
colisão entre a esfera e o objeto será to.
Esfera sendo
lançada
A Ilustração do movimento de uma esfera lançada por
um instrumento rudimentar (zarabatana).
Considerando desprezível a resistência do ar
nessas experiências, pode-se afirmar que:
d
a) bb =t = —
Vo
h
b) b =t = —
Vo
d
9d b>t = —
Uo
h
d b >t = —
Vo
(Mackenzie-SP) Da aresta superior do tampo
retangular de uma mesa de 80 cm de altura, um
pequeno corpo é disparado obliquamente, com
velocidade inicial de módulo 5,00 m/s, confor-
me mostra a figura abaixo. O tampo da mesa é
paralelo ao solo e o plano da trajetória descrita,
perpendicular a ele.
t
1
'
r
i
,
i
i
1
1
Jo
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
'
do!
(Despreze a resistência do ar e considere:
sen q = 0,60; cos a = 0,80; g = 10 m/s”)
Carítuio 9 © LaNçamENTO HORIZONTAL E LANÇAMENTO OBLIQUO NO VÁCUO
Sabendo que o corpo tangencia a aresta oposta,
podemos afirmar que a distância d é de:
a) 0,60 m
b) 0,80 m
c) 1,20m
d) 1,60m
e) 3,20 m
O enunciado a seguir refere-se aos testes T.172
e T.173.
(UFPA) A figura representa um projétil, que é
lançado do ponto A segundo um ângulo de 30°
com a horizontal, com uma velocidade v, = 100 m/s,
atingindo o ponto D.
Dados:
AB = 40 m; BC = 55 m; g = 10 m/s”;
sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,866
| O tempo que o projétil levou para atingir o ponto
D, em segundos, vale:
a) 5,3
b) 7,8
o il
d) 12,6
e) 16,2
É A distância CD, em metros, vale:
a) 418,98
b) 458,98
© 692,86
d) 912,60
e) 1.051,16
| (Olimpíada Brasileira de Física) Um projétil é
lançado por um canhão localizado sobre um trem
que está com velocidade horizontal constante v,
em relação ao solo. Para um passageiro do trem,
o canhão aponta para a frente formando um
ângulo 6 com a horizontal, e o projétil é lançado
com velocidade de módulo igual a v,. Para esse
passageiro a altura máxima, atingida pelo projé-
til, em relação ao solo, é h. Para um observador
localizado no solo, qual será o ângulo de lança-
mento do projétil e a altura máxima, em relação
ao solo, alcançada pelo projétil?
a) O mesmo ângulo de lançamento e a mesma
altura.
b) O mesmo ângulo e altura diferente.
c) Um ângulo menor e a mesma altura.
d) Um ângulo maior e a mesma altura.
e) Um ângulo diferente e altura diferente.
O uva |
Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Determinação da velocidade no lançamento horizontal
Usando um pedaço de trilho de cortina, devidamente encurvado, monte o esquema conforme a foto.
Cubra a mesa, próximo à caixa, na direção da canaleta, com papel-carbono sobre folhas de papel. Prenda com fita
adesiva.
THE NEXT
Para realizar o experimento, abandone uma esfera de aço, sucessivamente, dos pontos 4, B e C (observe a figura
abaixo).
o mer CB Piá
e
>
Xx
Ao bater na mesa, a esfera deixa marcados os pontos A’, B? e C’ sobre a folha de papel.
1 .
Meça a altura de queda (A) e calcule o tempo de queda da esfera de aço, utilizando a fórmula A = z gt”. Medindo
as distâncias OA”, OB’ e OC” (abscissas x), calcule a velocidade Yo horizontal com a qual a esfera abandona o trilho em
cada um dos experimentos b. = z) - Considere a aceleração local da gravidade g = 10 m/s”.
t
Responda:
* Por que o tempo de queda é o mesmo nos três experimentos?
* Qual das velocidades obtidas é maior? Por quê?
* Não se levou em conta na experiência a resistência do ar. Por quê? Que alterações ocorreriam nos resultados se essa
resistência fosse considerada?
* A componente horizontal da velocidade da esfera em cada um dos três trajetos se mantém constante? Por quê? Qual
é o valor em cada caso?
* Com que velocidade a esfera de aço atinge o ponto A’?
* Em relação a um eixo horizontal x orientado para a direita e um eixo vertical y orientado para baixo, escreva as funções
horárias dos movimentos horizontal e vertical da esfera que atinge o ponto 4º durante seu movimento, sob a ação
exclusiva da gravidade.
* Relativamente ao item anterior, escreva a equação da trajetória.
* Se a bolinha fosse abandonada do ponto D e atingisse a mesa no ponto O, seu tempo de queda seria maior, menor ou
igual aos calculados anteriormente?
* Relativamente ao item anterior, a velocidade com que a esfera atinge o ponto O é maior, menor ou igual à calculada
ao atingir o ponto A’?
o
PESEE
He
Bs e
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19:dé fevereiro de 1998.
MIKE POWELL / STONE-G
1. GRANDEZAS ANGULARES E Nest tul d loci
2. PERÍODO E FREQUÊNCIA este capítulo, estudamos espaço, velocidade e
aceleração angulares. São introduzidos os conceitos
de período e frequência e analisados os movimentos
de trajetórias circulares: o MCU e o MCUV.
Analisamos também a transmissão de movimento
circular como ocorre, por exemplo, nas bicicletas.
3. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
4. TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO CIRCULAR
UNIFORME
5. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (MCUV)
1. Grandezas angulares
1.1. Espaço angular
Quando pontos materiais descrevem trajetórias circulares, podemos determinar suas posições por
meio de ângulos centrais q em lugar do espaço s (arco OP) medido na própria trajetória (figura 1).
O espaço s permite determinar a posição P do ponto material em cada instante; o ângulo q também
localiza P e, por isso, é chamado espaço angular. O espaço s é chamado espaço linear para diferen-
ciar do espaço angular q.
O (origem pa Trajetória
dos espaços)
Figura 1.
Trabalharemos com ângulos em radianos (veja a definição de radiano a seguir). O arco s relaciona-se
com o ângulo q em radianos pela fórmula:
| (Réo raio de curvatura da trajetória do ponto material)
De modo análogo às definições de velocidade escalar e aceleração escalar, definimos velocidade
angular q (letra grega ômega minúscula) e aceleração angular y (letra grega gama minúscula). As
grandezas angulares q, œ e y compõem a cinemática angular, em contraposição às grandezas lineares já
estudadas s, v e q, que compõem a cinemática linear.
enenecosucaa ssa cacos cena sa FROM EN DANASDSONAOSINALL ANAL ONEROSO DONALDS DDR DUNA END SA RA DAS DOR Cn RCA ORAR CON CR A Des renas ca sad
Carítuio 10 + Movimentos CIRCULARES 163 °
Um radiano é a medida do o ângulo central q que determina, na circunferência, um arco s de comprimen-
to igual ao raio R (s = A). Por exemplo, para se obter o ângulo de 1 rad numa circunferência de raio igual a
10 cm, deve-se construir sobre ela um arco de comprimento 10 cm. O ângulo central que determina esse
arco é igual a 1 rad (aproximadamente 57,39).
;
v / q=Trad
va
vio
v ma
A definição de radiano
Por regra de três simples e direta pode-se obter a relação entre as grandezas s, pe R.
Radiano Comprimento do arco
1 rad ——————— arco = R
arco = s
O comprimento da circunferência é 2xR. Substituindo-se em s = 9R, vem:
2nR=qR => = 2r rad
Desse modo, o ângulo central que determina a circunferência mede 2r radianos, equivalente portanto
a 360°. Assim, chega-se a 180º = x rad; 90° = > rad; etc.
1.2. Velocidade angular
E a) Velocidade angular média o,
Seja q, O espaço angular de um ponto material, num instante t, e q, o espaço angular, num instante
posterior t, (figura 2). No intervalo de tempo At = t, — t;, a variação do espaço angular é AQ = q; —
A velocidade angular média ©, No intervalo de tempo At, é, por definição:
Figura 2.
E b) Velocidade angular instantânea œw
A velocidade angular instantânea q é o valor limite ao qual tende a velocidade angular média, quan-
do o intervalo de tempo At tende a zero (At — 0):
Medindo-se Aq em radianos e At em segundos, a velocidade angular (média e instantânea) é medida
em radianos por segundo (rad/s).
COUDEDED CDC LELLO ULESCENDOACE CALDO VAO CLEO CLORETO DLL ERLINALA CANON O NDA VARA DA DNS CALCULADO SORO DO NISSO NON ONDAS NADAL ARE na aU ses nada
“164 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal! e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
E c) Relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular w
De s; = QR € s, = R, vem:
S2 — Sı = (P2 — Pı)R ou As = AQR
Dividindo ambos os membros da última igualdade por At, resulta:
AS Aq
= —R > wm=oR
At At
1.3. Aceleração angular
H a) Aceleração angular média Ym
Seja œ a velocidade angular de um ponto material num instante t, e œ a velocidade angular num ins-
tante posterior t,. No intervalo de tempo At = t, — t,, a variação da velocidade angular é Ao = œ; — œ.
A aceleração angular média Y„ no intervalo de tempo At é, por definição:
mb) Aceleração angular instantânea y
A aceleração angular instantânea y é o valor limite ao qual tende a aceleração angular média quando
o intervalo de tempo At tende a zero (At > 0):
= mê |
Y= at>0 At |
Medindo-se A% em radianos por segundo e At em segundos, a aceleração angular (média e instan-
tânea) é medida em radianos por segundo ao quadrado (rad/s”).
E c) Relação entre a aceleração escalar q e a aceleração angular y
Dev, = œR e v, = œR, vem:
v — vı = (©; — &)R ou Av = AOR
Dividindo ambos os membros da última igualdade por At, resulta:
Av AW
= R > Om = WR
At At
Considerando o intervalo de tempo At tendendo a zero (At — 0), a igualdade anterior se torna:
Podemos observar na tabela abaixo que a cada grandeza angular (espaço, velocidade e aceleração)
corresponde uma grandeza linear:
q (rad) s (m)
œ (rad/s) | v (m/s) |
y (rad/s?) | a (m/s?) J
No estudo dos movimentos circulares é possível estabelecer uma relação entre grandezas lineares,
grandezas angulares e raio:
`
GRANDEZA LINEAR = GRANDEZA ANGULAR X RAIO |
l v=@R a = yR |
DOVADROS ANOS NANLO NANDA DADA NC CP ERAS RAMNDD GRADO DADOS DNA LCEDAG ADORNO IC TE MODERN ISRC CR RADAR Penas SAO DORA va passa venta cantante casas
Carítuio 10 + MoviMENTOS CIRCULARES 165º
O nun
Ø 2. Período e freqüência
Dizemos que um fenômeno é periódico quando ele se repete, identicamente, em intervalos de
tempo sucessivos e iguais. O período (T) é o menor intervalo de tempo da repetição do fenômeno.
Exemplos:
e Desprezada a resistência do ar, o pêndulo da figura 3 oscila da posição A até B e retorna a 4. O fenô-
meno é periódico, pois se repete em intervalos de tempo iguais. O período é o menor intervalo de
tempo para o pêndulo partir de A e retornar novamente a A.
Figura 3.
e Num relógio, o ponteiro das horas tem movimento periódico: de 12 hem 12 h o ponteiro passa no-
vamente pela mesma posição em idênticas condições. Seu período T é igual a 12 h. Os ponteiros dos
minutos e dos segundos também realizam movimentos periódicos, de períodos diferentes.
e O movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo se repete periodicamente em intervalos de
tempo de 24 h. O período do movimento de rotação da Terra é de 24 h.
Num fenômeno periódico, chama-se frequência (f) o número de vezes em que o fenômeno se
repete na unidade de tempo.
O período e a frequência se relacionam. Por regra de três simples e direta, temos:
Intervalo de tempo Nº de vezes em que o fenômeno se repete
(período) T ————— 1 vez
(unidade de tempo) 1 ———————— fvezes (freqüência)
Daí, temos: fT = 1
Portanto:
Observe que a freqüência é o inverso do período e vice-versa.
O período T é o menor intervalo de tempo para o fenômeno se repetir; suas unidades podem ser:
segundo (s), hora (h), dia. A freqüência f é o número de vezes em que ocorre o fenômeno na unidade
de tempo. Sua unidade é o inverso da unidade de tempo. Uma das unidades mais utilizadas de fre-
quência é 1- 1 s7" que é chamada hertz* (Hz). Assim, 15! = 1 Hz. O quilohertz (kHz) corresponde
s
a 1.000 Hz.
Como os fenômenos em estudo são periódicos, isto é, realizam ciclos ou rotações, é comum nos
referirmos à unidade hertz falando em ciclos por segundo (cps) ou rotações por segundo (rps). Outra
unidade usual de freqüência é rotações por minuto (rpm): 1 rpm = 60 rps.
% HERTZ, Heinrich-Rudolf (1857-1894), físico alemão, dedicou a maior parte de sua curta existência (37 anos apenas) à
pesquisa científica. Foi o primeiro cientista a demonstrar, por meio de experiências, a existência das ondas eletromagnéticas,
comprovando os estudos teóricos efetuados por James Clerk Maxwell.
CAOLCLLLIDALL NANA LEA LNLS CLAN ONCACO DESCON TLOUNCONO VOCAL SULO OGU COLOCO LOLA OL CUCA CURSOR CONS LDU LR DAS COLOR SENAC RAD SOU ADA
e166 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
uu
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D
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(S)
o
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[E
fe)
x
a
A função horária do movimento uniforme é: /
P;
ho
Po
Dividindo pelo raio: O e
s s
2 = 2 4 <t O
R R
s So so v
Sendo RT Ọ, R = qo (espaço angular inicial) e R = w, obtemos: P= posição inicial
P= posição no instante t
Figura 4.
que constitui a função horária angular do MCU.
Adotando-se qo = 0, quando o ponto material completa uma volta têm-se: q = 2r rade t=T
(período).
De q = M + mt, vem:
2nr=-0+01>
Sabemos que = f. Assim, obtemos:
“1>
. Ed me A >
Como o movimento é circular e uniforme, sua aceleração vetorial é a aceleração centrípeta ap. Seu
módulo pode ser expresso em função da velocidade angular q:
2 2 2p2
Ido] = v _ (@RY o Rt oR >
R R R
É importante associar as grandezas. Observe como, a partir da freqüência f, podem-se obter as
demais grandezas.
2
De fato, de f obtém-se: T = É o = a v = @R e dọ F S
a
z `
unções do MCU |
Forma angular Relações |
P = P + ot s= qR v= œR |
œ = cte. + 0 o- Z r=1 |
y=0 T f |
a
> :
œ R |
|
e e eme
« Um corpo em MCU percorre distâncias iguais em
intervalos de tempo iguais, numa trajetória circular.
DEE LLAEEO LEA CLARA ORAR C ERC RAR DNC RR a RO Cena Ana na ca nano Renee nan an ana nr tener ent Renare rear enana renas renaas ee nan senTastttease Ana Se tee NTE
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um ponto material descreve uma circunferência horizontal com velocidade constante em módulo. O raio da
circunferência é 15 cm e o ponto material completa uma volta a cada 10 s. Calcule:
a) o período e a frequência; c) a velocidade escalar linear;
b) a velocidade angular; d) o módulo da aceleração centrípeta.
Solução:
a) O período corresponde ao tempo necessário para o ponto material completar uma volta. Portanto:
assar od
A frequência é: f T 10 > | f= 0,1 Hz
b) A velocidade angular é dada por: œ 2n 2n >
T 10
c) A velocidade linear é: v = œR = 5 15 >
d) À aceleração centrípeta tem módulo dado por:
2 2 2
layl = = = — = z > | acl = 0,67 cm/s”
Respostas: a) 10 s; 0,1 Hz; b) T rad/s; c) 37 cm/s; d) 0,67” cm/s?
Na vitrola da vovó, um disco gira com freqüência de 45 rpm. Considerando nesse disco um ponto A situado a
10 cm do centro e outro B situado a 15 cm, determine para cada um deles:
a) a frequência em hertz e o período em segundos;
b) a velocidade angular em radianos por segundo;
c) a velocidade escalar linear em metros por segundo. a
B
Solução:
a) Todos os pontos do disco giram com a mesma freqiiência e o mesmo período, não
importando a distância em relação ao centro:
f = 45rpm = Bro = rot L, (F = 0,75 Hz
min 60s
poa
r=}1=_ | > [T=13
F T E e
b) A velocidade angular também não depende da distância do ponto ao centro do disco e é dada por:
o = — ou œ = 27f = 27: 0,75 > |œ = 1,5r rad/s
c) A velocidade escalar linear depende do raio da trajetória descrita. Para o ponto À, cujo raio é
R, = 10 cm = 0,10 m, temos:
va = OR, > vc 1,57 010 > | v, = 0,157 m/s
Para o ponto B, cujo raio é R = 15 cm = 0,15 m, vem:
Vg = OR; > vp = 1,57 -0,15 > | vg = 0,2257 m/s
Respostas: a) 0,75 Hz e = 1,33 s; b) 1,57 rad/s; c) v, = 0,157 m/s e vg = 0,2257 m/s
Observação:
Assim como na situação descrita, há diversos outros casos
em que pontos diferentes do sistema girante apresentam
frequências, períodos e velocidades angulares iguais, mas
velocidades lineares diferentes. É o que se verifica, por
exemplo, em polias que giram juntas, presas a um único
eixo de rotação (veja a figura). Os pontos alinhados P}, P,,
Ps, ... P, descrevem o mesmo ângulo central ọ, num dado
intervalo de tempo; daí decorre que a velocidade angular
w é a mesma para todas as polias acopladas. Lembrando
que v = œR, e considerando que os raios das polias não são
iguais (R, > R, > R3), conclui-se que as velocidades lineares Vista de cima
de P,, P», Ps, ... P, não são iguais (Up, > Up, > Up, ... > Up).
Capitulo 10 + MOVIMENTOS CIRCULARES 169 +
O mi |
i
NELSON ALMEIDA / AE
| Satélites geoestacionários
A eenen neem
Em telecomunicações são utilizados satélites artificiais geoestacionários que se mantêm imóveis
em relação a um observador na Terra. Embora os satélites geoestacionários sejam estudados com mais
detalhes no capítulo sobre gravitação universal, já podemos estabelecer aqui a condição necessária para
que mantenham essa situação.
Para ser estacionário em relação à Terra, um satélite deve ter a mesma velocidade angular que esse
planeta:
21 21 T
= — = — => o = — radh
0) 7 n = rad/
Além disso, sua órbita deve estar contida no plano do equador terrestre.
Os satélites geoestacionários recebem sinais de rádio, TV, telefonia, entre outros, e os retransmitem
para outros pontos do país, normalmente inacessíveis por outro processo ou atingidos de maneira pouco
eficiente. São responsáveis pela interligação entre continentes e pela expansão da internet.
Satélite
4 O Intelsat VI, lançado em 1990, é um
satélite geoestacionário utilizado
em comunicações. Em 1992 ele foi
reparado em pleno espaço pelos
tripulantes da nave Endeavour, ocasião
em que foi feita esta foto.
O conjunto de satélites geoestacionários brasileiros chama-se Brasilsat; são operados pela Star One,
uma subsidiária da Embratel. Sua frota é constituída pelo satélite Brasilsat A2, de 1º geração, e os satélites
de 2º geração: Brasilsat B1, Brasilsat B2, Brasilsat B3 e Brasilsat B4. O Brasilsat B4 é o mais novo satélite
de 2º geração, e substituirá o Brasilsat A2. O Brasilsat A1, alugado a uma empresa americana, atualmente
não faz parte do sistema brasileiro de telecomunicações por satélites.
«4 O satélite Brasilsat B1 é submetido
aos testes finais no INPE, em 1994,
antes de ser colocado em órbita.
rr ie tera cu param er a coco tece E
“170 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.196. Um ponto material percorre uma circunferência de 20 cm de diâmetro efetuando 12 rpm. Determine:
P.197
P.198
P.199
P.200
P.201
P.202
P.203
P.204
a) a freqüência em hertz;
b) o período;
c) a velocidade angular;
d) a velocidade escalar linear;
e) a aceleração centrípeta.
Um corpo gira com MCU completando uma volta em cada 4 s. O raio é 5 cm. Determine:
a) o período;
b) a velocidade angular;
c) o módulo da aceleração centrípeta.
Uma roda-gigante de raio 14 m gira em torno de um eixo horizontal. Um passageiro, sentado em uma cadeira,
move-se com velocidade linear v = 7 m/s.
Determine:
a) a velocidade angular do movimento;
b) o módulo da aceleração centrípeta do passageiro;
c) em quanto tempo o passageiro executa uma volta completa.
Um movimento circular uniforme de raio 2 m tem função horária s = 4 + 2t (unidades do SI). Determine:
a) o espaço angular inicial e a velocidade angular;
b) a função horária angular do movimento;
c) o período e a fregiiência do movimento.
Às pás de um ventilador giram em torno de seu eixo com frequência de 120 rpm. Determine para dois pontos
de uma das pás, situados respectivamente a 15 cm e 10 cm do centro:
a) a frequência em hertz e o período em segundos;
b) a velocidade angular em radianos por segundo;
c) a velocidade escalar linear em metros por segundo.
Um carro percorre uma circunferência de raio 500 m com velocidade escalar constante de 20 m/s. Qual é o
ângulo que o carro descreve em 40 s?
O raio da Terra é de aproximadamente 6.400 km. Calcule a velocidade linear e o módulo da aceleração centrí-
peta de um ponto do equador que se desloca devido à rotação da Terra. Dê a resposta da velocidade em km/h
e do módulo da aceleração em m/s’. Considere n = 3.
A órbita da Terra em torno do Sol pode ser considerada aproximadamente circular e de raio 1,5 + 10º km. De-
termine, nessas condições, a velocidade linear e o módulo da aceleração centrípeta da Terra em torno do Sol.
Dê a resposta da velocidade em km/s e do módulo da aceleração em m/s”. Considere 1 ano aproximadamente
31-10'seuserx=3.
Um satélite estacionário, usado em comunicações, é colocado em órbita circular, de raio aproximadamente
4,2 « 10º km, acima da linha do equador. Determine a velocidade angular e a velocidade linear do satélite em
seu movimento em torno do eixo da Terra. Considere 1 = 3.
covsncrones DONA ÊL EDUCA COLE ERC RCE CADO LLC LLNCLLLLOLCCO DELANO DA ADRENALINE LADOS DU PANICO RASA PA SRA RA RAN SA On AA PRA tan sa dan gas
CarítuLo 10 © MOVIMENTOS CIRCULARES 171º
(] 4. Transmissão de movimento circular uniforme
É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas rodas, dois discos ou duas polias
empregando dois procedimentos básicos: encostando-os (figura 5) ou ligando-os por uma correia ou
corrente (figura 6). Em ambos os casos, costuma-se usar engrenagens cujos dentes se adaptam entre
si, quando em contato, ou se encaixam nos elos da corrente de ligação, para não haver deslizamento
ou escorregamento.
Figura 5. Figura 6.
Na transmissão por contato há inversão no sentido do movimento, o que não ocorre na transmissão
por corrente (ou correia). No entanto, as velocidades lineares dos pontos periféricos das duas rodas,
em cada instante, têm o mesmo módulo em ambas as situações. Assim, considerando os pontos A e B
destacados nas figuras 5 e 6, temos:
Os raios das rodas e, portanto, dos movimentos descritos pelos pontos A e B são R, e Rs, respectiva-
mente. Sendo «, e œ; as correspondentes velocidades angulares, podemos escrever:
Va = OR, € Vo = ORs
Mas, como v, = vs, obtemos:
Portanto, as velocidades angulares das rodas são inversamente proporcionais aos respectivos
raios. Essa proporcionalidade inversa em relação aos raios vale também para as freguências f, e fs,
pois: wo, = 21, e€ mw; = 2nf.
2rf, R, = 2nfRg O
GABOR NEMES / KINO
DAVID PARKER / SPL-LATINSTOCK
172 Os FUNDAMENTOS DA Física
LARRY BRAY / TAXI GETTY IMAGES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A
e)
o
5
e]
£
a
E
jo
| As marchas da biciclet |
l As mudanças de marcha de uma bicicleta, isto é, suas variações de velocidade, são feitas por meio de
| um sistema de transmissão constituído de pedais, coroas, catracas e corrente. As coroas são acionadas
pelos pedais e as catracas estão acopladas à roda traseira.
E
fa)
Por exemplo, o que vem a ser uma bicicleta de marchas? Trata-se de uma bicicleta dotada de várias
catracas e coroas, sendo que cada uma das coroas pode ser ligada a cada uma das catracas, proporcio- O
nando assim combinações diferentes. Por exemplo, a bicicleta da figura tem 3 coroas e 6 catracas. Cada
coroa pode ser ligada a uma catraca, resultando: 3 coroas x 6 catracas = 18 possibilidades. Cada uma
dessas possibilidades constitui uma marcha da bicicleta. A mudança de marchas é feita por meio de
alavancas existentes no guidão da bicicleta.
E<— 3 coroas
6 catracas
Considere uma coroa de raio R irando com velocidade angular w,. A catraca a ela li ada, de raio R ,
A A B
adquire velocidade a gular O. leremos:
mi, = 0,6, > O, =
Nessa fórmula, notamos que, para que a bicicleta se desloque com a maior velocidade possível, isto
é, para que q, (velocidade angular da catraca e também das rodas traseiras) tenha o maior valor possível,
devemos ligar a catraca de menor raio (Rs) à coroa de maior raio (Rj). Inversamente, para que a bicicleta
desenvolva a menor velocidade possível (correspondendo à marcha de menor velocidade), devemos ligar
a catraca de maior raio com a coroa de menor raio.
Duas polias, A e B, ligadas por uma correia têm 10 cm e
20 cm de raio, respectivamente. À primeira efetua 40 rpm.
Calcule:
a) a fregiijência da segunda polia;
b) a velocidade linear dos pontos da correia.
Solução:
a) LR, = fgRp (com f, = 40 rpm, R, = 10 cm, Rg = 20 cm)
Portanto:
40-:10=4,:20 > | fs = 20 rpm
b) Todos os pontos da correia têm a mesma velocidade linear v, que é também a velocidade dos pontos peri-
féricos das polias, uma vez que não há escorregamento da correia ao passar pelas polias.
Considerando a polia 4, temos:
v=0R, > v=ZrtiRa
40 2
Sendo f, 40 rpm 80 Hz 3 Hz, vem:
v = 2m: 2.105 v, = dor emys
3 3
40
Respostas: a) 20 rpm; b) z cm/s
CapituLo 10 * Movimentos CIRCULARES 173 °
Numa bicicleta de marchas, as pedaladas do ciclista imprimem uma velocidade angular de 3,0 rad/s à coroa,
de raio 20 cm, que está ligada a uma catraca da roda traseira, de raio 5,0 cm. As rodas da bicicleta têm raio
40 cm. Determine:
a) a velocidade angular da catraca;
b) a velocidade escalar linear com que a bicicleta está se movendo.
Solução:
a) Sendo q, = 3,0 rad/s, R, = 20 em e R; = 5,0 cm, respectivamente, a velocidade angular da coroa e os raios
da coroa e da catraca, podemos calcular a velocidade angular œz da catraca:
R .
OR; = OR, Op = aa A SW = 3,0 - 20 > | wp= 12 rad/s
B 5,0
b) A bicicleta percorre a distância 27R (perímetro da roda) no intervalo de tempo igual a um período T de
rotação das rodas. Assim, a velocidade escalar linear da bicicleta é dada por:
v= 2R >v = oR
T
A velocidade angular da catraca (œz) é a mesma da roda e, sendo R = 40 cm = 0,40 m o raio da roda, vem:
Respostas: a) 12 rad/s; b) 4,8 m/s
P.205 (Fuvest-SP) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios R, = 10 cm e R, = 50 cm.
Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação f, = 60 rpm:
a) qual é a frequência de rotação f, do cilindro menor?
b) qual é a velocidade linear da cinta?
P.206; Num relógio, a transmissão de movimento circular é feita por contato. Uma engrenagem de 0,5 cm de diâmetro
tem período de 10 s e está em contato com outra engrenagem de diâmetro 1 cm. Determine para a segunda
engrenagem:
a) o período;
b) a fregiiência;
œ) a velocidade angular;
d) a velocidade linear de um ponto periférico.
P.207 A engrenagem A, acionada por um motor, gira com velocidade angular œ, = 30 rad/s.
Sabendo que R; = 2R, e que Rç = 1,5R,, determine os sentidos de rotação e as velocidades angulares das en-
grenagens Be C.
DONOUONODO ONCE ONCNOSUEO DOS DDD LLC LOLLLN ONCE ODESSA LAUDO NOLL COCO CURA RLL AD OR O rasas CS O neo assar sarado
“174 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 da fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.208 No mecanismo esquematizado, o
motor aciona a engrenagem À com
uma fregiiência f, = 75 rpm. Às en-
grenagens B e C estão ligadas a um
mesmo eixo.
Sendo R, = 10 cm, Rs = 15 cm e
Re = 8 cm, determine:
a) a frequência de rotação das en-
grenagens Be C;
b) a velocidade linear de um ponto P
pertencente à periferia da engre-
nagem C.
P.209 Uma bicicleta, cujo raio da roda é 40 cm, desloca-se em linha reta com velocidade escalar constante de 10 m/s.
a) Qual é a velocidade angular da catraca ligada à roda traseira?
b) Sabendo-se que os raios da catraca e da coroa são, respectivamente, 5,0 cm e 15 cm, determine a velocidade
angular que o ciclista imprime à coroa.
o 5. Movimento circular uniformemente
variado (MCUV)
O movimento circular uniformemente variado (MCUV) não é um movimento periódico, pois o
módulo de sua velocidade varia e, portanto, o tempo de cada volta na circunferência é variável.
2
. = . > v z a
Possui aceleração centrípeta aa = RÉ or) e aceleração tangencial (la| = lo).
at — EA . => => ,
A aceleração total a é a soma vetorial de ac, com a, como se representa na figura 7.
No quadro a seguir, temos todas as funções utilizadas no movimento circular uniformemente va-
riado.
Figura 7.
O asna a dd a g,
Funções do MCUV
| Forma linear Forma angular | Relações
f o
S = So + vot + SÉ 9 = P +at+ e | s = qR
v=w+at o = O + yt | v=oR
| o = cte. (escalar) + O y = cte. (escalar) + O & = YR
Do v?=vo+ 20AS | a = O + 2YAQ
| a
| Aceleração tangencial |a| = ja] Aceleração centrípeta |a| = zo
(está relacionada com a variação (está relacionada com a variação
do módulo da velocidade v) da direção da velocidade v)
> >
>
a=, + A
| (adição vetorial)
CaPiTuLo 10 e MOVIMENTOS CIRCULARES 175 °
Exercícios
*esolvidos
Um ponto material, partindo do repouso, percorre uma circunferência com raio de 10 cm em movimento unifor-
. : : : a T .
memente variado. Durante os dois primeiros segundos o ponto descreve um ângulo de 4 rad . Determine:
a) a aceleração angular e a aceleração linear do movimento;
b) a velocidade angular e a velocidade linear no instante t = 4 s.
Solução:
a) De = o + Ot + ir, fazendo q, = 0 e sendo œ = 0, ọ = q rad et=2s,vem:
T= DA > y= a rad/s?
Sendo « = yR, resulta:
b) De © = œ + yt, temos para t = 4s:
Sendo v = wR, resulta:
T
Respostas: a) g rad/s?; 3 cm/s; b) > rad/s; 5r cm/s
Um móvel realiza MCUV numa circunferência de raio igual a 10 cm. No instante t = 0 a velocidade angular
é 10 rad/s e 5 s depois é 30 rad/s. Determine aproximadamente o número de revoluções (voltas) que o móvel
realiza nestes 5 s. Considere x = 3,14.
Solução:
De o = q, + yt, sendo q, = 10 rad/s e o = 30 rad/s quando t = 5 s, vem:
30 = 10 + y- 5 = y= 4 rad/s?
De p=Q + Ot + Ze sendo q, = 0 (adotado), œœ = 10 rad/s, y = 4 rad/s e t = 5 s, resulta:
4 n
q=0+10:5+ 55 > q = 100rad
O número de voltas em 100 rad é obtido por uma regra de três simples:
27 x
1 volta ———————— 2x rad
n voltas ———————— 100 rad
Resposta: ~ 16 voltas
ercicios
P.210 Um ponto material, partindo do repouso, percorre uma circunferência de raio 50 cm em movimento uniforme-
mente variado de aceleração linear 2 m/s”. Determine:
a) a aceleração angular do movimento;
b) a velocidade angular e a velocidade linear 10 s após o ponto ter partido.
P.211 Um ponto descreve um MCUV na periferia de um disco de diâmetro 10 cm, partindo do repouso. Após 10 s, sua
velocidade angular é 20 rad/s. Determine quantas voltas o ponto realizou nesse intervalo de tempo.
e 176 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penai e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
e
osseo
+
.
P.212
P.213
P.214
P.215
P.216
P.217
P.218
Exercícios propostos
“de recapitulac
(0)
Um ponto descreve uma circunferência de raio R = 2 m com movimento uniforme.
Efetua 1 volta em 5 s. Determine:
a) seu período; c) sua velocidade linear;
b) sua velocidade angular; d) o módulo de sua aceleração centrípeta.
(UFRJ) Em um relógio convencional, como o mostrado na figura, o ponteiro das
horas gira com movimento uniforme de freqüência f. A Terra também gira, em
. . , sa - f
torno de seu eixo, com movimento uniforme de freqüência f’. Calcule a razão =
(Fuvest-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 50 cm.
a) Qual é a velocidade angular do ponteiro?
b) Calcule a velocidade linear da extremidade do ponteiro.
Um satélite artificial gira ao redor da Terra à altura de 35.800 km (raio da Terra = 6.400 km; período de ro-
tação = 24h). Qual deve ser a velocidade desse satélite para que um observador, em repouso, na Terra, tenha
a impressão de que o satélite se encontra parado? A órbita do satélite está contida no plano do equador.
Uma roda cujo raio é igual a 60 cm percorre uma trajetória retilínea com velocidade de 86,4 km/h, sem escor-
regar. Calcule os valores da velocidade angular e da frequência dessa roda.
(UFBA) Um indivíduo, preocupado com as constantes multas que tem recebido por dirigir o seu automóvel em
excesso de velocidade, relata o fato a dois companheiros. Os três amigos não conseguem compreender a razão
das multas, desde que todos eles observam os limites de velocidade nas vias públicas, através do velocímetro
de seus carros.
Os seus veículos, de mesmo modelo, têm nos pneus a única característica distinta. O carro A usa os pneus
indicados pelo fabricante do veículo; o carro B usa pneus com diâmetro maior do que o indicado, pois o seu
proprietário visita, periodicamente, seus familiares no interior, viajando por estradas e caminhos irregulares;
o carro C usa pneus com diâmetro menor do que o indicado, uma vez que o seu proprietário gosta de veículos
rebaixados, com aspecto esportivo.
Os três amigos decidem fazer um experimento, alu- Velocímetro | >
gam um aparelho de radar e vão para uma estrada (km/h)
deserta. Após realizarem várias medições, construí- 60
ram o gráfico ao lado.
Com base na análise do gráfico, identifique a cor-
respondência existente entre os carros 4,Be Ce
as linhas 1, 2 e 3, que representam as velocidades
desses carros, verificando qual dos três amigos deve
ser mais precavido ao circular em estradas e aveni-
das vigiadas pelo radar. Justifique sua resposta.
60 Radar (km/h)
(Unicamp-SP) Em 1885, Michaux lançou o biciclo
com uma roda dianteira diretamente acionada por
pedais (figura a). Através do emprego da roda den-
tada, que já tinha sido concebida por Leonardo da
Vinci, obteve-se melhor aproveitamento da força
nos pedais (figura b). Considere que um ciclista
consiga pedalar 40 voltas por minuto em ambas as
bicicletas. (User = 3.)
a) Qual a velocidade de translação do biciclo de
Michaux para um diâmetro da roda de 1,20 m?
b) Qual a velocidade de translação para a bicicleta
padrão aro 60 (figura b)? Figura a Figura b
Uma roda é uniformemente acelerada a partir do repouso e atinge a velocidade angular œ = 20 rad/s efetuando
10 voltas depois do início da rotação. Determine a aceleração angular da roda.
(Mackenzie-SP) Determine o número de rotações que uma roda volante faz em 20 s, se sua velocidade angular
varia nesse intervalo de tempo de 3 rad/s para 10 rad/s, com aceleração angular constante.
Capíruio 10 e MOVIMENTOS CIRCULARES 177º
(] Testes
propostos
(Unirio-RJ) Na figura um sistema mecânico é
formado por uma roda R, uma haste H e um
êmbolo E, que desliza entre as guias G) e G,. As
extremidades da haste H são articuladas em Pe
P,o que permite que o movimento circular da
roda R produza um movimento de vai-e-vem de
P, entre os pontos 4 e B, marcados no eixo x.
P
Considerando-se que a roda R descreve 240 ro-
tações por minuto, o menor intervalo de tempo
necessário para que o ponto P' se desloque de A
até B é:
1 1
75 d —s 9 Às
a 2s bis O z T
(UEL-PR) Um antigo relógio de bolso tem a forma
mostrada na figura abaixo, com o ponteiro dos
segundos separado dos outros dois.
À velocidade angular do ponteiro dos segundos,
cujo comprimento é 0,50 cm, em rad/s, e a veloci-
dade linear de um ponto na extremidade de tal
ponteiro, em cm/s, são, respectivamente, iguais a:
x T T
2 — e— e) — e2
a) 2nren 9 30 * TE ) Ê T
T T
b) 2re4 — e —
) 2n e dr D 3 60
(UFPE) O relógio da Estação Ferroviária Central do
Brasil, no Rio de Janeiro, tem ponteiros de minu-
tos e de horas que medem, respectivamente, 7,5 m
v
e 5,0 m de comprimento. Qual a razão À, entre
Ug
as velocidades lineares dos pontos extremos dos
ponteiros de minutos e de horas?
al DIZ 918 DA 30
(Unifesp) Três corpos estão em repouso em re-
lação ao solo, situados em três cidades: Macapá,
localizada na linha do Equador, São Paulo, no
Trópico de Capricórnio, e Selekhard, na Rússia,
localizada no Círculo Polar Ártico. Pode-se afir-
mar que esses três corpos giram em torno do
eixo da Terra descrevendo movimentos circula-
res uniformes, com:
a) as mesmas fregiiência e velocidade angular,
mas o corpo localizado em Macapá tem a
maior velocidade tangencial.
b) as mesmas fregiência e velocidade angular,
mas o corpo localizado em São Paulo tem a
maior velocidade tangencial.
c) as mesmas fregiiência e velocidade angular,
mas o corpo localizado em Selekhard tem a
maior velocidade tangencial.
d) as mesmas frequência, velocidade angular e
velocidade tangencial, em qualquer cidade.
e) frequência, velocidade angular e velocidade
tangencial diferentes entre si, em cada cidade.
(Vunesp) Uma gota de tinta cai a 5 cm do centro
de um disco que está girando a 30 rpm. As veloci-
dades angular e linear da mancha provocada pela
tinta são, respectivamente, iguais a:
a) n rad/s e 5r cm/s
b) 4x rad/s e 20r cm/s
c) 5r rad/s e 25x cm/s
d) 87 rad/s e 40r cm/s
e) 10r rad/s e 50r cm/s
| (Fuvest-SP) Em uma estrada, dois carros, 4 e B,
entram simultaneamente em curvas paralelas,
com raios R, e Rp.
Os velocímetros de ambos os carros indicam, ao
longo de todo o trecho curvo, valores constantes
V, e Vz. Se os carros saem das curvas ao mesmo
tempo, a relação entre V, e Vp é:
V, R
a V, = Vs DH
B A
2
pio- o% [R
Vy Ra V% AR
teosoresovososesseosoosesesnosesonessenosenonososossessososrososuonecososoeseueassoseesesooaospnonvesosssonssorsosesssoresoroseosononorosesvscesessonses
e78
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(Inatel-MG) Seu João é um motorista consciente,
e ao constatar que os pneus de seu carro estavam
carecas, dirigiu-se a uma concessionária para rea-
lizar a substituição. A concessionária tinha em
estoque somente pneus com raio 5% maior que
os pneus originais. Como seu João não tinha al-
ternativa, optou pela troca. No trajeto de volta à
sua residência, seu João precisa trafegar por uma
estrada cuja velocidade máxima é de 80 km/h.
Com os novos pneus, qual é a velocidade que ele
deverá respeitar no seu marcador de velocidade,
já que que os pneus foram substituídos por outro
modelo com diâmetro maior?
a) 72 km/h d) 84 km/h
b) 76 km/h e) 88 km/h
c) 80 km/h
(Fuvest-SP) A Estação Espacial Internacional
mantém atualmente uma órbita circular em torno
da Terra, de tal forma que permanece sempre em
um plano, normal a uma direção fixa no espaço.
Esse plano contém o centro da Terra e faz um
ângulo de 40º com o eixo de rotação da Terra.
Em um certo momento, a Estação passa sobre
Macapá, que se encontra na linha do Equador.
Depois de uma volta completa em sua órbita, a
Estação passará novamente sobre o Equador em
um ponto que está a uma distância de Macapá de,
aproximadamente:
a) zero km d) 2.500 km
b) 500 km e) 5.000 km
e) 1.000 km
Dados da Estação
Período aproximado: 90 minutos
Altura acima da Terra: = 350 km
Dados da Terra
Circunferência no equador: = 40.000 km
Eixo de rotação da Terra
40º
Dii Plano de
5 órbita da
estação
T
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
'
i
1
'
1
º
T
1
i
t
b
í
a
(Olimpíada Brasileira de Física) Um aeromodelo
descreve um movimento circular uniforme com
velocidade escalar de 12 m/s, perfazendo 4 voltas
por minuto. À sua aceleração é de:
a) 0,0 m/s? e) 48 m/s e) 9,6 m/s
b) 0,8 m/s? d) 7,2 m/s
Use t = 3.)
Carítuio 10 + MOVIMENTOS CIRCULARES
(Mackenzie-SP) Duas partículas À e B descrevem
movimentos circulares uniformes com velocida-
des escalares respectivamente iguais a v e 2v.
O raio da trajetória descrita por 4 é o dobro do
raio daquela descrita por B. A relação entre os
módulos de suas acelerações centrípetas é:
a) &, = g%
dd
b) a, = q Us
1
9 a, = 7 ™s
d) ac, = acg
€) ac, = 2acg
(Uniube-MG) Duas polias de uma máquina estão
acopladas segundo a figura abaixo.
À frequência da polia A é cinco vezes maior que a
de B; portanto, a relação entre os raios de À e B é:
a) 2
b) 1
c)
d)
jap Nje
e
; (FEL-SP) Um dispositivo mecânico apresenta três
polias (1), (2) e (3), de raios R, = 6 cm, R, = 8 cm
e R, = 2 cm, respectivamente, pelas quais passa
uma fita que se movimenta, sem escorregamento,
conforme indicado na figura abaixo.
Se a polia (1) efetua 40 rpm, qual é, em segundos,
o período do movimento da polia (3)?
a) 0,5
b) 1,2
©) 2,0
d) 25
e) 32
e
azi
>
kad
+
tm
(UfsCar-SP) Para misturar o concreto, um mo-
tor de 3,5 hp tem solidária ao seu eixo uma en-
grenagem de 8 cm de diâmetro, que se acopla a
uma grande cremalheira em forma de anel, com
120 cm de diâmetro, fixa ao redor do tambor
misturador.
Quando o motor é ligado, seu eixo gira com fre-
quência de 3 Hz. Nestas condições, o casco do
misturador dá um giro completo em:
a 3s bos 96s Dês Is
(Unifesp) Pai e filho passeiam de bicicleta e an-
dam lado a lado com a mesma velocidade. Sabe-
se que o diâmetro das rodas da bicicleta do pai
é o dobro do diâmetro das rodas da bicicleta do
filho. Pode-se afirmar que as rodas da bicicleta do
pai giram com:
a) a metade da freqiência e da velocidade an-
gular com que giram as rodas da bicicleta do
filho.
b) a mesma frequência e velocidade angular com
que giram as rodas da bicicleta do filho.
c) o dobro da fregiiência e da velocidade angular
com que giram as rodas da bicicleta do filho.
d) a mesma fregiiência das rodas da bicicleta do
filho, mas com metade da velocidade angular.
e) a mesma freqiiência das rodas da bicicleta do
filho, mas com o dobro da velocidade angular.
(Fuvest-SP) Uma criança montada em um velo-
cípede se desloca em trajetória retilínea, com
velocidade constante em relação ao chão. A
roda dianteira descreve uma volta completa em
1 s. O raio da roda dianteira vale 24 cm e o das
traseiras, 16 cm. Podemos afirmar que as rodas
traseiras do velocípede completam uma volta
em, aproximadamente:
ass D És c) Is D Žs e) 2s
(Cefet-PR) A figura representa a roda traseira e as
engrenagens de uma bicicleta na qual, X, Y e Z são
pontos cujos raios são, respectivamente, iguais a
12 cm, 4 cm e 60 cm.
Quando a bicicleta está em movimento:
a) a velocidade tangencial do ponto Z é igual à do
ponto Y.
b) o período do ponto X é igual ao do ponto Y.
c) a frequência do ponto Y é 15 vezes a do
ponto Z.
d) o período do ponto X é 5 vezes o do ponto Z.
e) a velocidade angular do ponto Y é igual à do
ponto Z.
(ITA-SP) No sistema convencional de tração de
bicicletas, o ciclista impele os pedais, cujo eixo
movimenta a roda dentada (coroa) a eles solidá-
ria. Esta, por sua vez, aciona a corrente responsá-
vel pela transmissão do movimento à outra roda
dentada (catraca), acoplada ao eixo traseiro da
bicicleta. Considere agora um sistema duplo de
tração, com 2 coroas, de raios R, e R, (R, < R$)
e 2 catracas R, e R, (R; < R,), respectivamente.
Obviamente, a corrente só toca uma coroa e uma
catraca de cada vez, conforme o comando da
alavanca de câmbio. A combinação que permite
máxima velocidade da bicicleta, para uma velo-
cidade angular dos pedais fixa, é:
a) coroa R, e catraca R}.
b) coroa R, e catraca R,
c) coroa R, e catraca Rs.
d) coroa R, e catraca R}.
e) é indeterminada, já que não se conhece o diã-
metro da roda traseira da bicicleta.
O enunciado a seguir refere-se aos testes T.192 e
T.193.
(Enem-MEC) As bicicletas possuem uma corren-
te que liga uma coroa dentada dianteira, movi-
mentada pelos pedais, a uma coroa localizada
no eixo da roda traseira, como mostra a figura. O
número de voltas dadas pela roda traseira a cada
pedalada depende do tamanho relativo destas
coroas.
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
80 cm
2 Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior
número de voltas por pedalada? | Quando se dá uma pedalada na bicicleta acima
a) | (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá
| uma volta completa), qual é a distância aproxi-
| mada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que
o comprimento de um círculo de raio R é igual a
2rR, onde r = 3?
a) 1,2m d) 144m
co) 7,2m
i (Enem-MEC) Com relação ao funcionamento de
uma bicicleta de marchas, na qual cada marcha
é uma combinação de uma das coroas dianteiras
com uma das coroas traseiras, são formuladas as
seguintes afirmativas:
I. Numa bicicleta que tenha duas coroas dian-
teiras e cinco traseiras, temos um total de dez
marchas possíveis, sendo que cada marcha
representa a associação de uma das coroas
dianteiras com uma das traseiras.
II. Em alta velocidade, convém acionar a coroa
dianteira de maior raio com a coroa traseira
| de maior raio também.
l HI. Em uma subida íngreme, convém acionar a co-
| roa dianteira de menor raio e a coroa traseira
de maior raio.
|
|
À
|
|
b) 2,4m e) 48,0 m
|
Entre as afirmações anteriores, estão corretas:
a) Ie Il apenas.
b) 1, II e I apenas.
c) Ie lI apenas.
d) Il apenas.
e) Ill apenas.
3 Um ponto na borda de um disco de 0,20 m de raio
tem sua velocidade escalar alterada de 6,0 m/s
para 8,0 m/s em 2,0 s. À aceleração angular cons-
tante (em rad/s”) é:
a) 3,0 c) 2,0 e) 4,0
b) 5,0 d 1,0
96 (Mackenzie-SP) Um disco inicia um movimento
uniformemente acelerado a partir do repouso
e, depois de 10 revoluções, a sua velocidade
angular é de 20 rad/s. Podemos concluir que a
| aceleração angular da roda em rad/s” é aproxi-
| madamente igual a:
a) 3,5
| b) 3,2
| o 30
d) 3,8
e) nenhuma das anteriores
CAD ONCLOR CCL DA CERA RENATO RAGLE RANA CLERO GE RDELORNECALNIS DANO ONALO LENTES CNIC RARA RUA CACO TOU OCA a nato anca o racer ra aerea serena rasa
Capítulo 10 © MovimENTOS CIRCULARES 1816
É Um cilindro oco, cuja geratriz mede 5 m, tem as bases
paralelas e gira em torno de seu eixo disposto horizon-
talmente, conforme a figura. Seu movimento é uniforme,
efetuando 120 rpm. Um projétil lançado através desse
cilindro, paralelamente ao seu eixo, perfura as duas bases
em dois pontos: a base À no ponto 1 e a base B no ponto
2, antes de o cilindro completar uma volta. O ângulo for-
mado pelos dois raios que passam por esses pontos le 2,
desde quando o projétil perfura a base À até emergir em
B, é Aq = 5 rad . Supondo que o movimento do projétil
no interior do cilindro seja retilíneo e uniforme, calcule a
sua velocidade.
Solução:
O movimento do cilindro é um MCU:
O intervalo de tempo At que a bala leva em MRU para percorrer 5 m é o mesmo intervalo de tempo que as bases
a . T
A e B do cilindro levam para girar AQ = 7 rad.
Utilizando a função horária do MCU para o movimento do cilindro e a do MRU para o movimento do projétil,
obtemos:
Movimento do cilindro: Aq = oAt > At = AQ ©
s
As
v
Ke]
@
Movimento do projétil: As = vAt > At =
Igualando os segundos membros de O e Q, vem:
Aq As sv ASO 5:47 5
[0] v Aq
x
2
Resposta: 40 m/s
Num brinquedo de corrida de automóveis, dois carros percorrem duas pistas circulares concêntricas em
movimento circular uniforme (MCU). Verifica-se que esses carros passam um pelo outro a cada 30 s, quando
se movem no mesmo sentido, e a cada 10 s, quando se movem em sentidos opostos. Para cada um dos carros
determine:
a) a velocidade angular;
b) o período;
© a velocidade escalar linear, sabendo que a pista do carro mais rápido tem raio 30 cm e a do mais lento tem
raio 15 cm.
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Solução:
a) Tomemos como instante inicial (t = 0) um dos instantes em que os carros passam um pelo outro e, portanto,
estão alinhados com o centro das pistas (pontos C, B e A nas figuras).
No mesmo sentido
No próximo encontro, o carro mais rápido (A) estará uma volta à frente do
mais lento (B). Nessa situação, a diferença entre os espaços angulares será de
21 radianos:
Pa — P= 2n
Como q, = ©,t € Pp = Opzt, vem:
2n
Ot ~ Ot = 2r > @, — Oz) = 2n > 04 — Oz = F
A
Como t = 30 s, então:
27 T
O — 0 = Z > 0 T0 = —
A B 30 A B 15 ©
Em sentidos opostos
No próximo encontro, os módulos dos espaços angulares somam 27 radianos
(veja a figura):
Pa + p=2n
Como qi = wtf € q; = Of, vem:
27 A
OË + Of = 20 > (0, + Og) = 27 ©, + g = —
Como ť = 10 s, então:
2T
da t O = yf > 9a to, =
T
5 ©
A diferença e a soma das velocidades angulares dos carros (equações O e ©) formam um sistema de equa-
ções:
T
O 0 O = ig
1 x 2x
D+ O: 20, = gF? oa 5 To tad/s
© 0, +t O=
aja
Substituindo esse resultado na equação ©, obtemos:
21 o T 5 2x T
15 E 15 2
T
T5 15 > | Op =E rad/s
b) Para o carro À, temos:
21 2n 2n
77 E
15
Para o carro B, temos:
Ts Os R
15
c) Sendo os raios das pistas R, = 30 cm = 0,3 m e R; = 15 cm = 0,15 m, as velocidades escalares lineares serão
dadas por:
VA = O4R, = = -0,3 > |v, = 0,047 m/s
T
Us = DR; = 5 -0,15 Ug = 0,0ln m/s
Respostas: a) O, = = rad/s; Op = E rad/s; b) T4 = 15 s; Ta = 30s;c) v, = 0,047 m/s; vg = 0,017 m/s
CapítuLo 10 + MoviMENTOS CIRCULARES 183 °
P.221
P.222
P.223
P.224
P.225
P.226
P.227
P.228
P.229
(UFRGS-RS) Determine a velocidade de um projétil disparado contra um alvo rotativo disposto a 15 m de dis-
tância, sabendo-se que o alvo executa 300 revoluções por minuto e que o arco medido entre o ponto visado no
momento do disparo e o ponto de impacto do projétil no alvo é de 18º. Lembre-se de que 180º = x radianos.
(Vunesp) Um disco horizontal, de raio R = 0,50 m, gira em torno do
seu eixo com velocidade angular œ = 2r rad/s. Um projétil é lançado
de fora no mesmo plano do disco e rasante a ele, sem tocá-lo, com
velocidade v, (figura), passando sobre o ponto P. O projétil sai do
disco pelo ponto Q, no instante em que o ponto P está passando por
aí pela primeira vez. Qual é a velocidade v,?
(UFPE) Uma arma dispara 30 balas por minuto. Essas balas atingem
um disco girante sempre no mesmo ponto atravessando um orifício.
Qual é a freqüência do disco, em rotações por minuto?
(Fuvest-SP) Dois corredores A e B partem do mesmo ponto de uma pista circular de 120 m de comprimento,
com velocidades v, = 8m/se Vg = 6 m/s.
a) Se partirem em sentidos opostos, qual será a menor distância entre eles, medida ao longo da pista, após 20 s?
b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto tempo o corredor À estará com uma volta de vantagem sobre o B?
São feitas duas experiências com dois carrinhos A e B em pistas
concêntricas de um autorama, sendo o carrinho A mais rápido que
o carrinho B. Na primeira experiência, partindo da situação esquema- C
tizada e movendo-se no mesmo sentido, o carrinho A passa nova- ?
mente por B após 40 s. Na segunda experiência, partindo da situação : B "B
esquematizada e movendo-se em sentidos opostos, o carrinho A ;
cruza novamente com o B após 8 s. Determine: A A
a) a velocidade angular dos carrinhos A e B;
b) seus períodos;
œ) suas velocidades lineares, sendo 20 cm e 40 cm os raios das pistas.
(Fuvest-SP) Um automóvel percorre uma pista circular de 1 km de raio, com velocidade de 36 km/h.
a) Em quanto tempo o automóvel percorre um arco de circunferência de 30º?
b) Qual é a aceleração centrípeta do automóvel?
, 1 ` .
(Unicamp-SP) Um toca-discos está tocando em 3a rotações por minuto (rpm) um concerto de rock gravado
numa única faixa de um LP. A largura da faixa ocupa toda a face útil do LP, tendo raio interno igual a 7,0 cm e
raio externo igual a 15,0 cm. A faixa é tocada em 24 minutos.
a) Qual é a distância média entre dois sulcos consecutivos do disco?
b) Qual é a velocidade tangencial de um ponto do disco que está embaixo da agulha no final da execução da
faixa?
(Fuvest-SP) O raio do cilindro de um carretel mede 2 cm. Uma pessoa, em 10 s, desenrola nm
uniformemente 50 cm de linha que está em contato com o cilindro.
a) Qual é o valor da velocidade linear de um ponto na superfície do cilindro?
b) Qual é a velocidade angular de um ponto P distante 4 cm do eixo de rotação?
Num relógio comum, o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos se superpõem às 4 horas
x minutos e y segundos. Determinte os valores de x e y.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
En]
È
D
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Ò
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f
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©
D
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o
o
o
3
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5
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a
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2
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(S)
o
©
x
o
E
<
q
B
2
e
a
o
%
©
5
5
e
a
©
[end
B Jestes
. propostos,
(Fesp-SP) Uma esfera oca, de raio R = 5 m, gira
em torno de seu eixo vertical, conforme a figura.
Seu movimento é uniforme, efetuando 120 rpm.
Um projétil lançado contra essa esfera a perfura
em A, passando, então, pelo seu centro.
Proiétil
Supondo que o movimento do projétil no interior
da esfera seja uniforme e retilíneo, calcule sua
velocidade máxima para que o projétil saia pelo
mesmo ponto Å.
a) 10 m/s c) 30 m/s e) 80 m/s
b) 20 m/s d) 40 m/s
(Fuvest-SP) Um disco tem seu centro fixo no ponto
O do eixo fixo x da figura, e possui uma marca no
ponto À de sua periferia. O disco gira com veloci-
dade angular constante œ em relação ao eixo. Uma
pequena esfera é lançada do ponto B do eixo em
direção ao centro do disco no momento em que o
ponto À passa por B. À esfera desloca-se sem atri-
to, passa pelo centro do disco e, após 6 s, atinge
sua periferia exatamente na marca Å, no instante
em que esta passa pelo ponto C do eixo x.
Eixo fixo
Se o tempo gasto pela esfera para percorrer o
segmento BC é superior ao necessário para que
o disco dê uma volta, mas é inferior ao tempo
necessário para que o disco dê duas voltas, o
período de rotação do disco é de:
a)2s b3s ©o94s dD5s e6s
E (UTFPR) Numa pista de autorama, dois carrinhos,
A e B, com velocidades respectivamente iguais a
2x m/s e 31 m/s, percorrem uma pista circular
de raio 6 metros. Se eles percorrem a pista no
mesmo sentido, assinale a alternativa correta.
a) À velocidade angular do carrinho B é igual a
T
3 rad/s.
b) À freqüência do carrinho A é igual a 0,25 Hz.
c) O período do carrinho B é igual a 6 s.
d) O carrinho A é ultrapassado a cada 12 s.
e) À velocidade relativa entre os carrinhos é
5r m/s.
Duas partículas partem, no mesmo instante, de
um mesmo ponto de uma circunferência, com
movimentos uniformes de períodos 3s e 7 s, res-
pectivamente, no mesmo sentido. As partículas
estarão novamente juntas na mesma posição de
partida após um intervalo de tempo de:
a) 3s b7s QJl0s di4s e2Is
(UFJF-MG) Na figura ao lado,
quando o ponteiro dos
segundos do relógio
está apontando para
B, uma formiga parte
do ponto 4 com velo-
cidade angular cons-
tante o = 27 rad/min,
no sentido anti-horário.
Ao completar uma volta, quantas vezes terá
cruzado com o ponteiro dos segundos?
a) zero c) duas er
b) uma d) três
(UFRN) Duas partículas percorrem uma mesma
trajetória em movimentos circulares uniformes,
uma em sentido horário e a outra em sentido
. e a 1
anti-horário. A primeira efetua — rpme a se-
gunda - rpm. Sabendo que partiram do mesmo
ponto, em uma hora encontrar-se-ão:
a) 45 vezes c) 25 vezes e) 7 vezes
b) 35 vezes d) 15 vezes
(UPE) A Terra gira uniformemente em torno de
seu eixo com velocidade angular œ. Qual o mó-
dulo da aceleração de um ponto na superfície
da Terra, em função da latitude 6 e do raio da
Terra R?
a) a = OR» sen 8
b) a = œR» cos 0
©) a = OR- sen’ 0
Da=wR-cos6
Ja=wvR-sen6
Carítuio 10 + MovimENTOS CIRCULARES
185 o
osso Mund
Efeito estroboscópico
No cinema e na TV, ao assistirmos à cena de um
carro em movimento, dependendo da relação entre
as frequências de projeção e de giro das rodas, três
situações podem ser observadas:
a) as rodas aparentam estar paradas;
b) as rodas aparentam girar em sentido contrário ao
sentido real;
c) as rodas aparentam girar mais lentamente, no
sentido real.
Este fenômeno, denominado efeito estro-
boscópico, também pode ser observado quando
utilizamos lâmpadas estroboscópicas (lâmpadas
que acendem e apagam intermitentemente).
Para realçar as três situações citadas, vamos fixar
um ponto A da roda. Se a lâmpada estroboscópica
acender justamente no instante em que o ponto A
volta para a mesma posição, teremos a impressão de
a roda estar parada. Isso ocorre quando a frequência
de giro das rodas é um múltiplo inteiro da frequên-
cia com que pisca a lâmpada estroboscópica:
foda = 17º fampagar COM N=1,2,3,..
Teste sua I
L.16
(Unicamp-SP)
(a) (b) ®©
O quadro (a), acima, refere-se à imagem de
televisão de um carro parado, em que pode-
mos distinguir claramente a marca do pneu
(“PNU”). Quando o carro está em movimento,
a imagem da marca aparece como um borrão
em volta de toda a roda, como ilustrado em
(b). A marca do pneu volta a ser nítida, mesmo
com o carro em movimento, quando este atin-
ge uma determinada velocidade. Essa ilusão
de movimento na imagem gravada é devido à
frequência de gravação de 30 quadros por se-
gundo (30 Hz). Considerando que o diâmentro
do pneu é iguala 0,6 m e 7 = 3,0, responda:
De fato, nessa situação, a roda deve realizar n
voltas (n = 1, 2, 3, ...) durante um intervalo de tempo
igual ao período com que a lâmpada pisca.
Isto é:
ne Toda = lâmpada
Daí resulta:
foda =nº fiampada
Sentido do
movimento do carro
t, b t
À A lâmpada acende nos instantes t,, fy, tz,
A roda aparenta estar parada.
a) Quantas voltas o pneu completa em um
segundo, quando a marca filmada pela câ-
mara aparece parada na imagem, mesmo
estando o carro em movimento?
b) Qual a menor frequência angular œ do
pneu em movimento, quando a marca
aparece parada?
c) Qual a menor velocidade linear (em m/s)
que o carro pode ter na figura (c)?
L.17. (UFRJ) O olho humano retém durante E de
segundo as imagens que se formam na retina.
Essa memória visual permitiu a invenção do
cinema. A filmadora bate 24 fotografias (fo-
togramas) por segundo. Uma vez revelado,
o filme é projetado à razão de 24 fotogramas
por segundo. Assim, o fotograma seguinte é
projetado no exato instante em que o foto-
grama anterior está desaparecendo de nossa
memória visual, o que nos dá a sensação de
continuidade.
igo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do
digo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Se a frequência de giro das rodas não for um
múltiplo inteiro da frequência com que a lâmpada
pisca, podemos ter uma das situações a seguir.
A lâmpada pisca com frequência maior do que a
de giro da roda. Neste caso o ponto A será visto an-
tes de a roda completar uma volta. Isto acontece su-
cessivamente nas voltas seguintes. Daí a impressão
de a roda girar para trás.
t
tz és
À A roda aparenta girar para trás. É o que ocorre, por exemplo,
quando o ponto A é visto antes de a roda completar uma
volta.
A lâmpada pisca com frequência menor do que
a de giro da roda. Agora o ponto A será visto após
a roda completar uma volta. Neste caso, a roda apa-
renta girar lentamente no sentido real.
4 b t3
A A roda aparenta girar lentamente no sentido real, É o que
ocorre, por exemplo, quando o ponto A é visto depois
de a roda completar uma volta.
No caso do cinema e da TV, a frequência da
lâmpada é substituída pela frequência com que a
imagem é projetada.
Reprodução proibida. Art. 184 do
Filma-se um ventila-
dor cujas pás estão
girando no sentido
horário. O ventila-
dor possui quatro
pás simetricamente
dispostas, uma das
quais pintada de cor
diferente, como ilustra
a figura ao lado.
Ao projetarmos o filme, os fotogramas apare-
cem na tela na seguinte sequência:
o que nos dá a sensação de que as pás estão
girando no sentido anti-horário.
Calcule quantas rotações por segundo, no
mínimo, as pás devem estar efetuando para
que isso ocorra.
L.18. (UFF-RJ) Num antigo filme passado no tempo
das diligências há uma cena na qual uma
diligência, puxada por 2 cavalos, foge de um
ataque dos índios. Ao assistir-se à cena, tem-
se a ilusão de que as rodas da diligência não
giram. Cada roda possui 8 raios formando
ângulos de 45º. Pela altura de um índio que
aparece de pé, pode-se estimar o diâmetro
da roda em 1,5 m. Sabe-se também que a
filmagem foi realizada no ritmo padrão de
24 quadros por segundo.
Marque a opção que contém a melhor estima-
tiva da velocidade da diligência.
a) 25 km/s © 75 km/h
b) 50 km/s d) 100 km/h
e) 125 km/h
Nas manobras radicais que
o jovem executa com o seu
skate aplicam-se as leis
da Mecânica.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 dé fevereiro de 1998.
1. INTRODUÇÃO
2. ARISTÓTELES, GALILEU E NEWTON
3. PRINCÍPIO DA INÉRCIA (PRIMEIRA LEI DE NEWTON)
4. INÉRCIA
5. REFERENCIAIS INERCIAIS
6. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA (SEGUNDA LEI DE NEWTON)
7. O PESO É UMA FORÇA
8. CLASSES DE FORÇAS
E Neste capítulo iniciamos o estudo
da Dinâmica. Duas grandezas são
apresentadas: massa e força. A primeira
é uma grandeza escalar, e a segunda,
vetorial; relacionam-se pela equação
fundamental da Dinâmica, que é uma
síntese dos princípios da Mecânica
Clássica proposta por Newton.
9. MASSA INERCIAL E MASSA GRAVITACIONAL
10. SISTEMA DE UNIDADES
11. PRINCÍPIO DA AÇÃO-E-REAÇÃO (TERCEIRA LEI DE NEWTON)
12. CRÍTICAS À MECÂNICA CLÁSSICA
1. Introdução
Nos capítulos anteriores fizemos uma descrição matemática dos movimentos (Cinemática), sem
discutir as causas que os produziram ou modificaram. Estudaremos agora a Dinâmica.
A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda os movimentos e as causas que os produzem ou
os modificam.
fenômeno. Os pontos materiais possuem massa, não devendo ser confundidos com pontos geométricos.
E Uma noção operacional de massa
Massa é uma grandeza que atribuímos a cada corpo obtida
pela comparação do corpo com um padrão, usando-se o princípio
da balança de braços iguais (figura 1). O corpo-padrão pode ser o
quilograma-padrão.
O quilograma-padrão (figura 2) é um pequeno cilindro de plati-
na (90%) e irídio (10%) mantido no Instituto Internacional de Pesos
e Medidas, em Sèvres, nas proximidades de Paris. Por definição, sua
massa é 1 quilograma (símbolo: kg).
O grama (símbolo: g) e a tonelada (símbolo: t) são, respectiva-
mente, um submáltiplo e um múltiplo do quilograma.
massas iguais quando, colocados nos
pratos da balança de braços iguais,
esta permanece em equilíbrio.
| 3,9 cm |
3,9 cm |
Em Dinâmica, além da noção de massa, há também a noção de
força. A primeira noção de força está associada ao esforço muscular.
Quando empurramos um objeto, exercemos força sobre ele. É o
caso ilustrado na foto de abertura deste capítulo. Dentre as forças
produzidas de outras maneiras, podemos citar como exemplos a for-
ça de ação do vento, a força de atração entre cargas elétricas etc.
Figura 2. O quilograma-padrão é um
cilindro de platina e irídio mantido
em Sèvres. Por definição, sua massa
é um quilograma (altura = medida
do diâmetro = 3,9 cm).
Carítutom + Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 189 e
A força é uma grandeza física vetorial, sendo, portanto, caracterizada pelos elementos: módulo (ou
intensidade), direção e sentido.
A A força do vento.
2. Aristóteles, Galileu e Newton
Aristóteles (384-322 a.C.) elaborou uma teoria para explicar os movimentos dos corpos, que perma-
neceu até a Idade Média e apenas no Renascimento começou a ser reavaliada.
Um dos aspectos dessa teoria referia-se ao fato de que um corpo somente estaria em movimento
se fosse continuamente impelido por uma força. Realizando experiências, Galileu Galilei (1564-1642)
constatou que a tendência natural dos corpos, livres da ação de forças, é permanecer em repouso ou em
movimento retilíneo uniforme. Sendo assim, pode haver movimento mesmo na ausência de forças.
Por exemplo, um pequeno disco lançado sobre uma superfície horizontal (figura 3a), após percorrer
uma certa distância, pára devido às forças de atrito e de resistência do ar. Fazendo um polimento nas
superfícies de contato, a intensidade da força de atrito diminui e o disco percorre uma distância maior
(figura 3b). Se pudéssemos eliminar todo o atrito e a resistência do ar, o disco continuaria indefinida-
mente em movimento retilíneo uniforme. Na figura 3c, o atrito foi reduzido consideravelmente com o
emprego da chamada mesa de ar, na qual o ar é soprado de baixo para cima através de uma série de
orifícios. Na mesa de ar, forma-se uma pequena camada de ar entre as superfícies, reduzindo-se assim
o atrito entre elas.
a) b)
Panyen
Figura 3.
Isaac Newton* aceitou e desenvolveu as idéias de Galileu. Em sua obra Princípios Matemáticos de Filo-
sofia Natural, enunciou as três leis fundamentais do movimento, conhecidas hoje como leis de Newton.
Sobre elas se estrutura a Dinâmica. A primeira lei de Newton é uma confirmação dos estudos realizados
por Galileu.
3. Princípio da inércia (primeira lei de Newton)
Um ponto material é chamado isolado quando não existem forças atuando nele ou quando as forças
aplicadas ao ponto têm soma vetorial nula.
O princípio da inércia (ou primeira lei de Newton) estabelece:
Um ponto material isolado está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. |
* NEWTON, Isaac (1642-1727) nasceu em Woolsthorpe (Inglaterra). Foi educado na Universidade de Cambridge e considerado aluno
excelente e aplicado. Durante a grande peste de 1664-1666, fechadas as universidades, Newton produziu intensamente, fazendo
descobertas importantes em Matemática (teorema do binômio, cálculo diferencial), em Óptica (teoria da cor) e em Mecânica. Foi
presidente da Sociedade Real e chefe da Casa da Moeda da Inglaterra, ajudando na reorganização monetária de seu país.
csnauna MONSIEUR AREA NLACA DANCA DANA TDDNANC LONE INANRCONDAS VALA LOUENAUHDAD CLINIC DDDASA DANNI OCA DUNCAN DRACENA RR O SE RUA Orsa asa na nro
s190 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida, Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Isso significa que um ponto material isolado possui velocidade vetorial constante. Em outras palavras,
um ponto material isolado está em equilíbrio estático (repouso) ou em equilíbrio dinâmico (movi-
mento retilíneo uniforme).
A aplicação de uma força (ou de um sistema de forças cuja soma vetorial não seja nula) em um ponto
material produz nele uma variação de velocidade. Assim, na figura 3a a aplicação de uma força no disco
tirou-o do repouso e as forças de atrito reduziram sua velocidade a zero.
A partir dessas noções, podemos apresentar o conceito dinâmico de força:
Força é a causa que produz num corpo variação de velocidade e, portanto, aceleração.
[E] 4. Inércia
Um ponto material isolado e em repouso tem a tendência
natural de permanecer em repouso. Quando em movimento
retilíneo uniforme (MRU), tem a tendência natural de manter
constante sua velocidade. Essa propriedade da matéria de re-
sistir a qualquer variação em sua velocidade recebe o nome de
inércia.
Um corpo em repouso tende, por inércia, a permanecer
em repouso; um corpo em movimento tende, por inércia, a
continuar em MRU.
Admita um ônibus em MRU em relação ao solo (figura
4a). Quando o ônibus é freado, os passageiros tendem, por
inércia, a prosseguir com a velocidade que tinham em relação Figura 4. Por inércia, os passageiros são
ao solo. Assim, deslocam-se para a frente em relação ao ônibus atirados para a frente quando o ônibus
(figura 4b). Ao segurarem-se, os passageiros recebem uma feia.
força capaz de freá-los.
Analogamente, quando um carro inicia seu movimento, o motorista sente-se atirado para trás (em re-
lação ao carro) por inércia, pois tende a permanecer na situação de repouso em que se encontrava em
relação ao solo. A poltrona aplica no motorista uma força que o acelera.
Quando um cavalo pára diante de um obstáculo, o cavaleiro é atirado para a frente por inércia,
por ter a tendência de prosseguir com a mesma velocidade (figura 5). Um carro numa curva tende, por
inércia, a sair pela tangente, mantendo a velocidade que possuía, a não ser que forças venham a alterar
essa velocidade (figura 6).
Figura 5. Por inércia, o cavaleiro tende Figura 6. Por inércia, o carro tende
a prosseguir com sua velocidade. a sair pela tangente.
INVENTEI UM
NOVO TIPO DE
BUNGEE-JUMPING.
© 1999 Umarsal Press Syndicate
E-MAIL ADAMATHOMEGAOL COM
UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
WVAN Express com
BRIAN BASSET / DIST. BY ATLANTIC SYNDICATION /
Carítuio 11 + Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 191º
a 5, Referenciais inerciais
Em todos os exemplos anteriores, o equilíbrio e o movimento dos corpos são relativos a referenciais.
Os referenciais para os quais vale o princípio da inércia são chamados referenciais inerciais.
Em relação aos referenciais inerciais, um corpo isolado está em repouso ou realiza movimento retilíneo
uniforme (MRU). Para variar a velocidade do corpo é necessária a ação de uma força resultante não-nula.
Observações astronômicas permitem-nos admitir como inercial um referencial com origem no cen-
tro de massa do sistema solar (aproximadamente o centro do Sol) e eixos orientados para três “estrelas
fixas”. Essas são estrelas cujas posições relativas no firmamento parecem invariáveis e assim se têm man-
tido durante séculos de observações. Tal referencial é chamado referencial de Copérnico.
Qualquer referencial que se apresente em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme em relação
ao referencial de Copérnico é também inercial.
A Terra não é um referencial inercial pois, além de seu movimento de rotação, descreve trajetória
curva (elipse) em torno do Sol. Entretanto, esses movimentos interferem muito pouco nos movimentos
usuais que os corpos realizam na superfície terrestre. Nessas condições, a Terra pode ser considerada
um referencial inercial.
Em relação à Terra, suposta um referencial inercial, considere um ônibus em movimento. Quando
o ônibus freia, os passageiros, em repouso em relação ao ônibus, são lançados para a frente sem ação
de uma força. Isso significa que o ônibus freando não é um referencial inercial, pois há variação de ve-
locidade sem ação de uma força. Analogamente, um ônibus acelerando em relação à Terra não é um
referencial inercial. O mesmo ocorre com um ônibus fazendo uma curva.
Rs
Uma partícula A está livre da ação de forças, enquanto outra partícula B está sujeita a duas forças de mesma
intensidade, mesma direção e sentidos contrários. E correto afirmar que as partículas estão em repouso?
Solução:
Não, pois no caso temos duas partículas isoladas e, de acordo com o princípio da inércia, as partículas ou estão
em repouso ou realizam movimento retilíneo uniforme.
é Um ponto material está em repouso em relação a um referencial inercial. É necessária a aplicação de uma força
para tirá-lo do estado de repouso?
Solução:
Sim. À força aplicada ao ponto é a causa da variação de sua velocidade.
É necessária a aplicação de uma força para manter um ponto material em movimento retilíneo uniforme?
Solução:
Não. À força, quando não equilibrada, produz no ponto material variação de velocidade.
+ Observe a “tirinha” abaixo. Comente o que ocorreu com o menino utilizando o conceito de inércia.
Solução:
Quando o cão entra em movimento, o menino, em repouso em relação ao solo, tende por inércia a permanecer
em repouso. Note que em relação ao carrinho o menino é atirado para trás.
e192 Os FUNDAMENTOS DA Física
9 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
as partículas têm todas o mesmo módulo. As partícu-
z ; 4 cs <o>
las estão todas em movimento. Qual delas está em
. qe . A
movimento retilíneo uniforme? . . B E
Figura I Figura Il Figura Ill
P.230 Nas figuras abaixo (1, II e HD, as forças que agem sobre |
P.231 Um objeto encontra-se em repouso num plano horizontal perfeitamente liso. Num instante f uma força horizontal
de módulo constante é aplicada ao objeto. Sob ação dessa força o objeto é acelerado e, num instante posterior t,
quando a velocidade do objeto é v, a força é retirada. Após o instante £, o objeto:
a) pára imediatamente.
b) adquire movimento acelerado.
c) prossegue em movimento retilíneo uniforme com velocidade v.
Qual das afirmações acima é correta?
P.232 (Vunesp) Enuncie a lei física à qual o herói da “tirinha” se refere.
APRENDER, FÍSICA
NO ONIBUS |
P.233 Observe as fotos abaixo. Quando o papel é rapidamente removido, o corpo não acompanha o movimento do
papel e cai dentro do copo. Comente por que isso acontece.
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
Bs. Princípio fundamental da Dinâmica
(segunda lei de Newton)
Newton estabeleceu uma lei básica para a análise geral das causas dos movimentos, relacionando as for-
ças aplicadas a um ponto material de massa m constante e as acelerações que provocam. Sendo R a soma
vetorial (resultante) das forças aplicadas e aa aceleração adquirida, a segunda lei de Newton estabelece:
A resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual ao produto de sua massa pela
aceleração adquirida:
FERNANDO GONSALES
Significa que a força resultante F produz uma aceleração a com mesma direção e mesmo sentido
da força resultante e suas intensidades são proporcionais.
O enunciado anterior é também conhecido como princípio fundamental da Dinâmica. A igualdade
vetorial F, = maé a equação fundamental da Dinâmica, válida num referencial inercial.
Capítulo 11 e Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 193 °
=> > A . a.
Da equação fundamental (F = ma) concluímos que, se aplicarmos em corpos de massas diferentes a mes-
ma força resultante, o corpo de maior massa adquirirá aceleração de menor módulo, isto é, o corpo de maior
massa resiste mais a variações em sua velocidade. Por isso, a massa é a medida da inércia de um corpo.
Observe que E = ma é uma igualdade vetorial, na qual R é a soma vetorial das forças que atuam
na partícula, como se ilustra a seguir. Na figura 7a, R reduz-se à única força que atua no corpo e, nas
figuras seguintes, F é dada pela adição vetorial das forças atuantes.
Na equação fundamental, se a massa m estiver em quilograma (kg) e a aceleração, em m/s”, a unidade
de intensidade de força denomina-se newton (símbolo: N), em homenagem ao célebre cientista inglês.
a) F b) z o) F
m — N EN
a EN E a
R T F
E m
m
Fe=F>F=ma Fe = ma” Fem E,
porém porém
R=ħh-ħ Fa= R -F,
F -F=ma F,- F, = ma
d) a eo) A f)
F
É m F
Fe= ma” F =m? F =m?
porém porém porém
Fes FF, F = PF Fè = F? + F; + 2F,F, + cos @
R-ħ-F=ma (teorema de Pitágoras) (lei dos cossenos)
—> > >
Figura 7. Na equação fundamental da Dinâmica (F, = ma), Fp é a soma vetorial das forças
que atuam no corpo, m é a massa (grandeza escalar) ea é a aceleração adquirida.
m
1. Explique com
suas próprias
palavras a segunda
lei de Newton.
Nakka Focb MoG. GRUG
pubbaWu? zink watfooM
GaToRK. CHuMBLE Spuzz.
EL ADORO
ESSAS
SAÍDAS.
1995 WATTERSON / DIST. BY ATLANTIC
IPUÁS SSAA IBSIOMUN ÁQ ISQAOSIONEM G66 O
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
837.0 peso é uma força
Quando são abandonados nas vizinhanças do solo, os corpos caem, s|
sofrendo variações de velocidade. P
Dizemos então que a Terra interage com esses corpos, exercendo
uma força atrativa chamada peso, indicada por P (figura 8). Portanto:
Peso de um corpo é a força de atração que a Terra exerce
sobre ele.
Figura 8. O peso de um corpo é a
força de atração da Terra sobre ele.
“194 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Quando um corpo está em movimento sob ação exclusiva de seu peso P, ele adquire uma acelera-
ção denominada | aceleração da gravidade g. Sendo m a massa do corpo, a equação fundamental da
Dinâmica R = ma a transforma-se em P = mg, pois a resultante Réo peso Pea aceleração aéa aceleração
da gravidade g:
Em módulo, temos: | P
Observe que a massa m é uma grandeza escalar, e o peso Pé uma grandeza vetorial. O peso tem
a direção da vertical do lugar onde o corpo se encontra e sentido de cima para baixo. A aceleração g
tem a mesma direção e sentido de P.
Sendo o peso uma força, sua intensidade é medida em newtons (N).
É importante distinguir cuidadosamente massa e peso. A massa é uma propriedade invariante do
corpo. Contudo, seu peso tem intensidade que depende do valor local de g e varia, ainda que pouco, de
um local para outro na Terra (pois na superfície da Terra a aceleração da gravidade aumenta do equador
aos pólos, conforme explicação a ser dada no Capítulo 17). Nas proximidades da superfície terrestre o
valor de g é aproximadamente igual a 9,8 m/s?. A massa é medida em quilogramas, enquanto o peso,
que é uma força, tem sua intensidade medida em newtons.
Em termos rigorosos, é incorreto falar que “o peso de um corpo é 10 kg”. Podemos nos referir à
massa de 10 kg, cujo peso tem intensidade 10g N e depende do valor local de g.
Assim, um corpo de massa 10 kg, num local em que g = 9,8 m/s”, tem peso cuja intensidade é:
P=mg=10:-9,8 = P=98N
Analogamente, um corpo de 49 newtons, no mesmo local, tem massa igual a:
P=mg>m P Os m=5kg
g 9,8
A expressão P= mg permite determinar o peso de um corpo mesmo quando outras forças, além
do peso, atuam sobre o corpo. É o caso, por exemplo, de um corpo em repouso sobre uma mesa ou
movendo-se sobre ela.
A partir da lei das deformações elásticas, explicada no quadro a seguir, podemos medir pesos.
Um corpo de peso P colocado na extremidade de uma mola vertical provoca uma deformação (fi-
gura 9). Com pesos de intensidades conhecidas, podemos calibrar convenientemente as deformações
da mola e construir um aparelho para medir intensidade de forças. Esse aparelho (figura 10) chama-se
dinamômetro (do grego: dynamis, força; métron, medida).
o
Figura 9. Figura 10.
O dinamômetro (A), é um aparelho
destinado a medir intensidade de forças
como, por exemplo, a intensidade
do peso do corpo suspenso (B).
Carítuio 11 © Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 195 e°
-— Deformações elásticas
Considere uma mola vertical presa em sua extremidade superior (figura a). Aplicando-se a força Fna
extremidade inferior da mola (figura b), ela sofre a deformação x. Essa deformação é chamada elástica
quando, retirada a força F, a mola retorna à mesma posição (figura c).
|
O cientista inglês Robert Hooke (1635-1703) estudou as deformações elásticas e chegou à seguinte
conclusão: em regime de deformação elástica, a intensidade da força é proporcional à deformação. Isto
é, se aplicarmos à mola anterior uma força 2F, obteremos uma deformação 2x (figura d), e assim suces-
sivamente, enquanto a deformação for elástica.
Se F é proporcional a x, podemos escrever: F = kx
Nessa fórmula, k é uma constante de proporcionalidade característica da mola, chamada constante elástica
da mola (unidade: N/m}. A fórmula F = kx caracteriza a lei das deformações elásticas ou lei de Hooke.
Ø s. classes de forças
Quanto ao modo como são exercidas, as forças podem ser divididas em duas classes: forças de
contato e forças de campo*.
8.1. Forças de contato
São forças que existem quando
duas superfícies entram em contato.
Quando empurramos um bloco con-
tra uma parede (figura 11), há forças
de contato entre o bloco e a parede.
Analogamente aparecem forças de
contato entre uma mesa e um corpo
apoiado sobre ela.
Figura 11.
8.2. Forças de campo
São forças que os corpos exercem mutuamente, ainda que estejam distantes uns dos outros. A Terra
atrai corpos, exercendo neles forças de campo (figura 12). E possível verificar experimentalmente que cor-
pos eletrizados, como o bastão e a pequena esfera da figura 13, exercem mutuamente forças de campo.
r
Figura 12. Campo gravitacional da Terra. Figura 13. Campo elétrico originado por corpos eletrizados.
% Essas duas classes de forças permitem-nos compreender satisfatoriamente os fênomenos do ponto de vista macroscópico.
No volume 3 (capítulo 20), faremos um estudo das forças fundamentais da Natureza.
° 196 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de feverairo de 1998.
No espaço, em torno da Terra, existe o campo de forças chamado campo gravitacional terrestre.
A força com que a Terra atrai um corpo (peso do corpo) se deve à interação entre o campo gravitacional
terrestre e a massa do corpo.
Reciprocamente, o corpo atrai a Terra devido à interação entre o campo gravitacional do corpo e a
massa da Terra. Assim, o campo desempenha o papel de transmissor de interações entre corpos. Analoga-
mente, em torno de cada corpo eletrizado existe um campo de forças denominado campo elétrico.
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[ão]
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5
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<L
<4 A força que o
jogador exerce
ao cortar a bola
é uma força de
contato.
<4 A força que produz
a queda da fruta
é uma força de
campo.
Ø 9. Massa inercial e massa gravitacional
Ao enunciarmos a segunda lei de Newton (F= ma), vimos que a massa m é a medida da inércia
de um corpo. Por isso, a massa m é denominada massa inercial. Entretanto, ao iniciarmos o capítulo,
apresentamos a noção operacional de massa, como sendo a grandeza que atribuímos a cada corpo pela
comparação com um padrão, usando uma balança de braços iguais. A massa do corpo assim definida é
denominada massa gravitacional, pois, neste caso, estamos fazendo uma comparação entre o peso do
corpo e o peso do corpo padrão, isto é, das forças que o campo gravitacional da Terra exerce nos corpos.
Observe que ao compararmos os pesos, num mesmo local (mesmo g), estamos comparando as massas.
. . . F 7
Embora concebidas de maneiras diferentes, pela segunda lei de Newton (m = E) e pelo método
a
da balança, as massas inercial e gravitacional são idênticas, de acordo com experiências realizadas com
precisão. Nessas condições, usaremos simplesmente o termo massa para nos referirmos tanto à massa
inercial quanto à massa gravitacional.
10. Sistema de unidades
Em geral trabalharemos com as unidades metro (m), quilograma (kg) e segundo (s), chamadas
unidades fundamentais, e com as que delas derivam, tais como m/s, m/s”, newton (N) etc.
O conjunto dessas unidades constitui um sistema de unidades chamado MKS (M de metro; K de
quilograma e S de segundo). A esse sistema foram acrescentadas outras unidades fundamentais, ori-
ginando o Sistema Internacional de Unidades, abreviado pela sigla SI. O SI é o sistema de unidades
oficialmente adotado no Brasil (veja apêndice à página 471).
EE É
Tempo: segundo (s) Massa: quilograma (kg)
Comprimento: metro (m) Aceleração: m/s?
Velocidade: m/s Intensidade de força: newton (N)
As definições das unidades segundo, metro e quilograma são dadas ao final do livro, à página 473.
Carítuto 11 + Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 197º
e
"y
=
=
=
tri
Note que 1 N corresponde aproximadamente ao peso de um corpo de massa 100 g = 0,1 kg:
m = 100 g = 0,1 kg
=> P= mg=0,1:10 > P=1N
g = 10 m/s
Eventualmente usamos a unidade dina (símbolo: dyn) quando a massa está em gramas e a aceleração
em cm/s”. Essas unidades pertencem ao sistema CGS (C de centímetro; G de grama e S de segundo).
E Relação entre newton e dina
Na equação fundamental da Dinâmica, se m = 1 kg e a = 1 m/s”, temos:
R=ma > |1N=1kg:1m/ŝ |
Sendo 1 kg = 10° g e 1m/s = 10º cm/s”, vem:
1N =1kg:1 m/s = 10° g- 10°cm/$° = 10º g - cm/s?
—
dina
Portanto:
1 N = 10° dyn ou 1 newton = 100.000 dinas |
Existe ainda o sistema técnico de unidades, no qual a intensidade da força é expressa em quilograma-
força (símbolo: kgf), a massa em unidade técnica de massa (símbolo: utm) e a aceleração em m/s.
Um quilograma-força é a intensidade do peso de um corpo de massa 1 kg ao nível do mar e a uma
latitude de 45°. Nesse local a aceleração da gravidade é chamada aceleração normal e seu valor é,
aproximadamente, 9,8 m/s°.
Um quilograma-força corresponde a aproximadamente 9,8 newtons:
1 kgf = 9,8 N |
Uma unidade técnica de massa corresponde a aproximadamente 9,8 quilogramas:
1 utm = 9,8 kg |
fe]
D
©
o
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g
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o
o
©
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o
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«
q
B
e
g
a
Exercícios
Jesolvidos
Nas figuras abaixo, representamos as forças que agem nos blocos (todos de massa igual a 2,0 kg).
Determine, em cada caso, o módulo da aceleração que esses blocos adquirem.
a) b) 9 d)
F =3,0N
E TE EOR a
E Eno? < uid > Bisnoniid >
F,=4,0N F,=3,0N F,=4,0N 6=3,0N F,=40N F,=4,0N
Solução:
a) a Nesse caso, a força F é a força resultante F, que produz a aceleração a.
Pela equação fundamental da Dinâmica, temos: Fk = ma. Em módulo:
n] 2
F,=4,0N Fe = ma => F, = ma => 4,0 = 2,0 -a = |a= 2,0 m/s
b) a Fg = ma F +F, = ma => 40+30=20:a » [a =3,5 m/s)
o 198 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Rem > F,- F, = ma => 4,0 -3,0 = 2,0 -a > | a = 0,50 m/s?
Nesse caso, como F e F, têm direções diferentes, a força resultante F, é obtida
com o emprego da regra do paralelogramo.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo destacado, temos:
RAS 40O+ 0 > F=55R=50N>F=maS
Em todos os casos, a aceleração atem a direção e o sentido da respectiva força resultante F.
Respostas: a) 2,0 m/s”;b) 3,5 m/s”; c) 0,50 m/s: d) 2,5 m/s”
Um ponto material de massa igual a 2 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante de intensidade
6 N, que atua durante 10 s, após os quais deixa de existir. Determine:
a) a aceleração nos 10 s iniciais;
b) a velocidade ao fim de 10 s.
Solução:
a) De Fk = ma, sendo Fg = F = 6 N e m = 2 kg, vem:
w=0
E=F > a M
m=2 k @—— F o)
b=0 t=10s
b) Ao fim de 10 s a velocidade do corpo é: v = v + at (sendo v, = 0, a = 3 m/s et = 105)
Respostas: a) 3 m/s”, b) 30 m/s
Uma partícula de massa 0,50 kg realiza um movimento retilíneo uniformemente variado. Num percurso de 4,0 m
sua velocidade varia de 3,0 m/s a 5,0 m/s. Qual é o módulo da força resultante que age sobre a partícula?
Solução:
Utilizando a equação de Torricelli, podemos determinar a aceleração escalar a:
v’ = vi + 2a As > (5,0F = 3,0? + 20- 4,0 > «=20m/s
Sendo o movimento retilíneo, resulta: a = |o] = 2,0 m/s”
Pela equação fundamental da Dinâmica calculamos o módulo da força resultante:
F= ma > F = 0,50-2,0 > [E =10N
Resposta: 1,0 N
Exercícios
ropostos
P.234 Determine a aceleração de um bloco de massa 2 kg e que desliza, num plano horizontal sem atrito, nas situações
indicadas abaixo:
a) F=10N (ame b)
DR
F=10NT
enem
MDCRESCANDENONALNU AOC ENVONRURCOLSNADEDACAUNLACENARLAVONLO ANAL NELORE ADE NENE DUONONAN OURO DAN CCO AU CA DRA A AAA ARA a Aa ana dana
Carítuio 11 e Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 199 °
——
fazd
>
far)
+
mi
P.235 Uma partícula de ı massa 0,20 kg é submetida à ação das
forças E, F, E, e F, conforme indica a figura. Determine a
aceleração da partícula.
1,0 N
P.236 (UFMG) Submete-se um corpo de massa igual a 5.000 kg à ação de uma força constante que, a partir do repouso,
lhe imprime a velocidade de 72 km/h, ao fim de 40 s. Determine:
a) a intensidade da força; b) o espaço percorrido.
P.237 Qual é o valor, em newtons, da força média necessária para fazer parar, num percurso de 20 m, um automóvel
de 1,5 - 10º kg a uma velocidade de 72 km/h?
P.238 Um astronauta, utilizando um dinamômetro, determina o
peso de um corpo na Terra (figura a) e na Lua (figura b),
encontrando os valores 4,9 N e 0,80 N, respectivamente.
Sendo a aceleração da gravidade na superfície da Terra
9,8 m/s”, determine:
a) a massa do corpo;
b) a aceleração da gravidade na superfície da Lua.
Figura a Figura b
B nn. Princípio da ação-e-reação
(terceira lei de Newton)
Sempre que dois corpos quaisquer A e B interagem, as forças exercidas são mútuas. Tanto A exerce
força em B, como B exerce força em A. A interação entre corpos é regida pelo princípio da ação-e-rea-
ção (ou terceira lei de Newton), como veremos no quadro seguinte.
Toda vez que um corpo À exerce uma força E, num corpo B, este também exerce em A uma
força E, tal que essas forças:
a) têm a mesma intensidade |Ê] = |F] = F;
b) têm a mesma direção;
c) têm sentidos opostos;
d) têm a mesma natureza, sendo ambas de campo ou ambas de contato.
e200 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Uma das forças é chamada de ação e a outra de reação.
PASCAL ROSSIGNOL / REUTERS-LATINSTOCK
A Ao receber a bolada (ação), o rosto do jogador A Ao ejetar os gases em combustão num sentido, a nave
também exerce uma força (reação) movimenta-se em sentido oposto, o que se explica pelo
sobre a bola. princípio da ação-e-reação.
< Quando a pessoa salta do
barco para a margem, o barco
movimenta-se em sentido
oposto, de acordo com o
princípio da ação-e-reação.
vo
AS VEZES EU
DESEJO QUE
NEWTON TIVESSE
PARADO NAS
DUAS PRIMEIRAS
2001 BILL AMEND / DIST. BY ATLANTIC
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
Vejamos algumas aplicações do princípio da ação-e-reação.
Um corpo próximo à superfície da Terra é atraído por ela: a Terra exerce sobre ele a força peso P
(figura 14). Pelo princípio da ação-e-reação, o corpo também exerce na Terra uma força, de mesma
intensidade e de mesma direção, mas de sentido contrário: —P. Na figura 15, a Terra atrai o corpo com
a força Peo corpo atrai a Terra com a força —
m m m
=“
5
P
Figura 14. A Terra atrai o corpo com Figura 15....e o corpo atrai a Terra Figura 16. As forças Pe —P têma
o pesoP... com a força —P. mesma intensidade P, mas sentidos
opostos.
CapituLo 11 - Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 201º
q
A
E
D
uu
E
e
= 5O
O
As chamadas forças de ação-e-reação não estão aplicadas no mesmo corpo. Observe que a reação
do peso de um corpo está aplicada no centro da Terra.
Por que não se eguilibram as forças Pe-P?
Não se equilibram porque estão aplicadas em corpos diferentes: uma no corpo, outra na Terra
(figura 15).
As forças de ação- -e- -reação não se equilibram, pois e estão o aplicadas er em | corpos diferentes.
Você também é é atraído pela Terra e pelo princípio da ação-e-reação você atrai a Terra. No entanto, como
sua massa é muito menor que a da Terra, é considerável o seu deslocamento e desprezível o da Terra.
E se o corpo estiver apoiado numa superfície horizontal, como a mesa da figura 17? Nesse caso,
além da ação de campo da Terra, o corpo tem ação de contato com o apoio. A reação do peso do corpo
continua aplicada no centro da Terra (figura 18). Atraído pela Terra, o corpo exerce no apoio a força
de intensidade Ay, enquanto o apoio exerce no corpo outra força, de sentido contrário mas de igual
intensidade A, (figura 19).
Desse modo, no corpo atuam duas forças: P (ação da Terra) e F, (ação do apoio). A reação do peso
P está aplicada no centro da Terra e a reação da força F, está no apoio (figura 20).
N ra D ooo
—>
Figura 17. Num corpo Figura 18.... existe Figura 19....ea força Figura 20. No corpo
apoiado... o peso P cuja reação de contato Fy, cuja apoiado existeP (ação
está aplicada no reação está no apoio. de campo) ef, (ação
centro da Terra... de contato), cujas
intensidades são Pe Fy.
1 + A —"—— No
Apliquemos a equação fundamental da Dinâmica F = ma ao corpo apoiado na mesa. Como ele está
em repouso, decorre que a = Ô. Sea = Ó, a resultante R também deve ser nula, o que ocorre se A, = P.
As forças Re P podem equilibrar-se, pois estão no mesmo corpo e não são um par ação-e-reação.
A força de contato R, por ser perpendicular à superfície de contato, é chamada força normal ou
reação normal do apoio.
Consideremos agora um corpo de peso P suspenso por um fio inextensível de peso P, cuja extremi-
dade esteja ligada ao teto (figura 21). No corpo existem duas forças: o peso P, força de campo da Terra,
e T, força de contato com o fio (figura 22). Se o corpo está em equilíbrio:
P = T, (pois a resultante F deve ser nula)
Vamos chamar de 7, a força que o fio exerce no teto (figura 23). Assim, no fio há três forças: o peso
do fio P, a força de contato —T (devida ao corpo) e a força de contato — T, (devida ao teto). Como o
fio está em equilíbrio, decorre:
Se o peso do fio inextensível for desprezível, isto é, P; = O (fio ideal), resultará:
T = Tə = T
Sendo assim, num fio ideal (inextensível e de massa desprezível) as forças de contato em seus ex-
tremos têm a mesma intensidade T e são chamadas forças de tração no fio, pois tendem a alongá-lo.
A finalidade de um fio é transmitir forças. Na figura 24, a força de tração que o corpo aplica no fio é
transmitida ao teto.
e 202 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de feveretro-tle 1998.
Figura 21. Um corpo
suspenso por um fio.
T
T
F
Figura 22. No corpo
atuam?P eT,, cujas
intensidades são P
er.
Figura 23. Nofio —
atuam P, T, e —T,,
cujas intensidades são
Pa Te T
—
CarPítuLo 11
12. Críticas à Mecânica Clássica
Figura 24. Se o fio
for ideal, as forças em
suas extremidades
terão mesma
intensidade.
As leis de Newton constituem os fundamentos da Mecânica Clássica. Dão uma boa aproximação
quando aplicadas para interpretar muitos fenômenos comuns no dia-a-dia. Para a Engenharia, por
exemplo, são bastante adequadas.
Entretanto, de acordo com a teoria da relatividade de Einstein (1879-1955), a massa é função da veloci-
Ainda pela relatividade sabemos que nenhuma informação pode
Exercicios
a) Represente todas as forças que agem sobre a maçã.
b) Onde estão aplicadas as correspondentes reações?
Solução:
a) Sobre a maçã agem o peso Pea força normal Fy
“resolvidos
ser transmitida com velocidade superior à da luz no vácuo. Logo, o
princípio da ação-e-reação é falho quando aplicado às forças de campo
a longa distância. Os pares ação-e-reação não são simultâneos, levando
um determinado tempo para a propagação da interação. Esse fato não
foi discutido por Newton. Mesmo assim, trabalharemos com esse prin-
cípio e os demais da Mecânica Clássica de Newton, pois eles continuam
válidos para o comportamento macroscópico e global da matéria. E
Na figura ao lado, temos uma maçã sobre uma mesa.
—
K
e Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA
Na página 222, em His-
| tória da Física, leia a for-
3
E
E
“O
Ah
o
o
e
ud
3
D,
5
P
w,
pu
po
La
o
D
D,
a
Fe
®©
dade, fato que Newton desconhecia. Porém, para velocidades bem inferiores à da luz, podemos considerar
a massa praticamente constante, sendo portanto válida a equação fundamental da Dinâmica.
[3s 9 9
a Leia mais TEN
sreseessecserssoaaceossacnssaesosssesorenenen esseserosesesoseosssszesesvevsesnesesueserssssoensoserseosonenoesereeresnosarsecssssesossoseseuousssasesassy
b) À reação do peso Pda maçã é a força -P aplicada no centro da Terra. A reação da força normal F, é a força
—Fw aplicada na mesa:
R
x
Dois blocos A e B, de massas respectivamente iguais a 2 kg e
3 kg, estão apoiados numa a superfície horizontal perfeitamente
lisa. Uma força horizontal F de intensidade constante F = 10 N,
é aplicada no bloco A. Determine:
a) a aceleração adquirida pelo conjunto;
b) a intensidade da força que A aplica em B.
Solução:
a) Para aplicarmos a equação fundamental da Dinâmica
TA = ma, devemos analisar as forças que agem em cada
bloco.
Em cada bloco, o peso Pea força normal F, anulam-se; por
isso vamos considerar apenas as forças horizontais, pois a
solicitação inicial Fé horizontal. Em A existe a força externa
de intensidade F, cuja reação está no agente externo que a
produziu, e a força de reação de intensidade f correspon-
dente à sua ação de contato em B. Em B existe horizontal-
mente apenas a força de intensidade f, ação de À em B.
À intensidade da resultante das forças em A éF — -f pois F
tem o mesmo sentido da aceleração a, enquanto fse opõe.
Em B a resultante é apenas f.
F, = ma
Bloco A: F-f=ma ©
+
Bloco B: f=ma ®©
F =(m,+m)ʻa O
Como F = 10N, m, = 2 kg e m; = 3 kg, vem:
b) A intensidade f da força de A em B pode ser obtida por qualquer uma das equações (© ou ©) anteriores.
Em ®©:
f= mga =3-2 > |f=6N
Respostas: a) 2 m/s?; b) 6 N
Observações:
(1) Numa interação desse tipo, o corpo A não transmite integralmente a força F a B; a diferença entre o que A
recebe e transmite é o que lhe comunica aceleração.
(2) Um cálculo rápido da aceleração pode ser feito considerando A e B como
um único corpo; nessas condições, a força f não interfere no cálculo, pois
passa a ser uma força interna ao conjunto de blocos A e B. Assim:
F=masF=(mt+m)asW-Q+9)as [a=2m/s
Deneroo soneca santana PUVCCMPI DOC OCO ON CUL CNNE ONTEM CACAU CLEAN CU DOC USC LEU RR RCE aU LR OA AUTO t a An SO DRUM SI Us RO na sa sa sa rasa as au asa da
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Três corpos 4, Be C de massas m, = 1 kg, mg = 3kge
me = 6 kg estão apoiados numa superfície horizontal ORB
perfeitamente lisa. A força horizontal F, de intensida- F TA
de constante F = 5 N, é aplicada ao primeiro bloco A.
Determine:
pret DR
a) a aceleração adquirida pelo conjunto;
b) a intensidade da força que A exerce em B;
c) a intensidade da força que B exerce em C.
Solução:
Assim como no exercício anterior, o peso de cada
bloco é anulado pela reação normal do apoio. Para
a determinação da aceleração, consideremos o
sistema de corpos como um único bloco de massa
ma + mp + me = 10 kg. Pela equação fundamental da
Dinâmica:
F = ma > F=(m,+ m+ mo'a 5 = 10a
Para determinarmos as interações entre os corpos, devemos analisar cada um separadamente.
> Ss
Seja f, a intensidade da força de A sobre B, e f, a de Bem C: Fk = ma
Para C:
A+ BACO
(m, + Mg +g
)
b=ma=-6-0,5 b=3N
Para B: É
A-b=mpa |
h-3-3-05 |
h=3+15 >.
Fes 6
f =45N
Respostas: a) 0,5 m/s; b) 4,5 N; c) 3 N
Dois corpos A e B de massas iguais a m, = 2 kg e
ma = 4 kg estão apoiados numa superfície horizontal
perfeitamente lisa. O fio que liga A a B é ideal, isto é,
de massa desprezível e inextensível. A força horizontal
F'tem intensidade igual a 12 N, constante. Determine:
a) a aceleração do sistema;
b) a intensidade da força de tração do fio.
Solução:
a) Vamos analisar as forças em cada bloco. Em cada
corpo o peso e a normal anulam-se; por isso vamos
considerar apenas as forças horizontais: força detra-
ção do fio em A e, em B, a força Fea força de tração
do fio.
Sendo m, = 2 kg, a equação fundamental da Dinã-
mica aplicada ao corpo À fornece:
F=masT=masT-2a O
Os corpos Å e B possuem a mesma aceleração, pois o fio é inextensível: no mesmo intervalo de tempo, A e B
percorrem as mesmas distâncias e atingem a mesma velocidade. Em B, F tem o mesmo sentido da aceleração
a, enquanto a tração Topõe-se a a. Assim, sendo ma = 4 kg, a equação fundamental da Dinâmica aplicada a
B fornece:
E-masSF-T-ma>SF-T=4 O
Resolvendo o sistema de equações © e ©, vem:
T-2a 4
F-T-4a
F=6a O
12 = 6a
Caríruto 11 + Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 205 °
b) A intensidade da força de tração do fio pode ser obtida por uma das equações (© ou ©). Em O:
T=?2a > T=2:2 >
Respostas: a) 2 m/s”; b) 4 N
Observações:
e A equação F = (m, + m,) - a possibilita o cálculo da aceleração
de um modo mais rápido, considerando 4 e B como um único
bloco:
F=(mtm)'as>
=> 12= (2+4 -a => 12 = 6a >
e Anteriormente dissemos que o dinamômetro é um instrumento que mede intensidades de forças (veja
página 195). Inserindo um dinamômetro num fio que liga os corpos A e B, ele medirá a intensidade da força
de tração T do fio que se transmite de um corpo a outro. Assim:
Considere o dinamômetro como um aparelho ideal: sua massa é desprezível.
é Os corpos À e B da figura têm massas respectivamente iguais a
m, = 6 kg em, = 2 kg. O plano de apoio é perfeitamente liso e o fio é
inextensível e de peso desprezível. Não há atrito entre o fio e a polia,
considerada sem inércia. Adote g = 10 m/s”. Determine a aceleração
do conjunto e a tração do fio.
Solução:
Consideremos separadamente cada corpo.
Em A, a força normal F, „ anula a ação do peso, pois não há movimento
vertical. Pela equação fundamental da Dinâmica, e sendo m, = 6 kg,
vem:
T=ma>sT-6a ©
Considere o corpo B:
Sua aceleração é a mesma de À, pois o fio é inextensível: no mesmo
intervalo de tempo, A e B percorrem as mesmas distâncias e atingem
a mesma velocidade.
O peso P, tem o mesmo sentido da aceleração a, eatração T opõe-se
a a: logo, pela equação fundamental, e sendo mp; = 2 kg, vem:
h-mai>P,;-T=masP;-T=?a O
Resolvendo o sistema de equações O e O), vem:
T= 6a
P,-T=2a +
P=8a O
Mas: P; = mg = 2-10 Pg = 20 N
Substituindo esse resultado em ®, vem: 20 = 8a > a a
Substituindo em O, obtemos: T = 6a = 6 -2,5 > |T=15N
Resposta: 2,5 m/s”; 15 N
Observação:
Pela equação P} = (m, + ms) * a, podemos propor um cálculo rápido
da aceleração, considerando À e B como um único bloco.
Psp=(mimp)a
Como m, + mp = 6 kg + 2 kg = 8 kg, obtemos:
B
tesessesosvsoonvevoseesoossosoaososecsssacsosososonosorprososscocssosessessssevoeceseseazovsososzereserosessoroacoesesuseassuenoseesonoesesesro
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
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No arranjo experimental da figura, os corpos 4, Be C têm, respectivamente, massas iguaisam, = 5 kg, mẹ = 2 kg e
me = 3 kg. A aceleração da gravidade é 10 m/s”. Os fios são inextensíveis e de inércia desprezível; não há atrito
entre os fios e as polias; o plano horizontal é perfeitamente liso. Determine:
a) a aceleração do sistema de corpos;
b) as trações nos fios.
i 4
Br
Solução:
a) O peso de B é anulado pela reação normal do apoio; porém os pesos P, e P; são forças externas ativas. P, é
maior que Pg:
m, = 5kg = P=mg=50N
mç = 3kg > Pe = meg = 30N
Se o sistema partir do repouso, o corpo B move-se da esquerda para a direita, pois o peso de A é maior que
ode C.
Vamos analisar cada corpo separadamente. No caso, há duas trações, pois temos dois fios:
| MA h-P
id
P-=30N
A equação fundamental da Dinâmica aplicada a cada corpo fornece:
F= ma
Corpo A: PR-T=mas5-T=5 O
Corpo B: T, -T,= mza > T,- T,=2a ©
Corpo T- P=ma > TỌ -30=3a ©
Resolvendo o sistema de equações ©, © e ©, vem:
50 — T, = 5a
T-T=2a +
T, — 30 = 3a
50-30=6+2+3-a 20 = 10a = (a =2m/sº)
b) De ©: 50- 7,=5:2 > |T,=40N
De ©: T,- 30=3:2 > |T, =36N
Respostas: a) 2 m/s?; b) T, = 40 N; T, = 36 N
Observações:
(1) Para um cálculo rápido da aceleração
poderíamos aplicar a equação funda- a
mental da Dinâmica ao conjunto de
corpos de massa total m, + Mg + me,
observando que o peso P, tem o mesmo
å
sentido da aceleração e Pe se opõe:
F, = mē |
P, — Pe = (m, + Mmg + Mme)'a ail
50-30=0+2+3-a
20 = 10a
CONOR DNTEN LARA CULNALCL AL LNA DLL LED LOOSE DALAI DASLU LAVADO ANSA SSNA CADA RA SUS OU MEDO DUOCUNOLCUNONDRCRO DON RS Ser nn SRU a Ca sad dado
Capitulo 11 e» Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 207 o
(2) Observe os resultados e conclua que a < ge P< L<T <P.
(3) Se P, = Pe (ou m, = mc), o sistema permanece em equilíbrio (a = 0) e as trações serão iguais aos próprios
pesos, independentemente do corpo B. Assim, no arranjo experimental da figura, em que P, = P; = 50 N,
o dinamômetro D indica T = P, = P; = 50 N (a = ©.
No arranjo experimental da figura ao lado, os corpos A e B têm, respectiva-
mente, massas iguais a 6 kg e 2 kg. Os fios e as polias têm massas desprezí-
veis. Não há atrito entre o fio e a polia. Adote g = 10 m/s”. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) as trações nos fios.
Considere que o sistema partiu do repouso.
Solução:
a) Esse arranjo experimental é conhecido como máquina de Atwood (1745-
1807), físico inglês que com um arranjo desse tipo estudou a queda dos
corpos. O corpo À desce enquanto o corpo B sobe, pois o peso de A é
maior que o de B.
ma=6kg > P=m,:g=60N mp=2kg P= mg:g8=20N
Na figura ao lado representamos as forças que
agem em cada bloco. À equação fundamental da
Dinâmica aplicada aA ea B fornece:
FR = ma
Corpo A: P,- T= m,a 60-T=6a © fus TRA
Corpo B: T — P, = mga > T- 20=2a ®©
Resolvendo o sistema de equações O e O:
60 - T = 6a
T — 20 = 2a
60 — 20 = 6a + 2a
40 = 8a
b) Qualquer uma das equações anteriores nos fornece T. Por exemplo, em ©:
T-2-2:5
À tração T’ no fio que liga o eixo da polia ao teto pode ser obtida como
se segue. À polia não possui peso e seu eixo está em equilíbrio. Desse
modo, a resultante das forças deve ser nula.
R=05T=T+T=27=2:305
Respostas: a) 5 m/s”; b) 30 N e 60 N
Observação:
Para o cálculo da aceleração podemos aplicar a equação fundamental da
Dinâmica para o conjunto de corpos de massa total m, + Mg, observando
que o peso P, tem o mesmo sentido da aceleração e P, se opõe:
Fg = ma
P, — Ps = (m, + ma)'a
60 — 20 = (6 + 2a
40 = 8a
esasseesososossoaenonososoosscesesesesosesenesecesesossaosovaseesosooeosessessseseveovenosuoussoesesuesaseressssosos
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Determine a força que o homem deve exercer no fio para manter em
equilíbrio estático o corpo suspenso de 120 N. Os fios são considerados
inextensíveis e de massas desprezíveis; entre os fios e as polias não há
atrito. As polias são ideais, isto é, não têm peso.
Solução:
Para haver equilíbrio, a resultante das forças deve ser nula. No corpo
suspenso, a tração T é igual ao peso P = 120 N, pois não há aceleração. A
distribuição de trações é idêntica à discutida no exercício anterior.
t =P=120N 15
Ts 30 30
: ia=0 am,
nao so 60 Entre na rede A
4 P=120N No endereço eletrônico
60 http://www.walter-fendt.de/
ph21br/pulleysystem br.htm
T=120N
d
l
| (acesso em 13/2/2007), você
| pode analisar um sistema
|
|
constituído de duas, quatro
Resposta: 15 N | e seis polias.
Observação:
Note que o homem equilibra o peso de 120 N, exercendo uma força de intensidade bem menor; por isso, na
prática, são muito utilizadas as associações de polias como se vêem em guindastes.
Um homem de 70 kg está no interior de um elevador que desce acelerado à razão de 2 m/s”. Adote g = 10 m/s”
e considere o homem apoiado numa balança calibrada em newtons. Determine a intensidade da força indicada
pela balança.
Solução:
O elevador desce verticalmente com aceleração a = 2 m/s” em relação a um observador externo em repouso
no solo. Esse observador externo, que é um referencial inercial, vê atuarem no homem dentro do elevador as
forças P, ação da Terra, e [28 ação da balança no homem. O homem atua na balança, exercendo a força de in-
tensidade Fy, que é a indicação da balança, pois esta está calibrada de modo a medir intensidades de forças.
F,
| N “Balança
A balança
marca A
A resultante das forças que atuam no homem é Fk = P — Fy. Logo:
P-H=ma O
AR=P-ma ©
P= mg = 70-10 = P=700N.Sendom = 70 kg e a = 2m/s”, vem: Fy 700 — 70-2 > | Fu = 560N
Resposta: A indicação da balança é 560 N.
Observações:
(1) O homem lê na balança Fy = 560 newtons, inferior ao seu peso P = 700 newtons. Sente-se mais leve e tem
a impressão de que seu peso diminuiu. Por isso a força Fy é chamada peso aparente.
(2) Se o elevador descesse acelerado com aceleração a = g (caso em que se rompem os cabos que sustentam
o elevador), o peso aparente seria nulo.
De fato: Fy = P — ma > Fp =P- mg R= P-P > KFD
Portanto, no caso em que o elevador cai sob ação da gravidade, o peso aparente é nulo: a pessoa flutua no
interior do elevador.
esesessosesssesosssonoaoaen seneseresevosessoscesosessosuszsesaesasvasssooeorassesososessoseoresecssonessuesesesesessenassaseosssunessvstesoosaspspassens
Capítulo 11 e Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 209 °
PRVMOORANDONO CALMON LNONSNO COLA DLUCADAL DOCAS LACAN DEDICOU CASOU OCO CREU UA CO cn en Eras enc ça
Um corpo de peso P desliza num plano inclinado perfeitamente liso, que
forma um ângulo 8 em relação à horizontal. Determine:
a) a aceleração do corpo;
b) a intensidade da força normal que o plano exerce no corpo.
E dada a aceleração da gravidade g.
Solução:
a) No corpo atuam o peso Pea força normal F. É comum decompor o peso
Pem duas forças componentes:
P: normal ao plano inclinado e que anula F, pois não há movimento na
direção perpendicular ao plano inclinado.
P: paralela ao plano inclinado e que é a resultante das forças Pe F.
No triângulo destacado na figura ao lado, o ângulo indicado é 6, pois seus
lados são dois a dois perpendiculares às retas que definem o ângulo 6
do plano inclinado. Nesse triângulo, P, é a medida do cateto oposto ao
ângulo 9 e P é a medida hipotenusa do triângulo. Da definição de seno
de um ângulo, vem:
P,
sen = P ou |P=P-sen6
Pela equação fundamental da Dinâmica (Fk = ma) e sendo F} = P, = P » sen 0 = mg - sen 6, vem:
b) No triângulo destacado, P, é o cateto adjacente ao ângulo 6. Da definição de cosseno de um ângulo, vem:
P,
Fun = P, =P.cos8
Como B, anula F, resulta:
Respostas: a) a = g » sen 8; b) Fh = P’ cos 0
No arranjo experimental da figura, os corpos A e B têm massas iguais a 10 kg.
O plano inclinado é perfeitamente liso. O fio é inextensível e passa sem
atrito pela polia de massa desprezível. Determine:
a) a aceleração do sistema de corpos;
b) a tração no fio (dado: sen 30º = 0,5).
Solução:
a) Vamos inicialmente calcular a componente P,, do peso do corpo A:
P, = P: sen 30° > P, = m,g' sen30 > R= T-P,
Pad
> P, =10:10-0,5 = [P,=50N
O corpo B possui peso P; = mg g = 10 - 10, ou seja, P = 100 N. Sen-
do P; > P,, concluímos que, se o sistema partir do repouso, o corpo B
desce e o corpo À sobe ao longo do plano inclinado.
Na figura ao lado representamos as forças que agem em cada bloco. Ob-
serve que a componente normal P, „ € a normal F, „ anulam-se. À equação
fundamental da Dinâmica aplicada a 4 e B fornece: T
Corpo A: T-P, ,=m,a >T-50-10 O t
Corpo B: P — T= mpa > 100-T=10 O g
Resolvendo o sistema de equações O e Ø, vem:
l T- 50 = 10a ; i
100 - T = 10a
100 — 50 = 10a + 10a
50 = 20a
b) De O resulta: T — 50 = 10 -2,5 = |T=75N
Respostas: a) 2,5 m/s*;b) 75 N
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.6t0 de 19 de fevereiro de 1998.
Observação:
À aceleração pode ser calculada aplicando-se a equação fundamental da
Dinâmica ao sistema de corpos de massa total m, + mp:
Fe= (m, +mp)a (sendo Fk =P, — P)
Pg — Pa = On, + mg) 'a
100 - 50 = (10 + 10) -a
50 = 20a >
>
Um ponto material de massa m e peso P está suspenso por um fio de massa desprezível ao teto de um vagão
hermeticamente fechado (figura a). O vagão parte uniformemente acelerado e o corpo suspenso desloca-se
para trás em relação a um observador em repouso no interior do trem, até atingir o ângulo de 35º em relação
à vertical (figura b). Adote g = 10 m/s? e tg 35º = 0,7. Determine a aceleração do trem para um observador
externo em repouso na Terra.
v=0
o Observador : “Observador
aa “Amteérno co ES “interno
a é o E
Figura a Figura b
Solução:
Considerando que as leis de Newton são válidas em relação a um referencial inercial, interpretaremos o fenô-
meno em relação ao observador na Terra, pois esta é praticamente um referencial inercial.
Em relação ao observador externo em repouso na Terra, atuam no ponto material as forças peso Pe tração
T (figura c). A resultante F, produz no ponto material a mesma aceleração a do trem (figura d). No triângulo
destacado, temos:
F,
tg35º = 2
8 P
Fk = P- tg 35º
Fk = mg: tg 35°
Sendo Fk = ma, vem:
ma = mg tg 35°
a = g. tg 35°
a=10-0,7
Figura c Figura d
a=7m/s
Resposta: 7 m/s”
Observação:
Ao atingir o ângulo de 35º, o ponto material permanece em repouso em relação ao observador no interior do
trem. Este interpreta o fato da seguinte maneira: além de Pe T, uma outra força f: age no ponto material no sentido
indicado (figura e). Essa força é chamada força de inércia. Forças de inércia são consideradas relativamente a
referenciais acelerados em relação à Terra, denominados referenciais não-inerciais, como é o caso do trem. O
princípio da ação-e-reação não se aplica às forças de inércia.
CapiTuLo 1} e Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 211º
P.239 (PUC-SP) Com base no princípio de ação-e-reação, responda:
a) À afirmação abaixo está certa ou errada? Justifique.
“Quando exercemos uma força F numa mesa, esta exerce uma força oposta —F que anula a força F, de modo
que a força resultante sobre a mesa é nula e ela, portanto, não se move.”
b) Descreva uma situação em que se evidenciem as forças de ação e de reação (mostre como as duas forças
estão agindo).
P.240 Uma força horizontal de intensidade F = 10 N é aplicada no bloco A,
de 6 kg, o qual está apoiado em um segundo bloco B, de 4 kg.
Os blocos deslizam sobre um plano horizontal sem atrito. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a intensidade da força que um bloco exerce no outro;
c) a intensidade da força resultante em A e em B.
P.241 Três blocos A, Be C, de massa m, = 5 kg, Mmg = 2 kg e me = 3 kg,
estão numa superfície horizontal sem atrito. Aplica-se ao bloco A
uma força de 20 N, constante, como indicado na figura. 20 N
Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a intensidade da força que B exerce em C;
c) a intensidade da força que À exerce em B.
P.242 Dois blocos de massas 5 kg e 3 kg estão numa superfície horizontal
sem atrito e ligados por um fio de massa desprezível. A força hori-
zontal F tem intensidade constante igual a 4 N. Determine a tração
no fio que liga os corpos.
P.243 (FEILSP) Sabendo-se que a tração no fio que une os dois blocos vale
100 N, qual é o valor do módulo da força F? Não há atritos.
P.244 (UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4 kg e 2 kg, respectivamente,
estão presos entre si por um fio inextensível e de massa desprezível.
Deseja-se puxar o conjunto por meio de uma força Fcujo módulo é
igual a 3 N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. O fio é fraco e
corre o risco de romper-se.
Qual é o melhor modo de puxar o conjunto sem que o fio se rompa:
pela massa maior ou pela menor? Justifique sua resposta.
P.245 No arranjo experimental da figura não há atrito algum e o fio tem
massa desprezível. Adote g = 10 m/s”. Determine:
a) a aceleração do corpo 4;
b) a tração no fio.
P.246 Na situação indicada na figura, os fios têm massa desprezível e TRE
passam pelas polias sem atrito. Í
Adote g = 10 m/s”. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a tração no fio que liga À a B;
c) a tração no fio que liga B a C.
e212 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
P.247 Os corpos A e B têm massas m, = 1 kg e mg = 3 kg. O corpo C, pendurado
P.248
P.249
P.250
P.251
P.252
pelo fio, tem massa mç = 1 kg. O fio é inextensível e tem massa desprezt-
vel. Adote g = 10 m/s” e suponha que A e B deslizam sem atrito sobre o
plano horizontal. Calcule:
a) a aceleração do corpo C;
b) a intensidade da força que o corpo B exerce em À.
No arranjo experimental da figura os fios e a polia têm massas des-
prezíveis. O fio é inextensível e passa sem atrito pela polia. Adotando
g = 10 m/s”, determine:
a) a aceleração dos corpos;
b) as trações T, e T.
(Fuvest-SP) As figuras mostram dois arranjos (A e B) de polias, construídos para erguer um corpo de massa
m = 8 kg. Despreze as massas das polias e da corda, bem como os atritos. Calcule as forças F, e F}, em newtons,
necessárias para manter o corpo suspenso e em repouso nos dois casos (use g = 10 m/s”).
(A) (B)
Num elevador de massa m = 1.000 kg atuam unicamente a força de sustentação do cabo e o peso. Adote g = 10 m/s”
e determine a intensidade da força de sustentação do cabo quando o elevador:
a) sobe em movimento uniforme;
b) sobe uniformemente acelerado com a = 2 m/s”;
c) sobe uniformemente retardado com a = 2 m/s”.
(Olimpíada Paulista de Física) Um homem de 70 kg está em cima de uma balança dentro de um elevador. De-
termine qual é a indicação da balança, nas seguintes situações:
a) O elevador subindo acelerado com aceleração de 3 m/s”.
b) O elevador subindo com velocidade constante de 2 m/s.
€) O elevador descendo acelerado com aceleração de 1 m/s”.
d) O elevador caindo em queda livre.
Considere a balança graduada em newtons e adote g = 10 m/s”.
Nas figuras abaixo estão indicadas as leituras de um dinamômetro preso ao teto de um elevador que sobe,
estando um corpo de massa 1,0 kg pendurado na extremidade do aparelho. Com base nesses dados, responda:
como é o movimento de subida do elevador, nas três situações esquematizadas — acelerado, retardado ou
uniforme? Justifique. Considere g = 10 m/s”.
Carítuio 11 + Os PrincíiOs FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 213º
P.253
P.254
P.255
P.256
P.257
P.258
P.259
Deixam-se cair simultaneamente, no vácuo, dois corpos À e B de massas
m, = 100 kg e m; = 1 kg.
a) Qual é a aceleração de cada um deles?
b) Qual dos blocos exerce força sobre o outro?
(Efoa-MG) No esquema representado na figura ao lado, o bloco C tem
massa 0,5 kg e está em repouso sobre o plano inclinado de 37º com a ho-
rizontal, preso pelo fio AB. Não há atrito entre o bloco e o plano.
a) Qual é a tração exercida pelo fio?
b) Cortando-se o fio, qual é a aceleração adquirida pelo bloco?
(Dados: g = 10 m/s”; sen 37º = cos 53º = 0,6; sen 53º = cos 37° = 0,8)
(UFPR) Um corpo de massa igual a 5 kg parte, do repouso, da base de um
Plano inclinado — este com ângulo igual a 30º e comprimento 5 m — e atinge
sua extremidade superior em 10 s. Qual é a intensidade da força externa
paralela ao plano inclinado que foi aplicada ao corpo? (Use g=98m/s)
Despreze os atritos.
Determine a aceleração dos corpos na situação esquematizada ao lado.
Adote g = 10 m/s”. O fio e a polia têm massa desprezível.
Não há atrito (dado: sen 30º = 0,5).
ios propostos
d AMET To)
(Unirio-RJ) Um corpo A, de 10 kg, é colocado num plano
horizontal sem atrito. Uma corda ideal de peso desprezível
liga o corpo À a um corpo B, de 40 kg, passando por uma
polia de massa desprezível e também sem atrito. O corpo
B, inicialmente em repouso, está a uma altura de 0,36 m,
como mostra a figura. Sendo a aceleração da gravidade
g = 10 m/s”, determine:
a) o módulo da tração na corda;
b) o intervalo de tempo necessário para que o corpo B
chegue ao solo.
(UFRJ) Um operário usa uma empilhadeira de massa total
igual a uma tonelada para levantar verticalmente uma cai-
xa de massa igual a meia tonelada, com uma aceleração
inicial de 0,5 m/s”, que se mantém constante durante um
curto intervalo de tempo. Use g = 10 m/s” e calcule, nesse
intervalo de tempo:
a) a intensidade da força que a empilhadeira exerce
sobre a caixa;
b) a intensidade da força que o chão exerce sobre a em-
pilhadeira (despreze a massa das partes móveis da
empilhadeira).
No arranjo experimental da figura os fios e a polia têm
massas desprezíveis. Despreze atritos e adote g = 10 m/s”.
Os corpos têm massas m, = 5 kg, mg = 4 kg e mç = 1kg.O
corpo C é uma balança graduada em newtons. Determine
a indicação da balança.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998,
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.260 (Olimpíada Brasileira de Física) A figura representa dois baldes
de massas M, e M,, contendo cada um uma quantidade de areia
de massa M.
Considere a polia e os fios ideais. Supondo que a massa M, seja
ligeiramente maior que a massa M,, responda:
a) Qual a quantidade m de areia que deve ser transferida do
balde de massa M, para o balde de massa M,, para que a
aceleração do sistema aumente de um fator f?
b) Qual o maior valor de f possível?
P.261 (EEM-SP) Num elevador há uma balança graduada em newtons. Um homem de 60 kg, sobre ela, lê 720
newtons, quando o elevador sobe com certa aceleração, e 456 newtons, quando desce com a mesma acelera-
ção. Quais são as acelerações da gravidade e do elevador? Quanto registrará a balança se o elevador subir ou
descer com velocidade constante? Que deverá ter ocorrido quando a balança registrar zero?
P.262 (UFSCar-SP) A polia e os fios da figura são considerados ideais, sem
inércia. O fio é perfeitamente flexível e não há atritos a considerar.
Useg = 10 m/s”. Dadas as massas m, = 40 kg, Mp = 24 kg, determi-
ne as acelerações a, (do corpo 4) e a; (do corpo B) quando:
Q
a) Q = 400 N
b) Q = 720N
© Q= 1.200 N
P.263 (UFSCar-SP) O sistema esquematizado compõe-se de um ele-
vador de massa M e um homem de massa m. O elevador está
suspenso a uma corda que passa por uma polia fixa e vem às
mãos do operador; a corda e a roldana são supostas ideais.
O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a,
juntamente com o elevador. São suspostos conhecidos M, m,
aeg.
Determine a intensidade da força TA que a plataforma exerce no
operador.
P.264 (Fuvest-SP) Duas cunhas A e B, de massas M, e Mg, respecti-
vamente, se deslocam juntas sobre um plano horizontal sem
atrito, com aceleração constante a, sob a ação de uma força
horizontal Faplicada à cunha A, como mostra a figura. A cunha
À permanece parada em relação à cunha B, apesar de não haver
atrito entre elas.
a) Determine a intensidade da força Faplicada à cunha A.
b) Determine a intensidade da força F, que a cunha B8 aplica à
cunha 4.
c) Sendo 6 o ângulo de inclinação da cunha B, determine a
tangente de 0.
P.265 O carrinho da figura desliza no plano horizontal com aceleração
8 m/s”. O corpo A possui 4 kg de massa e não há atrito entre o
corpo e os planos de apoio. Dados sen 30º = 0,50, cos 30º = 0,87
eg = 10m/s”, determine a força horizontal que a parede vertical
exerce no corpo, considerando-o em repouso em relação ao
carrinho.
P.266 Que força horizontal deve ser constantemente aplicada a
M = 21 kg para que m, = 5 kg não se movimente em relação
am, = 4 kg? Despreze atritos. (Use g = 10 m/s”.)
a
Capíruto 11 ° Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 215 °
(1) Testes
„propostos
pa
04 (Uepa) Na parte final de seu livro Discursos e
demonstrações concernentes a duas novas ciên-
cias, publicado em 1638, Galileu Galilei trata do
movimento do projétil da seguinte maneira:
“Suponhamos um corpo qualquer, lançado ao lon-
go de um plano horizontal, sem atrito; sabemos...
que esse corpo se moverá indefinidamente ao
longo desse mesmo plano, com um movimento
uniforme e perpétuo, se tal plano for ilimitado”.
O princípio físico com o qual se pode relacionar
o trecho destacado acima é:
a) o princípio da inércia ou Primeira Lei de
Newton.
b) o princípio fundamental da Dinâmica ou Sè-
gunda Lei de Newton.
c) o princípio da ação e reação ou Terceira Lei de
Newton.
d) a lei da gravitação universal.
e) o princípio da energia cinética.
05 (UFSCar-SP) Leia a tirinha.
NÃO PUDE LER A LIÇÃO
PORQUE MEUS PAIS
ESQUECERAM DE
PAGAR A CONTA DA
1987 WATTERSON / DIST. BY ATLANTIC SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
a (Calvin e Haroldo, Bill Watterson)
Imagine que Calvin e sua cama estivessem a céu
aberto, em repouso sobre um ponto P do equa-
dor terrestre, no momento que a gravidade foi
“desligada” por falta de pagamento de conta.
P
E
Tendo em vista que o ponto P’ corresponde ao
ponto P horas mais tarde, e supondo que ne-
nhuma outra força atuasse sobre o garoto após
“desligada” a gravidade, o desenho que melhor
representa a posição de Calvin (ponto C) no
instante considerado é:
a) d)
i (Fatec-SP) Uma motocicleta sofre aumento de
velocidade de 10 m/s para 30 m/s enquanto per-
corre, em movimento retilíneo uniformemente
variado, a distância de 100 m. Se a massa do
conjunto piloto + moto é de 500 kg, pode-se
concluir que o módulo da força resultante sobre
o conjunto é:
a) 2,0 < 10N
b) 4,0: 10 N
© 8,0: 10N
d) 2,0: 10N
e) 4,0- 10N
7 (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma traje-
tória retilínea, que obedece à equação horária
s = 7,08 + 3,0t+ 5,0, na qual s é medido em
metros e tem segundos. O módulo da força resul-
tante que está atuando sobre o objeto é, em N:
a l0 DI7 919 DB 93
3 (Enem-MEC) O peso de um corpo é uma grandeza
física:
a) que não varia com o local onde o corpo se
encontra.
b) cuja unidade de medida é o quilograma.
c) caracterizada pela quantidade de matéria que
o corpo encerra.
d) que mede a intensidade da força de reação de
apoio.
e) cuja intensidade é o produto da massa do
corpo pela aceleração da gravidade local.
09 (Fuvest-SP) Uma força de 1 newton (1 N) tem a
ordem de grandeza do peso de:
a) um homem adulto.
b) uma criança recém-nascida.
c) um litro de leite.
d) uma xicrinha cheia de café.
e) uma moeda.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Ari. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1996 PAWS, INC. ALL RIGTHS
RESERVED / DIST. By ATLANTIC
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS
SYNDICATE
- (Unitins-TO) Assinale a proposição correta:
a) A massa de um corpo na Terra é menor do que
na Lua.
b) O peso mede a inércia de um corpo.
c) Peso e massa são sinônimos.
d) A massa de um corpo na Terra é maior do que
na Lua.
e) O sistema de propulsão a jato funciona basea-
do no princípio da ação e reação.
Uniube-MG) O princípio da ação e da reação
explica o fato de que:
a) algumas pessoas conseguem tirar a toalha de
uma mesa puxando-a rapidamente, de modo
que os objetos que estavam sobre a toalha
permaneçam em seus lugares sobre a mesa.
b) um corpo, ao ser lançado verticalmente para
cima, atinge o ponto mais alto da trajetória e
volta ao ponto de lançamento.
c) quando atiramos uma pedra em qualquer dire-
ção no espaço, se nenhuma força atuar nela, a
pedra seguirá seu movimento sempre com a
mesma velocidade e na mesma direção.
d) a força de atração do Sol sobre a Terra é igual,
em intensidade e direção, à força de atração
da Terra sobre o Sol.
e) quanto maior a massa de um corpo é mais
difícil movimentá-lo, se está parado, e mais
difícil pará-lo, se está em movimento.
* (UFMG) Uma pessoa está empurrando um caixo-
te. A força que essa pessoa exerce sobre o caixote
é igual e contrária à força que o caixote exerce
sobre ela.
Com relação a essa situação, assinale a afirmativa
correta:
a) A pessoa poderá mover o caixote porque apli-
ca a força sobre o caixote antes de ele poder
anular essa força.
b) A pessoa poderá mover o caixote porque as
forças citadas não atuam no mesmo corpo.
c) À pessoa poderá mover o caixote se tiver uma
Garfield, o personagem da história anterior, é
reconhecidamente um gato malcriado, guloso e
obeso.
Suponha que o bichano esteja na Terra e que
a balança utilizada por ele esteja em repouso,
apoiada no solo horizontal.
Considere que, na situação de repouso sobre a
balança, Garfield exerça sobre ela uma força de
compressão de intensidade 150 N.
À respeito do descrito, são feitas as seguintes
afirmações:
I. O peso de Garfield, na Terra, tem intensidade
de 150 N.
II. A balança exerce sobre Garfield uma força de
intensidade 150 N.
HI. O peso de Garfield e a força que a balança apli-
ca sobre ele constituem um par ação-reação.
É (são) verdadeira(s):
a) somente Í.
b) somente H.
c) somente le II.
d) somente II e II.
e) todas as afirmações.
(Uniube-MG) Considere as frases:
1. Numa luta de boxe, a luva atinge o rosto do
oponente e seu rosto provoca dores na mão
de quem aplicou o soco.
2. Certa lei física justifica o uso do cinto de segu-
rança nos veículos.
3. Há uma proporcionalidade entre a força e a
aceleração atuantes num corpo.
Pode-se associá-las com as leis de Newton:
A. Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia.
B. Segunda lei de Newton ou Princípio Funda-
mental da Dinâmica.
C. Terceira lei de Newton ou Princípio da ação-e-
reação.
A combinação correta é:
massa maior do que a massa do caixote. a) A-1; B-2; C-3 d) A-1; B-3; C-2
d) A pessoa terá grande dificuldade para mover b) A-2; B-1; C-3 e) A-2; B-3; C-1
o caixote, pois nunca consegue exercer uma © A-3; B-2; C-1
força sobre ele maior do que a força que esse
caixote exerce sobre ela.
Q DIGA QUE EU NÃO
SOU GORDO!
NG il baied my Une ram: Preas Ayral
GENTE NÃO
É CAPAZ DE
FAZER 508
PRESSÃO...
(Fuvest-SP) Um homem tenta levantar uma caixa
de 5 kg, que está sobre uma mesa, aplicando uma
força vertical de 10 N.
Nessa situação, o valor da força que a mesa apli-
ca na caixa é:
a) ON
b5N
co) ION
d) 40N
e) 50N
Q uva |
novenono CODUC UCLA CCR OL COLLOR L LEO DOLNTONG NAN OACULDE LAUDO LO ALLL CALDO DOCA CO DONO NORA RONAN ME DOS Us a a an Ara Us sa ava
Carítuio 11 + Os Principios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA
(UEL-PR) Numa situação de emergência, um bom-
beiro precisa retirar do alto de um prédio, usando
uma corda, um adolescente de 40 kg. A corda su-
porta, no máximo, 300 N. Uma alternativa é fazer
com que o adolescente desça com uma certa ace-
leração, para que a tensão na corda não supere o
seu limite. Sob essas condições e considerando a
aceleração da gravidade igual a 10 m/s”, qual deve
ser o módulo dessa aceleração?
a) 175m/s” co 7T5m/s
b) 1,3 m/s d) 2,5 m/s?
e) 9,5 m/s
“(Vunesp) Um bloco de massa m, desliza no solo
horizontal, sem atrito, sob ação de uma força
constante, quando um bloco de massa m, é de-
positado sobre ele. Após a união, a força aplicada
continua sendo a mesma, porém a aceleração
dos dois blocos fica reduzida à quarta parte da
aceleração que o bloco A possuía. Pode-se afir-
= m
mar que a razão entre as massas, —a e.
Mp
c) 3 e) 2
a) 5
b) d 1
wje w=
= Dois blocos A e B, de massas respectivamente
iguais a 5 kg e 10 kg, estão inicialmente em
repouso, encostados um no outro, sobre uma
mesa horizontal sem atrito. Aplicamos uma força
horizontal F = 90 N, como mostra a figura.
Os valores, em N, das forças resultantes que atuam
sobre os blocos A e B são, respectivamente:
a) 40e 50 c) 90 e90 e) 30e 60
b) 45e45 d) 20e 70
“ (Olimpíada Brasileira de Física) Dois blocos, um
de massa Me outro de massa m, estão em conta-
to sobre uma superfície horizontal sem atrito.
E J —
ý D. F
M i m €—
i = am i
Situação 2
Na situação 1, uma força horizontal, de intensida-
de constante F, é aplicada ao bloco de massa M.
Como resultado, surge uma força de contato de
valor f, entre os blocos. Na situação 2, uma força,
de mesma intensidade F, mas sentido oposto,
atua no bloco de massa m, resultando no surgi-
mento de uma força de contato de valor f, entre
os blocos. Pode-se afirmar que:
a) na situação 1, f = F, e portanto o bloco de
massa M jamais poderá se deslocar, devido à
terceira lei de Newton.
b) na situação 2, f, = F, e portanto o bloco de mas-
sa M se deslocará em um movimento retilíneo
e uniforme, devido à primeira lei de Newton.
c) sem < M, então f > fh, não importando a mag-
nitude de F.
d) se m < M, então f, < f, não importando a mag-
nitude da aceleração atingida pelos blocos.
e) A = h, independentemente dos valores relati-
vos das massas m e M.
(FCC-BA) Quatro blocos M, N, Pe Q deslizam sobre
uma superfície horizontal, empurrados por uma
força F, conforme esquema abaixo.
A força de atrito entre os blocos e a superfície é
desprezível e a massa de cada bloco vale 3,0 kg.
Sabendo-se que a aceleração escalar dos blocos
vale 2,0 m/s”, a força do bloco M sobre o bloco N
é, em newtons, igual a:
a) zero b) 60 ol d) 18 e) 24
1 (Unirio-RJ) A segunda lei de Newton diz que a
aceleração adquirida por um corpo é diretamen-
te proporcional à força resultante que atua sobre
ele e inversamente proporcional à sua massa; em
>
a > R . .
termos matemáticos a = — . Devido a essa lei,
m
fica claro que se aplicarmos Fe F, de mesmo mó-
dulo, aos corpos indicados nas figuras I e II, eles
adquirem a mesma aceleração, mas a tração na
corda, considerada ideal, terá módulos diferen-
tes. Qual deverá ser a relação entre os módulos
de Fe de F para que a tração na corda, que liga
os corpos, apresente o mesmo módulo? Despreze
os atritos:
az b) 2 93 d) l 95
m +. 2m, m> — m — 2m. |
Figura I Figura II
T.222 (Mackenzie-SP) No sistema abaixo, o corpo 1, de
massa 6,0 kg, está preso na posição A. O corpo 2
tem massa de 4,0 kg. Despreze os atritos e adote
g= 10m/s”.
Abandonando o corpo 1, a sua velocidade, em
m/s, ao passar pela posição B será de:
a) 0,50 DLO 920 DV8 940
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
(Fuvest-SP) Uma esfera de massa m, está pendu-
rada por um fio, ligado em sua outra extremidade
a um caixote, de massa M = 3m,, sobre uma mesa
horizontal. Quando o fio entre eles permanece
não esticado e a esfera é largada, após percorrer
uma distância H, ela atingirá uma velocidade vo,
sem que o caixote se mova. Na situação em que o
fio entre eles estiver esticado, a esfera, puxando
o caixote, após percorrer a mesma distância H,,
atingirá uma velocidade v igual a:
1 1
a) 7” c) z” e) 3v
- (Ceub-DF) Na figura a seguir, temos dois blo-
cos, A e B, de massas respectivamente iguais a
ma = 40 kg em, = 6,0 kg, que deslizam, sem
atrito, em uma superfície plana e horizontal, sob
ação de uma força horizontal constante e de
intensidade F. Os blocos estão ligados por fios
ideais a um dinamômetro também ideal (massa
desprezível), calibrado em newtons.
Fio (1) — Fio (2)
Dinamômetro
Não considere o efeito do ar e admita que os
blocos têm uma aceleração horizontal constante
e de módulo igual a 2,0 m/s”.
Julgue os itens a seguir.
(1) A força tensora no fio (1) tem intensidade
iguala 12 N.
(2) O valor de Fé 20 N.
(3) Como o dinamômetro tem massa desprezível,
as forças que tracionam os fios (1) e (2) têm
intensidades iguais.
(4) O dinamômetro indica 12 N.
(Unifesp) Às vezes, as pessoas que estão num
elevador em movimento sentem uma sensação
de desconforto, em geral na região do estômago.
Isso se deve à inércia dos nossos órgãos internos
localizados nessa região, e pode ocorrer:
a) quando o elevador sobe ou desce em movi-
mento uniforme.
b) apenas quando o elevador sobe em movimen-
to uniforme.
c) apenas quando o elevador desce em movi-
mento uniforme.
CarítuLo 11 + Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA
d) quando o elevador sobe ou desce em movi-
mento variado.
e) apenas quando o elevador sobe em movimen-
to variado.
(UFU-MG) Um elevador tem uma balança no seu
assoalho. Uma pessoa de massa m = 70 kg está
sobre a balança conforme figura abaixo. Adote
g = 10m/s”.
Julgue os itens abaixo.
I. Se o elevador subir acelerado com aceleração
constante de 2 m/s”, a leitura da balança será
840 N.
II. Se o elevador descer com velocidade constan-
te, a balança indicará 700 N.
HI. Se o elevador descer retardado com acelera-
ção constante de 2 m/s”, a leitura da balança
será 840 N.
IV. Rompendo-se o cabo do elevador e ele caindo
com aceleração igual à da gravidade, a balan-
ça indicará zero.
V. Se o elevador descer acelerado com acelera-
ção constante de 2 m/s”, a leitura da balança
será 560 N.
São corretos:
a) apenas I, Ile II
b) apenas I, II e IV
c) apenas Í, II e IV
d) apenas l, II, IV e V
e) 1, II, IM, IV e V
(Uece) As massas m, e m, estão ligadas por um fio
flexível e inextensível, apoiado sobre uma polia
ideal. Inicialmente, m, é mantida sobre a mesa.
Considere g = 10 m/s”.
“m=1 kg
A razão da intensidade da força de tração no fio
(T), enquanto m, é mantida sobre a mesa, para
a intensidade da força de tração no fio (T,), após
my ser liberada, é:
a 5 b) o 2 d) 3
(Uniube-MG) Considerando o sistema mecânico PPP PP
representado na figura, onde os atritos e as mas- a) g g d) P, 74
L PPP P
F = 500 N, m, = 15 kg, m, = 10 kg e a aceleração b) —, =, — e) iguais a P
da gravidade local vale 10 m/s”, a tração no fio ea 8 24
aceleração do sistema valem, respectivamente: 9 P , P P
2 4 8
a) 400 N e 20 m/s? d) 260 N e 16 m/s?
b) 360 N e 15 m/s? e) 130N e 16 m/s?
o 300N e 20 m/s?
(Univás-MG) Na mon-
tagem ao lado, sendo
30 kg a massa do corpo
suspenso e 70 kg a mas-
sa do homem, podemos
afirmar, supondo o siste-
sas do fio e das polias são desprezíveis, e que nele
t
t
| “1 .
| ma em equilíbrio:
LA tração na corda é
|
| cerca de 30 N.
| I. À compressão que o homem faz no chão é cer-
l o ca de 1.000 N.
(FuvestSP) Um sistema mecânico é formado por duas II. À reação normal do chão sobre o homem é
polias ideais que suportam três corpos 4, Be C de cerca de 400 N.
mesma massa m, suspensos por fios ideais como
a) Só a frase [é certa.
representados na figura.
b) Só a frase II é certa.
c) Só a frase II é certa.
d) Todas as frases estão certas.
e) Todas as frases estão erradas.
(Fuvest-SP) Uma pessoa segura
uma esfera À, de 1,0 kg, que está
presa numa corda inextensível C,
de 200 g, a qual, por sua vez, tem
presa na outra extremidade uma
esfera B, de 3,0 kg, como se vê na
figura.
À pessoa solta a esfera A. Enquanto o sistema
O corpo B está suspenso simultaneamente por
dois fios, um ligado a 4 e outro a C. Podemos
afirmar que a aceleração do corpo B será:
a) zero d 2g para baixo | estiver caindo, e desprezando-se a resistência do
3 | ar, podemos afirmar que a intensidade da força
| de tração na corda vale:
b) Z para baixo e) 3 para cima a) zero o 10N e) 30N
b) 2N d) 20N
g .
9 3 para cima (E. Naval-RJ) Sejam a, e a; os módulos das acele-
rações dos blocos de massa M, e M,, respectiva-
(Cesgranrio-RJ) Um corpo de peso P encontra-se mente.
em equilíbrio, devido à ação da força F, como
indica a figura abaixo.
Superfície
Encontre a relação entre a, e a;, sabendo-se que
M.
M, = M; = E . Despreze todos os atritos e as
massas das roldanas.
6 4
a n=—a n=-a
y 1 5 3 d) 1 5 3
Os pontos 4, Be C são os pontos de contato entre | 5 “3
. e va bDa=-—a; da=%
os fios e a superfície. A força que a superfície 6 2
exerce sobre os fios nos pontos 4, B e C são res- c 22
pectivamente: ) a= 3B
russsvesapassssesssevszeennanpuunasyseassessnesseesessoesoszszssassesaseosssoosersaserossuonnveosesseossasensartssosssesotessssasssaesssonsssosserssseonens
s 220 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Coloque sobre a palma da mão um cartão rígido e, sobre ele, uma moeda, como indica a foto I.
H
!
|
| Verificando o princípio da inércia
| Dê um “peteleco” no cartão, de modo a lançá-lo longe (foto IN). O que você observou?
i
THE NEXT
+
x
[f]
i Z
w
E
É
A Foto! A Foto ll
Responda:
* Em que princípio se baseia o fato observado?
* O que aconteceria se você empurrasse lentamente o cartão?
Para verificar o princípio da inércia, outro experimento interessante é o ilustrado abaixo. Coloque sobre uma su-
perfície lisa uma pilha de dez moedas (de 10 centavos, por exemplo) e, não muito longe da pilha, coloque uma outra
moeda (igual às da pilha), conforme a foto II. Dê um “peteleco” nessa moeda, de modo que ela deslize com grande
velocidade de encontro à pilha (foto IV).
Esse experimento nos mostra que a tendência de um corpo em repouso é permanecer em repouso.
THE NEXT
THE NEXT
À Foto II À Foto IV
ensoscanensasanas CONRAD SRTA DED CO SO DEDCIDCUINTEENNCALUNUL DELLE DOADO DONO ONO SACADURA DES COUROS SORO RS DOOR ONS Ann na nerd ads
Carítuio 11 e Os Principios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 2210
Q seu
Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Verificando o princípio da ação-e-reação
Encha um balão de borracha com ar e, com fita adesiva, prenda um canudinho
de refresco em sua lateral, conforme foto ao lado.
Passe um barbante ou uma linha de pesca pelo canudinho e prenda as extremi-
dades do barbante, mantendo-o esticado, com a ajuda de um colega. Abra o bico do
balão. O ar será expulso para um lado e o balão se movimentará para o outro.
Responda:
* Por que o balão se movimenta para o
lado contrário ao da saída do ar?
* A força que lança o ar para fora do ba-
lão e a força do ar sobre o balão têm a
mesma intensidade?
* Essas forças se equilibram?
* A propulsão de naves espaciais baseia-
se no mesmo princípio. Explique.
* Na situação descrita anteriormente, é
necessária a existência de ar fora da
nave? Por quê?
ISAAC NEWTON
CenDosARaaA AA sea Dane a tan una
ISAAC NEWTON (1642-1727) contribuiu deci-
sivamente para o progresso da Física, além de seus
trabalhos na Matemática.
GALILEU já havia observado que tudo na Natu-
reza pode ser descrito por leis e que, para desco-
bri-las, é preciso fazer experiências e interpretá-las
matematicamente. Entretanto, essas noções eram
aplicadas principalmente no estudo dos movimen-
tos dos corpos, sobretudo a queda livre.
Newton procurou mostrar que essas mesmas
leis podiam ser aplicadas a todo o Universo. Suas
principais contribuições situam-se no campo da
Ciência Natural e na Matemática (binômio de
Newton e cálculo infinitesimal). A ele se devem o
desenvolvimento e a sistematização da Mecânica,
a formulação da teoria da Gravitação Universal,
experiências e leis relativas à reflexão, refração,
decomposição da luz e a hipótese controversa da
natureza corpuscular da luz.
Em sua obra Princípios matemáticos da Filoso-
fia Natural, em três volumes publicados em 1687,
Newton une as conquistas de Galileu e a Astrono-
mia de Kepler, além de colocar os princípios e as
bases da metodologia da pesquisa científica.
THE NEXT
THE NEXT
THE NEXT
Reprodução proibida. Art. 184 da Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
COCA VESTES DANESE OCEANO EEN A TUTELA RO TLD EDUC CE A LEO CLECADNC NACL CPO CLEO DUO NA OO RSA CALADO DOS ro cs
222 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro.de 1998.
AKG-LATINSTOCK
Carítuio 11 e
Em Óptica, publicada em 1704, Newton estabelece a teoria
sobre a natureza corpuscular da luz. A luz, segundo essa teoria,
seria constituída por corpúsculos que emanariam dos corpos lu-
minosos.
Newton dedicou-se também ao estudo de Teologia, e uma
coletânea desses escritos foi publicada postumamente sob o título
de Observações sobre as Profecias de Daniel e o Apocalipse de São
João, em 1733.
Para a Física e a ciência em geral, entretanto, sua obra mais
importante é Princípios matemáticos da Filosofia Natural, em que
utiliza um esquema metodológico semelhante ao da Geometria,
partindo de definições e encadeando-as logicamente para chegar ao
estabelecimento de axiomas, princípios e proposições. É no livro |
desta obra que encontramos enunciadas as três leis fundamentais da
Mecânica, por ele denominadas “Axiomas ou Leis do Movimento”,
que em sua formulação original são as seguintes:
m Primeira Lei
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou movimento
uniforme em uma linha reta, a menos que ele seja obrigado a mudar
aquele estado por forças imprimidas sobre ele.
s Segunda Lei
A mudança de movimento é proporcional à força motora
imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela
força é imprimida.
m Terceira Lei
A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as ações
de dois corpos um sobre o outro sempre são iguais e se dirigem a
partes contrárias.
No Livro IH dos Princípios..., Newton expõe a Teoria da Gravi-
tação Universal, isto é, seu sistema do mundo centralizado na lei da
gravitação universal, assim enunciada: a matéria atrai a matéria na
razão direta das massas e na inversa do quadrado das distâncias.
Por ter formulado uma ciência com bases puramente mecanicis-
tas, por ter compreendido uma variedade tão grande de fenômenos
e por ter dado as bases da Mecânica científica, Newton foi conside-
rado por muitos o maior cientista de todos os tempos.
A respeito dele disse o poeta Alexander Pope: “A Natureza e
suas leis estavam ocultas na obscuridade. Então disse Deus: “Nasça
Newton! — e tudo foi claridade”.
PHILOSOPHE
ApalGyiL áfor, Tants.
Rene
ZSAACHS NEWTON EXAUR ÆT a
E Fanke gems ces Aia Baguer car!
A Principia Mathematica (frontispício da 3º edição, Londres, 1726)
é considerada a principal obra de Newton e um dos pilares
da Física Clássica.
Os Princípios FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA
porem mm mt rimam
PR Enquanto isso... ssa.
Entre na rede
No endereço eletrônico http://
www.seara.ufc.br/folclore/
folclore54.htm (acesso em
13/2/2007), pode conhecer fatos
pitorescos da vida de Newton.
Creu maa
Consulte a Linha do tempo, nas pri-
meiras páginas deste volume, onde são
destacados os principais acontecimentos
históricos que ocorreram na época de
Isaac Newton e personagens importan-
tes, em vários ramos de atividades, que
. viveram nesse mesmo período. Dentre
; eles, salientamos:
e Pedro, o Grande (1672-1725), czar da
Rússia. Foi o primeiro imperador do
Império Russo.
e Edmond Halley (1656-1742), astrôno-
mo e matemático inglês.
Charles de Montesquieu (1689-1755),
escritor e pensador francês. Foi um
teórico do liberalismo político.
Gottfried W. Leibniz (1646-1716), fi-
lósofo e matemático alemão. Inventou
o cálculo diferencial, independente-
mente de Newton. Essas invenções
simultâneas resultaram em disputas
entre os dois cientistas.
Robert Hooke (1635-1703), cientista
inglês. Deixou inúmeras contribui-
ções, não só no campo da Física, como
também no da Biologia, Química e
Astronomia. Foi um rival de Newton na
disputa de prioridades.
Daniel Defoe (1660-1731), escritor e
jornalista inglês. Escreveu Robinson
Crusoé.
Rembrandt H. van Rijn (1606-1669),
e
pintor e gravador holândes. Um de ;
seus quadros mais famosos é A lição de |
anatomia do dr. Tulp.
positor italiano de música barroca.
quatro estações”.
Antônio Vivaldi (1678-1741), com- |
Autor da famosa série de concertos “As |
e?
Q seu
MONSTOCK/OTH
Mi Neste capítulo são analisadas forças descritas por leis
1. INTRODUÇÃO experimentais, como a força de atrito de
2. ATRITO DINÂMICO escorregamento e a força de resistência do ar. Esta
3. ATRITO ESTÁTICO última, por exemplo, é a que age num pára-quedas,
limitando a velocidade com que o pára-quedista
4. FORÇA DE RESISTÊNCIA DO AR .
atinge o solo.
5. VELOCIDADE LIMITE
1. Introdução
No capítulo anterior discutimos as leis de Newton, da Dinâmica, aplicadas a corpos em situações
ideais — as superfícies em contato eram isentas de atrito e desprezamos a resistência do ar. Agora, para
que possamos compreender melhor essas leis, será necessária uma discussão mais profunda das forças.
Comecemos analisando a força de atrito de escorregamento entre sólidos. O atrito é denominado
dinâmico quando há movimento relativo entre os corpos em contato. Quando não há movimento, o
atrito é denominado estático.
E 2. Atrito dinâmico
Considere um livro apoiado sobre uma mesa (figura 1a). Pela aplicação de uma força ele atinge,
após certo tempo, uma velocidade v (figura 1b). Quando cessa a força, a velocidade diminui até o livro
parar (figura 1c). Interpretamos esse fato considerando uma força de resistência oposta ao movimento
relativo dos corpos, chamada força de atrito dinâmico (figura 1d).
a) b)
Movimento
>
Figura 1. A força de atrito f,, é oposta ao movimento relativo das superfícies em contato.
A força de atrito é devida às rugosidades das superfícies em contato e às forças de adesão entre as
moléculas das duas superfícies. As rugosidades se interpenetram e as forças de adesão entre os pontos
de contato formam “microssoldas”, dificultando o movimento de um corpo em relação ao outro.
Quando há movimento, a experiência mostra que a intensidade da força de atrito, dentro de uma
boa aproximação, é proporcional à intensidade da força normal A:
fa = Mat A
Nessa fórmula, u4 é uma constante de proporcionalidade chamada coeficiente de atrito dinâmico.
esosensnosanssrosovonessvss esssvoreseossensacosusosessseszoesesavsesarosonsrooessssovenosesesssnassresssosnereseossosposossseseesesssrsnessoreessoeuasoe>
e 224 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a z Re A z . , f,
O coeficiente | não possui unidade, pois é a relação entre duas intensidades de forças E = t),
Em Física, grandezas que não têm unidades são chamadas grandezas adimensionais.
O coeficiente de atrito depende da natureza dos sólidos em contato (aço sobre aço, madeira sobre
aço etc.) e do estado de polimento das superfícies. Pode variar desde valores baixos (por exemplo, 0,02)
até valores bastante elevados (por exemplo, 1,20).
A força normal A, entre as superfícies em contato tem intensidade igual ao próprio peso P ou sua
componente P, = P » cos 6, nos casos simples indicados na figura 2.
a
(R P) F, Movimento
P=P.sen6
P=P.cos6
E = Mg Fy = Hg+ P+ cos 8
fa = Ha Fx Hae P
Figura 2. Em movimento: £, = Ua * Fy-
A força de atrito dinâmico independe da velocidade com que o corpo desliza sobre a superfície e
também independe da área de contato entre o corpo e a superfície. Assim, por exemplo, um bloco de
> . .
madeira desliza sobre uma mesa por ação de uma força F (figura 3). A força de atrito f, tem a mesma
intensidade quer o bloco se apóie na face de maior área ou na de menor área.
“O g Movimento
£
Movimento
Figura 3. A intensidade da força de atrito f,, independe da área de contato entre
o bloco e a superfície sobre a qual desliza.
À É o atrito que possibilita a um carro diminuir sua velocidade quando é freado.
CarítuLo12 e Forças DE ATRITO 225 0
SCHLEGELMILCH/CORBIS-LATINSTOCK
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O coeficiente de atrito dinâmico é também chamado coeficiente de atrito cinético.
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3
Eat)
[ao
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z
L
A A força aplicada pelo operador sobre a À Ao colocar a carga sobre a placa, para que seu
placa de madeira desloca-a em movimento movimento continue uniforme, a intensidade da força
uniforme. A força de atrito dinâmico tem aplicada pelo operador passa para 3,7 N. Isso significa
intensidade igual à da força aplicada que a intensidade da força de atrito aumenta, pois
pelo operador e que é indicada pelo aumenta a intensidade da força normal que a mesa
dinamômetro: 2,2 N. exerce na placa.
Um bloco de massa m = 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob ação de uma força horizontal Fde
intensidade 30 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a mesa é p4 = 0,20. Sendo g = 10 m/s”, deter-
mine a aceleração do bloco.
Solução:
Na figura representamos as forças que agem no bloco. A força de Movimento
atrito é dada por £, = Hafn e, sendo Fy = P = mg, vem fa, = yang.
Sendo u; = 0,20, m = 10 kg e g = 10 m/s”, temos:
fa = 0,20: 10-10 > = 20N
À equação fundamental da Dinâmica (F, = ma) fornece:
Fg = ma > F- fa = ma
Resposta: 1,0 m/s
Observação:
A força de atrito F. e a força normal F, são as componentes da força
resultante R que a mesa exerce no bloco, isto é, R = fe + Fy-
A intensidade de R é calculada pela aplicação do teorema de Pitágoras
ao triângulo destacado:
R=yŅfi +F
Sendo £, = 20 N e A, = 100 N, temos: R = yO? + (100? > | R=102N
Um bloco de massa m = 5,0 kg realiza um movimento retilíneo e uniforme numa mesa horizontal, sob ação de
uma força horizontal F de intensidade 10 N. Sendo g = 10 m/s”, determine o coeficiente de atrito dinâmico entre
o bloco e a mesa.
e226 Os FUNDAMENTOS DA Física
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Pel
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
Na figura apresentamos as forças que agem no bloco.
Observe, inicialmente, que o movimento é horizontal e
portanto F, e Pse anulam. Como o movimento é retilíneo e
uniforme, a aceleração a é nula e, pela equação fundamen-
tal da Dinâmica (F, = ma), concluímos que a resultante é
nula. Nessas condições, Fe F. tēm mesma direção, sentidos
opostos e intensidades iguais: £, = F. Sendo f, = Hafn com
Fx = mg, vem:
Q uva |
Hat mg =F
ua’ 5,0:10=10 >| u= 0,20
Resposta: 0,20
Um bloco é lançado sobre um plano horizontal com velocidade de 30 m/s e percorre 90 m até parar. Considere
g = 10 m/s” e calcule o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano.
Solução:
Com a equação de Torricelli determinamos a aceleração Movimento
escalar do bloco: me m mam
V =v + 2aAs => 0 = 30 + 2a -90 > a = -5,0 m/s?
Como F, e Fse anulam, concluímos que a resultante é a
força de atrito (Fk = fa.)
Mas fe = na e R =P= mg.
Logo: Fk = fa = mg.
Pela equação à fundamenta da Dinâmica (= ma), vem:
Fk= ma > ya' mg= ma > (mga)
Sendo g = 10 m/s? e a = |a] = 5,0 m/s”, resulta: ua - 10 = 5,0 > | ua = 0,50
Resposta: 0,50
Dois corpos A e B de massas m, = 1 kg e m; = 2 kg estão ligados
por uma corda de peso desprezível, que passa sem atrito pela
polia C. Entre A e o apoio existe atrito de coeficiente uy = 0,5.
Adote g = 10 m/s”. Determine:
a) a aceleração dos corpos;
b) a tração do fio.
Solução:
a) As forças que atuam em cada corpo estão indicadas nas figuras.
popo A m, = l kg; P, = mig = 10N; =P= 10N
fa = Hafn = 0,5: 10 = fe 55N
Corpo B: mg = 2 kg; P = mpg = 20 N
Pela equação fundamental da Dinâmica R= ma), obte-
mos o seguinte sistema:
T— fa = m,a (corpo A)
P— T = ma (corpo B) T
Pa~ fa = (m, + mẹp)ta > 20-5=(1+2)-a >
b) Substituindo na primeira equação:
a
T- =ma > T-5=1:5 T=10N
Respostas: a) 5 m/s”; b) 10 N f
Carituto 12 + FORÇAS DE ATRITO 227º
Observação:
À aceleração pode ser determinada considerando-se os dois
corpos como um sistema. À força favorável ao movimento é
P,=20Neaforçaresistenteéf, = 5 N em A.
Logo, para o sistema de massa total m, + Mmg, temos:
Pete (ut mj a = 80-5-(1+2):0 = (asm)
Z | Entre na rede Sm
i
| No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/
| ph21br/n2law. br.htm (acesso em 14/2/2007), você pode
' aplicar a segunda lei de Newton para o movimento de um
l sistema constituído de dois blocos. O movimento pode ser
U analisado com ou sem atrito.
nr nr nm mma come
P.267 Um corpo de massa m = 2,0 kg movimenta-se numa mesa hori-
zontal sob ação de uma força horizontal F de intensidade 8,0 N,
conforme a figura (g = 10 m/s”. Sendo 2,0 m/s” a aceleração que
o corpo adquire, determine:
a) a intensidade da força de atrito que a mesa exerce no corpo;
b) o coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a mesa;
c) a intensidade da força resultante que a mesa exerce no corpo.
P.268 Um pequeno bloco de massa m = 20 kg desloca-se numa su-
perfície lisa com velocidade de 72 km/h. A seguir, atinge uma
superfície áspera, onde o atrito entre o corpo e a superfície tem
coeficiente u4 = 0,4. As superfícies são consideradas horizontais.
Determine o espaço percorrido pelo bloco na superfície áspera
até parar (g = 10 m/s”).
P.269 Arrasta-se um corpo de massa 60 kg sobre um plano horizontal
rugoso, em movimento retilíneo uniforme, mediante uma força
horizontal de intensidade 180 N. Qual é o coeficiente de atrito
dinâmico entre o corpo e o plano? (Adote g = 10 m/s”)
P.270 Dois corpos A e B, de massas iguais a 10 kg, estão ligados por
um fio de peso desprezível, que passa por uma polia sem atrito,
como se indica na figura. Entre À e o apoio existe atrito de coefi-
ciente uy = 0,6. Determine a aceleração dos corpos e a tração
do fio (g = 10 m/s”).
B 3. Atrito estático
Considere um corpo em repouso sobre uma superfície hori-
zontal. Vamos aplicar no corpo uma força Fque tende a deslocá-
lo na direção horizontal. Enquanto o corpo estiver em repouso,
à medida que a intensidade da força solicitadora Faumenta, a
intensidade da força de atrito também aumenta, de modo que
Fe fa se equilibram (figura 4).
f
72 km/h
20kg;
e]
o
assstrsissrssrti
Superfície lisa
Superfície áspera
at.
Figura 4.
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Se, por exemplo, a força solicitadora tiver intensidade F
iguala 1 N (figura 5a) e o corpo não se mover, a força de atrito
no corpo terá também intensidade igual a 1 N, pela condição
de equilíbrio (resultante nula). Se F cresce para 2 Ne o corpo
continua em repouso, decorre que fa, = 2 N (figura 5b).
Assim, a força de atrito a tem intensidade igual à da
força solicitadora F enquanto não houver movimento. Se F
continuar crescendo, f, também crescerá até atingir um valor
máximo e o corpo ficará na iminência de movimento. c) a
A máxima intensidade da força de atrito estático, e que Ff
corresponde à iminência de movimento, é dada por: f —— >
fat(máx) =p
E|
efn |
pu Figura 5. Só há movimento quando F > f,, mix):
Nessa fórmula, u, é uma constante de proporcionalidade chamada coeficiente de atrito estático.
A partir desse momento, se F crescer, o corpo entra em movimento e a força de atrito passa a ser a
força de atrito dinâmico (fa, = uafu), conforme a figura 5c.
Admita que o corpo da figura anterior tenha massa igual a 2 kg (peso P = 20 Ne normal
Fn = P = 20 N). Supondo-se que o valor do coeficiente de atrito estático entre o corpo e o apoio
seja u. = 0,4, o máximo valor da força de atrito é:
fat (máx) = Hefn = 0,4 '20 > fat (máx) =8N
Esse resultado significa que o bloco somente entrará em movimento quando a força F tiver intensida-
de maior que 8 N. Se aplicarmos F = 6 N, a força de atrito terá intensidade 6 N e o bloco permanecerá
em repouso. Se aplicarmos F = 8 N, f, atingirá seu valor máximo (8 N) e o bloco estará na iminência
de movimento.
Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito dinâmico (fara = Hafn) é
menor do que a intensidade da força de atrito estático máxima (f.máx) = UeFn). Desse modo, temos
Ha < He. Na tabela abaixo apresentamos valores de coeficientes de atrito estático e dinâmico para
alguns materiais.
aço com aço 0,74 0,57
alumínio com aço 0,61 0,47
cobre com aço 0,53 0,36
borracha com asfalto seco 1,0 0,80
borracha com asfalto molhado 0,30 0,25
No gráfico da figura 6, representamos a intensidade da ME iminência de movimento
força de atrito (f) em função da intensidade da força soli-
citadora (F) para o bloco em repouso (atrito estático) e, em
seguida, para o bloco em movimento (atrito dinâmico).
Da noção de iminência de movimento podemos estabe-
lecer um método experimental simples para a determinação
do coeficiente de atrito estático. Inclinamos aos poucos o pla-
no de apoio até o instante em que o corpo fique na iminência
de escorregar (figura 7). Quando o corpo está na iminência de
escorregar, a força de atrito atinge seu valor máximo:
famáx) = Mefy = HeP + cos O
f,
atimáx} T7777
Movimento
-------------1-
0 F
Figura 6.
Corpo em repouso: 0 < f, < LA
Corpo em movimento: fx, = LyFN
noconcarcrcrcasa CONOUONONGOSA SOCIEDAD CLOIS GONCALO COLD LULAS LURCCLENCLA VEADOS OL AIC OA UR CRE DO RUAS RA LO SORA O sa SA Us 0064
Capítulo 12 e FORÇAS DE ATRITO 229 °
Estando o corpo em equilíbrio, decorre que fr, máx € P © sen 8 devem ser iguais:
sen 6
ftm) = PrsenO > uP. cos = P. senb > p = cos 6 > u.=t9g6
Figura 7.
Conhecendo o ângulo 6 do plano com a horizontal, quando o corpo se encontra na iminência de
escorregar, teremos determinado o coeficiente de atrito estático pela expressão:
ED
GUNNAR SVANBERG SKULASSON/NORDIC-GETTY IMAGES
A O carro não desce a ladeira, pois a força de atrito estático é igual à componente
do peso na direção do declive.
OBSERVAÇÃO
Existem casos em que os valores de u, e ua são muito próximos. Nessas situações, conside-
raremos Lt. = Ly € indicaremos esse valor por u, chamando-o simplesmente de coeficiente de
atrito. Nessas condições, temos:
corpo em repouso: 0 = f, = UA,
| corpo em movimento: f. = UAN
TR ON , Entre na rede S
A
i
| |
f E o atrito pode ser importante? Qualé |
| a diferença entre .o freio ABS e 0 convens |
i i
į
|
Í i
| l
i Hi
| ;
No endereço eletrônico http://www.walter-
fendt.de/ph2ibr/inclplane..br.htm (acesso em |
14/2/2007), você pode simular o movimento de É
um bloco ao longo de um plano inclinado, com ou |
i sem atrito. |
' cional? Para responder a estas questões,
| sugerimos as leituras apresentadas nas
|, páginas 232 e 247, respectivamente,
*230 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercícios
É Td O coeficiente de atrito estático entre o corpo de massa m = 10 kg e
a superfície plana horizontal de apoio é u, = 0,2. Em que intervalo
pode variar a intensidade da força horizontal F para que o corpo
permaneça em repouso? Adote g = 10 m/s”.
Solução:
As forças que atuam no corpo estão indicadas na figura. A força má-
xima de atrito, que corresponde à iminência de o corpo escorregar,
tem intensidade: fa max) = ef
Sendo Fy = mg, vem: fi máx) = He * Mg = 0,2 + 10 + 10 > fama = 20N
Nessas condições, a máxima intensidade da força F, estando o corpo
em repouso, é igual a 20 N. Por outro lado, o mínimo valor de Fé zero,
situação que ocorre quando o corpo não é solicitado.
Resposta: 0 s Fs 20N
E O bloco A de massa m = 3,0 kg está apoiado num plano inclinado
que forma um ângulo 6 em relação à horizontal. O bloco A está na
iminência de escorregar para baixo. Determine, nessas condições, o
peso P; do bloco B. O coeficiente de atrito estático entre o bloco A e
3 o plano é u, = 0,50. (Dados: sen 6 = 0,60; cos 9 = 0,80; g = 10 m/s")
$ Considere o fio e a polia ideais.
$ Solução:
E Vamos inicialmente calcular as componentes P, e P, do peso P, do
8 bloco A:
2 P=P,sen6 => P=3,0+-10-0,60 > P=18N
3 P, = Pit cos0 = P, = 3,0-10- 0,80 = P,=24N
E Na figura ao lado representamos as forças que agem em cada bloco. E
S Observe que a força de atrito f, que o plano exerce em Á, tem sen- T T
ê tido para cima, pois o bloco A está na iminência de escorregar para i
8 baixo. Estando os blocos em equilíbrio, podemos escrever: z SPd 4.
e bloco B: T =P, k B
< bloco A: T+ h =P, i
É Portanto: P; + ft, =P,
é Como o bloco A está na iminência de escorregar, temos: p
E] fa = fat (max) = HeFy = UPa: 5
Ê
Logo: Pg + MP, =P > P,+0,50-24=18 > |P,=60N
Resposta: 6,0 N
Exercicios
P.271 Um corpo de massa m = 20 kg está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente
de atrito estático entre o corpo e a superfície é u, = 0,3 e o coeficiente de atrito dinâmico é uy = 0,2. A acele-
ração da gravidade é g = 10 m/s”. Aplica-se ao corpo uma força horizontal F Verifique se ele entra ou não em
movimento nos casos:
a) F=40N b) F=60N o F=80N
Calcule, em cada caso, a intensidade da força de atrito.
P.272 O bloco A de massa m = 3,0 kg está apoiado num plano inclinado que
forma um ângulo 8 com a horizontal. O bloco À está na iminência de
escorregar para cima. O coeficiente de atrito estático entre o bloco
A e o plano é u, = 0,50. Considere o fio e a polia ideais. Determi-
ne, nessas condições, o peso Pz do bloco B. (Dados: sen 6 = 0,60;
cos 8 = 0,80; g = 10 m/s”)
COLO L CUL OCO CL LULA TILES COLOCO LOL DLONCL DIAL ONDINA SILOS DUO NOL DLC ACID OCO NONO AOL ONO ADD ORA NEON nan a Un nas ane sc 0
Capituio 12 * Forças DE ATRITO 231 e
+ Quando o atrito é importante!
E E
As forças de atrito são opostas à tendência de movimento ou ao movimento relativo das superfícies
| em contato e são tangentes a essas superfícies.
| No entanto, as forças de atrito podem eventualmente ser favoráveis ao movimento de um corpo. Assim,
' observe que conseguimos andar porque há atrito entre o chão e a sola de nosso sapato. Pelo princípio da
ação-e-reação, se nosso sapato exerce no solo a força de intensidade f, empurrando-o para trás, o solo
exerce na sola do sapato outra força, de mesma intensidade f, mas em sentido contrário. Na sola do
sapato a força de atrito tem sentido oposto ao da tendência de movimento do pé em relação ao solo.
Porém, para o homem que caminha, a força de atrito é favorável ao seu movimento.
Tendência de
escorregament e Sentido do
do pé em movimento
do homem
relação ao solo
f, (sola do
sapato)
(solo) fa
i at.
Podemos observar o mesmo fato no movimento das rodas de um carro ligadas ao motor. Essas rodas
são chamadas “rodas de tração motora”: o movimento de seu eixo é comandado pelo motor do carro.
Roda de tração motora . .
Movimento do eixo
—>
Quando aceleramos um carro, as rodas de tração motora
“empurram” o chão para trás e, pelo princípio da ação-e-reação,
o chão exerce uma força de mesma intensidade e sentido con-
trário, movimentando o automóvel para a frente.
l f (roda)
A (chão)
Roda de tração motora
Ainda com o carro em movimento acelerado, a roda que não
tem tração motora “empurra” o chão para a frente e, na roda, a
força de atrito tem sentido oposto, como indica a figura.
Roda sem tração motora
enpessosoasssoese eesnsesososssesnssovessovocoreovsnouosovonossoscosssensososesnossnressposssosesosssonsessosorososssosrzsesseseepesessossosoepnoosoeeses
e 232 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiró da 1988.
Um carro de tração traseira possui o eixo traseiro das rodas ligado ao motor. As rodas traseiras têm
tração motora, e as da frente, não. Há carros de tração dianteira e de tração nas quatro rodas. Ao acelerar-
mos o carro, as forças de atrito nas rodas de tração têm o mesmo sentido do movimento do automóvel;
nas rodas não-tracionadas, têm sentido oposto.
Movimento do carro
DT
Q ve
at.
Tração traseira ~“
i
i
:
;
i
Movimento do carro Movimento do carro
Z po f, ` f
Tração dianteira a * Tração nas quatro rodas *
Ba. Força de resistência do ar
Considere um corpo movendo-se em contato com um líquido ou um gás. Esses meios aplicam ao
corpo forças que se opõem ao movimento. As intensidades dessas forças resistentes são determinadas
experimentalmente.
Para o movimento de um corpo em contato com o ar (por exemplo, a queda vertical de um bloco, o
movimento de um carro ou de um avião), considerando-se as velocidades usuais, a força de resistência do
ar tem intensidade R diretamente proporcional ao quadrado da velocidade v do corpo:
Estudos experimentais sobre a constante de proporcionalidade k concluem que ela depende:
e da forma do corpo, caracterizada por uma grandeza adimensional chamada coeficiente de arrasto
aerodinâmico C,. Para os veículos, seu valor varia, em geral, de 0,30 a 0,90.
A gota de chuva é o corpo que possui a mais perfeita aerodinâmica, com C, = 0,05. Para os automóveis
modernos, C, fica em torno de 0,30, para os ônibus 0,70 e para os caminhões, 0,90.
e da maior área A da seção transversal do corpo perpendicular à direção do movimento.
e da densidade d do ar. Um mesmo corpo, deslocando-se com a mesma velocidade, ficará sob ação de
uma força de resistência de menor intensidade num local onde a densidade do ar é menor.
A constante k é dada por: k = tac,
Nessas condições, temos para a intensidade R da força de resistência do ar:
Capitulo 12 e Forças DE ATRITO 233º
| No desenvolvimento do projeto de aviões ou de au-
| tomóveis, uma etapa muito importante é o teste de seu
' comportamento aerodinâmico. Para tal, constrói-se um
| protótipo ou uma miniatura do veículo, que é colocada no
| interior de um túnel de vento (túnel aerodinâmico). Nesse
| recinto, o modelo permanece estático e o vento é direcio-
| nado rapidamente sobre ele. Com isso consegue-se repro-
¿duzir as condições do veículo em movimento. Por meio de
| um monitoramento bem elaborado, é possível determinar
| a intensidade e a direção das forças que agem sobre o
veículo em teste e, se necessário, corrigir sua forma, de
modo a obter o melhor rendimento possível.
Historicamente, foram os irmãos Wright que, em
1901, construíram o primeiro túnel aerodinâmico, com
a finalidade de testar as asas de seus “aeroplanos” nos
primórdios da aviação. Hoje em dia, há várias outras si- a 3
tuações em que os túneis aerodinâmicos são utilizados:
RAPHAEL GAILLARDE/GAMMA-OTHER IMAGES
A Para minimizar a resistência do ar, a
projetos de mísseis, testes de veículos ferroviários e aerodinâmica dos automóveis é testada em
rodoviários, efeitos dos ventos em prédios, pontes, linhas túneis de vento, que simulam o movimento
de alta tensão, antenas etc. relativo entre o veículo e o ar.
EU NÃO SOU um
TÚNEL DE VENTO!
1999 BILL AMEND/DIST. BY ATLANTIC
SYNDICATION/UNIVERSAL PRESS
SYNDICATE
5, Velocidade limite
> .
Considere um corpo em queda livre no vácuo. A única força atuando é o peso P, e seu movimento
é uniformemente acelerado, com velocidade crescente. Porém, se o corpo cair r no ar, devido à força de
resistência R sua velocidade não será sempre crescente. A força resultante de Pe R tem intensidade:
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
F=P-R
R=P-kv?
R diminui à medida que aumenta v, pois R = kv? aumenta.
Vácuo Ar Av a=g
R
Vácuo
plo Nelocidade limite
a=g i a = 0 (MU)
F Te Ar
P pd .
0 t
Figura 8. No ar, devido à força de resistência R, a Figura 9. No vácuo, a velocidade é sempre
aceleração diminui até chegar a zero, quando então crescente. No ar, após certo intervalo de
a velocidade de queda permanece constante. tempo, ela atinge o valor limite v,.
“234 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Assim, à medida que R cresce com a velocidade, a resultante F decresce e a aceleração a é cada vez
menor: a velocidade tende para um valor limite v, ao mesmo tempo que … tende a zero.
Essa velocidade vy, chamada velocidade limite, é, em muitas situações, rapidamente atingida na
queda de um corpo no ar: é o caso da queda de gotas de chuva e de flocos de neve.
Quando atinge a velocidade limite, o corpo adquire movimento uniforme,
Esse fenômeno é utilizado no salto de pára-quedas. A face côncava do pára-quedas dirigida contra
o ar aumenta consideravelmente o coeficiente k, de modo que é elevada a intensidade da força de
resistência R. Assim, rapidamente R equilibra o peso P atingindo a velocidade limite, que se mantém
constante na queda.
Para o cálculo da velocidade limite devemos impor F = O, isto é, R = P.
O pára-quedas |
Os pára-quedas é um dispositivo que, aproveitando o efeito da resistência do ar, tem a finalidade de
frear em pouco tempo o movimento de um corpo que se desloca nesse meio. Geralmente é utilizado
para impedir que um corpo caia muito depressa, mas também é empregado para reduzir a velocidade de
veículos que se deslocam horizontalmente, como jatos que pousam em porta-aviões e dragsters (veículos
de corrida capazes de grandes acelerações em pequenos percursos).
Embora o primeiro salto com pára-quedas tenha sido realizado em 1797, por muito tempo o dispositivo
se manteve como simples diversão. Apenas na Primeira Guerra Mundial é que ele se tornou um eficiente
equipamento de segurança, livrando muitos aviadores alemães e ingleses das consequências de aciden-
tes aéreos. Hoje, são usados em salvamentos, no lançamento de tropas, no envio de suprimentos para
regiões de difícil acesso etc. Além disso, existe atualmente uma atividade esportiva baseada no seu uso:
o pára-quedismo.
Os pára-quedas mais antigos apresentam um formato que lembra o de um guarda-chuva, feito de go-
mos de tecido resistente e flexível ligados a um sistema de cordéis e correias de suporte de carga. Com o
desenvolvimento da indústria, foram criados novos modelos, com materiais mais resistentes e seguros.
Quando o pára-quedista chega ao chão, o impacto equivale a um salto livre de uma altura aproximada
de 2,6 m. Sendo assim, é preciso treinamento para que a pessoa saiba como amortecer esse impacto e
consiga se livrar rapidamente dos cordéis e das correias para não ser eventualmente arrastada. Os “mer
gulhadores aéreos”, que fazem dos saltos uma arte, descem em queda livre por centenas de metros,
controlando a velocidade e a direção da queda pela contração e distensão do corpo. Entretanto, por razões
de segurança, os pára-quedistas amadores são obrigados a abrir seus pára-quedas quando se encontram
a pelo menos 670 metros de altura em relação ao solo.
STEVE FITCHETT/TAXI-GETTY IMAGES
A Como pára-quedas fechado, a velocidade do pára-
quedista vai aumentando e, conseguentemente,
aumenta a intensidade da força de resistência do
ar, até atingir a velocidade limite. Observe que
l os pára-quedistas se dispõem paralelamente ao A Ao abrir o pára-quedas, os pára-quedistas passam
f solo. Com isso aumentam a área de seus corpos, a cair em movimento retardado até atingir a nova
perpendicularmente à direção do movimento. velocidade limite, bem inferior à primeira.
SŘ
esosresssessesussasersoucsesescaroseosessoscoeceereoesserosezsoseesossnesoneseseseesesereotsosesesoseeoossoresee pocecsuucuessooaesecosoneseszeseosseaso "es
Capítulo 12 e Forças DE ATRITO 235º
SUPERSTOCK/KEYSTONE
Q ue
Exercício
“resolvido
Um homem e seu pára-quedas têm massa total de 100 kg. A força de resistência do ar tem intensidade:
po
2
R = kv’, sendo k = 40 Ns.
m
Adote g = 10 m/s” e determine a velocidade limite de queda.
Solução:
O sistema adquire velocidade limite v, quando R = P.
Sendo R = kei? e P = mg, vem: ki? = mg >
Ns?
7» temos:
100 - 10
“vao >
Para m = 100 kg, g = 10 m/s°e k = 40
Resposta: 5 m/s
© 1899 Universal Press Syndicate www.uaxpress.com |-3O
1999 STEVE MOORE/DIST. BY ATLANTIC SYNDICATION/UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
“Aaaah! Eu perdi as lentes de contato! Ajudem-me a encontrá-las!”
P.273 Um automóvel de massa total 1.000 kg desloca-se num trecho retilíneo. A força máxima que o motor do carro
pode exercer é 1.800 N. Admita que as forças de resistência ao movimento do carro se reduzam praticamente à
resistência do ar R, dada por R = 1,522, sendo v a velocidade do carro medida em metros por segundo e R em
newtons. Calcule a velocidade limite do automóvel nessas condições.
P.274 Uma esfera parte do repouso, em queda vertical no ar. A força resultante que age na esfera durante sua queda
tem intensidade F}, que varia com a velocidade escalar v segundo a relação: Fr = 50 — 2,07”, para v em metros
por segundo e Fk em newtons. Após certo tempo, a esfera passa a realizar movimento de queda uniforme.
Calcule a velocidade limite que a esfera atinge.
e 236 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19-defevereiro de 1998.
P.275. (UnB-DF) No salto de pára-quedas, como ilustra o desenho ao lado, o
eefe
P.276
P.277
P.278
P.279
pára-quedista é acelerado durante um certo intervalo de tempo, até
atingir uma velocidade da ordem de 150 km/h a 200 km/h, dependen-
do do peso e da área do seu corpo, quando, então, o pára-quedas é
aberto e o conjunto sofre uma força contrária ao movimento que o
faz desacelerar até uma velocidade constante bem menor, da ordem
de 5 km/h, que permite uma aterrissagem tranquúila.
Com o auxílio dessas informações, julgue os itens abaixo, indicando
os certos e os errados.
D Em um salto normal, conforme o descrito, a aceleração resul-
tante sobre o pára-quedista, imediatamente antes de ele tocar o
solo, é igual à aceleração da gravidade.
2) No momento em que o pára-quedista deixa o avião, sua veloci-
dade inicial vertical de queda é nula e, nesse caso, a única força
vertical que age sobre o seu corpo é a gravitacional.
3) Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s” e des-
prezando a resistência do ar, o pára-quedista que salta do avião
e mantém o pára-quedas fechado por 10 s atinge, ao final desse
período, uma velocidade de 36 km/h.
4) Do instante em que o pára-quedas abre completamente até a che-
gada ao solo, o conjunto é desacelerado pela resistência do ar;
nessa situação, a força contrária ao movimento é sempre maior
ou igual à força da gravidade.
Exercícios propostos HM
de recapitulação
Nos exercícios a seguir, quando não forem especificados, os coe-
ficientes de atrito estático e dinâmico deverão ser considerados
iguais.
Um caixote de peso 80 N, inicialmente em repouso sobre o solo
horizontal, é empurrado por uma força F também horizontal, de
intensidade 24 N. Determine a velocidade que o caixote adquire ao
fim de 10 s, sabendo que o coeficiente de atrito entre o caixote e o
solo é 0,25 (use: g = 10 m/s”).
(EEM-SP) Um garçom faz escorregar sem tombar, pelo balcão, uma
garrafa de cerveja até que ela pare em frente a um freguês a 5,0 m
de distância. Sabendo-se que o coeficiente de atrito entre o balcão
e a garrafa vale 0,16 e que a aceleração local da gravidade deve ser
tomada como 10,0 m/s”, pede-se determinar a velocidade inicial
imposta à garrafa pelo garçom.
(Vunesp) A figura ilustra um bloco A, de massa m, = 2,0 kg, atado a
um bloco B, de massa m; = 1,0 kg, por um fio inextensível de massa
desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre cada bloco e a
mesa é u. Uma força F = 18,0 N é aplicada ao bloco B, fazendo com
que ambos se desloquem com velocidade constante.
Considerando g = 10,0 m/s”, calcule:
a) o coeficiente de atrito p; b) a tração T no fio.
Dois blocos A e B, apoiados sobre uma superfície horizontal, estão
inicialmente em repouso e possuem massas iguais a 10 kg. Uma
força horizontal F de intensidade 60 N é aplicada ao bloco À, con-
forme a figura. O coeficiente de atrito entre os blocos e a superfície
é u = 0,20. Adote g = 10 m/s”. Determine:
a) a aceleração que os blocos adquirem;
b) a intensidade da força que A exerce em B.
esoses eessossusnorousasesssesosseososssooceceessosesososeosoossoosesecsoasezesceevsssessossensessasosorososossssonaocsoscossesuscscerososessonesosesesses
CapiTuLo 12 © FORÇAS DE ÅTRITO
P.285 (ITASP) Os blocos A e B da figura têm massa m. O coeficiente de atrito entre todas as superfícies é u. À força F
F, F,
imprime ao bloco B da figura (D) velocidade uniforme. Calcule as relações F e F , nas quais F, é a força indi-
1 1
cada na figura (ID) e F; é indicada na figura (IID, para que o bloco B nessas figuras tenha velocidade constante.
(1) (1) (UI)
e —
Hg
=
=”
[a
tri
P.286 (UFJF-MG) Um apagador, de massa 0,05 kg, inicialmente em repouso, é pressiona- Quadro-negro
do contra um quadro-negro por uma força horizontal constante F, como mostra
a figura. O coeficiente de atrito estático entre o apagador e o quadro é0,4€e o
coeficiente de atrito cinético é 0,3.
a) Desenhe o diagrama de forças para o apagador, identificando e escrevendo
explicitamente os pares ação-reação (isto é, pares da terceira lei de Newton)
nos corpos em que eles atuam.
b) Calcule f, o valor mínimo da força F que se deve fazer no apagador para que
ele não caia. Apagador
c) Calcule a aceleração do apagador se F = £ . Qual é a aceleração se F = 2f? Parede
P.287 (Vunesp) Um caixote de massa 20 kg está em repouso sobre a carroceria de um caminhão que percorre uma
estrada plana, horizontal, com velocidade constante de 72 km/h. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico,
entre o caixote e o piso da carroceria, são aproximadamente iguais e valem u = 0,25. (Use g = 10 m/s?)
a) Qual é a intensidade da força de atrito que está atuando no caixote? Justifique.
b) Determine o menor tempo possível para que esse caminhão possa frear sem que o caixote escorregue.
P.288 Um objeto de massa m = 1,2 kg parte do repouso em queda vertical, de uma grande altura, numa região onde
g=10 m/s. A força de resistência do ar tem intensidade R = 3,0 - v, para R em newtons e v em m/s.
a) Represente as forças que agem no objeto durante a queda.
b) Calcule a velocidade limite que o objeto atinge.
4 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Testes
z propostos
2
5
Ê | (Uerj) Um bloco de madeira desloca-se sobre à (UFBA) Um corpo de massa m, inicialmente em
T uma superfície horizontal, com velocidade cons- repouso sobre um plano horizontal rugoso, ad-
tante, na direção e sentido da seta, puxado por quire movimento retilíneo uniforme sob a ação
uma pessoa, conforme a figura abaixo. de uma força constante F, paralela ao plano e de
módulo igual à metade do peso do corpo. Sendo
g o módulo da aceleração da gravidade local, é
correto afirmar que:
01) sobre o corpo em movimento, atua uma
força resultante de direção horizontal.
02) o coeficiente de atrito dinâmico, para o par
de superfícies em contato, é 0,5.
04) a resultante das forças que o corpo aplica
. , 5
A resultante das forças que a superfície exerce sobre o plano tem módulo igual a -z m8.
sobre o bloco pode ser representada por:
0 a força de atrito estático máxima, para o par
a) o) 8) ç p p
de superfícies em contato, tem o módulo
menor do que o de F
| 16) duplicando-se o módulo de FE o módulo
| da força de atrito cinético fica reduzido à
b) d) | metade.
| Dê como resposta a soma dos números associa-
j dos às proposições corretas.
seres CDCLNO RALIS RO ONCE OUR SEDORONTLCS ELLE OLSALTLOLA LELLO ACE OLOLLONCLCNONNC ODDS NC DOLAR USC DUTRA AU Ra Cen E Uo noso ns once cao san
Carítuio 12 + Forças DE ATRITO 239º
(Fatec-SP) F eF, são forças horizontais de inten-
sidade 30 N e 10 N, respectivamente, conforme a
figura.
Sendo a massa de A igual a 3 kg, a massa de B
igual a 2 kg, g = 10 m/s? e 0,3 o coeficiente de atri-
to dinâmico entre os blocos e a superfície, a força
de contato entre os blocos tem intensidade:
a) 24N Db) 30N ð 40N d10N e) 18N
(Ufal) Uma força F horizontal e de intensidade
30N é aplicada num corpo À de massa 4,0 kg, preso
a um corpo B de massa 2,0 kg que, por sua vez, se
prende a um corpo C.
O coeficiente de atrito entre cada corpo e a superfi-
cie horizontal de apoio é 0,10 e verifica-se que a ace-
leração do sistema é, nessas condições, 2,0 m/s”.
Adote g = 10 m/s? e analise as afirmações.
01) A massa do corpo C é 5,0 kg.
02) A tração no fio que une 4 e B tem módulo
18N.
04) A força de atrito que age no corpo À tem
módulo 4,0 N.
08) A tração no fio que une B a C tem módulo
8,0 N.
16) A força resultante no corpo B tem módulo
4,0 N.
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as afirmativas corretas.
* (Efoa-MG) Dois
blocos idênticos,
ambos com mas-
sa m, são liga-
dos por um fio
leve, flexível.
Adotar g = 10 m/s”. A polia é leve e o coeficiente
de atrito do bloco com a superfície é u = 0,2. A
aceleração dos blocos é:
a) 10 m/s” 9 5 m/s
b) 6 m/s? d) 4 m/s?
e) nula
(Mackenzie-SP) Sobre uma superfície plana e ho-
rizontal, um bloco A, de massa m,, desloca-se em
MRU (movimento retilíneo uniforme) no sentido
indicado na figura a seguir.
Movimento
Pe
Esse corpo faz parte do conjunto ilustrado, no
qual as polias e os fios são considerados ideais
e a massa do corpo B é ma. Nessas condições,
podemos dizer que o coeficiente de atrito ciné-
tico entre a base inferior do corpo A e a referida
superfície plana é:
a) zero 9u= Ma ) u= ms
ma 2m,
2m
b y=- 72 dpm
ma 2ma
(UFF-RJ) Um pano de prato retangular, com 60 cm
de comprimento e constituição homogênea, está
em repouso sobre uma mesa, parte sobre sua
superfície, horizontal e fina, e parte pendente,
como mostra a figura.
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático
entre a superfície da mesa e o pano é igual a 0,5
e que o pano está na iminência de deslizar, pode-
se afirmar que o comprimento L da parte sobre a
mesa é:
a) 40 cm
b) 20 cm
c) 15 cm
d) 60 cm
e) 30 cm
(Mackenzie-SP) Uma esteira rolante, inclinada
de 18º, é utilizada para transportar grandes
caixas, de massas iguais a 100 kg cada uma. Seu
deslocamento dá-se com velocidade constante
de 0,96 m/s, conforme mostra a figura abaixo. O
menor coeficiente de atrito estático entre as ba-
ses inferiores das caixas e a esteira, necessário
para que elas não deslizem, é:
a) 0,104 co) 0,325
b) 0,309 d) 0,618
e) 0,951
(UEL-PR) Um pequeno bloco de granito desce por
um plano inclinado de madeira, que forma um
ângulo 6 com a horizontal. O coeficiente de atrito
dinâmico entre o granito e a madeira é 1 e a ace-
leração local da gravidade é g. Nessas condições,
a aceleração do movimento do bloco é dada por:
a) g: (sen 9 — u-cos6) d) g:sen6
b) g- (cos 9 — u > sen 8) e) g
c) g- cos6
esensrososesesessscosesesoscsacuvososonosovonossovoosossosssoesoesssusosesasnosossesseseooovosesoousevosesoseseseosssscesesososvssessvesszoresanonssesss
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(Olimpíada Brasileira de Física) Um bloco des- | A v (km/h)
liza sobre um plano inclinado com atrito (ver 120
figura). No ponto A, a velocidade é v, = 2 m/s, |
e no ponto B, distando 1 m do ponto A ao longo
e
do plano, vg = 3 m/s. y
=
ooo |
Dados: | O
sen 60° = v3 | 0 20 40 60 80 100 120 140 t(s)
2
1 |
cos 60º = — | O coeficiente de atrito estático entre as caixas e a
2 carroceria do caminhão é yu = 0,1. Qual das figuras
g = 10m/s abaixo melhor representa a disposição das caixas
S sobre a carroceria no final do movimento?
Obtenha o valor do coeficiente de atrito cinético
entre o bloco e o plano.
a V3 TES 9 3-5
DË al
|
: (Uesb-BA) O bloco A, de massa 5,0 kg, sobe o pla-
no inclinado representado na figura abaixo com
velocidade constante de 2,0 m/s. O coeficiente
de atrito entre o bloco 4 e o plano inclinado
vale 0,50. (Dados: sen 37º = 0,60; cos 37º = 0,80;
g = 10m/s*)
(Unifesp) Em um salto de pára-quedismo, iden-
tificam-se duas fases no movimento de queda
do pára-quedista. Nos primeiros instantes do
movimento, ele é acelerado. Mas devido à força
de resistência do ar, o seu movimento passa
rapidamente a ser uniforme com velocidade v,,
com o pára-quedas ainda fechado. À segunda
fase tem início no momento em que o pára-que-
das é aberto. Rapidamente, ele entra novamente
Nessas condições, a massa do bloco B, em kg,
| em um regime de movimento uniforme, com
|
vale:
a) 10 b80 60 D50 e 40
* (UFJF-MG) Um caminhão é carregado com duas
caixas de madeira, de massas iguais a 500 kg, con-
forme mostra a figura.
velocidade v,. Supondo que a densidade do ar é
constante, a força de resistência do ar sobre um
corpo é proporcional à área sobre a qual atua a
força e ao quadrado de sua velocidade. Se a área
efetiva aumenta 100 vezes no momento em que
o pára-quedas se abre, pode-se afirmar que:
O caminhão é então posto em movimento
numa estrada reta e plana, acelerando até a) 2 -0.08 9 D -015 e) » -03
adquirir uma velocidade de 108 km/h e depois v i v ' U ,
é freado até parar, conforme mostra o gráfico. V> Vz
i + = = = 0,21
(Use g = 10 m/s?) b) v 0,1 D v 0,
Carituto 12 * FORÇAS DE ATRITO 241º
cios resolvidos
Um bloco de massa m = 5,0 kg desloca-se na horizontal sob Movimento
ação da força F de intensidade F = 50 N, como mostra a figura.
O coeficiente de atrito entre o bloco e o solo é u = 0,40. Consi-
derando g = 10 m/s”, determine a aceleração do bloco. (Dados:
sen 9 = 0,60; cos 6 = 0,80.)
Solução:
As forças que agem no bloco estão representadas na figura ao lado. Movimento
Vamos, inicialmente, decompor a força F nas forças componentes
F, (horizontal) e F, (vertical). No triângulo destacado, temos:
F;
cos 0 = F > F, =F- cos8 > F. = 50. 0,80 => F,=40N
F,
sen 8 = F > F,=F:senð > F, = 50- 0,60 > F,=30N
Como o movimento é horizontal, as forças verticais têm resultante
nula. Portanto:
Rt F =P = KA+F, = mg => Fy + 30=5,0-10 > A= 20N
Estando o bloco em movimento, podemos escrever:
fa = UFEN > fa = 0,40 20 > f = 80N
Pela equação fundamental da Dinâmica, temos:
n — fe = ma > 40-80=50-a » (a= 64m]
Resposta: 6,4 m/s?
É O bloco À está apoiado sobre o carrinho B, que se movimenta com ace-
leração constante de módulo a = 2,0 m/s”. Para que o bloco A não se
movimente em relação ao carrinho B, qual deve ser o coeficiente de
atrito mínimo entre as superfícies de A e B? Considere g = 10 m/s”.
De]
Solução:
O bloco A não se movimenta em relação ao carrinho B e, portanto,
sua aceleração, em relação ao solo, é também a = 2,0 m/s”. As
forças que agem em À estão mostradas ao lado. Observe que é NA
a força de atrito que acelera o bloco A. O mínimo coeficiente de F
atrito corresponde ao bloco A na iminência de escorregar, isto é: ps
fa. = UA,
Mas: fa = m,a e Fy = P, = mg
Substituindo na primeira equação, vem:
a 2,0
= u> > Ls = 0,20
ma Sur mg = H g H 10
Resposta: 0,20
É Na figura, os fios e as polias são ideais e os corpos 4 e B, de
massas m, = 1,0 kg em, = 6,0 kg, respectivamente, são abando-
nados do repouso. Determine o módulo da aceleração a, do bloco
A e o módulo da aceleração ds do bloco B. (Use g = 10 m/s?)
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
Analisemos separadamente os corpos À e Be a polia móvel.
Da polia móvel ideal concluímos que:
T
27" =TouT=—
2
me > > . . E
Vamos adotar para as acelerações a, e a; os sentidos indi-
cados na figura. Se os módulos das acelerações resultarem
positivos, significa que os sentidos adotados são os corretos.
A equação fundamental da Dinâmica aplicada aos corpos A e —
B fornece: da
Corpo A: Corpo B:
T- P, = m,a, Pa — T = mgāg
T- m,g = m,a, ms8 — 2 = Mpdp
T-1,0-:10=1,0-a, 60-10- 5 =60-a,
T-10-a O 120 - T= 12a; ©
Somando membro a membro O e ©, vem: 110 = a, + 12a,
Mas sendo a; = 2a, (veja quadro a seguir), vem:
110 = a, + 12: 2a, = 25a, = 110 = | a, = 4,4m/s? | e | ag = 8,8 m/s?
Resposta: a, = 4,4 m/s?; a, = 8,8 m/s?
— =>
Relação entre os módulos das acelerações a, e az
Considere o sistema em dois instantes Sejam d, e d os módulos dos deslocamentos
het: de Ae Bentre os instantes considerados.
Como o fio é inextensível, podemos escrever:
L+tL+L=L-dtL- d, +h +d; >
> d; = 2d,
Portanto o bloco B sofre um deslocamento de
módulo igual ao dobro do módulo do desloca-
mento de A no mesmo intervalo de tempo. Isso
significa que, em cada instante, o módulo da velo-
cidade de B é o dobro do módulo da velocidade de
A, o mesmo acontecendo com as acelerações:
V= 2v, € a= 2a,
a Exercicios
ropostos
P.289 O bloco da figura, de peso 187 N, move-se com velocidade , F=100N
constante no sentido indicado. Sendo sen 60° = 0,87 e Movimento s
cos 60° = 0,50, determine: poya
a) a intensidade da força de atrito que o solo exerce no bloco;
b) o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o solo.
P.290 Um bloco A de massa 2,0 kg repousa sobre um segundo
bloco B de massa 4,0 kg. O coeficiente de atrito entre os
blocos é igual a 0,40. Entre o bloco B e o solo não existe
atrito. Qual a máxima intensidade da força horizontal F
que podemos aplicar em B, de modo que os blocos 4 e B se
movimentem sem escorregar um em relação ao outro? (Use
g = 10m/s”)
Carítuio 12 © FORÇAS DE ATRITO 243 º
Q uva |
P.291 (Vunesp) Dois blocos, A e B, com À colocado sobre B, estão em movimento
sob ação de uma força horizontal de 4,5 N aplicada sobre 4, como ilustrado
na figura.
Considere que não há atrito entre o bloco B e o solo e que as massas são
respectivamente m, = 1,8 kg em, = 1,2 kg. Tomando g = 10 m/s”, calcule:
a) a aceleração dos blocos, se eles se locomovem juntos.
b) o valor mínimo do coeficiente de atrito estático para que o bloco À não
deslize sobre B.
P.292 (Unifesp) À figura representa uma demonstração simples que costuma ser
usada para ilustrar a primeira lei de Newton.
O copo, sobre uma mesa, está com a boca tampada pelo cartão c e, sobre
este, está a moeda m. À massa da moeda é 0,010 kg e o coeficiente de atrito
estático entre a moeda e o cartão é 0,15. O experimentador puxa o cartão com
a força F horizontal, e a moeda escorrega do cartão e cai dentro do copo.
a) Represente todas as forças que atuam sobre a moeda quando ela está escorregando sobre o cartão puxado
pela força F. Nomeie cada uma das forças representadas.
b) Costuma-se explicar o que ocorre com a afirmação de que, devido à sua inércia, a moeda escorrega e cai
dentro do copo. Isso é sempre verdade ou é necessário que o módulo de F tenha uma intensidade mínima
para que a moeda escorregue sobre o cartão? Se for necessária essa força mínima, qual é, nesse caso, o seu
valor? (Despreze a massa do cartão, o atrito entre o cartão e o copo e admita g = 10 m/s?,)
P.293 (UnB-DF) O coeficiente de atrito estático entre os blocos À e B, montados como mostra a figura abaixo, é de 0,9.
Considerando que as massas dos blocos A e B sejam, respectivamente, iguais a 5,0 kg e 0,4 kg e queg = 10 m/s”,
calcule, em newtons, o menor valor do módulo da força F para que o bloco B não caia. Despreze a parte fracio-
nária de seu resultado, caso exista.
Es A
|
ad
A
as
3
|
Superfície sem atrito
7777
P.294. Na figura, os fios e as polias são ideais e não há atrito entre o corpo A e o plano horizontal. Os corpos À e B,
de massas m, = 0,50 kg e m, = 2,0 kg, respectivamente, são abandonados do repouso. Determine os módulos
das acelerações de A e de B. (Use g = 10 m/s?)
Elite
P.295 (UFPE) Uma vassoura, de massa 0,4 kg, está posicionada sobre um piso horizontal como indicado na figura. Uma
força, de módulo Fé aplicada para baixo ao longo do cabo da vassoura. Sabendo-se que o coeficiente de atrito está-
. : 3 1 a
tico entre o piso e a base da vassoura éu, = 3’ calcule F, em newtons, para que a vassoura fique na iminência de se
deslocar. Considere desprezível a massa do cabo, quando comparada com a base da vassoura. (Use g = 10 m/s”)
“244 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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jam
C] Testes
propostos
(Unifesp) Suponha que um comerciante ines-
crupuloso aumente o valor assinalado pela sua
balança, empurrando sorrateiramente o prato
para baixo com uma força Fde módulo 5,0 N, na
direção e sentido indicados na figura.
Dados:
sen 37° = 0,60
cos 37° = 0,80
Com essa prática, ele consegue fazer com que
uma mercadoria de massa 1,5 kg seja medida por
essa balança como se tivesse massa de:
a) 3,0 kg d) 1,8 kg
b) 2,4 kg e) 1,7 kg
c) 2,1 kg
(UFSC) Um homem empurra uma mesa com
uma força horizontal F da esquerda para a di-
reita, movimendo-a neste sentido. Um livro
solto sobre a mesa permanece em repouso em
relação a ela.
Esquerda Direita
Considerando a situação descrita, assinale a(s)
proposição(ões) correta(s).
01) Se a mesa deslizar com velocidade constan-
te, atuarão somente as forças peso e normal
sobre o livro.
02) Se a mesa deslizar com velocidade constante,
a força de atrito sobre o livro não será nula.
04) Se a mesa deslizar com aceleração constan-
te, atuarão sobre o livro somente as forças
peso, normal e a força F
08) Se a mesa deslizar com aceleração constan-
te, a força de atrito que atua sobre o livro
será responsável pela aceleração do livro.
16) Como o livro está em repouso em relação à
mesa, a força de atrito que age sobre ele é
igual, em módulo, à força F
32) Se a mesa deslizar com aceleração constan-
te, o sentido da força de atrito que age sobre
o livro será da esquerda para a direita.
Dê como resposta a soma dos números associa-
dos às proposições corretas.
| (UEL-PR) Dois blocos A e B, com massas res-
pectivamente iguais a m, = 4,0 kg e mp = 2,0 kg,
estão unidos conforme mostra a figura a seguir.
O fio que prende o corpo À tem a outra extremi-
dade presa a um pino fixo no chão. Despreze as
massas dos fios e da roldana, considere que não
há atritos e que a intensidade da força aplicada
em B é 36 N. Lembrando que, na situação esque-
matizada, a aceleração do corpo A será igual ao
dobro da aceleração do corpo B, a tração no fio,
em newtons, será igual a:
a) 20 b) 16 gu d) 8,0 40
(FEI-SP) Na figura, os fios e as polias são ideais e
os corpos (1) e (2) de mesma massa M são aban-
donados do repouso. Considere g = 10 m/s”.
As acelerações a, do bloco (1) e a, do bloco (2)
têm valores:
a) a, = 4 m/s? para baixo e a, = 2 m/s” para
cima.
b) a, = 4 m/s” para cima e a, = 2 m/s” para
baixo.
O q = 2 m/s” para baixo e a, = 4 m/s” para
cima.
d) a, = 2 m/s” para cima e a, = 4 m/s” para
baixo.
e) Os dois blocos têm o mesmo valor de acelera-
ção, mas de sentidos opostos.
(UFSCar-SP) No siste-
ma de roldanas sim-
ples, sem massa, sem
atrito, e fio flexível,
ideal, sem massa, se
M >> m, o valor mais
aproximado da tensão
Tno fio é:
a) T = Mg
b) T= mg
c) T = zero
d T= M+m
2
e) T = 2mg
eeensasososassvozsessosocssessosevevovosesponvonononosossasnoovoonssnosossessuesseverssevassaseresessesoressssososessoesovsuosssoosssresssrosessessoaeses
CapiTULO 12 e FORÇAS DE ATRITO
245°
Atividade |
gradativamente (aumentando o ângulo 8). Quando o corpo estiver na iminência de movimento, meça as distâncias h e
d indicadas na figura.
e a prancha de madeira.
| (Fuvest-SP) Os corpos 4, Be Ctêm massas iguais. | (D aD
Um fio inextensível e de massa desprezível une o | a) 310 N para cima 190 N para cima
corpo Cao B, passando por uma roldana de mas- | b) 310 N para cima 310 N para baixo
sa desprezível. O corpo À está apoiado sobre o | c) 499 N para cima 373 N para cima
B. Despreze qualquer efeito das forças de atrito. | d) 433 N para cima 60 N para cima
O fio fmantém o sistema em repouso. e) 310 N para cima 190 N para baixo
(Cesgranrio-RJ) Em um referencial inercial, um
bloco de madeira está em equilíbrio sobre um
plano inclinado, como mostra a figura.
Horizontal
Logo que o fio fé cortado, as acelerações a,, ape
aç dos corpos 4, Be C serão:
Assinale a opção que representa corretamente,
no modelo de partícula, a força exercida pelo plano
sobre o bloco:
a) a =0 a= $ a= É | a) d
b a= É as 5 a= $ |
g g | a
=0 = 2 = 2 |
c) a, ag 3 ac 3 |
Da, =0 ap = $; ac=g | Horizontal Horizontal
g g g |
= 2 = 2 = 2 |
Du=) e= Tg | b) e)
: (Vunesp) Um plano inclinado faz um ângulo de |
30º com a horizontal. Determine a força cons- - -
Horizontal Horizontal
tante que, aplicada a um bloco de 50 kg, parale-
lamente ao plano, faz com que ele deslize:
I. para cima, com aceleração de 1,2 m/s”;
Il. para baixo, com a mesma aceleração de 1,2 m/s’.
9
Despreze o atrito do bloco com o plano e adote
g= 10 m/ž. l Horizontal
experimental
Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Determinação do coeficiente de atrito estático
Coloque um corpo não muito liso sobre uma prancha de madeira, como mostra a figura. Vá inclinando a prancha
Calcule em seguida o valor da tangente do ângulo 6: tg O = 2
O valor obtido é o coeficiente de atrito estático u, entre o corpo
Demonstre que tg 0 = u,-
Passe óleo na madeira e calcule novamente u.. O resultado obtido
é maior ou menor? Por quê?
Use outros corpos sobre a prancha e repita a experiência. Explique a
razão de os resultados obtidos serem diferentes.
Seria possível calcular o coeficiente de atrito dinâmico com esse
dispositivo? Explique.
Coro nera Cane ca as raso n Tron sont noso n sas CONOLONONCANACULOLONLEDIDATILOLEOUNUCULAD TEC UCLO LONA ADLONO DOOR LOOAOUON LEVA OLE ONO ROLO NOUS SA
° 246 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A F nosso Mundo
O freio ABS
O fato de o coeficiente de atrito estático (m) ser maior que o dinâmico (u4) implica um fator de segurança
para os veículos. Imagine que um automóvel, deslocando-se com velocidade v numa pista horizontal, seja
freado. Se as quatro rodas forem travadas, o coeficiente de atrito é o dinâmico. A força resultante que age
no veículo é a força de atrito dinâmico que o chão exerce nos pneus:
fa = Hafyu= Ma > yamg = ma > a= pg
Considerando a equação de Torricelli, podemos calcular a distância d, que o veículo percorre, com as rodas
travadas, até parar.
De v? = vå + 2aAs e sendo v = 0, AS = d, e a = ~y * g, vem:
0 = vo — 2uagd, =
Se, entretanto, o veículo possuir freio ABS (anti-lock braking system), as rodas continuam girando durante
o freamento, sem derrapar e na iminência de escorregamento. O coeficiente de atrito é o estático e a distância
vo
24.9
Sendo u, > La vem à < d, isto é, com freio ABS o carro freia percorrendo uma distância menor até parar.
percorrida será d, =
No caso de dois carros, o primeiro com freio convencional e o segundo com freio ABS, temos, para uma
velocidade inicial de 50 km/h e considerando o asfalto seco, as seguintes distâncias percorridas: 13,5 m e
11,5 m. Para uma velocidade de 100 km/h essas distâncias valem, respectivamente, 53 m e 45 m.
| Teste sua leitura
L19 (PUC-RJ) Um motorista freia o seu carro até A força responsável pela desaceleração
f que ele fique em repouso. Que força faz o carro do veículo é a força de atrito estático.
parar? II. Dois veículos se deslocam paralelamen-
te na mesma estrada retilínea e com a
mesma velocidade vp. Um dos veículos
possui freios convencionais e o outro,
a) À força do solo sobre os pneus.
b) A força dos freios sobre as rodas.
c) À força dos freios sobre o motor.
d) A desaceleração do motor produzida pela freios ABS. Em certo instante os veículos
ação dos freios. freiam. O veículo com freios conven-
e) A força de resistência do ar. cionais percorre uma distância d, até
parar, enquanto que o outro pára após
L.20 Analise as proposições: percorrer a distância d,. Sendo uy e He OS
I. Em um veículo, com freios convencio- coeficientes de atrito dinâmico e estático,
nais, as rodas travam durante a freada. respectivamente, entre os pneus e o solo,
Há movimento relativo entre os pneus pode-se afirmar que: d * pa = d,* He
e o solo. À força responsável pela desa- Tem-se:
celeração do veículo é a força de atrito a) somente le Il são corretas.
dinâmico. b) somente II e II são corretas.
I. Em um veículo, com freios ABS, as rodas c) somente le Ill são corretas.
continuam a girar durante a freada, sem d) somente I é correta.
derrapar e na iminência de escorregar. e) todas as proposições são corretas.
1. VARIAÇÃO DA DIREÇÃO DA VELOCIDADE
2. RESULTANTE CENTRÍPETA
3. RESULTANTE CENTRÍPETA E RESULTANTE TANGENCIAL
E
E Neste capítulo, fazemos uma análise da dinâmica
dos movimentos curvilíneos, nos quais a velocidade
varia em direção e, portanto, há aceleração
centrípeta. Pelo princípio fundamental da Dinâmica,
as forças que atuam no móvel devem garantir
essa aceleração para a realização do movimento
curvilíneo.
4. FORÇA EM REFERENCIAL NÃO-INERCIAL
E) 1. Variação da direção da velocidade
Se lançarmos um corpo horizontalmente, próximo à superfície da Terra, com uma velocidade inicial
de grande intensidade, da ordem de 8 km/s = 28.800 km/h, o corpo ficará em órbita circular em torno
da Terra (figura 1). Essa foi a velocidade alcançada pelos primeiros satélites artificiais, Sputnik | e Explorer |,
em 1957 e 1958. A força de atração da Terra sobre o satélite altera a direção de sua velocidade, garan-
tindo-lhe a aceleração centrípeta necessária para permanecer em órbita.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Figura 1. Para um observador na Terra, a força de atração F altera a direção
da velocidade do satélite. Esquemas sem proporção e escala.
Considere o átomo de hidrogênio. Segundo o modelo atômico proposto por Rutherford, o átomo
de hidrogênio possui um único elétron, que gira em torno de seu núcleo, constituído por um único
próton (figura 2). O próton e o elétron possuem cargas elétricas, as quais interagem exercendo forças de
campo (figura 3). A força F com que o próton atrai o elétron, altera a direção da velocidade do elétron,
mantendo-o em órbita em torno do próton (figura 4).
Elétron Elétron Elétron
` N `
t
di 9 Próton
i v
Figura 2.
Figura 3.
Figura 4.
esessosesessesuosos snononvesossoponenesosososesosossosesooseeososooneaossocsnonosossosososeocsosesorosossnesesosossopvaconovasssesososecoceosesorossoeso
248 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Considere, agora, uma bola de ferro presa a um fio e que
descreve uma circunferência horizontal (figura 5). Sobre a
bola atuam as forças peso e tração do fio, que lhe garantem a
aceleração centrípeta.
Figura 5.
@ 2. Resultante centrípeta
Pelos exemplos anteriores podemos concluir que: toda vez que um corpo descreve uma curva, sua
velocidade vetorial varia em direção. Para que isso ocorra, pelo princípio fundamental da Dinâmica, as
forças que atuam no corpo devem garantir a aceleração centrípeta.
Admita, então, que um corpo esteja realizando um movimento plano, curvilíneo e uniforme sob
> > > . . OES 2 . nm 2
ação das forças F,, Fa, ..., F, (figura 6a). Como o movimento curvilíneo é uniforme, a aceleração é cen-
trípeta, e a resultante das forças F, está orientada para o centro da trajetória (figura 6b). Pelo princípio
fundamental da Dinâmica:
Nessa fórmula, F, é a força centrípeta ou resultante centrípeta das forças A, F,, ..., F, que atuam
no corpo.
a)
Figura 6.
>
Eventualmente F., pode ser uma
única força. Nos exemplos anteriores,
F, é a força de atração gravitacional
que a Terra exerce no satélite em
órbita ou a força de atração elétrica
que o próton exerce no elétron, no
átomo de hidrogênio. No exemplo da
bola de ferro, F, é a soma vetorial das
forças de tração Te do peso P.
à No globo da morte, como o da foto, a moto não cai porque as forças
nela atuantes garantem a aceleração centripeta do movimento que
ela realiza.
Capítuio 13 © Forças Em TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS 249 °
WILLIAM WEBSTER / REUTERS-LATINSTOCK
Exercícios |
BLIAL Lo
Um pequeno bloco de massa m = 4,0 kg, preso à extremidade de um fio, descreve, sobre uma mesa horizontal
e perfeitamente lisa, um movimento circular de raio R = 0,50 m, com velocidade escalar constante v — 3,0 m/s.
Determine a intensidade da força de tração que o fio exerce no bloco.
Solução:
Às forças que agem no bloco são: o peso P, a normal F, e a força de tração TO peso e a normal se anulam e a
tração T é a resultante centrípeta. A aceleração centrípeta tem módulo:
o? - 80
RO ® 050
> ay = 18 m/s”
Pela equação fundamental da Dinâmica GA = may), podemos escrever:
T= ma, > T=40-18 >
Resposta: 72 N
Uma bola de ferro de massa m = 0,5 kg, presa a um fio inextensível de comprimento igual a 1,5 m, descreve uma
circunferência vertical de raio igual ao comprimento do fio. Quando passa pelo ponto inferior, sua velocidade
é 3 m/s. Determine a intensidade da tração do fio nesse ponto (use g = 10 m/s”).
Solução:
A resultante centrípeta Fy que atua na esfera tem intensidade igual a T — P, sendo:
P=mg=05:10>P=5N
À aceleração centrípeta tem módulo igual a:
v 3?
— > a, = 6m/s”
de CR 15 g /
Pela equação fundamental da Dinâmica:
F,=mū, > T-P=ma, > T-5=05-6 >
Resposta: 8 N
Observação:
Note que, no ponto inferior da trajetória, a força centrípeta F, é a resultante de Te P Sua intensidade é:
Fp=T-P=8-5 > E, =3N
CCO CO MOSCA TO As DA CO DA CASA DESCASO NI DOCA SA Asa nO nona ns OMC CRCNO RE nECNCADEU A UC USA OLDER OCL OSC RS SUAS COS NOnS CNN CRP ne none nd eu.
° 250 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um veículo de massa m = 600 kg percorre uma pista curva de raio R = 80 m. Há atrito de escorregamento
lateral de coeficiente q = 0,5. Adote g = 10 m/s”. Determine a máxima velocidade que o veículo pode ter para
fazer a curva sem derrapar. Considere-o um ponto material.
Solução:
As forças que atuam no veículo são a normal R, o peso
Pea força de atrito JA de escorregamento lateral. A
normal F, e o peso P se anulam iea força de atrito fe
garante a aceleração centrípeta op para o veículo fazer
a curva:
2
fa = May = mg
Pela igualdade anterior, a velocidade v é máxima quan-
do f, for máxima. O valor máximo de f, é Fn. Nessas
condições, o carro está na iminência de escorregamen-
to lateral.
2
Umáx.
Então, temos: fat, mx = mM
Mas: fa. máx — UEN — UP = umg
Portanto:
2
Substituindo nessa fórmula os valores dados no enuncia-
do, obtemos:
Uma = /0,5:80+10 = 400
Umax. = 20 m/s = 72 km/h
Resposta: 20 m/s ou 72 km/h
Observação:
É comum observar, nas corridas de automóveis, que os
carros entram numa curva por fora, tangenciam o lado
interno da curva e saem pelo lado externo da pista.
Isto é feito para aumentar o raio R da trajetória e con-
sequentemente aumentar a velocidade máxima Una
com que o carro pode fazer a curva sem derrapar, pois
U max = y HRS .
tesssasasessereseseesosassossvsrooneeecasasoresoersanarooceocasesscosasseesoeaecersessserenseereosercarassoeacespeassnrasesssesecrearrresrercaneeaeeearos
CarítuLo 13 ° FORÇAS EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS 2510
Um veículo de 1.000 kg percorre com velocidade de 90 km/h
uma curva de raio R = 100 m. À estrada é sobrelevada, isto
é, sua margem externa é mais elevada em relação à margem
interna. Adote g = 10 m/s”. Determine a tangente do ângulo
de sobrelevação 0 da pista para que a segurança do veículo
na curva não dependa do atrito.
Solução:
No exercício anterior concluímos que a velocidade de um
carro na curva depende do raio R e do coeficiente de atrito
u. Se o coeficiente de atrito entre pneu e estrada for peque-
no, a velocidade máxima diminui e a segurança do veículo é
afetada. Resolve-se essa dificuldade construindo-se estradas
sobrelevadas, como a descrita na figura ao lado. Observe
que a normal F, deixa de ser vertical. Desse modo, È, eF
adicionam-se vetorialmente e dão a resultante centrípeta
Fo tal que:
Fp = Mao
Em módulo, temos:
v
F= m R
No triângulo destacado na figura ao lado, temos:
$
mu”
F 2
tg 0 a R Ls
Sendo v = 90 km/h = 25 m/s, R = 100meg = 10 m/s”, vem:
2
tg0 = 25 0,625 > | tg0
625
100 - 10
Resposta: tg 6 = 0,625 (numa tabela trigonométrica podemos verificar que esse ângulo é 32°).
Observação:
Nesse exercício determinamos o ângulo 6 sem considerar a existência de atrito. Na prática, devido ao atrito, o
ângulo de sobrelevação é bem menor.
ORBIS-LATINSTOCK
GAVIN LAWRENCE / GETTY IMAGES SPORT
Por razões de segurança, as pistas para corridas de motos, de bicicletas
e de automóveis em circuito oval normalmente são sobrelevadas, para que
os competidores não dependam só do atrito para fazer as curvas.
CDENEDEO CONES CELAS DONA CON CACLNSALEDNO DADAS CELA CALADO ONCLNODODA OCORRIA VACAS AOC PACO A RA CA ORA a DOOU sro sacada
e 252 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um corpo descreve um movimento, num plano vertical, no interior
de uma superfície esférica de raio igual a 2,5 m. Adote g = 10 m/s”,
Determine a mínima velocidade que o corpo deve ter para não
perder contato com a superfície esférica.
Solução:
O fenômeno descrito ocorre em circos ou parques de diversões.
Um motociclista movimenta-se no interior de um globo metálico
conhecido por globo da morte. À medida que o corpo sobe,
tende a perder contato com a pista e o ponto crítico é o superior.
Considere c o corpo nessa posição superior. Nele atuam o peso Pe
a normal F, que dão a resultante centrípeta Fy
cp =
F = ma
cp
ayp > Fy +t P= may na K+P na ©
Por essa fórmula, à medida que decresce a velocidade v, dimi-
nui também a força de contato Fy, pois P, m e R são constantes.
Sendo assim, a velocidade mínima para se fazer a curva ocorre
quando Fy = 0. Observe que o corpo não cai, pois possui velo-
cidade v. Na fórmula ©, V = Va, quando Fy = 0. Sendo R = 2,5 m
eg = 10 m/s?, temos:
2
U min.
2
0+P=m 2 > m=m >
R R
F+ P= mč
R
«a| Rg U min. = y25' 10 = 25 > V= Vain PFNO
P = May
=> | Um = 5 m/s = 18 km/h Ma,
mg =—5
Resposta: 5 m/s ou 18 km/h va = Rg
Observação:
O fenômeno discutido neste exercício é muito importante. Iremos
nos referir a ele mais adiante, chamando-o de “o problema do
globo da morte”.
é Considere um cilindro vertical de raio R = 4m girando em torno
de seu eixo. Uma pessoa no seu interior está encostada na parede
interna. O coeficiente de atrito entre sua roupa e a parede do ci-
lindro é 0,5. O cilindro começa a girar com velocidade angular «o.
Quando essa velocidade atinge determinado valor, o piso horizon-
tal do cilindro é retirado e a pessoa não escorrega verticalmente.
Esse aparelho existe em parques de diversões e é conhecido por
rotor. Adote g = 10 m/s”. Determine o menor valor da velocidade
angular œ para ocorrer o fenômeno descrito.
Solução
Na pessoa atuam seu peso P, a normal F, e a força de atrito de
direção vertical, que equilibra o peso quando o piso é retirado.
À resultante centrípeta é a normal Fy:
2
U o
Fp = May = m — = moR > mor | ©
R
O menor valor da velocidade angular q, para ocorrer o fenômeno
descrito, corresponde à pessoa na iminência de escorregar. Nes-
sas condições, a força de atrito tem valor máximo ft máx) = UFy €
deve equilibrar o peso:
f.
ami = P > A EP >S (uF, = mg) ®©
Substituindo O em Q), vem:
um R=mg > q” R a o = = ess
Resposta: = 2,23 rad/s
sesononosoosonsosovsnoneuseassossoseeseocsoseereoocsoseceososessesaosesouosesencesossassusuossssuaseosesesossoorossessoscosossevessoppesoacusseressosesss
CarituLo 13 © Forças EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS 253º
Observação:
Se a velocidade angular do cilindro diminuir, pela fórmula O), Fy diminui; consequentemente, diminui a força de
atrito máxima f, máx) = LLFx- Nesse caso, a força de atrito torna-se menor que o peso, e o corpo escorrega para
baixo. Se a velocidade q crescer além do valor calculado, pela fórmula ©, a normal A, aumenta, o que acarreta
um aumento no valor da força de atrito máxima. O corpo, porém, não escorrega para cima, pois a força de
atrito é passiva; sua intensidade continua igual a P, isto é: P = fa. < firmad
Uma massa m está presa a um fio inextensível, de peso desprezível, e gira
num plano horizontal constituindo um pêndulo cônico. Se o comprimento do
fio é L = 2 meo ângulo que o fio forma com a vertical é 0 = 60º (cos 60º = 0,5),
determine a velocidade angular œ de rotação da massa m. Adote g = 10 m/s”.
Solução: K
Na massa 1 pendular atuam o peso Pea tração T A resultante centrípeta Fo éa So
soma de Pe T conforme se indica no diagrama de forças da figura I. Pela equação ER
fundamental da Dinâmica: “o.
F „= ma = Mm@R ©
cp cp
Do triângulo destacado da figura Il abaixo, vem: Entre na rede
F, F, mo’R aR
tg0 P mg = mg => tg9 = g © No endereço eletrônico
http://www.walter-fendt.
de/ph21br/carousel_br.htm
(acesso em 13/2/2007), você |
| pode fazer a análise das forças |
que agem em esferas, que reali- |
zam MCU, no movimento de um |
carrossel.
(a) (HI)
O raio R, porém, depende do comprimento L do fio. Do triângulo destacado da figura III acima, vem:
R=L-sen6 O
Substituindo © na fórmula É e considerando tg O = sen 8 , obtemos:
2 27 +. 2J e
tgo = CË OL seno send _ œL seno L o = g o
g g cos 8 g L*cos6
Substituindo os dados do problema na fórmula ®, vem: © = 3 n 5 = J10 = | = 3,2 rad/s
Resposta: = 3,2 rad/s
Observação:
Considere um pêndulo cujo ângulo 9 seja pequeno, de modo que cos 6 tende a 1.
Na fórmula (4), vem:
E 3%- j:
L -cos 8 L
= 2n 7
Então, como w = q vem: ,
E fio [romã] E
T L g
Nessas condições, o período do pêndulo cônico não depende da massa pendular mas depende do comprimento
do fio e da aceleração da gravidade local.
COM CL RCA CLEAR CUL AA DADLL ONO OAOLEBADANILAVOVUNAUDLVACA DADO ONCE OSLO OCCITANO LENCOL DOR OS ARC OS ra en ra sonda nu
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P.296
P.297
P.298
P.299
P300
Exercícios
“propostos
(EEM-SP) Um ponto material de massa m = 0,25 kg descreve uma trajetória circular de raio R = 0,50 m, com
velocidade constante e frequência f = 4,0 Hz. Calcule a intensidade da força centrípeta que age sobre o ponto
material.
(UFPel-RS) Um estudante, indo para a faculdade, em seu carro,
desloca-se num plano horizontal, no qual descreve uma trajetó-
ria curvilínea de 48 m de raio, com uma velocidade constante em
módulo. Entre os pneus e a pista, existe um coeficiente de atrito
cinético de 0,3.
Considerando a figura, a aceleração da gravidade no local, de
10 m/s”, e a massa do carro de 1.200 kg, faça o que se pede.
a) Caso o estudante resolva imprimir uma velocidade de 60 km/h
ao carro, ele conseguirá fazer a curva? Justifique.
b) A velocidade máxima possível para que o carro possa fazer
a curva, sem derrapar, irá se alterar se diminuirmos a sua
massa? Explique.
c) O vetor velocidade apresenta variações neste movimento?
Justifique.
(Udesc) À sobreelevação das pistas nas curvas de autódromos, velódromos ou mesmo em avenidas, rodovias
ou ferrovias dá mais segurança aos usuários, dificultando ou impedindo que os veículos sejam arremessados
para fora da pista, quando em alta velocidade.
Considere a seguinte situação: em um percurso de triatlo, os ciclistas precisam fazer curvas circulares sobre-
elevadas de 70 m de raio com velocidade de módulo 72 km/h.
Despreze a força de atrito e admita g = 10 m/s”.
a) Represente as forças que atuam sobre o sistema bicicleta-ciclista.
b) Qual deve ser o ângulo de inclinação da pista, nesse caso?
c) Avaliando as forças que atuam sobre o ciclista, o resultado anterior depende da massa do sistema?Justifique
sua resposta.
(UFMG) Ana está sentada em um banco de uma roda-gigante, que
gira com velocidade angular constante. Nesse movimento, Ana
passa, sucessivamente, pelos pontos P, Q, Re S, como mostrado
na figura ao lado.
Considere que a massa de Ana é 30 kg, que o raio de sua trajetória
é 5,0 m e que o módulo de sua velocidade angular é 0,40 rad/s.
Com base nessas informações:
a) Determine a força resultante — módulo, direção e sentido — so-
bre Ana quando esta passa pelo ponto Q, indicado na figura.
b) O módulo da força que o banco faz sobre Ana é maior no
ponto Q ou no ponto S$? Justifique sua resposta.
Um motociclista percorre uma trajetória circular vertical de raio
R = 3,6 m, no interior de um globo da morte. Calcule qual
deve ser o menor valor da velocidade no ponto mais alto que
permita ao motociclista percorrer toda a trajetória circular. É
dado g = 10 m/s”.
Carituto 13 © Forças EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS 255 º
O uva |
P.301 Uma pedra de 3 N de peso, amarrada a um cordel de 2,5 m de comprimento, des-
creve uma circunferência horizontal de 2 m de raio. O cordel, fixo em uma das
extremidades, gera uma superfície cônica. Determine:
a) a intensidade da força de tração do fio, em newtons;
b) a frequência f de rotação, em hertz.
Use g = 10 m/s’.
P.302 Um corpo de peso P está encostado à parede vertical de um compartimento cilíndrico de raio R, e apoiado em
seu piso. O compartimento (parede cilíndrica mais piso) passa a girar com velocidade angular crescente até
um valor œ, tal que o corpo permanece encostado à parede, na mesma posição inicial, sem escorregar, ainda
que o piso seja retirado.
a) Nessa situação, represente, por meio de um diagrama vetorial, as forças que atuam no corpo, dando suas
expressões.
b) Se a velocidade angular crescer além de œ, o corpo tende a subir? Explique.
P = ; .
c) Se o peso do corpo fosse p e não P, e a velocidade angular ainda fosse a mesma œ, haveria movimento
segundo a vertical? Justifique.
Ø 3. Resultante centrípeta e resultante tangencial
No item 2, consideramos o movimento uniforme e, portanto, a resultante das forças que agem no
corpo, orientada para o centro da trajetória. Entretanto, se a força resultante R não estiver orientada para
o centro da trajetória, o que ocorre nos movimentos curvilíneos variados (figura 7a), podemos decom-
por F, nas direções normal e tangente à trajetória (figura 7b). A resultante das forças normais à trajetória
é a resultante centrípeta F responsável pela variação da direção da velocidade V. A resultante das forças
tangentes à trajetória é a resultante tangencial F, responsável pela variação do módulo de v.
a) : b) :
‘| Normal q
` e.
` E
` O
Figura 7.
A resultante centrípeta produz a aceleração centrípeta do e a resultante tangencial produz a acele-
ração tangencial a,. Pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos:
No movimento circular uniforme F = 0 e a resultante das forças é a centrípeta.
Considere, por exemplo, um pêndulo simples. A figura 8a mostra as forças que agem na esfera no
instante em que passa pela posição A. A força de tração Ttem direção da normal à trajetória e o peso
Pé decomposto nas direções normal (P,) e tangencial (P,), conforme a figura 8b. Sendo P, = P- cos 6
e P, = P + sen 6, concluímos que as resultantes centrípeta e tangencial têm módulos: F, = T — P + cos 0 e
F=P-seno6.
o 256 Os FUNDAMENTOS DA FÍsICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Quando a esfera passa pela posição mais baixa, B, as forças Te Ptêm direção da normal à trajetória
e nesse instante, Fp = T — P e R=o (figura 9).
M
a
>
o
wW
T
e
ES
zZ
L
o
Q
I
Ê
z
Q
Q
O
2
ue
O
©
É
< A intensidade da força
no fio do pêndulo varia
conforme a posição da
massa pendular.
Figura 9.
Ba. Força em referencial não-inercial
Considere um carro numa curva de raio R. Para um observador externo fixo na estrada (referencial
inercial), o veículo tende a sair pela tangente conservando sua velocidade, pelo princípio da inércia
(figura 10a).
Para esse observador externo, as forças que atuam no veículo, peso P, normal F, e atrito de escorrega-
mento lateral f,, garantem a resultante centrípeta Ep, que altera a direção da velocidade.
a)
externo
(inercial)
Figura10.
O fenômeno, porém, é diferente para um observador no interior do próprio carro, pois este possui
aceleração em relação à estrada e, por isso, é um referencial não-inercial. Esse observador interno sente-
se atirado para fora do carro na curva e interpreta o fenômeno considerando uma força F, em relação
ao próprio carro (figura 10b). Essa força F., é chamada força centrífuga, e somente existe em relação a
referenciais não-inerciais.
Para o observador externo fixo na estrada (referencial inercial), a força centrífuga não existe.
A força centrífuga não é reação da força centrípeta.
Aforça centrífuga é uma força de inércia semelhante à força f que age no ponto material do exercício
R.97 da página 211, em relação ao observador acelerado no interior do trem.
(] Ex ios propostos
de recapitulação
P.303 A figura mostra um sistema de dois corpos de massas iguais a
0,2 kg, ligados por fios inextensíveis e de massas desprezíveis, de
0,3 m cada, girando num plano horizontal sem atrito, com veloci-
dade angular q = 4 rad/s, em torno do ponto fixo O. Determine as
intensidades das trações nos fios.
coseccscasonsas sessososvovossosecovosonosososoreveressssacecsssocsseesonsesevossossseeosoasenesessononososoassosecoesesoocsooossoseesoneopopososososaoso
CapiTuLo 13 © FORÇAS EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS 257 °
P.304 (UFPR) Um disco de raio R está em movimento circular uniforme
P.305
P.306
P.307
P.308
P.309
P.310
com velocidade angular œ. Sobre esse disco está posicionado
um pequeno bloco de madeira de massa m, a uma distância r do
eixo de rotação, conforme mostra, em perfil, a figura ao lado. O
coeficiente de atrito estático entre o bloco e o disco é u. Sabe-se
que existe uma velocidade angular máxima Omax. à partir da qual
o bloco desliza para fora do disco. À aceleração da gravidade é
representada por g. Com base nesses dados, responda os itens
a seguir.
a) Represente na figura as forças que atuam sobre o bloco durante o movimento e indique os seus nomes.
b) Obtenha uma equação para a velocidade angular máxima Wa, com os dados fornecidos.
© O que acontecerá com a velocidade angular máxima ©max quando a distância r do bloco ao eixo de rotação
for duplicada? Justifique.
Uma rodovia tem 8 m de largura. Calcule a diferença de nível que deve existir entre suas margens externa e
interna para que um carro possa fazer uma curva de 600 m de raio a 72 km/h sem depender do atrito. Adote
g = 10 m/s” e, para pequenos ângulos, considere sen 9 = tg 0.
O veículo da figura tem peso P = 10.000 N e passa no ponto inferior
da depressão com 54 km/h. O raio da curva nesse ponto é
10 m. Determine a força de reação da pista no veículo nesse ponto.
Adote g = 10 m/s.
(FEI-SP) Um veículo de massa 1.600 kg percorre um trecho de
estrada (desenhada em corte na figura e contida num plano verti-
cal) em lombada, com velocidade de 72 km/h. Adote g = 10 m/s”.
Determine a intensidade da força que o leito da estrada exerce no
veículo quando este passa pelo ponto mais alto da lombada.
(UFG-GO) Um bloco de massa m, preso a uma mola de constante
elástica k, descreve um movimento circular uniforme numa mesa
horizontal lisa (sem atrito), conforme a figura ao lado. A mola,
quando não-deformada, tem comprimento L. Quando o bloco gira
com velocidade angular q, o raio da trajetória é R.
Nessas condições, pede-se:
a) o esquema das forças que atuam no bloco;
b) o valor da constante elástica k da mola, considerando que:
L = 0,6 m; R = 0,8 m; m = 2 kg; œ = 5 rad/s.
Um pequeno bloco de massa m, gira sobre uma mesa horizontal
sem atrito. Esse bloco está ligado a outro, de massa m,, por um
fio que passa por um orifício existente na mesa. O bloco de massa
m, descreve um movimento circular uniforme de raio R = 0,50 m
e velocidade v = 5,0 m/s, e o bloco de massa m, permanece em
repouso. Sendo g = 10 m/s”, determine a relação mz .
1
(Fuvest-SP) Um ventilador de teto, com eixo vertical, é constituí-
do por três pás iguais e rígidas, encaixadas em um rotor de raio
R = 0,10 m, formando ângulos de 120º entre si. Cada pá tem massa
M = 0,20 kg e comprimento L = 0,50 m. No centro de uma das pás
foi fixado um prego P, com massa mp = 0,020 kg, que desequilibra
o ventilador, principalmente quando este se movimenta. Suponha,
então, o ventilador girando com uma velocidade de 60 rotações
por minuto e determine:
R=80m
© -------------
a) a intensidade da força radial horizontal F, em newtons, exercida pelo prego sobre o rotor;
b) a massa M, em kg, de um pequeno contrapeso que deve ser colocado em um ponto D,, sobre a borda do
rotor, para que a resultante das forças horizontais, agindo sobre o rotor, seja nula;
c) a posição do ponto Dy, localizando-a no esquema dado acima.
(Se necessário, utilize z = 3.)
densa sao sa Crer Ren oa an aan ces en orou nan COML CUCA DORSO DECO ONLCNC ESCORE ODOR ARCO OL CS aU Us a non ana ra son ve caos anca nan ss esa ans
258
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Testes
„propostos,
Uma partícula tem movimento circular uniforme
em um referencial inercial. A força que age sobre
a partícula é F. Se você quiser dobrar o raio da
trajetória mantendo a velocidade angular cons-
tante, deverá exercer uma força igual a:
F F
a 2F bb) 7 ©) 4 D4Fr ƏF
Referindo-se ao teste anterior, se você quiser
dobrar o raio da trajetória mantendo a velocida-
de escalar constante, deverá exercer uma força
igual a:
a)2F b Z c) - D4r ƏF
É Um corpo de massa igual a 1,0 kg descreve, so-
bre uma mesa bem polida, uma circunferência
horizontal de raio igual a 1,0 m quando preso
por um fio a um ponto fixo na mesa. O corpo
efetua 60 voltas completas por minuto. A força
de tração exercida no fio, expressa em newtons,
é mais aproximadamente igual a:
D1 D6 912 DO 9
* (PUC-SP) A figura mostra um sistema de dois
corpos de massas iguais, ligados por fios inexten-
síveis e de massas desprezíveis, girando num
plano horizontal, sem atrito, com velocidade
angular q, constante, em torno do ponto fixo O.
L L
o o sta,
= T, >
A razão + entre as trações T, e T,, que atuam
1
respectivamente nos fios (2) e (1), tem valor:
a) 2 DE c) 1 d É 95
+ (UFF-RJ) Uma pequena moeda está na iminência
de se deslocar sobre uma plataforma horizontal
circular, devido ao movimento dessa plataforma,
que gira com velocidade angular de 2,0 rad/s.
O coeficiente de atrito estáti-
co entre a moeda e a platafor-
ma é 0,80. É dado g = 10 m/s?
Logo, a distância da moeda ao
centro da plataforma é:
a) 2,0m b) 64m © 40m d) 3,2m e) 8,0m
<
(Fatec-SP) Uma esfera de massa 2,0 kg oscila
num plano vertical, suspensa por um fio leve e
inextensível de 1,0 m de comprimento. Ao passar
pela parte mais baixa da trajetória, sua velocida-
de é de 2,0 m/s. Sendo g = 10m/s”, a tração no fio
quando a esfera passa pela posição inferior é, em
newtons:
a2? DB 912 dA 92
Capítulo 13 * Forças EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
(UEPB) Num parque de diversão, uma das atra-
ções que geram sempre muita expectativa é a da
montanha-russa, principalmente no momento do
loop, em que se percebe que o passageiro não cai
quando um dos carrinhos atinge o ponto mais
alto, conforme se observa na figura abaixo.
x
[S]
o
E
V
<
E
T
5
a
a
(e)
iz
O
TA
D
Z
P
>
B
o
S
£
tx
Considerando-se a aceleração da gravidade de
10 m/s” e o raio R de 10 metros, pode-se afirmar
que isto ocorre porque:
a) o módulo do peso do conjunto (carrinho-pas-
sageiro) é maior que o módulo da força cen-
trípeta.
b) a força centrípeta sobre o conjunto (carri-
nho-passageiro) é nula.
c) a velocidade mínima do carrinho é de 8 m/s, e
independe do peso do passageiro.
d) o módulo do peso do conjunto (carrinho-pas-
sageiro) é menor ou igual ao módulo da força
centrípeta.
e) o conjunto (carrinho-passageiro) está em
equilíbrio dinâmico.
(Unisa-SP) Um motociclista descreve uma circun-
ferência vertical num globo da morte de raio 4m.
Que força é exercida sobre o globo no ponto
mais alto da trajetória se a velocidade da moto é
de 12m/s? A massa total (motociclista + moto) é
de 150 kg (g = 10 m/s").
a) 1.500N © 3.900 N e) 6.900 N
b) 2.400 N d) 5.400 N
Uma pedra amarrada num fio de 0,40 m é posta
a girar num plano vertical. Use g = 10 m/s? A
mínima velocidade que a pedra deve ter no pon-
to mais alto para que permaneça em trajetória
circular é de:
a) 1,0 m/s c) 3,0 m/s e) zero
b) 2,0 m/s d) 4,0 m/s
—
y
>
=»
-l
tri
(UFJF-MG) Um motoqueiro contou, para o ami-
go, que subiu em alta velocidade um viaduto e,
quando chegou ao ponto mais alto deste, sentiu-
se muito leve e por pouco a moto não perdeu o
contato com o chão (veja figura abaixo).
Podemos afirmar que:
a) isso aconteceu em função de sua alta velocida-
de, que fez com que seu peso diminuísse um
pouco naquele momento.
b) o fato pode ser mais bem explicado levando-se
em consideração que a força normal, exercida
pela pista sobre os pneus da moto, teve inten-
sidade maior que o peso naquele momento.
c) isso aconteceu porque seu peso, mas não sua
massa, aumentou um pouco naquele momento.
d) este é o famoso “efeito inercial”, que diz que pe-
so e força normal são forças de ação e reação.
e) o motoqueiro se sentiu muito leve, porque a
intensidade da força normal exercida sobre
ele chegou a um valor muito pequeno naquele
momento.
é (Mackenzie-SP) Na figura, o fio ideal prende uma
partícula de massa m a uma haste vertical presa a
um disco horizontal que gira com velocidade angu-
lar « constante. À distância do eixo de rotação do
disco ao centro da partícula é igual a 0,13 m. Use
g = 10 m/s’.
A velocidade angular do disco é:
a) 3 rad/s c) 5/2 rad/s e) 10 rad/s
b) 5 rad/s d) 8/3 rad/s
(Ufla-MG) Um dos fatores que influem no desem-
penho de um carro de fórmula 1 é o “efeito asa”.
Esse efeito, que pode ser mais ou menos acentua-
do, surge da interação do ar com a geometria do
carro. Quando se altera o ângulo de inclinação
dos aerofólios, surge uma força vertical para bai-
xo, de forma que o carro fica mais preso ao solo.
Considerando um carro com “efeito asa” igual ao
seu peso, coeficiente de atrito estático p, = 1,25
entre pneus e asfalto, g = 10 m/s”, esse carro
pode fazer uma curva plana horizontal de raio de
curvatura 100 m, sem deslizar, com velocidade
máxima de:
a) 50 m/s
b) 180 m/s
o 120m/s
d) 100 m/s
e) 80 m/s
* (UFC-CE) Uma partícu-
(UFSC) Um piloto executa um looping com seu
avião — manobra acrobática em que a aeronave
descreve um arco de circunferência no plano
vertical — que atinge, no ponto mais baixo da
trajetória, ao completar a manobra, a velocida-
de máxima de 540 km/h. O raio da trajetória é
igual a 450 m e a massa do piloto é 70 kg. Nessas
manobras acrobáticas deve-se considerar que a
maior aceleração que o organismo humano pode
suportar é 9 g (g = aceleração da gravidade).
Com base nos dados fornecidos, assinale a(s)
proposição(ões) correta(s).
07) O piloto é submetido a uma aceleração cen-
trípeta máxima no topo da trajetória, quando
a força de sustentação do avião é mínima.
02) A força centrípeta sobre o piloto, na parte
mais baixa da trajetória, é cinco vezes maior
do que o seu peso.
04) O piloto é submetido a uma aceleração cen-
trípeta máxima igual a 5 g (cinco vezes a ace-
leração da gravidade).
08) A velocidade mínima para que o avião com-
plete a volta, no topo da trajetória, é igual a
270 km/h.
16) A força que o avião faz sobre o piloto, na par-
te mais baixa da trajetória, é igual a 4.200 N.
32) A força que o piloto faz sobre o avião é igual
ao seu peso, em toda a trajetória.
64) Se o raio de trajetória fosse menor do que
250 m, o piloto seria submetido a uma ace-
leração centrípeta máxima maior do que 9 g
(nove vezes a aceleração da gravidade).
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as proposições corretas.
la P, de massa m, des-
creve um movimento
circular de raio R, cen-
trado no ponto O, sob
a ação das forças F,
e E, conforme figura.
Das equações de mo-
vimento apresentadas nas alternativas abaixo,
assinale a correta para este sistema.
Considere:
e a, a aceleração tangencial da partícula P
e v, a velocidade tangencial da partícula P
a) F, + cos œ = ma,
=
bD A+E = né
w hS
c) E B -cosa = nf
|
|
wh
9 6-6 =
e
te
>”
mena co ron none ane na nono nana asa COBOL CLONE DOC OSO CL NCORIACC NONO CENA ONO NO RAIOS GA NONO COrDU Ora oa reune nen renata ese gases usa ess
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saoti cmo
memo do mm a
cm cinco o
Os princípios
da conservação
Os princípios da conservação são fundamentais na Física. Nesta parte
analisamos dois desses princípios: o da conservação da energia e o
da conservação da quantidade de movimento. Definimos trabalho,
para discutir a conservação da energia, e impulso, para discutir a
conservação da quantidade de movimento. Analisamos também as
noções de potência e rendimento, e os diversos tipos de choques.
ZIGY KALUZNY / STONE-GETTY IMAGES
No impacto entre uma bola de boliche
e os pinos, há várias formas de energia
envolvidas. Entretanto, a energia não
é criada nem destruída; apenas ocorre
a transformação de uma forma
em outra.
1. INTRODUÇÃO
2. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE PARALELA
AO DESLOCAMENTO
3. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE NÃO-PARALELA
AO DESLOCAMENTO
4. TRABALHO DE UMA FORÇA QUALQUER
5. DOIS CASOS NOTÁVEIS
6. POTÊNCIA
Ri Neste capítulo estabelecemos a noção
de trabalho de uma força e determinamos
o trabalho de duas forças importantes,
o peso e a força elástica; concluímos que seus
trabalhos são independentes da trajetória.
Os significados de potência e rendimento são
apresentados no final do capítulo.
Na foto, a força com que o guindaste ergue
o contêiner, retirando-o da carreta, realiza
trabalho.
7. RENDIMENTO
B.. Introdução
É comum ouvirmos frases do tipo “o trabalho deste operário é muito difícil” ou “vou levar 12 horas
para concluir esse trabalho”. Nessas frases há o termo trabalho, que também é empregado em Física,
mas com significado muito preciso e diferente do anterior.
Em Física, trabalho está associado a forças, e não a corpos: diz-se “trabalho de uma força” e nunca
“trabalho de um corpo”.
A noção de trabalho será apresentada por etapas, pelas dificuldades matemáticas que envolve. De
início, veremos trabalho de uma força constante em dois casos particulares: paralela e não-paralela ao
deslocamento. A seguir, analisaremos o caso geral: forças e deslocamentos quaisquer.
OB 2. Trabalho de uma força constante paralela
ao deslocamento
« -> mu
Considere um corpo que realiza o deslocamento AB sob a ação de um
F
conjunto de forças. Destaquemos, desse conjunto, a força E constante, — o
paralela e de mesmo sentido que o deslocamento AB (figura 1). Fi d B
Por definição, trabalho G* d da força constante F paralela e de mesmo igura 1.
sentido que o deslocamento AB, éa grandeza escalar:
sendo d = |AB|
Se a força constante Ffor paralela e de sentido contrário ao desloca- — # A B
mento AB (figura 2), o trabalho de F será dado por: — or
Figura 2.
% ©:tau (letra grega).
esosrvesesasoneonesososoacsosoososvoros ssonesoesasoosocseosesos ssoseonssoosanocsessooeos esoosassoasacoocoesoseevosososs eesussoenossooesosesesosoosooo sose
e 262 Os FUNDAMENTOS DA Física
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Quando a força favorece o deslocamento, seu trabalho é positivo e denominado trabalho motor
(figura 3a). Quando a força se opõe ao deslocamento, seu trabalho é negativo e denominado trabalho
resistente (figura 3b).
a) . b) a
F F
>— r oe
A pa A ad
G>0 G=Fd Z<0 G=-Fd
Trabalho motor Trabalho resistente
Figura 3.
Por exemplo, se abandonamos um corpo, deixando-o A B
em queda livre (figura 4), seu peso favorece o deslocamento; 9v,=0 @
nesse caso, o trabalho do peso é motor (positivo). Porém, se
atiramos um corpo para cima, seu peso se opõe ao desloca-
mento, e o trabalho do peso será resistente (negativo). mg q
Portanto: P P
G = + Fd (com F paralelo a AB) y
0
Observe que: l
a) o trabalho é sempre de uma força; 5 © A
b) o trabalho é realizado num deslocamento (entre dois c MEO . o
orpo caindo: o peso Corpo atirado para cima:
pontos); > favorece o deslocamento. o peso se opõe ao
c) o trabalho é uma grandeza escalar (intensidade de Fe z>o (trabalho motor) deslocamento.
de AB J G < O (trabalho resistente)
d) o trabalho depende do referencial; Figura 4.
e) o trabalho é positivo, quando a força favorece o des-
locamento; e negativo, quando a força se opõe ao
deslocamento (figura 5).
No deslocamento d a força F que o carro aplica No deslocamento d a força de atrito fa, que o solo aplica
no reboque realiza um trabalho motor (positivo). no bloco realiza um trabalho resistente (negativo).
Figura 5.
OB 3. Trabalho de uma força constante não-paralela
ao deslocamento
Vamos estender o conceito anterior para o caso da
força não-paralela ao deslocamento. Na figura 6, seja A
a projeção da força Fna direção do deslocamento AB.
Nessas condições, por definição, o trabalho da força Fé
dado por:
G= Fd Z = (proj. F ) -d = Fd = (F + cos 0) + d
Sendo F, = F» cos 6, vem: Fi
igura 6.
G= F'cosô'd
= Fd-cos6
esosesesossesvenoasssossesossovasesesovesososesononesanossnssssssessrsspsenouvacosenseonensarnsnssnsracrscencesssacesgseserasosussestsacacsesosseasacrso
Capitulo 14 * TRABALHO 263º
Se a força componente Fé favorável ao deslocamento (figura 7a), o trabalho da força Fé motor
(© > 0). Se A é contrário ao deslocamento (figura 7b), o trabalho de F é resistente (6 < 0).
a) b)
5
a
<0
Figura 7.
Na expressão & = Fd + cos 6, o termo d- cos 6 representa a projeção do deslocamento AB na direção da
força F (figura 8).
A d B
Z =F- d- cos 0 = F » (proj. AB)
Figura 8.
Portanto, para o cálculo do trabalho, conforme a conveniência:
a) projete a força na direção do deslocamento (figuras 6 e 7); ou
b) projete o deslocamento na direção da força (figura 8).
Feito isso, para os elementos paralelos, aplique a definição de trabalho.
Quando a força Fé perpendicular ao deslocamento AB, sua projeção (ou a projeção de seu deslo-
camento) é nula; logo, seu trabalho é nulo (figura 9). Assim, num deslocamento horizontal, o peso e a
reação normal do apoio têm trabalhos nulos. Analogamente, a força centrípeta tem trabalho nulo, pois
é sempre perpendicular à trajetória, em cada instante.
Figura 9.
m Unidades
unidade de trabalho = (unidade de intensidade de força) x (unidade de comprimento)
No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:
joule* (J) = newton X metro
Um múltiplo bastante utilizado é o quilojoule (kJ).
No sistema CGS, a unidade de trabalho é o erg = dina x centímetro.
Relações: 1 kj = 10º) e 1J = 10” erg
Há outras unidades de trabalho que serão posteriormente definidas, o quilowatt-hora (kWh) e o
elétron-volt (eV):
1 kWh =3,6:10º)
1eV=1,6-10 "J
%* JOULE, James Prescott (1818-1889), viveu na Inglaterra e estabeleceu a equivalência entre o trabalho mecânico
e o calor. Estudou também as propriedades termodinâmicas dos gases e o aquecimento de condutores quando
percorridos por corrente elétrica.
CDusda sans E ADELA ED RAN DALALL DO DLL SA CAALDEL ASLAN DOI OULS DILLON ROSSAS CSS LRC ADO ADORADA ORA COLS RU Cana U AD
“264 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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4. Trabalho de uma força qualquer
No caso de uma força constante Fagindo sobre o corpo, paralela e de mesmo sentido que o deslo-
camento de módulo d, o trabalho pode ser calculado pela área do retângulo destacado no gráfico da
figura 10a. Essa área corresponde ao produto Fd, isto é:
[4-6] (numericamente)
Se a força for constante, mas não paralela ao deslocamento, o cálculo gráfico deve ser feito, como se
indica na figura 10b, no gráfico da projeção F, da força na direção do deslocamento.
Generalizando, se a força F atuante for variável em módulo, direção e sentido, o cálculo por meio do
gráfico pode ser feito como é mostrado na figura 10c. O trabalho realizado num deslocamento muito
pequeno As (AG = FAs) corresponde à área de uma estreita faixa retangular, sendo F, a projeção da força
na direção do deslocamento. O trabalho total G realizado pela força é medido pela soma dos retângulos
semelhantes ao anterior. Considerando-se deslocamentos infinitesimais (As — 0), a soma das áreas dos
retângulos tenderá à área sob a curva. Assim, esse trabalho é numericamente igual à área total destacada
no gráfico da figura 10c:
A=G | (numericamente)
o]
Figura 10. Cálculo gráfico do trabalho de uma força.
Exercicios
resolvidos
oo Um bloco parte da posição A e atinge a posição B sob ação de um sistema de forças, conforme mostra a figura:
Sendo F = 50 N, cos 6 = 0,80, P = 70 N, Fn = 40 N, fa = 10 N e d = 5,0 m, determine:
a) o trabalho que cada força realiza no deslocamento AB;
b) o trabalho da força resultante nesse deslocamento.
easssseusavonvresouosyassesussovosasýevssassanekesssapssnzsarssavuseaseossesseorneuvssesusrersbienssssssssveisssestespecssressanesorvereessusecasvsneree
CapitTuLo 14 * TRABALHO 265 o
Solução:
a) O trabalho que a força Frealiza é dado por:
Gr = Fd: cos 0 = 6,=50-5,0:0,80 > |5.=2,0-10]
Os trabalhos de F, e Psão nulos, pois estas forças são perpendiculares ao deslocamento AB. Portanto:
A força de atrito [a realiza um trabalho resistente:
Cr = fad > Gra =-10: 5,0 > Ca = —50 J
b) O trabalho da força resultante R é a soma algébrica dos trabalhos das forças componentes. Assim, temos:
Cr = 5r + Öp + Gh +p > Õrn = 2,0 -10° + 0 +0 +50 Cam 15: 102]
Respostas: a) ©; = 2,0 - 10° J; 6,=0; Za = 0; Bp = -50 J; b) r = 1,5-1023
Um carro de massa 1.000 kg move-se sem resistências A F(N)
dissipadoras em trajetória retilínea, a partir do repouso. O
gráfico da força motora na própria direção do movimento é
representado na figura ao lado. Determine:
a) o tipo do movimento em cada trecho do deslocamento;
b) a aceleração do carro quando se encontra a 400 m da
origem;
c) o trabalho da força F'no deslocamento de 0 a 1.000 m.
i ——»
- 0 200 600 1.000 d(m)
Solução:
a) Até 200 m a força é variável e a aceleração que produz também é variável — é um movimento variado sem
ser MUV.
De 200 m a 600 m a força é constante, portanto a aceleração é constante, e o movimento é MUV.
De 600 m a 1.000 m a força novamente é variável, produzindo uma aceleração variável — o movimento é
variado sem ser MUV.
b) Para d = 400 m, pelo gráfico, F = 1.000 N.
Como F = ma, vem: 1.000 = 1.0004 >
c) O trabalho da força Fé numericamente igual à área do 400
trapézio (sua área é dada pela soma das bases vezes a
altura dividida por 2):
— (1.000 + 400) 1.000
2
Z = 700.000 1.000
(z = 700.000 joules = 700 kJ
1.000
Respostas: b) 1 m/s”; c) 700 kJ
Exercícios
„propostos
P.311 Um bloco está se deslocando numa mesa horizontal em movimen-
to retilíneo e uniforme, sob ação das forças indicadas na figura. A
força F é horizontal e tem intensidade 20 N. Determine:
a) o trabalho realizado pela força Fe pela força de atrito DA num
deslocamento AB, sendo d = |AB| = 2,0 m;
b) o trabalho da força resultante nesse deslocamento.
Sesusesavinuseszyasonvsevzuegasissssenassasosvsnusvessrsestosensensesyeressesvsssosssessusssarraravenvsrassesserussoasesruseznasssnassnosvevessrsseeesse
ə 266 Os FUNDAMENTOS DA Física
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P.312 Ajovem da figura desloca sua mala de viagem aplicando, por meio do
fio, uma força de intensidade T = 1,0 - 10º N, formando um ângulo
de 60º com a horizontal. Determine o trabalho que T realiza no
deslocamento AB tal qued = AB] = 50 m.
Dados: cos 60° = 0,50; sen 60° = 0,87.
P.313 o gráfico representa a variação da intensidade da força resultante
F que atua sobre um corpo de 2 kg de massa em função do desloca-
mento x. Sabendo que a força Ftem a mesma direção e sentido do
deslocamento, determine:
a) a aceleração máxima adquirida pelo corpo;
b) o trabalho total realizado pela força F entre as posições x = 0 e
x=3m.
Ø 5. Dois casos notáveis
5.1. Trabalho do peso
Considere um corpo de peso Pe seja AB um deslocamento vertical e h o desnível entre A e B
(figura 11). Como o peso P é constante e paralelo ao deslocamento AB, temos:
G=+Fd, sendo F=P e d=|AB|=h
==)
Se o corpo cai (figura 11a), o peso está a favor do deslocamento e o trabalho é motor (6 = +Ph).
Se o corpo estiver subindo (figura 11b), o peso tem sentido contrário ao deslocamento e o trabalho é
resistente (© = —Ph).
Se o corpo vai de A até B, passando por um ponto C intermediário (figura 12), projetamos o deslo-
camento na direção do peso. Sejam h, a projeção vertical de AC e h, a projeção vertical de CB. Daí:
6 = Ga + Oo
C=Ph+Ph=P-(h+h)=Ph
Portanto:
G = Ph
Observe que o resultado é o mesmo.
a) b)
AG ----@ B A
Mov. O TTT
P P
h h
Mov.
Be a 24
6 =+Ph G=-Ph
© > 0 motor G < O resistente
Figura 11.
PRA CRREDCRDEDCRORASESUN IARA C DER La CURRAL PRC ELO RREO OLEO ANN LR R REAR RLC Len UCA VR nar ne SRA Ano RR teca na nn cs nR ELA Ran Ane na rna ne ese nat rama anca raras nen teca
Capítulo 14 ° TRABALHO 267 °
Considere agora (figura 13) uma sucessão de segmentos retilíneos AC, CD, DE, ..., XB, de A até B.
Pelo mesmo raciocínio anterior, sejam h,, h», ..., h, as projeções verticais desses segmentos. Daí:
G=Ph+Ph+.+Ph,-Plh+h+..+ho)
Se a linha poligonal ACDE...B possuir um conjunto demasiadamente grande de segmentos (figura
14), tenderá a uma curva. O trabalho do peso, porém, continua a ser o mesmo.
Vá
emo Q Z= Ph -=
B B
Figura 13. Figura 14.
Resumindo, temos:
Trabalho do peso
a) Positivo quando o corpo desce: 6 = +Ph
Negativo quando o corpo sobe: 6 = —Ph
Nulo em deslocamento horizontal: 6 = 0
b) Só depende do próprio peso e do desnível entre posição inicial e final (h).
c) Não depende da forma da trajetória.
Figura 15. O trabalho do peso é +Ph, não Figura 16. Em qualquer uma das trajetórias
dependendo da trajetória. (1), (2) e (3) o trabalho do peso é o mesmo.
DIDO RCNAO DONA OBA DARASI NC NAS NADAL DEAN ONDA AACD DA CANSA O UA SODA RURAL RE Cro nESLAn DORA DC CC SANS NANO NOS nar Otan es esa parcos an scan
«268 Os FUNDAMENTOS DA Física
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Exercício
Ivide
Uma partícula de massa m = 0,10 kg é lançada obliquamente,
descrevendo a trajetória indicada na figura.
Sendo g = 10m/s”, h, = 1,0 m e hg = 0,30 m, determine o tra-
balho realizado pelo peso da partícula nos deslocamentos
de O para À e de À para B.
Solução: O
No deslocamento de O para À a partícula sobe e portanto seu peso realiza trabalho negativo:
Goa Ph, Goa = mgh,
Sendo m = 0,10 kg, g = 10 m/s e h, = 1,0m (desnível entre O e 4), vem:
Zoa = —0,10 -10 +1,0 > [Gu = —1,0J
No deslocamento de A para B o corpo desce e o trabalho do peso é positivo: G,p = +mgh
O desnível h entre A e Bé: h, — hg = 1,0 m — 0,30 m = 0,70 m
Portanto: Gp = +0,10 -10 -0,70 | Gas = +0,70 J
Resposta: Co, = —1,0 J; Čas = +0,70 J
+
55
“1 Exercícios
propostos
P.314: Uma pequena esfera de massa m = 0,2 kg está presa à ex-
tremidade de um fio de comprimento 0,8 m, que tem a outra A
extremidade fixa num ponto O. Determine o trabalho que o
peso da esfera realiza no deslocamento de A para B, confor-
me a figura. Use g = 10 m/s”.
a£
` ------------
C taa
w
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
P.315 Um pequeno bloco de massa igual a 2,0 kg sobe uma rampa
inclinada de 30º em relação à horizontal, sob a ação da força
F de intensidade 20 N, conforme indica a figura. Sendo
g = 10 m/s? e h = 2,0 m, determine o trabalho realizado pela
força E pelo peso Pe pela normal F, no deslocamento de A
para B.
mn
w
5.2. Trabalho da força elástica
Considere um sistema elástico constituído por uma mola
e um bloco. Na figura 17a, a mola não está deformada e o
sistema está em repouso. Ao ser alongada (figura 17b) ou
comprimida (figura 17c), a mola exerce no bloco uma força
denominada força elástica Fa que tende a trazer o bloco
de volta à posição de equilíbrio.
A intensidade da força elástica é proporcional à defor-
mação x (lei de Hooke):
CaPiTuLo 14 e° TRABALHO 269 +
Para calcular o trabalho de uma força elástica, não se utiliza a de- AF
finição “força vezes deslocamento”, pois essa força não é constante,
variando com a deformação. ff
Para isso devemos usar o cálculo gráfico. No gráfico da figura 18,
o valor absoluto do trabalho da força elástica é numericamente igual
à área destacada na figura (área de um triângulo):
kx e x kx? 0
>
2 2 Figura 18.
xY
lē] =
Esse trabalho pode ser motor ou resistente. Será resistente, quando a mola for alongada ou comprimi-
da: Soy < 0 e Goy < 0; será motor, quando a mola voltar à sua posição de equilíbrio: Go > 0 e bro > 0
(figuras 19b e 19c). Desse modo:
A exemplo do peso, o trabalho da força elástica é independente da trajetória. Assim, o trabalho da força
elástica ao longo da trajetória AO (A — O) é igual ao trabalho ao longo da trajetória AAʻO (A > A’ > O),
como se mostra nas figuras 19d e 19e.
a) d)
Ti "É Posição de
« equilíbrio
Figura 19.
Concluindo, as forças peso e elástica têm a seguinte propriedade: seus trabalhos são independentes
da forma da trajetória. No entanto, nem todas as forças apresentam essa propriedade.
As forças cujo trabalho entre dois pontos independe da forma da trajetória são chamadas forças
conservativas. O peso e a força elástica são exemplos de forças conservativas.
Às forças conservativas associa-se o conceito de energia potencial, conforme veremos no capítulo
15, item 3.
A força de atrito não é conservativa. Quando a força de atrito realiza trabalho, este depende da
forma da trajetória. A força de atrito é chamada força dissipativa. A resistência do ar é outro exemplo
de força dissipativa.
Forças conservativas, como o peso e a força elástica, têm
trabalhos independentes da forma da trajetória.
*270 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de. 1998.
[E] Exercício
proposto
P.316 Considere o sistema elástico constituído de uma mola Figura a
e de um pequeno bloco. A constante elástica da mola é
igual a 50 N/m. Inicialmente o sistema está em equilíbrio
(figura a). À seguir, a mola é alongada, passando pelas
posições A (figura b) e B (figura c). Sejam as deformações
x, = OA = 10 cm e xg = OB = 20 cm. Determine o trabalho
da força elástica nos deslocamentos de: Figura b
a) O para À;
b) B para O;
c) B para À.
Figura c
6. Potência
Em situações práticas é fundamental considerar a rapidez da realização de determinado trabalho.
Uma máquina será tanto mais eficiente quanto menor o tempo de realização do trabalho de sua força
motora. A eficiência de uma máquina é medida pelo trabalho de sua força em relação ao tempo de
realização, definindo a potência.
Num intervalo de tempo At, se o trabalho é G, a potência média Pot, será:
_ trabalho |
tempo
A potência instantânea Pot é definida para um intervalo de tempo At extremamente pequeno.
Matematicamente corresponde ao limite da relação anterior:
. G |
im — À
At >0 At
A seguir vamos estabelecer uma relação entre a potência e a velocidade, no caso particular em que a
força Fé constante e paralela ao deslocamento. Nesse caso, o módulo do deslocamento d coincide com
a variação do espaço As. Assim:
6 = Fd >» 5 = FAs
Logo, a potência média será:
Nessa última igualdade, vm é a velocidade média. Para At — 0, obtemos a potência instantânea, igual
à intensidade da força multiplicada pela velocidade instantânea: Pot = Fv. Então:
(sendo Fconstante e paralela ao deslocamento)
Capítulo 14 ° TRABALHO 271º
O nva |
M Unidades
unidade de trabalho
unidade de potência = -
unidade de tempo
No Sistema Internacional de Unidades, temos:
joule
segundo
múltiplos: quilowatt (kW), megawatt (MW) e gigawatt (GW)
Relações: 1 kW = 10 W; 1MW=10W 1GW=10W
Unidades especiais:
watt (W) =
cv (cavalo-vapor):1 cv = 735,5 watts
hp (horse-power): 1 hp = 745,7 watts
Derivada da unidade de potência, há uma unidade de trabalho, o quilowatt-hora (kWh), muito usada
na Eletricidade:
Potm = & => 6 = PotyAt
At
Sendo Pot, = 1 kW e At = 1 h, vem: Z = 1 kW -1 h = 1 kWh
Como 1 kW = 10° W = 10° J/s e 1 h = 3.600 s = 3,6 : 10° s, temos:
1 kW: 1 h= (10° J/s) - (8,6 -10° s) > | 1 kWh = 3,6-10)
am,
A o cavalo- -vapor |
j
cics riso apea nan
O termo cavalo-vapor deve-se ao engenheiro escocês James Watt*, que inventou a primeira máqui-
na a vapor. Para demonstrar a quantos cavalos correspondia a máquina por ele inventada, Watt observou
que um cavalo bem forte podia erguer uma carga de 75 kgf (o que corresponde a 735,5 N) a um metro
de altura, em um segundo:
Pot = G _ Fd o B55N-1m 7355W
At At 1s
A essa potência de 735,5 W foi dado o nome de cavalo-vapor (cv).
DO E Ee AA EAE E EE E S
= Comparando potências |
í
| A Ferrari 599 GTB tem motor com potência de 620 cv, que equivale aproximadamente a 456 kW,
Ela acelera de O a 100 km/h em 3,7 s, atingindo a velocidade máxima de 330 km/h.
CAR CULTURE / CORBIS-LATINSTOCK
& WATT, James (1736-1819), engenheiro escocês, foi o responsável pelo aperfeiçoamento da máquina a vapor, cuja
utilização durante o século XVIII contribuiu para uma das mais radicais transformações da história da humanidade,
a Revolução Industrial.
CUCRTELCOS CONDUTA ONDA COCEIRA CC ONCE DENEADOLESDA DNC CAD ENTRO CLS CORNO USE RO RE O DS ORAR CU OA A OU DE gra aa na sereno ros sacas
272 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 dc fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
O modelo R26 da Renault, com que o piloto espanhol Fernando Alonso conquistou o bicampeonato
mundial de Fórmula 1, era dotado de um motor de 8 cilindros, com potência superior a 700 cv (515 kW).
l Para comparar, em janeiro de 2007, o modelo mais potente de carro nacional de passeio era o Honda Civic
| Si 2.0, com potência de 192 cv, equivalendo aproximadamente a 141 kW.
2]
pi
o
Ea
2
>
É
E
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F
o
pra
«
L
o
O
[aa
2
3
5
au
o
o
>
O trem-bala francês TGV (train à grande vitesse, que significa trem de alta velocidade) é composto de
oito vagões operando com doze motores, cada um de 530 kW.
O foguete espacial RD-107, que colocou o primeiro astronauta em órbita — o soviético lúri
Gagárin —, tinha potência máxima de lançamento de 20.000.000 cv, equivalendo aproximadamente a
15 gigawatts.
RIA NOVOSTI 1 SPL-LATINSTOCK
\ CORONA / STONE-GETTY IMAGES
A potência do motor elétrico de um liquidificador é da ordem de 300 W; a de uma bomba-d'água, que
eleva a água até uma altura de 65 m, é de 340 W. A potência de um ventilador comum é de 30 W.
A potência desenvolvida por um homem em atividades normais está em torno de Z de cavalo-vapor, ou
seja, 105 W.
Compare a potência instalada de algumas usinas hidrelétricas:
Balbina (AM) 250 MW
Sobradinho (BA) 1.050 MW
Furnas (MG) 1.312 MW
Ilha Solteira (SP) 3.444 MW
Tucuruí | (PA) 4.250 MW
Itaipu binacional 14.000 MW
POSTED LONDARISRONLOCLRU SUA CALORADE SRA SO CINCNADILSNO OLL LUNA NADIA ARCADE DUDA DURON ONDA DOOR PACAS RONDON CONTI ARA URU MO nn Cn nn o rea nano As D a
Carítuto 14 + TRABALHO 273º
O uva |
TLM A RAR COBERTA ACOSTA CU RC CRT CON NC RUAN DO SCANS ORIRCRRA CURA UA ADO ENDOSSA Antero Ran era aa rencr rente sana raro usares ce tara rc r e rar aca
ma força F de intensidade 20 N, é aplicada a uma caixa, deslo-
cando-a 3,0 m na direção e no sentido da força. O deslocamento
ocorre em 4,0 s. Determine a potência média desenvolvida.
Solução:
Vamos inicialmente calcular o trabalho realizado pela força F De
© = Fd, sendoF=20Ned=-30m,vem:6=20-30 > 6=60J
A potência média é dada por: Pot, = £
Portanto: Pot, = = = | Pota = 15W
Resposta: 15 W
Um guindaste ergue, com velocidade constante, uma caixa de massa 5,0 - 10° kg do chão até uma altura de 5,0 m, em
10 s. Sendo g = 10 m/s”, calcule a potência do motor do guindaste, nessa operação.
Solução:
>
Sendo a velocidade constante, concluímos que a força F que o motor aplica na caixa tem mesma intensidade
5
que o peso P:
F=P=mg=5,0-10"-10 => F=50-10N
De Pot, = =, vem: Pot, = z
Sendo F = 5,0 - 10° N, d = 5,0 m e At = 10 s, resulta:
. 3 .
Pota = 50 — 5,0 > | Pot, = 2,510 W
Resposta: 2,5 - 10º W
Constrói-se uma usina hidrelétrica aproveitando uma queda-d'água de altura h = 10 m e de vazão Z = 1,0: 10 m'/s.
São dadas a densidade da água, d = 1,0 - 10° kg/m” e a aceleração da gravidade, g = 10 m/s”. Qual a potência
teórica dessa usina?
Solução:
Amin taana Gas A > , ; G
A potência teórica, isto é, a que se obtém desprezando as eventuais perdas, é dada por Pot = A sendo & o
trabalho do peso da água em queda durante o intervalo de tempo At. t
Sendo d = Tr vem m = dV. Portanto, Pot = —&
Mas Z éa vazão Z. Logo: | Pot = dZgh
Pot = 1,0- 10°: 1,0 + 10°-10-10 = | Pot=1,0-10W| ou [| Pot=10MW
Resposta: 1,0 - 10” W ou 10 MW
Um carro se desloca com velocidade escalar constante de 20 m/s numa estrada reta e horizontal. A resultante
das forças que se opõem ao movimento tem intensidade F, = 1,0 - 10° N. Determine:
a) a intensidade F, da força que movimenta o carro;
b) a potência desenvolvida pelo motor do carro.
Solução:
a) Como o movimento é retilíneo e uniforme, concluímos que a resultante de todas as forças é nula e portan-
to: | Fa=Fa= 10-10 N
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
b) À potência desenvolvida pelo motor é dada por:
Pot = Fav > Pot=1,0:10"-20 > Pot = 20:10 W => | Pot=20kW
Respostas: a) 1,0 - 10° N; b) 20 kW
I Uma motocicleta parte do repouso numa superfície horizontal. Considere a massa do sistema moto-piloto (M)
igual a 200 kg, despreze qualquer resistência ao movimento e suponha que o motor exerça uma força constante
e paralela à direção da velocidade. Após percorrer 200 m, a moto atinge 72 km/h. Determine:
a) a potência média da força motora no percurso referido de 200 m;
b) a potência instantânea quando se atinge a velocidade de 72 km/h.
Solução:
e.
ac]
>
kad
e]
mi
a) O movimento é um MUV. Pela equação de Torricelli:
v’ = vi + 2aAs > 20 = 0 +2:a:200 > a= 1 m/s?
t
v=72 km/h = 20 m/s
“4
| 200 m |
Pela equação fundamental da Dinâmica: Fa = Ma = 200-1 > HF, =200N
O trabalho dessa força no deslocamento d = 200 m é dado por:
G=F'd> 6=200-200 = 6 = 40.000 joules
Comov=v,+at,vem:20=1:t> t= 20s > At= 20s
5 ao A
Substituindo em Pot, = A obtemos a potência média:
Pota = 2 > | Pot, = 2.000 W = 2 kW
A potência média pode também ser calculada por Pot, = Fn * Vm lembrando que, no MUV, a velocidade
escalar média num intervalo de tempo é a média aritmética das velocidades escalares nos instantes que
definem o intervalo.
0 + 20
Ássim: vm = 5 => Uns 10 m/s
Logo: Pot, = Fn * Um = 200 : 10 => | Pot, = 2.000 W = 2 kW
b) A potência instantânea quando se atinge a velocidade de 72 km/h = 20 m/s é:
Pot = F,v=200:20 > (Pot = 4.000 W = 4 kW)
Respostas: a) 2 kW; b) 4 kW
Exercícios
P.317 Um motor de potência 60 kW aciona um veículo durante 30 min. Determine o trabalho realizado pela força
motora. Dê a resposta em joule (J) e em quilowatt-hora (kWh).
P.318 Um rapaz de 60 kg sobe uma escada de 20 degraus em 10 s. Cada degrau possui 20 cm de altura. Sendo g = 10 m/s,
determine:
a) o módulo do trabalho do peso do rapaz ao subir a escada;
b) o módulo da potência média associada ao peso do rapaz quando sobe a escada.
CACONDINCLCNLO SALSA CO SLATUOCLCLSNLCOLO LNLS CELAS U ONA SU NULO UOL RUCA RUDE DC SDS ANALISA NELA DNC CARONA a RU DA ca pn an a ane ra sra sa gs
Capitulo 14 * TRABALHO 275 °
P.319 Uma criança de 30 kg desliza num escorregador de 2 m de altura e atinge o solo em 3 s. Calcule o trabalho do
peso da criança e sua potência média nesse intervalo de tempo (use g = 10 m/s”).
P.320 Um motor de potência 250 W é utilizado para erguer uma carga de peso 5,0 - 10º N a uma altura de 4,0 m, em
movimento uniforme. Despreze as eventuais perdas.
a) Qual é o trabalho da força aplicada pelo motor?
b) Em quanto tempo a carga atinge a altura desejada?
P.321 Numa usina hidrelétrica a vazão de água é de 40 mř/s e a potência teórica disponível é de 2,0 - 10º W. Considere
g = 10 m/s” e a densidade da água 1,0 - 10º kg/m”. Determine a altura da queda-d'água.
P.322 Partindo do repouso, sob a ação de uma força constante paralela à direção da velocidade, um corpo de 0,5 kg
percorre 10 m e atinge 36 km/h. Nesse deslocamento:
a) calcule o trabalho da força;
b) calcule a potência média;
c) determine a potência instantânea no instante em que a velocidade é 36 km/h.
7. Rendimento
É comum o uso da expressão rendimento em nossa vida diária. Dizemos que um aluno que estuda
muito mas aprende pouco tem baixo rendimento. E um motorista preocupa-se com o rendimento do seu
carro, que roda uma quilometragem abaixo da desejável com um litro de combustível. Quem aplica seu
dinheiro no mercado financeiro visa a obter um bom rendimento. E por aí afora... Em todos esses casos,
o conceito de rendimento exprime a mesma idéia básica: o que se pode obter de útil (aprendizado,
quilometragem, juros) a partir de um total que foi aplicado (estudo, combustível, dinheiro).
Em Física, a noção de rendimento está relacionada ao trabalho ou à potência.
Considere então uma máquina M (figura 20). Admitamos que essa Efetivamente Pot,
máquina, em operação, receba uma potência total Pot, e utilize Pot, utilizado À
(potência útil) inferior à total Pot, perdendo Pot, (potência perdida)
pelos mais variados motivos.
O rendimento ņ (letra grega “eta”) é dado pela relação entre a
potência útil (Pot,) e a potência total recebida (Pot,):
Máquina
recebido Pot
Perdido na
operação
Figura 20.
O rendimento é uma grandeza adimensional, pois é uma relação de grandezas medidas na mesma
unidade. Comumente se multiplica o resultado obtido por 100, exprimindo-o em porcentagem.
Exercícios
resolvidos
Uma máquina consome 5 hp em sua operação. Sabendo-se que 3 hp são perdidos por dissipação, qual o ren-
dimento da máquina?
Solução:
A potência total recebida pela máquina é Pot, = 5 hp e a potência perdida na operação é Pot, = 3 hp, de modo
que a potência efetivamente usada é Pot, = Pot, — Pot, = 5 hp — 3 hp = 2 hp. O rendimento é:
Pot 2
n Pot, 5 n
A água é retirada de um poço de 18 m de profundidade com o auxílio de um motor de 5 hp. Determine o rendi-
mento do motor se 420.000 £ de água são retirados em 7 h de operação.
Adote: 1 hp = ž kW, g = 10 m/s” e a densidade da água d = 1 g/cm° = 1 kg/l
Resposta: 40%
sassssaseronspasaonesuassasuvvesassuuansornssnssosssssvssasosossvsssesesurasvsszosvsasrasresrsraseneunisotsnasoesvoneesasavnrevavrenresasnevressesssaseo
e 276 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibíde. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998
Solução:
a j a a j G
A potência total do motor é 5 hp, mas a potência utilizada é Pot, = Ar onde & será o trabalho necessário
para elevar a quantidade de água retirada em 7 h, dado por: 6 = Ph = mgh = dVgh
"mm
d= 1 kg/l =
V = 420.000 t = 4,2- 10°? m
Do enunciado, temos: g=10 m/s” O
h=18m
At=7h=7:36-10ºs
Na fórmula da potência, vem:
GS _ dvgh
At At
1:42:10? - 10-18
7:36:10
Pot, Pot, = 3+ 10º watts = 3 kW
Sendo 1hp = Ž kW, vem: Pot, = 3kW = 3. ; hp= 4hp
Resposta: 80%
Exercicios
P.323 Um motor de 16 hp utiliza efetivamente em sua operação 12 hp. Qual é o seu rendimento?
P.324 O rendimento de uma máquina é 70%. Se a potência total recebida é 10 cv, qual a potência efetivamente utilizada?
P.325 Determine a potência em kW e hp de uma máquina que ergue um peso de 2.000 N a uma altura de 0,75 m em 5 s.
O rendimento da máquina é 0,3. Adote 1 hp = - kW.
ícios propostos HM
de recapitulação
P.326 Um móvel sai do repouso pela ação da força F = 12 N constante, que nele atua durante 4 s, em trajetória retilinea
e horizontal, sem atrito, e o móvel desloca-se 20 m. Determine:
a) a aceleração adquirida pelo móvel;
b) a massa do corpo;
c) o trabalho da força Fnos quatro primeiros segundos;
d) a velocidade do corpo após 4s.
P.327 (Olimpíada Brasileira de Física) À figura ao lado
mostra a trajetória de um corpo no plano xy entre
os pontos A e B. Sabendo que o corpo está sob a
ação de diversas forças, determine o trabalho rea-
lizado por uma força F = 5,0 N, paralela ao eixo x.
Capítulo 14 ° TRABALHO 277 *
p.328
P.329
P.330
P.331
p332
P.333
P334
CETTTTTETTT]
Um carro de massa 500 kg move-se sem resistências dissipado- F(N}
ras em trajetória retilínea. O gráfico da força motora, na própria
direção do movimento, é representado na figura. Determine:
800 7---
a) o trabalho da força motora no percurso de 0 a 600 m;
b) a aceleração do carro quando passa pelo ponto a 400 m da
origem.
O 100 500 600 d (m)
(UFRJ) Um plano está inclinado, em relação à horizontal, de um
ângulo 0 cujo seno é igual a 0,6 (o ângulo é menor do que 45°).
Um bloco de massa m sobe nesse plano inclinado sob a ação de
uma força horizontal F de módulo exatamente igual ao módulo
de seu peso, como indica a figura.
a) Supondo que não haja atrito entre o bloco e o plano inclinado,
calcule o módulo da aceleração do bloco. Adote g = 10 m/s”.
b) Calcule a razão entre o trabalho W; da força Feotrabalho Wp do peso do bloco, ambos em um deslocamento
no qual o bloco percorre uma distância d ao longo da rampa.
(Fuvest-SP) A propaganda de um automóvel apregoa que ele consegue atingir a velocidade de 108 km/h em um
percurso horizontal de apenas 150 m, partindo do repouso.
a) Supondo o movimento uniformemente acelerado, calcule a aceleração do carro.
b) Sendo 1.200 kg a massa do carro, determine a potência média que ele desenvolve.
(Fuvest-SP) Um elevador de carga, com massa m = 5.000 kg,
é suspenso por um cabo na parte externa de um edifício em
construção. Nas condições das questões abaixo, considere que
o motor fornece a potência Pot = 150 kW.
a) Determine a força F,, em N, que o cabo exerce sobre o eleva-
dor, quando ele é puxado com velocidade constante.
b) Determine a força F,, em N, que o cabo exerce sobre o eleva-
dor, no instante em que ele está subindo com uma aceleração
para cima de módulo a = 5 m/s”.
c) Levando em conta a potência Pot do motor, determine a ve-
locidade v,, em m/s, com que o elevador estará subindo, nas
condições do item b (a = 5 m/s).
d) Determine a velocidade máxima v,, em m/s, com que o eleva-
dor pode subir quando puxado pelo motor.
g= 10 m/s?
Note e adote:
A potência Pot, desenvolvida por uma força F, é igual ao
produto da força pela velocidade v do corpo em que atua,
quando v tem a direção e o sentido da força.
Determine a potência desenvolvida pelo motor de um veículo com massa de 1 tonelada se este se move à ve-
locidade constante de 36 km/h num plano horizontal. As resistências do movimento são supostas constantes
e iguais a 60% do peso em movimento (use g = 10 m/s”).
Uma bomba hidráulica deve tirar água de um poço à razão de 7,5 £/s. O poço possui 10 m de profundidade e o
rendimento da bomba é 80%. Determine a potência da bomba. (Dados: densidade da água = 1 kg/t; g = 10m/s”;
1 hp = 0,75 kW)
(ITA-SP) Uma escada rolante transporta passageiros do andar térreo À ao andar superior B, com velocidade
constante. À escada tem comprimento total igual a 15 m, degraus em número de 75 e inclinação igual a 30°.
(Dados: sen 30º = 0,5; g = 10 m/s”)
Determine:
a) o trabalho da força motora necessária para elevar um passageiro de 80 kg de À até B;
b) a potência correspondente ao item anterior, empregada pelo motor que aciona o mecanismo, efetuando o
transporte em 30 s;
€) o rendimento do motor, sabendo-se que sua potência total é 400 watts.
DOCUBUSL CLS LCLDEDCN TEA VIADO OLD DUNI SIDA OCA LLC ODOR DUNA SACO LUDTL DEMONSTRA CADU LAO CENA ALSO RARO OU AS
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P,335: A força necessária para mover um barco a velocidade constante é proporcional à velocidade. Utilizam-se 20 hp para
movê-o à velocidade de 10 m/s. Qual é a potência requerida para se rebocar o barco à velocidade de 30 m/s?
P,336 (Fuvest-SP) Um automóvel com massa de 1.000 kg percorre, com velocidade constante v = 20 m/s (ou 72 km/h),
uma estrada (ver figura) com dois trechos horizontais (1 e II), um trecho em subida (ID) e um em descida (IV). Nos
trechos horizontais o motor do automóvel desenvolve uma potência de 30 kW para vencer a resistência do ar,
que pode ser considerada constante ao longo de todo o trajeto percorrido. Suponha que não há outras perdas
por atrito. Use g = 10 m/s”. São dados: sen « = 0,10 e sen B = 0,15. Determine:
a) o valor, em newtons, da componente paralela a cada trecho da estrada das forças F, Fı e Fy, aplicadas pela
estrada ao automóvel nos trechos I, II e IV, respectivamente;
b) o valor, em kW, da potência P, que o motor desenvolve no trecho II.
P.337 O elevador E da figura possui 4 toneladas, incluindo sua carga. Ele está
ligado a um contrapeso C de 3 toneladas e é acionado por um motor
elétrico M de 80% de rendimento. Determine a potência requerida pelo
motor quando o elevador se move para cima com velocidade constante Motor
de 2,0 m/s. Adote g = 10 m/s”.
o
foi)
3
E)
ke
e
g
B
>
2
v
D
D
Testes
que condições uma força realiza um trabalho
negativo? | (UFSCar-SP) Um bloco de 10 kg movimenta-se
em linha reta sobre uma mesa lisa em posição
horizontal, sob a ação de uma força variável que
atua na mesma direção do movimento, conforme
o gráfico abaixo.
Denominando-se F o vetor força aplicada, do
vetor deslocamento efetuado e 6 o menor ângulo
entre Fe d, a resposta correta para a pergunta é:
: „propostos
ê * (Acafe-SC) Uma estudante do primeiro ano do | Qual é o trabalho, em joules, realizado pela força
S Ensino Médio, fazendo seus trabalhos sobre a | quando o corpo vai de x = 2 m para x = 6 m?
E matéria “Trabalho e Energia”, apresentou difi- | a) 4 o 10 e) 64
& culdade em responder a seguinte pergunta: Em f b) 6 d) 32
$ |
Ë
a) sempre que 0° = 0 < 90º.
b) sempre que F for negativo. | AF (N)
c) sempre que d for negativo. |
d) somente quando F for negativo e d for positivo. |
e) sempre que 90° < 6 = 180º. |
: (UFPE) O gráfico da figura mostra a variação da
intensidade da força F que atua sobre um cor-
po, paralelamente à sua trajetória, em função de
seu espaço (x).
AFIN)
O trabalho realizado pela força quando o bloco
| se desloca da origem até o ponto x = 6m é:
| a) 1J o 4J e) 2J
b) 6J d) zero
trosoersesecsoveoescocososessovoseorsssosesesasovecseosssosvssoaeposesosoososoncsssonsessosososesacosononossooecsesessusnososcozeesossesaornossseeossosee
Capítulo 14 * TRABALHO 279 °
_ (Unisa-SP) Um bloco com 4,0 kg, inicialmente em
repouso, é puxado por uma força constante e hori-
zontal, ao longo de uma distância de 15,0 m, sobre
uma superfície plana, lisa e horizontal, durante
2,0 s. O trabalho realizado, em joules, é de:
a) 50 c) 250 e) 450
b) 150 d) 350
: (Uerj) Um pequeno vagão, deslocando-se sobre
trilhos, realiza o percurso entre os pontos 4 e €,
segundo a forma representada na figura abaixo,
onde h, e h, são os desníveis do trajeto.
Os trabalhos realizados entre os pontos 4 e C,
pelo peso P do carrinho e pela reação normal
F, exercida pelos trilhos sobre o vagão, corres-
pondem, respectivamente, a:
a) [Pl + ha) e Fil (+ ho)
b) -|F ha +h) e0
9 -|P h e ||- h
d) -|F| -h, e 0
© Plin, e |Ñ] h
- (UFPB) Um avião decola e segue, inicialmente,
uma trajetória de ascensão retilínea por 3 km,
formando um ângulo de 30º com a horizontal. Se
a força peso realizou um trabalho de —1,5 x 10° J,
a massa do avião, em toneladas, vale:
a) 10 o 4,5 e) 1,0
b)5 d) 1,5
(UEL-PR) Um pêndulo é constituído de uma
esfera de massa 2,0 kg, presa a um fio de massa
deprezível e comprimento 2,0 m, que pende do
teto conforme figura abaixo. O pêndulo oscila for-
mando um ângulo máximo de 60º com a vertical.
a 60º `
Nessas condições, o trabalho realizado pela força
de tração que o fio exerce sobre a esfera, entre
a posição mais baixa e a mais alta, em joules,
vale:
a) 20
b) 10
c) zero
d) 10
e) —20
|
|
|
|
(Vunesp) O elevador de um prédio em constru-
ção é capaz de erguer uma carga de 1.200 N a uma
altura de 20 m, em 12 s. Nessas condições, a po-
tência média útil desenvolvida por esse elevador,
em watts, é de:
a) 1.000
b) 1.500
© 2.000
d) 3.000
e) 5.000
7 (Fuvest-SP) Uma esteira rolante transporta 15
caixas de bebida por minuto, de um depósito
no subsolo até o andar térreo. A esteira tem
comprimento de 12 m, inclinação de 30º com a
horizontal e move-se com velocidade constante.
As caixas a serem transportadas já são colocadas
com a velocidade da esteira. Se cada caixa pesa
200 N, o motor que aciona esse mecanismo deve
fornecer a potência de:
a) 20W c) 300 W
b) 40 W d) 600 W
e) 1.800 W
(FEI-SP) Um corpo de massa m = 2 kg desloca-se
ao longo de uma trajetória retilínea. Sua velocida-
de varia com o tempo segundo o gráfico dado.
A v (m/s)
100
'
i
1
1
1
- >
0 10 t(s)
A potência média desenvolvida entre 0e 10 sea
potência instantânea em t = 10 s valem, respec-
tivamente, em valor absoluto:
a) 750 W e 500 W
b) 750 W e 750 W
c) 500 W e 750 W
d) 100 W e 50 W
e) 50We100 W
} (UFSM-RS) Suponha que um caminhão de massa
1,0 + 10* kg suba, com velocidade constante de
9 km/h, uma estrada com 30° de inclinação com
a horizontal. Que potência seria necessária ao
motor do caminhão? Adote g = 10 m/s”.
a) 9,0- 10° W
b) 2,5- 10° W
o 1,25. 10° W
d) 4,0- 10W
e) 1,1- 10W
O (ITA-SP) Uma queda-d'água escoa 120 m” de água
por minuto e tem 10,0 m de altura. A massa es-
pecífica da água é 1,00 g/cm” e a aceleração da
gravidade é 9,81 m/s”. A potência mecânica da
queda-d'água é:
a) 2,00 W
b) 235 -10ºW
c) 196 kW
d) 3,13 - 10° N
e) 1,96 -10 W
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
| Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Calculando trabalho e potência
Ao subir uma escada, sua força muscular realiza trabalho. Conforme o intervalo de tempo gasto na subida, a po-
tência que você despende é maior ou menor. Realize então o experimento seguinte.
Escolha uma certa escada, conte o número de degraus e meça a altura de cada degrau. Você terá assim a altura que
| você vai se deslocar. Sua massa você deve saber. Se não, procure uma balança para determiná-la. Suba a escada e meça
o tempo que você gastou nesse percurso.
STONE-GETTY IMAG ES
Responda:
e Qual foi o trabalho que sua força-peso realizou nesse deslocamento?
* Esse trabalho seria diferente se, caso fosse possível, você pulasse do piso até o último degrau”? E se a escada fosse
rolante?
* Calcule a potência despendida por você no deslocamento em questão. Ela seria maior, menor ou a mesma caso você
se deslocasse mais rapidamente? Por quê?
Carituio 14 © TRABALHO 2810
1. INTRODUÇÃO i i
2. ENERGIA CINÉTICA E Neste capítulo, estudamos inicialmente a energia
3. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL. cinética, associada ao estado de movimento de um corpo.
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA Introduzimos também o conceito de energia potencial e
- . enunciamos o princípio da conservação da energia, um
4. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA dos princípios básicos da Física. Outras formas de energia,
a: TRAS FOR MAS DE ENERGIA como o calor, são discutidas no final do capítulo.
1. Introdução
No mundo atual, muito se fala em energia. Sabe-se que ela é essencial à vida. O papel do Sol, do
petróleo e de outros combustíveis é de vital importância para que se consiga a energia que nos man-
tém vivos e que faz nossas máquinas e mecanismos funcionarem. Novas fontes de energia estão sendo
constantemente investigadas, para substituir outras já quase esgotadas.
Mas, afinal, o que é energia?
Na verdade, é um conceito difícil de ser definido. Apesar disso, a idéia está tão arraigada em nosso
cotidiano que praticamente a aceitamos sem definição. Assim, as considerações a seguir não trazem
em si o objetivo de definir energia, mas sim de relacioná-la com outros conceitos físicos já estudados.
Veremos que muito frequentemente a energia está associada ao movimento (energia cinética). No en-
tanto, mesmo estando em repouso, um corpo pode possuir energia apenas em função da posição que
ocupa (energia potencial). Outra relação importante a ser apresentada é a que existe entre energia e
trabalho.
Na foto de abertura deste capítulo, no instante em que o atleta atinge a altura máxima, sua energia
cinética é nula. Entretanto, em relação ao solo, o atleta possui energia potencial.
2. Energia cinética
Considere, atuando num corpo, as forças E, E, a- F, (figura 1a), cuja resultante F é constante em
intensidade, direção e sentido (figura 1b).
b)
À em B
d
Figura 1. Pelo efeito das forças de resultante F, o corpo passa da posição A para a posição B.
Essa resultante garante um movimento uniformemente variado tal que: v; = v + 2ad
vg O Vá
Da equação acima, obtemos a aceleração: a = zJ
Pela equação fundamental da Dinâmica, vem: R = ma = m:
e 282 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Multiplicando os dois membros por d, e reorganizando o segundo membro, temos:
2 2 2 2 2 2
Y > Vv, V: V, My my,
ha = m- (EZ) = m (È E) o nd É A
2 2 2 2
Nessa última igualdade, Ad é o trabalho G, da força resultante F, entre os pontos A e B; as parcelas
m
E presentes no segundo membro, representam uma grandeza escalar chamada energia cinética
(energia associada ao estado de movimento do corpo de massa m e velocidade v):
mi
A ata
nua mv? m? onde z E., (energia cinética em 4)
R R
2 2 mvs
Ei = E, (energia cinética em B)
Ca E,-E
CA
= AE,
AHB
B
A variação da energia cinética de um corpo entre dois instantes é medida pelo trabalho da re-
sultante das forças entre os instantes considerados.
Esse enunciado é conhecido por teorema da energia cinética, de validade geral para qualquer tipo
de movimento.
O teorema da energia cinética: mv?
(z > |;
2
e estabelece um critério de medida dessa energia: a sua variação será medida pelo trabalho da resul-
tante das forças (AE = E, — E,= Gp).
A energia cinética aumenta quando o trabalho da resultante é motor (figura 2a), isto é, a força re-
sultante é favorável ao deslocamento, aumentando a velocidade.
A energia cinética diminui quando o trabalho da resultante é resistente (figura 2b), isto é, a força
resultante é oposta ao deslocamento, diminuindo a velocidade.
a) b)
G=L-E G<0DSE<E,
e introduz um novo conceito: o de energia cinética
CG>0=E >E
B A
ni point
AR B
d
E. aumenta E. diminui
Figura 2. A energia cinética aumenta ou diminui conforme a resultante seja favorável ou contrária ao deslocamento.
Pelo teorema da energia cinética, concluímos que a energia tem a mesma unidade do trabalho.
No Sistema Internacional de Unidades (Sl), essa unidade é o joule (J).
OBSERVAÇÃO
“1 Entre na rede
|
No enunciado do teorema da energia cinética,
o corpo considerado é um ponto material. No caso
do corpo extenso, além do trabalho das forças ex-
ternas, devemos levar em conta também o trabalho
das forças internas. Por exemplo, na situação de
uma pessoa subindo uma escada, além do trabalho
do peso (força externa), devemos considerar o tra- ou inclinado, calculando o trabalho
balho da força muscular da pessoa (força interna). das forças que agem no bloco
| e a variação de sua energia cinética.
ease
Capitulo 15 e ENERGIA 283 °
No endereço eletrônico http:// |
www.ngsir.netfirms.com/
englishhtm/Work.htm
(acesso em 16/2/2007), você pode
simular o movimento de um bloco |
ao longo de um plano horizontal |
|
e——
fazd
a
a)
[a
tri
Exercícios
“resolvidos
é Um corpo de 10 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante paralela à trajetória e 5 s depois atinge
a velocidade de 15 m/s. Determine sua energia cinética no instante 5 s e o trabalho da força, suposta única, que
atua no corpo no intervalo de0sa5s.
Solução:
À energia cinética no instante t = 5 s é: %=0 F v=15 mis
mo; 10-15?
E = Mm E, = 1125 J A B
B 2 2 t=0s t=5s
Pelo teorema da energia cinética:
Or = Ey E = 1.125 — 0 (mote que E., = 0, pois v = 0)
Portanto: | Gp = E, = 1.125]
Resposta: £,, = 1.125 J; Gp = 1.125 J
Observação:
O trabalho de Fé motor (a energia cinética do corpo aumenta).
É Um projétil de 10 g atinge perpendicularmente uma parede com velocidade igual a 600 m/s e ali penetra 20 cm,
na direção do movimento. Determine a intensidade da força de resistência oposta pela parede à penetração,
supondo essa força constante.
Solução:
O projétil, ao chocar-se com a parede, possui energia cinética. Depois de
penetrar d = 20 cm = 0,20 m, sua energia cinética torna-se nula (o projétil
pára). Pelo teorema da energia cinética, o trabalho da força de resistência
é dado por:
Gr = Eg Es E
e cy pois E, = O
Da definição de trabalho resulta: G = —Fd
Comparando-se as duas expressões de Gy, vem:
mus
Fd=-E, > Fd=E, > Fd =
A massa do projétil (m = 10 g = 10 - 10º kg) e a velocidade de impacto
(vs, = 600 m/s) são dadas no enunciado. Substituindo esses valores,
“In. 2
F-0,20= 10 £ 600 F = 9.000 N
Resposta: 9.000 N
obtemos:
` Um pequeno bloco de massa 2,0 kg encontra-se inicialmente em repouso A F(N)
num ponto O. A força resultante F que passa a agir no bloco o faz mover-se
ao longo de um eixo Ox. A intensidade da força F varia de acordo com o
gráfico. Determine a velocidade do bloco após deslocar-se 4,0 m.
Solução:
A área do trapézio da figura ao lado é numericamente igual ao trabalho
realizado pela força resultante F no deslocamento de 0 a 4,0 m:
Gr 5 Arapério -= 40 20 *
Gp =36J |
Pelo teorema da energia cinética, vem: !
Gr — Ey 7 Ea > O = E, Mote que £, = 0, 0 2,0 40 xim)
12 12
cB
pois o bloco parte do repouso)
2 op?
Assim, obtemos: Ga = E 36 = —
Resposta: 6,0 m/s
e 284 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A Para levantar um corpo de massa 2 kg a uma altura de 2 m, um operador aplicou uma força F que realizou um
trabalho de 56 J. Se inicialmente o corpo estava em repouso, qual foi a sua velocidade ao atingir aquela altura?
Adote g = 10 m/s” e despreze a resistência do ar.
Solução:
As forças que agem no corpo são: o peso Pea força Fdo operador.
Pelo teorema da energia cinética, temos: Cp — E, — Ea B
Mas o trabalho da resultante das forças é a soma algébrica do trabalho das forças
componentes: Gp = Gp + Gp
Igualando as duas expressões de Gy, vem: Gp + Cp = E, — E
Como o corpo sobe, o trabalho do peso é negativo: Gp = —Ph = —mgh. Logo:
mo’
mgh + G; = E, E, > -mgh + Ge = ———
cB 2
2
, 20
Sendo m = 2 kg, g = 10 m/s?, h = 2 m e GG, = 56 J, obtemos: -2.10.2 + 56 = “2 (v= 4m5)
m g, g m/s me Gp obtemos: —-2-:10-2 + 56 7 >
Resposta: 4 m/s
(E., = 0, pois v, = 0)
Exercícios
P.338' Um corpo de 10 kg parte do repouso, sob a ação de uma força constante, em trajetória horizontal, e após 16 s
atinge 144 km/h. Qual é o trabalho dessa força nesse intervalo de tempo?
P.339 Calcule a força necessária para fazer parar um trem de 60 toneladas a 45 km/h numa distância de 500 m.
P.340 (Vunesp) Um projétil de 20 gramas, com velocidade de 240 m/s, atinge o tronco de uma árvore e nele penetra
uma certa distância até parar.
a) Determine a energia cinética E. do projétil antes de colidir com o tronco e o trabalho & realizado sobre o
projétil na sua trajetória no interior do tronco, até parar.
b) Sabendo que o projétil penetrou 18 cm no tronco da árvore, determine o valor médio F,, da força de resis-
tência que o tronco ofereceu à penetração do projétil.
(O valor médio F, é a intensidade de uma força constante que realiza o mesmo trabalho da força variável,
como é o caso da força de resistência do tronco.)
P.341. 0 gráfico representa a variação da intensidade da força resultante AF(N)
F que atua num pequeno bloco de massa 2 kg em função do deslo-
camento x. Sabe-se que a força F tem a mesma direção e sentido do
204---------
deslocamento. Em x = 0 a velocidade do bloco é 5 m/s. Determine a ! !
energia cinética do bloco quando x = 4 m. ' '
10 i i
P.342 Um homem ergue um corpo que se encontrava em repouso no solo até
uma altura de 2 m. O corpo chegou com velocidade nula. A força que
o homem aplica no corpo realiza um trabalho de 12 J. Determine: 0
a) o trabalho realizado pelo peso do corpo;
b) a intensidade do peso do corpo.
B :. Energia potencial gravitacional.
Energia potencial elástica
No capítulo anterior calculamos o trabalho do peso (item 5.1) e o trabalho da força elástica
(item 5.2):
Trabalho do peso: [6 =<Ph] (h: desnível entre os pontos considerados)
o k: constante elástica da mola
Trabalho da força elástica: .
x: deformação da mola
CarítuLo 15 e ENERGIA 285 o
Esses trabalhos independem da forma da trajetória e conduzem ao conceito de uma nova forma de
energia.
Considere em primeiro lugar o peso. Apliquemos ao corpo da figura 3a uma força contrária ao peso,
erguendo-o até a posição B, à altura h (figura 3b). Se abandonarmos o corpo nessa posição, espontanea-
mente ele cai (figura 3c) e seu peso realiza trabalho, que, pelo teorema da energia cinética de B a 4
(figura 3d), é:
Ca E E, =E O (observe que E, = O, pois v; = 0)
CA cg CA
mv?
~ A
Então: ©, = Ph = > = E,
e N
a) b) F c) a d)
t F=0
B o 7 v=0 N v=0
P
1
hoo h |
br
F
A AÑ A
P Gea = CA vA
A J
Figura 3.
Na posição B, o corpo não possui energia de movimento (v; = 0), mas sabemos que possui a qua-
lidade em potencial de vir a ter energia cinética, pois, caindo, seu peso realizará trabalho, que será sua
energia cinética. Desse modo, na posição B, o corpo tem uma energia associada à sua posição (em
relação à Terra) ainda não transformada na forma útil (energia cinética). Essa energia, que será transfor-
mada em energia cinética à medida que o corpo cai e o peso realiza trabalho, é denominada energia
potencial gravitacional (E, ).
A energia potencial gravitacional £, „ na posição B em relação a um nível de referência em A é igual
ao trabalho que o peso realiza no deslocamento de B para A:
Vamos considerar agora o sistema elástico constituído pela -
mola de massa desprezível e de constante elástica ke pela esfera a) h00) ps
de massa m (figura 4). A
Apliquemos à esfera uma força F (figura 4a) que provoca
uma deformação da mola x = AB (figura 4b). Abandonando- Fas aM F
a nessa posição B, espontaneamente ela retorna (figura 4c) e b) n 0000
a força elástica realiza trabalho, que pelo teorema da energia Ai Xo B
cinética de B para A (figura 4d) é:
Zsa = E, — E= E, O (E, = 0, pois v = 0) © m 00000089@ 7-0
2 2 B
Então: Bsa kx Ma E
2 2 A DZ
Na posição B a esfera não possui energia de movimento d) INON A
(vs = 0), mas sim a qualidade em potencial de vir a ter energia A Z E
cinética, pois, ao ser abandonada, a força elástica realizará Mata
trabalho. Figura 4.
CROMO SL CALIL COL OLL NLOROROLCNONTANALLADA CEDAR OD CLC LDL ENLACE DASO ODOR TAC O LO SUA UCR CR a nas Ran sonoro corar o nao ara senna dO
e286 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Desse modo, concluímos que na posição B a mola tem energia associada à sua deformação. Essa
energia, que será transformada em energia cinética da esfera quando esta retornar e a força elástica rea-
lizar trabalho, é denominada energia potencial elástica (E,...,).
A energia potencial elástica E, da mola em 8 em relação a um nível de referência em A (mola não-
deformada) é igual ao trabalho que a força elástica realiza no deslocamento de B para A:
Num relógio “com a corda
dada” (A), a mola possui
energia potencial elástica,
que vai se transformando
em energia cinética
e movimentando o
mecanismo, até o relógio
ficar “sem corda” (B).
Resumindo, em Mecânica consideramos duas energias potenciais: a associada ao trabalho do peso,
chamada energia potencial gravitacional, e a associada ao trabalho da força elástica, chamada energia
potencial elástica.
Há outros tipos de energia potencial associados a trabalhos de outras forças conservativas, como
veremos no terceiro volume.
A energia potencial gravitacional é uma forma importante de energia: a água na parte superior de uma
cachoeira, por exemplo, possui energia potencial gravitacional que se converte em cinética ao cair.
JOÃO PRUDENTE / PULSAR
A energia potencial gravitacional depende do nível horizontal de referência utilizado para a
medida da altura h em E = Ph. O nível de referência a ser adotado é arbitrário, pois o que vai nos
interessar são as diferenças de energia, conforme mostraremos nos exercícios resolvidos. No nível hori-
zontal de referência, a energia potencial gravitacional é nula (h = 0 = E,
2
kx . Za a
2 representa a energia potencial elástica na posição correspon-
=0).
No caso de uma mola, E
Pelást.
dente à deformação x, medida em relação à posição natural da mola (não-deformada).
Capítulo 15 © ENERGIA 287 °
P.343
P.344
P.345
P.346
A
versa,
Um corpo atirado para cima com velocidade inicial v, retorna à
mesma posição com a mesma velocidade em sentido contrário, se
desprezarmos a resistência do ar (figura 5). Isto é, na ausência de for-
ças dissipativas, a energia cinética inicialmente fornecida ao corpo é a
mesma na posição final. Porém, no fenômeno descrito, essa energia
Uma pequena bola de borracha, de massa 50 g, é abandonada de um ponto A situado a uma altura de 5,0 m e,
depois de chocar-se com o solo, eleva-se verticalmente até um ponto B, situado a 3,6m. Considere a aceleração
local da gravidade 10 m/s”.
a) Calcule a energia potencial gravitacional da bola nas posições A e B. Adote o solo como nível horizontal de
referência para a medida da energia potencial. `
b) Como se modificariam as respostas anteriores se o nível de referência fosse o plano horizontal que passa
por B?
(Fuvest-SP) Uma bala de morteiro, de massa 5,0 - 10? g, está a uma altura de 50 m acima do solo horizontal
com uma velocidade de 10 m/s, em um instante £. Tomando o solo como referencial e adotando g = 10m/s),
determine no instante t:
a) a energia cinética da bala; b) a energia potencial gravitacional da bala.
No sistema elástico da figura, O representa a posição de equilíbrio (mola
não-deformada). Ao ser alongada, passando para a posição 4, a mola
armazena a energia potencial elástica E, = 2,0 J. Determine:
a) a constante elástica da mola;
b) a energia potencial elástica que a mola armazena na posição B, ponto
médio do segmento OA.
(Unicamp-SP) O gráfico ao lado representa a intensidade da força elásti-
ca aplicada por uma mola, em função de sua deformação. 12
a) Qual é a constante elástica da mola?
b) Qual é a energia potencial elástica armazenada na mola para x = 0,50 m?
0
4. Conservação da energia mecânica
energia pode transformar-se de cinética em potencial ou vice-
nos processos mecânicos.
$
E, E
Vo
Figura 5. Desprezada a ação do ar, a
energia cinética inicial é igual à final.
se transforma (figura 6).
Quando o corpo sobe, diminui sua velocidade e sua energia cinética; porém o corpo ganha altura
e, portanto, aumenta sua energia potencial (figura 6b).
Na altura máxima, o corpo tem somente energia potencial, pois sua velocidade é nula (figura 6c).
Durante a queda, o corpo perde energia potencial, pois perde altura, mas adquire energia cinética
(figura 6d).
Ao retornar ao ponto de lançamento, o corpo recupera sua energia cinética inicial (figura 6e).
a) b) c) d) e)
v
---- H Co ---- Do
Vo v’
h h' Vo
Solo na
E = Ma E, =mgh E, =mgH E- mv”? E= mvg
2 my? c 2 2
E,=0 = E=0 E, = mgh’ E,=0
Figura 6. Adotamos o solo como nível de referência para medida de energia potencial (E, = 0).
cosesenses COMNRADL COPO A CALCULE PCC DE RONCO OLL CRC LADO LONA CEO CA DESA RVESCA DOC CADU Ra Ra Don nO Uns OL O Cosa sonda ones
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Chamando de energia mecânica a soma da energia poten-
cial com a energia cinética, temos: “=: À Entre na rede
(Em =E tE] No endereço eletrônico http://
br.geocities.com/saladefisica3/
laboratorio/mecanica/mecanica.
htm (acesso em 16/2/2007), você
Verifica-se que:
pode verificar a conservação da
energia mecânica, analisando o
movimento de uma esfera ao longo
de um plano inclinado, isento de
atrito.
A energia mecânica permanece constante na ausência
de forças dissipativas, apenas ocorre a conversão entre suas
formas cinética e potencial.
Considere agora uma esfera presa a uma mola e apoiada
numa superfície horizontal sem atrito; despreze a resistência
do ar.
a) posição de equilíbrio
kx?
b) Emec. = E, = 2
12 12
O Enc = E + E= e my
2 2
2
d) Epe = E = Z
2
kx?
e) Ene. = E = ——
) Emec. = & 3
2
f) Ene ED
2
kx?
Emec — E =
9) Enc = =
Figura 7. Oscilador harmônico.
A esfera é tirada da posição de equilíbrio (figura 7a) pela ação de Fe abandonada depois que a mola
sofre uma deformação x (figura 7b). Nessa posição, o sistema tem energia potencial elástica.
Abandonado (figura 7c), o sistema perde energia potencial (a deformação é menor), mas ganha
energia cinética, pois tem velocidade.
Na posição central O (figura 7d), toda a energia do sistema é cinética, pois a mola não está nem alongada
nem comprimida.
A esfera vai até o outro extremo (figura 7e), comprimindo a mola: o sistema tem apenas energia
potencial e o processo se repete.
O sistema descrito constitui um oscilador harmônico.
Desprezadas as forças dissipativas, a energia mecânica permanece constante. Na prática, o
sistema perde a energia mecânica inicial, devido à dissipação por atrito e à resistência do ar.
De modo geral podemos afirmar que:
A energia mecânica de um sistema se conserva quando este se movimenta sob ação de forças
conservativas e eventualmente de outras forças que realizam trabalho nulo.
Capítulo 15 * ENERGIA 289 o
O mito do moto-perpétuo
Muitas pessoas, algumas leigas e outras com bom conhecimento científico, tentaram imaginar e cons-
| truir uma máquina de movimento perpétuo. Essa máquina, por meio apenas de conversões de energia
| no seu interior, deveria funcionar eternamente, sem nenhum suprimento externo de energia. Entretanto,
todas as tentativas se mostraram infrutíferas, pois sempre uma parcela da energia, por mínima que seja,
© se perde no processo de funcionamento da máquina.
Hoje está cientificamente provado ser impossível a criação de um moto-perpétuo (também conhecido
como moto-contínuo), de modo que todos os escritórios de registro de patentes do mundo rejeitam a
priori projetos de tais máquinas.
“4 Máquina de movimento perpétuo proposto em
1670, por John Wilkins, bispo de Chester: a esfera
de ferro B sobe a rampa M, atraída por um ímã A,
atinge o buraco C e desce pela rampa N. Devido
à curva em D, a esfera retorna à rampa M, e o
movimento “repete-se indefinidamente”. Onde está
Até informação contrária, nos exercícios seguintes despreze forças dissipativas, como atrito e resistência do ar.
Determine a velocidade que um corpo adquire ao cair de uma altura h, conhecida, a partir do repouso.
Dado g = aceleração da gravidade local.
Solução: A
E Du-o
h
40000000" B 2020000
Nível de
referência Va
para medida
de energia potencial
Pela conservação da energia mecânica:
E, = E,
mec.A mec.g
Ep t Ec, Epp T Eog
mus
mgh + 0 = 0+ 3
*290 Os FUNDAMENTOS DA Física
o
D
D
o
o
e
D
o
>
g
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Observação:
Há outros problemas análogos a este, mudando apenas a situação física. Vejamos alguns exemplos.
e Um pêndulo é abandonado de uma altura h. Determine a velocidade em seu ponto inferior.
Na massa pendular atuam somente o peso P (força conservativa) e a tração T, que não realiza trabalho; pois
é perpendicular em cada instante ao deslocamento.
Assim, a energia mecânica se conserva:
E E,
meca — “mec.
Ep + Ea = Eps + Ecs
2
mgh +0204 Zlã Ťėěêüūüaaaa E
2 Nível de
referência
Vg = 4 2gh
* Em todos os casos propostos a seguir, as superfícies são supostas sem atrito:
E] Um corpo é atirado verticalmente para cima com velocidade v,. Supondo conhecidos v, e a aceleração da gra-
vidade g, determine a altura máxima que o corpo atinge.
Solução:
Na altura máxima a velocidade é nula. Pela conservação da energia mecânica:
Emec, = E,
meca mec.g
Em t Ee T En + Eeg -Aa %=0
mo,
0+ 2 =mgh+0
h
Yo
A
ví
Resposta: h = o É
2g
referência
Observação:
De modo semelhante a esse exercício, podemos propor: abandonando um corpo de uma altura h (figura a) na
superfície polida indicada, a altura h' que ele atinge é igual a A, pois sua energia potencial inicial é idêntica à
energia final, que é apenas potencial. Abandonando o pêndulo da altura h (figura b), a altura h” que ele atinge
será o próprio h, ainda que se considere um obstáculo como o da figura c, que altere a direção do fio.
Capítulo 15 + ENERGIA 291º
e—
fazd
>
far)
td
Eri
É] Uma bola é lançada horizontalmente do alto de uma colina de 120 m de altura com velocidade de 10 m/s. Determine
a velocidade da bola ao atingir o solo. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s.
Solução: A w=10ms
Pela conservação da energia mecânica:
Emeca = E mecs
Ep + Ea 5 Eps t Eo
2 mu 9 ,
mgh + T 0+ 5 > v= 2gh + vi;
Substituindo os valores dados, vem:
v’ = 2: 10-120 + 10º v’ = 2.500 > Nível de referência Solo
Resposta: 50 m/s v
Uma esfera de massa m = 2,0 kg presa a um fio de comprimento A
L= 0,45 m é abandonada na posição À, conforme a figura. No ins- 2— o
tante em que a esfera passa pela posição B, determine:
a) sua velocidade escalar;
b) a intensidade da força de tração no fio.
Despreze os atritos e considere g = 10 m/s’.
Solução:
a) Pela conservação da energia mecânica:
A
= v =0
E meca = Emec.g ; L=0,45m Mo -- )
E, + E, = E + Es, |
mgh+0=0+ | i
v = 2gh T A
Sendo h = L=0,45m e g= 10 m/s’, vem: <
2-9, . -30 m/e) o nn aT-
v = 2: 10: 0,45 > Nível de referência
b) As forças que agem na esfera são o peso Pea tração do fio T P
A resultante dessas forças, na posição B, é a própria resultante
centrípeta. Portanto:
Fp = Map > T-P me
R
Sendo P = mg = 20 N, m = 2,0 kg, v = 3,0 m/s e R= L = 0,45 m,
vem:
8,0?
T- 20 = 2,0. T=60N
? 0,45
Respostas: a) 3,0 m/s; b) 60 N
l E A esteira da figura transporta quatro corpos de igual massa presos a ela. À esteira passa pelos roletes sem
atrito e, na posição da figura, encontra-se travada. Destravando-a, o sistema põe-se em movimento. Determine a
velocidade do primeiro corpo quando atinge a posição B indicada na figura. Despreze as dimensões dos corpos
e das polias que compõem o sistema, isto é, considere que todos os corpos, na situação inicial, estão à mesma
altura. Adote g = 10 m/s”.
e 292 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penali e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
Os quatro corpos presos à esteira constituem um sistema de corpos de massa total 4M, sendo M a massa de
cada corpo. Adotaremos a linha horizontal que passa por B como nível de referência.
Na figura a, o sistema tem apenas energia potencial (v, = 0):
Ene. = E, = 4Mgh ©
-------- S Nível de referência
Figura a Figura b
Na figura b, o sistema está em movimento. Além de energia cinética (a esteira e todos os corpos possuem a mesma
Mgh
velocidade v), o sistema apresenta também a energia potencial dos corpos II [e] , II (Mgh) e IV (Mgh).
2
En = I a Meh mn + Mgh = Mp? A > Mgh ©
Igualando O e Q, vem:
4Mgh = 2Mv? À = Mgh 2M0 = Mgh = v 58 > (o = /30 m/s = 5,5 m/s |
Resposta: J30 m/s = 5,5 m/s
gary Numa superfície plana e polida um carrinho tem velocidade
V e percorre a pista curva indicada.
Conhecendo-se R, raio da curva da pista, e g, aceleração
da gravidade local, determine o menor valor da velocidade
inicial para que o fenômeno seja possível. (À curva é cha-
mada looping.)
Solução:
O ponto superior B é o mais difícil de toda a trajetória.
Considere que o carrinho tenha nesse ponto uma veloci-
dade vs de modo que ele consiga completar a curva. Pela
conservação da energia mecânica:
E nec = E nec
2 2
ki = mgh + o” sendo h = 2R
? 2 - eee
= = mg2R À ki A Nível de referência
Cancelando m e multiplicando todos os termos por 2, obtemos: v; = 4Rg + u} ©
Nessa equação, 4Rg é constante e v, varia em função de vp: quanto menor v,, menor v,. À velocidade v, será
mínima quando vz também for mínima:
Voa T 4Rg+ Uh ©
mín.
O cálculo de vs. é baseado no problema do globo da morte (veja R.112, no capítulo 13, página 253). No ponto
2
UR
superior B, em condições críticas, a aceleração centrípeta a.p = R
deve ser a própria aceleração da gravidade
g, situação em que a força de contato R, é nula:
CarítuLo 15 * ENERGIA 293º
Substituindo na expressão ©, temos:
Vinin. = 4Rg | V’ amin. > Vinin. 4Rg f Rg o Rg q Vomin. T V 5Rg
Resposta: ,/5Rg
a
) b) c)
Q
fa
[ea
5
Ja
x UU
A
O
E
o
ra
SANTALIESTRA / CID
Para que possa realizar esse looping, o carrinho deve entrar na curva com velocidade no mínimo igual a 4 5Rg,
sendo R o raio da curva descrita.
Um carrinho cai de uma altura h desconhecida e descreve a trajetória
indicada. O raio da curva é conhecido, bem como a aceleração da
gravidade g. Determine o menor valor da altura À para que o fenômeno
seja possível. Despreze os atritos e a resistência do ar.
Solução:
Como no problema anterior, o ponto superior B é o mais difícil da traje-
tória: o móvel deve passar por esse ponto com certa velocidade vz. A tvo=0)
Pela conservação da energia mecânica:
Eee. (4) T E mec. (B)
mus
mgh = mg: 2R + 2R
h 2R vi © S
=g:2R+ 5 quaras oii
8 8 2 Nível de referência C
Por essa expressão, h é mínimo quando v, for mínimo, o que ocorre nas condições analisadas no problema
anterior. O ponto B é alcançado em condições críticas quando Fy = 0, o que resulta:
2
Ubmin.
aep = g ? R g > UBmin. = Rg
Substituindo em ®, vem:
2
Bm =g 2R + Cs ghn = ge2R- a ham = 2R + Ë => (han = 25R
Resposta: Am = 2,9R
Observação:
>
A normal F, só é nula instantaneamente, no ponto superior B. Em qualquer outro ponto, a normal não é nula.
294 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um bloco de massa m = 4 kg e velocidade horizontal v = 0,5 m/s choca-se com uma mola de constante elástica
k = 100 N/m. Não há atrito entre o bloco e a superfície de contato. Determine a máxima deformação sofrida
pela mola.
Solução:
À energia cinética que o bloco possui será transferida integralmente à
mola quando esta estiver totalmente comprimida: E.
Ecorpo Pmola
Então: a l s 000000000»)
22
4- 0,5? = 100 -x
(x =0,10m = 10 em)
Resposta: 0,10 m ou 10 cm
Um corpo de massa 2 kg é abandonado sobre uma mola ideal de constante
elástica 50 N/m, como mostra a figura. Considerando g = 10 m/s” e des-
prezando as perdas de energia mecânica, determine: 0,6 m
a) a deformação da mola no instante em que a velocidade do corpo é o
máxima; À
b) a velocidade máxima do corpo. =
=
a e
Solução:
a) Inicialmente o corpo cai acelerado sob a ação de seu peso P (figura a) até atingir a mola. Em contato com
a mola, além do peso, passa a agir no corpo a força elástica Fast cuja intensidade é proporcional à defor-
mação da mola. Enquanto Faas, < P, o movimento é acelerado (figura b). Quando Fass, = P, O corpo atinge
sua velocidade máxima (figura c). A seguir, Fass. > P e o movimento passa a ser retardado (figura d) até a
velocidade se anular.
Figura a Figura b Figura c Figura d
Portanto, a velocidade máxima ocorre quando o movimento passa de acelerado para retardado, e isso
acontece quando a intensidade da força elástica se torna igual ao peso do corpo:
Faas = P > kx = mg
Sendo k = 50 N/m, m = 2 kg e g = 10m/s”, vem:
: ] =0
b) Em relação ao nível de referência adotado na figura, concluí- glad MTL
mos que a energia potencial gravitacional inicial do corpo h
(situação A) transforma-se em energia cinética do corpo e =0,6m
em energia potencial elástica (situação B): l e=
Mia kx? í x=04m a a
mg:h +x) = SS + s o = No
2.0 50: (04? Ss Nível de =.
2:10:06 + 0,4) = Zma 4 50: 0,4) 5 referência E
Umax. = 4 m/s Sy =
pa. a
Respostas: a) 0,4 m; b) 4 m/s Situação A Situação B
CAPÍTULO 15 ° ENERGIA 295 °
em
P.347
P.348
P.349
P.350
P.351
P.352
P.353
P.354
«propostos
Uma pedra de 5 g cai de uma altura de 5 m em relação ao solo. Adote g = 10 m/s” e despreze a resistência do
ar. Determine a velocidade da pedra quando atinge o solo.
Um objeto de 10 g é atirado verticalmente para cima com velocidade de 12 m/s. Adote g = 10 m/s” e despreze
a resistência do ar. Determine a altura máxima que o objeto atinge.
Uma pedra de massa 0,2 kg é atirada verticalmente para baixo de uma torre de altura igual a 25 m com veloci-
dade inicial de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s”, determine a energia cinética
da pedra ao atingir o solo.
Um bloco de 2 kg cai no vácuo, a partir do repouso, de uma altura igual a 20 m do solo. Determine as energias ciné-
tica e potencial à metade da altura de queda (g = 10 m/s). Considere nula a energia potencial da pedra no solo.
Uma pequena esfera, partindo do repouso da posição A, desliza sem
atrito sobre uma canaleta semicircular, contida num plano vertical. De-
termine a intensidade da força normal que a canaleta exerce na esfera
quando esta passa pela posição mais baixa B. Dados: massa da esfera
(m); aceleração da gravidade (g).
(Olimpíada Brasileira de Física) Um bloco de massa m é abandonado
sobre o trilho e desliza, a partir do ponto A, como representado na figura
ao lado.
O coeficiente de atrito cinético entre o trilho e o bloco no trajeto AB é u.
À seção circular que se inicia no ponto B não tem atrito.
a) Qual a menor velocidade que o bloco deve ter no ponto B para que
consiga passar pelo ponto C?
b) Qual a altura h, para que isso ocorra?
(UFPE) Um pequeno bloco, de massa m =0,5 kg, inicialmente em repouso no ponto À, é largado de uma altura
de h =1,6 m. O bloco desliza, sem atrito, ao longo de uma superfície e colide, no ponto B, com uma mola de
constante elástica k = 100 N/m (veja a figura abaixo). Determine a compressão máxima da mola, em cm.
(Use g = 10 m/s?)
Uma mola de constante elástica k = 1.200 N/m está comprimida de x = 10 cm pela ação de um corpo de 1 kg.
Abandonado o conjunto, o corpo é atirado verticalmente, atingindo a altura A. Adote g = 10 m/s” e despreze a
resistência do ar. Determine A.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 2.610: de 19 de fevereiro de 1998.
P.355 (Vunesp) Na figura ao lado, uma esfera de massa m = 2 kg A © o
é abandonada do ponto 4, caindo livremente e colidindo
com o aparador que está ligado a uma mola de constante elástica 7>
k = 2- 10° N/m. As massas da mola e do aparador são desprezí- +.
veis. Não há perda de energia mecânica. Admita g = 10 m/s”. Na 5 8 30m
situação 2 a compressão da mola é máxima. Determine as defor- s
mações da mola quando a esfera atinge sua velocidade máxima [a
e quando ela está na situação 2, medidas em relação à posição = ----------- D
inicial B. Ss
5 E
Situação 1 Situação 2
DE ACORDO COM
O MAPA, HÁ UMA
"ROTATÓRIA"
LOGO ADIANTE.
UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
JOHN MCPHERSON / DIST. BY ATLANTIC SYNDICATION /
5. Diagramas de energia
kx? x DONDE
A energia potencial de uma mola E, = 2 é uma função do 2º grau em x, cujo gráfico é uma pa-
rábola.
Nos pontos extremos da oscilação do oscilador harmônico (figura 8), a energia mecânica total é a
energia potencial. Na posição central a energia potencial é nula e a energia cinética é igual à energia
mecânica total. A representação gráfica da energia potencial em função de x é uma parábola; logo, a
representação gráfica da energia cinética será também uma parábola, porém invertida, para que a soma
da energia potencial com a cinética permaneça constante.
.
Figura 8.
Considere um corpo em queda sem resistência do ar. Em relação ao solo sua energia potencial é E, = Ph,
sendo h uma função do 2º grau em t.
covorcreccaser UU STULO CEC EALL OU EL ONCE ROSCA CELTIC RECO DNCLE NC CONLDCLLT DELE RO CELL CUSCO CRC URA CCR CERCO RCC LER OSC RC CCR T a ALSO CAUSA CALA nO
CarítuLo 15 + ENERGIA 297º
Assim, a representação gráfica da energia potencial gravitacional em função do tempo também é
uma parábola. Em consequência, a energia cinética terá por representação gráfica uma parábola inver-
tida para que a soma da energia potencial com a cinética permaneça constante (figura 9). A figura 10
ilustra outro exemplo.
v,=0 AE
A é E mec, = E,
B or
mec. c
Figura 9.
4 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
: O gráfico da figura representa a energia potencial em função da posição de um sistema mecânico conservativo.
Determine:
Reprodução pri
a) a energia total do sistema;
b) a energia potencial e a energia cinética quando x = 1 m.
Solução:
a) À energia mecânica total corresponde ao valor da máxima energia potencial. Do gráfico: | E. = 10]
b) Quando x = 1 m, do gráfico temos . Como E, + E. = Esc = 10 J, vem:
E=10-E,=10-25
Respostas: a) 10 J; b) E, =2JeE =8J
º 298 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercicio
„Proposto.
P.356 O diagrama representa a energia potencial de um sistema AE ()
mecânico conservativo variando em função da posição
x. Sabe-se que, quando x = 1 m, o sistema possui apenas
energia potencial. TAA
Determine:
a) a energia mecânica total do sistema; 2
b) a energia potencial e cinética em x = 2 m e x = 3 m; '
c) o tipo de movimento no trecho de x = 10 ma x = 11 m; , 3 >
d) o tipo de movimento no trecho de x= Imax=2m. OL AL / 10 11 x(m)
6. Outras formas de energia
A energia mecânica transforma-se passando de potencial a cinética, ou vice-versa, permanecen-
do constante nos sistemas conservativos. Se atuarem forças dissipativas, haverá energia dissipada
correspondente ao trabalho realizado por essas forças.
No arrastamento de um corpo numa superfície, com atrito, a energia dissipada é transferida às suas
moléculas e átomos, que sofrem um aumento de energia cinética. Essa energia cinética interna é cha-
mada energia térmica.
x
J
fo)
E
o
Z
E
T
=
é
a
p
{x
o
Fo)
z
D
zZ
[=
a
=
fia
a
=
Q
a
q
<
w
o
Z
í
£
ma
E)
A A bola descreve arcos de parábola A Fotografia estroboscópica de um martelo golpeando um prego.
cada vez mais baixos, após Há diversas formas de energia envolvidas, tais como as energias
chocar-se com o solo, devido potencial e cinética do martelo, a energia sonora, produzida
à dissipação de energia. no instante do impacto, e a energia térmica, devida à resistência
que o material oferece à entrada do prego.
A energia térmica transferida de um corpo a outro é chamada calor. Assim, o calor é energia térmica
em trânsito. O estudo do calor é feito em Termologia, assunto do segundo volume deste curso.
O calor é frequentemente medido em caloria (símbolo: cal), unidade de energia que se relaciona
com o joule da seguinte maneira:
CLONES CCL CUL LAN CO DEDE CD LAS DUTRA CU UR RALO ARA CRT A CLA ARE NES LLUVUNAG MANSO R ASUS US CURA Conan nn nana tro aceno ne ns nua nan r sete na san na nas tava ends
Carítuio 15 e ENERGIA 299º
A energia pode se manifestar de muitas outras maneiras. Além da mecânica e da térmica, temos a
energia luminosa, que se propaga sob a forma de ondas eletromagnéticas; a energia química, arma-
zenada nas substâncias e liberada nas reações químicas; a energia elétrica, associada a cargas elétricas;
a energia nuclear, relacionada à disposição das partículas no interior do núcleo atômico; etc.
Nos exemplos dos itens anteriores analisamos a conservação da energia mecânica. Conhecendo
agora outras formas de energia, enunciamos:
Princípio da conservação da energia
A energia não pode ser criada ou destruída, mas unicamente transformada. O aparecimento de
certa forma de energia é sempre acompanhado do desaparecimento de outra forma de energia em
igual quantidade.
Além da energia, há outras grandezas que se conservam, em Física, como a quantidade de movi-
mento e a carga elétrica. Os princípios da conservação são importantes e úteis nas análises dos mais
diversos fenômenos. Por enquanto, você utilizou apenas a conservação da energia mecânica, pois só
estudou esse tipo de energia.
O quadro seguinte indica uma série de transformações energéticas — algumas espontâneas, que
ocorrem na Natureza, e outras induzidas pelo ser humano, para seu proveito.
e Lago artificial,
O) Energia radiante reserva de Indústria onde a
do So] energia mecânica Central elétrica energia elétrica se
O) Nuvem transformando a transforma em energia
energia mecânica mecanica e térmica
Pal Chuva da água em
energia elétrica
Barragem
Linha de
transporte
de energia
elétrica
Energia térmica
da água do mar
que se vaporiza
resolvidos
gs Um menino desce num escorregador de altura 3,0 m a partir do repouso e atinge o solo. Supondo que 40% de
energia mecânica é dissipada nesse trajeto, determine a velocidade do menino ao chegar ao solo. Considere
g = 10m/s”,
Solução:
Da posição A para a posição B ocorre uma perda de 40% de energia mecânica. Isso significa que a energia me-
cânica do menino em B é 60% da energia mecânica do menino em A:
E, = 60% - E,
mec.g mec,
=>
Esp + Eco) = 60% (E, + E) >
2
> os me =0,60-(mgh+0) >
> v=2-0,60gh > v? = 2- 0,60: 10 -3,0 =>
Resposta: 6,0 m/s
“300 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
* Um corpo de massa 1,0 kg move-se horizontalmente com velocidade constante de 10 m/s, num plano sem atri-
to. Encontra uma rampa e sobe até atingir a altura máxima de 3,0 m. A partir do ponto A, início da subida da
rampa, existe atrito. Determine a quantidade de energia mecânica transformada em energia térmica durante a
subida do corpo na rampa. Considere g = 10 m/s”.
a Vo = 10 m/s
ros
Nível de referência A
Solução:
Nesse caso não há conservação da energia mecânica. A transformação de energia mecânica em energia térmica
é devida ao atrito.
À energia mecânica transformada em energia térmica é dada pela diferença entre as energias mecânicas inicial
(Emeca) e final (Emec.):
Eier. = E, 7 E
mec.s mec.g
Mas:
mv? 1,0 - 10?
Emeca = Es + Eu 04 > > Emeca 2 Emecs = 50]
Ema = Epp + E = mgh + 0 (note que E., = 0, pois ao atingir altura máxima a velocidade se anula)
mecg — 1,0 + 10 -+3,0
Enecg = 30]
Portanto: Eem = 50 — 30 > | Erem, = 20]
Resposta: 20 J
Exercícios
P.357 Uma esfera movimenta-se num plano horizontal subindo em seguida uma rampa, conforme a figura. Com qual
velocidade a esfera deve passar pelo ponto A para chegar a B com velocidade de 4 m/s? Sabe-se que no percurso
AB há uma perda de energia mecânica de 20%. (Dados: h = 3,2 m; g = 10 m/s?)
A
P.358 Um pequeno bloco de 0,4 kg de massa desliza sobre uma pista, de um ponto A até um ponto B, conforme a
figura abaixo (g = 10 m/s”). Se as velocidades do bloco nos pontos Á e B têm módulos iguais a 10 m/s e 5 m/s,
respectivamente, determine para o trecho AB:
a) a quantidade de energia mecânica transformada em térmica;
b) o trabalho realizado pela força de atrito.
Va B
—
h,=10m
ha=7mM
CarítuLo 15 © ENERGIA 301º
e
fa]
=
[e
e]
tm
| Valores de energia |
Uma força de intensidade 1 N equivale ao peso de um corpo de massa 100 g. De fato, de P= mg, sendo
m=1009g=01kgeg=10m/s”, temos:
P=0,1:10>P=1N
Imagine que um livro de peso 1 N seja elevado a uma altura de 1 m em movimento uniforme. Significa
que a força Fque ergue o livro tem também intensidade 1 N. O trabalho da força Fneste deslocamento
dei?méde1J.
YPI
Um corpo de massa 100 g, situado a 1 m do solo, possui energia potencial gravitacional de 1 J em
relação ao solo. Desprezada a resistência do ar, abandonando-se o corpo, ele atinge o solo com energia
cinética de 1 J e velocidade aproximadamente de 4,5 m/s ou 16 km/h.
Um carro de massa 1.000 kg, com velocidade de 10 m/s ou 36 km/h, possui a energia cinética de
50.000 J ou 50 kJ. É a mesma energia cinética que o carro teria, ao atingir o solo, se caísse de uma altura
de 5 m. Se sua velocidade fosse de 20 m/s ou 72 km/h, sua energia cinética seria de 200.000 J = 200 kJ,
equivalente à energia cinética de uma queda de 20 m de altura. Por isso, bater num muro a 72 km/h pode
produzir o mesmo efeito que uma queda de 20 m de altura.
A energia de 3,6 - 10º J equivale a 1 kWh (quilowatt-hora). Um chuveiro elétrico de potência 3 kW,
funcionando durante 20 min, consome uma energia elétrica de 1 kWh. Para consumir a energia elétrica
de 1 kWh uma lâmpada de 40 W deveria ficar acesa durante 25 h. Já um ferro elétrico de potência 500 W
consome a energia de 1 kWh se ficar ligado durante 2 h.
Pequeno corpo Dose mortal de raios X Caminhão em Primeira bomba atômica
caindo movimento
ATA pro
————————> FO FE Da
a “CASA
UGN DA
SAIA
1 joule 10 joules
Bomba H Movimento da Terra Produção anual
100 megatons em sua órbita de calor solar
j
10"° joules 10% joules 10% joules
Figura 11. Ordem de grandeza de algumas quantidades de energia.
toepesossecesorososvoesososasesesavacscosovssesesrosnecosessvesesesseseesssosevesessassovasesesssoseeeasosssaenesssesescesencsserosootvoresserssassssono
“302 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
“
+
ee...
e
e
Exercícios propostos
«de recapitulação
P.359 (UFC-CE) Os gráficos da posição x(?), da velocidade instantânea vð e da energia cinética E (?), de uma partícula,
P.360
P.361
P.362
P.363
em função do tempo, são mostrados na figura abaixo.
| v (m/s) AE (J)
Determine:
a) a velocidade da partícula em t = 1,0 s;
b) a aceleração instantânea da partícula;
c) a força resultante que atua na partícula;
d) o valor da posição da partícula em t = 2,0 s;
e) a velocidade média no intervalo de tempo entre 4 = 10 set = 20s.
(Fuvest-SP) Um bloco de 1,0 kg de massa é posto a deslizar sobre uma mesa horizontal com energia cinética
inicial de 2,0 joules (dado: g = 10 m/s”). Devido ao atrito entre o bloco e a mesa ele pára, após percorrer a
distância de 1,0 m. Pergunta-se:
a) Qual é o coeficiente de atrito, suposto constante, entre a mesa e o bloco?
b) Qual é o trabalho efetuado pela força de atrito?
(UFPE) Um pequeno projétil, de massa m = 60 g, é lançado da Terra com velocidade de módulo v, = 100 m/s,
formando um ângulo de 30º com a horizontal.
Considere apenas o movimento ascendente do projétil, ou seja, desde o instante do seu lançamento até o ins-
tante no qual ele atinge a altura máxima. Calcule o trabalho, em joules, realizado pela gravidade terrestre (força
peso) sobre o projétil durante este intervalo de tempo. Despreze a resistência do ar ao longo da trajetória do
projétil.
(Fuvest-SP) Numa montanha-russa um carrinho de 300 kg
de massa é abandonado do repouso de um ponto 4, que
está a 5,0 m de altura (dado: g = 10 m/s”). Supondo-se
que o atrito seja desprezível, pergunta-se:
a) o valor da velocidade do carrinho no ponto B;
b) a energia cinética do carrinho no ponto €, que está a
4,0 m de altura.
(Unicamp-SP) Um carrinho de massa m = 300 kg percorre uma montanha-russa cujo trecho BCD é um arco
de circunferência de raio R = 5,4 m, conforme a figura. A velocidade do carrinho no ponto 4 é v, = 12 m/s.
Considerando g = 10 m/s” e desprezando o atrito, calcule:
a) a velocidade do carrinho no ponto C,
b) a aceleração do carrinho no ponto C;
© a força feita pelos trilhos sobre o carrinho no ponto C.
Capítulo 15 e ENERGIA 303º
e
ad
=
fa)
=
tri
P.364 (Ufla-MG) Um parque aquático tem um toboágua, conforme mostra a figura abaixo. Um indivíduo de 60 kg
P.365
P.366
desliza pelo toboágua a partir do ponto 4, sendo lançado numa piscina de uma altura de 0,8 m, ponto B, numa
direção que faz ângulo de 30º com a horizontal.
Piscina
J3
Considerando o atrito desprezível, g = 10m/s?e cos 30º = 2" calcule:
a) a velocidade do indivíduo ao deixar o toboágua no ponto B;
b) a energia cinética do indivíduo no ponto mais alto da trajetória, ponto C;
c) a altura do ponto C, Amas
(UFF-RJ) A figura abaixo mostra uma rampa de skate constituída de um trecho curvo que corresponde a um
quarto de circunferência de raio R, e de um trecho plano horizontal. Os três pontos 4, Be C, indicados no
esquema abaixo, se encontram localizados, respectivamente, no topo, no meio do trecho curvo e no trecho
plano da pista de skate.
C
Para a análise desse movimento, o jovem, junto com sua prancha de skate, pode ser tratado como uma partícula
de massa total M. Admita, também, que os efeitos de forças dissipativas sobre o movimento dessa
partícula possam ser ignorados.
a) Indique e identifique, na figura, as forças que atuam sobre a partícula:
I. quando ela se encontra no ponto 4;
H. quando ela se encontra no ponto B.
b) Obtenha, em função de R, M e g (aceleração da gravidade local):
L a velocidade da partícula no instante em que ela alcança o ponto C;
II. o módulo da força exercida pela rampa sobre a partícula, quando esta se encontra no ponto B.
Quatro corpos, considerados pontos materiais, de massas m iguais,
estão sobre uma esteira transportadora que se encontra parada e | 3m | 25m | 2,5 m | 25m |
travada na posição indicada na figura. O corpo 1 está no início da
1 PR pR
descida e as massas da esteira e dos roletes podem ser considera- 2d Ra a)
das desprezíveis, quando comparadas com as massas dos quatro 454
corpos.
Num determinado instante destrava-se o sistema e a esteira come-
ça a movimentar-se, transportando os corpos sem escorregamento.
Calcule a velocidade do corpo 1 quando deixar a esteira no ponto
A. Adote g = 10 m/s),
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.367 (Unirio-RJ) Um bloco de massa m = 2,0 kg, apresentado
no desenho ao lado, desliza sobre um plano horizontal
com velocidade de 10 m/s. No ponto A, a superfície passa
a ser curva, com raio de curvatura 2,0 m.
Suponha que o atrito seja desprezível ao longo de toda a ,
trajetória e que g = 10 m/s”. Determine, então: Movimento
a) a aceleração centrípeta no ponto B; E
b) a reação da superfície curva sobre o bloco no ponto C.
P.368: (Covest-PE) Um bloco de massa m = 100 g, inicialmente
em repouso sobre um plano inclinado de 30º, está a
uma distância L de uma mola ideal de constante elásti-
ca k = 200 N/m. O bloco é então solto e quando atinge
a mola fica preso nela, comprimindo-a até um valor
máximo D. Despreze o atrito entre o plano e o bloco.
Supondo que L + D = 0,5 m, qual o valor, em centíme-
tros, da compressão máxima da mola? (Dados: g = 10m/ s?;
sen 30° = 0,50.)
P.369: (Unicamp-SP) Bungee jumping é um esporte radical, muito conhecido hoje em dia, em que uma pessoa salta de
uma grande altura, presa a um cabo elástico. Considere o salto de uma pessoa de 80 kg. A velocidade máxima
atingida pela pessoa durante a queda livre é de 20 m/s. À partir desse instante, a força elástica do cabo começa
a agir. O cabo atinge o dobro de seu comprimento normal quando a pessoa atinge o ponto mais baixo de sua
trajetória. Para resolver as questões abaixo, despreze a resistência do ar e considere g — 10 m/3°.
a) Calcule o comprimento normal do cabo. b) Determine a constante elástica do cabo.
P.370 (Fuvest-SP) Uma mola pendurada num suporte apresenta A F (newtons)
comprimento igual a 20 cm. Na sua extremidade livre
dependura-se um balde vazio, cuja massa é 0,50 kg. Em 100
seguida coloca-se água no balde até que o comprimento da 80
mola atinja 40 cm. O gráfico ilustra a força que a mola exerce 60
sobre o balde, em função do seu comprimento. Pede-se: 40
a) a massa de água colocada no balde; 20
b) a energia potencial elástica acumulada na mola no final
+
do processo. O 10 20 30 40 50 x(cm)
P.371. (Vunesp) Um praticante de esporte radical, amarrado a
uma corda elástica, cai de uma plataforma, a partir do A Energia (k))
repouso, seguindo uma trajetória vertical. A outra extre-
midade da corda está presa na plataforma. A figura mostra 24
dois gráficos que foram traçados desprezando-se o atrito Ueiónica
do ar em toda a trajetória. O primeiro é o da energia poten-
cial gravitacional, Ugravitaciona dO praticante em função da 16
distância y entre ele e a plataforma, sendo que o potencial
20
U
gravitacional
zero foi escolhido em y = 30 m. Nesta posição, o prati- 12
cante atinge o maior afastamento da plataforma, quando 8
sua velocidade se reduz, momentaneamente, a zero. O 4
segundo é o gráfico da energia armazenada na corda,
U asia, €M função da distância entre suas extremidades. O 5 10 15 20 25 30 y (m)
Determine:
a) o peso P do praticante e o comprimento L da corda,
quando não está esticada;
b) a constante elástica k da corda.
P.372 (Olimpíada Brasileira de Física) Um corpo de massa M
igual a 2 kg é abandonado de uma certa altura de um
plano inclinado e atinge uma mola ideal de constante | e
elástica igual a 900 N/m, deformando-a de 10 cm. Entre os rn
pontos 4 e B, separados 0,50 m, existe atrito cujo coefi- A
ciente de atrito vale 0,10. As outras regiões não possuem
atrito. A que distância de À o corpo Mirá parar?
essenensunvessosesesooesvossosonoscossesesoonssssssooo vesssosussosesososoosopeusessosossoseenasoo sevenencsssesesosososonososoa cnveuce sacra so cera sanar cas
Capítulo 15 e ENERGIA 305 0
P.373
P.374
P.375
P.376
(Ufla-MG) Um bloco de massa m = 5 kg encontra-se
numa superfície curva a uma altura A, = 10 m do chão,
como mostra a figura. Na região plana da figura, de
comprimento 10 m, existe atrito. O coeficiente de atri- ho=10m
to dinâmico entre o bloco e o chão é u = 0,1. O bloco
é solto a partir do repouso. Adote g = 10 m/s”,
a) Indique num diagrama as forças sobre o bloco ,
quando este se encontra na parte curva e na parte 10m
plana da trajetória.
b) Calcule a altura máxima que o bloco irá atingir quando chegar pela primeira vez à parte curva da direita.
c) Quantas vezes o bloco irá passar pelo plano antes de parar definitivamente?
(UFRRJ) Um trenó de massa 50 kg desliza em uma ram-
pa, partindo de uma altura de 5 m em relação à parte
plana mostrada na figura. Ele chega à base da rampa
com velocidade de 6 m/s.
a) Qual o trabalho realizado pelo atrito?
b) Com que velocidade ele deveria partir da base para
atingir o topo da rampa?
(Use g = 10 m/s”)
(Vunesp) Uma esfera de aço de 3,0 + 10? kg, abandonada de uma altura de 2,0 m, cai sobre uma superfície plana,
horizontal, rígida, e volta atingindo a altura máxima de 0,75 m. Despreze a resistência do ar e admita g = 10 m/s’.
a) Qual é a energia dissipada no choque da esfera contra a superfície?
b) Qual deveria ser o valor da velocidade vertical inicial da esfera para que, na volta, ela atingisse a posição
inicial?
(UFSCar-SP) Num tipo de brinquedo de um parque de diversões, uma pessoa é içada por um cabo de aço até
uma determinada altura, estando presa a um segundo cabo. Solta do cabo que a içou, passa a oscilar como um
pêndulo simples. Considere uma pessoa de 60 kg que, solta com velocidade nula da altura de 53 m em relação
ao solo, passa pelo ponto mais próximo do solo a apenas 2 m e sobe até atingir a altura de 43 m, quando sua
velocidade se anula novamente. Nesse percurso completa meia oscilação. Adote g = 10 m/s”.
a) Qual é o valor da energia mecânica dissipada na oscilação da pessoa entre os dois pontos mais afastados
do solo, descritos no problema?
b) Esse brinquedo permite que até três pessoas realizem o “vôo” conjuntamente, presas à extremidade do
mesmo cabo de aço. Se, em vez de apenas uma pessoa de 60 kg, fossem três pessoas de 60 kg cada que es-
tivessem oscilando juntas e, considerando desprezível todo tipo de atrito envolvido no movimento, mostre
o que ocorreria com a velocidade do grupo de pessoas, no ponto mais próximo ao solo, comparada com a
velocidade de uma pessoa sozinha passando por esse mesmo ponto.
Testes
„propostos
(UEL-PR) Numa pista de teste de freios, um bone- perfeitamente lisa, é aplicada uma força resultan-
co é arremessado pela janela de um veículo com te constante e horizontal. A velocidade do corpo
a velocidade de 72 km/h. | varia de acordo com o gráfico abaixo.
Assinale, respectivamente, a energia cinética do |
boneco ao ser arremessado e a altura equivalente |
de uma queda livre que resulte da energia poten-
cial de mesmo valor.
Considere que o boneco tenha 10 kg e que a ace-
leração da gravidade seja 10 m/s”.
a) 1.000 joules e 30 metros
b) 2.000 joules e 20 metros
c) 2.200 joules e 30 metros
d) 2.400 joules e 15 metros
e) 4.000 joules e 25 metros
O trabalho realizado pela força resultante no in-
tervalo de tempo representado, em joules, vale:
a) 72 d) 36
(ESPM-SP) Sobre um corpo de massa 4,0 kg, inicial- b) 60 e) 18
mente em repouso sobre uma mesa horizontal, c) 48
Os FUNDAMENTOS DA Física
co
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(Ufac) Um veículo de 100 toneladas parte do
repouso e percorre uma distância de 2.000 m até
atingir a velocidade de 360 km/h. A força média
que movimenta o veículo tem intensidade:
a) 25-10N e IOGN e) 102 N
b) 2,5 N d) 2,5- 10 N
(Ufac) Um corpo de 12 kg de massa desliza sobre
uma superfície horizontal sem atrito, com veloci-
dade de 10 m/s e passa para uma região onde o
coeficiente de atrito cinético é de 0,50. Pergunta-
se: qual é o trabalho realizado pela força de atrito
após ter o bloco percorrido 5,0 m na região com
atrito? E qual é a velocidade do bloco ao final
desses 5,0 m? (Dado: g = 10 m/s?)
a) —300 Je 6/5 m/s
b) -300 Je 56 m/s
© -900)e 6/5 m/s
d) 900 Je 56 m/s
e) -300Je5/2 m/s
(Fuvest-SP) Um bloco de 2 kg é solto do alto de
um plano inclinado, atingindo o plano horizontal
com uma velocidade de 5 m/s, conforme ilustra
a figura.
(Use g = 10 m/s’.)
A força de atrito (suposta constante) entre o blo-
co e o plano inclinado vale:
AIN bD2N 93N D4N SN
(Olimpíada Brasileira de Física) Para arrastar
um corpo de massa 100 kg entre os pontos A e
B, distantes 60 m, sobre uma rampa inclinada e
mantendo um movimento uniforme, foi utilizado
um motor de potência igual a 500 W, consumindo
um tempo de 100 s.
Considerando a aceleração da gravidade igual a
10 m/s”, o trabalho em joules, realizado pela força
de atrito no transporte do corpo de A para B é,
em módulo, igual a:
a) 1 x 10! d) 5 x 10º
b) 2 x 10 e) 6x 10º
o) 3x 10
Furg-RS) Um ponto material de massa 2 kg
encontra-se em repouso sobre uma superfície
plana, horizontal e sem atrito. Em determinado
instante, uma força horizontal passa a atuar
sobre ele. Essa força mantém sempre a mesma
direção. Se o gráfico da figura representa a inten-
sidade dessa força em função da posição d do
ponto material, qual é o valor de sua velocidade
quando d = 4 m?
a) 8 m/s
b) 10 m/s
c) 18 m/s
d) 64 m/s
e) 72 m/s
Ufes) Suponha-se que a energia potencial
gravitacional da água possa ser totalmente
convertida em energia elétrica e que a meta
mensal de consumo de energia elétrica, de uma
residência, seja de 100 kWh. Adote g = 10 m/s”.
Se a água, de densidade 1.000 kg/m”, cai de uma
altura de 100 m, o volume de água necessário
para gerar essa energia é:
a) 3.600 £ © 36.000 4
b) 7.2000 d) 72.000 4
e) 360.000 £
* (UFMG) Uma atleta de massa m está saltando em
uma cama elástica. Ao abandonar a cama com
velocidade v,, ela atingirá uma altura A.
Considere que a energia potencial gravitacional
é nula no nível da cama e despreze a resistência
do ar.
A figura mostra o momento em que a atleta passa,
subindo, pela metade da altura A.
Nessa posição, a energia mecânica da atleta é:
2
a) mgh + Mvo (9) mg
mo? mgh mè
b Q 0
) 2 D 2 2
CaPiTULO 15 © ENERGIA
(Cesgranrio-RJ) Na figura, três partículas (1,2 e
3) são abandonadas sem velocidade inicial de
um mesmo plano horizontal e caem: a partícula
1, em queda livre; a partícula 2, amarrada a um fio
inextensível; e a partícula 3, ao longo de um plano
inclinado sem atrito.
(3)
À resistência do ar é desprezível nos três casos.
Quando passam pelo plano horizontal situado a
uma altura h abaixo do plano a partir do qual fo-
ram abandonadas, as partículas têm velocidades
respectivamente iguais a v}, U, € v,. Assim, pode-
se afirmar que:
a) vi > V > Vs d) v, = 0 > V
b) v, > v > v e) Vi = V = V
C) 01 = V > 03
ji (Uerj) Numa partida de futebol, o goleiro bate
o tiro de meta e a bola, de massa 0,5 kg, sai do
solo com velocidade de módulo igual a 10 m/s,
conforme mostra a figura.
No ponto P, a 2 metros do solo, um jogador da
defesa adversária cabeceia a bola. Considerando
g=10 m/s” e desprezando-se a resistência do ar,
a energia cinética da bola no ponto P vale, em
joules:
a) zero c) 10 e) 25
b)5 d) 15
é (Unemat-MT) Um corpo de massa igual a 10 kg
é abandonado de uma altura de 10 m. Conside-
rando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s”
e desde que haja somente forças conservativas
atuando no sistema Terra-corpo, analise as afir-
mações abaixo.
01) Ao atingir o solo, o valor da energia cinética
do corpo é igual ao valor de sua energia po-
tencial na altura de 10 m e vale 1.000 J.
02) O trabalho realizado sobre o corpo, durante
a queda, possui o mesmo valor da energia
cinética quando o corpo toca o solo.
04) A velocidade com que o corpo vai chegar ao
solo é de aproximadamente 14,14 m/s.
08) Quando o corpo atinge a altura de 5 m, os
valores da energia potencial e da energia
cinética são os mesmos e iguais a 500 J.
|
l
l
l
i
|
|
i
i
i
16) A velocidade do corpo na altura de 5 m é de
10 m/s.
32) A diferença entre a energia potencial quando o
corpo está na altura de 10 m e quando está na
altura de 5 m é igual ao trabalho realizado sobre
o corpo durante a queda até a altura de 5 m.
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as afirmações corretas.
* (Mackenzie-SP) Num local onde a aceleração
gravitacional é 10 m/s”, lança-se um corpo de
massa 4,0 kg, verticalmente para cima, com velo-
cidade inicial de 36 km/h. No instante em que a
energia cinética desse corpo é igual à sua energia
potencial gravitacional em relação ao ponto de
lançamento, sua velocidade tem módulo:
a) 8,6 m/s c) 6,7 m/s e) 3,8 m/s
b) 7,1 m/s d) 5,4 m/s
(UFMG) Daniel e André, seu irmão, estão parados
em um tobogã, nas posições mostradas nesta
figura:
Daniel tem o dobro do peso de André e a altura
em que ele está, em relação ao solo, corresponde
à metade da altura em que está seu irmão.
Em um certo instante, os dois começam a escor-
regar pelo tobogã.
Despreze as forças de atrito.
É correto afirmar que, nessa situação, ao atingi-
rem o nível do solo, André e Daniel terão:
a) energias cinéticas diferentes e módulos de
velocidade diferentes.
b) energias cinéticas iguais e módulos de veloci-
dade iguais.
œ) energias cinéticas diferentes e módulos de
velocidade iguais.
d) energias cinéticas iguais e módulos de veloci-
dade diferentes.
: (UEPB) A figura abaixo representa um garoto
brincando com seu skate. Inicialmente ele se
diverte deslocando-se numa calçada plana, ho-
rizontal. De repente, encontra um desnível, em
forma de rampa (atrito desprezível), com altura
máxima de 40 centímetros.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Para que o garoto no seu skate consiga chegar
ao topo da rampa com velocidade de 1 m/s, o
conjunto (garoto + skate) deve ter velocidade,
no início da rampa, igual a:
a) 3 m/s c) 4m/s
b) 9 m/s d) 5 m/s
(Use g = 10 m/s?)
e) 6m/s
: (Fuvest-SP) Um jovem escorrega por um tobogã
aquático, com uma rampa retilínea, de compri-
mento £, como na figura, podendo o atrito ser
desprezado.
Partindo do alto, sem impulso, ele chega ao final
da rampa com uma velocidade de cerca de 6 m/s.
Para que essa velocidade passe a ser de 12 m/s,
mantendo-se a inclinação da rampa, será neces-
sário que o comprimento dessa rampa passe a
ser aproximadamente de:
a t DL 914 AA 4
(Vunesp) Um bloco sobe uma rampa deslizando
sem atrito, em movimento uniformemente retar-
dado, exclusivamente sob a ação da gravidade,
conforme mostrado na figura.
Ele parte do solo no instante t = 0 e chega ao
ponto mais alto em 1,2 s. O módulo da velocidade
em função do tempo é apresentado no gráfico.
8,0
6,0
4,0
v (m/s)
2,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
CapiTULO 15 ° ENERGIA
Considerando g = 10,0 m/s”, a altura em que o
bloco se encontrava em t— 0,4 s era:
a) 0,5 m o) 1,6m e) 3,2 m
b) 1,0 m d) 2,5 m
- (Uneb-BA) Um carrinho percorre a pista, sem
atrito, esquematizada abaixo.
(Use g = 10 m/s”)
B
A mínima velocidade escalar v, em m/s, que o
carrinho deve ter em À para conseguir chegar a
D deve ser maior que:
a l2 DIO 980 ®6,0 40
PUC-Campinas-SP) Um corpo de massa 0,30 kg
é seguro encostado a uma mola de constante
elástica 400 N/m, comprimindo-a de 20 cm. Aban-
donado o sistema, a mola impulsiona o corpo que
sobe por uma pista sem atrito.
D
40m
Se a aceleração local da gravidade é de 10 m/s”,
pode-se afirmar que o corpo:
a) retorna de um ponto entre A e B.
b) retorna de um ponto entre Be C.
c) retorna de um ponto entre Ce D.
d) retorna de um ponto além de D.
e) não chega ao ponto A.
- (UFSCar-SP) Um corpo de peso P preso à extremi-
dade de um fio de massa desprezível é abandona-
do na posição horizontal, conforme a figura.
=}
Desse modo, a tração no fio no ponto mais baixo
da trajetória é dada por:
a) T= 3P 9 T=0
b) T= 2P d T=
© T=P
n|
em
+"
=
fa)
[ar]
tri
(Mackenzie-SP) Uma haste rígida, de peso
desprezível e comprimento 0,4 m, tem uma
extremidade articulada e suporta, na outra, um
corpo de 10 kg.
o
so
A
Despreze os atritos e adote g = 10 m/s”. A menor
velocidade com que devemos lançar o corpo de
À, para que ele descreva uma trajetória circular
no plano vertical, é:
a) 5 m/s d) 2m/s
b) 4m/s e) 1/2 m/s
c) 342 m/s
- (Olimpíada Brasileira de Física) Um bloco de mas-
sam = 0,60 kg, sobre um trilho de atrito desprezí-
vel, comprime uma mola de constante elástica
k = 2.000 N/m, conforme a figura abaixo.
P
Considere que a energia potencial gravitacional
seja zero na linha pontilhada. O bloco, ao ser
liberado, passa pelo ponto P (h = 0,60 m) onde
75% de sua energia é cinética.
A compressão x da mola foi de:
a) 9,0 cm ce) 15cm
b) 122 cm d) 18 cm
e) 21 cm
(AFA-SP) Duas crianças estão brincando de ati-
rar bolas de gude dentro de uma caixa no chão.
Elas usam um brinquedo que lança as bolas pela
descompressão de uma mola que é colocada
horizontalmente sobre uma mesa onde o atrito é
desprezível. A primeira criança comprime a mola
2 cm e a bola cai a 1,0 m antes do alvo, que está
a 3,0 m horizontalmente da borda da mesa. A de-
formação da mola imposta pela segunda criança,
de modo que a bola atinja o alvo, é:
© 3,0 cm
d) 9,0 cm
a) 1,7 cm
b) 2,0 cm
(E. Naval-RJ) Um bloco está em movimento sob a
ação de forças conservativas. À figura abaixo mos-
tra o gráfico de sua energia cinética em função do
deslocamento.
Considerando que a energia mecânica do bloco é
400 J, assinale a alternativa correta.
a) Em x = 5 m, a velocidade do bloco é 3 m/s.
b) Em x = 10 m, a velocidade do bloco é 250 m/s.
ce) Emx = 15 m, a energia potencial é máxima.
d) Emx = 5 m, a energia potencial é E da energia
cinética.
e) Em x = 25 m, o bloco está parado.
(UFC-CE) Uma partícula está sujeita à ação de
uma única força, F(x), onde x é sua posição. A
força é conservativa e a energia potencial, a ela
associada, E œ), é mostrada na figura abaixo.
A Ex) em joules
A variação da energia cinética da partícula, entre
as posições x = 0 ex = 5 m, é:
a) 10 J 9 15J
b) 12 J d) 18 J
(UFMG) Na figura, está representado o perfil de
uma montanha coberta de neve.
e) 20J
M
e
zZ
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um trenó, solto no ponto K com velocidade nula,
passa pelos pontos L e M e chega, com veloci-
dade nula, ao ponto N. À altura da montanha no
ponto M é menor que a altura em K. Os pontos L
e Nestão a uma mesma altura.
Com base nessas informações, é correto afirmar
que:
a) a energia cinética em L é igual à energia poten-
cial gravitacional em K.
b) a energia mecânica em K é igual à energia me-
cânica em M.
c) a energia mecânica em M é menor que a ener-
gia mecânica em L.
d) a energia potencial gravitacional em L é maior
que a energia potencial gravitacional em N.
(UEL-PR) O módulo v da velocidade de um corpo
de 4,0 kg, que cai verticalmente, está representa-
do no gráfico em função do tempo 1.
Adotando g = 10 m/s”, os dados do gráfico indi-
cam que a queda não foi livre e a energia mecã-
nica dissipada, em joules, no intervalo de tempo
representado, vale:
a) 144
b) 72
c) 18
d) 9,0
e) 2,0
(Fuvest-SP) Uma bola de 0,2 kg de massa é lan-
cada verticalmente para baixo, com velocidade
inicial de 4 m/s. À bola bate no solo e, na volta,
atinge uma altura máxima que é idêntica à altura
do lançamento (g = 10 m/s”). Qual é a energia
mecânica perdida durante o movimento?
a) oJ
b) 1.600 J
© 1,6J
d) 800 J
e) 50 J
(EMTM-MG) Com o auxílio de seu carrinho, um
senhor transportava alguns caixotes em um de-
clive de inclinação constante de 6º.
A 15,0 m de um muro no final da descida, per-
cebeu que não mais podia controlar o carrinho,
pondo-se a escorregar em linha reta, com seus
sapatos firmemente mantidos em contato com o
chão enquanto desenvolvia aceleração constante
de 0,2 m/s’.
Supondo-se que o carrinho junto com sua carga
totalizava uma massa de 200,0 kg e que o homem
pesava 800,0 N e, desprezando as ações resis-
tivas do ar e os atritos relativos ao carrinho, o
módulo da energia dissipada por seus sapatos,
do momento em que iniciou o escorregamento
até o iminente acidente foi, em J, de:
a) 3.360
b) 3.270
e) 2.790
d) 2.480
e) 2.130
(Adote g = 10 m/s”; sen 6º = 0,1; cos 6º = 1,0.)
(UFSC) A figura mostra um bloco, de massa
m = 500 g, mantido encostado em uma mola
comprimida de x = 20 cm. À constante elástica
da mola é k = 400 N/m. A mola é solta e empurra
o bloco que, partindo do repouso no ponto Å,
atinge o ponto B, onde pára. No percurso entre os
pontos Ae B, a força de atrito da superfície sobre
o bloco dissipa 20% da energia mecânica inicial
no ponto 4 (dado: g = 10 m/s”).
Assinale as proposições corretas.
01) Nasituação descrita, não há conservação da
energia mecânica.
02) A energia mecânica do bloco no ponto B é
igual a 6,4 J.
04) Otrabalho realizado pela força de atrito sobre
o bloco, durante o seu movimento, foi 1,6 J.
08) O ponto B situa-se a 80 cm de altura, em
relação ao ponto 4.
16) A força peso não realizou trabalho no des-
locamento do bloco entre os pontos A e B,
por isso não houve conservação da energia
mecânica do bloco.
32) A energia mecânica total do bloco, no ponto
A, é igual a 8,0 J.
64) A energia potencial elástica do bloco, no
ponto 4, é totalmente transformada na
energia potencial gravitacional do bloco,
no ponto B.
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as proposições corretas.
Capitulo 15 e ENERGIA 311º
P.377
P.378
„Exercicio resolvido
Na figura representamos a seção transversal de uma semi-
esfera de raio R. Uma partícula é abandonada do ponto A,
desliza sem atrito e, ao atingir o ponto B, perde contato com a
semi-esfera. Determine, em função de R, a altura A que define
a posição do ponto B.
Solução:
Ao atingir o ponto B a partícula perde contato com a semi-esfe-
ra e a normal se anula. Nessa posição a resultante é o peso da
partícula. A resultante centrípeta tem intensidade P - cos 8.
Portanto:
Us Us
P - cos 8 = m- > mg cos = my => gcos =
Sendo cos6 = 4, vem: Lh o > ©
ROE R R 18
À conservação da energia mecânica entre as posições 4 e B,
tomando como nível de referência a horizontal passando por
B, fornece:
Ep t Eu 5 Epp t Eog
mu?
mg- (R-n +0=0+ Te
(ua) a
De O e (2, vem:
w |S
gh = 2g(R — h) h= 2R - 2h > 3h = 2R > |h ==
Resposta: h = R
Exercicios
«propostos
(UFSCar-SP) Uma formiga de massa m encontra-se no topo
de uma bola de bilhar rigidamente presa ao solo, conforme
a figura. À bola possui raio R e superfície altamente polida.
Considere g a aceleração da gravidade e despreze os possíveis
efeitos dissipativos. À formiga começa a deslizar na bola com
velocidade inicial nula.
a) Calcule o módulo da velocidade da formiga no ponto em
que ela perde contato com a bola.
b) Calcule a altura, a partir do solo, em que a formiga perde o contato
com a bola.
(Fuvest-SP) A figura ao lado representa esquematicamente um
elevador É com massa 800 kg e um contrapeso B, também de
800 kg, acionados por um motor M. A carga interna do elevador
é de 500 kg. (Use g = 10 m/s”)
a) Qual é a potência fornecida pelo motor com o elevador
subindo com uma velocidade constante de 1 m/s?
b) Qual é a força aplicada pelo motor através do cabo para
acelerar o elevador em ascensão à razão de 0,5 m/s”?
Nível de
referência
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
B;379: (Fuvest-SP) Um carro alegórico do bloco carnavalesco em :
“Os Filhos do Nicolau” possui um plano inclinado e se és pera
move com velocidade horizontal u constante em rela-
ção à pista. Albert, o filho mais moço, escorrega desde g
o alto da rampa sem atrito. É observado por Galileu,
o mais velho, sentado no carro, e por Isaac, parado
na pista. Quando Albert chega ao fim da rampa, Isaac
observa que a componente horizontal da velocidade
de Albert é nula. Suponha que o movimento de Albert
não altera a velocidade do carro, muito mais pesado do
que ele. São dados: h = 5,0 m; 6 = 30°; g = 10 m/s”.
Albert
Galileu
a) Quais são os valores das componentes horizontal
(vu) e vertical (vy) da velocidade de Albert no fim
da rampa, observados por Galileu?
b) Quanto vale u?
c) Qual é o valor da componente vertical (vy) da ve-
locidade de Albert no fim da rampa, observado por
Isaac?
Testes
propostos
(Uece) Uma par-
tícula se move
sobre a superfície
lisa de um cilin-
dro, partindo, do
repouso, de um
ponto arbitraria-
mente próximo de
0 (zero) e situado
à direita de O.
| (Unirio-RJ) Uma esfera desliza sobre um trilho
| perfeitamente liso, cujo perfil é mostrado na
| figura abaixo.
í
A partícula desliza ao longo da curva OS e, quan-
do chega ao ponto S, se separa do cilindro.
O valor de cos q é:
2 2 2
Ds b) 9 + D 5
Considere que a esfera inicia o seu movimento,
a partir do repouso, no ponto 4. Que trajetória
poderia representar o movimento da esfera após
abandonar o trilho no ponto B?
2 (ITA-SP) Um pequeno bloco, solto com velocida-
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
|
|
de nula a uma altura h, move-se sob o efeito da | a)
gravidade e sem atrito sobre um trilho em forma
de dois quartos de círculo de raio R que se tan-
genciam, como mostra a figura. |
|
| b)
|
H
|
|
| 9
|
| d)
|
À mínima altura inicial h que acarreta a saída do |
bloco, do trilho, após o ponto A é: |
[i
4R 3R e)
— — 2R |
a) 3 c) 7 e) |
5R 5R
b) = |
) 4 D 2 i
ssonanoressaovrusnntosseesssaecoecasroosensonornoneacorosasesossoasssrenoneacsonasoeseseseneasresscvcagesasorssesreseneceososesesoanasvoesesnassserersore
CaPíTULO 15 e ENERGIA 313º
“314
(UFSC) Na figura abaixo, a esfera tem massa
igual a 2,0 kg e encontra-se presa na extremidade
de uma mola de massa desprezível e constante
elástica de 500 N/m. A esfera encontra-se, inicial-
mente, em repouso, mantida na posição À, onde
a mola não está deformada. À posição A situa-se
a 30 cm de altura em relação à posição B.
Soltando-se a esfera, ela desce sob a ação da
gravidade. Ao passar pelo ponto B, a mola se
encontra na vertical e distendida de 10 cm. Des-
prezam-se as dimensões da esfera e os efeitos da
resistência do ar (g = 10 m/s”).
Considerando-se a situação física descrita, assi-
nale as proposições corretas.
01) A velocidade da esfera no ponto B é igual a
35 m/s.
02) Toda a energia potencial gravitacional da
esfera, na posição 4, é transformada em
energia cinética, na posição B.
04) A velocidade da esfera no ponto mais baixo
da trajetória, ponto B, é igual a 60 m/s.
08) A força resultante sobre a esfera na posição
B é igual a 30 N.
16) A energia mecânica da esfera, na posição B,
é igual à sua energia potencial gravitacional
na posição 4.
32) Parte da energia potencial gravitacional da
esfera, na posição A, é convertida em energia
potencial elástica, na posição B.
64) A energia cinética da esfera, na posição B, é
igual à sua energia potencial gravitacional,
na posição 4.
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as proposições corretas.
+= (ITA-SP) Um anel de peso 30 N está preso a uma
mola e desliza sem atrito num fio circular situado
num plano vertical, conforme mostrado na figura.
10 cm
vence VONCen DARE ESEC LR LOL ACURA OR A CALA IDU SAN a sara na
Considerando que a mola não se deforma quando
o anel se encontra na posição P e que a veloci-
dade do anel seja a mesma nas posições Pe Q, a
constante elástica da mola deve ser de:
a) 3,0 - 10º N/m
b) 4,5: 10° N/m
©) 7,5- 10° N/m
d) 1,2 + 10! N/m
e) 3,0: 10 N/m
(AFA-SP) Duas partículas são lançadas nos pon-
tos A e B com a mesma velocidade v, conforme
indica a figura abaixo:
Enquanto a partícula de massa m passa por um
trecho em elevação, a outra, de massa M, passa
por uma depressão com a mesma forma e “pro-
fundidade” h.
Desprezando-se quaisquer forças dissipativas,
> È
pode-se afirmar que a razão À entre os tempos
tg
gastos pelas partículas para atingirem os pontos
CeDé:
a) menor que 1, se m > M.
m
b) maior que 1, independentemente da razão M
c) igual a 1, independentemente da razão Pi
d) pode ser igual a 1, se m < M.
(Mackenzie-SP) Um garoto, que se encontra apoia-
do sobre seu skate, desce por uma rampa, saindo
do repouso no ponto B. Deslocando-se sempre
sobre o mesmo plano vertical, atinge o ponto
C, com velocidade nula. Admitindo o mesmo
percentual de perda de energia mecânica, se o
garoto saísse do repouso no ponto A, atingiria o
ponto C com velocidade:
a) 4,0 km/h
b) 8,0 km/h
c) 14,4 km/h
d) 16,0 km/h
e) 32,0 km/h
(Use g = 10 m/s?)
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Atividade.
experimental
Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética
Usando um pedaço de trilho de cortina, realize a experiência conforme esquematizado na figura.
e—a >
X
Meça as alturas h,, hg € hc, da posição inicial da qual a esfera foi abandonada nos experimentos sucessivos. Calcule
a energia potencial gravitacional em cada posição em relação à face superior da caixa. Para tanto, determine previamente
a massa m da esfera e considere g = 10 m/s”.
Repita o cálculo das velocidades v, com que a esfera abandona o trilho, do modo como foi feito na atividade ex-
perimental de lançamento horizontal (capítulo 9, página 162). Calcule a energia cinética com a qual a esfera abandona
2
. . my
o trilho em cada um dos experimentos G = 2 ) .
Compare os valores obtidos para a energia cinética com os da energia potencial gravitacional.
Responda:
e Que tipos de transformação energética ocorreram durante os experimentos?
pa
A Fisica em nosso Mundo
Fontes convencionais e fontes alternativas de energia
No Brasil, são exemplos de fontes convencionais de energia as usinas hidrelétricas e termelétricas, os
combustíveis fósseis e o gás natural. Algumas ocasionam grandes danos ao meio ambiente, outras estão
em via de se esgotarem.
e As usinas hidrelétricas
Nas usinas hidrelétricas, a energia potencial gravitacional da
água represada é transformada, durante a queda, em energia “À Entre na rede
cinética que movimenta as pás da turbina. O eixo do gerador é =
movimentado gerando energia elétrica. No endereço eletrônico http://
Na implantação de uma usina hidrelétrica, é fundamental a www.abcdaenergia.com (acesso em
16/2/2007), em Energias Vivas, você
encontra muitas informações sobre
formas de energia renováveis e não-
renováveis.
preservação do meio ambiente. Uma etapa importante dessa
implantação é a formação do grande reservatório, a represa.
A inundação de uma vasta área ocasiona profunda alteração no
ecossistema da região. Por exemplo, haverá um significativo
COosEres are esc cruas cnc str ne sro nCn Cos ras as anna CCC OUOCACULOLLE LUCA CLLONVC LENA OANO LEO OCA SECCO DOCS LATEST UNODC n Cosan ca sata sano
Capítulo 15 © ENERGIA 315 °
aumento na umidade relativa do ar da região, em virtu-
de da evaporação da água da represa. As chuvas ten-
dem a se tornarem mais frequentes e mais intensas
e a temperatura média no local se modifica. A região
deve ser escolhida de modo a causar um mínimo de
efeitos negativos.
4 Gerador
Nível d'água
No que diz respeito à flora, em vista do desapare-
cimento da vegetação nativa, impõe-se que se planeje
um reflorestamento criterioso para repor as espécies
vegetais.
Antes da inundação deve ser feito o desmatamen-
to da área para evitar que madeiras de boa qualidade N => —
sejam cobertas pelas águas. à
Atenção especial deve ser dada à fauna nativa da
área a ser inundada, por meio de uma coleta criteriosa
dos animais que vivem na região.
A A água em movimento aciona a turbina, gerando
energia elétrica.
As populações humanas que habitam a região onde uma usina será implantada são seriamente afetadas.
As pessoas devem ser assentadas em outros locais. O ideal seria que tivessem sua condição original de vida
minimamente alterada ou até mesmo melhorada.
A eficiência de uma usina hidrelétrica, no que diz respeito à produção e aos impactos ambientais, pode ser
avaliada pela razão entre a potência instalada e a área inundada. Por exemplo, na usina de Ilha Solteira,
inundou-se uma área de 1.077 km? e a potência elétrica instalada é de 3.230 MW. Já na usina de Tucuruí estes
valores são, respectivamente, 2.430 km? e 4.240 MW. A razão entre a potência instalada e a área inundada é
de 3,0 MW/km? para a usina de Ilha Solteira e de 1,75 MW/km? para a usina de Tucuruí.
e As usinas termelétricas
Nas usinas termelétricas a rotação das turbinas é feita pelo vapor de água produzido pela queima de um
combustível como, por exemplo, o carvão. Estas usinas intensificam o “efeito estufa”, fenômeno que produz
um aumento da temperatura média da Terra, com graves conseguências. Esse aquecimento ocorre porque
a queima do carvão gera grande quantidade de gás carbônico (CO,), que é despejado na atmosfera. Ele age
como uma barreira, impedindo que a Terra perca para o espaço, durante a noite, uma grande quantidade do
calor que recebe do Sol.
Vapor dê água
comprimido
| centra na turbina Turbina
Vapor
de água
expandido
sai da turbina
Gerador
|
O
|
Ar + carvão
e eee
Condensador
Queimador Caldeira Bomba
1
Bomba Água fria passa pela
serpentina e condensa
o vapor que sai da turbina
TA.
O vapor que sai da turbina se condensa.
A água é bombeada de volta à caldeira
A Esquema de uma usina termelétrica.
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
HANK MORGAN / SPL-LATINSTOCK
JOHN MEAD / SPL-LATINSTOCK
e Novas fontes de energia
As reservas de combustíveis fósseis, como carvão e petróleo,
estão próximas de se esgotarem, sem possibilidade de renovação.
Existem outras maneiras de aproveitar os recursos energéticos
naturais. Entre as principais fontes de energia renováveis alternativas
temos a energia eólica e a energia solar. A eólica é produzida pelos
ventos, ou seja, pelas correntes de ar que se formam na atmosfera.
Estas correntes incidem sobre as pás das turbinas, movimentando-
as. A energia solar pode ser captada pelos coletores solares, utiliza-
dos para o aquecimento de água, e pelas células fotovoltaicas, que
convertem diretamente energia solar em energia elétrica.
Há outras fontes renováveis e alternativas de energia, como a
energia da biomassa e a energia das marés.
A biomassa é um biocombustível, originado de resíduos agrícolas,
madeira, plantas e partes biodegradáveis de resíduos industriais e ur-
banos. O álcool, extraído da cana-de-açúcar, é o biocombustível mais
conhecido. O biodiesel é um combustível biodegradável, produzido
por diversas espécies vegetais como a mamona, o girassol, a soja,
o amendoim e o dendê. O biodiesel é bem menos poluente do que
o óleo diesel obtido a partir do petróleo, podendo substituí-lo parcial
ou totalmente.
Entre na rede
No endereço eletrônico http://
www.cienciahoje.uol.com.br/
controlPanel/materia/view/2874
(acesso em 16/2/2007), você
encontra informações sobre como
a energia do Sol pode ser usada
para esquentar água e gerar energia
elétrica.
«4 Complexo de captação de energia
solar no deserto de Mojave,
na Califórnia (Estados Unidos).
A potência elétrica total gerada
é de 275 MW.
«4 Captadores de energia eólica, em
Palm Springs, na Califórnia (Estados
Unidos). A potência elétrica gerada
numa turbina é proporcional ao cubo
da velocidade com que o vento incide
nas hélices.
A energia das marés é utilizada em regiões onde ocorre um grande desnível entre as marés alta e baixa.
De modo análogo ao das usinas hidrelétricas, é construída uma barragem, originando um reservatório junto
ao mar. Por ocasião da maré alta, a água que enche o reservatório passa pela turbina acionando-a. Na maré
baixa, O reservatório esvazia e novamente a turbina entra em rotação gerando energia elétrica. Entretanto,
este processo é descontínuo e de baixo rendimento, o que limita sua utilização. Em La Rance, na França,
existe uma usina mareomotriz em funcionamento, onde o desnível entre as marés alta e baixa chega a 13 m
e a capacidade instalada é de 240 MW.
a
Maré alta ——>
Barragem
\ Maré baixa «——
No
A Esquema de funcionamento de uma usina mareomotriz.
* À energia nuclear
Em alguns países, como a França, por exemplo, a energia nuclear não é uma fonte alternativa de energia,
mas sim a principal fonte de obtenção de energia elétrica. As usinas nucleares funcionam basicamente como
as termelétricas: as turbinas são acionadas pelo vapor de água. Enquanto nas termelétricas o vapor é obtido
pela queima de combustível, nas nucleares a produção do calor é proveniente da fissão nuclear: núcleos pesa-
dos, como os dos isótopos do urânio-235, ao serem bombardeados por nêutrons, originam núcleos menores,
liberando uma grande quantidade de energia.
A implantação ou não de usinas nucleares tem provocado inúmeras discussões. Muitos consideram uma
forma limpa de energia e os riscos decorrentes de sua utilização perfeitamente controláveis. Outros afirmam
que os riscos, que advêm dos resíduos radioativos que se formam quando o urânio é preparado para ser
usado como “combustível”, são extremamente graves e contra-indicam a utilização da energia nuclear. Além
disso, após seu processamento, obtém-se como produto final o “lixo atômico”, também radioativo, ainda
sem um local definido para ser colocado. Na Alemanha, a instalação de novas usinas nucleares está proibida.
O desmonte dos reatores nucleares ainda existentes deve ser completado até o ano 2021.
Teste sua leitura
L.21. (Enem-Mec) Na avaliação da eficiência de
usinas quanto à produção e aos impactos
ambientais, utilizam-se vários critérios, tais potência instalada | 12.600 MW 18.200 MW
como: razão entre produção efetiva anual de produção efetiva 93 bilhões 84 bilhões de
energia elétrica e potência instalada ou razão de energia elétrica | de kWh/ano kWh/ano
entre potência instalada e área inundada
pelo reservatório. No quadro seguinte, esses
parâmetros são aplicados às duas maiores
área inundada pelo
nua 1.000 km?
reservatório
hidrelétricas do mundo: Itaipu, no Brasil, e m Fonte: www.itaipu.gov.br
Três Gargantas, na China.
EC OA CARR T aan da a
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P Teste sua leitura
E22
L23
Com base nessas informações, avalie as afir-
mativas que se seguem:
I. A energia elétrica gerada anualmente e a
capacidade máxima de geração da hidre-
létrica de Itaipu são maiores que as da
hidrelétrica de Três Gargantas.
H. Itaipu é mais eficiente que Três Gargantas
no uso da potência instalada na produção
de energia elétrica.
II. A razão entre potência instalada e área
inundada pelo reservatório é mais favorá-
vel na hidrelétrica Três Gargantas do que
em Itaipu.
É correto apenas o que se afirma em:
a) I d lell
b) II e Ilell
9 M
(Enem-MEC) A construção de grandes projetos
hidroelétricos também deve ser analisada do
ponto de vista do regime das águas e de seu
ciclo na região. Em relação ao ciclo da água,
pode-se argumentar que a construção de gran-
des represas:
a) não causa impactos na região, uma vez
que a quantidade total de água da Terra
permanece constante.
b) não causa impactos na região, uma vez
que a água que alimenta a represa prosse-
gue depois rio abaixo com a mesma vazão
e velocidade.
c) aumenta a velocidade dos rios, acelerando
o ciclo da água na região.
d) aumenta a evaporação na região da repre-
sa, acompanhada também por um aumen-
to local da umidade relativa do ar.
e) diminui a quantidade de água disponível
para a realização do ciclo da água.
(Enem-MEC) Em usinas hidrelétricas, a que-
da-d'água move turbinas que acionam gera-
dores. Em usinas eólicas, os geradores são
acionados por hélices movidas pelo vento.
Na conversão direta solar-elétrica são células
fotovoltaicas que produzem tensão elétrica.
Além de todos produzirem eletricidade, esses
processos têm em comum o fato de:
a) não provocarem impacto ambiental.
b) independerem de condições climáticas.
c) a energia gerada poder ser armazenada.
d) utilizarem fontes de energia renováveis.
e) dependerem das reservas de combustíveis
fósseis.
L24
L.25
(Enem-MEC) Não é nova a idéia de se ex-
trair energia dos oceanos aproveitando-se
a diferença das marés alta e baixa. Em 1967,
os franceses instalaram a primeira usina
“maré-motriz”, construindo uma barragem
equipada de 24 turbinas, aproveitando-se a
potência máxima instalada de 240 MW, sufi-
ciente para a demanda de uma cidade com
200 mil habitantes. Aproximadamente 10%
da potência total instalada são demandados
pelo consumo residencial.
Nessa cidade francesa, aos domingos, quan-
do parcela dos setores industrial e comercial
pára, a demanda diminui 40%. Assim, a pro-
dução de energia correspondente à demanda
aos domingos será atingida mantendo-se:
I. todas as turbinas em funcionamento, com
60% da capacidade máxima de produção
de cada uma delas.
II. a metade das turbinas funcionando em
capacidade máxima e o restante, com 20%
da capacidade máxima.
HI. quartoze turbinas funcionando em capa-
cidade máxima, uma com 40% da capaci-
dade máxima e as demais desligadas.
Está correta a situação descrita:
a) apenas em I.
b) apenas em II.
c) apenas em Í e IIL
d) apenas em II e IH.
e) em, H e M.
(Enem-MEC) Um problema ainda não resol-
vido da geração nuclear de eletricidade é
a destinação dos rejeitos radiativos, o cha-
mado “lixo atômico”. Os rejeitos mais ativos
ficam por um período em piscinas de aço
inoxidável nas próprias usinas antes de ser,
como os demais rejeitos, acondicionados
em tambores que são dispostos em áreas
cercadas ou encerrados em depósitos sub-
terrâneos secos, como antigas minas de sal. A
complexidade do problema do lixo atômico,
comparativamente a outros lixos com subs-
tâncias tóxicas, se deve ao fato de:
a) emitir radiações nocivas, por milhares de
anos, em um processo que não tem como
ser interrompido artificialmente.
b) acumular-se em quantidades bem maiores
do que o lixo industrial convencional, faltan-
do assim locais para reunir tanto material.
c) ser constituído de materiais orgânicos que
podem contaminar muitas espécies vivas,
incluindo os próprios seres humanos.
d) exalar continuamente gases venenosos,
que tornariam o ar irrespirável por milha-
res de anos.
e) emitir radiações e gases que podem des-
truir a camada de ozônio e agravar o efeito
estufa.
E O impulso e a quantidade de movimento
são duas grandezas vetoriais relacionadas
pelo teorema do impulso: o impulso da
1. INTRODUÇÃO
2. IMPULSO DE UMA FORÇA
3. QUANTIDADE DE MOVIMENTO
4. TEOREMA DO IMPULSO
5. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
6. CHOQUES
7. COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO
força resultante é a variação da quantidade
de movimento no intervalo de tempo
considerado. Essas grandezas são importantes
para a análise dos choques entre corpos,
como o das bolas de bilhar da foto. Neste
capítulo estabelecemos mais um princípio
da conservação: a conservação da quantidade
de movimento em sistemas de corpos isolados
de forças externas.
1. Introdução
Considerando que uma força atua num corpo durante um certo intervalo de tempo, cabem as per-
guntas: Será que o produto da força pelo intervalo de tempo tem, em Física, tanta importância quanto o
produto da força pelo deslocamento? Será que esse produto também está relacionado a algum princípio
de conservação?
Para ambas as questões a resposta é positiva. O produto da força pelo intervalo de tempo constitui
o impulso da força e é muito importante nos fenômenos físicos. Essa grandeza está associada, como
veremos, ao princípio da conservação da quantidade de movimento.
2. Impulso de uma força
Considere uma força constante F atuando num ponto material
durante um intervalo de tempo At = t, — t, (figura 1). O impulso r
dessa força constante nesse intervalo de tempo é a grandeza vetorial
dada por:
Sendo uma grandeza vetorial, o impulso possui intensidade,
direção e sentido.
e Intensidade (módulo): |7] = |F]At
e Direção: a mesma de F (paralelo a P
e Sentido: o mesmo de F (pois At é positivo)
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de intensi-
dade do impulso é newton x segundo (N : 5).
A partir do gráfico da intensidade F da força atuante em função
do tempo, é possível calcular a intensidade do impulso. Na figura 2,
é mostrado o gráfico em questão para uma força F constante.
A intensidade do impulso no intervalo de tempo At considerado é
numericamente igual à área do retângulo destacado nesse gráfico.
Essa área é dada por:
ssesosssonsas ssessassossocsosorvosesosesusssesesse basuonesoacseovessaessossonoococsooonsusnososeaea ETTET
"4
O
by
Figura 1.
1
1
1
1
1
1
1
1
'
1
1
1
At
Figura 2.
tesosroserosossconcaeneso senenessosocosesseses
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereirog
Se a força Ftem direção constante e se sua intensidade varia em função do tempo, de acordo com
o gráfico da figura 3, para a determinação do impulso devemos recorrer necessariamente ao cálculo de
áreas. A área A, destacada (figura 3a) representa numericamente a intensidade do impulso num curto in-
tervalo de tempo. A soma de áreas como a anterior, considerando intervalos de tempo At extremamente
pequenos (At > 0), é a área total A delimitada pela curva da função e pelo eixo dos tempos (figura 3b),
que numericamente é a intensidade do impulso da força no intervalo de tempo t a t.
x
Q
Q
E
D
z
E
q
3
a
Fa
a
o
e
D
5
EU)
t
| I | = À (numericamente)
, A O pé do jogador está aplicando um
Figura 3. impulso à bola.
Exercícios
esolvidos
Ao dar o saque “viagem ao fundo do mar” num jogo de vôlei, um jogador aplica uma força de intensidade
6,0 + 102 N sobre a bola, durante um intervalo de tempo de 1,5 - 10"! s. Calcule a intensidade do impulso da
força aplicada pelo jogador.
Solução:
Sendo F = 6,0 - 10º N a intensidade da força aplicada e At = 1,5 + 10"! s o intervalo de tempo de sua ação, a
intensidade do impulso será dada por:
I=Fat> I=(60:109-(15-105) =» [1=90Nes
Resposta: 90N-s
Uma partícula se movimenta sob ação de uma força de direção cons-
tante e cuja intensidade varia com o tempo de acordo com o gráfico.
Determine:
a) o módulo do impulso da força no intervalo de tempo de 0 a 6,0 s;
b) a intensidade da força constante que produz o mesmo impulso que
a força dada no intervalo de tempo de 0 a 6,0 s.
Solução:
a) O módulo do impulso no intervalo de tempo de 0 a 6,0 s corresponde j F(N)
numericamente à área À da figura (área do trapézio):
a= S 48 I =48N-s
b) A força constante que produz o mesmo impulso que uma força A
variável no mesmo intervalo de tempo é chamada força média.
No caso, para calcular sua intensidade, podemos usar a fórmula:
I= FAt > 48 =F- 6,0 F=80N 0 2,0 4,0 6,0 t(s)
Respostas: a) 48 N -s;b)8,0N
CCORC DEDOS DUE ULTRA SELL DLL LUC LTNO LTL ALLDONCLNSL CLARA LDA ON OLA DL ONDA CNC D LUCA EDUC SC DEU DUO CACO ONO OR ANAN CASA Un nan caras anenese nene rrs
CarítuLo 16 e Impuiso E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 321 o
P.380
P.381
P.382
Uma força age sobre um corpo durante 2 s na direção vertical, orientada de baixo para cima, com intensidade
de 20 N. Dê as características (direção, sentido e intensidade) do impulso dessa força.
Uma partícula de massa 0,6 kg está em queda livre. Dê as características do impulso do peso da partícula du-
rante 3 s de movimento. (Dado: g = 10 m/s*.)
Uma partícula se movimenta sob ação de uma força de direção AF(N)
constante e cujo valor algébrico varia com o tempo, de acordo
com o gráfico. Determine:
a) o módulo do impulso da força nos intervalos de tempo de 0
a 4,0 s e de 0 a 6,0 s;
b) a intensidade da força constante que produz o mesmo impul-
so da força dada no intervalo de tempo de 0 a 6,0 s.
Observação:
Valor algébrico negativo da força no gráfico indica que a força
apresenta sentido oposto ao inicial.
E) 3. Quantidade de movimento
. > «
Considere um corpo de massa m com velocidade v num determinado referen-
cial (figura 4). A quantidade de movimento, ou momento linear, desse corpo
é a grandeza vetorial dada por:
|
E
+ —
Q= mv
Figura 4.
Sendo uma grandeza vetorial, a quantidade de movimento possui intensidade, direção e sentido.
e Intensidade (módulo): |Q | = mv |
. a — >
e Direção: a mesma de v (paralela av)
e Sentido: o mesmo de v (pois m é positivo)
No Sistema Internacional de Unidades (Sl), a unidade do módulo da quantidade de movimento é o
quilograma x metro por segundo (kg : m/s).
Exercícios
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
resolvidos
Uma partícula de massa m = 0,20 kg possui, num certo instante, velocidade u de módulo v = 10 m/s, direção
horizontal e sentido da direita para a esquerda. Determine, nesse instante, o módulo, a direção e o sentido da
quantidade de movimento da partícula.
Solução:
No instante considerado a quantidade de movimento tem as seguintes características:
e módulo: Q = mv
Q=0,20-10 = [Q=20kg-m/s 7
<——sS
>
e direção: a mesma de v, isto é, horizontal
-
e sentido: o mesmo de v, isto é, da direita para a esquerda Meme
Resposta: 2,0 kg - m/s, horizontal, da direita para a esquerda.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Uma partícula de massa m = 0,5 kg realiza um movimento obedecendo à função horária s = 5 + 2t + 3f, para s em
metros e t em segundos. Determine o módulo da quantidade de movimento da partícula no instante t = 2 s.
Solução:
1
Comparando s = 5 + 2t + 3ť? coms = s} + vt + 5 at”, concluímos que v = 2 m/s e a = 6 m/s?
De v = v + at, vem:v=2+6-t
Para ł = 2s, resulta: v = 2 + 6-2 > v= 14 m/s
Sendo Q = mv, vem: Q = 0,5 -14 > | Q= 7kg: m/s
Resposta: 7 kg - m/s
Exercicios
ropostos
P.383 Uma partícula de massa 2,0 kg apresenta, num certo instante, velocidade horizontal, orientada da esquerda
para a direita com módulo igual a 5,0 m/s. Determine as características (direção, sentido e intensidade) da
quantidade de movimento da partícula nesse instante.
P.384. Um móvel se desloca numa trajetória retilínea, obedecendo à função horária s = 3 + 4t — 4t’. Sendo 4 kg a
massa do móvel, determine o módulo da quantidade de movimento desse móvel nos instantes:
a) t= 0; b) ż= 0,5s; o) t= 4s.
P.385 No exercício anterior, compare o sentido da quantidade de movimento nos instantes t = 0 e t = 4s.
P.386 A quantidade de movimento de uma partícula de massa 0,20 kg tem módulo 1,0 kg - m/s. Determine a energia
cinética da partícula.
P.387 Uma partícula de massa 0,10 kg parte do repouso com aceleração constante. Após 10 s encontra-se a 50 m da
posição de partida. Determine o módulo da quantidade de movimento nesse instante.
4. Teorema do impulso
Considere um corpo de massa m submetido a um con- a)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
junto de forças cuja resultante é R, suposta constante e de A ra
mesma direção da velocidade (figura 5a). Pelo princípio fun- > z r 0” r
damental da Dinâmica: —— mo Ss 2
R = ma t) a (to)
> Av
Sendoa = =, temos: b)
A
> Av Q, = mv; Q= mv;
Fk = m’ — E censo
At Ro le
mÊ—» > o
RAt = mAV = m- (V> — vo)
RAt = mv, — mv Figura 5.
Como F At = ly my; = Q, e my, = Q, (figura 5b), vem:
k=0- Q =4Q |
O impulso da força resultante num intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de mo-
vimento do corpo no mesmo intervalo de tempo.
CarítuLo 16 °> ImpuLsO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 323º
O enunciado anterior é conhecido como teorema do impulso, de validade geral para qualquer tipo
de movimento.
O teorema do impulso:
e introduz os conceitos de impulso e de quantidade de movimento;
e estabelece um critério para a medida da quantidade de movimento: sua variação AQ = Q, — Q, éo
impulso da força resultante.
Em vista do teorema do impulso, podemos concluir que, no Sistema Internacional de Unidades (SI),
a unidade do módulo de impulso (newton x segundo) e a do módulo de quantidade de movimento
(quilograma x metro por segundo) são equivalentes, não tendo nomes especiais.
ETTETTETT
Uma força constante atua durante 5,0 s sobre uma partícula de massa 2,0 kg, na direção e no sentido de seu
movimento, fazendo com que sua velocidade escalar varie de 5,0 m/s para 9,0 m/s. Determine:
a) o módulo da variação da quantidade de movimento da partícula;
b) a intensidade do impulso da força atuante;
c) a intensidade da força.
Solução:
a) Às quantidades de movimento inicial Q, e final Q» da partí- v v
cula são dadas por: F pg F — >
; E] £ “E
> > > - y> l — `. m=2,0k
Q = mv, e Q,= mv, i a Ea 8
aeree ESA
Sendo v, = 5,0 m/s e v, = 9,0 m/s as velocidades escalares G. g.
inicial e final, os módulos das quantidades de movimento '
valem:
Q=mv=20:50 > Q, = 10 kg < m/s
Q, = mv, = 2,0 : 9,0 > Q, = 18 kg - m/s
> > . . -
Como Q, e Q, têm a mesma direção e o mesmo sentido, o módulo da variação da quantidade de movimento é:
AQ=0,—0,=18-10 > |AQ=80kg-m/s
b) Aplicando o teorema do impulso à situação considerada: = G, — G,
Como o impulso tem a mesma direção e o mesmo sentido que as quantidades de movimento, vale escrever,
para sua intensidade:
I=Q -Q =18- 10 = |/=80N-s
c) Como T= FAt, a intensidade da força será dada por: [ = FAt > F= L
At
8,0
Sendo Aż = 5,0 s, vem: F = 50 > |F=16N
Respostas: a) 8,0 kg - m/s; b) 8,0 N -s;c) 1,6 N
Um corpo de massa m = 10 kg possui velocidade U, de direção horizontal e intensidade 3 m/s. Recebe um
impulso 7 de uma força F que altera sua velocidade inicial v, para v,, perpendicular a v, e de intensidade igual
a 4 m/s. Determine o impulso / dessa força F.
Solução:
Intensidades das quantidades de movimento: z
Q, = mv, = 10-3 = Q, = 30 kg - m/s —
Q, = mv, = 10 -4 => Q, = 40 kg - m/s
Para a determinação do impulso T temos que fazer uma sub-
tração vetorial (teorema do impulso):
> >
>
[=0,- 0) A
CMRABCLCN DO CARA MAO CASAL SNANLNC NENE CUECAS ELTON DONO SACADAS CALOR ANCORADO SOCO CANAL OCO RAR OA RO Anata san AOS
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A intensidade Tna figura pode ser obtida a partir do teorema de Pitágo- v
ras aplicado ao triângulo destacado: o
ITE = 30 +40 > |] =7= 50kg: m/s > (1=50Nes) BS >
Sua direção 9 com a vertical pode ser dada por: F, 8.
tgO = 30 > tg0 = 0,75
40 T z
Resposta: módulo: 50 N - s; direção: 8 é o ângulo cuja tangente vale 0,75;
sentido: indicado na figura
Observação:
Entenda o significado físico do impulso: a velocidade v, horizontal, do móvel, muda de direção, passando a U»,
na direção perpendicular, ao receber a força F e, conseqüentemente, um impulso na direção inclinada 9.
a O gráfico ao lado mostra a variação da intensidade da força Fde direção
constante que atua num ponto material de massa m = 2 kg. Admita em
t = 0, v = 0. Determine:
a) o módulo do impulso de F'no intervalo de tempo Qa 10 s;
b) sua velocidade em t = 10 s.
Solução:
a) O módulo de re corresponde numericamente à área A da figura (área
de um triângulo):
a- © I = 50Nes
b) Pelo teorema do impulso: T= G, — Q,
De 0 a 10 s, temos: 7= Qa- O
Como Q, =Ű (pois v = 0), vem:
I= Qo > I= mo > 50-20,
Respostas: a) 50 N - s; b) 25 m/s
Um projétil de massa 20 g incide horizontalmente sobre uma tábua com velocidade de 500 m/s e a abandona
com velocidade horizontal e de mesmo sentido de valor 300 m/s. Qual a intensidade do impulso aplicado ao
projétil pela tábua?
Solução:
Intensidades das quantidades de movimento:
Q, = mv, = 20 - 10° - 500 > Q, = 10 kg : m/s
Q, = mv, = 20 - 10° -300 = Q, = 6,0 kg + m/s
Para; a determinação do impulso r devemos fazer a subtração vetorial:
T= Q,- Q.. Entretanto, como Q», G, el têm, neste caso, mesma direção,
a igualdade vetorial anterior transforma-se numa igualdade escalar, ado- Eixo adotado D
tando-se um eixo. ť— H
Na figura, Q, e Q, têm o mesmo sentido do eixo adotado e 7 tem sentido EN E a
I
oposto. Indicando por £, Q, e Q, os módulos dos vetores em questão, de o vı 3 o 2 2
I= Q,— Q, vem:
I=QG-Q=>-1=60-10> [1=40N-s 5, o!
Resposta: 4,0N-s
Exercícios
„propost
P.388 Um móvel de massa 3,0 kg desloca-se horizontalmente com velocidade escalar igual a 15 m/s constante. Num
dado instante, passa a atuar sobre o móvel uma força constante de intensidade 2,5 N, durante 4,0 s, na mesma
direção e no mesmo sentido do movimento. Determine:
a) a intensidade do impulso da força atuante;
b) o módulo da quantidade de movimento do móvel antes da ação da força;
c) o módulo da quantidade do movimento do móvel no instante em que a força deixa de agir.
CONDENOU LONCNCALISRL CORO RA NINAR CL CEDER LA DOCAS AALANENC OCARINA OU CESAR RAR UA RARO OR On RA UN eU Ansa sun o cares
Capítulo 16 e ImPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 325 °
P.389 Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s. Sendo 5,0 kg a massa do corpo,
determine a intensidade do impulso da força-peso entre o instante inicial e o instante em que o corpo atinge o
ponto mais alto da trajetória.
P.390 (Olimpíada Brasileira de Física) Sobre um corpo de massa de 3,0 kg, movendo-se a 5,0 m/s, age uma força de
maneira que, após 10 s, sua velocidade tem o valor de 2,0 m/s em sentido oposto ao inicial. Qual o valor da
intensidade da força que atuou sobre esse corpo?
P.391 Numa partida de futebol, a bola, que se desloca horizontal-
mente, atinge o pé do zagueiro com velocidade v, = 15 m/s.
O impulso do chute do jogador faz com que a bola adquira ve-
locidade v, = 20 m/s, na direção vertical, imediatamente após o
chute. A massa da bola é igual a 0,40 kg. Determine a intensidade
do impulso que o pé do jogador imprime à bola. Despreze o
peso da bola durante a interação entre o jogador e a bola.
P.392 Uma partícula de massa 4,0 kg descreve um movimento cir- Va B KG
cular uniforme com velocidade escalar 10 m/s. Determine as
características (direção, sentido e módulo):
a) da quantidade de movimento no ponto 4; A
b) da quantidade de movimento no ponto B;
c) do impulso recebido pela partícula entre as posições A e B.
P.393 Um carrinho de massa 100 g encontra-se em repouso quando
nele passa a atuar uma força resultante F, de direção constan-
te, e cuja intensidade varia com o tempo, conforme o gráfico
0,20
ao lado.
Determine: 0,10
a) a intensidade do impulso da força Fno intervalo de tempo >
de 0 a 1,0 s; 0 t(s)
b) a velocidade do carrinho no instante £ = 2,0 s.
P.394 O gráfico ao lado representa a variação do módulo da força
resultante que atua num corpo de massa m = 2,5 kg, cuja
velocidade inicial é de 10 m/s. À força é sempre paralela e de
sentido contrário ao da velocidade inicial. Calcule:
a) o impulso da força entre os instantes 0 e 2 s;
b) a velocidade do corpo no instante t = 2 s.
Bs. Conservação da quantidade de movimento
Considere um sistema de corpos isolado de forças externas. Por sistema isolado de forças externas
entenda:
1) não atuam forças externas, podendo no entanto haver forças internas entre os corpos;
2) existem ações externas, mas sua resultante é nula;
3) existem ações externas, mas tão pouco intensas (quando comparadas às ações internas) que podem
ser desprezadas.
Se o sistema é isolado de forças externas, a resultante dessas forças é nula e também é nulo
seu impulso. Pelo teorema do impulso, vem:
R=0- 0,
Sendo o sistema isolado: F =0 > k= o
Portanto: Ó = Q, - 0, > 0,=0,
° 326 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
oibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
an
w
o
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>
E
E
2
É
EE
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G
&
{L
>
>
>
o
Como os instantes t, e t, são quaisquer, decorre que a quantidade de movimento permanece cons-
tante. Assim, podemos enunciar o princípio da conservação da quantidade de movimento:
A quantidade de movimento de um sistema de corpos isolado de forças externas é constante.
A quantidade de movimento pode permanecer constante ainda que a energia mecânica não perma-
neça, como veremos adiante nos exercícios resolvidos. Em outras palavras, os princípios da conservação
da energia e da quantidade de movimento são independentes.
A Na explosão da lâmpada, a soma das quantidades A Quando a rolha salta, a garrafa sofre um recuo,
de movimento dos fragmentos é igual à quantidade de modo a conservar a quantidade de movimento
de movimento da lâmpada antes da explosão, original do sistema garrafa-rolha, supondo-o
supondo-a isolada de forças externas. isolado de forças externas.
Leia na página 351, em História da Física, sobre a evolução do conceito
de quantidade de movimento e sua conservação.
v ei
resolvidos
Um canhão de artilharia horizontal de 1 tonelada (1 t) dispara uma bala de 2 kg que sai da peça com velocidade
de 300 m/s. Admita a velocidade da bala constante no interior do canhão. Determine a velocidade de recuo da
peça do canhão.
Solução:
O sistema de corpos canhão-bala é isolado de forças externas, pois
no conjunto atuam apenas o peso e a normal, que se anulam (figura a).
À força que o canhão exerce na bala e a força que a bala exerce
no canhão são internas (figura b). Se o sistema é isolado, antes e
logo depois do disparo, a quantidade de movimento permanece
a mesma.
(D Antes do disparo (figura c)
No início V, -0 (repouso): Q, (M+m) D, M+ m) fi)
Portanto: Q, =Ü
dD Depois do disparo (figura d)
A bala adquire a velocidade v e o canhão recua com V. À
quantidade de movimento do conjunto Q4 depois do disparo
é Qa = MV + mv.
vesoseses conccos PEODLCOCA LOC DEITADA VETA DAVLA TONELADAS CANON CLIN CLA ANTA CAM ASPAS DINA SDCU U A a du a Ara aa tr cana na
CarítuLo 16 e ImpuLSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 327º
MICROZOA / PHOTOGRAPHER'S CHOICE-GETTY IMAGES
Como o conjunto é isolado:
Q, = Q, Ò = MV + mo > MV- mu (igualdade vetorial)
O sinal (—) indica que as quantidades de movimento adquiridas pelo canhão e pela bala têm sentidos
contrários, mas o mesmo módulo:
MV = mv (igualdade escalar)
= mu
Temos, então: V = —
M
Sendo: m = 2 kg; M = 1 t = 1.000 kg; v = 300 m/s, vem:
2: 300 600
Resposta: 0,6 m/s
Observação:
Semelhante a este exercício e de mesma solução:
Figuraa — Um garoto (m) caminha com U sobre um carrinho (M) que recua com V.
Figura b — Um homem (m) caminha com v num barco (M) que recua com V.
Figura c — Um garoto (m) sobre patins empurra sua namorada (M), também sobre patins; o garoto recua com
— —
v e a namorada adquire V.
m
V fa M
S n O A gre
Figura a Figura b Figura c
Em todos esses exemplos, a quantidade de movimento adquirida por um corpo tem o mesmo módulo da quan-
tidade de movimento adquirida pelo outro:
1 Um homem de massa m está sentado na popa de um barco em repouso, num lago. A massa do barco é M = 3m e
seu comprimento é L = 4 m. O homem levanta-se e anda em direção à proa. Desprezando a resistência da água,
determine a distância D que o bote percorre durante o percurso do homem da popa à proa.
Solução:
A força de interação homem-barco é interna ao conjunto.
Assim, o sistema é isolado e a quantidade de movimento per-
Antes
manece constante.
Em relação ao referencial R na água em repouso:
[antes] Q, = Qa [depois] > mv = MV
E, para o mesmo intervalo de tempo At, temos: R
As AS
m— = M— > |mAs = MAS
At At
Cuidado com os referenciais: o homem percorre a distância L Depois m
(comprimento do barco) em relação ao barco; em relação ao
referencial R (água), a distância que percorre (veja figura)
é L — D enquanto o barco percorre D. Assim:
As = L — D (homem)
mAs = MAS onde AS = D (barco)
M=3m
L 4
Portanto: m: (L - D) =3mD > L-D=3D=>L=4D => D= 2-0 = (D=1m)
Resposta: O barco afasta-se 1 m em relação à água.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Um foguete de massa M move-se no espaço sideral com velocidade de módulo v. Uma repentina explosão
fragmenta esse foguete em duas partes iguais que continuam a se movimentar na mesma direção e no mesmo
sentido que o foguete original. Uma das partes está se movimentando com velocidade de módulo = Qual é o
módulo da velocidade da outra parte?
Solução:
Como o corpo está isolado de forças externas, há con-
servação da quantidade de movimento:
antes da | > > | depois da
l | q, = O l p |
explosão explosão
Nesse caso, todos os vetores têm mesma direção e a Eixo adotado +
igualdade vetorial anterior transforma-se numa igual- >
dade escalar, adotando-se um eixo. Em relação ao eixo
da figura, de Q, = Qu vem:
Mv =
M v M v v r v’ v v g Ju D 180
2 5 2 10 2 2 10 2 10 ?
Resposta: v’ = 1,80
Seja o corpo À de massa m, que se move horizontal- y
mente numa mesa lisa e se choca com o corpo B de
massa mp inicialmente em repouso. À velocidade
vo de À é igual a 4 m/s, na direção 6 indicada na figura, B >
tal que cos 6 = 0,80. Após o choque, A sai na direção x a A 8 x
com velocidade v, e B sai na direção y. Determine v4. A
Solução:
Antes Ay Depois 4 y
v tO
B Ra
B
Ə > ————»+— >
> 8- X pyd X
Vis AE A Va
A o
ad Q= Mv
Antes do choque: Q, = MaD (na direção 0)
Depois do choque: Qı = G, + G;
sendo: Qa = Mava (direção x)
Os = maUn (direção y)
Pelo princípio da conservação da quantidade de movi-
mento:
Q, = Qa = Q, = Q H Qg
> > — > A
Q, = mav, é O vetor soma de Q, e Qs, como se indica g. - G, + G,
ela regra do paralelogramo: =æ l-> Loye
pela reg p g Oto 7
Q, = Qa + Qs Aa x
No triângulo destacado: i Be G, *
MaVa Ua a
cos6 = = < o omn?
Mad Vo Q, = Mvo
Portanto:
V, = v * cos 8 = 4: 0,80 >
Resposta: 3,2 m/s
CapituLo 16 © IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 329º
P.395 Uma peça de artilharia de massa 2 t dispara uma bala de 8 kg. A velocidade do projétil no instante em que
abandona a peça é 250 m/s. Calcule a velocidade de recuo da peça, desprezada a ação de forças externas.
P.396 (UFSCar-SP) No esquema abaixo, m, = 1 kg e mp = 2 kg. Não há atrito entre os corpos e o plano de apoio. A mola
tem massa desprezível. Estando a mola comprimida entre os blocos, o sistema é abandonado em repouso. A
mola distende-se e cai por não estar presa a nenhum deles. O corpo B adquire velocidade de 0,5 m/s. Determine
a energia potencial da mola no instante em que o sistema é abandonado livremente.
P.397 Na figura representada ao lado, um homem de massa M está de pé
sobre uma tábua de comprimento L, que se encontra em repouso
numa superfície sem atrito. O homem caminha de um extremo a outro
da tábua. Que distância percorreu o homem em relação ao solo se a
M
massa da tábua é 4 ?
P.398 Uma bomba de massa m tem velocidade 50 m/s e explode em duas partes. Uma parte de massa E é lançada
para trás com velocidade de 30 m/s. Determine a velocidade com que é lançada a outra parte.
P.399 O corpo À move-se sobre uma mesa horizontal e perfeitamente lisa com ty
velocidade v, = 6,0 m/s. Após chocar-se com o corpo B, inicialmente em
repouso, À passa a mover-se na direção do eixo x, e B na direção do eixo
y. Sabendo-se que 6 = 60º, determine a velocidade do corpo À depois do B
choque. `~ —
Dados: sen 60° = E ; cos 60° =
[NA Ra
>
e 6. Choques
Uma colisão entre dois corpos que se movem numa mesma reta, antes e depois da colisão, é cha-
mada de choque frontal ou unidimensional.
Considere, então, uma colisão frontal de um corpo A com um corpo B (figura 6a), na qual os corpos
não sofram deformações permanentes. Considere ainda A e B isolados de forças externas.
a v b) O 7 v
> —> ——>
ə Ə v=0 ə , 7
A B AB A B
E
Cinicial
Figura 6. Choque perfeitamente elástico: E,
final
Durante um intervalo de tempo muito curto, Ae B sofrem deformações elásticas (figura 6b), haven-
do transformação de energia cinética inicial de A em energia potencial elástica dos corpos deformados.
Quase que instantaneamente os corpos restituem sua forma inicial, com a retransformação da energia
potencial elástica em energia cinética. Do ponto de vista ideal admitamos que nessa deformação/resti-
tuição não haja dissipação de energia.
Se a energia cinética final é igual à energia cinética inicial, a colisão é chamada choque perfei-
tamente elástico.
A quantidade de movimento também se conserva durante a colisão, pois o sistema de corpos
é isolado de forças externas. Assim, na análise de um choque perfeitamente elástico, temos dois pares
de equações, antes e depois da colisão: a conservação da quantidade de movimento e a conservação da
energia cinética, conforme mostrado no quadro a seguir.
“330 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
v + — i
0 v=0 | Va Vg |
A B | A B |
i E
Antes da colisão | Depois da colisão |
| 2 2 2 |
f Mivo l mav, mv, f
; Q = Mivo E, = —— © Q=mvtmy Eg= — + =
| 2 | 2 2 |
Conservação da quantidade de movimento |
| É
| Qa = Qa = Mao = Ma + Mays |
i i
| = o |
| Conservação da energia cinética |
| í
Ea = Es > mi = mv + Mv |
Há choques diferentes dos perfeitamente elásticos: um corpo A (por exemplo, uma pequena esfera)
choca-se com um corpo B muito deformável (por exemplo, um corpo feito de “massa de vidraceiro”) e,
após o choque, A se aloja no interior de B. Devido à resistência que o corpo B oferece à penetração de
A, há dissipação de energia e, consequentemente, elevação de temperatura dos corpos.
Em choques desse tipo ainda se conserva a quantidade de movimento, pois as forças que aparecem
são internas, mas não se conserva a energia cinética (veja o quadro seguinte). A energia cinética final é
menor que a inicial, e a diferença corresponde à energia térmica, energia sonora e trabalho de defor-
mação permanente.
Choques em que os corpos se deformam de tal maneira que permaneçam unidos após a colisão
são denominados choques perfeitamente inelásticos.
Choques perfeitamente inelásticos
Antes da colisão Depois da colisão
o (m +m) v?
2
Mavo
Q = my Ea = Q=(m+mv Eq
free norma mem
Conservação da quantidade de movimento
Q, = Qu > Mvo = (M, + M)’ v
Máxima dissipação da energia: E, > Ea
|
|
|
|
|
| 2
|
|
|
|
|
|
|
No choque perfeitamente inelástico, se não soubermos a energia dissipada, só dispomos de uma
equação para sua análise — a da conservação da quantidade de movimento.
Se o choque se situa entre o perfeitamente elástico e o perfeitamente inelástico, ele é chamado de
parcialmente elástico. Nesse choque também há conservação da quantidade de movimento e perda
de energia cinética, mas os corpos se separam após o choque, ao contrário do que acontece no per-
feitamente inelástico.
esesossessossno wsesassssasansnossasoasosossnosnevtsnerstevssretevssssapssnssosuvseseevvanaceenanaseesssoecoruvurnanasoonssssanorecseessasasoonsuoeenereya
CarítuLo 16 e IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 331º
J
Š 7. Coeficiente de restituição
Para medir-se a variação da energia cinética eventualmente ocorrida num choque, é comum recor-
rer-se a uma grandeza adimensional chamada coeficiente de restituição (e), que corresponde à razão
entre a velocidade relativa* de afastamento dos corpos depois do choque e a velocidade relativa de
aproximação antes do choque:
velocidade relativa de afastamento (depois)
velocidade relativa de aproximação (antes)
No choque perfeitamente elástico, como há conservação de energia cinética, a velocidade relativa
de aproximação tem módulo igual ao da velocidade relativa de afastamento. Portanto, nesse choque,
e=1.
No choque perfeitamente inelástico, os
corpos prosseguem juntos, pois há alojamento
de um em outro e consequentemente é nula a
velocidade relativa de afastamento (figura 7).
Portanto, nesse choque, e — 0.
Entre na rede
No endereço eletrônico http://www. |
walter-fendt.de/ph2 1br/collision. br.htm (acesso |
em 16/2/2007), você pode simular colisões entre |
dois vagões, havendo a possibilidade de alterar |
a velocidade e a massa de cada um. Você pode,
Antes da colisão
7 ainda, optar por colisões elásticas ou inelásticas |
—> e analisar o que ocorre com a quantidade
Proétil de movimento e a energia cinética do conjunto,
rojet
antes e depois da colisão.
Depois da colisão
v
—>
Figura 7. Choque perfeitamente inelástico: os
corpos permanecem juntos após a colisão.
A Teste de colisão frontal entre dois carros, cada um a 56 km/h. A filmagem do impacto
pode ser usada para melhorar o design dos veículos e a segurança nas estradas.
%* Para recordar o conceito de velocidade relativa de aproximação e de afastamento,
veja o quadro apresentado no capítulo 3, página 40.
“332 Os FUNDAMENTOS DA Física
TRL / SPL-LATINSTOCK
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
Entre essas situações extremas, há o choque parcialmente elástico, em que há perda de energia
cinética, mas a velocidade relativa de asfastamento não é nula. Nesse tipo de choque, o coeficiente de
restituição tem um valor intermediário entre 0 e 1, isto é, 0 < e <1.
Choque perfeitamente e=0 Máxima Constante
inelástico dissipação Quntes = Quepois
Choque parcialmente 0<e<1 Dissipação Constante
elástico parcial Quntes = Quepois
Choque perfeitamente e=1 Conservação Constante
elástico da energia cinética Quntes = Quepois
J
Há ainda os choques superelásticos, nos quais e > 1 e há ganho de energia, evidentemente à custa
de outra forma de energia. Ocorrem frequentemente choques superelásticos nas reações nucleares: um
próton atinge um núcleo de lítio, formando duas partículas que saem com energia cinética maior que
a do próton incidente.
Na resolução de exercícios de choques é comum estabelecermos uma equação com a conservação
da quantidade de movimento e outra com o coeficiente de restituição, em lugar da conservação ou
dissipação de energia.
O de 19 de fevereiro de 1998.
Dois corpos A e B iguais e de mesma massa m estão numa mesa perfeitamente lisa e horizontal. A choca-se com
B num choque perfeitamente elástico e frontal, com velocidade v,. Prove que, após o choque, À permanece em
repouso e B adquire a velocidade vo.
5
A
o
>
NS)
o
©
o
ES)
+
o
E
<
g
B
Éa]
£
a
Q
ol
[84
S
ES)
2
o
Q
[rd
Solução: Antes
Pretendemos provar que após a colisão, v, = 0 e Up = Uo v Ss
P q p A B o 0 =
(1) Conservação da quantidade de movimento A Bm om
Antes da colisão: Q, = mv,
Depois da colisão: Qa = mv, + mus Depois
Aplicando o princípio da conservação, temos: Va Vg
Q, = Qa mai m "É
MU = MV4 + Mp Choque perfeitamente elástico
V=, +t ©
dD Coeficiente de restituição e = 1 (choque perfeitamente elástico)
velocidade relativa de afastamento (depois)
velocidade relativa de aproximação (antes)
velocidade relativa de aproximação (antes da colisão) = va (pois Vvo, = 0)
velocidade relativa de afastamento (depois da colisão) = vs — v, (admitindo evidentemente vg > v4)
1= > V -v =ù O
Vo
Resolvendo o sistema de equações (somando membro a membro):
W= to ©
=> Zu, = 2Ug Up= v] e |v,=0
CapituLo 16 e ImpuLso E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 333º
Observação:
A conclusão desse exercício é bastante importante:
Corpos idênticos em colisões elásticas e frontais E
trocam de velocidades.
Considere a seguir esferas idênticas.
Na figura I, em colisões elásticas há uma troca su-
cessiva de velocidades, de À para B, de B para
C, ..., e a última esfera E adquire a velocidade inicial
da primeira.
No pêndulo múltiplo da figura Il, uma esfera abando-
nada troca de velocidade com as outras, elevando-
se a última esfera (figuras Ha e IIb). Se inicialmente
abandonarmos duas esferas, há trocas de velocida-
des e elevam-se duas esferas (figuras Ilc e Ild).
Analogamente, se corpos iguais A e B, ambos com
velocidades (v, = 8 m/s e v =5 m/s), chocam- A Para qualquer número de elementos de um
se elástica e frontalmente, trocam igualmente de pêndulo múltiplo vale a regra: quando a primeira
velocidade (v, = 5m/s e vs = 8 m/s), conforme a esfera se choca, a última se eleva.
figura II.
[ee]
bri
[o]
«a
z
©
ri
E
(o)
W
p]
fra
©
E
Sos
á
=>
a
5
z
>
o)
=
x
©
<
>
Figura!
Figura il
(a)
Figura IlI
8 m/s 5 m/s 5 m/s 8 m/s
maia Gra «q —— >
O” “a ud) 0”
A B A B
Seja um choque perfeitamente elástico de dois cor- 6 m/s 1 m/s
pos A e B. A velocidade de cada corpo está indica- A B
da na própria figura e suas massas são m, = 2 kg e Ə o
ms = 10 kg. Determine as velocidades de A e B após
o choque.
Antes
Solução: 6 m/s 1 m/s
Nesse caso não há troca de velocidades, pois as @2kg @ 0kg
massas dos corpos não são iguais. o
. F
(D Conservação da quantidade de movimento Eixo adotado 35
Em relação ao eixo adotado, temos:
* antes da colisão Depois
Q,=+2:6-10-:1> Q,=2kg-m/s e “Es
e depois da colisão @2kg @ 10kg
Qa = +10v, — 20, Choque perfeitamente elástico
Pelo princípio da conservação, vem:
Q, = Qu 2 = 10v- 2v, > 5v- uv,=1 O
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
*334
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998,
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(II) Coeficiente de restituição
velocidade relativa de aproximação (antes da colisão): 6 m/s + 1 m/s = 7 m/s
velocidade relativa de afastamento (depois da colisão): vg + Va
e = 1 (choque perfeitamente elástico)
_ velocidade relativa de afastamento (depois) Ug + Va
velocidade relativa de aproximação (antes) 7
= Up + Ua O
17
Su —-vu=l O Ua = z m/s => |v, = 5,67 m/s
Resolvendo o sistema: >»
vtvu=7T O mw = Sms Us = 1,33 m/s
Resposta: v, = 5,67 m/s e vg = 1,33 m/s nos sentidos indicados.
Observação:
Se uma das velocidades resultasse negativa, significaria sentido contrário ao adotado para essa velocidade.
E Os dois corpos da figura de massas m, = 4,0 kg e mg = 12 kg deslocam- 8,0 m/s 2,0 m/s
se numa mesa perfeitamente lisa, com velocidade de módulos 8,0 m/s e —> —
2,0 m/s. Sendo e = 0,30 o coeficiente de restituição do choque entre os @ (
corpos, determine os módulos das velocidades de À e B após a colisão A B
e o sentido de seus movimentos.
Solução:
Adotando um eixo orientado da esquerda para a direita:
8,0 m/s 2,0 m/s
——>» «q
Antes o @ B
4,0 kg 12 kg
Eixo adotado &
Antes da colisão:
Q, = +4,0 -8,0 — 12 : 2,0 > Q,=8,0kg-m/s
Va Vg
——— —>
Depois e os
Depois da colisão: Qu = —40-v, + 12 + Vg
Como Q, = Qu, temos:
8,0 = —400, + 120; (4)
20=-v,+300, ©
Como e = 0,30, temos:
e velocidade relativa de aproximação (antes): 8,0 m/s + 2,0 m/s = 10 m/s
e velocidade relativa de afastamento (depois): Vg + Va
Ug + Va
10
Resolvendo o sistema:
—v, + 3,00; = 2,0 ©
Ua + vg = 3,0 © B B / A /
Resposta: v, = 1,75 m/s e vg = 1,25 m/s nos sentidos indicados.
e = 0,30 = => v +0, =30 O
Considere uma bola de bilhar chocando-se perpendicularmente contra uma parede com velocidade v, num
choque perfeitamente elástico. Seja m a massa da bola e Aż o intervalo de tempo que dura o choque. Supondo
conhecidos m, v e At, determine a intensidade da força média que a parede exerce sobre a bola.
O nva |
sousseroossosavasossesno essracessososnsonosocacoencaesesconsessporaverosassaseoasrsesosesenesvenessovasosososssceseaesesesossasososeotosenoonosscssoaenae
Carítuto 16 + ImpuLsO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 335 °
Solução:
A bola retorna com a mesma velocidade v em módulo, pois o choque é perfeitamente elástico. Adotamos um
eixo no sentido de retorno da bola.
(D Quantidade de movimento Antes
Antes da colisão: Q, = -mv y e
— po A
ie
© m Er
(negativo, pois está em sentido oposto ao eixo)
Depois da colisão: Q, = +mv
(ID) Impulso da força média durante a colisão
I= + FA ® Eixo adotado F 2
Pelo teorema do impulso;
I=0Q-—-Q> FAt=(+mo)-(-mv) = 2mv Depois y =
m nto
Portanto: FAt = 2mv > |F = 2mo @ a
At Choque perfeitamente elástico
Resposta: F = 2mo
At
Um projétil de massa m = 20 g é atirado horizontalmente com velocidade v, contra um pêndulo vertical cuja
massa pendular é M = 2 kg e de fácil penetração. O projétil aloja-se no pêndulo e, devido ao choque, o conjunto
sobe até a altura A = 20 cm. Adote g = 10 m/s” e determine a velocidade inicial do projétil.
Solução:
É um choque perfeitamente inelástico, pois a bala aloja-se no pêndulo após o choque. Há perda de energia na
penetração da bala, mas a quantidade de movimento do conjunto bala-pêndulo permanece constante.
a) b) ©)
Antes Depois
M M+m M+m
Q, = Mv Qu= Mem V Conservação da energia mecânica
Pela conservação da quantidade de movimento, Q, = Q, (figuras a e b). Então, vem:
my=M+mV ©
Após a colisão (figura c), a energia cinética do conjunto se transforma em potencial quando o pêndulo
atinge a altura A:
M tmy?
2
Substituindo na expressão (D:
+ M+
w = HE .y v = o - f2gh
=M +m):gh > V = J2gh
Portanto:
an
w = 2+ 20-10” [5.10-20-10?
20. 10”
vo = 202 m/s A Pêndulo balístico usado em laboratório
para a determinação da velocidade
de projéteis.
Resposta: 202 m/s
tosessesoososoevoonevesosssesooesossasesossesuosossacnenoononsesesovovssseesasesacassossasnsesonsesessosespbousesssoeasresserssvoseosessseeos»
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 2.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Observação:
A dissipação da energia no fenômeno (figuras a e b) pode ser analisada como se segue.
mv, _— 20.10” - 202º
Antes da colisão: Ec, = 7 > > E, = 408 J
Depois da colisão: Ec = M tm = 2+20 Jo) 2 Ea = 4J
Estabelecendo uma relação entre os valores encontrados, obtemos:
E = = = 0,01 = 1% => Ea = 1% Ea
Esse resultado significa que a energia cinética depois da colisão é apenas 1% da energia cinética inicial; foram
dissipados no fenômeno 99% da energia cinética inicial.
Uma bola de tênis, partindo do repouso, cai de uma altura h e, após atingir uma superfície, eleva-se até a altura F’.
Mostre que o coeficiente de restituição e é dado pela expressão: e = JE . Despreze a resistência do ar.
Solução:
A velocidade da bola, ao atingir o solo partindo da altura h, é v = V2gh pela conservação da energia. No
retorno, a bola com velocidade inicial v’ atinge a altura h' tal que v = Veg.
v9=0 v;=0
WD En = E= mgh
2 2
O coeficiente de restituição é:
velocidade relativa de afastamento _ v vV2gh
velocidade relativa de aproximação v 2gh
Observação:
Se o choque for perfeitamente elástico, temos e = leh' = A.
Para o choque perfeitamente inelástico, e = 0 e X’ = 0.
No choque parcialmente elástico, 0 < e < 1 e, portanto 0 < h' < h.
A figura mostra o choque oblíquo perfeitamente elástico entre duas es-
feras idênticas A e B, estando a esfera B inicialmente em repouso. Sendo
va = 10 m/s o módulo da velocidade inicial da esfera 4, determine: ` a 60º Pa
Pa B dd v
b) o módulo da velocidade da esfera À após o choque. Aro No 8
(Dados: sen 60º = cos 30º = 0,87; sen 30º = cos 60º = 0,5.) B (parada)
. SR Can RR. > '
a) o desvio da esfera À em relação à sua trajetória original; vi !
i
i
i
v
A
Choque oblíquo é aquele em que as direções em que se movem os corpos, antes e/ou depois do choque, são
diferentes.
Solução:
a) A quantidade de movimento se conserva, isto é, a quantidade de movimento antes é igual à quantidade de
movimento depois da colisão.
> =
Q, = Qa + Qg
Como as massas de À e B são iguais, temos:
> —+ >
> o >, >, at 5
Mmu=m um Ug > Va = V} + Up
eseneusesssssesosessossaosesoesesesesoosseoenosoasnesesosososeosevsonononsesesoscossesessevsonsessesssseseososesre ssesesuosssovooveossossessesasoocevsers
CapÎTuLo 16 + IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
e—
baz]
>
far)
rã
tri
P.400
P.401
P.402
P.403
P.404
P.405
Esquematicamente, essa igualdade pode ser representada como mostra a figura ao lado.
Aplicando a lei dos cossenos, obtemos:
vi vê +u +2vw-cos(u +60) O
Sendo o choque perfeitamente elástico, conserva-se a energia cinética:
2 2 32
mus MDA _ MU 2 s2 2
= - v =v to ©
2 2 2 8
Comparando O e Q, concluímos que cos (œ + 60°) = 0. Portanto:
o + 60° 90° => (a= 30°)
b) Na figura, sendo a + 60° = 90º, os dois triângulos são retângulos. Então:
U4 = Ly Cos Q = v * cos 30° > v,=10-0,87 >
Respostas: a) 30°; b) 8,7 m/s
Observação:
No choque oblíquo e perfeitamente elástico entre corpos de massas iguais, estando inicialmente um dos corpos
em repouso, após o choque os corpos se deslocam em direções perpendiculares.
Exercícios
Uma bola é lançada com velocidade v, sobre outra, parada, v
idêntica e que está próxima a uma parede. Os choques são ———+
perfeitamente elásticos e frontais e ocorrem num plano 21 FY E
horizontal, sem atrito.
a) Quantos choques ocorrem no fenômeno? Descreva-os.
b) Quais são, após os choques, as velocidades das bolas?
Justifique fisicamente.
Um corpo de massa m choca-se frontalmente com outro de massa 4m, que está em repouso num plano hori-
zontal sem atrito. O choque é perfeitamente elástico e a velocidade do primeiro corpo no instante da colisão
é 10 m/s. Determine as velocidades dos corpos após a colisão.
A esfera À possui massa m, = 0,5 kg e a esfera B possui v A
ms = 3,0 kg. À velocidade de A, no instante da colisão, é ——— +» «—
Va = 12 m/s, e a de B, no mesmo instante, é va = 1 m/s em AB Ba
sentido contrário, como se indica na figura. À superfície
de apoio é horizontal e sem atrito. O choque é frontal e
perfeitamente elástico. Determine as novas velocidades de
A e de B após o choque.
Um vagão de 10 toneladas desloca-se a 0,90 m/s sobre tri-
lhos horizontais, chocando-se com outro vagão carregado
e de 20 toneladas, em repouso e com o freio solto. Se os
dois carros engatam, determine sua velocidade após o
choque e o decréscimo de energia resultante da colisão.
Como indica a figura, um corpo A de massa 6,0 kg e velo- 10 m/s v=0
cidade 10 m/s choca-se com um corpo B de massa 8,0 kg P
inicialmente em repouso. Sendo e = 0,50 o coeficiente de 2 2
restituição do choque, determine as velocidades dos cor-
pos A e B após a colisão.
Os corpos A e B esquematizados apresentam, nesse mo- 7 7z
mento, velocidades 8,0 m/s e 4,0 m/s, respectivamente. Às — «>
massas de 4 e B valem, respectivamente, 5,0 kg e 8,0 kg. M ")
Sendo e = 0,40 o coeficiente de restituição, determine as A B
velocidades de A e B e o sentido de seus movimentos após
a colisão.
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.406 A figura mostra uma esfera À que, partindo do repouso, desliza (sem rolar) ao longo de uma rampa de altura
H = 20 me, a seguir, ao longo de um plano horizontal, ambos sem atrito. Num dado ponto do plano horizontal,
a esfera À se choca com uma esfera B de mesma massa, presa ao teto por um fio ideal,
g= 10 m/s?
Sendo esse choque parcialmente elástico com coeficiente de restituição e = 0,4, determine:
a) a velocidade com que a esfera A desliza no plano horizontal antes do choque;
b) as velocidades de A e de B imediatamente após o choque;
c) a altura máxima A atingida pela esfera B após o choque com A.
P.407 Uma bola de 0,50 kg aproxima-se de uma parede com uma velocidade de 10 m/s e, após um choque com a
parede, retorna, na mesma direção, sem alterar o módulo de sua velocidade. Determine:
a) a intensidade do impulso recebido pela bola na interação com a parede;
b) a intensidade da força média com que a parede atuou sobre a bola, supondo que a interação tenha durado
0,02 s;
c) o tipo de choque ocorrido entre a bola e a parede. Justifique.
P.408 Na figura o projétil de massa m = 5 g bate no pêndulo de massa M = 2 kg e aí se aloja. Após o choque, o con-
junto se eleva à altura h = 5 cm. Considere que os fios permaneçam paralelos. Calcule a velocidade com que
o projétil atinge o pêndulo. (Dado: g = 10 m/s”)
P.409 Admitindo os mesmos dados do exercício anterior, prove que a relação entre a energia cinética após a colisão
Eq € a energia cinética antes da colisão E. é dada por:
Ea cm
E, m+M
Ca
P.410 (Olimpíada Brasileira de Física) Uma bola, de massa igual
a 100 g, é abandonada de uma altura de 1,25 m, bate nos
chão e torna a subir até a altura de 0,80 m. Desprezando a
resistência do ar, determine:
a) o coeficiente de restituição;
b) o impulso do chão sobre a bola;
c) aintensidade da força máxima exercida pelo chão sobre
a bola, considerando que a colisão dure 20 ms e que
a variação da intensidade da força com o tempo seja
como no gráfico ao lado.
(Despreze o impulso do peso da bola durante sua interação com o chão.)
A F (N)
(onde m é a massa do projétil e M, a massa pendular).
P.411 Uma esfera A de massa m encontra-se em repouso sobre uma superfície, quando é atingida por outra esfera
B de mesma massa que se desloca com velocidade constante de intensidade 20 m/s. A esfera A passa a se
movimentar formando um ângulo de 30° com a direção do movimento inicial da esfera B. Considerando que o
choque é perfeitamente elástico, determine:
a) o desvio angular que sofre a esfera B em relação à sua direção original;
b) a velocidade das duas esferas após o choque.
(Dados: sen 60º = cos 30º = 0,87; sen 30º = cos 60º = 0,5.)
corcuoronennentaasas vresvesesnenenovanano essussvpusasusne novencenenesanes tsesvsuseasvossuseessoseervevesonuoczssuenasuoveuseesesevessevesspesuesoveceres
CapituLo 16 + ImpuLso E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
O uva |
P.412
P.413
P.414
P.415
P416
P417
esesusa tea
*340
Exercícios propostos HM
de recapitulação
(UFSCar-SP) Uma bola de tênis de massa 60 g adquire, num saque, velocidade inicial de 30 m/s. Admita que,
ao ser atingida pela raquete, a bola esteja praticamente em repouso, e que o impacto seja normal à raquete e
“sem efeito”, isto é, a bola é lançada sem rotação. Adote g = 10 m/s.
a) Quais os valores do trabalho e do módulo do impulso exercidos pela raquete sobre a bola?
b) Suponha que o intervalo de tempo em que ocorre a interação entre a bola e a raquete seja de 0,10 s.
n F , a PR .
Qual a razão P entre o módulo da força média F exercida pela raquete sobre a bola durante esse intervalo
de tempo e o módulo do peso P da bola?
(Unicamp) Às histórias de super-heróis estão sempre repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamen-
to, no último segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a situação em que a desafortunada
caia, a partir do repouso, de uma altura de 81,0 m e que nosso super-herói a intercepte 1,0 m antes dela chegar
ao solo, demorando 0,05 s para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da
mocinha é de 50 kg. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s”.
a) Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a mocinha, para detê-la.
b) Uma aceleração 8 vezes maior que a gravidade (8g) é letal para um ser humano. Determine quantas vezes
a aceleração à qual a mocinha foi submetida é maior que a aceleração letal.
(UFJF-MG) As leis de trânsito proíbem viajar com crianças de colo nos bancos da frente dos automóveis por ser
esta uma região mais vulnerável e também porque é muito difícil segurar a criança no caso de uma colisão.
a) Para ilustrar a importância deste último ponto, calcule a intensidade da força média que seria necessário
exercer sobre o corpo de uma criança de 10 kg de massa, para impedir que ela fosse projetada para a frente,
no caso de uma colisão frontal de um automóvel que estivesse viajando em uma estrada horizontal a uma
velocidade de 72 km/h.
Admita que, na colisão, a velocidade do automóvel é reduzida a zero em 0,02 s.
b) Calcule a massa cujo peso é igual à intensidade da força do item anterior. (Use g = 10 m/s”)
(UFRJ) Uma bola de pingue-pongue cai verticalmente e se choca, com velocidade
v, com um anteparo plano, inclinado 45° com a horizontal. A velocidade v da bola
imediatamente após o choque é horizontal, como ilustra a figura.
O peso da bola, o empuxo e a força de resistência do ar são desprezíveis quando
comparados à força média que o anteparo exerce sobre a bola durante o choque.
Suponha jol = j| =v.
a) Determine a direção e o sentido da força média exercida pelo anteparo sobre
a esfera durante o choque, caracterizando-os pelo ângulo que ela forma com
o anteparo.
b) Calcule o módulo dessa força média em função da massa m da esfera, do
módulo v de suas velocidades, tanto imediatamente antes quanto imediata-
mente após o choque, e do tempo At que a bola permanece em contato com
o anteparo.
(Vunesp) Durante um jogo de futebol, uma bola atingiu acidentalmente a cabeça de um policial, em pé e imó-
vel, nas proximidades do campo. À bola, com massa de 400 g e velocidade de 8 m/s, bateu e voltou na mesma
direção, porém com velocidade de 7 m/s.
a) Qual foi o impulso da força exercida pela cabeça do policial na bola?
b) Pode-se afirmar que ocorreu transferência de momento linear (quantidade de movimento) da bola para o
policial durante o choque? Justifique.
(Vunesp) Um carrinho 4, de massa m, e outro B, de
massa 2m, mantidos em repouso sobre uma superfície
plana e horizontal, estão comprimindo uma mola, de
massa desprezível, como mostra a figura.
Quando os carrinhos são liberados simultaneamente, a mola se distende, impulsionando-os, e B adquire, depois
que a mola estiver totalmente distendida, uma velocidade de 1,0 m/s.
a) Nessas condições, determine a velocidade adquirida por 4.
b) Denominando A, e hz as alturas máximas alcançadas, respectivamente, pelos carrinhos A e B, ao subirem
. -Ah
as rampas mostradas na figura, determine a razão +.
B
vososososcoseacvosesonsaenacsoseessesoroosoacose sesenesesasesscevesacosessosonveeseasoseseresoessoossseneserecososesosrosesssvessosesesvososss
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P;418: (Fuvest-SP) Dois carrinhos iguais, com 1 kg de massa cada um, estão unidos por um barbante e se deslocam
com velocidade de 3 m/s. Entre os carrinhos há uma mola comprimida, cuja massa pode ser desprezada. Num
determinado instante o barbante se rompe, a mola se desprende e um dos carrinhos pára imediatamente.
a) Qual é a quantidade de movimento inicial do conjunto?
b) Qual é a velocidade do carrinho que continua em movimento?
P.419 (Unicamp-SP) A existência do neutrino e do antineutrino foi propos- E f
ta em 1930 por Wolfgang Pauli, que aplicou as leis de conservação e
de quantidade de movimento e energia ao processo de desintegra- ”
ção PB. O esquema ao lado ilustra esse processo para um núcleo He? H 60°
de trítio, Hº (um isótopo do hidrogênio), que se transforma em um g
núcleo de hélio, He”, mais um elétron, e”, e um antineutrino, v. (0) .
núcleo de trítio encontra-se inicialmente em repouso. Após a de- > oV
sintegração, o núcleo de hélio possui uma quantidade de movimento N
com módulo de 12: 10! kg - m/s e o elétron sai em uma trajetória
fazendo um ângulo de 60º com o eixo horizontal e uma quantidade
de movimento de módulo 6,0 - 107” kg © m/s.
a) O ângulo q que a trajetória do antineutrino faz com o eixo horizontal é de 30º. Determine o módulo da quan-
tidade de movimento do antineutrino.
b) Qual é a velocidade do núcleo de hélio após a desintegração? A massa do núcleo de hélio é 5,0 - 10 kg.
P.420 (IME-RJ) O carro A foi abalroado pelo caminhão B de massa igual ao triplo da massa do carro. O caminhão des-
loca-se com velocidade 36 km/h. Após o choque, que se deu no ponto P, os dois veículos, unidos, deslocaram-
se em linha reta até o ponto Q. O motorista do carro declarou que sua velocidade no instante do choque era
inferior à máxima permitida, que é de 80 km/h. Diga, justificando, se essa declaração é falsa ou verdadeira.
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P.421. (Unicamp-SP) No episódio II do filme Guerra nas Estrelas, um personagem mergulha em queda livre, caindo em
uma nave que se deslocava horizontalmente a 100 m/s com os motores desligados. O personagem resgatado
chegou à nave com uma velocidade de 6 m/s na vertical. Considere que a massa da nave é de 650 kg, a do
personagem resgatado de 80 kg e a do piloto de 70 kg.
a) Quais as componentes horizontal e vertical da velocidade da nave imediatamente após o resgate?
b) Qual foi a variação da energia cinética total nesse resgate?
P.422 (Vunesp) Uma criança empurra um carrinho de supermercado de 10 kg, contendo 15 kg de mercadorias, com
uma velocidade constante de 0,1 m/s, num piso plano e horizontal. Ela abandona o carrinho por alguns instan-
tes, mas, como o atrito é desprezível, ele se mantém em movimento com a mesma velocidade constante. Sua
mãe, preocupada, retira do carrinho um pacote de açúcar de 5 kg, verticalmente, em relação ao carrinho, sem
exercer qualquer ação sobre o carrinho.
a) Qual é a quantidade de movimento do carrinho com as mercadorias, quando abandonado pela criança?
b) Quando a mãe retira o pacote de açúcar, a velocidade do carrinho varia? Justifique.
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Carítuio 16 © ImpuLsO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 341º
P423
P.424
P.425
P.426
(UFBA) A figura mostra um dispositivo constituído de uma caixa de
massa 0,5 kg e de um projétil de massa 0,125 kg, preso a ela por um
mecanismo de espoleta. Esse dispositivo se encontra na borda de
uma mesa sem atrito, de altura 0,45 m. Sabendo-se que, disparada a
espoleta, o projétil atinge o solo no ponto 4, distando 0,3 m do pé da
mesa, determine, em cm/s, a velocidade de recuo da caixa sobre a mesa.
(Use g = 10 m/s!)
| 0,3 m |
(Olimpíada Brasileira de Física) São realizadas experiências com 5 pêndulos de mesmos comprimentos. As
massas pendulares são de bolas de bilhar iguais, cada uma ligeiramente encostada na outra.
Experiência I: A bola 1 é erguida de uma altura H e abandonada. Ela colide com a bola 2. O choque se propaga
e a bola 5 é lançada, praticamente, até a mesma altura H.
Experiência II: Agora as bolas 1 e 2 são erguidas conforme ilustra a figu-
ra e abandonadas. Elas caminham juntas até a colisão com a bola 3.
Dois estudantes, Mário e Pedro, têm respostas diferentes com relação à
previsão do que irá ocorrer após a propagação do choque. Mário acha
que somente a bola 5 irá se movimentar, saindo com velocidade duas
vezes maior que as velocidades das bolas 1 e 2 incidentes. Pedro acha
que as bolas 4 e 5 sairão juntas com a mesma velocidade das bolas
incidentes 1 e 2.
a) A previsão de Mário é correta? Justifique.
b) A previsão de Pedro é correta? Justifique.
(UFRJ) Uma esfera de massa igual a 100 g está sobre uma superfície
horizontal sem atrito, e prende-se à extremidade de uma mola de massa
desprezível e constante elástica igual a 9 N/m. À outra extremidade da
mola está presa a um suporte fixo, conforme mostra a figura. Inicialmente
a esfera encontra-se em repouso e a mola, no seu comprimento natural.
A esfera é então atingida por um pêndulo de mesma massa que cai de
uma altura igual a 0,5 m. Suponha a colisão elástica e g = 10 m/s”.
Calcule:
a) as velocidades da esfera e do pêndulo imediatamente após a colisão;
b) a compressão máxima da mola.
(UFRJ) A figura representa o gráfico velocidade-
tempo de uma colisão unidimensional entre dois
carrinhos À e B.
a) Qual é o módulo da razão entre a força média
que o carrinho A exerce sobre o carrinho B e
a força média que o carrinho B exerce sobre
o carrinho 4? Justifique sua resposta.
b) Calcule a razão entre as massas m, e ma dos
carrinhos.
CAOUUNOnCa sa AoA ano an senna s no ns na sa cuu soda UCL OCO LLC LTLCRLNLLO CONOSCO LUTO LON DINA LOLA DONO DOCA NAU AOS UAU A escccerrocacesasas
32
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B
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P.427 (Ufes) Um patinador A de massa m, = 40 kg persegue um
patinador B de massa mg = 30 kg. Ambos se deslocam
inicialmente em movimento retilíneo uniforme com velo-
cidades v, = 2,0 m/s e v; = 1,0 m/s no mesmo sentido. A
variação da velocidade do patinador A, devido ao choque
com B, é medida experimentalmente em função do tempo,
cujo resultado é mostrado no gráfico ao lado.
Considerando desprezíveis as forças de atrito, determine:
a) a velocidade do patinador B após o choque com o pati-
nador 4;
b) a intensidade da força média de contato entre A e B,
durante o choque.
P.428 (Unifei-MG) Um projétil de massa m e velocidade v, atraves-
sa o bloco de massa M do pêndulo da figura. Sabendo que
a velocidade do projétil após atravessar o pêndulo é >
,
qual é o menor valor de v, para que o bloco de massa M dê
uma volta completa?
P.429 (Unicamp-SP) Jogadores de sinuca e bilhar sabem que,
após uma colisão não frontal de duas bolas A e B de mes-
ma massa, estando a bola B inicialmente parada, as duas
bolas saem em direções que formam um ângulo de 90º. a
Considere a colisão de duas bolas de 200 g, representada k
na figura ao lado. À se dirige em direção a B com veloci- no
dade v, = 2,0 m/s formando um ângulo q com a direção y
tal que sen a = 0,80. Após a colisão, B sai na direção y. EN na a
a) Calcule as componentes x e y das velocidades de A e B . A i
logo após a colisão. A, !
b) Calcule a variação da energia (cinética de translação) na '
colisão.
(Nota: Despreze a rotação e o rolamento das bolas.)
(5) Testes
propostos
} (AFA-SP) Uma partícula de massa m é lançada obli-
quamente com velocidade v, próxima à superfície
terrestre, conforme indica a figura abaixo.
a) mv, co) mv2gh
2
b) m/v — 2gh 9 mj -gh
(Fatec-SP) Uma esfera se move sobre uma super-
fície horizontal sem atrito. Num dado instante,
sua energia cinética vale 20 J e sua quantidade
de movimento tem módulo 20 N · s.
Nestas condições, é correto afirmar que sua:
a) velocidade vale 1,0 m/s.
b) velocidade vale 5,0 m/s.
c) velocidade vale 10 m/s.
d) massa é de 1,0 kg.
e) massa é de 10 kg.
À quantidade de movimento adquirida pela partí-
cula no ponto Q, de altura máxima, têm módulo:
CaríruLo 16 e IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 343 °
(UFRN) Na cobrança de uma penalidade máxima
em um jogo de futebol, a bola, que está inicial-
mente parada na marca do pênalti, sai com
velocidade de 20 m/s, imediatamente após ser
chutada pelo jogador. A massa da bola é 0,45 kg,
e o tempo de contato entre o pé do jogador e a
bola é 0,25 s.
À força média que o pé do jogador aplica sobre a
bola, nessa cobrança, é:
a) 23N b) 23 N
9 36N 36N
(UCSal-BA) Sobre um carrinho de supermercado
de massa 20 kg, inicialmente em repouso, atua
uma força resultante horizontal variável com o
tempo, de acordo com o gráfico abaixo.
0 10 20 tið
O módulo da velocidade máxima adquirida pelo
carrinho é, em m/s:
a5 Dio 915 420 92
T322 (UFTM-MG) Uma esteira rolante, horizontal, que
se move com velocidade constante de 0,5 m/s, é
utilizada para transportar areia de um recipiente
em forma de funil para dentro da caçamba de um
caminhão basculante. Ao atingir a esteira, a areia
imediatamente adquire a sua velocidade.
Se a vazão de areia sobre a esteira é de 80 kg/s,
a intensidade da força adicional necessária para
manter o movimento da esteira à mesma veloci-
dade de 0,5 m/s é, em newtons, igual a:
a l0 b20 94 ®60 SB
(Uesb-BA) Um projétil de massa 20 g é disparado
perpendicularmente contra uma porta de ma-
deira, de 8,0 cm de espessura. O projétil atinge a
porta com velocidade de 250 m/s e a abandona
com 150 m/s. O módulo de impulso que o projétil
recebeu ao atravessar a porta, em N - s, foi de:
a 20 b10 92 d100 e) 200
Ufla-MG) Em uma partida de tênis o jogador
recebe a bola com componente horizontal de
velocidade v, e a rebate com componente hori-
zontal de velocidade 3v,, em sentido contrário.
Considere g = 10 m/s”. Supondo que a força
aplicada na colisão da bola com a raquete seja
60 vezes o peso da bola e atue durante 0,25, a
velocidade inicial da bola, em módulo, é de:
a) 60 m/s ©) 30 m/s e) 36 m/s
b) 8m/s d) 100 m/s
(Fatec-SP) Uma bola de massa 0,50 kg foi chutada
diretamente para o gol, chegando ao goleiro com
velocidade de 40 m/s. Este consegue espalmá-la
para a lateral e a bola deixa as mãos do goleiro
com velocidade de 30 m/s, perpendicularmente
à direção inicial de seu movimento.
O impulso que o goleiro imprime à bola tem mó-
dulo, em unidades do Sistema Internacional:
a50 b23 920 dDI5 10
(FMTM-MG) A figura representa a vista superior
da trajetória de uma esfera de aço de massa
0,10 kg, em movimento sobre um plano hori-
zontal, que se choca contra uma parede rígida,
plana e vertical.
` , 4
x 1
x i 4
` i 4
x
N i
i
7 1
v i
,
N 1
,
'
i
'
,
1
'
1
N3701 37° ,/
as Parede
7%
(Dados: sen 37° = cos 53° = 0,60;
sen 53° = cos 37° = 0,80.)
Admita que o módulo da velocidade, v = 15 m/s,
se mantenha constante antes e depois do choque.
Nessas condições, o módulo do impulso exercido
pela parede sobre a esfera de aço, em Ns, é de:
a) 080 b16 924 DI0 936
(UFPD Na figura a seguir, o peixe maior, de massa
M = 5,0 kg, nada para a direita a uma velocidade
v = 1,0 m/s e o peixe menor, de massa m = 1,0 kg,
se aproxima dele a uma velocidade u = 8,0 m/s,
para a esquerda.
m=1,0 kg
M=5,0kg
Despreze qualquer efeito de resistência da água.
Após engolir o peixe menor, o peixe maior terá
uma velocidade:
a) de 0,50 m/s, para a esquerda.
b) de 1,0 m/s, para a esquerda.
c) nula.
d) de 0,50 m/s, para a direita.
e) de 1,0 m/s, para a direita.
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
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28 (PUC-RS) O móvel 4, de massa M, move-se com
velocidade constante v ao longo de um plano
horizontal sem atrito. Quando o corpo B, de
M , . .
massa 3º é solto, encaixa-se perfeitamente na
abertura do móvel À.
Qual será a nova velocidade do conjunto após as
duas massas terem se encaixado perfeitamente?
3v U 4v
a) 7 c) 3 e) 3
2
b) F d) 3v
- (Ufla-MG) No mesmo instante em que um corpo
de massa M é abandonado no alto de um prédio,
um projétil de massa m é atirado verticalmente
para cima com velocidade inicial v,. Esse projétil
atinge o corpo que cai, alojando-se em seu inte-
rior, de forma que instantaneamente o conjunto
corpo/projétil fica em repouso. Considerando
a velocidade do corpo no instante do impacto
,
1
6 da velocidade inicial do projétil, ou seja, e
pode-se afirmar que a massa do projétil é de:
M M 2
a — o — e) -M
) ) ) F
M 3
b) — —M
) d7
0 (Fuvest-SP) Em uma canaleta circular, plana
e horizontal, podem deslizar duas pequenas
bolas A e B, de massas M, e M,, com M, = 3Mp,
que são lançadas uma contra a outra, com igual
velocidade v,, a partir das posições indicadas.
Após o primeiro choque entre elas (em 1), que
não é elástico, as duas passam a movimentar-se
no sentido horário, sendo que a bola B mantém
o módulo de sua velocidade v. Pode-se concluir
que o próximo choque entre elas ocorrerá nas
vizinhanças da posição:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
|
|
|
|
|
|
|
|
T.331. (Vunesp) Um asteróide, no espaço, está em repou-
so em relação a um determinado referencial. Num
certo instante ele explode em três fragmentos.
Dentre os esquemas representados, assinale o
único que pode representar os vetores veloci-
dades dos fragmentos do asteróide logo após a
explosão, em relação ao referencial inicial.
a) “o DON. EN
b) A e) nd
|
xN —
o N
|
, (Fuvest-SP) Uma granada foi lançada vertical-
mente, a partir do chão, em uma região plana.
Ao atingir sua altura máxima, 10 s após o lan-
çamento, a granada explodiu, produzindo dois
fragmentos com massa total igual a 5 kg, lança-
dos horizontalmente. Um dos fragmentos, com
massa igual a 2 kg, caiu a 300 m, ao Sul do ponto
de lançamento, 10 s depois da explosão.
Pode-se afirmar que a parte da energia liberada
na explosão, e transformada em energia cinética
dos fragmentos, é aproximadamente de:
a) 900) d) 6.000 J
b) 1.500 J e) 9.000 J
© 3.000 J
(UFSC) Durante as festividades comemorativas
da Queda da Bastilha, na França, realizadas em
14 de julho de 2005, foram lançados fogos de
artifício em homenagem ao Brasil. Durante os fo-
gos, suponha que um rojão com defeito, lançado
obliquamente, tenha explodido no ponto mais
alto de sua trajetória, partindo-se em apenas dois
pedaços que, imediatamente após a explosão,
possuíam quantidades de movimento Pi e po.
Considerando-se que todos os movimentos ocor-
rem em um mesmo plano vertical, assinale a(s)
proposição(ões) que apresenta(m) o(s) par(es)
de vetores P; e D» fisicamente possível(eis).
CapítuLo 16 > ImpuLso E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
———
kazi
=
w
-3
tri
Dê como resposta a soma dos números que pre-
cedem as afirmativas corretas.
D) erea-
Pi Po
02)
e mengão
-> Pz
pi
04)
TONE
08) E
> o »
P=
19 4
|
l
ARE ser
Bo
Unifor-CE) Uma granada, que estava em queda
livre ao longo de uma reta r, explode em duas
partes que têm, respectivamente, massas m, e
mo, tais que m, = 2m,. A de massa m, atinge O
solo de uma grande planície horizontal a 50 m
de r, no mesmo instante em que a outra atinge o
solo à distância d de r. Nesse caso, d, medido em
m, vale:
a 50 b25 950 d100 e 200
(Fuvest-SP) Núcleos atômicos instáveis, existentes
na natureza e denominados isótopos radioativos,
emitem radiação espontaneamente. Tal é o caso
do Carbono 14 (C), um emissor de partículas
beta (B`). Nesse processo, o núcleo de !C deixa
de existir e se transforma em um núcleo de Nitro-
gênio 14 C'N), com a emissão de um anti-neutrino
v euma partícula B~: “C > “N + B + v. Os veto-
res quantidade de movimento das partículas, em
uma mesma escala, resultantes do decaimento
beta de um núcleo de “C, em repouso, poderiam
ser melhor representados, no plano do papel,
pela figura:
a)
8
—> GN
v
b) AN
|
|
|
i
|
|
|
|
|
|
|
e)
E
Zz
maramarama
B
v
r E
- (Fuvest-SP) Perto de uma esquina, um pipoqueiro,
P, e um “dogueiro”, D, empurram distraidamente
seus carrinhos, com a mesma velocidade (em
módulo), sendo que o carrinho do “dogueiro”
tem o triplo da massa do carrinho do pipoquei-
ro. Na esquina, eles colidem (em 0) e os carri-
nhos se engancham, em um choque totalmente
inelástico. Uma trajetória possível dos dois
carrinhos, após a colisão, é compatível com a
indicada por:
a) À b) B dC d D e) E
PUC-SP) O rojão representado na figura tem,
inicialmente, ao cair, velocidade vertical de
módulo 20 m/s. Ao explodir, divide-se em dois
fragmentos, de massas iguais, cujas velocidades
têm módulos iguais e direções que formam entre
si um ângulo de 120°.
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Dados:
sen 30º — cos 60º — 0,50
cos 30º = sen 60º = 0,87
O módulo da velocidade, em m/s, de cada frag-
mento, imediatamente após a explosão, será:
a) 10 c) 30 e) 50
b) 20 d) 40
(PUC-Campinas-SP) O gráfico abaixo representa,
em um certo sistema de referência, os valores
das quantidades de movimento de duas esferas
iguais, de massa 2,0 kg cada, que se movem sobre
uma mesma reta e realizam um choque central.
Q (kg + m/s)
4, Q4 -- -ranana a
ON“ >
o) 0,1 NG 0,2 t(s)
n a
-2,0+------ Ro A ieee
De acordo com o gráfico, é correto afirmar que:
a) a energia cinética de cada esfera se conservou
no choque.
b) a quantidade de movimento de cada esfera se
conservou no choque.
c) o choque foi totalmente inelástico.
d) o choque foi parcialmente elástico, com coefi-
ciente de restituição 0,5.
e) o choque foi perfeitamente elástico.
(UEL-PR) Dois carrinhos de mesma massa estão
numa superfície horizontal, um com velocidade
de 4,0 m/s e o outro parado. Em determinado
instante, o carrinho em movimento se choca com
aquele que está parado. Após o choque, seguem
grudados e sobem uma rampa até pararem num
ponto de altura h.
to
Adotando g = 10 m/s” e considerando desprezí-
veis as forças não-conservativas sobre os carri-
nhos, a altura h é um valor, em cm, igual a:
a) 2,5 © 10 e) 25
b) 5,0 d) 20
(Fuvest-SP) Sobre uma mesa horizontal de atrito
desprezível, dois blocos A e B de massas me 2m,
respectivamente, movendo-se ao longo de uma
reta, colidem um com o outro. Após a colisão os
blocos se mantêm unidos e deslocam-se para a di-
reita com velocidade D, como indicado na figura.
Depois da colisão
|
|
|
|
|
|
|
j
|
|
|
|
O único esquema que não pode representar os
movimentos dos dois blocos antes da colisão é:
a) -
; Va
9
porya Yp 53V va= 3” a
BO ea,
d
poma v= 2v" a AS
Bi» A
E í E
né dm,
e)
e «Va = 0,5V
(Mackenzie-SP) Uma pequena esfera É,, de massa
100 g, é abandonada do repouso no ponto A de
um trilho altamente polido, deslizando até se
chocar frontalmente com uma esfera E,, de mas-
sa 300 g, inicialmente em repouso no ponto B.
g=10m/$
O choque ocorre com coeficiente de restituição 1.
Após o choque:
a) a esfera É, retorna pelo trilho e atingirá a al-
tura máxima de 20,00 cm em relação à parte
horizontal, enquanto a esfera E, se desloca-
rá no sentido de B para €, com velocidade
de 2,0 m/s.
b) a esfera E, retorna pelo trilho e atingirá a al-
tura máxima de 40,00 cm em relação à parte
horizontal, enquanto a esfera É, se desloca-
rá no sentido de B para C, com velocidade
de 2,0 m/s.
c) ambas as esferas se deslocarão sobre o trilho
no sentido de B para C, cada qual com veloci-
dade de 2,0 m/s.
d) as esferas E, e E, se deslocarão sobre o trilho
no sentido de B para C, com velocidades res-
pectivamente iguais a 1,0 m/s e 3,0 m/s.
e) a esfera E, permanecerá parada em B e a esfe-
ra E, se deslocará sobre o trilho no sentido de
B para C, com velocidade de 4,0 m/s.
conescernaorena tres euesercenacar scenes CLRRCC RA RICOS RACE CARGA RARA Or Cn Re Race nana e nana a nec aaca anca ea nreconnescranennnarc encanta scan care ras re
CarítuLo 16 * ImpuLSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 347º
T342 (Vunesp) Na figura, P e Q são blocos idênticos
que se comportam numa colisão como corpos
perfeitamente elásticos. Sobre o bloco P, no per- |
curso ao longo do trecho horizontal AB, atua uma |
força de atrito constante de módulo igual a 10 N.
Não há atrito no trecho BC. Os corpos Pe Q têm
massas iguais a 5 kg, g = 10 m/s”. Considerar os |
blocos como pontos materiais. A velocidade do |
bloco P no ponto 4 é v = 10 m/s.
|
|
|
O ponto mais alto atingido pelo bloco Q ao per- |
correr o trecho BC é: |
a) 2,6 m c) 3,4m e) 2m |
b) 3,6 m d) 2,2 m
|
l
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[i
t
T.343: (Univali-SC) Um corpo cuja massa é de 2 kg cai, a
partir do repouso, de uma altura Ħ e, após atingir
a R H
o solo retorna, atingindo uma altura igual a y
Desprezando a resistência do ar, o coeficiente de
restituição do choque entre o corpo e o solo é:
a) 0,2 © 0,4 e) 1,0
b) 0,5 d) 0,8
a em nosso Mundo
O air-bag
T.344 (Unifesp) Uma pequena esfera maciça é lançada
de uma altura de 0,6 m na direção horizontal, com
velocidade inicial de 2,0 m/s. Ao chegar ao chão,
somente pela ação da gravidade, colide elastica-
mente com o piso e é lançada novamente para o
alto. Considerando g = 10,0 m/s”, o módulo da
velocidade e o ângulo de lançamento do solo, em
relação à direção horizontal, imediatamente após
a colisão, são respectivamente dados por:
a) 4,0 m/s e 30º d) 6,0 m/s e 45º
b) 3,0 m/s e 30º e) 6,0 m/s e 60º
c) 4,0 m/s e 60º
5 (UFV-MG) Dois blocos feitos de materiais idên-
ticos, um de massa M e outro de massa 2M,
encontram-se inicialmente em repouso sobre
uma superfície plana e com atrito, separados por
uma carga explosiva cuja massa é desprezível. A
situação é ilustrada na figura abaixo.
Após a explosão da carga, o bloco de massa
M percorre uma distância L, deslizando pela
superfície antes de parar. É correto afirmar que
a distância percorrida pelo bloco de massa 2M
será:
e) 4L
a | tm
a 2L DL 95 d
Quando um veículo sofre uma colisão, ocorre uma váriação brusca no módulo da quantidade de movi-
mento. A intensidade do impulso que age no veículo e em seus ocupantes é igual à correspondente variação
no módulo da quantidade de movimento (/ = AQ).
De / = F- At, concluímos que a intensidade F da força média, que age no veículo e em seus ocupantes,
depende do intervalo de tempo At durante o qual ocorre a colisão. Para o mesmo AO, quanto maior o intervalo
de tempo, menor a intensidade da força.
A utilização de bolsas infláveis (airbags) nos au-
tomóveis tem essa função: sensores detectam a rá-
pida desaceleração do veículo e essas bolsas, insta-
ladas no volante e no painel de instrumentos, acima
do porta-luvas, são acionadas. Imediatamente elas
inflam e o motorista e o passageiro, numa colisão
frontal, são projetados contra os air-bags, em vez
de contra os pára-brisas. À deformação das bolsas
exige um intervalo de tempo relativamente grande,
reduzindo de forma considerável a intensidade da
força atuante nas pessoas no interior do carro.
CMUVISDICOSOSCESNLEADADAO NIDA CALEDENESI PALO SLDA DA SANTANA VAGA LAR a ana
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Os FUNDAMENTOS DA Física
Repródução proibida. Art. 184-de-Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A barreira de pneus nos circuitos de corridas automobilísticas tem a mesma finalidade. A batida contra
essa barreira demanda um tempo maior do que se o choque fosse contra um muro de concreto, fazendo com
que o veículo fique submetido a uma força de menor intensidade, protegendo o piloto.
devorado som. O
sua leitura
L.26 (UFRN) Alguns automóveis dispõem de um
eficiente sistema de proteção para o moto-
rista, que consiste de uma bolsa inflável de
ar. Essa bolsa é automaticamente inflada, do
centro do volante, quando o automóvel sofre
uma desaceleração súbita, de modo que a
cabeça e o tórax do motorista, em vez de co-
lidirem com o volante, colidem com a bolsa.
A figura abaixo mostra dois gráficos da varia-
ção temporal da força que age sobre a cabeça
de um boneco que foi colocado no lugar do
motorista. Os dois gráficos foram registrados
em duas colisões de testes de segurança. À
única diferença entre essas colisões é que, na
colisão I, se usou a bolsa e, na colisão II, ela
não foi usada.
AF (N)
II (sem a bolsa de ar)
j
—
q
©
3
»
T
2
a
»
o
©
»
fa?
Da análise desses gráficos, concluiu-se que
a explicação para o sucesso da bolsa como
equipamento de proteção é:
L.27
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O
F
D
Z
Es
a
a
5
3
—
m
fia
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Z
T
o
=
[s]
£
T
a
2
a) À bolsa diminui o intervalo de tempo da
desaceleração da cabeça do motorista,
diminuindo, portanto, a força média que
atua sobre a cabeça.
b) A bolsa aumenta o intervalo de tempo da
desaceleração da cabeça do motorista,
diminuindo, portanto, a força máxima que
atua sobre a cabeça.
©) A bolsa diminui o impulso total transferido
para a cabeça do motorista, diminuindo,
portanto, a força máxima que atua sobre
a cabeça.
d) A bolsa diminui a variação total de mo-
mento linear transferida para a cabeça do
motorista, diminuindo, portanto, a força
média que atua sobre a cabeça.
(Unifesp) Uma xícara vazia cai de cima da mesa
de uma cozinha e quebra ao chocar-se com o
piso rígido. Se essa mesma xícara caísse, da
mesma altura, da mesa da sala e, ao atingir o
piso, se chocasse com um tapete felpudo, ela
não se quebraria. Adote g = 10 m/s”.
a) Por que no choque com o piso rígido a
xícara se quebra e no choque com o piso
fofo (do tapete) não?
b) Suponha que a xícara caia sobre o tapete
e pare, sem quebrar. Admita que a massa
da xícara seja 0,10 kg, que ela atinja o solo
com velocidade de 2,0 m/s e que o tempo
de interação do choque seja de 0,50 s.
Qual será a intensidade média da força
exercida pelo tapete sobre a xícara? Qual
seria essa força, se o tempo de interação
fosse 0,010 s?
Vibrs Mona pes mes cssTi cais odds asa dep a a Ed dad isa sas da Ceres ro era serasa ras cisnes ess ss erra ra tas EE sedesdaçu cs degrees ão TETS
utg 16) + [mFUtEO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
349°
a
E
E
Q
Realize as experiências com supervisão de seu professor.
A conservação da quantidade de movimento
1° experiência
Usando duas caixas de madeira A e B, idênticas, abertas na face superior e providas de rodinhas, construa dois
carrinhos. Sejam m, e mp suas massas. Como as caixas são idênticas, temos m A = Ma. Determine essas massas utilizando
uma balança.
* Os carrinhos A e B percorrem a mesma distância?
* As velocidades médias dos carrinhos A (v4) e B (v,) são iguais? Calcule-as.
Mantenha uma mola comprimida entre os carrinhos sobre uma mesa horizontal, conforme mostra a foto da direita.
Soltando-se o sistema, a mola se distende, desprende-se dos carrinhos e estes entram em movimento. Com auxílio de
uma régua, medimos as distâncias percorridas pelos carrinhos em um certo intervalo de tempo A: (por exemplo: 3,0 s).
Responda:
Os produtos mv, € Mpvp São iguais?
Coloque, agora, dentro da caixinha A um corpo de massa conhecida. Seja m, a nova massa total de A e mp a massa
de B.
Repita a mesma experiência anterior e responda:
* Os carrinhos A e B percorrem a mesma distância?
* As velocidades médias dos carrinhos A (v,) e B (vp) são iguais? Calcule-as.
Os produtos mv, € mpv, SãO iguais?
Qual é a quantidade de movimento do sistema antes e depois dele ser liberado?
2º experiência
Fixe, usando fita adesiva, duas réguas de 30 cm sobre a mesa, de modo a formarem um trilho pelo qual possa se
movimentar uma moeda (por exemplo, de 1 real). Faça uma fileira com pelo menos 5 moedas idênticas e coloque-as a
partir de 10 cm de uma das extremidades.
Dê um piparote numa outra moeda colocada a uma distância de 5 cm da fileira, de modo que ela atinja a primeira
moeda da fileira.
CRRDCCneDCR res arara race ne cansa rara raca errar escoa canca nos ara
THE NEXT
Observe que somente a última moeda se movimenta, permanecendo as demais em repouso.
Responda:
Por que apenas a última moeda se
movimenta?
Se, em vez de uma, lançarmos duas
moedas contra a fileira, o que acon-
tece?
Faça a experiência e verifique se sua
previsão se confirma.
Explique o porquê do sucedido.
*350
Os FUNDAMENTOS DA Física
THE NEXT
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A idéia da existência de uma grandeza que medisse a quantidade de movimento do Universo e que perma-
necesse invariável com o tempo nasceu na verdade de especulações filosóficas. Para os pensadores do século
XVII era impossível conceber que o Universo — divina criação — pudesse ser um mecanismo imperfeito, cujos
movimentos cessassem algum dia. Para eles, a quantidade de movimento do Universo, fosse lá o que fosse,
deveria manter-se invariável, apesar da interação entre os corpos. Mas que grandeza seria essa?
Muitos filósofos e cientistas se debruçaram sobre o problema, sem conseguir resolvê-lo. Foi RENÉ DESCAR-
TES (1596-1650), cientista e filósofo francês, quem primeiro propôs uma formulação adequada para o problema.
Segundo ele*, essa grandeza, à qual deu o nome de quantidade de movimento, corresponderia ao produto
da massa m do corpo por sua velocidade escalar v. Assim, nas interações entre os corpos, a grandeza escalar
Q = mv se manteria invariável, :
Coube a ISAAC NEWTON (1642-1727) formular de maneira correta e completa a hipótese cartesiana. |
Na realidade, a grandeza criada por Descartes mantinha-se invariável apenas em algumas situações, não se |
mantendo constante, por exemplo, quando as colisões entre os corpos deixavam de ser frontais. Newton pro-
pôs, então, que a quantidade de movimento de um corpo deveria ser uma grandeza vetorial (Q), e não escalar,
como supusera Descartes. Desse modo, a quantidade de movimento seria dada pelo produto da massa m do
corpo pela velocidade vetorial v, O = mv. Com essa formulação, os cientistas verificaram ser verdadeiro que
a quantidade de movimento total do Universo permanece constante.
O princípio da conservação da quantidade de movimento, ao lado de outras leis da Física, é considerado um
dos princípios fundamentais da Física. No campo da Física Atômica e Nuclear, em particular, a aplicação desse
princípio às colisões de partículas nos aceleradores tem permitido uma série de importantíssimas descobertas,
responsáveis por muito do desenvolvimento científico de nossa civilização.
Entre na rede
i
No endereço eletrônico http://
www.seara.ufc.br/folclore/
folclore28.htm (acesso em |
16/2/2007), leia o artigo A polêmica |
entre os conceitos de quantidade |
|
j
+
SHEILA TERRY / SPL-LATINSTOCK
SHEILA TERRY / SPL-LATINSTOCK
de movimento, força-viva, energia
cinética e impulso.
se ~
Heprodução proibida, Art: 184 do Código Ponal Lal 0.840 de 19 de fevereiro de 1996:
À Descartes A Newton
«< O LEP (Large Electron-
Positron collider), em
Genebra, é o maior
acelerador de partículas
da Europa. Na foto, sua
extensão de 27 km está
assinalada sobre a região |
na qual foi instalado, E
abaixo do solo. É
A circunferência menor 1
representa outro
acelerador, para colisões
de prótons e antiprótons.
CERN / SPL-LATINSTOCK
%* Fontes: BEN-DOV, Yoav. Convite à Física. Rio de Janeiro, Jorge Zahar, 1996. p. 43; PROJECTO FÍSICA. O triunfo
da Mecânica — unidade 3. Lisboa, Fundação Calouste Gulbenkian, 1985.
nesenaserasaraos CA CRCTCLCDE ACO USCERCES CEE RTA SE LASAR CEREAL IE CO CLCAC NC TAN AOS RC CORA CU RUAS E SAM EA DU OR nRE se ULI rasa Ta nan sau ras raca nun sra tas s dO
CarítuLo 16 + IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 351º
CAPITULO
A Estação Espacial Internacional, construida
com o esforço conjunto de diversos países,
inclusive o Brasil, constitui um importante
passo da humanidade no sentido de melhor
conhecer o Universo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
WE Muitas concepções cosmológicas foram
propostas, até que Kepler estabelecesse as
leis do movimento planetário. Estas, por sua
1. INTRODUÇÃO vez, possibilitaram a Newton estabelecer
2. AS LEIS DE KEPLER a lei da Gravitação Universal. Atualmente,
3. LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL nosso conhecimento sobre o Universo tem se
4. CAMPO GRAVITACIONAL E CAMPO DE GRAVIDADE ampliado de forma notável, graças aos novos
recursos tecnológicos de que dispomos, como
5. ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE 2
6 o telescópio Hubble mostrado na foto.
6. CORPOS EM ÓRBITA
B. Introdução
Desde cedo, na história da humanidade, há registros de observações dos corpos celestes. Antigos
escritos chineses falam de fenômenos astronômicos, como eclipses, surgimento de cometas etc. Os
antigos navegantes orientavam-se pelo movimento da Lua e pelas estrelas. As mitologias grega, romana
e de outros povos do passado colocavam seus deuses no céu e procuravam explicar os fenômenos ob-
servados como manifestações divinas.
O estudo propriamente científico dos astros iniciou-se com os filósofos da Grécia Antiga que, pela
primeira vez, tentaram explicar os movimentos dos corpos celestes sem recorrer aos mitos e à religião.
São deles as primeiras descrições do nosso sistema planetário.
Em sua famosa obra Almagesto, o último grande astrônomo grego da Antiguidade, Cláudio Ptolo-
meu, que viveu no século Il d.C., propõe um sistema planetário geocêntrico, pois estabelece a Terra
como centro do Universo. A Lua e o Sol descreveriam órbitas circulares em torno da Terra. Quanto aos
demais planetas, cada um descreveria órbita circular em torno de um centro que, por sua vez, descreveria
outra órbita circular em torno da Terra (figura 1). Esse artifício era necessário para explicar as observações
dos movimentos dos planetas no céu.
C) Júpiter
Mercúrio€: .
ce) Q
Vênus Sol
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“4 Gravura do
século XVI.
Ptolomeu usa
“ Satumo um quadrante,
guiado
pela musa
Figura 1. Sistema planetário de Ptolomeu. Astronomia.
Capítulo 17 + A GRraviTAÇÃO UNIVERSAL 353º
CID
Mapas celestes publicados no livro Harmonia macrocósmica (de Andrés Cellarius, Amsterdã,
1661): o da esquerda representa o modelo de Ptolomeu, e o da direita,
o modelo de Copérnico.
Durante muito tempo o sistema de Ptolomeu se manteve aceito sem contestação. Somente no sé-
culo XVI foram levantadas novas hipóteses sobre o Universo. O astrônomo polonês Nicolau Copérnico
(1473-1543), em sua obra Sobre a revolução dos corpos celestes, publicada prudentemente no ano de sua
morte, rompe com o passado, propondo ser o Sol o centro do Universo (por isso seu sistema planetário é
dito heliocêntrico). Os seis planetas então conhecidos, Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno,
nessa ordem, descreveriam órbitas circulares em torno do Sol.
Galileu Galilei (1564-1642) foi um ardente defensor das idéias copernicanas. A utilização de instru-
mentos ópticos de maneira sistemática nas observações astronômicas lhe possibilitou obter fortes evidên-
cias a favor do sistema planetário heliocêntrico de Copérnico. Uma dessas evidências foi sua descoberta
dos satélites de Júpiter. Se havia corpos (os satélites) que giravam em torno de um planeta (Júpiter), a
Terra não poderia ser o centro do Universo.
Entretanto, coube ao astrônomo alemão, contemporâneo de Galileu, Johannes Kepler (1571-1630),
estabelecer de forma definitiva como os planetas se movem em volta do Sol. Discípulo e assistente do
astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), Kepler herdou os registros das pacientes e precisas
observações de seu mestre, que lhe possibilitaram, após muito estudo e trabalho, enunciar as três leis
que descrevem o movimento planetário.
Atualmente, considera-se que o sistema solar seja constituído de oito planetas (Mercúrio, Vênus,
Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno) que, nessa ordem, descrevem órbitas elípticas ao redor
do Sol (figura 2).
Mercúrio
Entre na rede
| No endereço eletrônico http://
www.tvcultura.com.br/aloescola/
ciencias/olhandoparaoceu/index.
htm (acesso em 22/2/2007), você
encontra textos sobre Astronomia
da série Olhando para o céu da TV
Cultura.
e Os FUNDAMENTOS DA Física
354
CID
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução:proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Em agosto de 2006, a União Astronômica Internacional, reunida em Praga, durante sua XXVI Assem-
bléia Geral, deixou de considerar Plutão como o nono planeta do sistema solar. Juntamente com Ceres e
Éris, ele passou a constituir uma nova categoria, a dos planetas-anões. Ceres está situado entre as órbitas
de Marte e Júpiter, no denominado cinturão de asteróides. Éris (inicialmente chamado de Xena) é maior
que Plutão, mas está bem mais afastado do Sol (16 bilhões de quilômetros) do que este, que está a
6 bilhões de quilômetros, aproximadamente.
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e
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A Johannes Kepler, em pintura anônima
de 1620.
Tycho Brahe, em detalhe > >}
de um mapa colorizado onde aii
mostra seu sistema de órbitas |
planetárias. Extraído do Atlas
Celestial (1660-1661).
Ø 2. As leis de Kepler
As leis de Kepler descrevem os movimentos dos planetas e
Planeta
de nosso sistema solar, tomando o Sol como referencial.
Primeira lei de Kepler (ou lei das órbitas) Sol
> e
Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Foco Foco 2
Sol, o qual ocupa um dos focos da elipse descrita.
Conta-se que, ao descobrir que as órbitas descritas pelos ;
Figura 3.
planetas não eram circulares, mas sim elípticas, Kepler se
sentiu profundamente decepcionado. Apesar de cientista,
seu arraigado espírito religioso tinha dificuldade em aceitar
que Deus tivesse criado algo que não fosse perfeito. A cren-
ça predominante em sua época era a de que o movimento E: | Entre na rede
dos astros, sendo uma criação divina, teria de ser circular,
considerado o movimento perfeito. A elipse, cujas principais
No endereço eletrônico http://
características são apresentadas no quadro seguinte, era con- | www.walter-fendt.de/ph24br/
siderada uma figura imperfeita. No entanto, embora sua fé | keplerlawi br.htm (acesso em |
Vo . . | 22/2/2007), você pode realizar simu- |
|
religiosa tivesse sido abalada, Kepler fez prevalecer sua | lações a respeito da 1º lei de Kepler.
condição de cientista e enunciou suas leis. o
DOCS DDO CLORO SO CCL esa UU nc su tunes u sans serasa serena a da CDCACNPESANDOUSANLIDESLDODCADUSAGLENASA DOCA GASNG OCASIONAR OU PASO SA DOG 04
Carítulo 17 + A Gravitação UNIVERSAL 355 °
THE BRIDGEMAN ART LIBRARY / KEYSTONE
A elipse |
i
A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, um barbante e um lápis. Os pontos F, e F, são os
* focos da elipse, que pode ser definida como uma curva onde a soma das distâncias r, e n, dos focos a um
| ponto qualquer P da curva, é constante. As linhas FP e F,P formam ângulos iguais com a tangente à elipse
no ponto P. Se uma sala for construída em forma de elipse, uma onda de som ou de luz, partindo de F, será
refletida para o outro foco F,, pela propriedade anterior. Esse é o princípio da sala de sussurro que existe em
* museus e exposições: duas pessoas nos focos F e F, podem conversar entre si em voz baixa sem serem
ouvidas por nenhuma outra pessoa da sala.
Lápis
Reta tangente
|
F
i Barbante
RD ae ES
Segunda lei de Kepler (ou lei das áreas)
O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do planeta (raio-vetor) varre áreas
proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.
Na figura 4, seja A a área descrita no intervalo de tempo At por um planeta (P) qualquer. De acordo
com a segunda lei de Kepler:
CE)
A constante de proporcionalidade k depende do planeta e é denominada velocidade areolar do
planeta.
e
A.
B,
=. - À i F À
A=k at> k = Ar 1 Fa
(velocidade areolar do planeta) o Sol >e A,
K
B,
ma
Figura 4. Figura 5.
Se as áreas destacadas da figura 5 forem iguais, teremos,
segundo Kepler, que os intervalos de tempo do percurso do , Bote ma rade e. `
planeta serão iguais. Desse modo, para o arco maior AB, ser f !
descrito no mesmo intervalo de tempo que o arco menor | No endereço eletrônico http://
sura . > 2 | www.walter-fendt.de/ph24br/ |
A,B, , a velocidade em 4,8, (planeta próximo do Sol) deve ser | keplerlaw2. br.htm (acesso em
maior do que a velocidade em A,B, (planeta longe do Sol). | 22/2/2007), você pode verificar
Portanto os planetas não se movem ao redor do Sol | a 2 lei de Kepler seguindo |
com velocidade de módulo constante: são mais rápidos (25 MTUÇÕES CO quadro. j
quando estão mais próximos do Sol e mais lentos quando
estão mais afastados.
º 356 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O ponto mais próximo do Sol chama-se periélio (peri = perto, hélio = Sol) e o mais afastado cha-
ma-se afélio (apo = longínquo). O planeta é mais veloz no periélio e mais lento no afélio. Para a Terra,
o máximo e o mínimo da velocidade são 30,2 km/s (no periélio) e 29,3 km/s (no afélio).
Terceira lei de Kepler (ou lei dos períodos)
O quadrado do período de translação de cada planeta em torno do Sol é proporcional ao cubo
do raio médio da respectiva órbita.
O raio médio (r) da órbita de um planeta
coincide com a média aritmética entre a distân-
cia do Sol ao afélio (r,) e a distância do Sol ao
periélio (r,). Essa medida é igual à medida do
semi-eixo maior da trajetória elíptica descrita Sol r
pelo planeta em sua órbita. Periélio — e) —e ++ Afélio
4 pá Centro F, '
fo Ho
Planeta
h
2 ! ' i
Sendo T o período de translação do planeta,
isto é, o intervalo de tempo para ele dar uma i
volta completa em torno do Sol, e r a medida | |
do raio médio, a terceira lei de Kepler pode ser
escrita algebricamente:
> 5) -$ Leia mais
| Para conhecer melhor as co
A constante de proporcionalidade K depende | Kepler estabeleceu suas três le
das massas do Sol e do planeta. Como a massa | planetário, você pode ler a bi
do planeta é desprezível em relação à do Sol, ` de astrônomo alemão na:
considera-se que a constante K depende só da —
massa do Sol.
De acordo com a terceira lei de Kepler, quanto mais distante do Sol for a órbita de um planeta, maior
será o período de translação desse planeta, isto é, maior o seu ano, pois um ano é o intervalo de tempo
necessário para dar uma volta em torno do Sol.
A tabela seguinte apresenta, a título de informação, as massas e os períodos dos planetas em relação,
respectivamente, à massa da Terra e ao período da Terra (ano terrestre).
Planeta Massa Período (ano terrestre)
Mercúrio 0,054 0,241
Vênus 0,814 0,615
Terra 1,000 1,000
Marte 0,107 1,881
Júpiter 317,45 11,865
Saturno 29,650
Netuno 165,951
Massa da Terra (My) = 5,98: 10% kg Massa do Sol = 333.000M, = 1,99 - 10% kg
Período da Terra (1 ano terrestre) = 365,2 dias 1
Massa da Lua = M: = 7,3 10” kg
Período de rotação da Terra = 23 h 56 min 4s
Período da Lua em torno da Terra = 27,3 dias
81,3
CapituLo 17 + A GRAviTAÇÃO UNIVERSAL 357 °
bazd
>
fee)
5
tri
Um ano terrestre é aproximadamente igual a 365,2 dias.
Pela tabela o ano marciano é 1,881 vez o ano terrestre, isto é, E | Entre na rede ——.
aproximadamente 687 dias terrestres. Vênus, mais próximo | 9
do Sol, tem um ano equivalente a 220 dias terrestres aproxi-
madamente (da tabela, 0,615 ano terrestre). Mercúrio, mais | Phyninu.edu.tw/ oldjava/portuguese/
próximo ainda, tem um ano com cerca de 88 dias terrestres, | hemindo A aeea am
e Netuno, o planeta conhecido mais distante, tem um ano | 22/2/2007), as simulações propostas
igual a 60.500 dias terrestres, aproximadamente. i permitem a análise das três leis de Kepler.
No endereço eletrônico http://www.
OBSERVAÇÃO
As três leis de Kepler não valem apenas para os movimentos dos planetas em torno do Sol.
Elas são válidas para quaisquer corpos que gravitem em torno de outro cuja massa seja bem maior.
| E o caso dos satélites artificiais que se movem ao redor da Terra.
AKG-LATINSTOCK
BETTMANN / CORBIS-LATINSTOCK
Galileu Galilei (1), físico
italiano, foi um dos
pioneiros no estudo
do céu com o auxílio
de instrumentos. Suas
lunetas (2), embora
rudimentares, foram
suficientes para que
ele, além de descobrir
os satélites de Júpiter
e as manchas solares,
observasse com detalhes
as fases da Lua, das quais
chegou a fazer esboços
(3), publicados em seu
livro O mensageiro
das estrelas (1610).
Com o desenvolvimento
da tecnologia,
os instrumentos
de observação foram sendo
aperfeiçoados, até
se alcançar o estágio
das modernas lunetas
e telescópios (4).
Q
T
Ql
>
Q
Q
Q
©
mw
©
TECH PHOTO / TAXI-GETTY IMAGES
358 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida, Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
e
a)
Quais são as características da órbita que um planeta descreve em torno do Sol? Defina afélio e periélio. Em a
qual dessas posições o planeta apresenta maior velocidade? =
Solução:
De acordo com a primeira lei de Kepler, a órbita descrita por um planeta em torno do Sol é elíptica. O Sol ocupa
um dos focos da elipse descrita. Em consequência, a distância do planeta ao Sol varia à medida que ele descreve
a órbita:
Periélio -------- x, DD Afélio
À posição do planeta mais próxima do Sol é o periélio e a posição mais afastada é o afélio. A maior velocidade
do planeta em sua órbita ocorre no periélio.
És]
&
g * Determine a velocidade areolar de um planeta que descreve em torno do Sol uma órbita praticamente circular
$ de raio R. O período de translação do planeta é T.
ê =
3 Solução:
2 De acordo com a segunda lei de Kepler, um planeta em torno do Sol tem veloci-
z dade areolar constante. Assim, sendo À a área descrita no intervalo de tempo At,
E) teremos, para a velocidade areolar:
E p= A
Š At
8
3
E Para uma volta completa: 4 = nR? e At = T. Portanto:
E
2 nR?
$ Resposta: k = —
8 T
a
È
O período de Mercúrio em torno do Sol é da ordem de i do ano terrestre. O raio médio da órbita do planeta-
anão Plutão em torno do Sol é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de Mercúrio. Calcule o valor aproxi-
mado do período de Plutão em torno do Sol, medido em anos terrestres.
Solução:
De acordo com a terceira lei de Kepler, podemos escrever para Plutão e Mercúrio:
Th = Kr?
Tê = Kr}
o Tê
Dividindo membro a membro, resulta: | = +
M
1
Sendo Ty = — do ano terrestre e rp = 100n, vem:
2 3 2
T = 0n > Ņ = (3) - 10º => | Tp = 250 anos terrestres
o”
A
Carítuto 17 ° A Gravitação UNIVERSAL 359 °
Exercícios
„propostos
P.430 (Unicamp-SP) A figura ao lado representa exageradamente a tra- l
jetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é
indicado pela seta. O ponto V marca o início do verão no hemis- `
fério Sul e o ponto / marca o início do inverno. O ponto P indica a
maior aproximação do planeta ao Sol, o ponto A marca o maior N
afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os J
----0
Sol + P
pontos P, A e o Sol. Po dada ts
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxi-
ma? Em que ponto essa velocidade é mínima? Justifique sua V
resposta.
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre Planeta
áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente d
os tempos necessários para realizar os seguintes percursos:
VPI, PIA, IAV, AVP.
P.431 Um planeta descreve um quarto de sua órbita em torno de seu
Sol, num sistema planetário de outra galáxia, em 28 dias terres-
tres. Determine:
a) o período de translação desse planeta em torno de seu Sol.
b) a velocidade areolar desse planeta, supondo que o raio de sua
órbita, considerada circular, vale 5.000 km.
P.432 A figura representa a órbita da Terra ao redor do Sol. A área
destacada A corresponde a um quinto da área total da elipse.
Calcule o número de dias que a Terra demora para se deslocar
da posição P para a posição Q de sua órbita.
P.433 O período de translação de Urano em torno do Sol equivale a 84 anos terrestres, aproximadamente. Supondo o
raio médio da órbita de Urano cerca de 4 vezes maior que o da órbita de Júpiter, determine, aproximadamente,
o período de translação de Júpiter, expresso em anos terrestres.
P.434 De quantos anos terrestres seria o período de um planeta que, girando em torno do Sol, tivesse o raio médio
de sua órbita 9 vezes maior do que o raio médio da órbita da Terra?
P.435 Um satélite artificial em órbita circular dista R do centro da Terra e o seu período é T. Um outro satélite da Terra,
também em órbita circular, tem período igual a 87. Qual é o raio de sua órbita em função de R?
B 3.Leida Gravitação Universal
Analisando as leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da
órbita em módulo e direção. Como a variação da velocidade é devida a forças, Newton concluiu que
os planetas e o Sol interagem a distância, com forças chamadas gravitacionais. Uma tremenda capa-
cidade de generalização e um conhecimento profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir
que as forças gravitacionais dependem diretamente das massas do Sol e do planeta e inversamente do
quadrado da distância entre eles.
«360 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Esse resultado tem validade geral, podendo ser aplicado a quaisquer corpos materiais, constituindo
a lei da Gravitação Universal:
Dois pontos materiais atraem-se com forças cujas intensidades são diretamente proporcionais às |
suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.
Se Me m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os separa (figura 6), a intensi-
dade da força gravitacional é dada por:
M F F m
Po TT 1
i r ;
Figura 6.
Nessa expressão, G = 6,67 - 10 "" unidades do Sistema Internacional é uma constante chamada
constante de gravitação universal. Ela não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou
qualquer outro meio interposto entre os corpos.
Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância r a ser considerada é entre
seus centros (figura 7).
M F F m
— nn ———9
i r
Figura 7.
A força gravitacional F (figuras 6 e 7) é uma força de campo que atua a distância ao longo da reta
que une os centros dos corpos. N
Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao menos uma das
massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos de pequenas massas (pessoas, objetos, veículos),
a atração gravitacional F'tem intensidade desprezível.
SPL-LATINSTOCK
Júpiter
Chegada
dezembro.
de 1995
05
Terra g3Vênus
a . Aproximação
Lançamento o ae do d com Vênus
Outubro - (fev. 1990)
“de 1989
T aproximação 2? aproximação
com a Terra com a Terra
(dez. 1990) (dez. 1992)
A A sonda espacial Galileu foi lançada em
outubro de 1989 e alcançou Júpiter em ti
dezembro de 1995. Em cada ponto de sua A O reconhecimento da lei estabelecida por Newton não
trajetória as forças que atuam sobre ela foi imediato. Nessa gravura, contemporânea ao grande
obedecem à lei da Gravitação Universal. cientista, sua teoria é satirizada e ridicularizada.
noncenoa nanda DOMINA ELA NDAUDLCLNDUNCNDESANUVO CASUAL DUDE DESCON NONE PODE OPC R PARDO LCA ARNO CASACO CANSA LA OA Qua sa rasa ras ara san tasas
Carituio 17 + A Gravitação UNIVERSAL 361 º
O planeta Marte está a uma distância média igual a 2,3 + 10º km do Sol. Sendo 6,4 - 10” kg a massa de Marte e
2,0 - 10” kg a massa do Sol, determine a intensidade da força com que o Sol atrai Marte. É dada a constante de
2
gravitação universal G = 6,67- 10" Nem |
Solução:
A distância entre os astros deve ser expressa em metros: r = 2,3: 10° km = 2,3-10º.10m = 23:10 m
As massas valem: m, = 2,0 - 10” kg (Sol) e m, = 6,4 - 10” kg (Marte)
Aplicando a lei da gravitação universal:
RETON “ns
MM Lp 667- 1071. 2,0- 10” -6,4-10
F=G-
r’ (2,3 . 10"
12,8- 10”
sF = 6,67 107" “do An =
5,29- 10
F = 1,6:102N
Resposta: = 1,6 - 10! N
Dois corpos de massas iguais a m, e m,, situados à distância D um do outro, atraem-se mutuamente com força
de intensidade F. Qual será a intensidade F’ da nova força de interação nas seguintes situações:
a) a massa m, se torna duas vezes maior;
b) a massa m, se torna três vezes menor;
c) a distância entre os corpos quadruplica.
Solução:
À situação inicial é:
> pua. > F- Gram
D?
i
D i
i
>
a) se a massa do primeiro corpo passa a ser m, = 2m, a nova força atuante F’ terá intensidade:
,
mm
rc
b) se a massa do segundo corpo passa a ser m, =
,
mm»,
D?
F=G
c) se a distância entre os corpos quadruplicar, teremos D’ = 4D e, daí, D”? = 16D°. Na fórmula da Lei da Gravi-
tação Universal:
mm mm,
lo a P = gG
P=6G
D’? 16D?
F F
Respostas: a) 2F; b) 3º c) TE
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.436
P.437
Uma nave interplanetária parte da Terra e dirige-se à Lua numa trajetória retilínea determinada por um seg-
mento que une o centro da Terra ao centro da Lua. Sabendo-se que a massa da Terra M, é aproximadamente
igual a 81 vezes a massa da Lua M,, determine o ponto no qual é nula a intensidade da força gravitacional
resultante que age na nave devido às ações exclusivas da Lua e da Terra. Considere ainda a Terra e a Lua
estacionárias no espaço, com distribuição de massa homogênea e, para efeito de cálculo, com massa total
localizada nos seus centros.
Solução:
Terra
Seja m a massa da nave, Fy a intensidade da força da Terra na nave na posição à distância x e F, a intensidade
da força da Lua na nave nessa posição (em relação à Lua, a distância é d — x, sendo d a distância Terra-Lua).
A lei da gravitação estabelece: F = G Mm
r
Interação Terra-nave:
Mım
F =G É
Interação Lua-nave:
p= Mm
(d — x)
Como queremos que a força gravitacional resultante seja nula, devemos impor Fr = F,. Assim:
2 2
Mm g Mm „Mmo Mo [xo
x (d — x) M (d — x) d-x
Como M, = 81M,, vem:
2
81 = x > 9= —— =9-@-x)=x > x= 2a
d-—x d-x 10
Resposta: O ponto situa-se a nove décimos da distância Terra-Lua partindo da Terra.
Exercícios
„propostos
Calcule aproximadamente a intensidade da força P.438 Dois corpos estão situados a uma distância r um
de atração gravitacional do Sol sobre a Terra. Da- do outro, atraindo-se com força de intensidade
dos aproximados: massa do Sol M = 2,0 - 10” kg; 5 N. Qual será a nova intensidade da força de
massa da Terra m = 6,0 - 10” kg; distância média interação entre eles se:
do Sol à Terra d = 1,5 - 10! m; constante de gra-
a) a massa de um deles for duplicada?
vitação universal G = 6,7 - 10" (SD.
b) a massa de ambos for triplicada?
c) a distância entre eles for reduzida à metade?
Calcule aproximadamente a intensidade da força de
atração gravitacional da Terra sobre a Lua. Compa- P.439 Dois corpos de massas m, e ms, tais que m, = 9m,,
re a intensidade dessa força com a intensidade da estão situados à distância d um do outro. Deter-
força de atração Sol-Terra do exercício anterior. Da- mine onde deve ser colocado um terceiro corpo,
dos aproximados: massa da Terra M = 6,0 - 10” kg; na reta que une os corpos, para que seja nula a
massa da Lua m = 7,0 - 102 kg; distância média da força resultante que age nesse corpo, em virtude
Terra à Lua d = 4,0 - 10º m; constante de gravitação das ações gravitacionais dos dois corpos.
universal G = 6,7: 107"! (SD.
Caríruto 17 ° A GRaviTAÇÃO UNIVERSAL 363 e
THE BRIDGEMAN ART LIBRARY / KEYSTONE
Descobrindo planetas |
Uma das mais notáveis comprovações da validade da lei da Gravitação
Universal foi a descoberta do planeta Netuno. Esse planeta foi descoberto
antes de ser visto.
No início do século XIX, o astrônomo francês Alexis Bouvard (1767-
1843) verificou que o movimento de Urano não coincidia com o calculado
matematicamente. Supôs-se então que outro planeta, até então des-
conhecido, deveria estar causando essa alteração. Após exaustivas pes-
quisas, o astrônomo Urbain Le Verrier (1811-1877) anunciou à Academia
de Ciências da França, em agosto de 1846, a provável posição do novo
planeta. Um mês mais tarde (23 de setembro de 1846), após receber
correspondência de Le Verrier, o astrônomo alemão Johann Gottfried
Galle (1812-1910) conseguiu localizar, na posição indicada, o planeta que
foi batizado de Netuno.
Antes, em 1846, o astrônomo inglês John Couch Adams (1819-1892)
encontrara, com seus cálculos, a solução do problema, tendo escrito aos
astrônomos George Airy (1801-1892) — do Observatório de Greenwich
— e James Challis (1803-1882) — do Observatório de Cambridge —,
pedindo que verificassem a posição do provável planeta. Entretanto
nenhum deles deu crédito a Adams, impedindo-o de ter sozinho a glória
da descoberta.
Em 1855, o próprio Urbain Le Verrier observou alterações na órbita de
Mercúrio e, por conta delas, previu a existência de um planeta interior, a
que deu o nome de Vulcan. Essa previsão, entretanto, não se confirmou.
A descoberta de Plutão também foi resultado da aplicação das leis da
Mecânica Celeste ao movimento dos astros. Dessa vez, foram perturba-
ções na órbita calculada para Netuno que indicaram a existência de mais
um astro. Entre 1905 e 1908, o diplomata e astrônomo americano Percival
Lowell (1855-1916), em seu próprio observatório no Arizona, tentou sem
êxito localizá-lo.
Foi somente em 1930, após sua morte, que o astrônomo Clyde William
Tombaugh (1906-1997) localizou-o, não por visão direta, mas analisando
fotografias obtidas em 1910 da região da constelação de Gêmeos, onde
se supunha que ele estava. O novo astro foi durante muito tempo (até
2006) considerado o nono planeta do sistema solar e recebeu o nome
de Plutão, em homenagem ao astrônomo Percival Lowell — as duas
primeiras letras, Pe L, são as iniciais de seu nome.
À Urbain Le Verrier em óleo
sobre tela de Felix H.
Giacomotti, século XIX.
&
A Percival Lowell
< Charge de 1846,
do cartunista francês
Cham, ridicularizando
o astrônomo inglês Adams,
insinuando que
ele descobrira Netuno
no artigo de Le Verrier.
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
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D. C. / SPL-LATINSTOCK
BIBLIOTECA DO CONGRESSO, WASHINGTON
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Metamposravitacional e campo de gravidade
| eau Tiac prania aa bina na lejeRG Puliga
TR Guise a
| aca o JARSE PAEAS ARE ANR PEREO z
gina n espaço que a envolve, um campo gravitacional*. -7 m
Saa US ia de derme AE Fab” | O
N a fede o EE C
NOFRRRI ELASTA EEP Oaai, aa dera '
(figisem 89, ascladarpela trriida GraxtaçãosU niversalanunciou à Academia
de Ciências da França, em agosto deyy4846, a provável posição do novo
planeta. Um mês mais tardé (23 de setembro de 1846), após receber
correspondência de Le Verrier, o astrônomo alemão Johann Gored
Gartléra da forep AARAA MAARA AES EUA RSA ue
agemane devido à presença do Sol, da Lua, dos planetas e da
rotagigeda ArGe OEA HIRLIMArFAaRA PAHALA) A Urbain AYAS em óleo
Tencurarsampordegsavidade, dasbAigão do problema, tendo escrito aos sobre tela de Felix H.
astibiorgas Settaatáiqué Ge 8920rpajonBiiasrenúdiçães, Crer feuch Giacomotti, século XIX.
pes6 PamprgChallis (1803-1882) — do Observatório de Cambridge —
pedindo que verificassem a posição do provável planeta. Entretanto
Bs: deles deu crédito a, od: impedindo-o de ter sozinho a glória
SoAicel leração da gravidade
Em 1855, o próprio UrBain Le VerrierObservou alterações na órbita de
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Lowell (1855-1916), Erp Sep prgprg Gs ervagágio no Arizona, tentou sem
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Tofnbaugh (1909-1997) localizou-o, não por visão direta, mas analisando
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2006] considerado o nono planeta do sistema solar e recebeu o nome
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primeiras letras, Pe L, são as iniciais de seu nome. . .
altit h (fig ra 10) a aceleração da gravidade é menor
THE BRIDGEMAN ART LIBRARY) KEYSTONE
D. C./SPL-LATINSTOCK
BIBLIOTECA DO CONGRESSO, WASHINGTON
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Figura 10.
THE BRIDGEMAN ART LIBRARY / KEYSTONE
< Charge de 1846,
do cartunista francês
Cham, ridicularizando
i o astrônomo inglês Adams,
, na região insinuando que
ele descobrira Netuno
Era a Fótáção da Terra no artigo de Le Verrier.
„é feita no. o exercício R. 170. RR EEE RES RR
AS
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eta teta toa AATAS ata Pa Co a Ae a Ra o Ma a Ma En o O te te coto rots 0 0 nesen 0000 0000 00 00000200 8 100008 000000 OO 00 O 0 RA NA A ALCA
º 36gmuom 17º A GRAvITAÇÃO UNIVERSAL Os FUNDAMENTOS DA "365 e
Resumindo:
Aceleração da gravidade na superfície da Terra
GM M= massa da Terra
g = — onde .
R R= raio da Terra
Aceleração da gravidade à altitude h da superfície da Terra
|
|
|
É = aceleração da gravidade na superfície da Terra
|
G GM R y
R = raio da Terra
(R + h?
As expressões anteriores podem ser generalizadas e fornecer a aceleração da gravidade em qualquer
planeta: M passa a ser a massa do planeta, R o seu raio e h a altitude considerada.
STEVE MOOORE / DIST. BY ATLANTIC
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
A gravidade, Zé!
Você esqueceu
a gravidade!
WWW. UCOMICS.COm
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| A gravidade no interior da Terra |
Consideremos um ponto A interno à Terra, pertencente a uma Superfície
esfera imaginária de raio r, e seja AM a massa dessa esfera. da Terra
O campo gravitacional em A é devido apenas a essa massa AM.
Assim, aplicando a fórmula para pontos da superfície esférica de raio
r, temos:
AM
gm = G ©
r
A densidade d da esfera pode ser escrita: d = — sendo
AV = far o volume da esfera imaginária à qual pertence A.
Portanto: AM = d-AV = d> Sar
de Aq
Substituindo em D: g, -6—S—
366 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
4 . , - . .
Como zera é constante, concluimos que a aceleração da gravidade em pontos internos da Terra é
diretamente proporcional à distância rdo ponto considerado ao centro da Terra. Particularmente no centro
da Terra (C), r= 0e g =0.
Em resumo, a aceleração da gravidade g, a partir do centro da Terra, varia com a distância r, de acordo
com o gráfico seguinte:
gs: aceleração da gravidade na superfície da Terra
R: raio da Terra
onsidere um corpo de 100 kg no interior de um satélite artificial em torno da Terra. O satélite encontra-se, em
relação à superfície da Terra, à altitude igual ao próprio raio da Terra. Suponha a Terra estacionária no espaço.
Determine:
a) a aceleração da gravidade no interior do satélite em relação à aceleração da gravidade na superfície da Terra
(adote g = 10 m/s”);
b) o peso do corpo de massa 100 kg na superfície da Terra e na altura em que se encontra o satélite.
Solução:
a) À aceleração da gravidade numa altitude A é dada por: Q Satélite
gr =g Rih ” A h `
Nesse caso, h = R. Portanto: A
2 2 '
R R g 2 i
=g- = g. |> = 2 = 25 |
8 =E (z a) g [E] >=] > M/S |
b) O peso do corpo na Terra é: P = mg = 100 -10 > | P= 1.000 N N Terra “
À altura h, temos: P, = mg, = 100 -2,5 > | P,=250N Desen
Respostas: a) g, = 8 - 2,5 m/s? ; b) P, = 250 N; na superfície P = 1.000 N
p 8 4
` A massa da Terra é aproximadamente igual a 81 vezes a massa da Lua e o seu raio é aproximadamente 3,7 vezes o
raio da Lua. Se g; é a aceleração da gravidade na superfície da Terra, determine a aceleração da gravidade na
Lua g, em relação a gr. Quanto pesará, na Lua, um corpo de peso 60 N na superfície da Terra?
Solução:
Mr
A aceleração da gravidade na superfície da Terra é: g, = Rê
T
M.
Rê
Com Mr = 81M, e Rr = 3,7R,, vem na primeira expressão:
81M 81 GM GM 1
=G- 5 E 7 =6 r 6 > =.
gr GR) 1369 R? R? 8 8 = 48
. ; 1
Como a massa de um corpo é constante, decorre que seu peso na Lua será da ordem de z de seu peso na
Terra [a = je) ; assim, 60 N na Terra equivalem a 10 N na Lua: | P, = 10N
Resposta: g_ = i gri P= 10N
Na Lua: g = G
ersesussenosesossssoressonasnerosonesusuossasesesessossesssonsasusecserosnossecossrsesononresovessesesucnososesssusossssscosososaossoseoneasonotouenesvos
CarítuLo 17 + À GRAvITAÇÃO UNIVERSAL 367 °
e
la]
DP
[s]
e]
trá
escorenoas
O planeta X tem a metade da massa do planeta Y e raio quatro vezes menor. Compare as acelerações da gravi-
dade, gy e gy, nas superfícies desses planetas.
Solução:
Planeta Y: massa M; raio R Planeta X: massa M’ = Ss raio — Z
. aM
Para Y, temos: g, = G- ©
M
M Ex M - 16 M 16
Para X, temos: gy = Gp =G P = GSE = GE > ©
4
Comparando O e O, vem:
Resposta: O planeta X tem aceleração da gravidade em sua superfície oito vezes maior que no planeta Y.
É Analise o efeito da rotação da Terra no valor da aceleração da gravidade para um corpo transportado do pólo
ao equador.
Adote: período de rotação da Terra em torno de seu eixo = 24 h (86.400 s); raio da Terra R = 6,37 +: 10° m
Considere a Terra uma esfera homogênea.
Solução:
Pode-se medir o peso de um corpo com um dinamômetro de mola, calibrado em força, quando o corpo atinge
o equilíbrio (figura a). Considere agora um corpo suspenso a um dinamômetro de mola no plano do equador
(a figura b é vista do Pólo Norte). No corpo atuam a força de gravitação F ea força da mola (cuja intensidade
é igual à intensidade do peso Pdo corpo). Devido à rotação da Terra, F e P não têm intensidades iguais, pois
existe aceleração centrípeta do movimento circular. Assim, pela equação fundamental da Dinâmica:
F- P= may
Em módulo, temos:
RP
(força da mola Ay)
Figura a Figura b
Mi
Sendo F =G E e P = mg., sendo g, a aceleração da gravidade nos pontos do equador, vem:
Mm GM
6 mg = May > a Ge = Ap
Mas =g, éa aceleração da gravidade nos pólos, pois nesses pontos não existe influência da rotação da
Terra. Sendo a, = O 2R, resulta:
2 2m Y
Sendo R = 6,37: 10° m, © = e T = 86.400 s, vem: œR [x o) “6,37: 10° > œR = 0,0337 m/s?
Portanto: | g, =g, — 0,0337 m/s
Resposta: A aceleração da gravidade varia ao longo da superfície da Terra devido ao movimento de rotação.
No equador seu valor é mínimo e nos pólos seu valor é máximo.
Observação:
A aceleração da gravidade tomada ao nível do mar, a uma latitude 45°, é chamada aceleração normal da gra-
vidade e é igual a g = 9,80665 m/s’.
eeseseesuovoncaononeovosesrvevsonoesososecssososesesuouoncenosossossesesssososseessousvosossusorossosevenessssesesesaensserosonosesooseeseossos
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Exercícios
propostos
P,440 O peso de um corpo na superfície da Terra é 40 N. Esse mesmo corpo pesa 10 N no interior de uma nave espacial
que se move sob a ação da gravidade em torno da Terra, suposta estacionária no espaço. Calcule a distância
da nave ao centro da Terra no momento da pesagem em função do raio da Terra (R).
Q uva |
P.441 Imagine um planeta cuja massa seja 10 vezes a massa da Terra e cujo raio seja 2 vezes o raio da Terra. Sendo g
a aceleração da gravidade na superfície da Terra, determine a aceleração da gravidade na superfície do planeta
em função de g. Não considere os efeitos da rotação.
P.442 Se existisse um planeta de massa oito vezes maior que a da Terra e raio três vezes maior, qual seria a relação entre
- a aceleração da gravidade na superfície desse planeta g, e a aceleração da gravidade na superfície da Terra g,?
P.443 No caso do exercício anterior, qual seria o peso de um corpo de massa 50 kg na superfície desse planeta ima-
ginário? Adote g; = 10 m/s”.
P.444 Considere a Terra uma esfera homogênea de raio R = 64: 10° m e seja g, = 10 m/s” a aceleração da gravidade
nos pólos. Suponha que a velocidade angular de rotação da Terra aumentasse até um valor œ, de modo que o
peso de uma pessoa no equador ficasse nulo. Qual seria, nessas condições, o valor de q?
6. Corpos em órbita
Considere um planeta de raio R e massa M. Seja m a massa de um
satélite em órbita circular em torno do planeta à altitude h (figura 11).
A força da interação gravitacional entre M e m é responsável pela ace-
leração centrípeta necessária para manter m em órbita. Essa aceleração é
a própria aceleração da gravidade à altitude h:
dep = Oh
A partir dessa igualdade, tanto podemos determinar a velocidade orbi-
tal como o período de revolução do satélite em torno do planeta.
m Velocidade
Figura 11.
2
vo — GM
Sendo q, = rEg E
M Período
2 2
oV 2 A
Sendo a F or Tê
2 2 4 2 É
m, SM > T? =,» > |Tº=kr sendok = £T = constante ,
T r GM GM
Note que:
e a velocidade e o período independem da massa m do satélite;
e a velocidade e o período dependem da massa do planeta M e da distância r;
e a fórmula do período é a própria terceira lei de Kepler. Para o sistema solar, M é a massa do Sol e a
2
4". .
constante K = TM é comum para todos os planetas, independentemente de suas massas.
Entre na rede
| O endereço eletrônico http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/portuguese/dinamica/satelliteorbits/ |
l satelliteorbits.htm (acesso em 22/2/2007) permite estudar o movimento de um projétil e o movimento
|
m!
orbital de um satélite.
esossssonosssnorssnesonssescuoesvenesosesesvessesussosvesrovposovrecesrssesusasssoserasesoencussacocsoseesosesssuosasosoessvosssssoessvesvesnessssaganse
Capítulo 17 + A Gravitação UNIVERSAL 369 °
Conhecida a velocidade do satélite, a uma determinada altura, determinamos sua energia cinética;
ÍGM > GM
v= — > v = —
r r
O sinal negativo significa que, em todos os pontos do campo gravitacional, a energia potencial
gravitacional é menor do que no infinito.
No campo gravitacional, a energia mecânica se conserva, isto é, Ene. = E, + E = constante.
6.1. Velocidade de escape
Velocidade de escape é a menor velocidade com que se deve lançar um corpo da superfície terres-
tre para que este se livre da atração da Terra, isto é, chegue ao infinito com velocidade nula.
Para o cálculo dessa velocidade (vw), desprezando a resistência do ar, aplicamos o princípio da con-
servação da energia mecânica.
mo co Mm
Corpo na Terra: E = 16 =—G
Corpo no infinito: E = 0; E, = O (referencial no infinito)
Portanto: — =0> |v
R R |]
mv GMm 2GM
2
Substituindo os valores de G, M (massa da Terra) e R (raio médio da Terra), vem:
vo = 11,3 km/s |
x NOSSA, QUE
VELOCIDADE!
=4 ENTREI EM ÓRBITA
WATTERSON / DIST. BY ATLANTIC
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
reroaj Press Syndicate
€ 1985 Un
6.2. Satélite rasante
A velocidade de um satélite a baixa altitude (raio da órbita = raio da Terra), isto é, rasante à superfície
da Terra, é dada por:
e370 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
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6.3. A imponderabilidade
É comum dizer que, no interior de uma nave em
órbita ao redor da Terra, os astronautas têm a sensação
de ausência de peso. Os objetos no interior da nave
parecem flutuar. Entretanto, tal imponderabilidade
não significa realmente que a força de atração gra-
vitacional deixou de existir. Na verdade ela continua
presente, tendo sua intensidade expressa pela Lei da
Gravitação Universal de Newton. Nessa situação, a
força de atração gravitacional funciona como resul-
tante centrípeta, responsável pela manutenção da
órbita circular dos astronautas e de todos os objetos
no interior da nave.
E Entre na rede SSN
f \
: No endereço eletrônico http:// |
| galileoandeinstein.physics.virginia.edu/ |
| more stuff/Applets/newt/newtmtn.html você |
| pode encontrar a simulação dos lançamentos |
i desenhados por Newton. )
< Esse esboço, feito pelo próprio Newton, mostra
que se um projétil fosse lançado horizontalmente
de um monte tão alto que o atrito do ar fosse
desprezível, com velocidade suficiente, ele entraria
em órbita ao redor da Terra.
Se um astronauta estiver encostado ao piso da nave, como mostra o esquema seguinte, ele não
exerce compressão sobre esse piso, à semelhança do que acontece quando um elevador está em queda
livre — um ocupante não comprime o chão do elevador, porque ambos estão caindo com a mesma
aceleração, a da gravidade. O esquema seguinte mostra um astronauta no interior de uma nave em
órbita e, ao lado, as forças atuantes.
4
Astronauta
Terra
F- LN = May
mg-F = mg
F=0
F=P
Pode-se dizer que uma nave orbitando a Terra está em constante queda livre, apenas não se aproxi-
mando da superfície pelo fato de estar executando o movimento circular. A força de atração gravitacional
tem, como única função, fazer com que a nave descreva a curva.
Capitulo 17 ° A Gravitação UNIVERSAL
{x
[o]
fe]
2
(ce)
£
E
T
=
Ka
D
£
Q
5
=.
<
U)
í
4
©
mw
>
i
z
72)
[%2]
cú
©
fas
uu
[o]
O
©
e —
ry
=
Faid
3
tri
o lixo espacial — — - poluição en em n órbita
Mais de 20 mil objetos produzidos pelo homem nal (EEI). Já existem muitos exemplos de veículos
| foram colocados em órbita nos últimos trinta anos. | danificados por colisões com detritos.
| A estimativa é de que existam ao redor da Terra, Entretanto, além do perigo das colisões no
e grande porte, além de outros milhares de frag- cada mês, cerca de 40 objetos espaciais reentram
mentos menores. O que preocupa é o fato de na atmosfera. Todos os dispositivos colocados
que mais de 5 mil possuem dimensões apreciá- em órbita mais cedo ou mais tarde retornarão à
veis, superiores a 20 centímetros. superfície do nosso planeta. Apesar de, felizmen-
|
| atualmente, por volta de 10 mil objetos de médio | espaço, existe outro grave problema a resolver: a
l
Com o ritmo dos lançamentos, admite-se que te, cerca de três quartos da Terra serem cobertos
-nos próximos anos haverá sérias ameaças às ativi- pela água dos oceanos e mares, não é desprezível
dades do homem nas circunvizinhanças da Terra, a probabilidade de objetos de porte razoável caí-
sem contar o evidente prejuízo às observações rem em zonas densamente povoadas.
astronômicas feitas a partir do solo. Por isso, a Nasa, agência espacial norte-ame-
Há fragmentos que orbitam a Terra a 15 mil, | ricana, e organizações de outros países estão
20 mil ou 30 mil quilômetros por hora, consti- | atentas, monitorando os céus em busca desses
tuindo portanto formidáveis projéteis que podem | fragmentos cadentes. Paralelamente, a ONU
provocar sérias colisões com naves, sondas e | busca meios para controlar os novos lançamentos
satélites tripulados, sem contar as estações es- e minimizar, no futuro, os prejuízos decorrentes
paciais que estão sendo projetadas e construídas, dessa verdadeira poluição espacial nas órbitas em
como, por exemplo, a Estação Espacial Internacio- torno da Terra.
ISA DS A a e e pa amp a er mr a cs
Um satélite artificial está descrevendo órbita circular de raio R = 1,2 - 10° m ao redor da Terra. Sendo conhecida
N- m’
11
, determine,
a massa da Terra Mr = 6,0 - 10” kg e a constante de gravitação universal G = 6,67 + 107
para esse satélite:
a) a velocidade orbital;
b) o período.
Solução:
. 2
a) Sendo G = 6,67 1071 Nem
kg
R=1,2-10meM, = 6,0 + 10” kg, a velocidade a
orbital do satélite será dada por: !
Gui 6,67 - 10°" -6,0 < 10% o ,
o =. a
= 433,35- 108
v=58:10 m/s
DONICRORLULLAND CLS INNONO LOUVRE NANA SLCNCNIENAL TST ONO UC SC CSA ERUTUS CONTENDO DENOA DINA DADOL DATAM NANA DUDA NO AURA CO OUSAR SA SUA UA nad dd
“372 Os FUNDAMENTOS DA Física
ção proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Ar?
GM,
4: 6,14?
6,67 - 10™ - 6,0 - 10%
O período do satélite será dado por: T? = 1,0 «107? - (1,2 + 105? = 1,73: 10° > |T=1,3-10s
. . . T
Outra solução: v = — > 58:10 = o > |T=13-10!s
Respostas: a) = 5,8: 10° m/s; b) = 1,3: 10!s
b) Pela terceira lei de Kepler, T? = KR’, sendo K =
2
Calculando a constante K, vem: K = > K = 10: 102 S
m
E 2
| O planeta Marte possui massa de 6,46 : 10” kg e raio 3,37 + 10º m. Sendo G = 6,67 107" Nm
a constante de
gravitação universal, determine:
a) a velocidade de escape nesse planeta;
b) a velocidade orbital e o período de um satélite artificial que orbite a baixa altitude (satélite rasante) nesse
planeta (raio da órbita = raio de Marte).
Solução:
a) A velocidade de escape é dada por: v = Ni om
om?
Sendo G = 6,67: 107"! e , M = 6,46 - 10” kg e R=3,37-10m, vem:
. . = ` 23
w = IE 6,67 L no 10 = v = Ņy 25,57: 10° => vo = 5,05: 10° m/s > |v = 5,05 km/s
b) Para um satélite a baixa altitude (satélite rasante):
aq. ns
-|M _ 667-10 -646-107 >v = 3,57 -10 m/s > [v = 3,57 km/s
R 3,37 - 10
. . . 6
ai = 357.10 = 234 337 10 + Ds [T=593-10's
Respostas: a) = 5,05 km/s; b) = 3,57 km/s; = 5,93 + 10° s
=
I
e
il
Exercicios
P.445 Um satélite artificial é lançado para que des- | a) Determine a intensidade da força centrípeta
creva uma órbita circular de raio 8,0 + 10º km. que age sobre ele.
Sendo a constante de gravitação universal b) Explique por que uma pessoa dentro desse
6.67: 10” N: m’ e a massa da Terra 6,0 - 10% kg, satélite experimenta a sensação de imponde-
rabilidade ou “ausência” de peso.
determine:
P.447 Qual é a velocidade de escape de um corpo na
a) a velocidade orbital desse satélite; superfície da Lua, cuja massa é 7,0 - 10” kg e cujo
b) o intervalo de tempo que ele demora para raio é 1,73 - 10° m? A constante de gravitação
completar uma volta ao redor da Terra. N: m?
universal vale 6,67 - 107" Rê
P.446 Admita que o satélite do exercício anterior tenha g
100 kg de massa.
taasresenessennosensearenoreceseesesosesvotruenenatesreserronererorsersaresoresscececzesreseencasoesereesoveugessasosrasesesesesesssessevevesetrovereres
CapitTuULO 17 ° A GRAVITAÇÃO UNIVERSAL 373°
ios propostos
P.448 (Unicamp-SP) A terceira lei de Kepler diz que “o
P449
P.450
P.451
quadrado do período de revolução de um plane-
ta (tempo para dar uma volta em torno do Sol)
dividido pelo cubo da distância do planeta ao Sol
é uma constante”. À distância da Terra ao Sol é
equivalente a 1 UA (unidade astronômica).
a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de
asteróides (veja figura). Os asteróides são
corpos sólidos que teriam sido originados
do resíduo de matéria existente por ocasião
da formação do sistema solar. Se no lugar do
cinturão de asteróides essa matéria tivesse
se aglutinado formando um planeta, quanto
duraria o ano deste planeta (tempo para dar
uma volta em torno do Sol)?
b) De acordo com a terceira lei de Kepler, o ano
de Mercúrio é mais longo ou mais curto que o
ano terrestre?
T
erma Marte
A « Cinturão de
Mercúrio cal asteróides
Vênus
H + + +--— + + >
0,0 1,0 2,0 3,0
Unidades astronômicas
(Vunesp) À Terra descreve uma elipse em torno
do Sol, cuja área é A = 6,98 - 102 m?.
a) Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra
ao Sol entre 0,0 h do dia 1º de abril até 24h do
dia 30 de maio do mesmo ano?
b) Qual foi o princípio ou lei que você usou para
efetuar o cálculo acima?
(Mackenzie-SP) Que alteração sofreria o módulo
da aceleração da gravidade se a massa da Terra
fosse reduzida à metade e o seu raio diminuído
de - de seu valor real?
(Covest-PE) À medida que se aproxima da super-
fície de um planeta, uma sonda espacial envia
dados para a Terra. A tabela abaixo indica os
valores medidos para a aceleração da gravidade
desse planeta como função da distância A da
sonda à sua superfície.
(o gm)
0,6
Com base nesses dados, determine o valor do
raio desse planeta, medido em unidades de
10° m.
RCE METETO
|
P.452 (Mackenzie-SP) Qual é o valor da aceleração da
P.453
P.454
gravidade do Sol se o seu raio é 110 vezes maior
do que o da Terra e sua densidade é - da den-
sidade média da Terra?
A aceleração da gravidade na superfície da Terra
é 9,8 m/s”
Densidade = sa ; volume de uma esfera:
volume
V = AR?
3
(PUC-RJ) Um satélite de massa m gira com veloci-
dade angular « constante em torno de um planeta
de massa M, em órbita circular de raio R.
a) Represente, no desenho abaixo, por setas, a(s)
força(s) que atua(m) no satélite.
b) Calcule a velocidade angular œ do satélite em
função de M, R e G (constante de gravitação
universal).
(UFF-RJ) Em certo sistema planetário, alinham-se,
num dado momento, um planeta, um asteróide e
um satélite, como representa a figura.
Satélit
Asteróide a ente
Planeta
Sabe-se que:
(1) a massa do satélite é mil vezes menor que a
massa do planeta.
(2) o raio do satélite é muito menor que o raio R
do planeta.
Determine a razão entre as forças gravitacionais
exercidas pelo planeta e pelo satélite sobre o
asteróide.
sososeneovosossoseaoveoe enoneveevuososonooossosoosesocsoesoecesosoesoseecsororassouseseeesecsoveseseposossssranosresosaesnsanesonpasaraessosevazeenarasa
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P.455. (UFSCar-SP) No filme Armageddon, para salvar a
P.456
Terra do impacto de um gigantesco asteróide,
a NASA envia a esse asteróide um grupo de per-
furadores de petróleo. Lá, sem nenhuma expe-
riência em atividades no espaço, trabalhando na
superfície do asteróide como se estivessem
na superfície da Terra, esses trabalhadores
perfuram um poço no fundo do qual colocam
um artefato nuclear de 9,0 megatons (cerca de
4,0 - 104 J). A explosão desse artefato dividiu
o asteróide em duas metades de igual massa
que, em relação ao asteróide, se deslocaram per-
pendicularmente à trajetória inicial de colisão,
livrando a Terra do catastrófico impacto.
A partir de outras informações fornecidas
no filme e admitindo-se o asteróide esférico,
é possível concluir que o seu raio seria de
6,5 - 10 m, a sua massa de 6,0 - 10! kg e cada
uma das metades em que ele se dividiu na ex-
plosão deveria ter adquirido velocidade inicial
mínima de 2,1 - 10º m/s, em relação ao centro de
massa do asteróide, para que elas também não
atingissem a Terra.
a) Qual seria a aceleração da gravidade na su-
perfície desse asteróide? O valor obtido está
de acordo com o que descrevemos do filme?
Justifique.
Dado: constante de gravitação
universal = G = 6,7: 10 UN. m?kg
b) A energia do artefato nuclear utilizado tinha o
valor suficiente para separar o asteróide em
duas metades e dar a elas a velocidade inicial
necessária para livrar à Terra do choque?
Justifique.
(Fuvest-SP) Um astrônomo, ao estudar uma estrela
dupla E, — E, observou que ambas executavam
um movimento em torno de um mesmo ponto
P, como se estivessem ligadas por uma barra
imaginária. Ele mediu a distância D entre elas
e o período T de rotação das estrelas, obtendo
T = 12 dias. Observou, ainda, que o raio R,, da
trajetória circular de E,, era três vezes menor
do que o raio R,, da trajetória circular de E.
Observando essas trajetórias, ele concluiu que
as massas das estrelas eram tais que M, = 3M,.
Além disso, supôs que E, e E, estivessem sujeitas
apenas à força gravitacional entre elas.
A partir das medidas e das considerações do
astrônomo:
a) Indique as posições em que £, e E, estariam,
quinze dias após uma observação em que as
estrelas foram vistas, como está representa-
do no esquema abaixo. Marque e identifique
claramente, no mesmo esquema, as novas
posições de E, e £.
. z U, A
b) Determine a razão R = * entre os módulos
v
das velocidades lineares das estrelas E, e E.
c) Escreva a expressão da massa M, da estrela
E, em função de T, de D e da constante uni-
versal da gravitação G.
A força de atração gravitacional Fç entre
dois corpos, de massas M, e M,, é dada por
MM,
D?
sal da gravitação e D é a distância entre os
corpos.
F =G onde G é a constante univer-
P.457 (Unicamp-SP) Satélites de comunicações são
P.458
retransmissores de ondas eletromagnéticas.
Eles são operados normalmente em órbitas cuja
velocidade angular œ é igual à da Terra, de modo
a permanecerem imóveis em relação às antenas
transmissoras e receptoras. Essas órbitas são
chamadas de órbitas geoestacionárias.
a) Dados q, e a distância R entre o centro da Terra
e o satélite, determine a expressão da sua
velocidade em órbita geoestacionária.
b) Dados q;, o raio da Terra R, e a aceleração da
gravidade na superfície da Terra g, determine
a distância R entre o satélite e o centro da
Terra para que ele se mantenha em órbita
geoestacionária.
(Unicamp-SP) Um míssil é lançado horizontal-
mente em órbita circular rasante à superfície da
Terra. Adote o raio da Terra R = 6.400 km e, para
simplificar, tome 3 como valor aproximado de n.
(Use g = 10 m/s”)
a) Qual é a velocidade de lançamento?
b) Qual é o período da órbita?
Q =
resoseseesonssensecssrozezesasesssosssonsocosocsoueessosessneos sesessnosonespvosersesesusussevsuosacsessvesuoressacosesosesesesesseeesoeseseosuesesesoooe
Capitulo 17 + A Gravitação UNIVERSAL
P.459. (Fuvest-SP) Se fosse possível colocar um saté-
lite em órbita rasante em torno da Terra, o seu
período seria T. Sendo G a constante de gravi-
tação universal, expresse a massa específica
média (densidade média) da Terra em função
de Tec.
ssocie a primeira coluna de acordo com a se-
gunda e, a seguir, marque a opção que contiver a
ordem correta.
1. Modelo dos gregos (século Il a.C.)
2. Sistema de Ptolomeu (século II d.C.)
3. Sistema de Copérnico (século XVD
() Os planetas movem-se em círculos cujos cen-
tros giram em torno da Terra.
() O Sol está em repouso. Os planetas (inclusive
a Terra) giram em torno dele em órbitas cir-
culares.
() À Terra ocupa o centro do universo. O Sol, a
Lua e as estrelas estão incrustados em esfe-
ras que giram em torno dela.
a) 3-2-1
b)1-3-2
c) 3-1-2
d) 2-3-1
(PUC-MG) À figura abaixo representa o Sol, três
astros celestes e suas respectivas órbitas em
torno do Sol: Urano, Netuno e o objeto recente-
mente descoberto de nome 1996 TLs-
1996 TL66
Urano
Analise as afirmativas a seguir:
I. Essas órbitas são elípticas, estando o Sol em
um dos focos dessas elipses.
II. Os três astros representados executam movimen-
to uniforme em torno do Sol, cada um com um
valor de velocidade diferente da dos outros.
HI. Dentre todos os astros representados, quem
gasta menos tempo para completar uma volta
em torno do Sol é Urano.
Assinale:
a) se todas as afirmativas são corretas.
b) se todas as afirmativas são falsas.
c) se apenas as afirmativas I e Il são corretas.
d) se apenas as afirmativas Il e II são corretas.
e) se apenas as afirmativas I e II são corretas.
P.460
Dois satélites A e B, de mesma massa, descrevem
órbitas circulares em torno da Terra com altitu-
des iguais a Re 3R, sendo R o raio da Terra. Con-
sidere a Terra estacionária no espaço. Determine
a relação entre:
a) as energias cinéticas dos satélites Á e B;
b) os períodos dos satélites A e B.
(PUC-MG) É bem conhecida a Lei das Áreas, de
Kepler, segundo a qual “o segmento que liga
um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos
iguais”. Esta lei é obedecida pelos outros corpos
que orbitam o Sol, como é o caso do cometa
Hale-Bopp, que passou recentemente nas proxi-
midades da Terra. Na figura abaixo, estão esque-
matizados o Sol e a órbita do cometa.
«à Sol A
O ponto em que o cometa desenvolve a maior
velocidade é:
a) À
b) B
9C
d D
e E
(PUC-SP) A sonda Galileo terminou sua tarefa
de capturar imagens do planeta Júpiter quando,
em 29 de setembro deste ano*, foi lançada em
direção à superfície do planeta depois de orbitá-
lo por um intervalo de tempo correspondente a
8 anos terrestres. Considerando que Júpiter está
cerca de 5 vezes mais afastado do Sol do que a
Terra, é correto afirmar que, nesse intervalo de
tempo, Júpiter completou, em torno do Sol:
a) cerca de 1,6 volta.
b) menos de meia volta.
c) aproximadamente 8 voltas.
d) aproximadamente 11 voltas.
e) aproximadamente Z de volta.
%* ano de 2003
cscare DONA SNEC IC EVALUATE URU LAU SAN LD MA OL UC AUD SA LA RASA SUAS AACS AO RU CRU a sa CU RO Cn asa tan o cana nana va sanar a ve 66
“376
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
| (Efoa-MG) Numa descoberta recente de dois
planetas que estão em órbita em torno de uma
mesma estrela, distante do Sistema Solar, cons-
tatou-se que os períodos orbitais destes são T,
e T,, respectivamente. Determine as razões dos
raios orbitais destes dois planetas, considerando
que neste sistema planetário as leis de Kepler
também possam ser aplicadas:
a) (i x Ty
(Uece) O ano terrestre é, por definição, o tempo
de que a Terra precisa para fazer, no seu movi-
mento circular, uma volta completa em torno do
Sol. Imagine um planeta P, descrevendo, também,
uma órbita circular, em torno do Sol em um tem-
po igual a 8 anos terrestres. Considerando rsya
distância do centro do Sol ao centro da Terra e rsp
a distância do centro do Sol ao centro do planeta
P,arazão Ir é igual a:
kr
a) 2
b) 4
co 8
d) 16
(Enem-MEC) A tabela a seguir resume alguns
dados importantes sobre os satélites de Júpiter.
lo 421.800
Europa 670.900
Ganimedes
1.070.000 7,2
4.800 1.880.000 16,7
Calisto
Ao observar os satélites de Júpiter pela primeira
vez, Galileu Galilei fez diversas anotações e tirou
importantes conclusões sobre a estrutura de nos-
so universo. À figura abaixo reproduz uma anota-
ção de Galileu referente a Júpiter e seus satélites.
De acordo com essa representação e com os da-
dos da tabela, os pontos indicados por 1, 2,3 e4
correspondem, respectivamente, a:
a) lo, Europa, Ganimedes e Calisto.
b) Ganimedes, lo, Europa e Calisto.
c) Europa, Calisto, Ganimedes e lo.
d) Calisto, Ganimedes, lo e Europa.
e) Calisto, lo, Europa e Ganimedes.
* (Mackenzie-SP) Dois satélites de um planeta têm
períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, res-
pectivamente. Se o raio da órbita do primeiro
satélite vale 1 unidade, então o raio da órbita do
segundo será:
a) 4 unidades
b) 8 unidades
c) 16 unidades
d) 64 unidades
e) 128 unidades
(Unifor-CE) A força de atração gravitacional
entre dois corpos esféricos de massas Me m,
separados de uma distância d, tem intensidade
F. Então, a força de atração entre dois corpos de
M m can d
massas p e 7 separados de uma distância >
terá intensidade:
F
a E d 2F
b É e) 4F
o F
O, (Fuvest-SP) No sistema solar, o planeta Saturno
tem massa cerca de 100 vezes maior do que a da
Terra e descreve uma órbita, em torno do Sol,
a uma distância média 10 vezes maior do que a
distância média da Terra ao Sol (valores aproxi-
-= A NU
mados). À razão =+ entre a força gravitacional
T
com que o Sol atrai Saturno e a força gravitacio-
nal com que o Sol atrai a Terra é de aproximada-
mente:
a) 1.000
b) 10
co) 1
d) 0,1
e) 0,001
(PUC-MG) Dois corpos À e B, de massas 16M e M,
respectivamente, encontram-se no vácuo e estão
separados de uma certa distância. Observa-se que
um outro corpo, de massa m, fica em repouso
quando colocado no ponto P, conforme a figura.
A p B
2 € 2
CapituLo 17 + A GRAvITAÇÃO UNIVERSAL 377 e
2X aa 2.
A razão — entre as distâncias indicadas é igual a:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 16
: (Uesb-BA) Um planeta X tem massa três vezes
maior que a massa da Terra e raio cinco vezes
maior que o raio da Terra. Uma pessoa de massa
50 kg deve pesar, na superfície do planeta X,
aproximadamente:
a) 40N
b) 60N
© 50N
d) 70N
e) 80N
- (UFF-RJ) Um corpo de massa m é pendurado em
uma balança de mola, de alta precisão, de modo
que seu peso aparente possa ser medido em duas
posições de latitudes distintas — L, e L, — con-
forme ilustrado na figura a seguir.
Globo terrestre
Levando-se em conta os efeitos de rotação da
Terra em torno do seu próprio eixo, o corpo terá,
em princípio, acelerações diferentes: a; em L ea,
em L,
Considerando que a Terra seja esférica, e que P,
e P, sejam as duas medidas registradas, respecti-
vamente, na balança, é correto prever que:
a) P, = P, porque o peso aparente não depende
da aceleração
b) P, > P, porque a, > a,
c) P, >P, porque a; < a,
d) P, < P, porque a; < a,
e) P, < P, porque a, > a,
18
16
14
12
10
8
6
4
2
(Fuvest-SP) O gráfico da figura representa a ace-
leração da gravidade g da Terra em função da
distância d ao seu centro.
Ag (m/s2)
0
>
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 d(x 10 m)
Considere uma situação hipotética em que o valor
do raio R, da Terra seja diminuído para R’, sendo
R = 0,8R,, e em que seja mantida (uniformemen-
te) sua massa total. Nessas condições, os valores
aproximados das acelerações da gravidade g, à
distância R’ e g, a uma distância igual a R do cen-
tro da “Terra Hipotética” são, respectivamente:
a)
b)
9
e)
(Uniube-MG) Um satélite de massa m gira com
velocidade angular œ constante, em torno da
Terra, cuja massa é M, em órbita circular de raio
R. Considerando G a constante de gravitação
universal, a velocidade « do satélite é:
1 IG+M G:-M:m
a q R d) R?
2-G-M G-M
) 9 E
9 GM:m
R
(Vunesp) Ao se colocar um satélite em órbita
circular em torno da Terra, a escolha de sua ve-
locidade v não pode ser feita independentemente
do raio R da órbita. Se M é a massa da Terrae G
a constante universal de gravitação, v e R devem
satisfazer a condição:
a) VR = GM
b) vR? = GM
9 Re =GM
d) Žo om
R
e) vR = GM
soesnesencoserasosaacoceesacecsecocousuasocsusnerecseesosoresosernecessoscerosenesssneserossossasecesseorocseresooersessasesvessceucaesoesesooenepesneno
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' (Fuvest-SP) Satélites utilizados para telecomu-
nicações são colocados em órbitas geoesta-
cionárias ao redor da Terra, ou seja, de tal forma
que permaneçam sempre acima de um mesmo
ponto da superfície da Terra. Considere algumas
condições que poderiam corresponder a esses
satélites:
I. Ter o mesmo período, de cerca de 24 horas.
II. Ter aproximadamente a mesma massa.
HI. Estar aproximadamente à mesma altitude.
IV. Manter-se num plano que contenha o círculo
do equador terrestre.
O conjunto de todas as condições a que satélites
em órbita geoestacionária devem necessariamen-
te obedecer corresponde a:
a) lelll d) I e 1il
b) LIL e) I, IV
© 1, Me IV
(UFMG) Um satélite é colocado em órbita e fica
estacionário sobre um ponto fixo do equador
terrestre.
O satélite se mantém em órbita porque:
a) a força de atração que a Terra exerce sobre o
satélite equilibra a atração exercida sobre ele
pela Lua.
b) a força que o satélite exerce sobre a Terra, de
acordo com a terceira lei de Newton, é igual
à força que a Terra exerce sobre o satélite,
resultando disso o equilíbrio.
c) o satélite é atraído por forças iguais, aplicadas
em todas as direções.
d) o satélite está a uma distância tão grande da
Terra que a força gravitacional exercida pela
Terra sobre o satélite é desprezível.
e) aforça de atração da Terra é a força centrípeta
necessária para manter o satélite em órbita
em torno do centro da Terra com um período
de 24 horas.
(Vunesp) Turistas que visitam Moscou podem
experimentar a ausência de gravidade voando
em aviões de treinamento de cosmonautas.
Uma das maneiras de dar aos passageiros des-
ses vôos a sensação de ausência de gravidade,
durante um determinado intervalo de tempo, é
fazer um desses aviões:
a) voar em círculos, num plano vertical, com
velocidade escalar constante.
b) voar em círculos, num plano horizontal, com
velocidade escalar constante.
c) voar verticalmente para cima, com aceleração
igual a g.
d) voar horizontalmente, em qualquer direção,
com aceleração igual a g
e) cair verticalmente de grande altura, em queda
livre.
(UEL-PR) Em 21 de junho de 2004, a nave espacial
SpaceShipOne realizou um feito memorável: foi o
primeiro veículo espacial concebido pela iniciati-
va privada a entrar em órbita em torno da Terra,
em uma altura pouco superior a 100 km. Durante
o intervalo de tempo em que a nave alcançou sua
máxima altitude, e com os motores praticamente
desligados, seu piloto abriu um pacote de confei-
tos de chocolates para vê-los flutuar no interior da
nave. Assinale a alternativa que apresenta correta-
mente a explicação da flutuação dos confeitos.
a) À gravidade é praticamente zero na altitude
indicada.
b) Não há campo gravitacional fora da atmosfera
da Terra.
© À força gravitacional da Terra é anulada pela
gravidade do Sol e da Lua.
d) As propriedades especiais do material de que
é feita a nave espacial blindam, em seu inte-
rior, o campo gravitacional da Terra.
e) Nave e objetos dentro dela estão em queda
livre, simulando uma situação de ausência de
gravidade.
Mackenzie-SP) Uma das observações científicas
mais interessantes, noticiada pelas emissoras
de TV, foi a do astronauta que, a bordo de uma
estação espacial, borrifou leite líquido contido
numa embalagem tradicional e, este, sob a falta
de gravidade, adentrou a boca do cientista como
uma “bola flutuante”. Considerando totalmente
desprezível a gravidade no local dessa experiên-
cia, duas “bolas” de leite de massas, respectiva-
mente iguais a m e 2m, terão seus pesos:
a) na proporção B z 3.
Ps
P,
b) na proporção 2 = 2.
B
`. P
c) na proporção P =
ty
N| =
d) na proporção = =
>
w| =
e) iguais a zero.
sovenosonsoneseosesonesoorosososososos sassssnassoseososecvoseososrerossoecoonoososessesesusssososessosorooasosvaonesvonosssocesoosesooseesepaorovesesuen
CarituLo 17 + A GRAVITAÇÃO UNIVERSAL 379 °
nosso Mundo
A Estação Espacial Internacional
A Estação Espacial Internacional (EEI), cuja construção teve início em 1998, pode ser considerada a primei-
ra grande base avançada da humanidade no espaço. Suas dimensões são gigantescas. Somente seus painéis
solares medem 110 metros de comprimento por 80 metros de largura. Sua massa é de aproximadamente
450 toneladas e seu volume interno destinado à habitação tem capacidade para sete tripulantes.
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E
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E
[s
Q
©
| i L BRR. « Astronautas durante atividades
extraveiculares, dando continuidade
à construção da Estação Espacial
Internacional, em dezembro de 2006.
Ao fundo, vêem-se a Nova Zelândia
e o Estreito Cook.
A órbita da EE] é inclinada 51,6º em relação à linha do equador e a sua altitude, em relação à superfície da
Terra, é de 402 quilômetros. Essa disposição permite a observação de 85% do território terrestre, possibili-
tando aos pesquisadores um estudo eficiente das mudanças no nosso ambiente. Seu período é de uma hora
e meia, com a velocidade linear aproximada de 28 mil km/h. Seu custo foi inicialmente orçado em cerca de
100 bilhões de dólares a serem rateados entre os 16 países sócios, incluindo o Brasil (0,12%). A participação
majoritária, técnica e financeira, é dos Estados Unidos (50%) seguida da Rússia (30%).
e Benefícios da EEI
A previsão do tempo com maior antecedência permitirá antecipar a ocorrência de muitos desastres
naturais, propiciando a prevenção de seus efeitos. O estudo dos micrometeoritos vai guiar os engenheiros
no desenvolvimento do design de naves e ônibus espaciais. Um grande progresso no campo industrial é
previsto. O centro de pesquisa em engenharia da EEI terá grande potencial para afetar a qualidade de vida
humana na Terra.
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Na área médica, os estudos científicos na EEI podem levar a novos medicamentos e a um novo enten-
dimento da vida. Os efeitos biológicos da baixa gravidade no corpo humano estão sendo testados, alguns
tratamentos de câncer serão verificados em culturas de células vivas, sem oferecer riscos para os pacientes,
além de muitos outros experimentos. Um bom exemplo das perspectivas desses estudos está na declaração
de John David Schumacher, um dos diretores da NASA, segundo o qual “um vírus ou uma bactéria apresenta
sua forma pura, sem deformidades do campo gravitacional, permitindo saber exatamente onde encontrar uma
brecha que permita a ação de um medicamento”.
Em abril de 2006, após um grande período de treinamen-
to, iniciado em 1998, o então tenente-coronel Marcos César
Pontes entrou para o seleto clube dos seres humanos que
visitaram o espaço. O astronauta brasileiro permaneceu na
EEI durante oito dias, realizando uma série de experiências
científicas, uma das quais visava estudar o efeito da micro-
gravidade na cinética das enzimas (velocidade das reações
químicas), que são proteínas produzidas por seres vivos.
AL MEL DEUS!
É A ÚLTIMA VEZ
QUE TRAGO
MINHA MÄGI
AGASALHE-SE,
RICARDINHO!!
E NÃO VOLTE
TARDE!
UNIVERSAL PRESS SYNDICATE
NIK / DIST. BY ATLANTIC SYNDICATION /
ek aa a a a a a a a a a a a A a A E
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A
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2
2
a
q
Si
zZ
a
=
m
L.28
L.29
Teste sua leitu
(Fuvest-SP) A Estação Espacial Internacional,
construída num esforço conjunto de diversos
países, orbita a Terra a uma distância do seu
centro igual a 1,05 do raio médio da Terra.
F
À razão r = F entre a força F; com que a
Terra atrai um corpo nessa Estação e a força
com que a Terra atrai o mesmo corpo na su-
perfície da Terra, é aproximadamente de:
a) 0,02 c) 0,10 e) 0,90
b) 0,05 d) 0,50
(Cefet-CE) Recentemente, o astronauta bra-
sileiro Cel. Marcos César Pontes esteve em
órbita e passou alguns dias na Estação Espa-
cial Internacional (EEN a 402 km de altitude,
onde experimentou um ambiente de micro-
gravidade. O ambiente de microgravidade
é a condição de quase ausência de efeitos
gravitacionais que é encontrada na órbita
da Terra. A falta de impacto gravitacional do
ambiente espacial provoca perda de massa
muscular nos astronautas, uma vez que a
resistência a ser vencida, para mover-se, é
sempre bem menor do que na Terra.
À O astronauta brasileiro Marcos César
Pontes sendo preparado para uma
missão, em março de 2006.
Em relação a este assunto, analise as propo-
sições a seguir e marque V ou F.
I. No ambiente de microgravidade da EEI,
não há aceleração e, desta forma, não
existem forças atuando sobre ela.
II. A Terra atrai a EEI com uma força de
mesma direção, mesmo sentido e mesma
intensidade que a força com a qual a EEI
atrai a Terra.
L.30
HI. Em relação à Terra, o Cel. Marcos César
Pontes, mesmo sem apresentar movimen-
to na estação, estava sob a ação de força.
IV. Na Terra, a resistência para movermo-nos
e vencer nossa inércia é maior que na EEFI,
face aos efeitos gravitacionais e atritos.
Com base na análise feita:
a) Hell são verdadeiras.
b) 1, Ile IV são falsas.
c) le I são falsas.
d) apenas a I é falsa.
e) apenas a IV é verdadeira.
(Colégio Naval-RJ) A figura representa, de
forma rudimentar, a Estação Espacial Inter-
nacional (EED em órbita ao redor da Terra
onde, em março de 2006, esteve o primeiro
astronauta brasileiro.
Em relação aos corpos em órbita, é correto
afirmar que:
a) só não caem sobre a Terra porque a gravi-
dade, em órbita, é nula e isso impossibilita
a queda dos corpos.
b) devido à ausência de gravidade, não
sofrem aceleração e, por isso, giram
vagarosamente ao redor da Terra.
c) realizam movimento uniforme, porque a
aceleração resultante (gravidade) é nula.
d) por causa da gravidade, é necessário que
os corpos tenham propuisão própria para
poderem permanecer em órbita.
e) sem tocar o solo, eles caem indefinidamen-
te em direção à Terra, devido à ação da
gravidade.
Ns dos Dre CI PES DONDE GA NE CO CE on e aaa sa dai sa CERA Ped Senda o pas Pepe nan den e pa ssa e rd CA dd dae a dr a EEE ER Da E sedes pr E sad
O astrônomo alemão JOHANNES KEPLER
(1571-1630) entrou para a história como o “legisla-
dor dos céus”. Essa alcunha deveu-se ao fato de ter
sido ele, a partir do modelo heliocêntrico proposto
por Copérnico, o primeiro a estabelecer as leis que
descrevem o movimento dos planetas em torno do
Sol. Entretanto, não foi fácil o caminho que seguiu
até essa descoberta.
Kepler nasceu na cidade protestante de Weil
der Stadt, na Suábia, Alemanha. Desde cedo man-
teve relações tumultuadas com a família. Casou-se
duas vezes e teve 13 filhos, dos quais a maioria
morreu ao nascer ou na primeira infância.
Quando jovem, Kepler foi educado em esco-
las religiosas, pois seus pais determinaram que
deveria ser pastor protestante. Na Universidade
de Tübingen, no ducado de Württemberg, dedi-
cou-se por cinco anos ao estudo de teologia (de
1589 a 1594). Durante esse período, começou
a desenvolver o gosto pela Matemática e pela
Astronomia, devido principalmente ao convívio
com seu professor Michael Mástlin (1550-1631),
em quem encontrou não só um mestre, mas um
grande amigo, que lhe ensinou tanto o modelo
geocêntrico de Ptolomeu quanto a nova proposta
de Nicolau Copérnico. Abandonando definitiva-
mente a carreira religiosa, em 1594, Kepler pas-
sou a ocupar o cargo de professor de Matemática
na escola provincial de Graz, onde permaneceu
até 1600.
E
AKG-LATINSTOCK
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Embora usasse com fregiiência seus co-
nhecimentos astronômicos para elaborar ho-
róscopos dos poderosos da época e levantar
recursos, sua maior dedicação era o estudo dos
movimentos planetários.
A convite do astrônomo dinamarquês
Tycho Brahe, de quem se tornou assistente,
mudou-se para Praga. Apesar das muitas de-
savenças entre os dois, o contato com Brahe
serviu de impulso para Kepler direcionar os
novos rumos que daria para a Astronomia. Ao
tomar conhecimento e analisar as minuciosas
observações de Brahe em relação ao planeta
Marte, Kepler abandonou definitivamente a
idéia de órbita circular, que mantinha até então
e estabeleceu uma formulação matemática que
o levou à órbita elíptica.
Em 1601, com a morte de Tycho Brahe,
Kepler substituiu-o no posto de Matemático
Imperial da corte do rei Rodolfo Il da Germânia,
permanecendo nesse cargo até 1612. É o pe-
ríodo mais profícuo da vida de Kepler, época
em que estabelece as duas primeiras leis dos
movimentos planetários.
Sentindo-se pouco seguro em Praga devido
a conflitos políticos e religiosos, resolveu procu-
rar outro local de trabalho. Em maio de 1612,
após a morte da mulher, mudou-se para Linz,
na Áustria, onde ocupou o cargo de matemático
distrital e professor da escola local. Pouco de-
pois outro fato lhe veio encher de preocupação.
Sua mãe, em 1615, foi acusada de bruxaria e
submetida a um longo processo judicial du-
rante o qual chegou a ser submetida a tortura.
Kepler envolveu-se com grande empenho nesse
episódio, para livrá-la da condenação à morte.
A libertação da mãe só aconteceu em 1621,
mas seis meses depois ela viria a falecer.
Apesar dos contratempos durante esses
anos, Kepler prosseguiu com suas pesquisas e
enunciou, em maio de 1615, sua terceira lei,
culminando seu trabalho com a publicação,
em 1619, de sua obra mais importante, Harmo-
nia dos mundos (Harmonice mundi). Embora
tivesse cogitado que o Sol, de alguma manei-
ra, controlava o movimento dos planetas, ele
não conseguiu estabelecer como se dava esse
controle. Entretanto, suas três leis vieram con-
cretizar a fundação de um cálculo astronômico
inteiramente novo, abrindo caminho para que,
50 anos mais tarde, Newton pudesse estabele-
cer sua lei da Gravitação Universal.
CarítuLo 17 + A Gravitação UNIVERSAL
Enquanto isso...
Consulte a Linha do tempo, nas
primeiras páginas deste volume, onde
são destacados os principais aconte-
cimentos históricos que ocorreram na
época de Johannes Kepler e personagens
importantes, em vários ramos de ativida-
des, que viveram nesse mesmo período.
Dentre eles, salientamos:
Tycho Brahe (1546-1601) foi um
astrônomo observacional da era an-
terior à invenção do telescópio; suas
observações da posição das estrelas e
dos planetas alcançaram uma precisão
sem paralelo para a época.
Luiz Vaz de Camões (1524?-1580) é
considerado o maior poeta de Língua
Portuguesa e um dos maiores da hu-
manidade. Sua obra mais significativa
é a epopéia Os Lusíadas.
Félix Lope de Vega (1562-1635), dra-
maturgo e poeta espanhol, é o funda-
dor da comédia espanhola e um dos
mais prolíficos autores da literatura
universal.
Girolamo Frescobaldi (1583-1643),
músico italiano, é considerado um
dos maiores compositores de música
para cravo do século XVII. São famosas
suas tocatas, publicadas entre 1615
e 1627.
Jean Bodin (1530-1596), jurista e fi-
lósofo francês, membro do parlamento
de Paris, é considerado o “pai” da Ciên-
cia Política, devido à sua teoria sobre
soberania. Com base nessa teoria,
legitimou o poder do homem sobre a
mulher.
William Gilbert (1544-1603), físico e
médico da rainha Elizabeth I, da In-
glaterra, foi um dos primeiros a estu-
dar o magnetismo terrestre, propondo
uma explicação para o comportamento
da bússola, em sua obra De Magnete.
Michel Eyquem Montaigne (1533-
1592), escritor e ensaísta francês, é
considerado por muitos o inventor do
ensaio pessoal. Em suas obras, anali-
sou as instituições, as opiniões e os
costumes de sua época. É considerado
um filósofo cético e humanista.
Q oa
Com muita técnica e
habilidade, acrobatas
do Circo de Pequim
conseguem montar uma
estrutura de pessoas em
equilíbrio sobre duas
bicicletas.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998,
Wi Neste capítulo analisamos sistemas de forças e
indicamos como se determina sua resultante.
Em seguida aplicamos esses conceitos ao equilíbrio
do ponto material.
No cabo-de-guerra representado na foto, temos
uma situação de equilíbrio do ponto comum aos
três fios.
1. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
2. DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE
DE UM SISTEMA DE FORÇAS
3. EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL
EB 1. Resultante de um sistema de forças
Considere um sistema de forças F, E, ce, E, de pontos de aplicação P,, Pa, ..., Pa, respectivamente
(figura 1a). A soma vetorial de F, F, r F, é denominada resultante do sistema de forças.
Se o sistema de forças estiver aplicado a um ponto material (figura 1b), a resultante é a força que,
aplicada ao ponto material, produz o mesmo efeito que o sistema de forças.
Indicando a resultante por F, podemos escrever: F, = F + F + + F,
Para a obtenção da resultante valem as regras já estudadas para a soma de vetores.
a) F b) E
P, —
P, F,
e P
P,
F
Figura 1. a) Sistema de forças. b) Sistema de forças aplicadas a um ponto material P.
~
to
—
F
n
B.. Determinação da resultante de um sistema de forças
Vamos supor que um sistema de n forças conhecidas, P, Pa ooe F, esteja aplicado a um ponto ma-
terial P (figura 2a). A resultante é obtida da seguinte maneira: os segmentos orientados que representam
as forças são dispostos de modo a tornarem-se consecutivos, isto é, a extremidade do primeiro coincide
com a origem do segundo, e assim por diante. A figura assim obtida (figura 2b) recebe o nome de linha
poligonal das forças. A resultante é representada pelo segmento orientado, cuja origem é a origem do
primeiro, e a extremidade é a extremidade do último (figura 2c).
b) => y ---- c)
F
n
Q: origem arbitrária
Figura 2. a) Ponto material sob a ação de n forças. b) Os segmentos orientados, tornados consecutivos,
definem a linha poligonal das forças. c) O segmento orientado que fecha a linha poligonal das forças
representa a resultante das n forças que atuam sobre o ponto material.
anenasor CURAR CANOAS CULMINANDO LNCC NC CURTLO RCA CONCORDA DURON CREDO LA CUCA RUA UA Ren CA CU DON Ur CURAR sra tra sent cano sen sa va
CarítuLo 18 © Sistema DE FORÇAS APLICADAS A UM Ponto MATERIAL. EQUILÍBRIO DO Ponto MATERIAL 385 e
A ordem de colocação dos segmentos orientados, que são representações das forças, não altera o
resultado final.
Se a extremidade do último segmento orientado coincidir com a origem do primeiro (linha poligonal
fechada), a resultante do sistema de forças será nula.
Se a linha poligonal das forças for fechada, a resultante será nula.
Além da determinação gráfica da resultante pela linha poligonal das forças, podemos determiná-la
analiticamente, empregando o método das projeções: tomamos um sistema cartesiano no plano das
forças e determinamos as projeções de E, È, i ,E, segundo os eixos x e y. Sejam F,,, Fz, ..., Fa, aS projeções
em relação ao eixo x e Fy Poyi reu F, em relação ao eixo y (figura 3).
Projeções ortogonais deu uma a força F
Seja 8 o ângulo de Fcom o eixo x. As projeções or- |
togonais de Fem relação aos eixos x e y são dadas |
respectivamente por:
F, = F- cos0e F, = F- seno |
|
p
|
|
|
|
|
Figura 3. |
. e. =» ` E . .
Sendo f e Fr, as projeções de R respectivamente em relação aos eixos x e y e sabendo-se que a proje-
ção da resultante num eixo é a soma algébrica das projeções das forças componentes, resulta:
A intensidade da força resultante é obtida pela aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retân-
gulo destacado na figura 3:
R R
2.1. Sistemas de duas forças: casos particulares
E a) Forças colineares
Se as forças F e F, tiverem a mesma direção e o mesmo sentido, a resultante [a terá a mesma direção
e o mesmo sentido das forças componentes, e intensidade igual à soma das intensidades (figura 4):
A F É É C — —> ->
— > >
F a ip R= R EL F,
Pe y — —
E Fr R= A+
R
Figura 4. Os segmentos orientados AB e BC, que são representações de F, e F, foram tornados consecutivos (ponto
B comum). A força resultante Fa é é representada pelo segmento orientado de origem A e extremidade C.
POPRCNCLINON CLODOALDO CLDOULAOONDEOO CRC LUSLNECO NANA UEL ONDA DO DOSDOL LULU OCO SORT SOU AS RD Rar Oss esc no nSo nas
s 386 Os FUNDAMENTOS DA FÍsICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Se as forças F e F, tiverem a mesma direção e sentidos opostos, a
resultante F terá a mesma direção das forças componentes e o sentido
será o mesmo da componente de maior intensidade. Sua intensi-
dade será igual à diferença entre as intensidades (intensidade da maior
menos a intensidade da menor). Supondo F, > F, (figura 5), resulta: 5
|
— — > tm
F, P F, A R, B Fe = A + h Q
—; > R =b-F, (E >R)
R C F
Figura 5.
E b) Forças não-colineares
Considere agora que o ponto material P esteja sob a ação de duas
forças conhecidas F e F, não-colineares. A resultante F, pode ser
obtida por meio da linha poligonal das forças ou simplesmente pela
aplicação da regra do paralelogramo: a resultante Ré representada
pela diagonal orientada do paralelogramo que passa por P e cujos lados
orientados são representações de F e F, (figura 6).
Para a determinação da intensidade da resultante, podemos aplicar Figura 6.
a lei dos cossenos ao triângulo PBC destacado na figura 6.
Fè = Fi + F} — 2Ff, » cos (180° — a)
Sendo cos (180º — q) = —cos q, resulta:
Fè = Fi + F+ 2AA. cosa |f
l No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph24br/
' forceresol.htm (acesso em 23/2/2007), por meio de uma simulação você pode
| , analisar as 's componentes de uma força.
ann anmenn ronan
oq
©
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Reu
5
©
o
o
©
x
o
Exercícios
.Xesolvidos
: Duas forças de intensidade F, e F,, sendo F, > F,, agem sobre um ponto ma-
terial. Variando-se o ângulo q entre as forças de 0º até 180º (0º = o = 180º),
qual será o correspondente intervalo de variação da intensidade F, da
resultante? os F,
Solução: ee
No caso g = 0° (figura a), temos: R =A+tA © R=F +F,
Para a = 180º (figura b), vem: Rk =R -5A © ,
Figura a
Para um valor qualquer de o diferente de 0º e 180°, podemos aplicar a regra
do paralelogramo (figura c). Aplicando ao triângulo destacado a propriedade
que diz “em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma F, R,
das medidas dos outros dois e maior que a diferença”, resulta:
E-A<R<B+F ©
Reunindo as condições (1), © e ©, temos:
F-hshSB+F
Vamos ilustrar esse exercício com um exemplo numérico.
Se F = 10 N e F, = 15N, a intensidade da força resultante, dependendo do
ângulo entre as forças, assume valores entre F, - F, = 5N eF, + F = 25N,
isto é: 5 N=/,=25N
Resposta: F, -FH<hs<b+FH,
COILO DOC SULCLLACLO ILESO CANELAS DO CORO OCA CUL D ON CANTADA SORO SANS ORO LULAS DOCS CRU Ra anna o cansa pra na sete secas asda
Carítuio 18 e Sistema DE FORÇAS APLICADAS A UM Ponto MATERIAL. EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL 387 e
Duas forças de mesma intensidade F = 20 N atuam sobre um ponto material. O ângulo entre as forças é de 120º.
Determine a intensidade da resultante.
Solução:
Pela lei dos cossenos, temos:
FÈ = F° + F° + 2FF- cos 120º
F= 20º + 20º + 2-20-20- (F)
Fr =20N
Observe, nesse caso (a = 120º e forças de mesma in- F
tensidade), que a resultante tem mesma intensidade
que as forças componentes. 120º
Podemos ainda resolver esse exercício determinando
a resultante graficamente pelo método da linha poli-
gonal, que nos conduz a um triângulo eqüilátero. F
F/ 60º NF
Portanto: | =F=20N
60º 60°
Resposta: 20 N R
Duas forças F e F, de intensidades 20 N e 10 N,
respectivamente, atuam sobre um ponto material,
conforme indica a figura. Determine graficamente
a resultante pelo método da linha poligonal e pela
regra do paralelogramo. Em seguida, determine a
intensidade e a direção da resultante pelo método
das projeções.
Solução:
Nas figuras ao lado, mostramos a resultante F ob-
tida graficamente pelo método da linha poligonal e =
pela regra do paralelogramo.
Para a determinação das características da resultan-
te pelo método das projeções, adotamos um sistema —
cartesiano com a origem coincidente com P. !
n
sn,
Projeções em x:
Fo-h > F,=20N
1
F, = ~F: cos 60° > F, 10+ 5 > k, =-5N
Sendo Fk, = Fi, + E,, temos:
F =20N-5N > R =15N
Projeções em y:
F,=0
F,, = F, sen 60° > Fo 10: Ba F, = 5/3 N
Sendo fr, = F, + Fo, vem: Fa, = 5/3 N
A intensidade F, da resultante é dada por: F = JR + F => R = 4405F + 6V3% > F, = 103 N
x y
A direção de F, forma com os eixos x e y ângulos 6, e 9, tais que:
F,
Ro 1003 23 2
F.
cos 9, = = > > cos, =
Resposta: 10/3 N; 30º com o eixo x e 60º com o eixo y
DO | ma
Fo 10/3 2
e 388 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art, 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.461 Duas forças de intensidades 3 Ne 7 N, respectivamente, atuam sobre um ponto material. Em que intervalo está
compreendida a intensidade da resultante?
P.462 Duas forças de mesma intensidade F, formando um ângulo de 60º, atuam sobre um ponto material. Qual é a
intensidade da resultante?
P.463 Um ponto material está sob a ação de três forças, conforme indica a figura.
Determine a intensidade da resultante. Dados:
F =3N
=5N
F,=2N
a+ B=90º
sena = 0,6
cosa = 0,8
B.. Equilíbrio de um ponto material
Um ponto material está em equilíbrio, num dado referencial, quando sua velocidade vetorial perma-
nece constante com o tempo; assim, se a velocidade vetorial é constante, a aceleração vetorial é nula, e
do princípio fundamental da Dinâmica (E = ma) concluímos:
A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em equilíbrio deve ser constan-
temente nula R= 5.
3.1. Método da linha poligonal das forças
A resultante sendo nula, a linha poligonal das b)
forças é fechada. F
Na figura 7a, temos um ponto material P em equi- sen 0 = LL
líbrio sob ação de três forças. Na figura 7b, representa- - F,
mos a linha poligonal dessas forças, que é fechada. F É cos g= fe
F,
Figura 7.
3.2. Método das projeções
Considere um ponto material sob a ação de um sistema de forças F, E, . , E. Adote um sistema
cartesiano situado no plano das forças. Sendo a resultante nula R= 0), decorre que suas projeções nos
eixos x e y são nulas (R, = 0 e R, = 0). Sendo A, Foy ..., +, € Fi Fay = Fn, aS projeções de F, E, ce, F,
nos eixos x e y, respectivamente, de acordo com o que vimos no item 2 deste capítulo, resulta:
FR,=0ouk +R, +
F,=00uh,+h +
Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças estiver em equilíbrio, as somas
algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos perpendiculares e pertencentes ao plano das
forças sé são nulas.
Portanto, o o estudo de equilíbrio det um n ponto m material sob. ação o deu um sistema a de forças coplanares
nos fornece duas equações escalares.
Carítuio 18 e Sistema DE FORÇAS APLICADAS A UM Ponto MATERIAL. EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL 389 e
hy
>
kazi
+3
tm
enonesençu
Exercícios
Jesolvidos
+ > —
Um ponto material está em equilíbrio sob ação de três forças A, F, e F}, que não têm a mesma direção. Prove
que as três forças estão necessariamente no mesmo plano.
Solução:
Basta o observar que qualquer uma das forças (por exemplo E 3) tem que, anular a resultante (E) das « outras duas
(F, e E), pois é dado que o ponto material está em equilíbrio. Como R está no mesmo plano de F e E, pois é
a resultante delas, então E, que anula F, também pertence a esse plano.
Æ | Entre na rede S
| No endereço eletrônico http://www.walter-fendt. |
| de/ph24br/equilibrium | br.htm (acesso em 23/2/2007), |
: você pode estudar situações de equilíbrio de um ponto
| material.
sera ria ir aa ra nino re amar nona annaa
F
Observação:
De acordo com o exercício R.173, podemos escrever F, — F © R $ A, + F, supondo F, > F, Por outro lado,
sendo A; = Fp vem: | -F<hsb+h
Portanto, se um ponto material estiver em equilíbrio sob a ação de três forças, conhecidas as intensidades
F, e F, de duas delas, podemos determinar o intervalo em que deve estar compreendida a intensidade F, da
terceira.
- Determine as trações T nos fios ideais AB e BC, sabendo-se que o
sistema está em equilíbrio na posição indicada.
Dados: P = 90 N; sen 6 = 0,6; cos 6 = 0,8
Solução:
Isolemos o ponto B, onde concorrem os três fios. Observe que a
tração no fio vertical tem módulo igual ao peso P. Vamos resolver
este exercício, inicialmente, pelo método das projeções.
Projeções em x:
Tsa — Tec cos0=0
To = Tgc' cos O
Taa = Tec'08 ©
Projeções em y:
Teco senO— P=0
Toc: sen 8 =P
Tac" 0,6 = 90
Tec = 150 N
Em OD, vem: Ta, = 150 -0,8 > | Tas = 120N
Outro método de resolução é o da linha poligonal das forças,
que deve ser fechada. No caso em questão, sendo um triângulo
retângulo, vem:
sen 8 P = 0,6 = So = | Tac = 150N
T, T,
BC BC
T, Taa
cosð = É => 08 = É Toa = 120 N
Tyc 150 > (aT 120
Resposta: Tac = 150 N; Tas = 120 N
esossonueeseossusnososnousuososovoasssosassozoseseuesesesseseseocsusnosssressuosessessssesosevsssesesonserpssessesssespacarosanseroecessesoson
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Para o sistema da figura, em equilíbrio, qual é a relação entre os
pesos P, e P dos corpos À e B? Os fios e as polias são ideais.
Solução:
Isolemos o ponto Conde concorrem os três fios. Observe que a tra-
ção no fio vertical tem módulo igual ao peso P, e no fio horizontal
tem módulo igual ao peso Px, pois o sistema está em equilíbrio.
Projeções em x:
Pp—-T,:cos60º=0 > P,=T:
DO | ma
Projeções em y:
T, « sen 60º
T, + cos 60º
cia de movimento. Determine o coeficiente de atrito u entre o corpo
A e o plano horizontal. Os fios são ideais.
São dados:
pesos dos corpos À e B: P, = 200 N e P, = 100 N
sen 9 = 0,8 e cos 8 = 0,6
Solução:
Isolemos o corpo À e o ponto C:
Como o corpo À está em equilíbrio, temos: T = f,. Como o corpo
está na iminência de movimento, podemos escrever fy, = UFA.
Sendo A, = P,, vem:
T=uP O
Como o ponto C está em equilíbrio, temos:
Projeções em x: T, -cos0 - T=0 > 7,-0,6=T ©
Projeções em y: T, » sen 0 — P; = 0 => T,-0,8 =P, ©
Dividindo-se, membro a membro, © por ®©, resulta: 0,6 =
T
0,8 B
3 3 3
De ©, sendo T = uP, vem: uP, = a Ps = u:200 = 4 -100 > lu= 3
3
Resposta: 3
Carítuio 18 e SisTEMA DE FORÇAS APLICADAS A UM Ponto MarERIAL. EQUILÍBRIO DO Ponto MATERIAL 391 e
P.464
P.465
P.466
Na figura ao lado o corpo suspenso tem massa igual a 2 kg. Os
fios têm pesos desprezíveis e o sistema está em equilíbrio estático
(repouso). Determine as trações nos fios AB e BC. (Dados: g = 10 m/s”;
sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87)
No sistema em equilíbrio esquematizado, o fio BC deve permanecer
horizontal. Os fios e a polia são ideais. Sendo M, = 3kgeg = 10 m/s”,
determine:
a) a tração no fio AB;
b) o peso do bloco 2.
(Faap-SP) Uma corda AB tem a sua extremidade À fixa, enquanto
a outra B está ligada ao bloco M em forma de paralelepípedo de
peso 120 N. Esse bloco repousa sobre um plano horizontal. O coe-
ficiente de atrito entre o plano e o bloco é 0,30. Em um ponto C da
corda é dependurado um peso Q tal que o ângulo formado pelo
trecho AC com a horizontal seja 60º; o trecho CB é horizontal.
(Adotar g = 10 m/s”)
a) Qual a força de atrito exercida pelo plano sobre o bloco quando ele
estiver na iminência de movimento?
b) Qual o peso máximo que se pode pendurar em C?
Exercícios propostos
P.467
P.468
-de recapitulação
(UFRJ) Os antigos romanos foram os primeiros a usar extensiva-
mente o arco arquitetônico em suas construções. A propriedade
mais notável do arco é que as pedras que o compõem permanecem
em equilíbrio devido somente às forças mútuas de contato, sem
necessidade de argamassa para cimentá-las umas às outras.
Considere que o arco representado na figura ao lado está, desse modo,
em equilíbrio e que cada uma de suas pedras pesa 150 N. Determine a
direção e o sentido da resultante das forças que as pedras laterais D e
E exercem sobre a pedra central Ce calcule seu módulo.
(UFJF-MG) Uma equilibrista de massa m = 70 kg encontra-se na
metade da extensão de uma corda, presa na mesma altura de duas
paredes A e B, como mostra a figura. À corda faz um ângulo q = 30º
com a horizontal. A massa da corda é muito pequena comparada
com a massa da equilibrista.
a) Desenhe setas que indiquem a direção e o sentido das forças que
a corda exerce sobre as paredes 4 e B.
b) Desenhe uma seta que indique a direção e o sentido da força que
a corda exerce sobre a equilibrista.
c) Calcule o módulo da força T, exercida pela corda na parede B.
J3
Dados: cos 30º = E :sen 30º = =: g=10 m/s
30º A
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P.469 (UFPE) A figura mostra um peso de 44 N suspenso no ponto
P.470
P.471
P.472
P.473
P de uma corda. Os trechos AP e BP da corda formam um
ângulo de 90°, e o ângulo entre BP e o teto é igual a 60°. Qual
é o valor, em newtons, da tração no trecho AP da corda?
Dados:
; sen 60° = s3
l
30° = —
sen 2 2
(Vunesp) Um semáforo pesando 100 N está pendurado por
três cabos conforme ilustra a figura. Os cabos 1 e 2 formam
ângulos «& e À com a horizontal, respectivamente.
a) Em qual situação as tensões nos fios 1 e 2 serão iguais?
b) Considerando o caso em que « = 30º e B = 60º, determine
as tensões nos cabos 1,2 e 3.
V3
Dados: sen 30º = 1. sen 60º = —
2 2
(Uerj) Considere o sistema em equilíbrio representado na
figura ao lado. O corpo A tem massa m, e pode deslizar ao
longo do eixo A; o corpo B tem massa m,; a roldana é fixa e
ideal; o eixo vertical A é rígido, retilíneo e fixo entre o teto e
o solo; o fio que liga os corpos À e B é inextensível.
Sabendo-se que m, > m, e desprezando-se todos os atritos:
a) escreva, na forma de uma expressão trigonométrica, a
condição de equilíbrio do sistema, envolvendo o ângulo
9 e as massas de À e B;
b) explique, analisando as forças que atuam no bloco 4, o
que ocorrerá com o mesmo se ele for deslocado ligeira-
mente para baixo e, em seguida, abandonado.
(UFJF-MG) Na figura ao lado, representamos o maxilar inferior
de uma pessoa. Na tentativa de colocar o primeiro molar na
posição correta, podemos ligá-lo aos dentes incisivo e tercei-
ro molar por meio de dois elásticos (A e B) cujas constantes
elásticas são k = 2/2 N/m. O elástico A é fixo e produz uma
força elástica de intensidade constante igual a J3 “10720.
Um parafuso P é preso ao elástico B, de tal forma que, ao
girá-lo, o elástico estica 1 mm a cada volta completa. Quan-
tas voltas devemos dar no parafuso para que o dente seja
puxado somente na direção x, sabendo que o elástico B esta-
va inicialmente em sua posição natural de equilíbrio?
Dados:
sen 45º = cos 45º = y2. cos 60° = l = J3
—: sen 60º =
2 2
(FEE-SP) Um corpo de peso P = 50 N está apoiado num plano
inclinado de 30º com a horizontal. O coeficiente de atrito es-
tático entre o corpo e o plano é u = 0,2. Um segundo corpo
de peso Q está preso ao primeiro por meio de um fio que
passa por uma polia sem atrito. Entre que limites pode variar
o peso Q de forma que o sistema permaneça em repouso?
Poderá ser nula a força de atrito entre o corpo e o plano
inclinado? Justifique. (Dados: sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87)
CarítuLto 18 * Sistema DE Forças APLICADAS A UM Ponto MarERIAL. EQuitíBRIO DO PONTO MATERIAL
T371 (Fuvest-SP) Para vencer o atrito e deslocar um
grande contêiner C, na direção indicada, é neces-
sária uma força F = 500 N. Na tentativa de movê-
lo, blocos de massa m = 15 kg são pendurados
em um fio, que é esticado entre o contêiner e o
ponto P na parede, como na figura. Para movi-
mentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no
mínimo:
a) 1 bloco c) 3 blocos e) 5 blocos
b) 2 blocos d) 4 blocos
(Fesp-SP) O módulo da resultante do sistema de
forças que age sobre a partícula da figura vale:
a) 200 N ©) 500N e) 150N
b) 300 N d) 100 N
(Dados: sen 37° = 0,60; cos 37º = 0,80)
100 N 100 N
200 N
sen 45° = cos 45° = 0,7;
tg 45° = 1; g = 10 m/s
T.368. (PUC-SP) Um corpo está sujeito a um sistema de
três forças concorrentes. As intensidades de duas
delas são 5 Ne 20 N. Quanto à intensidade da
terceira força f, para que haja equilíbrio ela deve
satisfazer à desigualdade:
45º
1
'
1
i
i
1
1
1
1
a) fs 5N d) 15N=<f=25N =
b5N=f=20N e fz=5N i
O f> 25N
T372 (Mackenzie-SP) Na figura, E é uma esfera de peso
(Mackenzie-SP) Um corpo, que está sob a ação
de 3 forças coplanares de mesmo módulo, está
em equilíbrio. Assinale a alternativa na qual esta
situação é possível.
a) d)
40043 N, em equilíbrio, apoiada sobre um plano
horizontal indeformável.
e das roldanas, bem como todos os atritos, pode-
mos afirmar que os valores da reação do apoio F
e do ângulo o são respectivamente:
9
a) 100/3 N e 60° © 2004/3 N e 30°
135° b) 400/3 N e 90° d) 4003 N e 60°
3 (Unama-PA) No sistema esquematizado na fi-
gura abaixo, o corpo A tem massa m, = 10,0 kg
e repousa sobre uma superfície horizontal com
atrito.
(Uerj) Na figura ao lado,
a corda ideal suporta
um homem pendurado
num ponto eqüidistan-
te dos dois apoios (A, e
A»), a uma certa altura
do solo, formando um
ângulo 9 de 120º.
À razão T entre as intensidades da força de
tração na corda (T) e do peso do homem (P)
corresponde a:
1 1
d7 b) 5 91 d2
|
|
45º
e)
105º 120º
Desprezando-se os pesos dos fios (inextensíveis)
|
}
“394 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Sabendo-se que mp, = 2,0 kg é o maior valor da
massa do corpo B que o sistema pode suportar
ainda em equilíbrio, então o coeficiente de atrito
estático u, entre a superfície e o corpo A vale:
a) 0,10 b)0,20 © 0,30 d)0,40 e) 0,50
(Mackenzie-SP) No esquema representado, o ho-
mem exerce sobre a corda uma força de 120 Neo
sistema ideal se encontra em equilíbrio. O peso da
carga Q é:
a) 120N ©) 240 N e) 480 N
b) 200 N d) 316 N
(Dados: sen 9 = 0,6; cos O = 0,8)
T.375 (IME-RJ) Um bloco de massa M = 20 kg está pendu-
rado por três cabos em repouso, conforme mostra
a figura. Considerando a aceleração da gravidade
iguala 10 m/s?, V2 = 1,414e 3 = 1,732, os valo-
res das forças de tração, em newtons, nos cabos
1l e 2 são, respectivamente:
a) 146 e 179 c) 200 e 146 e) 146 e 200
b) 179 e 146 d) 200 e 179
1,732 m 1,000 m
1,000 m
r
'
'
1
i
'
'
i
1
,
'
1
| Taa
* (Vunesp) Um corpo de massa m e peso Pestá sus-
penso por dois fios, 1 e 2, da maneira mostrada
na figura da esquerda. A figura da direita mostra,
em escala, as forças F e F, que equilibram o peso
P, exercidas, respectivamente, pelos fios 1 e 2
sobre o corpo.
Escala
7 Canto,
1N
A partir dessas informações, pode-se concluir
que o módulo (intensidade) do peso P vale, em
newtons:
a 0,0 b20 930 D40 50
|
|
f
|
:
|
i
|
- (Uerj) Em uma sessão de fisioterapia, a perna de
um paciente acidentado é submetida a uma força
de tração que depende do ângulo &, como indica
a figura. O ângulo o. varia deslocando-se a roldana
R sobre a horizontal. Se, para um mesmo peso P,
o fisioterapeuta muda « de 60º para 45º, o valor
da tração na perna fica multiplicado por:
a) v3 b) V2 o Ë a Ê
2
2
Dados: sen 45° = 2 ; sen 60º =
E E (KING, A. R. e REGEV, O. Physics with
R answers. Cambridge, Cambridge
P University Press, 1997.)
8 (Mackenzie-SP) No sistema abaixo, o peso P está
preso ao fio AB por uma argola. Despreze os atri-
tos. Levando a extremidade À do fio ao encontro
da extremidade B, a intensidade da tração no
fio OA é sempre igual à do fio OB e varia com o
ângulo 9 conforme o gráfico dado.
A
o 8
O
Had 0 30º 60º 90º 8
O peso P vale:
a) 150N o) 80N e) 10N
b) 100N d) 50 N
9 Um corpo de massa M é pendurado de cinco ma-
neiras diferentes numa corda que tem suas duas
extremidades fixas, como mostram as figuras a
seguir.
(i) (111) (V)
A maior força na corda ocorre em:
a) I b) Il c) TI d) IV e) V
CapituLo 18 e Sistema DE Forças APLICADAS a UM Ponto MATERIAL. EQuiLíBriO DO Ponto MATERIAL
1. MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO E Neste capítulo, estudamos inicialmente os conceitos
2. BINÁRIO de momento de uma força e de binário.
3. EQUILÍBRIO DOS CORPOS EXTENSOS Analisamos também as condições de equilíbrio
4. TEOREMA DAS TRÊS FORÇAS dos corpos extensos, como no sistema representado
na foto.
5. TIPOS DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO
OB 1. Momento de uma força em relação a um ponto
Chama-se momento” de uma força F aplicada num ponto P, em relação a um ponto O, ao produto
da intensidade F da força pela distância d do ponto O à linha de ação da força (figura 1):
Por convenção, o momento pode ser positivo ou negativo. Adota-se o sinal (+) se a força F tende a
girar o segmento OP em torno de O no sentido anti-horário, e (—) no sentido horário.
O ponto O é denominado pólo, e a distância d, braço.
A unidade de momento no Sistema Internacional de Unidades (Sl) é newton x metro (N - m).
Linha de ação de F
Figura 1. A linha de ação da
força F é a reta que passa pelo A Aumentando o braço da força aplicada na chave de roda, fica
ponto P e na direção de F. mais fácil a remoção dos parafusos para a troca do pneu.
* O momento de uma força em relação a um ponto, também denominado torque, é uma grandeza vetorial.
No nosso curso, por serem as forças coplanares (pertencentes ao mesmo plano), definimos apenas a intensidade
e fizemos uma convenção de sinais.
acencasuna PEROLA RANCO SA CAMERAS DRNC DONO NLCOSANCLRAEASUORLO DC O DONAS SLC RC CREDO DA ONA RCC NESSE DA DOUTA ORA URNA OA OU User nen cane seca to stands
e 396 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
RDO SANTALIESTRA / CID
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.640 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.474
Uma barra OA situada num plano vertical pode girar em torno do ponto de suspensão O. Determine o momento
da força F de intensidade 10 N em relação ao ponto O nos casos indicados abaixo:
a) F. am
Solução:
Nas situações (a) e (b) os momentos são nulos, pois são nulas as distâncias de O às linhas de ação das forças.
Observe nesses casos que a força F não tende a produzir rotação da barra OA em torno de O.
c) Da definição de momento, e observando que F tende a produzir rotação de OB em torno de O no sentido
anti-horário, temos Mo = +Fd. Sendo F = 10N e d = 0,2 m, vem:
d) Nesse caso, d = 0,5 m. Portanto: Mọ = +Fd = 10-05 >
Respostas: a) zero; b) zero; c)2N-m; d)5N-m
Observação:
Nas situações (c) e (d) os momentos não são nulos e as forças tendem a produzir rotação da barra OA em torno
de O. Observe que na situação (d) é mais fácil fazer girar a barra em torno de O (maior momento em módulo)
do que em (c). Dessa maneira podemos dizer que: o momento da força Fem relação ao ponto O mede a efi-
ciência da força em produzir rotação da barra em torno desse ponto.
Determine o momento da força F indicada na figura ao
lado em relação ao ponto O.
Dados: F = 10 N; d = 1 m; 8 = 60º
Solução:
Vamos inicialmente decompor a força F na direção da
barra e na direção perpendicular à barra. O momento de
Fem relação a O é igual ao momento de F em relação a
O, pois o momento de F, é nulo.
Assim: Mo, = Mor = +Fd (sentido anti-horário)
Sendo F, = F- cos 6, vem:
Mo = F: cosd > My,=10:cos60º-1 =
Resposta: 5 Nm
Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relação ao ponto O.
a) b)
CarítuLo 19 e Equitisrio DOS Corpos ExTENSOS 397 e
3 2. Binário Ex
Binário é um sistema constituído de duas forças de mesma intensidade, mes-
ma direção e sentidos opostos, cujas linhas de ação estão a uma certa distância E
d (figura 2). A distância d chama-se braço do binário. Q
2.1. Momento do binário
O momento do binário é a soma algébrica dos momentos das forças que o
constituem. Assim, considerando um pólo O arbitrário (figura 3) e levando em Ps
conta a convenção de sinais, vem: Ed d
M = +Fd, — Fd, e o
M=F(d-—-d i e
(d, — di) 1
Q
4o-
O binário da figura 3 tem sentido anti-horário e seu momento resultou po- 0
sitivo; se tivesse sentido horário, seu momento seria negativo. ,
Da expressão obtida podemos concluir que o momento de um binário in- Figura 3.
depende do pólo O escolhido.
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
< Numa chave de roda convencional,
aplica-se um binário para remover
ou apertar os parafusos da roda
do automóvel.
2.2. Resultante do binário
A resultante do binário é nula, pois as forças que o constituem têm mesma intensidade, mesma di-
reção e sentidos opostos. Desse modo, se aplicarmos um binário a um sólido, inicialmente em repouso,
este não adquire movimento de translação (pois a resultante é nula), mas adquire movimento de rotação
não-uniforme (pois o momento não é nulo).
3. Equilíbrio dos corpos extensos
Considere um corpo extenso em equilíbrio, num dado referencial, sob ação de um sistema de forças
coplanares.
Dizer que o corpo extenso está em equilíbrio significa que o corpo não apresenta movimento de
translação ou que ele realiza translação retilínea e uniforme; e, ainda, que o corpo não está em rotação
ou que ele realiza rotação uniforme. Em outras palavras, é preciso considerar os equilíbrios de translação
e de rotação.
«398 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Nessas condições:
O sistema de forças que age sobre o corpo em equilíbrio deve ser tal que:
a) a resultante do sistema de forças seja nula (equilíbrio de translação);
b) a soma algébrica dos momentos das forças do sistema, em relação a qualquer ponto, seja nula
“(equilíbrio de rotação).
A condição resultante nula (E- “Dn nos s fornece duas equações s escalares:
h= h, t h, +... + F, =0 (projeções em x)
R= h, +R, +... + E =0 (projeções em y)
A condição soma algébrica dos momentos nula nos fornece mais uma equação escalar:
Mo = M, +M, +.. +M, =0
Assim, o equilíbrio de um corpo extenso sob ação de um sistema de forças coplanares nos possibilita
obter três equações escalares.
4. Teorema das três forças
Se um corpo estiver em equilíbrio sob ação exclusiva de três forças, estas deverão ser coplanares e
suas linhas de ação serão, necessariamente, concorrentes num único ponto ou paralelas (figura 4).
ou
F
Figura 4.
Como exemplos de aplicação deste teorema considere os seguintes casos:
1) Uma escada AB encontra-se em equilíbrio apoiada em uma parede lisa. Na figura, duas das três
forças que atuam sobre a escada são o peso Pea força F F exercida pela parede. Podemos obter grafica-
mente a direção da força R, que o chão exerce na escada, na posição de equilíbrio. Basta determinar o
ponto C (ponto de concorrência das linhas de ação de Fe P para concluir que a linha de ação de Réa
reta determinada pelos pontos C e B.
2º) Considere uma barra AB em equilíbrio pendurada em uma parede por meio de um fio de peso
desprezível. Podemos determinar a direção da força R exercida pela parede sobre a barra. As linhas de
ação do peso Pe da tração 7 concorrem no ponto C. A força R tem linha de ação definida pelos pontos
Aec.
CapituLo 19 + Equitísrio pos Corpos ExTENsos 399 °
” Centro de gravidade e centro de massa
O ponto de aplicação do peso de um corpo é denominado centro de gravidade (CG) ou baricentro.
Podemos imaginar que, nesse ponto, concentra-se todo o peso do corpo.
| Se um corpo homogêneo apresentar um elemento de simetria (um ponto, um eixo ou um plano), o
centro de gravidade pertence necessariamente a esse elemento. Significa que o centro de gravidade
coincide, nesse caso, com o centro geométrico.
O ponto no qual podemos considerar concentrada toda a massa de um corpo é denominado centro
de massa (CM).
Nos locais onde a aceleração da gravidade pode ser considerada constante, o centro de gravidade
coincide com o centro de massa. Um corpo que se encontra no espaço, livre da atração gravitacional da
Terra e de outros corpos celestes, tem centro de massa, mas não tem centro de gravidade.
.xesolvidos
À barra homogênea AB de seção reta uniforme está arti-
culada em A e é mantida na horizontal pelo fio ideal BC. A
barra tem peso 100 Ne o corpo D pesa 250 N. Determine
a tração no fio e as componentes vertical e horizontal da
reação da articulação A.
Dados: sen 8 = 0,6; cos 9 = 0,8
Solução:
Observemos, inicialmente, que uma articulação plana
pode ser entendida como um pino ligado à parede e pas-
sando por um orifício existente na barra. A articulação
A permite que a barra gire no plano da figura em torno
do ponto A. À força de reação da articulação na barra
tem direção não determinada a priori. Por isso usaremos
suas componentes horizontal (X,) e vertical (Y,).
Vamos, então, isolar a barra AB. Sejam X, e Y, as compo-
nentes horizontal e vertical da reação da articulação na
barra, Ta intensidade da força de tração do fio, P = 100N o
peso da barra homogênea, aplicado no seu ponto médio
(centro de gravidade), e P, = 250 N o peso do corpo D.
Vamos impor as condições de equilíbrio da barra AB:
1º) Resultante nula
Projeçõesemx:X,—-T-cos8=05X=T-08 ©
Projeções em y: Y, + T» sen 0 — 100 — 250 = 0 => Y, +T:0,6=350 O
e 400 Os FUNDAMENTOS DA Física
9 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei
22 algébrica dos momentos pula em relaç ão ao ponto B
Cerite apibriia ce centro de massa? ººP
END à 4 1 Telicão aB, UA eP = 100 N apresentam momentos não-nulos, sendo o momento de Y, negativo (horário)
ede P= 100 N positivo (anti-horário).
O ponto de aplicação dypesg, de YP CYR é dep aminas centro, dfygrayishàe (CG) ou baricentro.
Podemos imaginar que, nesse porto, concentra-se todo O pego do corpe:
Se um corpo homogêneo apresentar um NIET O (um ponto, um eixo ou um plano), o
centro debsraviada dim SA Aracaprssriorfo rasas sbé slêfhehio. Significa que o centro de gravidade
coincide, nesse caso, com o centro geométrico
Substituindo T por 500 N na expressão (OD vem: | X, = 400 N
CG
e SeX, dp PY, ou ambos epy tas: e corretos.
i * Em geral escolhe-se come-póřo o ponto em relação ao qual a maioria das forças tem mo Ento nulo.
de massa ACMh.B suspende-se por meio de um fio de peso despre-
Nosafgelrãa a dep UA nb aia ser considerada constante,
D as componentes horizontal e vertical da reação da arti-
~ eulação- sobrea- Dafra- rni n saias ZZZZZZZZ IIZIIIZIIZIIILIZIZIIZZ
Solução:
de fevereiro de 1998.
-F= =F
À barra Hombgênea AB de seção Reta uniforme está arti-
culada &inofeg óenambiga na horizontal pelo fio ideal BC. A
barra tem peso 100 Ne o corpo D pesa 250 N. Determine
a traçãoMo-fibld as 80Npohentes Vertidale0rizontal da
reação da articulação 4.
Dados; sta albênrEL dol-lhomentos nula em relação ao
ponto A
M, = Mr + Mp +M,=0
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei
+FL:sen30º — P. pb “cos 30º — QL: cos 30º = 0
Solução: 2
Observemos, inicialmente,/gue am : ari úgulação plana
pode ser enpendida c como um pino ligado à parede e pas-
io existente na barra. À articulação
A permite quesa harra gire no plano da figura em torno
toA-A-força-de reação da articulação na barra
Vamos, então, isolar a barra AB. Sejam X, e Y, as compo-
nentgas pon co SIETEN, a spaçàgada artiqulação R300 N
barra, Ta intensidade da força etração do fio, P = 100N o
DN
da b h apl
q gabarra homogênea, a icado a = Sago nos extremos A e B distanciados de 1,0 m. A
ra ho gene
ntra dor ad Hie foi senado um € edrpo depe ro 20 N. Determine as intensidades das reações dos apoios
Vamd£iipoPis tBAlitões de equilíbrio da barra AB:
1º) Resultante nula
Projeções em x: X, — T- cos 6 x “E TOS TE +
Projeções em y: Y, + T» sen
eos 00 tata tatr E SoM Bo RM Me Ae Su Se Se teta Seta e Satr tetese oteta te tete sede togt 09 509 HA 000 09 00 a 60 9 0 0 0 8 00 0 0 6 020 0008 0 00 00 20 002006 0200 0006 00 0 20078 900 0 5140 90 00 08 0 00 0 00 2 0 GA OU A O RS DA DR DO
e 40E iuo 19 * EọouILÍBRIO DOS Corpos EXTENSOS Os FUNDAMENTOS DA FisgO1 e
Solução:
Vamos isolar a barra AB e impor as condições de equi-
líbrio. Observe que as reações dos apoios A e B sobre
a barra têm direção vertical:
1º) Resultante nula
Projeções em y:
Y, + Y,- 20- 20=0 > Y +Y,=40 O
2º) Soma algébrica dos momentos nula em relação ao ponto A
M, = My, +t Mp + Mp = 0 => Yz: 1,0 — 20 - 0,50 — 20 - 0,80 = 0 > |Y,=26N
Substituindo Y, na expressão (D, resulta: | Y, = 14 N
Resposta: Y, = 14 N e Yp = 26 N
Uma barra homogênea AB de peso P = 10 N e compri-
mento L = 50 cm está apoiada num ponto O a 10 cm
de 4. De À pende um corpo de peso Q, = 50 N. A que
distância x de B deve ser colocado um corpo de peso
Q, = 10 N para que a barra fique em equilíbrio na
horizontal?
Solução:
Vamos isolar a barra AB. Observe que, impondo soma
algébrica dos momentos nula em relação ao ponto O,
obtemos x. Note que o momento de Y, em relação a O
é nulo.
Mo = Mo, + Mp + Mo, = 0
50-10- 10-15- 10- (40 -9=0
Resposta: 5 cm
Um homem de peso P = 600 N caminha numa tábua
de madeira apoiada em A e articulada em C. O peso
da tábua é Piua = 900 N e seu comprimento é de 6 m.
Determine a máxima distância x, indicada na figura,
que o homem pode caminhar sobre a tábua para que
ela fique em equilíbrio.
Solução:
A máxima distância x ocorre quando a tábua está na
iminência de girar em torno da articulação C; nessa
condição não há contato entre a tábua e o apoio A.
Para a determinação de x, impomos a soma algébrica
dos momentos nula em relação ao ponto C.
Me = Mrana T Me = 0 => 900 - 1 — 600 -d = 0 =
> d=l5m
A contar do ponto À, temos:
x=AC+d x 4+15 > (x=55m])
Resposta: 5,5 m
pise
Leia mais
Na seção A Física em nosso Mundo, página: 416, leia |
sobre máquinas simples.e o princípio da alavanca. i
į
DSP E ER SO iria painii nrinn
É P =20N
1
1
bus
P=10N f Q,=10N
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
„propostos
P.475 Uma barra homogênea de peso 100 N é articulada
em Å e mantida em equilíbrio por meio do fio BC.
Em B é suspenso um peso de 200 N. Determine
a intensidade da força que traciona o fio BC e a
reação da articulação A (componentes horizontal
e vertical).
P.476 No sistema da figura abaixo, a barra é homogênea
e de peso 20 N. A polia e o fio são ideais.
P477
P.478
Determine:
a) a intensidade da força Fque deve ser aplicada
ao cabo para manter a barra horizontal;
b) a reação do pino A.
Uma barra homogênea de peso P = 50 N é apoia-
da nos pontos À e B. Determine as reações dos
apoios sobre a barra.
! 7,0m '
' 50m i
A barra homogênea BC da figura tem um peso P
de 10º N e seu comprimento é de 10 m. O centro de
gravidade CG e o ponto de apoio A da barra
estão, respectivamente, a 5 m e 2 m da extremi-
dade B. Qual é, em newtons, o peso do corpo X
que deve ser suspenso ao ponto B para manter a
barra em equilíbrio na posição horizontal?
B O nG,
5. Tipos de equilíbrio de um corpo
Considere que uma placa de centro de gravidade CG seja suspensa pelo ponto O (figura 5). Na po-
sição de equilíbrio, as s forças que agem na placa são o peso, P, aplicado no centro de gravidade CG, e a
força de suspensão F aplicada em O. Nessas condições, Fe P devem ser opostas. Para isso, o ponto
de suspensão O e o centro de gravidade CG devem pertencer à mesma reta vertical (figura 6).
Deslocando-se ligeiramente a placa da posição de equilíbrio, girando-a em torno de O e abandonan-
do-a em seguida, ela tende a retornar à posição original. Nesse caso dizemos que o equilíbrio é estável
(figura 7).
No equilíbrio estável o centro de gravidade CG está abaixo do ponto de suspensão O.
Figura 7.0 peso P tem momento em
relação ao ponto de suspensão O, tendendo
a restaurar a posição de equilíbrio.
CarítuLo 19 e EquiLíBriO DOS Corpos ExTENSOS
Se o centro de gravidade estiver acima do ponto de suspensão, o equilíbrio é instável (figura 8).
Deslocando-se ligeiramente a placa da posição de equilíbrio, girando-a em torno de O e abandonando-a
em seguida, ela se afasta ainda mais da posição de equilíbrio (figura 9).
Figura 8. Equilíbrio instável. Figura 9. O peso P tem momento em relação
ao ponto de suspensão, fazendo com que a
placa se afaste da posição de equilíbrio.
Quando o centro de gravidade coincide com o ponto de
suspensão, o equilíbrio é indiferente, pois, afastando-se a
placa da posição de equilíbrio, girando-a em torno de O, ela
permanece em equilíbrio na nova posição (figura 10).
Vamos analisar outro exemplo: uma esfera homogênea
encontra-se em equilíbrio num apoio côncavo (figura 11).
Seu equilíbrio é estável. Ao ser destocada ligeiramente da
posição de equilíbrio e abandonada em seguida, ela tende a
voltar à posição original.
Figura 11. Equilíbrio estável.
No caso em que a esfera está em equilíbrio num apoio convexo, seu equilíbrio é instável: deslocan-
do-se a esfera ligeiramente da posição de equilíbrio, ela se afasta ainda mais dessa posição (figura 12).
R
Entre na rede
No endereço eletrônico http://www.phy.ntnu.edu.tw/
ntnujava2/ em Easy Java Simulations, Dynamics,
item 22 (acesso em 23/2/2007), você pode analisar várias |
situações relacionadas com a estática de um corpo extenso. |
Figura 12. Equilíbrio instável.
Estando a esfera apoiada num plano horizontal, seu equilíbrio é indiferente: deslocando-se ligeira-
mente a esfera da posição de equilíbrio e abandonando-a em seguida, ela permanece em equilíbrio na
nova posição (figura 13).
Figura 13. Equilíbrio indiferente.
sssosocosososesnesesusesesesnose suenenouosonsenonsososesosospossossosososesesosezevosusesoesossvesssossoseseaessonossecosonvaosoeonsaoesssspasesesoserro
*404 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Considere, agora, um bloco de centro de gravidade CG em equilíbrio, simplesmente
apoiado numa tábua horizontal (figura 14). Note que o peso Pe a força R (força que a
tábua exerce no bloco) são forças opostas.
Figura 14.
Vamos inclinar gradativamente a tábua e supor que o atrito seja suficiente para que o
bloco não escorregue.
Na figura 15a o bloco não tomba, pois a reta vertical traçada pelo centro de gravi-
dade CG passa pela base de apoio. Na figura 15b o bloco está na iminência de tombar
— a reta vertical traçada pelo centro de gravidade CG está prestes a deixar de passar pela
base de apoio do bloco. Um ligeiro aumento na inclinação da tábua e o bloco tomba
(figura 15c).
a)
' Reta vertical
Base —
de apoio
1
1
1 i
i
Figura 15.
EDUARDO SANTALIESTR
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
comics lerra.con
SYNDICATE
2006 MOCO / DIST. BY ATLANTIC
SYNDICATION / UNIVERSAL PRESS
CarítuLo 19 e EquiLíBriO DOS CORPOS ExTENSOS 405 e
De uma chapa uniforme e homogênea recorta-se um retângulo
com medidas AB = 10 cm e AD = 1043 cm, conforme a figura
ao lado.
Suspende-se a chapa pelo vértice A. Determine, na posição de
equilíbrio, o ângulo que a reta AB forma com a vertical.
Solução:
Na posição de equilíbrio o ponto de suspensão À e o centro de
gravidade CG devem pertencer à mesma reta vertical.
No triângulo ABC, temos:
Portanto:
Resposta: 60º
O coeficiente de atrito estático entre um bloco homogêneo e um
plano inclinado vale p,e = 0,80. O bloco é colocado em repouso
sobre o plano inclinado (dados: sen 6 = 0,60; cos 60 = 0,80;
b = 1,5 cm).
a) Demonstre que o bloco não escorrega ao longo do plano
inclinado.
b) Determine o máximo valor da altura h do bloco para que ele
fique apoiado sem tombar.
Solução:
a) Quando o bloco está na iminência de escorregar, a força de
atrito atinge seu valor máximo:
fattmáx) = Hefy = Hey = He’ P» cos 6
Estando o bloco em equilíbrio, vem:
P, = farma > P» seng = u P- cos > tgô = pu
Se tg 0 > u. o bloco escorrega, e se tg 0 < u, o bloco não
escorrega nem está na iminência de escorregar.
No caso em questão:
Sendo u. = 0,80, concluímos que tg 9 < |, e, portanto, o bloco
não escorrega.
b) O máximo valor da altura A do bloco corresponde à iminência
de tombamento. Nessas condições, a reta vertical que contém
a força R que o plano exerce no bloco passa pelo extremo A
da base de apoio. Observe que R= F, + F.. Para que R anule
P temos, na iminência de tombamento, a situação mostrada
na figura ao lado. N
Da figura, concluímos que o ângulo ACD também vale 8. No
triângulo ACD, temos:
tgo = b EN sen 6
h cos 8
b
h
São dados: sen 6 = 0,60; cos 8 = 0,80; b = 1,5 cm. Logo:
060 15 -
080 4 O
Respostas: a) tg 6 < ue; b) 2,0 cm
Os FUNDAMENTOS DA Física
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Solução:
O centro de gravidade de um boneco de madeira situa-se no seu próprio corpo.
Fixamos no boneco um arame com duas bolas de madeira, conforme a figura.
Apoiando-se a ponta do pé do boneco numa superfície plana, ele permanece
em equilíbrio. Observa-se que, afastando-se o boneco ligeiramente da posição
de equilíbrio (girando-o em torno do ponto de apoio), ele tende a voltar à
posição de equilíbrio, isto é, o equilíbrio é estável. O que se pode afirmar,
nessas condições, a respeito da posição do centro de gravidade do sistema
(boneco + arame com bolas) em relação ao ponto de apoio?
Sendo o equilíbrio estável, o centro de gravidade CG do sistema fica abaixo do ponto de apoio O. De fato, ao
afastarmos ligeiramente o sistema da posição de equilíbrio, girando-o em torno do ponto O, o peso P do sistema
passa a ter momento em relação ao ponto O. Esse momento tende a restaurar a posição de equilíbrio.
Posição de equilíbrio estável
O momento de P em relação a O é nulo.
P.479 O centro de gravidade de uma placa quadrada
não-homogênea coincide com o ponto indicado
por G na figura. Determine a tangente do ângulo
entre a vertical e 0 lado AB quando a placa, em
equilíbrio, é suspensa por À.
D C
2cm !B
1
1
t
1
1
i
1
1
'
1
1
i
'
)
i
i
P.480 (EEM-SP) É dado um prisma homogêneo oblíquo,
de base quadrada de lado a e altura h, com den-
sidade (massa específica) d.
CapituLo 19 e EquitíBriO DOS Corpos ExTENSOS
Posição deslocada de um certo ângulo
O momento de P em relação a O não é nulo
e tende a restaurar a posição de equilíbrio.
Determine:
a) o menor valor que pode ter o ângulo o para
que o prisma fique apoiado sobre uma das
bases sem tombar;
b) o peso do prisma nas condições do item (a).
P.481 Uma esfera, constituída de partes iguais de alu-
mínio (At) e chumbo (Pb), foi abandonada sobre
um plano horizontal, conforme mostra a figura.
A
a) A esfera permanece em equilíbrio na posição
mostrada na figura? Como seria a posição de
equilíbrio estável e de equilíbrio instável?
Faça esquemas.
b) Faça um esquema da posição de equilíbrio que
a esfera atinge ao ser suspensa pelo ponto 4.
P.482
P.483
ios propostos
de recapitulação
(UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de
carro por uma estrada e são surpreendidos por
um furo num dos pneus. O jovem, que pesa
750 N, pisa a extremidade de uma chave de
roda, inclinada em relação à horizontal, como
mostra a figura a, mas só consegue soltar o pa-
rafuso quando exerce sobre a chave uma força
igual a seu peso.
À namorada do jovem, que pesa 510 N, encaixa a
mesma chave, mas na horizontal, em outro para-
fuso, e pisa a extremidade da chave, exercendo
sobre ela uma força igual a seu peso, como mos-
tra a figura b.
Supondo que este segundo parafuso esteja tão
apertado quanto o primeiro, e levando em conta
as distâncias indicadas nas figuras, verifique se
a moça consegue soltar esse segundo parafuso.
Justifique sua resposta.
20 cm
Figura a
510N
i 30 cm i
Figura b
(UFPE) Uma barra horizontal de massa desprezi-
vel possui uma de suas extremidades articulada
em uma parede vertical. A outra extremidade
está presa à parede por um fio que faz um ângulo
de 45º com a horizontal e possui um corpo de
55 N pendurado. Qual o módulo da força normal
à parede, em newtons, que a articulação exerce
sobre a barra?
P.484
P.485
(UFG-GO) No arranjo da figura, uma barra rígida
AC, de peso desprezível apoiada numa estaca fixa
vertical em B, sustenta um peso P = 803 N.
Conhecidas as distâncias AC = 80 cm, BC = 30 cm
e estando o sistema em equilíbrio estático, cal-
cule o módulo:
a) da reação da estaca na barra em B;
b) das componentes horizontal e vertical da
reação de À na barra AC.
J3
1
Dados: sen 30º = 2 ecos 30º = 2
(UFC-CE) Uma tábua de massa desprezível e com-
primento £ = 3,0 m é articulada em uma de suas
extremidades, por meio de uma dobradiça D.
Sua outra extremidade está presa (a uma altura
y = 0,3 m acima da dobradiça) a uma mola ideal,
de constante elástica k = 600 N/m (figura a).
Um menino, de peso P = 300 N, partindo da do-
bradiça, caminha uma distância x sobre a tábua,
até que ela adquira o equilíbrio, em posição
horizontal (figura b). Suponha que a mola, ao
se distender, manteve-se vertical. Determine o
valor de x.
Figura a Figura b
P.486. (UFPE) Uma menina de 50 kg caminha sobre
uma prancha com 10 m de comprimento e
10 kg de massa. À prancha está apoiada em suas
extremidades, nos pontos À e B, como mostra a
figura. No instante em que a força normal em B é
igual ao dobro da normal em 4, a que distância,
em metros, a menina se encontra do ponto B?
(Use g = 10m/s?)
10m
1
1
'
'
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P.487 (Unicamp-SP) Uma das modalidades de ginástica
olímpica é a das argolas. Nessa modalidade, os
músculos mais solicitados são os dos braços,
que suportam as cargas horizontais, e os da re-
gião dorsal, que suportam os esforços verticais.
A
Considerando um atleta cuja massa é de 60 kg
e sendo os comprimentos indicados na figura
H = 3,0 m; L = 1,5 med = 0,5 m, responda:
a) Qual a tensão em cada corda quando o atleta
se encontra pendurado no início do exercício
com os braços na vertical?
b) Quando o atleta abre os braços na horizontal,
qual a componente horizontal da tensão em
cada corda?
(Dado: g = 10 m/s”)
P.488 (Fuvest-SP) A figura mos-
tra uma barra apoiada en-
tre uma parede e o chão.
A parede é perfeitamente
lisa; o coeficiente de atri-
to estático entre a barra
e o chão éu = 0,25.
a) Desenhe o esquema das forças que atuam
sobre a barra.
b) Calcule a tangente do menor ângulo q entre a
barra e o chão para que não haja escorrega-
mento.
P.489. (UFPR) Uma esfera de peso P = 103 Neraio
R está suspensa por meio de um fio inexten-
sível de comprimento L = Re apóia-se em
uma parede vertical sem atrito. Determine a força
de tração no fio e a força que a parede aplica na
esfera.
Capíruto 19 œ EquiLíBrio DOS Corpos EXTENSOS
P.490. Empilham-se três livros idênticos sobre uma
mesa, conforme mostra a figura. Cada livro tem
comprimento £ = 20 cm. Quais os valores máxi-
mos de x e y para que o conjunto mantenha-se em
equilíbrio?
P.491 (Fuvest-SP) Um gaveteiro, cujas dimensões estão
indicadas no corte transversal, em escala, repre-
sentado nas figuras, possui três gavetas iguais,
onde foram colocadas massas de 1 kg, 8 kg e 3 kg,
distribuídas de modo uniforme, respectivamente
no fundo das gavetas G,, G, e G}. Quando a gaveta
G, é puxada, permanecendo aberta, existe o risco
de o gaveteiro ficar desequilibrado e inclinar-se
para a frente.
48 cm
FE
Fechado
Figura i
Aberto
Figura Hi
a) Indique, no esquema abaixo, a posição do cen-
tro de massa de cada uma das gavetas quando
fechadas, identificando esses pontos com o
símbolo x.
| 48 cm
ni |
100 cm
Corte transversal pelo centro
do gaveteiro fechado
b) Determine a distância máxima D, em cm, de
abertura da gaveta G,, nas condições da figura
I, de modo que o gaveteiro não tombe para a
frente.
c) Determine a maior massa M,s,, em kg, que
pode ser colocada em G,, sem que haja risco
de desequilibrar o gaveteiro quando essa ga-
veta for aberta completamente, mantendo as
demais condições.
Note e adote:
Desconsidere o peso das gavetas e do gave-
teiro vazios.
P.492 (Vunesp) Justifique por que uma pessoa, sentada
conforme a figura, mantendo o tronco e as tíbias
na vertical e os pés no piso, E]
não consegue se levantar i
por esforço próprio. Se
julgar necessário, faça
um esquema para au-
xiliar sua explica-
ção.
O enunciado a seguir refere-se aos exercícios
P.493 a P.496.
(PUC-SP) A noção de equilíbrio estático ou dinã-
mico adotada pela Física está presente em várias
manifestações artísticas. Nas figuras podemos
observar três exemplos.
AFP-GETTY IMAGES
A Alexander Calder mostrando um de
seus móbiles na Galeria de Roma
(março de 1955).
JOÃO CANDICO PORTINARI / PROJETO PORTINARI
A Meninos com carneiro, de Cândido
Portinari, pintura a óleo/madeira, 1959.
Í
|
P.493
ol
pi
o]
a
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a
w
T
E
9
a
>
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«a
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=
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o
>
«
I
z
ú
m
mi
[G]
fia
tj
D
À Acrobata em monociclo sobre corda,
durante uma apresentação do
Grande Circo de Pequim em Paris,
França (2003).
Os móbiles são uma criação de Alexander
Calder (1898-1976), considerado um dos mais
inovadores e originais artistas americanos do
século XX. Com seus móbiles e suas esculturas,
Calder ousou atribuir movimento ao que sempre
fora estático e ajudou a redefinir determinados
princípios básicos das artes plásticas, a partir
da associação entre movimento e equilíbrio.
A tela de Cândido Portinari (1903-1962) retrata
um pouco daquilo que chamamos de mundo do
artista. O universo de Portinari contém a gente
e a paisagem do Brasil. Sua pintura, de grande
inspiração social, traz a felicidade de crianças
brincando, mostra trabalhadores e mulheres em
sua miséria, descritos sem aflição, transmitindo-
nos a idéia de que a vida que deles exala vale a
pena ser vivida. O que existe é sempre a tensão, o
portentoso equilíbrio de tudo que pintou: o arco
num mundo, a corda do arco em outro. O acro-
bata do Grande Circo de Pequim, apoiando-se em
um fino fio de metal, produz, com sua capacidade
de equilibrar-se, um momento mágico de bele-
za de uma arte popular em todo o mundo.
(Sempre que necessário, use g = 10 m/s?)
Suponha que, na tela de Portinari, o menino no
balanço esteja em equilíbrio e que a massa do
conjunto menino + balanço seja de 45 kg. Qual
é a intensidade da força de tração em cada uma
das cordas que sustentam o balanço? Suponha
que o menino esteja equidistante das cordas
verticais que são inextensíveis e possuem massa
desprezível. Dê sua resposta em unidades do
Sistema Internacional,
e410
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P.494 Na tela de Portinari, apesar de parecer, em al-
guns aspectos, desproporcional, a imagem do
garoto em equilíbrio apoiado em apenas uma das
mãos retrata uma situação possível de ocorrer.
Se considerarmos a mão do garoto como ponto
de apoio, qual a condição geométrica que o
centro da gravidade do garoto e sua mão devem
satisfazer para que ocorra o equilíbrio?
P.495 Observando a foto do acrobata, nota-se que o
fio no qual o conjunto (acrobata + monociclo)
está apoiado inclina-se sob a ação do seu peso.
Supondo que a corda, tanto à frente quanto às
costas do acrobata, inclina-se 37º em relação à
horizontal e que o fio seja inextensível e de massa |
desprezível, calcule a intensidade da força de tra-
ção no fio. Considere a massa do conjunto igual a
45 kg. Use sen 37° = 0,6 e cos 37º = 0,8.
Seu trabalho nesta questão será o de projetar
adequadamente um móbile, segundo os princí-
pios físicos que regem o equilíbrio. Na sua figura,
deverão estar indicadas numericamente, em
cada haste, as distâncias entre as extremidades
e o ponto de suspensão.
Móbile: escultura abstrata móvel, que cons-
ta de elementos individuais leves, suspensos
artisticamente no espaço por fios, de manei-
ra equilibrada e harmoniosa.
~
e 1 haste de massa desprezível de 30 cm
de comprimento que deve ser amarrada
disposta horizontalmente.
em um único fio que vai ao teto e estar
Para essa criação você dispõe dos seguintes elementos:
e 1 haste de massa desprezível de 20 cm de comprimento AA
que deve estar disposta horizontalmente e
suspensa por um único fio amarrado a uma
das extremidades da haste maior
e Fios ideais tanto quanto se necessite.
e Sólidos que deverão ser amarrados individualmente às extremidades das hastes.
1 sólido de massa 15 g
(Enem-MEC) Um portão está fixo em um muro
por duas dobradiças 4 e B, conforme mostra a
figura, sendo P o peso do portão.
1 sólido de massa 25 g
1 sólido de massa 60 g
Caso um garoto se dependure no portão pela
extremidade livre, e supondo que as reações
máximas suportadas pelas dobradiças sejam
iguais:
a) é mais provável que a dobradiça À arrebente
primeiro que a B.
b) é mais provável que a dobradiça B arrebente
primeiro que a 4.
c) seguramente as dobradiças A e B arrebenta-
rão simultaneamente.
d) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço.
e) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.
erCone raras rena ce sen ns na nce senao ns anda Da sa Ma RRO Can Cena an Men CN ORAS DORA VORA apar sra nano a canta canta raras rencer sai nennane sans r esa var sara asa naagha
CarituLo 19 + EquitíBriO DOS Corpos ExTENSOS
4m»
© 5
(Unirio-RJ) A figura a seguir mostra uma placa
retangular, homogênea, presa na vertical por
um eixo horizontal que passa pelo seu centro de
massa (ponto de encontro das linhas tracejadas)
e é perpendicular à folha. Além do peso da placa
e da força que o eixo exerce sobre ela, estão in-
dicadas as forças F} = 20 N, F, = 10Ne &, = 30N
que são aplicadas à placa nos pontos indicados.
Para que a placa não tenha rotação em torno
do seu centro de massa, pensa-se em aplicar no
vértice A uma força.
F | 30m
ong
4,0m
A
E
A alternativa que indica o módulo, a direção e o
sentido da força, respectivamente, satisfazendo
esse intento, é:
a) 5,0 N; vertical e para cima.
b) 2,5 N; horizontal e para a direita.
©) 5,0 N; horizontal e para a esquerda.
d) 2,5 N; horizontal e para a esquerda.
e) 5,0 N; vertical e para baixo.
(Vunesp) As figuras a e b indicam duas posições
de um braço humano que tem na palma da mão
uma esfera de 2,5 kgf. As distâncias entre as
articulações estão indicadas na figura a.
7,0 cm
28 cm =» 23cm
2,5 kgf
Nas condições das figuras a e b é possível afirmar
que os torques (ou momentos das forças) em
relação ao ponto O são respectivamente:
Figura a Figura b
a) 1,5 kgf -+m 7,3 < 107° kgf -+ m
b) 1,5 kgf -+ m 3,7 10`! kgf + m
c) 5,1 kgf -m 37:10 kgtem
d) 5,1 kgf +m 73:10! kgf + m
e) 7,3 -10` kgfm 5,1 kgf -m
(Mackenzie-SP) O tipo de luminária ilustrada a
seguir foi utilizado na decoração de um ambien-
te. A haste AC, presa à parede, é homogênea, tem
seção transversal constante e massa 800 g.
Quando o lampadário, pendente em 4, tem massa
superior a 500 g, o fio ideal AB arrebenta. Nesse
caso, podemos dizer que a intensidade máxima
da força tensora suportada por esse fio é:
a) 15N DI3N JION DEN 95N
(Use g = 10 m/s")
(UFPE) A figura mostra uma corda que passa por
uma polia ideal, tendo uma de suas extremidades
presa ao bloco de massa M, e a outra presa na
extremidade B de uma viga uniforme.
Considerando que a viga, de comprimento L e
massa igual a 50 kg, é mantida em equilíbrio na
horizontal apoiada em Å, determine a massa do
bloco, em kg.
a 25 b40 950 D75 80
(Dado: sen 30º = 1)
(Olimpíada Brasileira de Física) Ao passarem
por uma gangorra, um estudante de 48 kg diz a
um colega que consegue calcular a sua massa,
caso ele se sente em uma posição em um dos
lados do brinquedo. Concordando, ele sentou-se
em uma posição distante 12 palmos do ponto
de sustentação, medidos pelo estudante que se
sentou do lado oposto, e buscou um lugar de tal
CORCUCANONCRCA LAURO ENROLANDO CREATAS CERTO CCD CENTO ROLALCAN UN CNRA AROUCA CR ORA A ACC E Ra SO RA ERC seco cs rave se escassas
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maneira que o sistema ficou em equilíbrio. Con-
tou 9 palmos de onde se encontrava até o ponto
de sustentação. Fez rapidamente umas contas e
o valor calculado da massa foi de:
a) 36kg b) 64kg 0) 21 kg d) 24kg © 57kg
(ITA-SP) Um corpo de massa m é colocado no
prato À de uma balança de braços desiguais e
equilibrado por uma massa p colocada no prato
B. Esvaziada a balança, o corpo de massa m é co-
locado no prato B e equilibrado por uma massa
q colocada no prato A. O valor da massa m é:
p+q pq
= e
a) pq (9) 3 ) Fq
+
b) (pg d) Prq
2
(Cesgranrio-RJ) Cristiana e Marcelo namoram
em um balanço constituído por um assento ho-
rizontal de madeira de peso desprezível e preso
ao teto por duas cordas verticais. Cristiana pesa
4,8 + 10? Ne Marcelo, 7,0 + 10º N. Na situação des-
crita na figura, o balanço está parado e os centros
de gravidade da moça e do rapaz distam 25 cm e
40 cm, respectivamente, da corda que, em cada
caso, está mais próxima de cada um.
1,00 m
“o
Sendo de 1,00 m a distância que separa as duas
cordas, qual a intensidade da força de tração em
cada uma delas?
Corda mais próxima de:
Cristiana Marcelo
a) 1,6: 102N 10,2 - 102N
b) 3,2- 10° N 8,6 - 10N
o 4,0-10 N 7,8- 10° N
d) 4,8- 10°N 7,0- 10N
e) 6,4- 10° N 5,4 + 10N
(Unifesp) À figura representa um cilindro de mas-
sa m, que rola para a direita sobre uma prancha
homogênea e horizontal de massa 2m, assentada
livremente em dois apoios verticais, sobre os
quais não desliza.
d d ddd ddd ddd d
1 t 1 1
1 1 1 1
1 ' 1 1
! I 1 1
L ! 1 fi
CarítuLo 19 œ EQuiLiBRIo DOS Corpos EXTENSOS
Pode-se afirmar que a prancha começa a tombar
quando o cilindro passa pelo ponto:
dA DB ƏC dD IE
'- (AFA-SP) Uma barra rígida homogênea de com-
primento 2L e massa m está apoiada em dois
suportes A e B, como mostra a figura abaixo.
O gráfico que melhor indica a intensidade N, da
reação que o apoio A exerce sobre a barra, em
função da intensidade da força F aplicada na
extremidade, é:
9
N;
d)
Na
mg F
2
Olimpíada Brasileira de Física) Considere uma
garota de massa m caminhando por uma prancha
de comprimento L, como representado na figura
abaixo.
A distância máxima, d, que a garota se afasta do
ponto P sem que a prancha gire é:
L M L m
so) ol
D, M (z-D) m
Dom SM
o =D). M
2 m
ACUSOU LAS ERL CO CLC LOCA DUDA DAS DELES ELLA ALTOS DDR TIRO VOAR ADELA DUC URU LDL DOLLARS DOOR PROP RAD OA RU OO UA as ta dO 404
e —
g
T
E)
[e
tri
* (ITA-SP) Um canudinho de refresco de massa
M e comprimento L = 18 cm acha-se apoiado
na borda de uma mesa, com dois terços de seu
comprimento jazendo sobre a mesa. Um mos-
quito de massa M’ = 0,75M parte do repouso
caminhando sobre o canudinho, com veloci-
dade constante v = 2,5 mm/s, da extremidade
do canudinho, apoiada sobre a mesa, para a
extremidade livre. t segundos após o mosquito
ter iniciado seu movimento, o canudinho cairá.
Isso ocorre para t igual a:
a) 70s
b) 64s
c) 625
d) 58s
e) O canudinho não cairá porque a massa do
mosquito é insuficiente para isso.
Mackenzie-SP) Um rapaz caminha sobre uma
prancha homogênea e de secção transversal
constante, no sentido de A para B, como mostra
a figura.
10m
A prancha está apoiada sobre cavaletes. O gráfico
da intensidade da reação normal na extremidade
B em função da distância (x), da qual o rapaz se
encontra da extremidade A, é dado acima. Pelo
exposto, concluímos que o peso do rapaz é de:
a) 550 N c) 650 N e) 750 N
b) 600 N d) 700 N
: (UFSCar-SP) Para minimizar o número de furos na
parede, o suporte de televisores esquematizado
fixa-se apenas por dois parafusos, colocados na
direção e altura indicadas por AB, enquanto em
C o conjunto pressiona uma sapata de borracha
contra a parede.
|
Considere:
e a parede vertical e plana;
AB e CD horizontais;
e medida de ACD = 90º;
e distância de C até AB = 9 cm;
e distância de C até D = 45 cm;
e aceleração da gravidade = 10 m/s”.
Desprezando-se a massa do suporte, se um te-
levisor de 14 kg é nele montado, a componente
horizontal da força que o conjunto de parafusos
agúenta é, em N:
a) 450 © 950
b) 700 d) 1.250
e) 1.500
(UFPB) Um homem de 60 kg sobe por uma escada
de 20 kg, que está com uma extremidade apoiada
no chão e a outra em uma parede, como mostra a
figura.
O coeficiente de atrito estático entre a parede e a
escada é nulo. Por ser também nulo o coeficiente
de atrito estático entre o chão e a escada, o ho-
mem prendeu o “pé” da escada à parede com um
cabo que suporta uma tensão máxima de 800 N.
Nessas condições, o degrau mais alto possível de
ser alcançado pelo homem está a uma altura de:
a) 0,5 m o 15m e) 25m
b) 1,0m d) 2,0 m
(Use g = 10 m/s?)
(Mackenzie-SP) Uma viga AB homogênea, de
secção transversal uniforme, com peso 400 N e
comprimento 5,00 m, é apoiada em um muro de
3,20 m de altura, como mostra a figura.
2,40 m '
À força que essa viga exerce sobre o muro, no
ponto C, tem intensidade igual a:
a) 150N c) 250N e) 350N
b) 200 N d) 300 N
Os FunpamenTos DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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(Mackenzie-SP) Uma esfera homogênea de raio
R e peso P está apoiada como mostra a figura
a seguir. À intensidade da força F horizontal,
aplicada no centro da esfera, capaz de tornar o
movimento iminente, é:
d R-h
F= P F= P
a R- h D d
b) F=} P 9 F=ËP
R- d d
o r= "p
R
(FCC-BA) O coeficiente de atrito estático entre
um bloco homogêneo e um plano inclinado vale
0,80. O bloco é colocado em repouso sobre o pla-
no, cuja inclinação vai sendo aumentada a partir
de 10º com a horizontal.
2a
pi
Horizontal
' L '
A inclinação máxima do plano, sem que o bloco
h
deslize ou tombe, é tal que a razão L vale:
a) > DE 95 d > e) 0,8
| (ITA-SP) É dado um pedaço de cartolina com a
forma de um sapinho, cujo centro de gravidade
situa-se no seu próprio corpo. Em seguida, com
o auxílio de massa de modelagem, fixamos uma
moeda de 10 centavos em cada uma das patas
dianteiras do sapinho. Apoiando-se o nariz do sa-
pinho na extremidade de um lápis, ele permanece
em equilíbrio.
CapituLo 19 + EquitíBrio DOS Corpos ExteNsos
|
j
|
|
|
Nessas condições, pode-se afirmar que o sapinho
com as moedas permanece em equilíbrio estável
porque o centro de gravidade do sistema:
a) continua no corpo do sapinho.
b) situa-se no ponto médio entre seus olhos.
c) situa-se no nariz do sapinho.
d) situa-se abaixo do ponto de apoio.
e) situa-se no ponto médio entre as patas
traseiras.
- (UFRN) Rafael gosta de fazer “pegadinhas” com
seus colegas. Ele começou demonstrando um
exercício físico de flexibilidade, tocando nos pés
sem dobrar os joelhos (figura I). O bem-humo-
rado Rafael, com ar de gozação, disse que seus
colegas não seriam capazes de fazer esse exerci-
cio sem perder o equilíbrio do corpo e, por isso,
daria a chance de eles realizarem o exercício,
encostados na parede (figura II).
Figura |. Exercício feito por Rafael.
Figura II. Colega de Rafael, encostado
na parede, tentando repetir o exercício.
Esse procedimento, proposto por Rafael, em vez
de auxiliar, dificulta ainda mais o equilíbrio cor-
poral da pessoa, pois a parede faz com que:
a) o centro de gravidade da pessoa seja deslo-
cado para uma posição que impede o equili-
brio.
b) a força normal exercida na pessoa, pela pare-
de, seja maior do que a força que a pessoa faz
na parede.
c) o torque exercido na pessoa, pela parede, seja
maior do que o torque que a pessoa faz na pa-
rede, ambos em relação aos pés da pessoa.
d) o centro de gravidade da pessoa não coincida
com o seu próprio centro de massa.
415º
As máquinas simples
Máquina simples, em Física, é qualquer dispositivo utilizado em uma tarefa (por
exemplo o transporte de uma carga), constituído de um único sistema rígido. Assim, são
máquinas simples: o plano inclinado, a polia (fixa ou móvel) e as alavancas, entre as quais
a balança de braços e a gangorra. As máquinas simples fazem parte de outras máquinas
mais complexas, como máquinas de costura, bicicletas etc.
e Vantagem mecânica
Numa máquina simples, a intenção é aplicar uma força para realizar uma tarefa que pode
consistir, por exemplo, em manter uma carga suspensa. A vantagem mecânica de uma
máquina simples é dada pela relação entre a intensidade da força a ser equilibrada (força
resistente Fa) e a intensidade da força aplicada para esse fim (força potente E):
Por exemplo, na polia simples, a vantagem mecânica vale 1, pois a intensidade da
força potente é igual a da força resistente. Na polia móvel, a vantagem mecânica é 2, pois
a força resistente tem intensidade duas vezes maior que a potente. As figuras a seguir
indicam esses fatos.
a 5
Fr
Ffr= => VM=1 h=; 2 VWM=2
Polia fixa Polia móvel
So — /
e As alavancas
Dentre as máquinas simples, as que o ser humano utiliza há mais tempo são as ala-
vancas. Em diversas operações, há necessidade de se obterem forças de grande intensi-
dade a partir de forças pouco intensas (a vantagem mecânica nesses casos é maior que
1); em outras, convém simplesmente alterar a direção de uma ou mais forças (nessas
situações a vantagem mecânica pode ser igual a 1 ou mesmo menor que 1).
Para que uma alavanca opere, deve sempre existir um ponto de apoio A, em relação
ao qual estabelecem-se as ações de duas forças: a força potente E, e a força resistente
Fa. Conforme a posição desse ponto de apoio A em relação a E, ea Fa, podemos clas-
sificar as alavancas em três tipos: a interfixa (ponto de apoio entre E, e F), a inter-resis-
tente (Fr entre o ponto de apoio e F) e a interpotente (E, entre o ponto de apoio e Å).
Eis alguns exemplos de alavancas duplas (cada parte é uma alavanca simples):
Srby dritividss Errar ade na bti dg ricas ds re nas Ed rata par pá vis e
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A
Interpotente: pinça
=")
46
Inter-resistente: quebra-nozes
—
7
Fk
A necessidade de existir um ponto de apoio para que uma
alavanca possa funcionar está expressa na famosa frase atribuída
ao grande sábio grego Arquimedes: “Dê-me um ponto de apoio e
moverei o mundo”.
e Alavancas no corpo humano
As alavancas que existem no corpo humano são formadas pelos
ossos, sendo os músculos responsáveis pelas forças potentes. Va-
mos descrever algumas dessas alavancas.
O antebraço é uma alavanca interpotente. O peso do corpo
sustentado pela mão é a força resistente Fp; a força potente F, é
exercida pelo músculo bíceps. O ponto de apoio A é o cotovelo.
O pé é uma alavanca inter-resistente quando estamos
erguendo o corpo, ficando na ponta do pé. O peso do nosso corpo,
transmitido através dos ossos tíbia e fíbula, é a força resistente F;
a força potente E, é exercida pelos músculos gêmeos, que formam
a barriga da perna. Esses músculos prendem-se ao calcanhar pelo
tendão calcâneo. O ponto de apoio A é a ponta do pé.
A cabeça é uma alavanca interfixa quando a inclinamos para
trás ou para a frente. O peso da cabeça é a força resistente Fa a
força potente E, é exercida pelos músculos do pescoço. À articula-
ção da cabeça com a coluna vertebral define o ponto de apoio A.
Músculos
gêmeos
Entre na rede Ea
No endereço eletrônico http://
www.walter-fendt.de/ph24br/
lever br.htm (acesso em
23/2/2007), você pode realizar
simulações sobre o princípio
| da alavanca.
nm mo anaa
ds de a
Teste sua leitura
1.31. Considere a associação de polias esquemati-
zada na figura. Os fios e as polias são supos-
tos ideais e a barra AB tem peso desprezível.
O peso da carga é de 600 N (intensidade da
força resistente: Fk = 600 N).
Determine:
a) a intensidade da força potente F, aplicada
pelo operador para manter o sistema em
equilíbrio;
b) a vantagem mecânica da associação.
Classifique cada alavanca em interfixa, inter-
potente ou inter-resistente.
|
|
L33 (Unicamp-SP) O bíceps é um dos músculos
envolvidos no processo de dobrar nossos
braços. Esse músculo funciona num siste-
ma de alavanca como é mostrado na figura
abaixo. O simples ato de equilibrarmos
um objeto na palma da mão, estando o
braço em posição vertical e o antebraço
em posição horizontal, é o resultado de um
equilíbrio das seguintes forças: o peso P do
objeto, a força F que o bíceps exerce sobre
um dos ossos do antebraço e a força C que
o osso do braço exerce sobre o cotovelo. A
distância do cotovelo até a palma da mão
éa = 0,30 m e a distância do cotovelo ao
ponto em que o bíceps está ligado a um dos
ossos do antebraço é de d = 0,04 m. O obje-
to que a pessoa está segurando tem massa
M = 2,0 kg. Despreze o peso do antebraço e
da mão. Use g = 10 m/s”.
Bíceps
Ossos do
Cotovelo
a) Determine a força F que o bíceps deve
exercer no antebraço.
b) Determine a força C que o peso do braço
exerce nos ossos do antebraço.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Realize as experiências com supervisão de seu professor.
O equilíbrio e o centro de gravidade
F experiência
Espete dois garfos idênticos na parte lateral de uma rolha. Em seguida atravesse a rolha com um prego, como indica
a foto. Depois, apóie o sistema pela ponta do prego numa superfície qualquer.
* Que tipo de equilíbrio apresenta o sistema? Por quê?
* Onde se localiza o centro de gravidade em relação ao ponto de apoio?
THE NEXT
2º experiência
Com uma régua de madeira, um martelo e um cordão, monte o sistema indicado na foto. Ele permanece em equi-
líbrio com uma parte da régua apoiada numa mesa. Para que haja equilíbrio, como deve estar o centro de gravidade do
sistema em relação à base de apoio?
THE NEXT
3º experiência
Pegue uma vassoura e mantenha-a em equilíbrio na posição horizontal, apoiada sobre os dedos indicadores, que
são mantidos bem afastados.
THE NEXT
PONCLOLN ESEC LRC ESESCRLO CCR OLL SULCADULOCLLSLNOS VALORAR DO CONTO LDADDOO OO EC LL DA LTL LLC LOSE CD RCA RCA ROO LO O OO O OU a RO As On Ad AS
Capítulo 19 e Equitísrio DOs Corpos ExTENSOS 419 °
* Tente deslizar os dedos, um de encontro ao outro. Você notará que um dos dedos desliza e o outro fica parado, até que
depois de alguns instantes também começa a deslizar. Explique por quê.
* Num certo ponto os dedos se encontram. À vassoura fica em equilíbrio apoiada neles. O que representa este ponto de
apoio?
e Qual parte da vassoura pesa mais, a da direita ou a da esquerda do ponto de apoio?
THE NEXT
4º experiência
Fique de pé, em frente a uma parede e com os dedos do pé encostados na parede (foto I). Tente, em seguida, ficar
em equilíbrio levantando os calcanhares. Você consegue? Explique.
Agora, fique em pé com um ombro encostado na parede (foto II). Levante lateralmente a perna mais afastada da
parede. Você consegue ficar em equilíbrio nessa nova situação? Explique.
THE NEXT
N . Ra
* AFotol À Foto Il
5 experiência
Desenhe o mapa do Brasil numa folha de cartolina e em seguida o recorte. Descreva um método que permita de-
terminar o centro de gravidade do mapa.
e 420 Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1. CONCEITO DE PRESSÃO
2. CONCEITO DE MASSA ESPECÍFICA E DENSIDADE
3. PRESSÃO EM UM LÍQUIDO. TEOREMA DE STEVIN
BB 1. Conceito de pressão
Se você apertar um lápis entre os dedos, conforme a
figura 1, sentirá dor apenas no dedo em contato com a extremi-
dade apontada. A força exercida tem igual intensidade nas duas
extremidades do lápis, mas na extremidade com ponta a força
se distribui por uma área menor. Dizemos que do lado da ponta
a pressão é maior.
A grandeza dada pela relação entre a intensidade da força
que atua perpendicularmente e a área em que ela se distribui é
denominada pressão (p).
E Na Hidrostática estudamos os fluidos (gases
e líquidos) em equilíbrio, analisando a pressão
É , j que exercem e a força com que atuam sobre corpos
4, EQUILÍBRIO DE LÍQUIDOS IMISCÍVEIS. neles imersos.
VASOS COMUNICANTES
5. PRINCÍPIO DE PASCAL. PRENSA HIDRÁULICA
6. TEOREMA DE ARQUIMEDES
Num corpo flutuante, como o navio da foto,
aplicam-se os princípios da Hidrostática.
Figura 1. A pressão é maior no contato
com a ponta do lápis (menor área).
Assim, por exemplo, se uma força de intensidade 10 N estiver distribuída perpendicularmente à área
de 0,4 m° (figura 2a), a pressão sobre ela será:
2 ON
= dao T SNI
,4 Mm
Distribuindo-se a mesma força numa área de apenas 0,2 m° (figura 2b), a pressão exercida será:
10N
azn T SONM?
,2m
a) b)
0,4 m?
0,2 m?
Figura 2. O mesmo corpo de peso 10 N está apoiado em faces
de áreas diferentes. A pressão é maior quando o corpo está
apoiado na base de área menor.
Observe que a mesma força exerce maior pressão no segundo caso, onde a área é menor.
CapituLo 20 e| HiDROSTÁTICA
Assim, sendo F a intensidade da resultante das forças distribuídas perpendicularmente em uma su-
perfície de área A, a pressão p é dada pela relação:
A A ponta afilada do prego garante
elevada pressão, facilitando sua
penetração na madeira.
ALBERT NORMANDIN / MASTERFILE-OTHER IMAGES
A A escavadeira se move bem num terreno lamacento A A pressão que a patinadora exerce
porque suas esteiras exercem menor pressão do que um sobre o gelo é grande, pois é pequena
veículo de rodas, de mesmo peso. a área da lâmina dos patins.
A unidade de pressão no Sistema Internacional de Unidades
(Sl) é o newton por metro quadrado (N/m?), também deno-
minada pascal (Pa). Eventualmente são usadas as unidades dina
por centímetro quadrado (dyn/cm?) e bar. As relações entre
essas unidades são:
1 Pa = 10 dyn/cm?
1 bar =10º dyn/cm? = 10º Pa |
A Os manômetros dos postos de serviço
medem a pressão dos pneus dos
carros na unidade prática Ibf/pol?
Os aparelhos que medem pressão são denominados manô- (libra-força por polegada quadrada),
metros. também chamada psi.
Exercícios
resolvidos
Uma força de intensidade 2 N é aplicada perpendicularmente a uma superfície por meio de um pino de 1 mm
de área. Determine a pressão, em N/m”, que o pino exerce sobre a superfície.
Solução:
Como a pressão é pedida em N/m, a área da superfície deve ser expressa em m. Assim:
A=Imm > A= 10° m?
2 : ,
To p=2-10 Nm
enesonorcasa su so nora cano CONOR O MON ON ACTOR PACANDONCA CANCRO A Ana a ana sad oenuoasusaca Mequere pone ronno ra caeno sonoro sanar no nenna senso nda
Sendo F = 2 N, a pressão é dada por:
Dj
V
I
p=
Resposta: 2 - 10° N/m’
e 422 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Q
Z
Z
`
n
w
>
ts
z
fam
o
q
4
[o]
SERIDEC PHOTOIMAGENE / CID
EDUARDO SANTALIESTRA ¿CID
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de teverairo de 1998.
na Um tijolo tem dimensões 5 cm X 10 em x 20 cm e massa 200 g. Determine as pressões, expressas em N/m’, que
ele pode exercer quando apoiado sobre uma superfície horizontal. Adote g = 10 m/s”.
Solução:
O tijolo exerce sobre a superfície horizontal uma pressão devida ao seu peso: P = mg.
Sendo m = 200 g = 200 - 10º kg = 0,2 kg, vem: P = 0,2- 10 = P=2N
Como o tijolo possui três faces sobre as quais pode ser apoiado, ele pode exercer três pressões diferentes:
A, = 10 cm - 20 cm = 200 cm? = 200 -10“m? = 2 - 10°? m?
A, = 5 cm + 20 cm = 100 cm” = 100 - 104 m? = 1 -107° m?
A; = 5 cm ; 10 cm = 50 cm’ = 50 - 104 m? = 0,5 : 107° m?
P 2
Pi = A = 2- 107 > | p 7 10° N/m?
1
P 2
Pp, = A = 1-107 > p= 2- 10° N/m?
2
P 2
p=" vs > T4 N
3 ,
Resposta: p, = 10º N/m”; p, = 2+ 10° N/m? e p; = 4+ 10º N/m?
ropostos
P.497. A cápsula de um toca-discos tem 2 g de massa e a ponta da agulha apresenta área igual a 10º cm”. Determine a
pressão que a agulha exerce sobre o disco, expressa em N/m’. Adote, para a aceleração da gravidade, o valor
g = 10m/s”.
P.498 (Faap-SP) Uma banqueta de três pernas pesa 50 newtons e cada perna tem seção reta de área 5 cm”. Subindo
nela uma pessoa de peso 700 newtons, qual será a pressão que cada perna exercerá no chão?
P499 Um paralelepípedo de massa 5 kg tem 2 m de comprimento, 0,5 m de largura e 0,2 m de altura. Sendo g = 10 m/s”,
determine as pressões que esse paralelepipedo pode exercer quando apoiado sobre uma superfície horizontal.
EB >. Conceito de massa específica e densidade
Considere uma amostra de certa substância cuja massa seja m e cujo
. ` . zee an a
volume seja V (figura 3a). Define-se a massa específica da substância pela )
relação:
b)
Considere agora um corpo, homogêneo ou não, de massa m e volume V m
(figura 3b). A densidade d do corpo é dada pela relação:
Figura 3.
Se o corpo é maciço e homogêneo, a sua densidade (d) coincide com a massa específica (u)
do material que o constitui.
CapiTULo 20 + HIDROSTÁTICA 423º
© ERRA |
Assim, por exemplo, um cubo maciço e homogêneo de alumínio, cuja massa específica é 2,7 g/cm,
terá densidade igual a 2,7 g/cm”. Se o cubo de alumínio for oco, sua densidade será menor que
2,7 g/cm?, isto é, menor que a massa específica do alumínio.
Para os líquidos, considerados sempre homogêneos, não é necessário fazer a distinção entre densi-
dade e massa específica.
A tabela seguinte fornece valores de massa específica para alguns materiais.
Alumínio Álcool 0,79 g/cm?
Ferro Benzeno 0,90 g/cm’
Chumbo Mercúrio 13,6 g/cm?
Platina 21,5 g/cm?
o
A
As unidades de densidade ou massa específica correspondem sempre à relação entre unidade de mas-
sa e unidade de volume. As unidades mais usadas são kg/m”, g/em” e kg/t. Por exemplo, a densidade
da água, à temperatura de 4 °C, nessas unidades, vale:
10° kg
1 g/cm? = 1. — > = 1 kg/t
3 10° £ 9
—3
1 g/cm? = 1: a = 10º kg/m? = 1.000 kg/m?
Em resumo: | digua = 1 g/cm? = 1 kg/t = 1.000 kg/m”
. resolvidos
é Um objeto feito de ouro maciço tem 500 g de massa e 25 cm” de volume. Determine a densidade do objeto e a
massa específica do ouro em g/cm” e kg/m”.
Solução:
Como se trata de um objeto homogêneo e maciço de ouro, sua densidade coincide com o valor da massa es-
pecífica da substância que o constitui.
Sendo m = 500 g e V = 25 cm”, vem:
Hu =d = E spu =d = SD a (pu = d= 20 gem”
Como 1 g = 10° kg e 1 cm? = 10° m?, vem:
10° kg
10° m?
Uu =d = 20 Uau = d = 20-10 kg/m? > [a =d=2:10! kg/m |
Resposta: d = 20 g/cm? e ua, = 2º 10º kg/m”
Observação:
A unidade kg/m é mil vezes menor que a unidade g/cm’. Por isso, o número que expressa a densidade em kg/m”
é mil vezes maior que o número que expressa a densidade em g/cm”. Então, para converter uma densidade de
g/cm? para kg/m”, basta multiplicá-la por 10º.
Um cilindro tem 5 cm? como área da base e 20 cm de altura, sendo sua massa igual a 540 g. Esse cilindro tem a
parte central oca na forma de um paralelepípedo de volume 64 cm”. Determine:
a) a densidade do cilindro;
b) a massa específica da substância de que é feito.
«424 Os FUNDAMENTOS DA Física
Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
E]
B
2
e
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Do)
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3
2
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Solução:
a) À densidade do cilindro é dada pela relação entre sua massa e seu volume:
m=540g Ap = 5 cm co
V= Ane H=5:20 > V= 100 cm
e
aa
m 540 pes
d = E = a
V 100 4 g/em H=20 cm E
b) Para calcular a massa específica da substância do cilindro, devemos des- Q
Va =64cm? Mo
contar do volume total o volume da parte oca: oca
Vas = V — Voa = 100 cm? — 64 cm? = 36 cm?
Por ser desprezível a eventual massa de ar existente na parte oca, podemos admitir que a massa da subs-
tāncia é m = 540 g. Então:
> 15 g/cm
u= Vo 3 u g/
Resposta: a) 5,4 g/cm”; b) 15 g/cm”
Misturam-se massas iguais de dois líquidos de densidade d, = 0,4 g/cm” e d; = 0,6 g/cm”. Determine a densidade
da mistura, suposta homogênea.
Solução:
2
A densidade da mistura será dada por d = CATA sendo m a massa de cada um dos líquidos e V, e V, os
respectivos volumes. ! 2
da-s n=” eg=2sy=2
V d v do
Substituindo na primeira equação, obtemos:
d= — 2 sg-—U sg--2 sd às |a = 2t
mm ma + 5) 1,1 d +d d, + d
d è d d do dd,
2:04-0,6 0,48
E A i d o 0,6 ', i d = l ; d i
Como d, = 0,4 g/cm” e d, g/cm”, vem 06 + 04 > LO > |d=0,48g/cm
Resposta: 0,48 g/cm”
Misturam-se volumes iguais de dois líquidos de densidades d, = 0,4 g/cm° e d, = 0,6 g/cm’. Determine a den-
sidade da mistura, susposta homogênea.
Solução:
m + m
À densidade da mistura será dada por d = 3y
respectivas massas.
, sendo Vo volume de cada um dos líquidos e m, e m; as
m m
da= y > m=dV e b=5 > m, = dV
+ + +
Substituindo na primeira equação, temos: d = aV + aV >d = lh + dy > |d = atd
2V 2V 2
. . 4+ 1
Como d, = 0,4 g/cm? e d, = 0,6 g/cm’, vem: d = o 5 de= 12 d = 0,5 g/cm’
Respostas: 0,5 g/cm"
P.500 Uma jóia de prata pura, homogênea e maciça tem na forma de um cilindro de altura 4 cm e área
massa de 200 g e ocupa um volume de 20 cm”. De- da base 5 cm”. Sendo 1.280 g a massa do cubo,
termine a densidade da jóia e a massa específica determine:
da prata. a) a densidade do cubo;
P.501 Um cubo de aresta 8 cm é homogêneo, exceto na b) a massa específica da substância que o cons-
sua parte central, onde existe uma região oca, titui.
CapíTuLo 20 e HIDROSTÁTICA 425 °
P.502 Determine a densidade de uma mistura homogê- | P.503 Determine a densidade de uma mistura homogê-
nea em volumes iguais de dois líquidos de densi- | nea em massas iguais de dois líquidos de densi-
dades 0,8 g/cm? e 1 g/cm”. | dades 0,3 g/cm? e 0,7 g/cm”.
Ø 3. Pressão em um líquido. Teorema de Stevin
Considere um líquido de densidade d, homogêneo e incompressível, em
equilíbrio. Imagine uma porção desse líquido com a forma de um cilindro reto
de altura h e cujas bases tenham área A, estando a base superior exatamente [A
na superfície livre do líquido (figura 4). SLN TA
Na base superior atua a força E, exercida pelo ar existente sobre o líquido, VP: h
e, na base inferior, a força hidrostática Fą. Seja P o peso do cilindro líquido. E i
Como há equilíbrio, podemos escrever: a Vo A.
Fe=H+P E
Mas o peso do cilindro líquido vale: P = mg = dVg = dAhg Figura 4. No cilindro líquido
Assim: F, = F, + dAhg de peso P , F, age na base
superior e F,, na base
Dividindo pela área A da base, vem: h = - + mg inferior.
F, — Z ~ . . E, — Z
Mas a pa é a pressão exercida pelo ar na base superior e A O Ps é
a pressão na base inferior do cilindro. Logo:
Pe = pa + dgh |
Essa fórmula exprime o teorema de Stevin*.
A pressão em um ponto situado à profundidade h no interior de um líquido em equilíbrio é dada pela
pressão na superfície, exercida pelo ar (p4), chamada pressão atmosférica, somada à pressão exercida
pela coluna de líquido situada acima do ponto e expressa pelo produto dgh.
A Corte lateral de uma barragem.
ALCIONE FERREIRA / DIÁRIO DE PERNAMBUCO-AE
«4 A parede da barragem de uma usina
hidrelétrica é mais espessa na parte
inferior, que suporta pressão mais
elevada.
* STEVIN, Simon (1548-1620), matemático e físico flamengo, realizou notáveis trabalhos sobre a estática dos fluidos
na Física e sobre as funções decimais na Matemática.
e 426 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3.1. Superfícies isobáricas num líquido em equilíbrio
Como consequência imediata do teorema de Stevin, concluímos
que todos os pontos de uma mesma superfície horizontal (situados a
uma mesma profundidade h) e pertencentes a um mesmo líquido em
equilíbrio ficam sujeitos à mesma pressão. Na figura 5, os pontos X e Y
apresentam pressões iguais.
Px = Pr
Particularmente, a superfície livre de um líquido em equilíbrio, em
contato com o ar, apresenta em todos os seus pontos a mesma pressão,
igual à pressão atmosférica.
Portanto, num líquido homogêneo em equilíbrio, qualquer superfí-
cie horizontal é isobárica (mesma pressão), e a recíproca é verdadeira.
3.2. Pressão de colunas líquidas
O teorema de Stevin permite concluir ainda que uma coluna líqui-
da exerce na sua base uma pressão, devida ao seu peso, denominada
pressão hidrostática e expressa por:
pu = dgh |
em que d é a densidade do líquido, g a aceleração local da gravidade e
h a altura da coluna (figura 6).
A pressão total na base da coluna líquida corresponderá à soma
da pressão exercida pelo ar na superfície livre superior (pressão at-
mosférica: Pam) com a pressão exercida pela coluna líquida (pressão
hidrostática: pu).
P = Pam t Ph > P = Pam + dgh |
Na figura 7, representa-se graficamente como varia a pressão p no
interior de um líquido em equilíbrio com a profundidade h, medida a
partir da superfície livre do líquido exposta ao ar. Observe que o coefi-
ciente angular da reta corresponde a:
(arza)
3.3. Unidades práticas de pressão
Ar
Figura 5. Em pontos de uma
mesma superfície horizontal,
as pressões são iguais.
AS
Figura 6. A coluna líquida exerce
na base a pressão hidrostática.
Ap
Pam
0 h
Figura 7. Representação gráfica
da função: p = Pam + dgh
Do fato de colunas líquidas exercerem pressão, foram definidas as unidades práticas centímetro de
mercúrio (cmHg) e milímetro de mercúrio (mmHg). Tais unidades correspondem às pressões hidros-
táticas que exercem em sua base colunas de mercúrio com alturas de 1 cm e 1 mm, respectivamente, a
0 °C e num local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 m/5°.
Como a densidade do mercúrio a O °C é 13,6 : 10° kg/m, essas unidades valem, em N/m°:
1 cmHg = dgh = 13,6: 10º (kg/m) - 9,8 (m/s?) -0,01(m) > |1
1 mmHg = dgh = 13,6: 10º (kg/m) - 9,8 (m/s?) + 0,001 (m) >
1 cmHg = 10 mmHg |
Sendo assim, temos:
CROOLCADASISCLLL OLE CNOLLNCLACNON CANECA CO ANDOU LUC CANADA DU rs Canon en cana na soa nna ronca suas asma
Carítuio 20 e HiprOSTÁTICA
cmHg = 1.332,8 N/m?
1 mmHg = 133,28 N/m? |
3.4. A pressão atmosférica
Acima de cada ponto da superfície terrestre,
podemos considerar que há uma coluna de ar exer-
cendo pressão — a chamada pressão atmosférica.
Quem evidenciou esse fato pela primeira vez foi o
cientista italiano Torricelli*, ao realizar a seguinte
experiência (figura 8) ao nível do mar: encheu com
mercúrio, até a borda, um tubo de vidro com 120 em
de comprimento. Tapou a extremidade aberta (fi-
gura 8a) e inverteu o tubo num recipiente contendo
mercúrio (figura 8b). Ao destapar o tubo (figura 8c)
verificou que a coluna de mercúrio atingia a altura de
76 cm, restando o vácuo acima do mercúrio, região
esta denominada câmara barométrica.
Torricelli concluiu da experiência que a pressão a) b) c)
do ar sobre a superfície livre do mercúrio no reci-
piente era igual à pressão dos 76 cm de mercúrio Figura 8. Experiência de Torricelli.
contidos no tubo.
Na figura 8c, os pontos X e Y pertencem à mes-
<
e
O
g
©
|
|
|
|
Atenção: o mercúrio é um metal tóxico e de
ma horizontal e portanto: efeito cumulativo no corpo humano. Seus
Px= py vapores são facilmente absorvidos pelo
organismo, motivo pelo qual não é
Mas Px = Pam € Py = Peona: LOO: recomendável a realização do experimento
de Torricelli.
Nas unidades práticas de pressão, a pressão
atmosférica ao nível do mar vale: Entre na rede
$
| No endereço eletrônico http://br.geocities.
| com/saladefisica3/laboratorio/atmosferica/
atmosferica.htm (acesso em 23/2/2007), por
meio de simulações, você pode fixar os conceitos
| relacionados à pressão atmosférica.
temos: No j
Pam = 76: 1.332,8 N/m?
Pam = 76 cmHg = 760 mmHg
No Sistema Internacional de Unidades (SI),
E RN
Pam = 1,013 + 10º N/m?
A pressão atmosférica depende da altitude do local. Por exemplo, a pressão atmosférica na cidade
do Rio de Janeiro é maior que a pressão atmosférica em Belo Horizonte. Esse fato pode ser explicado com
base no teorema de Stevin: sobre o Rio de Janeiro, ao nível do mar, a coluna de ar é maior que sobre
Belo Horizonte, situada numa maior altitude (836 metros).
Tendo em vista que a pressão atmosférica ao nível do mar é suficiente para sustentar uma coluna
de mercúrio com 76 cm de altura, define-se outra unidade de pressão, denominada atmosfera (atm).
Assim, uma atmosfera é a pressão hidrostática que exerce na sua base uma coluna de mercúrio com
76 cm de altura, a O °C e num local onde g = 9,8 m/s”. Assim:
1 atm = 76 cmHg = 760 mmHg |
% TORRICELLI, Evangelista (1608-1647), discípulo de Galileu, estudou a grandeza física pressão; a ele
se deve a invenção do primeiro barômetro (do grego: baros, pressão; metro, medida), aparelho destinado
à medida da pressão atmosférica.
encocrconpn case sctda nda CUCRAnCenC On CRRCA ROMAN CANO ERDRLLC CA LLL ODE SEAL CA EANA LLC R COCA CRC USC ERR EEL Ta ce Pan CORSA Ure O Ren rs cena sanar
e 428 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Quando a pressão atmosférica é igual a 1 atmosfera, ela é de-
nominada pressão normal:
Prormal =1 atm | ` i
comem A : Para relacionar os con- |
Ao nível do mar, a pressão atmosférica é igual, em média, à | ceitos hidrostáticos com os |
pressão normal processos fisiológicos, leia |
R x au | a seção A Física em nosso |
O manômetro usado para medir a pressão atmosférica é deno- i ç 2a e
. A < Múndo, na página 452.
minado barômetro. ein nem cmdenio
Exercícios
tesolvidos
Um reservatório contém água, cuja densidade é 1 g/cm”,
até uma altura de 10 m. À pressão atmosférica local é
10º N/m? e a aceleração da gravidade é g = 10 m/s”. Determi-
ne a pressão no fundo do reservatório expressa em N/m’.
Solução:
De acordo com o teorema de Stevin, a pressão no ponto B, A a
situada no fundo do reservatório, vale:
p = pa + dgH H
Mas: P, = Pam = 10 N/m*; d = 1 g/cm? = 10º kg/m”;
H=10m
Assim: p = 10º + 10°- 10:10 > p = 10° + 10 => B +
> |p=2-10 Nm
Resposta: 2 + 10º N/m?
Observação:
Note que a pressão no fundo do reservatório é o dobro da
pressão atmosférica. Significa que a pressão exercida pela
coluna de água de 10 m de altura é igual à pressão atmos-
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
férica. Por essa razão, na foto ao lado, a água com corante,
que enche completamente o copo, não cai, pois a pressão
atmosférica que age na parte inferior do papel é maior que
o
D
D
o
Ee)
2
B
o
>
2
o
Ke)
o
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bA
B
2
g
a
o
G
O
3
5
g
a
E]
©
a pressão da coluna líquida.
A pressão no interior de um líquido homogêneo em equi-
líbrio varia com a profundidade, de acordo com o gráfico.
Determine:
A p (X 10° N/m?)
a) a pressão atmosférica;
b) a densidade do líquido;
c) a pressão à profundidade de 20 m.
(Adote g = 10 m/s”)
Solução:
A representação gráfica em questão corresponde ao teorema de Stevin e portanto à fórmula:
P = Pam + dgh
a) À pressão atmosférica é o valor da pressão na superfície livre do líquido, isto é, a pressão no ponto de pro-
fundidade nula. No gráfico, A = 0 corresponde a:
Pam = 1º 10º N/m?
Capítulo 20 + HiDROSTÁTICA 429º
b) Para calcular a densidade do líquido, lemos no gráfico um par de valores de pressão e profundidade (exemplo:
p=2-10 N/m? em h = 10 m). Aplicando o teorema de Stevin, obtemos:
2:10 =1:10+d-10-10 = 100d=2-10-1-10º =
. 5
=> 100d=1-10 = d -— > | d= 1- 10 kg/m
c) Aplicando novamente o teorema de Stevin, para a profundidade h = 20 m, obtemos:
p=1-10+1-10":10-20=1-1+2-:10 > |p=3 «10° N/m?
Respostas: a) 1 - 10° N/m?; b) 1 + 10° kg/m”; ©) 3 + 10º N/m?
sem Três recipientes com alturas iguais a 0,5 m, mas com formatos diferentes, são totalmente preenchidos com um
Ea O esquema representa um recipiente R, contendo um gás, conectado R
esessosoeo
mesmo líquido de densidade 10º kg/m”, como indica a figura. O fundo de todos os recipientes tem área de
0,4 m?. Sendo a aceleração da gravidade g = 10 m/s” e a pressão atmosférica igual a 10º N/m?, determine:
a) a pressão total exercida no fundo dos três recipientes;
b) a intensidade da força que atua no fundo dos três recipientes.
Solução:
a) A pressão no fundo dos três recipientes é a mesma e é dada pelo teorema de Stevin, independentemente da
forma da coluna líquida.
Sendo: Pam = 10° N/m2, d = 10° kg/m, g = 10 m/s? e h = 0,5 m, vem:
P = Pam t dgh > p = 10° + 10° -10 -0,5 = 10-10% + 0,5- 10° > p = 10,5- 10° N/m? > | p = 1,05 + 10° N/m?
b) Como os três recipientes têm fundos de mesma área (A = 0,4 m?), a força também será a mesma no fundo
dos três recipientes:
F=pASF=105:10-04 > F= 0,42: 10N => |[F=42-10N
Respostas: a) 1,05 - 10” N/m”; b) 4,2 + 104 N
Observação:
É fácil perceber que, nesse exercício, embora as forças no fundo dos três recipientes tenham intensidades
iguais, as quantidades de líquido, e portanto os pesos, são diferentes. A esse fato se costuma dar o nome de
paradoxo hidrostático.
Na verdade, o paradoxo é apenas aparente, pois o fato de a força no fundo ter intensidade menor que o peso
(segundo recipiente) ou maior (terceiro recipiente) explica-se pela reação das paredes do recipiente à força
com que o líquido age sobre elas.
No segundo recipiente, a reação Rda parede sobre o líquido pode ser Ry
decomposta na componente horizontal R, (cuja ação não se faz sentir
no fundo) e na componente vertical R, (que, estando orientada para Ha 2T R
cima, “alivia” o peso do líquido que existe a mais nesse recipiente, em
relação ao primeiro).
No terceiro recipiente, a componente horizontal Ra da reação R
da parede não exerce ação no fundo. A componente vertical R,,
estando orientada para baixo, atua sobre o fundo do recipiente,
como se houvesse mais líquido no recipiente.
com um tubo em U, com mercúrio e aberto para o exterior. Na situa-
ção de equilíbrio esquematizada, a altura H da coluna de mercúrio
é 24 cm e a pressão atmosférica é 76 cmHg. Determine a pressão
exercida pelo gás:
a) expressa em centímetros de mercúrio (cmHg);
b) expressa em N/m”, sendo dadas a densidade do mercúrio
(d = 13,6: 10º kg/m?) e a aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s”).
CONIDAE DOT O DO O COLUNISTA DC LUCAS ONDE ACE SUU LADO SAS C ONO OONC LU ALE NECLOE COS DSR US CALOR Ca ta Ca conse aa ses a 0
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereitade 1998.
Solução:
De acordo com o teorema de Stevin, pontos em uma mesma
horizontal no interior de um líquido em equilíbrio apresentam a
mesma pressão:
Pa = PB
Mas: p4 = Pss € Pp = Peoluna É Patm
Portanto: Pyas = Peoluna É Pam
a) Em centímetros de mercúrio, temos:
Pcoluna = 24 cmHg € Pam > 76 cmHg
Portanto: Pya = 24 + 76 = | Pas = 100 cmHg
b) A pressão exercida pelo gás equivale, portanto, à pressão exer- Entre na rede
cida na sua base por uma coluna de mercúrio de altura 100 cm.
Aplicando o teorema de Stevin: No endereço eletrônico http://
Pess = dng H www.walter-fendt.de/ph24br/
hydrostpr_br.htm (acesso em
. — 108 3 g 2 Ho -
Mas: dus = 13,6: 10 kg/m; g = 9,8m/s; H = 100 cm = Im 23/2/2007), podem ser realizadas
. - ani.0e. = an 2 várias simulações em que a pres-
Logo: Pais = 13,6: 101-98 -1 = | Pes = 1,88 - 10 N/m são hidrostática de um líquido é
. . a 3 medida por um manômetro em
Respostas: a) 100 cmHg; b) 1,33 - 10º N/m forma de U.
Exercícios
propostos
P.504 Num vaso cilíndrico de raio 5 cm é colocado mercúrio até a altura
de 50 cm. Sendo 13,6 - 10º kg/m” a densidade do mercúrio, 10 m/s” a
aceleração da gravidade e 10º Pa a pressão atmosférica, determine:
a) a pressão hidrostática do mercúrio no fundo do vaso;
b) a pressão total no fundo do vaso;
c) a intensidade da força atuante no fundo do vaso.
P505 A pressão no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio varia A p (X 10 N/m?)
com a profundidade conforme o gráfico. Considerando g = 10 m/s”,
determine:
a) a pressão atmosférica;
b) a densidade do líquido;
c) a pressão hidrostática e a pressão total num ponto situado a
5 m de profundidade.
0 1 2 3 h (m)
P506 Os recipientes da figura contêm o mesmo líquido até a altura
` h= 0,5 m, sendo que o da esquerda contém 20 kg desse líquido. 0 2222 a
A pressão atmosférica é 10º N/m’ e g = 10 m/s).
Determine: h
a) as pressões exercidas nos fundos dos dois recipientes, cujas y
áreas são iguais e valem 0,02 m?;
b) a intensidade das forças que agem no fundo dos recipientes;
c) a densidade do líquido que preenche os recipientes.
P.507 A pressão exercida por um gás pode ser medida por um manô- Vácuo
metro de tubo aberto (figura a) ou por um manômetro de tubo `
fechado (figura b). A altura da coluna de mercúrio no manômetro Gás
de tubo aberto é h, = 20 cm.
Sendo a pressão atmosférica igual a 76 cmHg, determine:
a) a pressão exercida pelo gás em cmHg, mmHg e atm;
b) a altura A, da coluna de mercúrio no manômetro de tubo
fechado.
Carítuio 20 e HiDROSTÁTICA 431º
Ba. Equilíbrio de líquidos imiscíveis.
Vasos comunicantes
Quando dois líquidos que não se misturam (imiscíveis) são coloca- a)
dos num mesmo recipiente, eles se dispõem de modo que o líquido de
maior densidade ocupa a parte de baixo, e o de menor densidade, a parte d
de cima (figura 9a). A superfície de separação entre eles é horizontal.
Por exemplo, se óleo e água forem colocados com cuidado num
recipiente, o óleo fica na parte superior porque é menos denso que a
água, que permanece na parte inferior.
Caso os líquidos imiscíveis sejam colocados num sistema consti-
tuído por vasos comunicantes, como um tubo em U (figura 9b), eles
se dispõem de modo que as alturas das colunas líquidas, medidas a
partir da superfície de separação, sejam inversamente proporcionais às
respectivas densidades.
Sejam d, a densidade do líquido menos denso; d, a densidade do
líquido mais denso; h; e h, as respectivas alturas das colunas, em relação
à superfície de separação. Considere os pontos A e B situados na mesma .. Do
horizontal, como indicado na figura 9b. A pressão no ponto A é igual à Figura 9. a) Líquidos imiscíveis
em equilíbrio estável.
pressão no ponto B (mesma horizontal e mesmo líquido): b) Equilíbrio de líquidos
Pa = Pe imiscíveis num tubo em U.
Mas: Pa = Patm + dgh, e Ps = Patm + dgh,
d, >d,
b)
Assim:
Pam + digh = Pam + dbgh, > digh, = dagha > | dihi = dh; |
Exercicios
“resolvidos
Água e óleo, de densidades 1 g/cm? e0,8 g/cm*, respectivamente, são colocados em um
sistema de vasos comunicantes, como mostra a figura. Sendo 26 cm a altura da coluna
de óleo, determine a altura da coluna de água medida acima do nível de separação
entre os líquidos.
Solução:
Evidentemente, o óleo é o líquido do ramo esquerdo
(menos denso), e a água, o do ramo direito (mais denso). di
São dados: d, = 0,8 g/em”, d, = 1 g/cm? eh, = 26 cm. ` h h
1 2
A
|
|
De dih, = d,h,, vem: 0,8 + 26 = 1 - h, => | h, = 20,8 cm A r
Resposta: 20,8 cm
à Três líquidos imiscíveis de diferentes densidades se dispõem num tubo em U como
mostra a figura. Sendo 0,6 g/cm” a densidade do líquido menos denso e 2,5 g/cm? a do
líquido mais denso, determine a densidade do terceiro líquido.
Solução:
Para o líquido menos denso:
dı = 0,6 g/cm? e h, = 6cm
Para o líquido mais denso:
d, = 2,5 g/cm? e h, = 3cm
Para o terceiro líquido: d; =? e h, = 5cm
São iguais as pressões nos pontos À e B: p, = Pg
e 432 Os FUNDAMENTOS DA Física
ódigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
ks
g
V
2
2
a
o
Ei
>
3
2
2
a
o
©
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 dé fevereiro de 1998.
Como p, = Pam + digh, + dogh, e Pe = Pam t daghs, vem:
Pam + digh, + dogh, = Pam + dagh, > digh, + dagh, = dagh; > dihi + dh, = dh;
Substituindo pelos valores numéricos:
0,6:6+25-3=d;:5536+75=d:5> d, = H d; = 2,22 g/cm?
Resposta: 2,22 g/cm?
Exercícios
ropostos
P.508 Água de densidade 1 g/cm? e mercúrio de densidade 13,6 g/cm" são colocados
num tubo em U, de modo que a altura da coluna de mercúrio, medida a partir da
superfície de separação, é 2 cm. Determine a altura da coluna de água medida a
partir da mesma superfície.
P.509 A figura ao lado mostra como três líquidos imiscíveis de densidades diferentes se
dispõem num tubo em U. Sendo dadas as densidades do líquido © (d, = 0,4 g/cm”)
e do líquido O (d, = 2,5 g/cm), determine a densidade d, do líquido O.
Bs. Princípio de Pascal. Prensa hidráulica
Quando é exercida uma pressão num ponto de um líquido em equilíbrio, essa pressão se transmite a
todos os pontos do líquido. É o que ocorre, por exemplo, no freio hidráulico de um automóvel, no qual
a pressão exercida pelo motorista no pedal se transmite até as rodas através de um líquido (óleo).
Esse fato é conhecido como:
Princípio de Pascal*
Os acréscimos de pressão sofridos por um ponto de um líquido em equilíbrio são transmitidos
integralmente a todos os pontos do líquido e das paredes do recipiente que o contém.
Reservatório.
de fluido `
Cilindro -—_
mestre
Fluido
n, z SÑ . < Freio a disco. Ao acionarmos o pedal
i i do freio estamos empurrando o
pistão, exercendo assim uma pressão
Pistão no fluido existente no cilindro.
Essa pressão se transmite aos pistões
existentes no cilindro de freio da
roda, que comprimem as pastilhas
contra o disco de freio ligado à roda.
Pastilhas“
de freio Cilindro
de freio
Disco de freio da roda
%* PASCAL, Blaise (1623-1662), filósofo, matemático e físico francês, inventou a primeira calculadora de que se tem
notícia. Em Física notabilizou-se por seus trabalhos na Hidrostática.
Carítuio 20 * HiDROSTÁTICA 433º
© ae
Outra importante aplicação do princípio de Pascal é a prensa F
hidráulica, que consiste em dois recipientes cilíndricos de diâme- T
tros diferentes, ligados pela base e preenchidos por um líquido ho- Ay me
mogêneo (figura 10). Sobre o líquido são colocados dois êmbolos, =
cujas seções têm áreas 4, e A, diferentes (4, < A).
Aplicando no êmbolo menor uma força F, o líquido fica sujeito
2. z F z .
a um acréscimo de pressão p, = A . Como a pressão se transmite
Figura 10. Prensa hidráulica.
|
integralmente através do líquido, o êmbolo maior fica sujeito ao
or a Bb... x x
acréscimo de pressão p, = A , igual à pressão p;. Portanto:
Portanto, as intensidades das forças aplicadas são diretamente
proporcionais às áreas dos êmbolos. Por exemplo, se a área A, for
dez vezes maior que a área 4, a força F, terá intensidade dez vezes
maior que a intensidade da força F,.
Em cada operação da prensa, o volume de líquido (V) desloca-
do do recipiente menor passa para o recipiente maior. Chamando
de h, e h, os deslocamentos respectivos dos dois êmbolos, cujas Figura 11.
áreas são 4, e A, (figura 11), podemos escrever:
V=hA e V=hA,
hA = hA
Portanto, numa prensa hidráulica, os deslocamentos sofridos pelos êmbolos são inversamente
proporcionais às suas áreas. Em outros termos, o que se ganha na intensidade da força, perde-se no
deslocamento do êmbolo.
Nas aplicações práticas da prensa hidráulica, como a prensa usada para comprimir fardos (figura
12) e o elevador hidráulico de um posto de serviços (figura 13), o deslocamento total h, que o êmbolo
menor deveria sofrer é subdividido em vários deslocamentos menores e sucessivos, por meio de válvulas
convenientemente colocadas. Observe nas figuras que, em cada incursão, ao se deslocar para baixo o
êmbolo E,, a válvula V se fecha e a válvula V’ se abre, permitindo a passagem de líquido e a elevação do
êmbolo E. Ao se trazer de volta o êmbolo E, à posição inicial, a válvula V’ se fecha e V se abre, fazendo
com que entre líquido do reservatório no sistema. E o processo vai se repetindo. Durante a operação,
a torneira T permanece fechada. Ao final, para início de uma nova operação, o líquido do tubo maior
retorna ao reservatório, mediante a abertura da torneira T.
Assim:
Reservatório
Figura 12. Prensagem de fardos. Figura 13. Elevador hidráulico.
tosososesosoosse tosososoecsessone eeenouosovvossosessosossesesesesesseososseseecsoeseseno sesonovenescososssuosesososocoovososeseesosusesuesuononoroesasse
Os FUNDAMENTOS DA Física
“434
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução praibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O elevador hidráulico de um posto de automóveis é acionado mediante um cilindro de área 3 + 10º mº. O au-
tomóvel a ser elevado tem massa 3 - 10º kg e está sobre o êmbolo de área 6 - 10 * m’. Sendo a aceleração da
gravidade g = 10 m/s”, determine:
a) a intensidade mínima da força que deve ser aplicada no êmbolo menor para elevar o automóvel;
b) o deslocamento que teoricamente deve ter o êmbolo menor para elevar de 10 cm o automóvel.
Solução:
a) As intensidades das forças nos dois êmbolos são diretamente proporcionais às respectivas áreas:
F=mg=3-10"-10 > 6=3-10N
Temos: i
A =3:107m e A, =6:10” m’
. 4
Assim: h = 3 to > |F = 15-10N
3.107 6:10
b) São dados: 4, = 3: 10° m; A, = 6: 10 *m?; h, = 10 cm = 0,1 m
Substituindo em hA; = hA, vem:
hi-3+10%=0,1:6-10° >
Esse deslocamento teórico que o êmbolo menor deveria sofrer é muito grande. Na prática, como vimos,
esse deslocamento é subdividido em vários deslocamentos menores e sucessivos, por meio de válvulas
adequadas.
Respostas: a) 1,5 : 10° N; b) 20 m
|] Exercício
proposto.
P,510 Numa prensa hidráulica, o êmbolo menor tem raio 10 cm e o êmbolo maior, raio 50 cm. Se aplicarmos no êmbolo
menor uma força de intensidade 20 N, deslocando-o 15 cm, qual é a intensidade da força no êmbolo maior e
seu deslocamento?
BB 6. Teorema de Arquimedes
Quando uma pessoa está mergulhada nas águas de uma piscina ou no mar, sente-se mais leve, como
se o líquido estivesse empurrando seu corpo para cima, aliviando seu peso. Ao que se sabe, foi o sábio
grego Arquimedes* de Siracusa quem pela primeira vez teve a percepção desse fato. Segundo alguns,
ele teria chegado a essa conclusão durante um banho nas termas públicas da cidade em que vivia. En-
tusiasmado com a descoberta, o cientista teria saído nu pelas ruas, exclamando: “Heureka! Heureka!”
(“Descobri! Descobri!”).
%* ARQUIMEDES (287 a.C.-212 a.C.), célebre matemático e engenheiro grego. É responsável por uma série
de inventos, como rodas dentadas, roldanas e vários dispositivos militares, usados nas batalhas travadas entre sua
cidade, Siracusa, e os romanos.
esconnecesa PODILALANG OLDIES CU LUC O TONDELA UU NOSSA OUSO LADOS ONA CO RCA CL RAR Corona nte censos o neo
CarítuLo 20 © HiDROSTÁTICA 435º
e—————
tu
>
Fac)
[|
tm
A verificação da existência de uma força com que o líquido atua sobre um corpo nele mergulha-
do pode ser feita com o auxílio de uma balança de braços iguais, conforme se indica na figura 14.
Na figura 14a, o peso do corpo P é, em módulo, igual à tração T do fio, aplicada no prato da balança
à direita:
T=P
Na figura 14b, o corpo imerso no líquido parece pesar menos, pois a balança desequilibra do lado
Ed . . >
do contrapeso. A conclusão é que o líquido deve necessariamente estar exercendo no corpo uma força E
de direção vertical (como o peso e a tração}, de sentido para cima, provocando assim esse desequilíbrio.
g Ed . . Ed
A essa força E que o líquido exerce no corpo imerso dá-se o nome de empuxo.
a) b)
Ce TeP É F
vi 7
Contrapeso E
Contrapeso
P P
Figura 14. a) O contrapeso equilibra o corpo suspenso. b) A balança se desequilibra quando o corpo
é imerso num líquido.
A nova tração do fio T’ (figura 14b) é menor que a tração T (figura 14a), sendo dada por:
T'=P-E
A força de intensidade T’ costuma ser chamada de peso aparente (P,, ), pois aparentemente o corpo
pesa menos quando está imerso. Sendo assim, podemos escrever:
Pœ P-E
ap.
A intensidade E do empuxo pode ser determinada segundo a experiência descrita na figura 15. Há
dois cilindros: A, sólido e fechado, e B, aberto em sua parte superior e de mesmo volume que A. Assim,
o cilindro A preenche exatamente a cavidade vazia do cilindro B.
a) b) c)
Contrapeso
Contrapeso
Contrapeso B
Figura 15. O empuxo é igual ao peso do volume de liquido deslocado pelo corpo.
Na figura 15a, o equilíbrio é obtido com o contrapeso no prato da balança, à esquerda. Na figura 15b o
empuxo da água sobre o corpo provoca desequilíbrio: o peso aparente do corpo é inferior ao do contrapeso.
Na figura 15c, o equilíbrio é restabelecido quando o cilindro B é preenchido completamente com água.
Conclusão: o corpo imerso desloca uma quantidade de água. O peso do volume de água deslocado
equilibra o empuxo, pois o equilíbrio foi restituído, colocando-se esse volume de água deslocado no
cilindro vazio.
tesenenesosoacsnecssnonsononooesusasseososovesososossnesosoceososesossosssosesosoosooeeosoosezerososessesssosrezesosozeessrososecsesoassenesesseusuoneseso
e 436 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Chegaremos ao mesmo resultado se refizermos a experiência inúmeras vezes e para diversos sólidos
de formas e naturezas diferentes, imersos total ou parcialmente em água ou em outro líquido.
O líquido exercerá no corpo uma força E (empuxo) vertical para cima, de intensidade igual ao peso
do líquido deslocado. Essa conclusão é válida para corpos imersos em fluidos em geral, líquidos ou ga-
ses. Existe, por exemplo, empuxo devido à água, ao ar etc. Esse fenômeno é descrito pelo teorema de
Arquimedes:
Todo corpo sólido mergulhado num fluido em equilíbrio recebe uma força de direção vertical e
sentido de baixo para cima cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado.
Logo, a intensidade do empuxo é dada por: E = P, = m,g
Sendo q; a densidade e V, o volume do fluido deslocado, decorre: d; = m => Mm = dV;
f
Portanto: E= P = mg >
O volume V; do fluido deslocado é o próprio volume do corpo se ele estiver totalmente imerso (figura
16a); é o volume imerso quando o corpo está flutuando (figuras 16b e 160).
a) b) c)
Figura 16. O volume do fluido deslocado corresponde ao volume imerso do corpo.
acum
Nos endereços http://www.walter-fendt.de/ph2 1br/buoyforce_br.htm e http://www.cepa.if.usp.br/fkw/ tu
buoyant/buoyant.html (acesso em 23/2/2007), você pode fazer diversas simulações para comprovar o teorema |
de Arquimedes.
| J
o Mar Morto
Ao adicionarmos sal à água, obtemos uma solução
cuja densidade é maior que a da água pura.
Se um objeto estiver flutuando nessa solução (uma
bola de isopor, por exemplo), ele vai subindo à medida
que mais sal é dissolvido. Esse fenômeno ocorre porque
o aumento gradativo da densidade do líquido faz com que
diminua o volume imerso, para que o empuxo permaneça
o mesmo, equilibrando o peso do objeto.
O Mar Morto, situado na Jordânia, é o reservatório na-
tural de água de maior salinidade no mundo. A excessiva
-concentração de sal dissolvido na água desse mar (que
| na verdade é um grande lago) impede a sobrevivência de
~ qualquer ser vivo no seu interior, justificando seu nome.
Além disso, essa elevada salinidade faz com que a
densidade da água do Mar Morto seja tão alta que uma
pessoa não consegue afundar, permanecendo sempre
boiando em sua superfície.
CarítuLo 20 © HiDROSTÁTICA 437 o
“ES
S
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EO)
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Exercícios
“resolvidos
sema Um balão de hidrogênio de peso igual a 400 N está preso a um fio, em equilíbrio estático vertical. Seu volume
é 50 m*.
a) Determine o empuxo exercido pelo ar sobre o balão, considerando que a densidade do ar é igual a 1,2 kg/m”.
Adote g = 10 m/s”.
b) Determine a tração do fio que sustém o balão.
Solução:
No balão em equilíbrio atuam seu peso P = 400 N, a tração do fio Te o empuxo E devido ao ar.
mn
a) O empuxo E é igual ao peso do fluido (ar) deslocado. O volume de ar deslocado é igual ao próprio
volume (50 m) do balão.
Sendo d; = d, = L2kg/m',V.= V = 50 m? e g = 10 m/s”, vem:
E=P-mg-dVgS E=1,2:50:10 = [E=600N F
b) Como o balão está em equilíbrio, a resultante das forças é igual a zero. Daí, Pe T equilibram Ê
T+P=E>T=E-P=600-400 => |T=200N
Respostas: a) 600 N; b) 200 N
~=}
zJ; . 1 . . 1
E 0 Um sólido flutua em água com 3 de seu volume imerso. O mesmo corpo flutua em óleo com — de seu volume
Eid Um cilindro circular reto, de altura h = 30 cm e área de base A = 10 cm”,
seveveraso
imerso. Determine a relação entre a densidade do óleo d, e a densidade da água d..
Solução:
No corpo atuam o peso e o empuxo. E
Quando o corpo está na água: E =P © o o
Quando está no óleo: E =P © ' Ve y
De Ô e O, decorre: E, =E, © ; V
Empuxo da água: E, = d Vg = d, ` [ar g Água
(d)
1
Empuxo do óleo: E, = dVg = d,’ G v) "g
Substituindo em ©: Eo
1 1 d 6 3
dol>V|: del =V]. 2 0,75
lav)e a (iv)e= é 84
Portanto: & = 0,75
Resposta: & = 0,75
a
2
flutua na água, em posição vertical, tendo 3 de sua altura imersos.
>
Aplica-se axialmente na base superior uma força F, passando o
cilindro a ter - de sua altura imersos.
(Dados: g = 10 m/s”; densidade da água = 1 g/cm’)
Determine:
a) a densidade do cilindro,
b) a intensidade da força F.
Solução:
a) Na primeira situação atuam apenas o peso Peo empuxo Ē P= mg = dVg; E = d, V,g
O volume V é dado pelo produto da área À da base pela altura h: V = Ah
Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O volume de água deslocado é dado pelo produto da área da base A pela altura (ža) do sólido imerso em
água: V, = À 2 h
3
Portanto: P = dVg = dAhg; E = d,V,g = d,Å = hg
No equilíbrio: P = E > dAhg = d, A = hg > d= Ža,
Como d, = 1 g/cm, vem: | d= É g/cm’
win
b) Aplicada a força F temos: F FP=E > FF -P
Mas: P= mg = dVg = dAhg; E' = d,V,g = d,A z hg
Portanto: F = d,Ahg — dAhg = F=( > d, — d): Ahg
Como d = = d, (item a), temos:
5 2 1
F = |-—d, — >d, | 'Ahg = — d, Ah
(5a, - 2a rata Laana
d= l g/cm? = 10° kg/m”
A= 10cm?’ = 10- 104m’ = 10° m’
Sendo:
h=30em=3-10!m
g = 10 m/s?
Vem: F = 6 10° - 10 3-10 10 > |F=05N
Respostas: a) Z g/cm; b) 0,5 N
A balança de braços iguais esquematizada nas figuras a e b encontra-se em equilíbrio. Na figura a o equilíbrio
é obtido pelo contrapeso de 1,5 kg e em b, quando o corpo está imerso em água, o contrapeso é 1,0 kg. O fio
que sustenta o corpo tem peso desprezível. Determine o volume do corpo. À densidade da água é 1,0 kg/t.
1,5 kg 1,0 kg
e
Figura a Figura b
Solução:
Na situação a, sabe-se que a massa do corpo é 1,5 kg.
Na situação b, o peso correspondente à massa de 1,0 kg (que vale 1,0 x g) equilibra a tração do fio aplicada no
prato da esquerda. Logo: T = 1,0g
T=1,0g
E
V 1,5 kg
P=1,5g
No corpo em equilíbrio: T + E = P > E= P- T= 1,5g — 1,0g = 0,5g
Como £ = d, Vg, vem: d Vg = 0,5g > d, V = 0,5 > 1,0V = 0,5 > |V=0,5:
Resposta: 0,5 £
esonenenessenessanesaseasroseessscennesozesssenornesernosorosucorsaseeroseereuevesrensreesasussaeasesenevsacsssererseseersveacosossssesessosorenesnattos
CapíTuLo 20 e HIDROSTÁTICA 439º
P.511
P.512
O corpo da figura a está preso a uma mola não-deformada e a um fio de peso desprezível. Seu volume é
20 litros e está totalmente imerso em água. A constante elástica da mola é 50 N/cm. Na figura b, o fio foi
cortado e o corpo atingiu o equilíbrio, deformando a mola de um comprimento x. Determine x.
(Dados: densidade da água = 1 g/cm? = 1 kg/t; g = 10 m/s”; massa do corpo = 8 kg)
Figura a
Solução:
O empuxo no corpo nas duas situações é o mesmo, pois o corpo permaneceu totalmente
imerso: E = d, Vg
Mas: d, = Ikg/f; V= 204; g= 10 m/s”
Portanto: E= 1-20-10 = E=200N
O peso do corpo é: P = mg = 8- 10 = P=80N
Figura b
Como o empuxo é maior que o peso, o corpo tende a subir. Na situação a, o fio impede a
subida do corpo. Na situação b, o fio é cortado e o corpo sobe, deformando a mola. Depois
E=200 N
de a mola sofrer a deformação x, o equilíbrio é obtido. A força Fque a mola exerce no corpo
tem intensidade:
F+P=E > F=E -P = 200 -— 80
Pela lei das deformações elásticas de Hooke: F = kx
F= 120 N
P=80N
F
Substituindo F = 120 N e k = 50 N/cm, vem: 50x = 120 =
Resposta: 2,4 cm
Exercicios
Um balão de hidrogēnio de peso igual a 600 N está
preso a um fio em equilíbrio estático vertical. Seu
volume é igual a 80 m’. Adote g = 10 m/s”. Densi-
dade do ar: d, = 1,25 kg/m”. Determine:
a) o empuxo exercido pelo ar sobre o balão;
b) a tração no fio que sustém o balão.
(Vunesp) Um bloco de madeira de massa 0,63 kg
é abandonado cuidadosamente sobre um líquido
desconhecido, que se encontra em repouso den-
tro de um recipiente. Verifica-se que o bloco
desloca 500 cm” do líquido, até que passa a
flutuar em repouso.
Líquido
Álcool etílico
Benzeno
Massa específica (g/cm”)
à temperatura ambiente
0,79
0,88
Óleo mineral
0,92
Água
1,00
Leite
1,03
| Glicerina
1,26
P.513
P.514
P.515
a) Considerando g = 10,0 m/s”, determine a intensi-
dade (módulo) do empuxo exercido pelo líquido
no bloco.
b) Qual é o líquido que se encontra no recipien-
te? Para responder, consulte a tabela anterior,
após efetuar seus cálculos.
Um paralelepípedo de altura igual a 1,2 m e área
da base igual a 1 m” flutua em água com 0,4 m
imerso. Determine a densidade do paralelepípe-
do em relação à água.
(Fuvest-SP) Numa experiência de laboratório, os
alunos observaram que uma bola de massa es-
pecial afundava na água. Arquimedes, um aluno
criativo, pôs sal na água e viu que a bola flutuou.
Já Ulisses conseguiu o mesmo efeito modelando
a massa sob forma de barquinho. Explique, com
argumentos de Física, os efeitos observados por
Arquimedes e por Ulisses.
(Unirio-RJ) Um cilindro maciço de plástico flutua
em água com 60% de seu volume submerso.
O cilindro tem a área da base S = 50 cm? e
altura h = 10 cm (dado: massa específica da
água = 1,0 g/cm?). Calcule:
AOS S LILA VD OnCUCNESENCONOL OCORRIA COLOR NDCLCDCLLELDAS CLT ADA GOLOS ONO UL NADAR CONCEDE AU SUNO SC COL RU Cara sa scan sa rrenan serena ua dass
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a) a massa específica do plástico; a) a densidade do corpo;
b) amassa m de um corpo que, colocado no topo b) a intensidade da resultante que o impulsiona
do cilindro, faz com que esse topo venha a para cima;
coincidir com a superfície da água. c) a aceleração adquirida pelo corpo;
d) a velocidade com que o corpo emerge do
P.516 Determine a densidade de um sólido suspenso | líguido;
por um fio de peso desprezível ao prato de uma e) o volume da parte do corpo que permanece
balança equilibrada nas duas situações mostra- submersa, ao se estabelecer o equilíbrio.
das na figura. A densidade da água é 1 g/cm? |
| P519 A figura mostra dois corpos A e B, de 10 kg de
massa cada um, presos a um fio flexível, inexten-
| sível, identificado pelo número 2, que passa por
| uma polia de eixo fixo e de massa desprezível.
| O corpo À tem volume de 10.000 cm? e está
imerso num líquido de densidade 1.000 kg/m.
| O fio 1, que mantém inicialmente o sistema em
| equilíbrio, é cortado num determinado instante.
| Desprezando a massa dos fios e considerando
| g = 10 m/s”, determine:
| a) as trações nos fios 1 e 2 antes de cortar o fio 1;
| b) a tração no fio 2 e a aceleração do sistema logo
| após o corte do fio 1;
| c) atração no fio 2 e a aceleração do sistema após
| o corpo À sair completamente do líquido.
P517 (Efoa-MG) Na figura está representada uma esfera
E de alumínio, com 50% de seu volume imerso
na água. Para que isso seja possível, a esfera é
sustentada parcialmente pelo dinamômetro D,
que marca 44 N. P.520 (Faap-SP) Um cilindro de chumbo de raio 2 cm e
altura 10 cm se encontra totalmente imerso em
óleo de massa específica 0,8 g/cm? e preso a uma
mola de constante elástica k = 1,5 N/cm. É sus-
tentado por um fio ideal, que passa por uma po-
lia, sem atrito, como mostra a figura. Determine
a intensidade da carga Q para que a deformação
sofrida pela mola seja 4,0 cm. (Dados: g = 9,8 m/s;
massa específica do chumbo d = 11,4 g/cm°)
Analise os casos:
a) a mola está comprimida;
b) a mola está distendida.
Dados: g = 10 m/s”, massa específica (densidade)
do alumínio dy = 2,7 - 10º kg/m”; massa específica
(densidade) da água dias = 1,0 + 10° kg/m”
a) Represente graficamente as forças que atuam
sobre a esfera, nomeando-as. |
b) Determine o volume da esfera. |
P.518 Um corpo de massa 5 kg e volume 0,02 m? é colo-
cado a uma profundidade de 5 m no interior de
um líquido homogêneo em equilíbrio e de densi-
dade 500 kg/m”. Quando o corpo é solto, ele sobe
até emergir do líquido. Desprezando a resistência
do ar e adotando g = 10 m/s”, determine:
essescsocss DOLLS CA NI ONA CID SESC QUA LADA DLNS CS CNE PACA DAN RO PR RES CRLGL ORAS DEDE DALILA GALO DAN ENROLADA PANIC ARCA O UR CO ARA Sa nar te saca tra
Carítuio 20 © HiDROSTÁTICA 441º
P521
P.522
P.523
P.524
P.525
cios propostos
(Vunesp) Um bloco de granito com formato de
um paralelepípedo retângulo, com altura de 30 em
e base de 20 cm de largura por 50 cm de com-
primento, encontra-se em repouso sobre uma
superfície plana horizontal.
a) Considerando a massa específica do granito
igual a 2,5 - 10º kg/m, determine a massa m
do bloco.
b) Considerando a aceleração da gravidade igual
a 10 m/s”, determine a pressão p exercida pelo
bloco sobre a superfície plana, em N/m’.
(UFRJ) Um recipiente contém um líquido A de
densidade 0,60 g/cm” e volume V. Outro recipien-
te contém um líquido B de densidade 0,70 g/cm?
e volume 4V. Os dois líquidos são miscíveis. Qual
a densidade da mistura?
(UEL-PR) Dois líquidos miscíveis têm, respecti-
vamente, densidades D = 3 g/cm° e d = 2 g/cm’.
Qual é a densidade de uma mistura homogênea
dos dois líquidos composta, em volume, de 40%
do primeiro e 60% do segundo?
(Fuvest-SP) Um vaso cilíndrico I contém água à
altura de 1,0 m e está ligado, por um tubo fino, a
outro vaso cilíndrico II, inicialmente vazio, com
diâmetro duas vezes maior que o de I. O tubo de
comunicação está a 0,5 m de altura e fechado, no
ínicio, por uma torneira T, como mostra a figura.
---5-
T
1,0 m iA
0,5 m
Y y
a) Abrindo-se a torneira T, que altura atinge a
água no vaso Íl?
b) Antes de abrir a torneira, qual era a pressão
da água no fundo do vaso I?
(Dados: pressão atmosférica = 1,0 - 10° N/m?;
densidade da água = 1,0 - 10º kg/m”; acelera-
ção da gravidade = 10 m/s?)
(Fuvest-SP) O organismo humano pode ser
submetido, sem consegiiências danosas, a uma
pressão de no máximo 4 + 10º N/m” e a uma taxa
de variação de pressão de no máximo 10º N/m?
por segundo. (Dados: densidade da água
d = 10 kgmeg=10m/s)
Nessas condições:
a) qual a máxima profundidade recomendada a
um mergulhador? Adote pressão atmosférica
igual a 10º N/m’.
b) qual a máxima velocidade de movimentação na
vertical recomendada para um mergulhador?
de recapitulação
P.526
P.527
P528
(Covest-PE) Se o fluxo sangiiíneo não fosse ajus-
tado pela expansão de artérias, para uma pessoa
em pé a diferença de pressão arterial entre o
coração e a cabeça seria de natureza puramente
hidrostática. Nesse caso, para uma pessoa em
que a distância entre a cabeça e o coração vale
50 cm, qual o valor em mmHg dessa diferença de
pressão? (Considere a densidade do sangue
igual a 10º kg/m” e a densidade do mercúrio igual
a 13,6-10 kg/m”)
(Vunesp) Uma pessoa, com o objetivo de medir
a pressão interna de um botijão de gás con-
tendo butano, conecta à válvula do botijão um
manômetro em forma de U, contendo mercúrio.
Ao abrir o registro R, a pressão do gás provoca
um desnível de mercúrio no tubo, como ilustrado
na figura.
Considere a pressão atmosférica dada por 10º Pa,
o desnível h = 104 cm de Hg e a secção do tubo
2 em”, Adotando a massa específica do mercúrio
igual a 13,6 g/cmř eg = 10 m/s”, calcule:
a) a pressão do gás, em pascal;
b) a força que o gás aplica na superfície do mer-
cúrio em A.
(Advertência: este experimento é perigoso. Não
tente realizá-lo.)
(Uerj) Um adestrador quer saber o peso de um
elefante. Utilizando uma prensa hidráulica, con-
segue equilibrar o elefante sobre um pistão de
2.000 em” de área, exercendo uma força vertical
Fequivalente a 200 N, de cima para baixo, sobre o
outro pistão da prensa, cuja área é igual a 25 cm”.
Calcule o peso do elefante.
CRP RAMO CRESCE RAN ACAENA CAIU D CERCO CRU NRCOULLAUS LLC RACIONAL RUCA UA RU SURDA ROSAS OR E OU A CU AC Res carr a rare re nonsense ra
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.529
P.530
P.531
(Vunesp) À figura I mostra um corpo sólido, sus-
penso no ar, em equilíbrio com uma quantidade
de areia numa balança de braços iguais. Na figura
Il, o mesmo corpo está imerso num líquido e
36 g de areia foram retirados para restabelecer o
equilíbrio.
Areia
Figura I
«— Líquido
Figura Il
Considerando a aceleração da gravidade igual a
10 m/s”, determine:
a) o empuxo É exercido pelo líquido sobre o
sólido;
b) a massa específica (densidade) d do líquido,
em kg/m”, sabendo que o volume do líquido
deslocado é 30 cm”.
(Covest-PE) Uma mola ideal de comprimento
L = 65 cm está presa no fundo de uma piscina
que está sendo cheia. Um cubo de isopor de
aresta a = 10 cm e massa desprezível é preso
na extremidade superior da mola. O cubo fica
totalmente coberto no instante em que o nível
da água atinge a altura H = 1,0 m em relação ao
fundo da piscina. Calcule a constante elástica
da mola, em N/m.
(UFRJ) Um recipiente cilíndrico contém água em
equilíbrio hidrostático (figura 1). Introduz-se na
água uma esfera metálica maciça de volume igual
a 5,0 x 107º m’? suspensa por um fio ideal de vo-
lume desprezível a um suporte externo. À esfera
fica totalmente submersa na água sem tocar as
paredes do recipiente (figura ID.
Restabelecido o equilíbrio hidrostático, verifica-
se que a introdução da esfera na água provocou
um acréscimo de pressão Ap no fundo do reci-
piente.
HiprostÁTICA
p.532
Figura I Figura lI
A densidade da água a 1,0 x 10º kg/m? e a área da
base do recipiente é igual a 2,0 x 10? mº?. Consi-
dere g = 10 m/s”.
Calcule esse acréscimo de pressão Ap.
(Fuvest-SP) Um sistema industrial é constituído
por um tanque cilíndrico, com 600 litros de água
e área do fundo S; = 0,6 m’, e por um balde, com
área do fundo S, = 0,2 m’. O balde está vazio e
é mantido suspenso, logo acima do nível da água
do tanque, com auxílio de um fino fio de aço e
de um contrapeso C, como indicado na figura.
Então, em f = 0, o balde passa a receber água
de uma torneira, à razão de 20 litros por minuto,
e vai descendo, com velocidade constante, até
que encoste no fundo do tanque e a torneira seja
fechada.
Para o instante t = 6 minutos, com a torneira
aberta, na situação em que o balde ainda não
atingiu o fundo, determine:
a) a tensão adicional AF, em N, que passa a agir
no fio que sustenta o balde, em relação à situa-
ção inicial, indicada na figura;
b) a altura da água H,, em m, dentro do tanque;
c) o intervalo de tempo T, em minutos, que o
balde leva para encostar no fundo do tanque,
considerando todo o tempo em que a torneira
fica aberta.
Note e adote:
O contrapeso equilibra o peso do balde, quan-
do vazio.
O volume das paredes do balde é desprezível.
ensesconronaso corouca ane cerne saducoes CORUCASA SE DCRe TEL SALSA CANAL CRATERAS CLONES CO CEEE DA VADE N ON CN CCC A SALAS Anna nene rasante
CarítuLo 20 +
O ILHVA |
P.533
P.534
P.535
P.536
(UFSCar-SP) Distante da zona dos banhistas,
nas “fazendas” para “cultivo” de mariscos, os
pescadores amarram, em grandes flutuadores
cilíndricos, fiadas de mariscos ainda jovens, para
desenvolvimento e procriação.
No momento em que um desses criadouros de
1 mº foi deixado amarrado junto a uma bóia, o
pescador verifica que 75% do volume do flutua-
dor fica emerso, em equilíbrio. Meses depois,
na “colheita”, apenas metade do volume do
flutuador encontra-se emerso. Admitindo que a
densidade da água do mar é 1,0 x 10º kg/m” e que
a aceleração da gravidade é 10 m/s”, responda:
a) Qual o peso total do equipamento, incluindo a
carga inicial de jovens mariscos?
b) Passados os referidos meses, qual a expecta-
tiva de produção de mariscos, em kg?
(Uerj) Na última etapa de uma viagem, para che-
gar a uma ilha, o carro é embarcado, junto com o
motorista, em uma balsa de madeira, constituída
de toras cilíndricas idênticas, cada uma com um
volume igual a 100 £. Nesta situação, apenas 10%
do volume da balsa permanecem emersos da
água. Calcule o número de toras que compõem a
balsa.
Dados: massa do carro = 1.000 kg; massa do moto-
rista = 80 kg; massa específica da madeira = 0,8 kg/t
e massa específica da água = 1,0 kg/t.
(Fuvest-SP) As esferas
maciças 4 e B, que têm
o mesmo volume e foram
coladas, estão em equi-
líbrio, imersas na água.
Quando a cola que as une
se desfaz, a esfera À sobe
e passa a flutuar, com metade de seu volume fora
da água (densidade da água: 1 g/cm).
a) Qual a densidade da esfera A?
b) Qual a densidade da esfera B?
(UFMG) Uma caixa cúbica de isopor, cuja massa é
de 10 g, flutua dentro de um reservatório de óleo.
Essa caixa está presa ao fundo do reservatório
por um fio, como mostrado na figura I. Considere
que a massa do fio é desprezível e que, inicial-
mente, a altura da parte submersa da caixa é
muito pequena.
Em um certo instante, uma torneira que abastece
o reservatório é aberta.
P.537
Na figura II, está representado o gráfico do mó-
dulo da tensão T no fio em função da altura A do
nível de óleo.
(Adote g = 10 m/s?.)
Figura |
T(N)
10 20 30 40 50 60
Figura ll
I. Com base nessas informações, explique por
que a tensão no fio:
a) é nula para o nível de óleo abaixo de 20 cm;
b) aumenta linearmente para o nível de
óleo entre 20 e 40 cm;
c) é constante para o nível de óleo acima de
40 cm.
II. Determine o comprimento aproximado da
aresta do cubo. Justifique sua resposta.
IH. Determine a densidade do óleo utilizado.
(Fuvest-SP) Uma bolinha de isopor é mantida
submersa, em um tanque, por um fio preso ao
fundo. O tanque contém um líquido de densidade
d igual à da água (1 g/cm’). A bolinha, de volume
V = 200 cm’ e massa m = 40 g, tem seu centro
mantido a uma distância H, = 50 cm da superfície
(figura D. Cortando o fio, observa-se que a boli-
nha sobe, salta fora do líquido, e que seu centro
atinge uma altura h = 30 cm acima da superfície
(figura ID. 2
+
h
Y
'
i
:
i
;
H i
o i
i
i
:
i
Rd ;
Situação inicial Situação final
Figura I Figura ll
Desprezando os efeitos do ar, determine:
a) a altura A”, acima da superfície, que o centro
da bolinha atingiria, se não houvesse perda de
energia mecânica (devida, por exemplo, à pro-
dução de calor, ao movimento da água etc.);
b) a energia mecânica E (em joules) dissipada
entre a situação inicial e a final.
(Use: g = 10 m/s")
Cerennsreauane na case sen ALA acao Urraca ssa sos sara rena POMCREOSLCA ALONE CRESC ULTRA CLAD CCO CSLL CANSO DRE NC CASA CROMO OU O rena as r sas 46
° AAA,
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(E) Testes
propostos,
(Cesgranrio-RJ) Você está em pé sobre o chão de
uma sala. Seja p a pressão média sobre o chão
debaixo das solas dos seus sapatos. Se você
suspende um pé, equilibrando-se numa perna só,
essa pressão média passa a ser:
1 1
ap DP òP Zp 9
(UFMG) José aperta uma tachinha entre os de-
dos, como mostrado na figura abaixo:
A cabeça da tachinha está apoiada no polegar e
a ponta, no indicador.
Sejam F, o módulo da força e p; a pressão que a ta-
chinha faz sobre o dedo indicador de José. Sobre
o polegar, essas grandezas são, respectivamente,
F, epp
Considerando-se essas informações, é correto
afirmar que:
af>F e p=pPp
b AEF, e Pi = Pp
9 A> e P>
DA=, e MP
(Fuvest-SP) A janela retangular de um avião, cuja
cabine é pressurizada, mede 0,5 m por 0,25 m.
Quando o avião está voando a uma certa altitude,
a pressão em seu interior é de, aproximadamen-
te, 1,0 atm, enquanto a pressão ambiente fora do
avião é de 0,60 atm. Nessas condições, a janela
está sujeita a uma força, dirigida de dentro para
fora, igual ao peso, na superfície da Terra, da
massa de:
a) 50 kg ©) 480 kg e) 750 kg
b) 320 kg d) 500 kg
Dados:
1 atm = 10º; Pa = 10 N/m?; g = 10 m/s”
(UCSal-BA) Um recipiente, de paredes rígidas e
forma cúbica, contém gás à pressão de 150 N/m”.
Sabendo-se que cada aresta do recipiente é igual
a 10 cm, a força resultante sobre cada uma das fa-
ces do recipiente, em newtons, tem intensidade:
a) 15:10! 15:10 e 15-10
b) 1,5 d) 1,5-10
(UEL-PR) Uma sala tem as seguintes dimensões:
40m x 5,0 m x 3,0 m. A densidade do ar é de
1,2 kg/m’ e a aceleração da gravidade vale 10 m/s”.
O peso do ar na sala, em newtons, é de:
a) 720 c) 500 e) 60
b) 600 d) 72
< (UFPR) Quatro cubos metá-
Fesp-SP) Um cubo oco de alumínio apresenta
100 g de massa e volume de 50 cm’. O volume da
parte vazia é 10 cm”. A densidade do cubo e a mas-
sa específica do alumínio são respectivamente:
3
a) 0,5 g/cm* e 0,4 g/cm’
b) 25 g/cmř e 2,0 g/cm?
o 0,4 g/cm’ e 0,5 g/cm?
d) 2,0 g/cm e 2,5 g/cm’
e) 2,0 g/cm’ e 10,0 g/cm?
licos homogêneos e iguais,
de aresta 10! m, acham-se
dispostos sobre um plano.
Sabe-se que a pressão apli-
cada pelo conjunto sobre
o plano é 10° N/m?.
Adotando g = 10 m/s”, podemos afirmar que a
densidade dos cubos será aproximadamente de:
a) 4- 10º kg/m”
b) 2,5 - 10º kg/m”
o 10 kg/m”
d) 0,4+ 10° kg/m?
e) 0,25 - 10° kg/m?
Enem-MEC) Pelas normas vigentes, o litro do
álcool hidratado que abastece os veículos deve
ser constituído de 96% de álcool puro e 4% de
água (em volume). As densidades desses compo-
nentes são dadas na tabela.
Um técnico de um órgão de defesa do consumi-
dor inspecionou cinco postos suspeitos de vende-
rem álcool hidratado fora das normas. Colheu
uma amostra do produto em cada posto, mediu
a densidade de cada uma, obtendo:
I 822
I 820 EE
m | 815
IV 808
L V 805
A partir desses dados, o técnico pôde concluir
que estavam com o combustível adequado so-
mente os postos:
a) lell d MeV
b)lell e IVeV
c) IleIV
essuseresosasescossososesasssouososonorosvocoessuonososesoseseesssoseseoososesocoesosessoresnososresoseresussovsacosssacecvoossscsessssovosesesossasaeso
CapituLo 20 + HIDROSTÁTICA 445 *
“ (UFTM-MG) A figura mostra um antigo dispo-
(ITA-SP) Têm-se duas soluções de um mesmo sal.
A massa específica da primeira é 1,7g- cm “ea da
segunda, 1,2 g* cm”*. Deseja-se fazer 1,0 litro de so-
lução de massa específica 1,4 g - cm *. Devemos
tomar de cada uma das soluções originais:
a) 0,50 £ e 0,504
b) 0,52 £ da primeira e 0,48 £ da segunda
c) 0,48 t da primeira e 0,52 £ da segunda
d) 0,40 £ da primeira e 0,60 £ da segunda
e) 0,60 £ da primeira e 0,40 £ da segunda
sitivo utilizado pelos mergulhadores para que
pudessem permanecer sob as águas, sem utili-
zar seus equipamentos de mergulho, podendo |
trocar idéias sobre suas observações em um |
ambiente com ar respirável - e que inicialmente |
se encontrava no interior do dispositivo no mo-
mento em que era submerso - o chamado sino |
de mergulho.
combustíveis consiste em retirar uma amostra |
Em uma expedição, um sino de mergulho foi bai-
xado até a profundidade de 10 m. O ar contido no
interior do sino ficou submetido à pressão, em |
Pa, de: |
a) 1x 10º d) 2 x 10º
b) 2x 10º e) 5x 10º |
o) 1x 10 |
Dados: |
densidade da água = 1 x 10° kg/m? |
pressão atmosférica ao nível do mar = 1 x 10ºPa |
aceleração da gravidade = 10 m/s? |
UFPR) Uma tarefa de rotina em depósitos de
de líquido dos tanques e colocar em provetas
para análise. Ao inspecionar o conteúdo de um
dos tanques de um certo depósito, observou-se
na parte inferior da proveta uma coluna de 20 cm
de altura de água e, flutuando sobre ela, uma co-
luna com 80 cm de altura de óleo. Considerando
a densidade da água igual a 1,00 g/cm”, a do óleo
igual a 0,80 g/cm”, a aceleração da gravidade |
igual a 10 m/s” e a pressão atmosférica igual a
1,01 X 10º Pa, a pressão no fundo desse tubo é:
a) 1,094 x 10º Pa |
b) 9,41 x 10º Pa
e) 1,03 x 10º Pa
d) 1,66 x 10º Pa
e) 0,941 x 10º Pa
(UFV-MG) As represas normalmente são cons-
truídas de maneira que a largura da base da
barragem, B, seja maior que a largura da parte
superior, À, como ilustrado na figura abaixo.
As
Essa diferença de largura justifica-se, princi-
palmente, pelo(a):
a) aumento, com a profundidade, da pressão da
água sobre a barragem.
b) diminuição, com a profundidade, da pressão
da água sobre a barragem.
c) aumento, com a profundidade, do empuxo
exercido pela água.
d) diminuição, com a profundidade, do empuxo
exercido pela água.
e) diminuição, com a profundidade, da viscosi-
dade da água.
(Mackenzie-SP) Dispõe-se de um recipiente cilín-
drico, aberto na extremidade superior, sujeito à
pressão atmosférica normal (Pam = 1,00 + 10º N/m?).
Em seu interior, existem três líquidos ideais imis-
cíveis, de massas específicas p, = 0,80 g/cm”,
P2 = 0,90 g/cm" e p; = 1,00 g/cm?.
(Use g = 10 m/s?)
O gráfico que melhor representa a pressão (p),
nos diversos pontos dos líquidos, em função da
profundidade (y), é:
a)
A p (X 105 N/m?) D
1,10Ẹf == :
seeseeesevesoensenosocenecsencevoccssusassosseseseonossesseseneacoeosasuorenossserosssrsessasssssassorsuosssevaussoesotesevescssvasssesecsasarsavtsessos
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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b) Ap (x 10º N/m?) D
9
e)
(UFMT-MG) Todos os recipientes abaixo estão
preenchidos à mesma altura h por um líquido de
mesma densidade.
(D (i) HD vo Vv
À partir dessas informações, assinale a afirmativa
correta.
a) No recipiente I, a força que o líquido exerce
sobre a base é igual ao peso do líquido.
b) A pressão que o líquido exerce sobre a base é
maior nos recipientes IV e V que nos outros.
€) À pressão que o líquido exerce sobre a base é
menor no recipiente III que nos outros.
CarítuLo 20 + HiDROSTÁTICA
d) À força que o líquido exerce sobre a base dos
recipientes independe da área das bases.
e) Em todos os recipientes a força sobre a base
é menor que o peso do líquido.
(Uneb-BA) À camada gasosa que envolve a Terra
exerce pressão sobre a superfície terrestre e
sobre todos os corpos nela situados. Segundo
Evangelista Torricelli, a pressão atmosférica, ao
nível do mar, equivale a 760 mmHg.
Com base nessas informações, se um barômetro
indica, para a pressão atmosférica, o valor 70 cmHg,
é possível que esse instrumento esteja situado:
a) em uma estação meteorológica qualquer.
b) no alto de uma montanha.
c) em um posto salva-vidas à beira-mar.
d) em um navio ancorado num ponto qualquer.
e) no terraço de um prédio de três andares, cons-
truído numa cidade litorânea.
(UFSCar-SP) No bebedouro
doméstico representado
na figura, a água do gar-
rafão virado para baixo,
de boca aberta, não vaza
para o recipiente onde ele
se apóia, devido à pressão
| atmosférica.
Cada vez que a torneirinha
desse recipiente é aberta,
há um momentâneo dese-
quilíbrio de pressões, que
permite a saída de água
do bebedouro e a entrada
de ar no garrafão, mas que logo se restabelece,
assim que a torneirinha é fechada.
Supondo constante a pressão atmosférica, pode-
se afirmar que entre duas situações de equilíbrio
em que o nível da água no garrafão diminui, a
pressão do ar nele aprisionado:
a) aumenta, porque a altura da água contida no
garrafão diminui.
b) aumenta, porque o volume do ar contido no
garrafão aumenta.
c) permanece constante, porque ela deve se igua-
lar sempre à pressão atmosférica externa.
d) diminui, porque a altura da água contida no
garrafão diminui.
e) diminui, porque o volume do ar contido no
garrafão aumenta.
(UFSCar-SP) Quando efetuamos uma transfusão
de sangue, ligamos a veia do paciente a uma bolsa
contendo plasma, posicionada a uma altura A
acima do paciente. Considerando g = 10 m/s” e
que a densidade do plasma seja 1,04 g/cm, se
uma bolsa de plasma for colocada 2 m acima do
ponto da veia por onde se fará a transfusão, a
pressão do plasma ao entrar na veia será:
a) 0,0016 mmHg d) 15,6 mmHg
b) 0,016 mmHg e) 156 mmHg
c) 0,156 mmHg
(Considere 1 atm = 1,013 - 10° N/m?) .
i
|
i
|
|
|
|
|
© IL4V4 |
(UFSM-RS) Um dos ramos de um tubo em forma
de U está aberto à atmosfera, e o outro, conec-
tado a um balão contendo um gás, conforme ilus-
tra a figura. O tubo contém água, cuja densidade
é 1x 10 kg/m’.
-— Água
Sabendo que a pressão exercida pela atmosfera
é 1 x 10º N/m? e considerando a aceleração da
gravidade 10 m/s”, a pressão exercida pelo gás é,
em N/m?:
a) 0,9 x 10°
b) 1,0 x 10
© 1,1 x 10
d 1,2 x 10º
e) 1,3 x 10°
(Unifesp) O sistema de vasos comunicantes da
figura contém água em repouso e simula uma si-
tuação que costuma ocorrer em cavernas: o tubo
A representa a abertura para o meio ambiente
exterior e os tubos B e C representam ambientes
fechados, onde o ar está aprisionado.
Sendo p, a pressão atmosférica ambiente, p, € pe
as pressões do ar confinado nos ambientes B e C,
pode-se afirmar que é válida a relação:
a) pa = Pe’ Pe d) Ps > P4 > Pe
b) pa > Ps 5 Pe e) Ps > Pe > Pa
©) pa > Ps > Pe
“(ITA-SP) Um vaso comunicante em forma de U
possui duas colunas da mesma altura A = 42,0 cm,
preenchidas com água até a metade. Em seguida,
adiciona-se óleo de massa específica igual a
0,80 g/cm” a uma das colunas até a coluna estar
totalmente preenchida, conforme a figura B.
+ A B
Óleo
42 cm
<-— Água —>
À coluna de óleo terá comprimento de:
a) 14,0 cm c) 280 cm e) 37,8 cm
b) 16,8 cm d) 35,0 cm
(UFPA) A figura representa um tubo em forma de
U com ramos verticais abertos que contêm três
líquidos imiscíveis. As densidades dos líquidos
são d), de ds.
Se os líquidos estão em equilíbrio, então:
a) a pressão em À é igual à pressão em B.
b) a pressão em A é igual à pressão em C.
c) a pressão em C é igual à pressão em D.
d) a altura A, é a soma das alturas A, e hy.
e) a densidade d, é a soma das densidades d, e d,.
(Ufam) À figura mostra
um tubo em U, aberto nas Líquido B
duas extremidades. Esse a
tubo contém dois líquidos ;
A e B que não se misturam
e que têm densidades di-
ferentes. Sejam py € py as
pressões nos pontos M e
N, respectivamente. Esses
pontos estão no mesmo nível, como indicado
pela linha tracejada, e as densidades dos dois
líquidos são tais que d, = 2d,.
Nessas condições, é correto afirmar que:
a) Pu < Py
b) py = Py
©) Pu > Pr
d) Pu = 2Py
e) Nada se pode afirmar a respeito das pres-
sões.
a à Líquido A
(Ufop-MG) Um recipiente,
dotado de um êmbolo,
contém água.
Quando a pressão exercida
pelo êmbolo é 2 x 10° Pa,
a diferença entre as pres- Be
sões dos pontos Be À é
6 x 10º Pa. Se a pressão do
êmbolo for elevada para 20 x 10º Pa, a diferença
entre as pressões dos pontos Be À será:
a) 6x 10* Pa c) 60 x 10º Pa
b) 22 x 10º Pa d) 120 x 10º Pa
(Fasp-SP) Com uma prensa hidráulica ergue-se
um automóvel de massa 1.000 kg num local onde
a aceleração da gravidade é 10 m/s”. Sabendo que
o êmbolo maior tem área de 2.000 cm? e o menor,
10 cm’, a força necessária para manter o auto-
móvel erguido é:
a) 150N SION
b) 100N | e) nenhum dos valores anteriores.
9 50N
teseseseresecossasssseososvosenerosssorvesoseseossossesososcouosensocessvssusssosesossesesnoreressosevusssoersossesvessenenosroszsseussvsasaresussasssnese
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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FGV-SP) O macaco hi-
dráulico consta de dois
êmbolos: um estreito,
que comprime o óleo, e
outro largo, que suspen-
de a carga. Um sistema
de válvulas permite que
uma nova quantidade de
óleo entre no mecanismo
sem que haja retorno do
óleo já comprimido. Para
multiplicar a força empregada, uma alavanca é
conectada ao corpo do macaco.
Tendo perdido a alavanca do macaco, um cami-
nhoneiro de massa 80 kg, usando seu peso para
pressionar o êmbolo pequeno com o pé, consi-
derando que o sistema de válvulas não interfira
significativamente sobre a pressurização do óleo,
poderá suspender uma carga máxima, em kg, de:
a) 2.880 c) 2.990 e) 3.510
b) 2.960 d) 3.320
Dados:
diâmetro do êmbolo menor = 1,0 cm
diâmetro do êmbolo maior = 6,0 cm
aceleração da gravidade = 10 m/s
(UFMG) Ana lança caixas
— ], II e IH —, de mesma
massa, dentro de um poço : |
com água. Ela
Elas ficam em equilíbrio
nas posições indicadas na
figura ao lado.
Sejam E, Ey € En os módu-
los dos empuxos sobre, i
respectivamente, as caixas i
I, H e II. Com base nes-
sas informações, é correto
afirmar que:
a) E > Ey > Em
b) E < Er = Em
o E S= ES En
d) E > E — En
(UEL-PR) Um cubo maciço de 2,0 cm de aresta e
densidade 5,0 g/cm" é abandonado no interior de
um líquido cuja densidade é 1,25 g/cm? (dado:
g = 10 m/s”). O empuxo exercido pelo líquido no
cubo é igual a:
a) zero c) 0,38 N
b) 0,10 N d) 0,40 N
e) 0,50 N
(UEPA) Saturno, denominado planeta dos anéis,
está muito distante do Sol, levando quase trinta
anos para dar uma volta completa em sua órbita.
Possui um volume de aproximadamente 10 m’
e massa da ordem de 6 x 10% kg. Suponha que
uma esfera de densidade igual à do planeta Sa-
turno seja colocada em cada um dos recipientes
contendo líquidos de densidades de acordo com
a figura abaixo:
Álcool Água
800 kg/m” 1.000 kg/m”
|
|
Analise as afirmativas abaixo sobre o que aconte-
cerá com a esfera nos três líquidos:
I. Afundará no álcool e flutuará na água e no
mercúrio.
II. Flutuará nos três recipientes.
HI. Sofrerá o mesmo empuxo nos três líquidos.
IV. Sofrerá maior empuxo no mercúrio.
Estão corretas somente as afirmativas:
a) 1, II e IV d) Tell
b) IeM e) TelV
c) 1, I e IV
(Olimpíada Brasileira de Física) Uma criança está
dentro de uma piscina, brincando com três objetos
fabricados com materiais diferentes, mas que pos-
suem o mesmo peso. Você observa que o objeto 1
fica boiando, submerso pela metade, que o objeto
2 fica imerso totalmente e parado em qualquer
lugar dentro da água e que o objeto 3 submerge
totalmente indo para o fundo da piscina.
a) O empuxo no objeto 1 é a metade do empuxo
no objeto 2.
b) O empuxo no objeto 2 é igual ao empuxo no
objeto 3.
c) O empuxo no objeto 1 é maior do que o empu-
xo no objeto 2.
d) O empuxo no objeto 3 é menor do que o em-
puxo no objeto 1.
e) Os empuxos nos três objetos são iguais.
(Olimpíada Brasileira de Física) Um estudante
realizou a seguinte experiência: colocou no prato
de uma balança de ponteiro uma vasilha conten-
do água e verificou que a balança marcou 1,5 kg;
em seguida, mergulhou sua mão, de volume igual
a 500 cm”, na água contida na vasilha (figura a
seguir).
Dessa experiência o estudante verificou que:
a) a balança continuou marcando 1,5 kg, pois ele
não toca com a mão o fundo da vasilha.
b) a balança passou a marcar 1,0 kg por causa
do empuxo provocado pelo deslocamento de
água produzido pela mão.
c) a balança passou a marcar 2,0 kg por causa
do empuxo provocado pelo deslocamento de
água produzido pela mão.
d) a balança continuou marcando 1,5 kg, pois
o deslocamento da água é compensado pela
mão que passa a ocupar seu lugar.
e) a balança passou a marcar 2,0 kg porque,
sendo massa igual a (densidade x volume), a
água aumentou sua massa ao ter seu volume
aumentado.
Dados: diga = 1 g/cm” eg = 10m/s
LOVE CALLE nD Ca LASERS LES UL CESTO ESSO NL EDLECAE LENCOL O CADA DELETE CARE NACLACALICPASA CE VAO NA DSR CN A DADA DOC UR Ra UR AU EU as ora ones Urnas seda
Capituio 20 * HiDROSTÁTICA 449 *
Vunesp) Na figura, o bloco A, de volume V,
encontra-se totalmente imerso num líquido de
3
massa específica d, e o bloco B, de volume 2”
totalmente imerso num líquido de massa espe-
cífica aa . Esses blocos estão em repouso, sem
tocar o fundo do recipiente, presos por um fio
de massa desprezível, que passa por polias que
podem girar sem atrito.
Se m, e m; forem, respectivamente, as massas de
Ae B, teremos:
a -2 9m- gm
m, 3 ma 5 ma
b 28 =] g Te -3
ma ma 2
(UFV-MG) Um navio cargueiro proveniente do Ocea-
no Atlântico passa a navegar nas águas menos
densas do rio Amazonas. Em comparação com a
situação no mar, é correto afirmar que no rio:
a) o empuxo e a porção imersa do navio serão
menores.
b) o empuxo será menor e a porção imersa do
navio será maior.
c) o empuxo será maior e a porção imersa do
navio será menor.
d) o empuxo e a porção imersa do navio serão
maiores.
e) o empuxo será igual e a porção imersa do na-
vio será maior.
Olimpíada Brasileira de Física) Um menino no
interior de um barco notou que quando navega em
água doce, sem o seu pequeno cachorro, a linha
d'água é a mesma daquela quando navega no mar
com o cachorro. Considerando que a massa do
cachorro é de 3 kg, a massa do menino é de 40 kg e
que a densidade da água do mar é 3% maior do que
a da água doce, a massa do barco é:
a) 60 kg © 50 kg e) 63kg
b) 200 kg d) 43 kg
(UFMA) Uma esfera homogênea flutua em água
com um hemisfério submerso, e no óleo, com
3 z
4 de seu volume submerso. A relação entre as
densidades da água e do óleo é:
4 2
a) 3 © 1 e) 3
3 3
(UEL-PR) Uma esfera de massa 180 g é colocada
num recipiente contendo um líquido de densida-
de 1,2 g/cm’. O volume da esfera é de 200 cm°.
A densidade da esfera, em g/cm”, e o volume de
líquido deslocado pela esfera, em cm?, valem,
respectivamente:
a) 0,90 e 150 d) 0,32 e 180
b) 0,90 e 180 e) 0,32 e 200
© 0,90 e 200
(Vunesp) Um bloco de madeira, de volume V, é
fixado a outro bloco, construído com madeira
idêntica, de volume 5V, com mostra a figura I.
Em seguida, o conjunto é posto para flutuar na
água, de modo que o bloco menor fique em cima
3
do maior. Verifica-se, então, que 5 do volume do
bloco maior ficam imersos e que o nível da água
sobe até a altura h, como mostra a figura II.
y
Figura I
Figura Il
Se o conjunto for virado, de modo a flutuar com
o bloco menor embaixo do maior:
RD d
a) a altura h diminuirá e 5 do volume do bloco
maior permanecerá imerso.
z 2
b) a altura h permanecerá a mesma e 5 do volu-
me do bloco maior permanecerão imersos.
3
c) aaltura h aumentará e 5 do volume do bloco
maior permanecerão imersos.
z 4
d) a altura h permanecerá a mesma e 5 do volu-
me do bloco maior permanecerão imersos.
e) a altura h aumentará e > do volume do bloco
maior permanecerão imersos.
(AFA-SP) Uma pessoa deita-se sobre uma prancha
de madeira que flutua mantendo sua face supe-
rior no mesmo nível da superfície da água.
À prancha tem 2 m de comprimento, 50 cm de lar-
gura e 15 cm de espessura. As densidades da água
e da madeira são, respectivamente, 1.000 kg/m”
e 600 kg/m”. Considerando g = 10 m/s”, pode-se
afirmar que o peso da pessoa é:
a) 600N b)700N CO 40N d)500N
(Fuvest-SP) Um recipiente cilíndrico vazio flutua
em um tanque de água com parte de seu volume
submerso, como na figura a seguir.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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O recipiente possui marcas graduadas igualmen-
te espaçadas, paredes laterais de volume despre-
zível e um fundo grosso e pesado.
Quando o recipiente começa a ser preenchido,
lentamente, com água, a altura máxima que a
água pode atingir em seu interior, sem que ele
afunde totalmente, é melhor representada por:
(Unifesp) Um estudante adota um procedimento
caseiro para obter a massa específica de um
líquido desconhecido. Para isso, utiliza um tubo
cilíndrico transparente e oco, de secção circular,
que flutua tanto na água quanto no líquido des-
conhecido. Uma pequena régua e um pequeno
peso são colocados no interior desse tubo e ele é
fechado. Qualquer que seja o líquido, a função da
régua é registrar a porção submersa do tubo, e a
do peso, fazer com que o tubo fique parcialmente
submerso, em posição estática vertical, como
ilustrado na figura.
;/ Tubo
E Peso
i : rá
Quando no recipiente com água, a porção submer-
sa da régua é de 10,0 cm e, quando no recipiente
com o líquido desconhecido, a porção submersa
é de 8,0 cm. Sabendo-se que a massa específica
da água é 1,0 g/cm”, o estudante deve afirmar que
a massa específica procurada é:
a) 0,08 g/cm? o 0,8 g/cm?
b) 0,12 g/cm? dd 1,0 g/cm?
e) 1,25 g/cm?
(PUC-SP) Uma bolinha de certo material, quando
colocada em um líquido I, fica em equilíbrio com
metade de seu volume imerso. Quando colocada
em outro líquido Il, a mesma bolinha fica em equi-
líbrio com 20% de seu volume acima da superfície
do líquido.
Carituio 20 e HiDROSTÁTICA
ji
Líquido I Líquido tl
Se a densidade do líquido I é igual a 1,20 g/cm?,
qual é a densidade do líquido lI em g/cm’?
a) 0,48 © 1,25 e) 2,0
b) 0,75 d) 1,33
(Unifesp) A figura representa um cilindro flu-
tuando na superfície da água, preso ao fundo do
recipiente por um fio tenso e inextensível.
Acrescenta-se aos poucos mais água ao recipien-
te, de forma que o seu nível suba gradativamente.
Sendo F o empuxo exercido pela água sobre o
cilindro, Ta tração exercida pelo fio sobre o ci-
lindro, Po peso do cilindro e admitindo-se que o
fio não se rompe, pode-se afirmar que, até que
o cilindro fique completamente imerso:
a) o módulo de todas as forças que atuam sobre
ele aumenta.
b) só o módulo do empuxo aumenta, o módulo
das demais forças permanece constante.
c} os módulos do empuxo e da tração aumentam,
mas a diferença entre eles permanece cons-
tante.
d) os módulos do empuxo e da tração aumentam,
mas a soma deles permanece constante.
e) só o módulo do peso permanece constante; os
módulos do empuxo e da tração diminuem.
(Mackenzie-SP) Um cubo de aresta 20 cm é colo-
cado em um recipiente que contém óleo (densi-
dade = 0,8 g/cm), e água (densidade = 1 g/em”),
ficando em equilíbrio quando totalmente imerso,
como mostra a figura.
Água
A massa desse cubo é:
a) 1,2 kg c) 4,2 kg
b) 24 kg d) 6,8 kg
e) 7,2 kg
tuseersesavavenesereessesossurneasscoresseresasesrnenztatenesaese teoses acesanaseasenna crenancernon carona era na DeANCA Cana ne era nae nana cen cen srs ra ana nn
e
lac]
>
[s]
+
m
osso Mund
Pressão arterial
Pressão arterial é a pressão que o sangue
exerce contra a superfície interna das artérias. A
força original que determina essa pressão vem do
batimento cardíaco. A pressão arterial varia a cada
instante, seguindo um comportamento cíclico. São
vários os ciclos que se superpõem, mas o mais evi-
dente é o determinado pelos batimentos cardíacos,
denominado ciclo cardíaco.
O ciclo cardíaco corresponde ao conjunto de
acontecimentos desde um batimento cardíaco até
o próximo batimento. Em resumo, o coração ciclica-
mente se contrai e relaxa. Ao se contrair, o coração
ejeta o sangue em direção às artérias, na fase cha-
mada sístole. A se relaxar, ele recebe o sangue das
veias, na fase chamada diástole.
No instante em que o sangue é ejetado na artéria
aorta, produz força máxima e consequentemente pres-
são máxima. Essa fase é a sístole e a ela corresponde a
pressão arterial sistólica (pressão máxima).
Imediatamente antes do batimento cardíaco se-
guinte, a força sobre as artérias em todo o ciclo é mí-
nima, determinando a menor pressão arterial do ciclo
cardíaco. Essa fase é a diástole e a ela corresponde a
pressão arterial diastólica (pressão mínima).
ade nda ida nad a ps Us Sã
|
|
|
i
i
H
i
i
i
i
j
i
Ao se medir a pressão arterial de uma pessoa,
costumam ser referidos dois valores, que correspon-
dem exatamente a esses valores máximo e mínimo.
Por exemplo, quando se diz que a pressão é de 13
por 8, isso significa que os ciclos cardíacos estão ge-
rando uma pressão arterial que oscila entre 13 cmHg
e 8 cmHg acima da pressão ambiente (pressão at-
mosférica). Nesse par de valores, o 13 corresponde
ao pico da sístole e o 8 ao final da diástole.
A medida da pressão arterial é feita por meio
de um aparelho denominado esfigmomanôme-
tro, que consta de um manguito de borracha que
envolve o braço durante a medição e o ar é inflado
por meio de uma bomba. Um mostrador indica a
pressão exercida pelo ar inflado. Soltando-se o ar,
a pressão vai diminuindo. Com o auxílio de um es-
tetoscópio, colocado sobre a artéria radial do bra-
ço, verifica-se o instante em que o pulso começa a
ser ouvido com maior intensidade, assinalando-se
então o valor de pressão registrado pelo mostrador
(pressão sistólica). Continuando o escape de ar, há
um segundo instante em que o pulso desaparece.
O valor assinalado então pelo mostrador é a pres-
são diastólica.
ROLF BRUDERER / MASTERFILE-OTHER IMAGES
Sritkusak t pra rs de sa dás a.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penat e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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L.34
L.35
aseSPa seas
Teste sua leitura
(Unicamp-SP) Se você agora está tranquilo e
em repouso, seu coração deve estar batendo
cerca de 60 vezes por minuto. Sua pressão
arterial deve ser de “12 por 8”, ou seja,
120 mmHg acima da atmosférica no auge
da contração e 80 mmHg no relaxamento do
coração. Seu coração tem o volume externo
aproximado de uma mão fechada e em cada
batida consegue bombear aproximadamente
a metade de seu volume em sangue. Conside-
re a densidade do mercúrio dy, = 14 g/cm'ea
densidade do sangue igual à da água, ou seja,
dangie = 1,0 g/em?.
a) Até que altura máxima na vertical o co-
ração conseguiria elevar uma coluna de
sangue?
b) Faça uma estimativa da quantidade de san-
gue bombeada em cada batida do coração
e calcule a vazão média de sangue através
desse órgão (volume de sangue por segun-
do).
(UPF-RS) Sabe-se que a pressão do sangue
corresponde à pressão manométrica, isto
é, à diferença entre a pressão do sangue no
interior da artéria e a pressão atmosférica
ambiente, e é medida em centímetros de
mercúrio. Supondo que, em média, a pres-
são arterial de uma pessoa seja de 10 cmHg
e sendo a densidade do mercúrio de
13,6 - 10º kg/m”, pode-se afirmar que a altu-
ra mínima, acima do braço do paciente, em
que deveria ser colocado um recipiente de
soro para que penetrasse na artéria seria,
em metros, de:
a) 0,75
b) 1,36
c) 1,86
d) 2,75
e) 3,45
(Dado: densidade do soro = 1,0 - 10º kg/m”)
(UEPB) Em um processo de transfusão de
sangue, a bolsa contendo plasma sangúíneo,
que é conectada à veia do recebedor por
meio de um tubo, é colocada à altura de
1,20 m acima do braço do paciente (confor-
me a figura a seguir).
O RERA C OS AAA RR Rd CREA DNA SAR O RAS a SARA a Passa nr RCA aa e ss SAID Ria de nas Contran ed E Rs De Rea da
FOSTÁTICA
|
H
|
i
i
i
|
i
H
i
í
i
í
H
f
Í
|
|
i
Considerando a aceleração da gravidade
10 m/s”, a densidade do plasma aproxima-
damente igual a 1,0 g/cm? e sabendo que a
pressão atmosférica é de 1,0 x 10º N/m?,
analise as proposições a seguir, escrevendo
V ou F, conforme sejam verdadeiras ou falsas,
respectivamente:
I. A bola contendo plasma sangüíneo deve
ser colocada sempre a uma altura acima
do nível da veia, devido à pressão sangüí-
nea superar a pressão atmosférica.
II. A pressão da coluna de plasma, ao entrar
na veia do paciente, é de 12,0 x 10º N/mº.
HI. Supondo que a pressão venosa se mante-
nha constante, se o paciente for transpor-
tado para um local em que a aceleração da
gravidade é menor, a altura mínima a que
a bolsa deve ser colocada será menor.
IV. Se a pressão venosa for de 3,0 x 10º N/m?,
a altura mínima a que a bolsa de plasma
deve ser colocada é de 4,0 x 10? m.
Assinale a alternativa que corresponde à
sequência correta:
a) VVFV
b) VFFV
O FVFV
DVVFF
O VFVF
Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Estudo do teorema de Arquimedes
| Faça uma bola com massa de modelar e coloque-a em um recipiente contendo água. Verifique que ela afunda.
l Em seguida, pegue a bola e molde-a no formato de um barquinho. Coloque o “barquinho” na água do recipiente.
Verifique que ele flutua.
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Responda:
* Por que a mesma quantidade de massa de modelar afundou num caso e flutuou no outro?
* O empuxo variou de uma situação para outra? Por quê?
* Em qual (ou quais) das situações o peso e o empuxo têm a mesma intensidade?
i Realize a experiência com supervisão de seu professor.
Determinação aproximada de densidade (corpos flutuantes)
Consiga os seguintes objetos: uma bola de borracha; uma bola de
isopor; um bloco de madeira.
l Coloque sucessivamente esses objetos em um recipiente contendo
, água e avalie a proporção de seu volume que permanece imerso (metade,
um quarto, um terço, um quinto, etc.).
Calcule, com suas avaliações, a densidade aproximada de cada um
dos objetos, considerando que a densidade da água vale 1 g/cm”.
l Responda:
* Em que você se baseou para fazer o cálculo proposto?
e Você poderia usar esse método se o objeto afundasse na água? Por
quê?
* Qual seria a densidade de um corpo que permanecesse em equilíbrio
completamente imerso na água sem tocar o fundo do recipiente?
CONGABLARO DC COTA NLUAA ONCE EAN LEONOR IDADE DENSO LACUNA DENA CANINOS EQUADOR COESO NO DAR AA A Cen ara sons r a tan cana
“454
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
THE NEXT
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O estudo do equilíbrio dos fluidos, a que hoje chamamos
Hidrostática, teve seu desenvolvimento inicial com o grego Ar-
quimedes, na Antiguidade Clássica. Prosseguiu nos séculos XVI e
XVII, fundamentalmente graças aos trabalhos de Stevin, Torricelli
e Pascal.
ARQUIMEDES (287 a.C.-212 a.C., aproximadamente), mate-
mático e inventor grego, nasceu e viveu em Siracusa, Sicília, na
região da Magna Grécia (hoje, sul da Itália), e fez seus estudos em
Alexandria. Segundo relato que o arquiteto romano Vitrúvio fez, no
século I d.C., o rei Hierão Il, ao voltar à sua cidade natal, apresen-
tou a Arquimedes um problema, cuja solução o tornaria famoso:
descobrir se a coroa encomendada pelo soberano a um ourives era
de ouro maciço ou se o artesão misturara prata em sua confecção.
A intuição de como poderia resolver o problema teria lhe ocorrido
durante um banho de imersão nas termas da cidade, ao perceber
que o volume da água derramada da banheira cheia era o próprio
volume de seu corpo (seria essa a razão de sua saída pelas ruas,
sem roupa, gritando “Heureka!”. Arquimedes mergulhou a coroa
num recipiente completamente cheio de água e mediu o volume
derramado; a seguir mergulhou blocos de ouro maciço e de prata
maciça com pesos iguais ao da coroa, medindo os volumes derra-
mados. O volume derramado pela coroa, ainda segundo o relato
de Vitrúvio, ficou entre os volumes derramados pelos blocos de
ouro e de prata, evidenciando a fraude do ouvires, que teria sido
condenado à morte. Galileu Galilei contesta essa versão, suge-
rindo que Arquimedes teria solucionado o problema usando uma
balança hidrostática. De qualquer modo, a grande contribuição de
Arquimedes à Hidrostática foi estabelecer o teorema que leva seu
nome, referente à força que age sobre qualquer corpo mergulhado
num líquido — o empuxo.
Reprodução proibida; Art +B4 do Código Penale Lei 9.010-dé 10 de fevereiro de 1998:
SIMON STEVIN (1548-1620), matemático flamengo, pode ser
considerado o pioneiro no estudo do equilíbrio dos líquidos. Em-
bora Arquimedes tenha estabelecido seu teorema, ele não desen-
volveu uma análise sistemática das razões que levam um líquido a
exercer forças sobre os corpos imersos. Coube a Stevin chegar a essas
conclusões, ao verificar que a pressão que um líquido em equilí-
brio exerce sobre uma superfície depende da altura da coluna de
líquido, sendo independente do tamanho e da forma do recipiente
em que está contido.
À Stevin
SHEILA TERRY / SPL-LATINSTOCK
EVANGELISTA TORRICELLI (1608-1647), físico italiano, foi
discípulo de Galileu nos últimos anos de vida desse cientista,
tornando-se seu secretário e sucedendo-o no cargo de matemático
na corte de Florença. Torricelli conseguiu resolver um problema
que fora proposto a Galileu pelo duque de Toscana. Este mandara
abrir poços muito profundos, com cerca de 15 m de profundi-
dade, e a água só conseguia subir, através de tubos, até a altura
de 10 m quando bombas aspiravam o ar dos tubos. A explicação
dada por Torricelli foi a de que a pressão exercida por uma A Torricelli
ore s Cross e e renan o en asno rancana suas ans COTDCCO OLEOLE OCDE NOREEDONTA SACADURA OUE STAR CDC UNDER RO SOLOS AO An Ro no ras a cana sn dm
Capítuio 20 © HiprosTÁTICA 455 *
AKG-LATINSTOCK
coluna de água de 10 m de altura contrabalançava
a pressão exercida pelo ar atmosférico. Estabeleceu a
idéia de pressão atmosférica e, para comprovar sua
teoria, realizou a famosa experiência com um tubo
de mercúrio, em vez de água. Como o mercúrio tem
densidade 13,6 vezes maior do que a da água, Torricelli
concluiu que a coluna de mercúrio que deveria contra-
balançar a pressão atmosférica deveria ter uma altura
de ss = 0,76m = 76 cm. A experiência por ele
,
realizada comprovou suas hipóteses. Ocorreu-lhe ainda
que a pressão atmosférica deveria mudar com a altitude,
o que foi comprovado posteriormente por Pascal.
BLAISE PASCAL (1623-1662), matemático, físico e
filósofo francês, foi o autor da famosa frase: “O coração
tem razões que a própria razão desconhece”. Seus tra-
balhos em Matemática e Física foram notáveis. Inventor da
primeira máquina de calcular e criador, juntamente com
Fermat, da teoria das probabilidades, Pascal fez incursões
muito significativas na Hidrostática. Ele estabeleceu que a
pressão exercida em um ponto de um líquido transmite-
se a todos os outros pontos. Prosseguindo os estudos de
Torricelli, Pascal usou o dispositivo criado pelo cientista
italiano como barômetro, comprovando experimental-
mente que a coluna de mercúrio diminui à medida que
se escala uma montanha. Concluiu, desse modo, que a
pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude.
A ele se atribui a invenção da prensa hidráulica.
Em resumo, Arquimedes, Stevin, Torricelli e Pascal
podem ser considerados os quatro pilares sobre os quais
se erigiu o edifício da Hidrostática.
A Pascal
E Enquanto isso. DDS
Consulte a Linha do tempo, nas pri-
meiras páginas deste volume, onde são |
| destacados os principais acontecimentos |
| históricos que ocorreram na época de Ste-
vin, Torricelli e Pascal (de 1548 a 1662) e os
personagens importantes, em vários tamos |
~ de atividades, que viveram nesse mesmo |
* período. Dentre eles, salientamos:
e Oliver Cromwell (1599-1658), político |
| inglês, chefiou o exército que depôs o rei |
' Carlos I e proclamou a República. Durante
seu governo, unificou a Inglaterra, a Es-
cócia e a Irlanda, formando a Comunidade
Britânica.
: Willebrord Snell (1580-1626), matemático |
| e astrônomo holandês, descobriu experi- |
: mentalmente a lei da refração que leva seu
nome.
Diego Velázquez (1599-1660), pintor
espanhol, faz parte da idade de ouro da
pintura espanhola. Uma de suas principais
i obras é As meninas.
Padre Antônio Vieira (1608-1697), mis-
sionário jesuíta português, foi grande ora-
dor, diplomata, mestre da prosa clássica, a
| quem o poeta Fernando Pessoa chamou de
| “imperador da língua portuguesa”, Dentre
. as obras que deixou, seus sermões mere-
l cem especial destaque.
Molière (Jean-Baptiste Poquelin, 1622-
l 1673), escritor e dramaturgo francês, é
considerado um dos grandes mestres da
. comédia satírica. Em suas obras procurava
, criticar os costumes de sua época.
El Greco (Doménikos Theotokópoulos,
, 1541-1614), pintor, escultor e arquiteto
l grego, nascido na ilha de Creta, desen-
volveu a maior parte de sua carreira na
| Espanha. Foi um grande retratista, tendo |
pintado especialmente clérigos e nobres.
Benedictus (Baruch) de Spinoza (1632-
1677), filósofo holandês, é um dos
grandes racionalistas da filosofia mo-
derna (junto com Descartes e Leibniz).
É considerado o fundador do criticismo
l bíblico moderno.
À
reret
“456
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184.do Código Penal e Lei 9.810 de 19 da fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998:
E Neste capítulo estudamos os fluidos (líquidos
e gases) em movimento, como o das águas
de um rio. Apresentamos o conceito de vazão,
a equação da continuidade, a equação
de Bernoulli e suas consegúências, finalizando
com a equação de Torricelli,
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
2. VAZÃO
3. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI
5. EQUAÇÃO DE TORRICELLI
B.. Considerações iniciais
A Hidrodinâmica é o estudo dos fluidos (líquidos e gases) em movimento, como a água escoando
ao longo de um tubo ou no leito de um rio, o sangue que corre pelas veias de uma pessoa, a fumaça
emitida pela chaminé de uma fábrica. Embora nesse ramo da ciência estude-se o movimento dos fluidos
em geral, o nome Hidrodinâmica (do grego: hydro, água) é conservado por tradição, pois originalmente
esse estudo se restringia ao movimento da água.
O escoamento de um fluido pode ocorrer de modo turbulento, como nas corredeiras e nas cachoei-
ras, onde a velocidade em cada ponto muda de instante para instante; ou em regime estacionário (ou
permanente), situação na qual a velocidade do fluido em cada ponto não varia com o decorrer do
tempo, sendo função apenas da posição do ponto. Nessa situação, portanto, partículas diferentes
do fluido, ao passarem por um mesmo ponto, terão a mesma velocidade.
Em nosso estudo, vamos considerar sempre o escoamento em regime estacionário. As trajetórias
descritas pelas partículas de um fluido, escoando em regime estacionário, são denominadas linhas de
corrente.
Outro aspecto de nosso estudo é que o fluido será considerado ideal, isto é, incompressível (a densi-
dade do fluido não varia ao longo do percurso) e não-viscoso (o que significa que não há dissipação de
energia ao longo do trajeto do fluido). Em um fluido real, a viscosidade resulta do atrito interno existente
entre as partes do fluido, de modo que uma parte se opõe ao movimento relativo de outra.
o 2. Vazão
Considere um fluido escoando em regime estacionário ao longo de um tubo. Seja AV o volume de
fluido que atravessa uma seção transversal S do tubo num intervalo de tempo At (figura 1).
A vazão do fluido através da seção $ do tubo é, por definição, a grandeza:
A unidade de vazão no Sistema Internacional é o metro
cúbico por segundo (m/s). Outra unidade de vazão bastante
utilizada é o litro por segundo (£/s), cuja relação com a uni-
dade do Sl é:
1 m?/s = 10º £/s
CarítuLo 21 * HiDRODINÂMICA 457º
Considere um tubo de seção constante (figura 2). O vo-
lume AV que entrou pela seção $ de área A, no intervalo de
tempo At, é dado por A - As, em que As é a distância percorrida
pelo fluido no intervalo de tempo At. Sendo v a velocidade do
fluido no tubo, vem:
AV A- AS
Z= — > Z= >
At At
Figura 2. AV = A * As
B>. Equação da continuidade
Considere um tubo cuja seção transversal não seja cons-
tante (figura 3). As seções S, e $, têm áreas A, e A, sendo v; e
v, as velocidades do fluido em S$; e S, respectivamente. Con-
siderando o fluido incompressível, isto é, sua densidade não
varia ao longo do tubo, podemos concluir que, no intervalo
de tempo At, o volume de fluido AV que atravessa a seção S$, Figura 3.
é o mesmo que atravessa S,. Em outras palavras, a vazão do
fluido através de $, é a mesma através de S;:
An = Ay |
A equação obtida é chamada de equação da continuidade e exprime o fato de que a velocidade de
escoamento de um fluido é inversamente proporcional à área da seção transversal do tubo. Por exemplo:
diminuindo a área, a velocidade de escoamento aumenta na mesma proporção, e a vazão permanece a
mesma. É o que ocorre quando tapamos parcialmente a saída de água de uma mangueira com o dedo,
visando a aumentar a velocidade de saída da água e o alcance dela (figura 4).
Z =Z >
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Figura 4.
É Um líquido flui através de um tubo de seção transversal constante e igual a 5,0 cm? com velocidade de 40 cm/s.
Determine:
a) a vazão do líquido ao longo do tubo;
b) o volume de líquido que atravessa uma seção em 10 s.
Solução:
a) À vazão (Z) é dada pelo produto da área da seção transversal (A) pela velocidade do líquido (v): Z = A+ v
Sendo A = 5,0 cm? e v = 40 cm/s, vem:Z=5,0-40 > |Z=20-10 cm?/s
b) De Z = + , sendo At = 10 s, resulta: 2,0: 10? = x > | AV = 2,0: 10° cm?
Respostas: a) 2,0 - 10° cm/s; b) 2,0 + 10º cm?
sesosssevoscsesseassosnosovecseoscosououesorossovosssesoscososoresoosersoooroveceesessenessovesosersssesressesesssesosreosossesoroseserssoresusasosssess
º 458 Os FUNDAMENTOS DA Fisica
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A artéria aorta de um adulto tem área de seção transversal da ordem de 3,0 cm?. O sangue bombeado pelo
coração passa pela artéria com vazão de 90 cm'/s.
a) Com que velocidade o sangue passa pela artéria aorta?
b) Quanto tempo é necessário para circular pelo coração 1,8 litro de sangue?
Solução:
a) DeZ=A-v, sendo Z = 90 cm'/s e A = 3,0 cm”, vem:
my
>
[e]
+
tm
90 = 3,0 +v > |v = 30 cm/s Q
b) De Z = x sendo Z = 90 cm?/s e AV = 1,8 £ = 1,8 < 10° cm’, resulta:
o = 18,
Respostas: a) 30 cm/s; b) 20 s
As superfícies S, e S, do tubo indicado na figura possuem áreas respectivamente iguais a 2,5 - 102 m” e
10-10 m’.
Um líquido escoando pelo tubo atravessa a seção S, com velocidade 3,0 m/s. Determine a velocidade com que
o líquido atravessa a seção S,.
Solução:
Pela equação da continuidade, temos: 4, - vı = 4, * Vy. Sendo A; = 2,5- 10 m?, A, = 1,0 < 107° m’ e v= 3,0 m/s,
vem:
25:102.30=1,0-102:0, >
Resposta: 7,5 m/s
P.538 Um líquido escoa através de um tubo de seção transversal constante e igual a 4,0 cm”, com vazão de 1,0 - 10º cm?/s.
a) Qual é a velocidade do líquido ao longo do tubo?
b) Qual é o volume de líquido, em litros, que atravessa uma seção do tubo em 10 min?
P.539 Uma piscina possui 4,0 m de largura, 10 m de comprimento e 1,8 m de profundidade. Para enchê-la completa-
mente, utilizando um conduto de área de seção transversal 25 cm, são necessárias 8 h.
a) Qual é a vazão de água através do conduto?
b) Qual é a velocidade com que a água sai do conduto?
c) Com que velocidade sobe o nível de água da piscina?
P.540 As superfícies S, e S, do tubo indicado na figura possuem, respectivamente, áreas 4, e À,, tais que 4, = 34..
Um gás flui pelo tubo, atravessando as seções S, e S, com velocidades v; e v,, respectivamente. Determine
= ù
a relação —.
U2
ssocserounesnesaesuueosossasssenosossossesssseseesooroossesoeessecosoesesesooessosessrssosssovsesossasosovoszonosaspessconesoersseseosasasssvessoonesssse
Carítuto 21 e HIDRODINÂMICA 459 °
Ba. Equação de Bernoulli
Um fluido incompressível e não-viscoso, de densidade d, escoa por uma canalização em regime
estacionário (figura 5). Sejam p, e p, as pressões nos pontos 1 e 2, cujas alturas, em relação a um plano
horizontal q de referência, são h e h,, respectivamente. Sejam v, e v, as velocidades do fluido nos pontos
1 e 2 e g a aceleração da gravidade local. A equação de Bernoulli* estabelece que:
d 2
Figura 5.p + dgh + < é constante.
2
Portanto, para qualquer ponto do fluido, p + dgh + S é constante.
2
Nessa equação, p + dgh é a chamada pressão estática, e dv , à pressão dinâmica.
Aplicando a equação de Bernoulli ao caso particular em que h, = h, = h (figura 6), temos:
Figura6.h,=h,=h
Observe que, sendo A, < A, temos pela equação da continuidade que v, > vı. Pela equação de
Bernoulli, resulta que p, < p,. Concluímos, então, que:
No trecho em que a velocidade é maior, a pressão é menor.
Esse é o chamado efeito Bernoulli.
Se o fluido que escoa pela canalização for um líquido, ele atinge alturas diferentes nos tubos verticais
Ae B (figura 7): no tubo A o nível do líquido é mais elevado, pois a pressão neste ponto é maior.
E
dessa famil:
seus membros se dedicaram ao estudo das ciêr
Figura 7.p, >p, NE
% BERNOULLI, Daniel (1700-1782), nasceu em Groningen, na Holanda. Foi filósofo, fisiologista, médico e físico.
Em Física, destacam-se suas contribuições no campo da Hidrodinâmica e no estudo da teoria cinética dos gases.
COVCNCLONDO CON CCNCEOLULBA NUNCA DIA CLOUD AUDID CDA EDCD ONO OCDE SALADAS LOUCA ALTURA DUO UEC COR UCU DA nO as ra Sa roUa casa a sas
«460 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Conhecendo o efeito Bernoulli, podemos explicar vários fenômenos. Veja alguns deles:
Wi Destelhamento
Durante uma ventania, a passagem do ar faz com que a pressão na região logo acima do telhado de
uma casa se torne menor do que a pressão do ar abaixo deste. Essa diferença de pressão produz uma
força ascensional que pode levantar o telhado, se ele não estiver amarrado à estrutura da casa (figura 8).
Uma solução seria ventilar o espaço sob o telhado para que não haja diferença de pressão.
e —
fazl
>
Faz]
+
tm
i F E
m
q u
T n
E
[i
Figura 8. p, < p- a pressão do ar logo acima do telhado é menor, pois
ali a velocidade do ar (ventania) é maior (F : força ascensional).
m Vento rasante em uma janela
Durante uma ventania, o ar que passa rente a uma janela
origina uma diminuição da pressão, em relação ao ambiente
interno. Como consequência, se a janela estiver aberta, uma
cortina ali colocada desloca-se em direção à janela, como se
estivesse sendo puxada para fora.
E Bola de pingue-pongue suspensa por um jato de ar
Uma bola pode ficar suspensa por um jato de ar (figura 9).
A pressão do ar em movimento em torno da bola é menor do
que a pressão do ambiente (pressão do ar parado). Assim, o (p) é menor do que a pressão do ambiente
resultado é uma força que tende a trazer a bola para o centro (p;), pois em torno da bola a velocidade
do jato, quando ela é desviada dessa posição. do ar é maior.
Figura 9. A pressão em torno da bola
m Efeito Magnus
Quando uma bola é lançada em rotação, observa-se uma a)
diferença de pressão do ar entre as diferentes regiões junto
à bola. Nessas condições, aparece uma força resultante, de
modo que a trajetória da bola é diferente daquela que seria
descrita se ela não tivesse rotação. Esse é o efeito Magnus*,
Observe, na figural0a, a corrente de ar passando por
uma bola que se desloca sem rotação, isto é, que realiza um
movimento de translação. Na figura 10b, a bola está realizan-
do somente um movimento de rotação, arrastando o ar ao
seu redor. O movimento em que a bola translada e ao mesmo o
tempo gira (figura 10c) é obtido pela superposição dos dois
movimentos descritos anteriormente. Observe que, na parte
superior da figura 10c, as correntes de ar das figuras 10a e
10b têm sentidos opostos, e na parte inferior têm o mesmo
sentido. Portanto, a velocidade do ar é menor na parte su-
perior e, pelo efeito Bernoulli, maior é a pressão, originando Figura 10. (a) Bola em translação. (b) Bola
uma força resultante para baixo. em rotação. (c) Bola transladando
e girando ao mesmo tempo.
b)
* MAGNUS, Heinrich Gustav (1802-1870), físico e químico alemão. Realizou estudos em vários campos da Química e da Física,
como por exemplo na eletrólise e na termodinâmica. Foi ele quem explicou a trajetória curva descrita por uma bola,
quando lançada com um movimento roto-translatório.
CarítuLo 21 e HiDRODINÂMICA 4610
Note na figura 11 que a força resultante seria para cima se mudássemos o sentido de rotação da bola.
Quanto mais lisa for a bola, menos ar ela arrasta e menos acentuado é o efeito Magnus.
a) b)
NA
Figura 11.
Em muitos jogos com bola, como o futebol, são comuns as jogadas em que o jogador “dá um efeito”
na bola — na verdade, trata-se do efeito Magnus. Por exemplo, na cobrança de faltas, certos jogadores
têm a capacidade de fazer com que a bola adquira uma trajetória totalmente inesperada, enganando
o goleiro.
CM
EE
E
um
LAURENCE GRIFFITHS / GETTY IMAGES
Bs. Equação de Torricelli
Um líquido de densidade d está contido num recipiente. Um
pequeno furo é feito na parede lateral do recipiente, a uma distância
h da superfície do líquido. A velocidade horizontal com que o líquido
escoa pelo orifício tem módulo v (figura 12). Seja g a aceleração da
gravidade. Para determinarmos v, vamos aplicar, para os pontos
1 (na superfície) e 2 (no orifício), a equação de Bernoulli:
2 2
pr + dgh + ŽE = p, + dgh, + SE
Observe que:
e p, = p, = pressão atmosférica;
e v; = 0 (pois a área da seção transversal do recipiente é muito
maior do que a área do orifício) e v, = v.
Assim, a equação de Bernoulli fica:
2
dgh = dgh, + => v? =2-g: (h — h)
Sendo h, — h, = h, resulta:
Equação de Torricelli
< Chute de Ronaldinho Gaúcho que resultou
em gol, no jogo Brasil x Inglaterra na
Copa do Mundo de 2002.
Figura12.
Entre na rede
No endereço eletrônico
http://www.phy.ntnu.edu.tw/
ntnujava2/ em Easy Java |
Simulations, Dynamics, item 6 |
(acesso em 23/2/2007), por meio |
de uma simulação, você pode j
analisar a trajetória de um jato |
de líquido por um furo lateral |
num recipiente, determinado pela |
pressão exercida pelo líquido. j
|
|
|
|
|
|
|
|
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercícios
“resolvidos
As superfícies S, e S, do tubo indicado na figura possuem
áreas 3,0 cm” e 2,0 cm”, respectivamente, Um líquido de den-
sidade d = 0,80 « 10º kg/m” escoa pelo tubo e apresenta, no
ponto 1, velocidade v; = 2,0 m/s e pressão p; = 4,0 + 10º Pa.
Determine a velocidade e a pressão do líquido no ponto 2.
Solução:
Pela equação da continuidade, temos A, - Vv, = A; * v}. Sendo A, = 3,0 em”, A; = 2,0 cm? e v, = 2,0 m/s, vem:
Para o cálculo da pressão no ponto 2, usamos a equação de Bernoulli, para o caso em que A, = hz:
du? dv;
nto Sto
Sendo p, = 4,0 - 10" Pa, d = 0,80 - 10° kg/m”, v, = 2,0 m/s e v, = 3,0 m/s, vem:
a. 2 a. 2
40.10º + SECT GO -p p dio CO => D: = 38: 10* Pa
Respostas: 3,0 m/s e 3,8 - 10* Pa
Pretende-se medir a vazão de um líquido
que escoa por uma canalização. Para isso,
utiliza-se um aparelho chamado tubo de
Venturi*, que consiste essencialmente de
um tubo cujas seções S, e S, têm áreas À,
e À, conhecidas. À diferença de pressão
entre os pontos 1 e 2 é medida por meio do
desnível h do líquido existente nos tubos
verticais. O tubo de Venturi é inserido na
canalização, conforme mostra a figura.
Sendo A, = 10 cm?, A, = 5,0 cm”, h = 0,60 m, BELL) —————
g= I0m/sed = 1,2: 10º kg/m” a densidade
Canalização Tubo de Venturi
| No endereço eletrônico http://www.galileo.fr.it/
através da canalização. ' marc/idraulica/bernoulli/bernoulli.htm (acesso em
do líquido, determine a vazão do líquido |
| 30/3/2007), você pode variar o raio de uma das seções
|
RR ae
Solução: | : = . pe
ução i o. | de um tubo de Venturi e a vazão do fluido, verificando
Da equação da continuidade, vamos deter- | a constância da soma das pressões que comparecem na
minar a velocidade do líquido no ponto 2 e equação de Bernoulli.
substituir na equação de Bernoulli: MET
AU 10-v
DeA,-v = A,* Va, resulta: v, = A = “0 =20:u
2 2
De p + da =p + d vem:
2 2
dv? d(20-v) d- (2,0 v” dv? 2. —
Pı S omt e 1) Sp-p= — 2-A ag e
Sendo p, — p, = dgh, em que d é a densidade do líquido, temos:
= 2dgh 2gh _ 2-10- 0,60 > v = 20 m/s
3d 3 3
Portanto, a vazão do líquido será:
Z=A,v, = 10cm”-2,0-10 cm/s = 2,0 + 10º cmº/s = 2,0 litros/segundo > | Z = 2,0 t/s
Resposta: 2,0 ?/s
% VENTURI, Giovanni Battista (1746-1822), físico italiano.
CDOLONONNOODTANCACOLALL CLA LELLO TODO CIDINADDOLOOOAVANLLUDLLCC LDO LAO LOC LO LO DLC LONDON CDL USOU DISCOS DOLAR UAU ADA
Carítuio 21 + HiDRODINÂMICA 463º
ara medir a velocidade com que um líquido, de densidade
d = 1,0: 10º kg/m”, escoa por uma canalização, pode-se utilizar um
aparelho chamado tubo de Pitot*, esquematizado ao lado.
Na situação da figura, o líquido manométrico é o mercúrio, de den-
sidade dy = 13,6 - 10º kg/m”, e o desnível A é de 10 cm. Considere
g=10 m/s?. Qual é a velocidade v de escoamento do líquido?
Solução:
Vamos aplicar a equação de Bernoulli, considerando os pontos 1
e 2 indicados:
dv; dv;
pia CR
Sendo v, = v (velocidade de escoamento do líquido) e v, = 0 (o
ponto 2, onde o líquido é barrado, é chamado ponto de estagna-
ção), vem:
dv 2- -p)
+ — = > v=|— É Si
Pi > P2 d ©
Para o cálculo de p, — p,, considere os pontos À e B e vamos apli-
car o teorema de Stevin:
Ps = Pa + dyugh
Mas p, = pı + dgx e py = p, + dgy, portanto:
P2 p + dgx + dugh => pı- pı = dugh — dg ~- xX) =>
> Pı — pı = dugh — dgh Pa — Pi = (du ~ d)’ gh
Substituindo em ®, vem: v = 2º (dy — — gh
Sendo dy = 13,6- 10° kg/m”, d = 1,0 + 10º am? , h = 10 cm = 0,10 m
eg = 10m/s', vem:
_ |2. (13,6 — 1,0) + 10° - 10- 0,10
Resposta: 5,0 m/s
Observação:
O tubo de Pitot permite medir a velocidade de escoamento de líquidos e gases.
Nos aviões, a finalidade do tubo de Pitot é obter a velocidade v através da diferença de pressão p, — p, como
vimos nesse exercício. Para isso, ele deve ser montado paralelamente ao eixo longitudinal do avião, num local
onde não exista ar turbulento. Sua localização varia de acordo com o tipo de avião, dependendo do projeto.
Pode ser localizado, por exemplo, no nariz do avião, na ponta da asa etc.
Um recipiente, de grande área de seção transversal, contém água
até uma altura H. Um orifício é feito na parede lateral do tanquea do no
uma distância A da superfície do líquido. h
a) Determine, em função de He A, o alcance D indicado na figura. EA
2 Zu: H =>
b) Qual é o valor do alcance máximo? S
c) Qual deve ser a relação entre H e h para que o alcance seja .
máximo? S,
A —/
Solução: © po
a) Vamos calcular, inicialmente, o tempo de queda, analisando o
movimento vertical que é um MUV.
2 2 . —
De s = 2t vem: H-h gt >t 2-H- h)
2 2 g
* PITOT, Henri (1695-1771), físico e engenheiro francês.
COCO CACAU UEC ELENCO COS CUDL AULAS LILA LLC LDU DAL SALAS A CLA AUS ONO PASE SE SLOU CADA DADA OA DUAL DENSA Ra O SUS Urso an acre ds
Os FUNDAMENTOS DA Fisica
464
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Na horizontal o movimento é uniforme, com velocidade v dada pela equação de Torricelli: v = 4j 2gh
Des = vt, vem: D = 2gh o 2 VA oh
b) De D =2/h-(H-h),vemD=4h(H-h) > 4h -4Hh+D=0 O
Vamos analisar o discriminante dessa equação do 2° grau em h:
A= (4H -4:4:D =0 > DSH
Logo, o valor máximo de D é igual a H:
c) Basta calcular a raiz da equação ( no caso em que D é máximo, isto é, A = 0:
“(Cam £ VA 4H H
2.4 8
Respostas: a) D = h- (H — h) ; b) Dia = Ho) h = Z
N
Exercicios
„propostos
BS
P.541 Um líquido de densidade d = 1,2 - 10° kg/m” flui pelo tubo indicado s,
na figura, passando pelo ponto 1 com velocidade v, = 5,0 m/s e S, 7
pelo ponto 2 com velocidade v, = 2,0 m/s. A pressão no ponto 4 v i2 v
1 ép, = 2,4: 10° Pa. Determine: g e
a) a razão entre as áreas das seções transversais S, € S,; P: N
b) a pressão no ponto 2. P:
P.542 Pretende-se medir a velocidade v, de um líquido que escoa por uma canalização. Para isso, insere-se na canali-
zação um tubo de Venturi, conforme a figura (h: desnível do líquido existente nos tubos verticais; g: aceleração
da gravidade; A, e 4;: áreas das seções transversais S, e $z).
Prove que: v =
Canalização
P.543 Um tubo de Pitot é inserido numa canalização, por onde escoa
um líquido de densidade d = 1,6 - 10º kg/m”. O líquido mano-
métrico é o mercúrio, de densidade dy = 13,6 + 10º kg/mº. O
desnível h é de 20 cm.
Considerando g = 10 m/s”, determine:
a) a diferença de pressão entre os pontos 2e 1;
b) a velocidade de escoamento do líquido.
P.544 Um recipiente, de grande área de seção transversal, contém
água até uma altura H. Um orifício é feito na parede lateral do
tanque a uma distância h da superfície do líquido. À área do h
orifício é de 0,10 cm? e a aceleração da gravidade é g = 10 m/s”. v
No instante em que A = 0,80 m e H = 1,25 m, determine: H =>
a) a velocidade com que o líquido escoa pelo orifício; N
b) a vazão de água pelo orifício; `
c) o alcance horizontal D. 7 T
! D
assessssessesesssssssosarvassessessrnpoevassesssosecsvosesesnssasuseevavuaserssesevetesrtonguseposavrusssorassesrosespesesrueeseruressesesasuesserescases
CapiTuLo 21 + HIDRODINÂMICA 465 °
ios propostos
«de recapitul
P.545 (Fuvest-SP) A artéria aorta de um adulto tem um raio
de cerca de 1 cm, e o sangue nela flui com velocidade |
33 cm/s.
a) Quantos litros de sangue por segundo são
transportados pela aorta?
b) Sendo 5 litros o volume de sangue no organis-
mo, use o resultado anterior para estimar o
tempo médio que o sangue leva para retornar
ao coração.
P.546 (UnB-DF) Considere as seguintes afirmações:
e Animais como coelhos e toupeiras constroem
suas tocas com mais de uma abertura, cada
abertura localizada a uma altura diferente,
conforme ilustrado na figura I a seguir.
Abertura 2
Va
— ip
Abertura 1
—
Yi
—>
Figura I
e Nas proximidades do solo, o módulo da ve-
locidade do vento aumenta com a altitude,
conforme ilustra a figura II a seguir.
Figura il
e O princípio de Bernoulli estabelece que a
pressão que o ar em movimento exerce sobre
superfícies ao longo das quais ele escoa varia
com a velocidade de escoamento. Assim, na
situação ilustrada na figura I, devido à veloci-
dade do ar, as pressões p; e p, € as velocidades
v, € v; nas aberturas 1 e 2, respectivamente,
são relacionadas de forma aproximada pela
i
1 1
equação p, + 7 poi = p, + 7 pv;, em que |
p é a densidade do ar, supostamente constante.
A análise dessa equação permite afirmar que,
em regiões onde a velocidade do ar é alta, a
pressão é baixa, e, onde a velocidade é baixa,
a pressão é alta.
Com base nas afirmações anteriores, julgue os
itens a seguir.
P.547
P.548
(1) Uma toca com duas aberturas no mesmo nível
terá melhor ventilação que a apresentada na
figura I, sob as mesmas condições de vento.
(2) Se um arbusto crescer nas proximidades da
abertura 1, de forma a dificultar a passagem
do vento, sem bloquear a abertura, então a
ventilação na toca será melhorada.
(3) Ap = p, — p: é diretamente proporcional à dife-
rença dos módulos das velocidades v, e v,.
(4) A circulação de ar no interior da toca mos-
trada na figura I ocorre da abertura 1 para a
abertura 2.
(Unicamp-SP) “Tornado destrói telhado de gi-
násio da Unicamp. Um tornado com ventos de
180 km/h destruiu o telhado do ginásio de esportes
da Unicamp... Segundo engenheiros da Unicamp,
a estrutura destruída pesa aproximadamente
250 toneladas.” (Folha de S.Paulo, 29/11/95)
Uma possível explicação para o fenômeno seria
considerar uma diminuição da pressão atmos-
férica, devida ao vento, na parte superior do
telhado. Para um escoamento de ar ideal, essa
2
redução de pressão é dada por — , em que
p = 1,2 kg/m” é a densidade do ar e v a velocidade
do vento. Considere que o telhado do ginásio tem
5.400 m?” de área e que estava apenas apoiado nas
paredes. (Dado: g = 10 m/s”)
a) Calcule a variação da pressão externa devida
ao vento.
b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas
pela força devida a esse vento?
c) Qual a menor velocidade do vento (em km/h)
que levantaria o telhado?
(UFBA) Um fenômeno bastante curioso, asso-
ciado ao vôo dos pássaros e do avião, pode ser
visualizado através de um experimento simples,
no qual se utiliza um carretel de linha para em-
pinar pipa, um prego e um pedaço circular de
cartolina.
O prego é colocado no centro da cartolina e in-
serido no buraco do carretel, conforme a figura.
Soprando pelo buraco superior do carretel, veri-
fica-se que o conjunto cartolina-prego não cai.
Considere a massa do conjunto cartolina-prego
igual a 10 g, o raio do disco igual a 2 cm e a ace-
leração da gravidade local, 10 m/s”.
A partir dessas informa-
ções, apresente a lei física
associada a esse fenômeno
e calcule a diferença de
pressão média mínima, en-
tre as faces da cartolina,
necessária para impedir
que o conjunto caia.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P.549 (ITA-SP) Considere uma tubulação de água que
consiste de um tubo de 2,0 cm de diâmetro por
onde a água entra com velocidade de 2,0 m/s
sob uma pressão de 5,0 x 10º Pa. Outro tubo de
1,0 cm de diâmetro encontra-se a 5,0 m de altura,
Testes
propostos
: (UFPA) Considere duas regiões distintas do leito
de um rio: uma larga À com área de seção trans-
versal de 200 m’, e outra estreita B, com 40 m? de
área de seção transversal. A velocidade do rio na
região A tem módulo igual a 1,0 m/s. De acordo
com a equação da continuidade aplicada ao fluxo
de água, podemos concluir que a velocidade do
rio na região B tem módulo igual a:
a) 1,0 m/s c) 3,0 m/s e) 5,0 m/s
b) 2,0 m/s d) 4,0 m/s
(UFSM-RS) Um líquido, suposto incompressível,
escoa através de uma mangueira cilíndrica de
raio r e enche um recipiente de volume V em um
intervalo de tempo t.
A velocidade de escoamento do líquido, suposta
constante, tem módulo igual a:
2
da É y o E ao Lave
rt 2rrt
nr’t t
(UFSM-RS) As figuras representam seções de
canalizações por onde flui, da esquerda para a
direita, sem atrito e em regime estacionário, um
líquido incompressível. Além disso, cada seção
apresenta duas saídas verticais para a atmosfera,
ocupadas pelo líquido até as alturas indicadas.
I. NI.
Fep o
As figuras em acordo com a realidade física são:
a) Hell co) HelV e)leli
b) IelV d) II e IV
é (ITA-SP) Durante uma tempestade, Maria fecha as
janelas do seu apartamento e ouve zumbido do
vento lá fora. Subitamente o vidro de uma janela
se quebra. Considerando que o vento tenha so-
prado tangencialmente à janela, o acidente pode
ser melhor explicado pelo(a):
a) princípio de conservação da massa.
b) equação de Bernoulli.
c) princípio de Arquimedes.
d) princípio de Pascal.
e) princípio de Stevin.
|
|
|
conectado ao tubo de entrada. Considerando a
densidade da água igual 1,0 x 10º kg/m” e des-
prezando as perdas, calcule a pressão da água
no tubo de saída. (Use g = 10 m/s?)
AFA-SP) Através de uma tubulação horizontal de
seção reta variável, escoa água, cuja densidade
é 1,0 - 10º kg/m”. Numa seção da tubulação, a
pressão e o módulo da velocidade valem, res-
pectivamente, 1,5 + 10º N/m? e 2,0 m/s. A pressão
em outra seção da tubulação, onde o módulo da
velocidade vale 8,0 m/s, é, em N/m’:
a) 1,2- 10º
b) 1,8- 10º
o 3.10
d) 6- 10º
* (Unemat-MT) Um aluno de Física, querendo bu-
rilar os dados de um experimento e de posse da
teoria sobre a variação da pressão hidrostática
com a profundidade (à medida que aumenta
a profundidade do fluido, aumenta a pressão
hidrostática e, consequentemente, a velocidade
com que o líquido é lançado pelos orifícios),
elaborou o seguinte desenho esquemático, repre-
sentando as conclusões a que chegou.
Lata
e H é o nível do líquido;
e h, h, h, h; e h, são as alturas dos orifícios por
onde sai o líquido em relação ao fundo da lata;
* X, Xi, X2, X3 € X4 SãO os alcances do jato d'água.
Julgue as afirmações feitas pelo estudante.
(0) Quanto menor for a altura entre o orifício e o
fundo da lata, maior será o alcance do líqui-
do, pois não existe nenhuma relação entre
alcance e tempo de queda.
(1) À medida que a quantidade do líquido for
reduzindo, ocorrerá a redução da pressão
hidrostática.
(2) À medida que a quantidade do líquido for
reduzindo, maior será a velocidade de escoa-
mento do líquido.
(3) O meu desenho é correto para representar
esquematicamente a variação da pressão
hidrostática com a variação da coluna de
líquido e, consequentemente, a velocidade
com que o líquido é lançado pelos orifícios.
Capitulo 21 e HIDRODINÂMICA 467º
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
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Realize as experiências com supervisão de seu professor.
Comprovando o efeito Bernoulli
1° experiência
Assopre uma folha de papel de seda, conforme mostra
a foto A. Você notará que a folha se eleva (foto B).
2º experiência
Assopre o espaço entre duas folhas de papel,
conforme a foto C. Você notará que as folhas se apro-
ximam.
3º experiência
Pegue um canudinho de refresco e, com muito cui-
dado, faça um corte transversal, sem dividir o canudinho
EDUARDO SANTALIESTRA / CID
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Em
em duas partes. Dobre o canudinho e coloque a parte
menor dentro de um copo com água. Ao assoprar pela
outra extremidade (foto D), você notará que a água sobe
pelo tubo e, ao atingir a parte superior, se pulveriza. Está
construído, assim, um pulverizador.
* Explique os fatos observados nas três experiências
descritas, tendo em vista o efeito Bernoulli.
* Dois trens de alta velocidade se cruzam. Os passagei-
ros sentem um estampido nos ouvidos e têm a sensa-
ção de que os trens tendem a se aproximar. Explique
essas ocorrências.
Reprodução proibida. Art. 184 do Cádigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução. proibida. Art. 184 do Código Penal é Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
HISTÓTIA Da FÍSICA
OS BERNOULL
Entre os séculos XVII e XVIII, os Bernoulli viveram na
Basiléia, Suíça. Uma característica marcante dessa família foi
o fato de vários de seus membros terem se dedicado ao estudo
das ciências, principalmente da Matemática.
Nicolaus Bernoulli (1623-1708) tinha para seus filhos,
Jakob Bernoulli (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748),
respectivamente quinto e décimo filhos, outros planos que
não o de se tornarem matemáticos. Pretendia que Jakob fosse
ministro religioso, e Johann, comerciante ou médico. Entretan-
to, eles enveredaram pelos caminhos da Matemática. Foram
discípulos do grande matemático Gottfried Wilhelm von
Leibniz (1646-1716) e realizaram importantes trabalhos nesse
campo de estudo. Jakob Bernoulli, por exemplo, desenvolveu
o cálculo infinitesimal, cujas bases tinham sido lançadas por
Leibniz. Johann Bernoulli, além de importantes contribuições
no cálculo exponencial, trabalhou com a geometria diferen-
cial, descrevendo as curvas geodésicas sobre uma superfície.
Johann era um dedicado professor e incansável pesquisador,
tendo contribuído enormemente para o desenvolvimento da
Matemática, Seus filhos, Nicolaus Bernoulli (1695-1726), Da-
niel Bernoulli (1700-1782) e Johann Bernoulli 11 (1710-1790)
também se dedicaram às ciências. Johann Bernoulli Il nasceu
na Basiléia e foi um estudioso da Física. Foi premiado pela
Academia de Ciências de Paris por seus trabalhos em Termo-
logia e Magnetismo. Daniel Bernoulli, nascido em Groningen,
na Holanda, dedicou-se com brilho a vários ramos da ciência.
Foi filósofo, fisiologista, físico e médico.
Quando Daniel nasceu, seu pai Johann era catedrático da
Universidade de Groningen. Daniel tinha cinco anos de idade,
quando sua família retornou à Basiléia, pois seu pai passou a
ocupar a cadeira de Matemática da Universidade de Basiléia,
substituindo seu tio Jakob, que falecera.
= As contribuições de Daniel Bernoulli para a Ciência
Daniel foi um aluno muito precoce, tendo começado
a estudar Filosofia e Lógica aos treze anos. Na Matemática,
contou com os ensinamentos de seu pai e de seu irmão mais
velho Nicolaus. Obteve o bacharelado em 1715, iniciando,
em seguida, o curso de Medicina na Basiléia e depois em
Heidelberg (1718) e Estrasburgo (1719). Retornou à Suíça,
onde obteve em 1721 o título de doutor, na Universidade
de Basiléia, apresentando um trabalho sobre a mecânica
da respiração. Entretanto, não conseguindo trabalho nessa
Universidade, partiu para Veneza, a fim de estudar medici-
na prática e encontrar seu irmão Nicolaus, que concluía o
curso de Medicina. Em 1725 foi convidado, juntamente com
seu irmão Nicolaus, para trabalhar na Universidade de São
Petersburgo, na Rússia, para onde partiram. Após oito meses,
com a morte de Nicolaus em São Petersburgo, Daniel pensou
AKG-LATINSTOCK
Ss AN y IRA
A Johann Bernoulli, em
xilogravura de 1880.
A Daniel Bernoulli, em gravura
da obra Vues de la Suisse.
CSCCNGLA VOLS COLE OL DONO CALNLOC LAGO DDD ONCANLLOLNDEGULDIDONLANOADAG HANSEN DOLAR TLC OND CNIC POCOS CASAS SRU SU a san sura
Capitulo 21 + HiDRODINÂMICA
469 °
em voltar para Basiléia. Entretanto, seu pai conseguiu que um de
seus alunos, Leonard Euler (1707-1783), fosse para São Petersburgo
para trabalhar com Daniel. O período de 1727 a 1733 foi o mais
produtivo de Daniel. Realizou importantes trabalhos em Medicina,
Matemática e Mecânica, em especial na Hidrodinâmica (termo,
aliás, que ele próprio criou). Formulou ainda as bases científicas para
o desenvolvimento da teoria cinética dos gases.
A morte de seu irmão mais velho e o rigor do clima fizeram Da-
niel voltar para a Basiléia, obtendo em 1733 a direção do Departa-
mento de Anatomia e Botânica. Passou a ministrar aulas para o curso
de Medicina, realizando simultaneamente estudos em Matemática,
no cálculo de probabilidades, incluindo aplicações em Medicina e
Astronomia. Em 1738 publicou sua famosa obra Hydrodynamica.
Em 1743 passou para a cadeira de Fisiologia e em 1750 foi designa-
do para a cadeira de Física, na qual permaneceu até 1776. Foi um
dos sócios estrangeiros eleitos para a Academia de Ciências de Paris,
recebendo ao longo de sua vida dez prêmios pelos trabalhos apre-
sentados. Daniel Bernoulli faleceu na cidade de Basiléia em 1782.
A Capa do livro Hydrodynamica,
de Daniel Bernoulli.
E Enquanto isso...
Consulte à Linha do tempo, nas pri-
meiras páginas deste volume, onde são des-
tacados os principais acontecimentos históricos
que ocorreram na época dos Bernoulli (de
1623 a 1782) e personagens importantes, em
vários ramos de atividades, que viveram nes-
se mesmo período. Dentre eles, salientamos:
e
Luís XIV (1638-1715), rei da França, co-
nhecido como “rei Sol”, Famoso pela frase
“VÉtat c'est moi” (“O Estado sou eu”).
Considerado o maior monarca absolutista
da França.
Tiradentes (Joaquim José da Silva Xa-
vier, 1746-1792) nasceu em Minas Gerais,
participou da Inconfidência Mineira e é
considerado um mártir da Independência
do Brasil.
Robert Boyle (1627-1691), físico e quí-
mico irlandês, deixou inúmeras contri-
buições, destacando-se os trabalhos sobre
a combustão e a compressibilidade do ar.
Estabeceu a lei da proporção inversa entre
a pressão e o volume de um gás em tempe-
ratura constante, que hoje leva seu nome.
Christian Huygens (1629-1695), físico,
geômetra e astrônomo holandês; realizou
importantes trabalhos em Óptica, cons-
truindo telescópios, lunetas e lentes acro-
máticas. Em Ondas, estabeleceu a teoria
ondulatória da luz e descobriu o fenômeno
da polarização luminosa. Foi o primeiro a
descrever os anéis de Saturno e descobriu
uma de suas luas, Titã.
Charles Augustin de Coulomb (1736-1806),
físico francês; trabalhou como engenheiro
militar nas colônias francesas no Caribe.
De volta à Europa, dedicou-se à pesquisa
científica. Inventou a balança de torção,
com a qual verificou a lei experimental que
rege a ação entre cargas elétricas.
Voltaire (François Marie Arouet, 1694-1778),
poeta, dramaturgo, filósofo iluminista e
historiador francês. Autor de inúmeras
obras filosóficas e literárias, sendo Candide
a mais conhecida.
Tomás Antônio Gonzaga (1744-1810) nas-
ceu na cidade do Porto, em Portugal, filho
de um magistrado brasileiro. Foi advogado,
escritor e considerado um dos principais
poetas do Arcadismo brasileiro. A obra poé-
tica que o celebrou foi Marília de Dirceu.
Participou da Inconfidência Mineira.
Johann Sebastian Bach (1685-1750),
compositor alemão de música erudita do
período barroco. Foi excelente organista.
É considerado por muitos o maior compo-
sitor de todas as épocas.
CNONODOCLDON CASCO CAN LENCLO COREL LCSLCLOLCLCUL LADO USUAL CADELA DODNONCUDEDAODIDAONO DDD DIO DAL CRC OALO RAS O RU CAD nora core nora asus nen ssa
Os FUNDAMENTOS DA Física
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O osistema INTERNACIONAL DE UNIDADES
O Sistema de Unidades adotado oficialmente no Brasil é o Sistema Internacional de Unidades, ra-
tificado pela 11º Conferência Geral de Pesos e Medidas de 1960 e atualizado nas seguintes até a 22º
Conferência, de 2003.
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (Sl) existem sete (7) unidades fundamentais,
cada uma delas correspondendo a uma grandeza:
metro m comprimento
quilograma kg massa
segundo s tempo
ampère A intensidade de corrente elétrica
kelvin K temperatura termodinâmica
mol mol quantidade de matéria
candela cd intensidade luminosa
S —)
Para a medida de ângulos são adotadas duas unidades suplementares: o radiano (rad), para ângulos
planos, e o esterradiano (sr), para ângulos sólidos.
As unidades derivadas são as que podem ser deduzidas, direta ou indiretamente, das fundamentais.
Dado o seu grande número, não as reproduziremos aqui.
É norma, oficialmente estabelecida, que todas as unidades, fundamentais ou derivadas, quando
escritas por extenso devem ter inicial minúscula, mesmo no caso de nomes de pessoas. Assim, por
exemplo, devemos escrever metro, ampère, newton, coulomb, quilômetro, pascal, etc. A exceção é a uni-
dade de temperatura da escala Celsius, que se escreve grau Celsius (símbolo: °C), com inicial maiúscula
em “Celsius”. Excetuam-se ainda as situações em que a frase é iniciada pelo nome da unidade.
Usualmente, os símbolos são grafados com minúscula, exceto quando se trate de nome de pessoa.
Nesse caso, embora por extenso se use inicial minúscula, o símbolo é grafado com maiúscula. Assim,
temos A para ampère, N para newton, W para watt, Pa para pascal, etc.
Caso a unidade seja composta, os símbolos devem ser colocados um em seguida ao outro, separados
ou não por um ponto (quilowatt-hora: kWh ou kW - h; newton-metro: Nm ou N : m, etc.).
Não se devem misturar unidades por extenso com símbolos. Assim, é errado escrever quilômetro/h
ou km/hora. O certo é quilômetro por hora ou km/h.
O símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por qualquer das três maneiras
Nm
kg?
O plural das unidades é obtido simplesmente pelo acréscimo da letra “s”, mesmo que isso contrarie
regras gramaticais. Assim, escrevem-se metros, ampères, pascals, decibels. São exceções a essa regra as
unidades que terminam por s, x e z, as quais não variam no plural (siemens, lux, hertz).
Se as unidades são palavras compostas por multiplicação cujos elementos são independentes, am-
bos são flexionados: quilowatts-horas, newtons-metros, ohms-metros, etc. O mesmo ocorre quando as
palavras compostas não são ligadas por hífen: metros quadrados, milhas marítimas, etc.
O denominador de unidades compostas por divisão não recebe a letra “s”: quilômetros por hora,
newtons por metro quadrado, etc. Também não recebem a letra “s” quando, em palavras compostas,
são elementos complementares de nomes de unidades e ligados a estes por hífen ou preposição: anos-
luz, quilogramas-força, elétrons-volt, unidades de massa atômica, etc.
exemplificadas a seguir: N + m?/kg” ouN:m? - kg? ou
APÊNDICE 471º
Os símbolos nunca flexionam no plural. Assim, 50 metros devem ser escritos 50 m, ao se usar o
símbolo, e não 50 ms.
Todas as unidades, derivadas ou fundamentais, admitem múltiplos e submúltiplos, que são obtidos
pela adição de um prefixo anteposto à unidade.
Por razões históricas, a unidade fundamental de massa é o quilograma, obtida pelo acréscimo do
prefixo “quilo” à unidade grama. Por isso, as unidades de massa múltiplas e submúltiplas são obtidas
pelo acréscimo do prefixo ao grama e não ao quilograma.
Os prefixos usados, seus símbolos e os fatores pelos quais a unidade fica multiplicada são os se-
guintes:
yotta Y 10%
zetta Z 107
exa E 10'8
peta P 10º
tera T 10"?
giga G 10º
mega M 10º
quilo k 10?
hecto h 102
deca da 10'
deci d 107
centi c 107?
mili m 10º
micro u 107
nano n 107º
pico p 107!
femto f 1075
atto a 1078
zepto z 1072!
yocto y 107%
Nm J
Os prefixos não devem ser misturados. Assim, para indicar 8 - 10? m deve-se escrever 8 nanometros
ou 8 nm e não 8 milimicrometros ou 8 mum.
Quanto à pronúncia, costuma-se conservar a sílaba tônica da unidade, não a mudando quando
se acrescenta o prefixo. Assim, o correto é micrometro (micrométro), e não micrômetro; nanometro
(nanométro), e não nanômetro, etc. Excetuam-se os casos já consagrados pelo uso, como quilômetro,
decímetro, centímetro e milímetro.
Há unidades que não pertencem ao Sistema Internacional mas são aceitas para uso conjunto ao SI,
sem restrição de prazo. São elas: o minuto (min), a hora (h), o dia (d), o grau (°), o minuto (, o segundo
(9, o litro (£ ou L)* e a tonelada (t).
* O símbolo L será empregado sempre que as máquinas de impressão não apresentarem distinção entre o algarismo
um e a letra “ele” minúscula.
Os FUNDAMENTOS DA Física
“472
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O GRANDEZAS Físicas
Tempo
Espaço
Velocidade escalar
Aceleração escalar
Massa
Força
Trabalho
Energia
Potência
Impulso
Quantidade de
movimento
Pressão
Densidade
Vazão
mNn3 e <a a
D
Na O;
segundo
metro
metro por segundo
metro por segundo ao quadrado
quilograma
newton
joule
joule
watt
newton x segundo
quilograma x metro por segundo
newton por metro quadrado ou pascal
quilograma por metro cúbico
metro cúbico por segundo
Um segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre
os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133.
(unidade de base ratificada pela 13º CGPM de 1967)
Um metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de
tempo de 1/299.792.458 de segundo.
(unidade de base ratificada pela 17º CGPM de 1983)
Um quilograma é a massa do protótipo internacional quilograma padrão depositado no Instituto
de Pesos e Medidas em Paris.
(unidade de base ratificada pela 3º? CGPM de 1901)
CONSTANTES FÍSICAS
Velocidade da luz no vácuo
c = 2,998 - 10º m/s |
Aceleração da gravidade na superfície terrestre g = 9,80 m/s
Massa 5,98 < 10” kg
TERRA Raio médio 6,37 - 10ºm
Raio da órbita 1,49-10!m
Massa 7,34 - 102 kg
LUA Raio médio 1,74-10*m
Raio da órbita 3,84 - 10 m
SOL Massa 1,99 - 10” kg
Raio médio 6,96 -10° m
A
CNUMMOnANAA MOVENDO UU COLLOR CANUDO ALVA CEDO DUNDEE DUDELDONCONTC LTDA TVDC LDO LE SU LO CUM AVDA SC ODOR so DAR er aa rasas sas so dados
QuaDrO GERAL DE UNIDADES
Exercícios propostos
Capítulo 1
Introdução à Física
P1 a) 10cm c) 10° mm e) 10° m
b) 10° m d) 10m f) 10mm
P2 4km; 2 km; 5km
P.3 a) 60min c) 3.600 s
b) 60s d) 86.400 s
P4 1h54min50s
P.5 leitura: 7,1 s; algarismo correto: 7; algarismo duvidoso: 1
P6 13974m 2$) 2,17 m?
P7 a) 4,73 -10°m
correto correto duvidoso
b) 7,05 + 10 cm
correto correto duvidoso
c) 3,7 +10 mm
correto duvidoso
d) 3,70 10 mm
correto correto duvidoso
P.8 3,2-10 s
P9 10 gotas
PÃO 10° min
Testes propostos
Tia T.2 b T.3 b T.4 e T.5 b T.6 d
T.7 c T.8 c T.9 c T.10 b T.11 c T.12 d
T.13 c Tide T.15 d T.16 b
Capítulo 2
introdução ao estudo dos movimentos
Exercicios propostos
P.11
P.12
P13
P.14
P.15
esassesersosossososesusosososvsosoorosonotessaosesssesoossesesacesevseseoosasooscorsosesnesosssssesospesossaonesonosesonveconcvassasesesanoaesessessenero
Repouso: em relação ao ônibus; movimento: em relação
à estrada.
Não. Depende do referencial. Um em relação ao outro
está em repouso. Em relação à Terra, os aviões estão em
movimento.
Depende do referencial. Em relação à sala de aula, o aluno
está em repouso; em relação ao Sol, está em movimento
acompanhando o movimento da Terra.
Errada. A pode estar em repouso em relação a C.
a) Em relação ao piloto, o ponto P descreve uma circun-
ferência.
P.16
P.17
P.18
P19
P.20
P.21
P.22
P.23
P.24
P.25
P.26
P.27
P.28
P.29
P.30
P31
P.32
P.33
P34
P.35
P.36
P.37
b) Em relação ao observa-
dor situado no solo, o
ponto P descreve a cur-
va mostrada na figura
ao lado e que se chama
hélice cilíndrica.
a) segmento de reta vertical
b) arco de parábola
5 m/s
10 anos
a) 2 km; 1,5 km
7,0 m/s
36 km/h
a) 25 m/s e 5 m/s
8h 15 min
0,2 volta
1,2 min
50 km/h
80 km/h
72 km/h; não
70 km/h; sim
30 m/s
a) 10s
40 m
a) 1.800 km/h
b) Sim. Como a velocidade escalar média do avião é
maior do que a do som, concluímos que em algum
intervalo de tempo ele deve ter sido supersônico.
500 km
a) 72 km/h
a) 60 pessoas
b) 36 min
b) 15s
b) 3m
b) 70m
b) 50 min c)
a) 1,0 m/min 10 m
Testes propostos
T.17 b
T.21 d
T.27 e
T.33 d
T.18 d
T.22 d
T.28 c
T.34 c
T.19 soma = 03 (01 + 02)
T.23 d T.24 c T.25 c
T.29 e T.30 c T.31 c
T.35 c T.36 e T.37 d
T.20 b
T.26 d
T.32 c
Teste sua leitura
Lic
i =]
Exercicios propostos
P.38
L.2 d
Capítulo 3
Estudo do movimento uniforme
a) 160 m; —40 m/s
b) retrógrado
c) s= 160 — 40t (sem metems)
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P39 a) 50m/s
b) 50 m/s
c) Sim, pois o móvel percorre distâncias iguais em inter-
valos de tempo iguais.
d) Progressivo, pois os espaços crescem com o decorrer
do tempo.
P40 a) 100me80 m/s c) 5s
b) 260 m d) progressivo
P.41 a) 60 kme —12 km/h c) 5h
b) 24 km d) retrógrado
P42 s,=35 + 12t(semmetems);59m
ss=30 — 90t (s em m e tem s); —150 m
Sc = 29 — 13t (s em cm e t em 5); 3 cm
Sp = 43 + 21t (s em m e t em s5); 85 m
P43 0,2 h; 14km
P.44 15;35m
P.45 a) 2h b) a 160 km de A
P.46 20 m/s
P.47 sim
P.48 16m/s
P.49 250 m/s
P50 3,05;7,0s
P.51 15km
P.52 300 m/s
P53 1.500 m
P.54 a) 720 b) 14.400
P55 20 s; mais lento
P56 a) 0,025h b) 0,005 h
P.57 30m/s
P.58 40 min
P59 a) = 200,0-10" km
b} 5,5- 10 km
© o R
PT PR ——e > Rip
550 km Escala
LLA |
(0) 500 km
P60 a) 2 b) 2
3 15v
Testes propostos
T.38 a T.39 b T.40 c T.41 (01) T.42 d T.43 d
T.44 a T.45 b T.46 b T.47 c T.48 b T.49 b
T.50 a T.51d T.52 e T.53 d T.54 e
T.55 soma = 58 (02 + 08 + 16 + 32) T.56 d
Capítulo 4
Movimentos com velocidade
escalar variável.
Movimento uniformemente variado
Exercícios propostos
P.61
P.62
P.63
km/h ou 4 m/s?
14,4
1,6 m/s; 3,2 m/s; 4,8 m/s; 6,4 m/s
-21,6 E. -6 mè
S
REsposTAS
P64 a) O movimento é variado, pois a velocidade escalar
varia no decorrer do tempo.
b) —18 m/s
c) 0a 4s: retardado; 7 sa 9 s: acelerado
d) 3 m/s”, em todos os intervalos de tempo
a)
b)
P.65 3,0 m/s
progressivo: O <t< 6s
retrógrado: 6s <t= 10s
c) acelerado: 6s < t= 105
retardado: O = t< 65
d) emt=6s
P66 à) 3kmh b) -2kmh c) Tkmh d) t5h
P67 a) 10m/s; 5 m/s b) não
P.68 a) uniforme b) acelerado c) retardado
P69 a) —2 cm/s c) 0,85; 12,2 cm
b) 2,5 cm/s?
P70 a) 0,25 cm d) v = 0,75 — 2t (v em cms e tems)
bj 0,75 cm/s e) 0,3755
c) —2 cm/s?
P71 a) 6m/s c) 25
b-3m/s d)s=15+6t-1,5t(semmetems)
P72 a) -8m/s c) 4s
b) 2 m/s d) s=5-— 8t+ť (semmetems)
P.73 s=25t+ 6t; v =25 +12t(semmetem s)
2,58
P74 a) s 10t > ; v=10-25t(semmetems)
b) 8s
c) 4
3t
P75 a) s 36 + 21t Ex v=21-3t(semmetems)
b) 7s
c) 109,5 m
P.76 a 15;25 b) 4m; 10m
P77 a lis c) 44 m/s (158,4 km/h)
b) 242 m
P.78 a) 17,5 m/s b) 87,5 m
P79 a) 54 m/s b) 432 m
P.80 46m
P.81 40m
P.82 8,0m/S
P.83 2 m/s5; 10s
P.84 6 ms
P.85 50m
P.86 a) 2,75 b) 17m
P.87 a) 3,0 m/s’ (em módulo) b) 24m/$
P.88 5 m/s
P.89 a) 2,5m/$ b) 10 m/s c) 125
P90 a) 30s b) 24 m/s
P91 a) 50m b) = 3,1 m/s? (em módulo)
P92 77,5m
Testes propostos
T.57 b T.58 a T.59 c T.60 b T.61 a T.62 e
T.63 e T.64 a T.65 c T.66 d T.67 e T.68 e
T.69 e T.70 c T.71 d T.72 e T.73 c T.74 e
T.75 d T.76 b
Teste sua leitura
L.3 a) 14 m/s b) 1,96 m/s? c) =7,14s
L.4 a L.5 c L.6a L.7 a) 85 m/s b} 265 m/s
Exercícios propostos
Capítulo 5
Movimento vertical no vácuo
P93 a) s= 20t- 5ť;v = 20 — 10t (semmetems)
b) 2s
c) 20m
d) 15 m descendo
e) 4se—20 m/s f
P.94 a) is b) =3,245 c) 25m |
P95 a) 20m b) 20 m/s |
P96 ha 5 6 + Prena
P.97 a) 4,5se33,75m
b) v, = —15 m/s descendo e v, = 15 m/s subindo
P.98 2,5 s após a queda do primeiro e a 31,25 m do ponto de
queda do primeiro. |
P99 a) 20m/s b) 20m |
P.100 a) 12,8 m
b) 1,65
c) 3 m do solo e —14 m/s descendo
P.101 20 m
P102 a) 2,7 se = 180 m
b) v4 = 3 m/s = 10,8 km/h e v = 53 m/s = 190,8 km/h |
P103 a) 25 c) zero e 10 m/s |
b) a 40 m do solo
P104 a) 20 m/s b) 10 m/s
P105 1,0s
P.106 a) 2,05 b) 20m
P107 a) =4,5 m/s b) 205
P108 a) 1,25 b) 6,0 m/s c) 1,8m
Testes propostos
T.77 c T.78 b T.79 d T.80 e T.81 b
T.82 soma = 18 (02 + 16) T.83 d T.84 a T.85 d
T.86 e T.87 c T.88 d T.89 b T.90 b T.91 b
T.92 c T.93 d
Exercícios propostos
P.109
Capítulo 6
Gráficos. Gráficos do MU e do MUV
a)
v (m/s)
5
>
0 tis)
b)
A s (m) v (m/s)
8
>
0 t(s)
— So |
0 4N tis) |
0 0,5 t(s
ha (m/5°)
1
——+ >
0 tis
| P.110 a) —10m c) 4se9s
| b) repouso d) 5 m/s e —3,3 m/s
| P111 a) —10 m/s c) 2,5 cm/s
| b) 2 m/s d) zero
P112 20 m
| P113 a) 20s b) 10se30s
| P114 a) 5m/$ b) 62,5 m c) 77,5 m
| P.115 a) —2 m/s? b) 4s
-P116 As (m) A v (m/s)
P.118 v = 35,5 km/h
P.119 a) 50 m/s
b) 5,0 m/s
| P120 25 m/s
PAZ A) tab
b) tat,
P.122 corredor A
P123 a) 6sal6s
b) 026,05
)
P.124 a) 250m
P125 a) 1,5 m/5';:2,0 m/s
b)
o móvel (1).
P.126 20 m
c) bab
d) Oat
c) 200 m
d) 10 m/s
b) 40,0 s
Até o instante 18 s, o móvel (2) não conseguiu alcançar
tresosssasasnevasuneruseressononessssevesssrososepsasesesoazueusuvusocessocasasssssusesevruoreensrseepssossenesonnerevnesssetstsetosvsonucessosenvosnees
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h
1
1
'
1
'
1
i
1
+
+ + + >
10 20 30 40 50 t(s)
b) 1.000 m
P.128 a) 14 m/s
0 ! 180 t(s)
e
'22,55'
P.129 a) 2 m/s b) 6 m/s
P.130 13 cm
P131 a) 6s c) 180m
b) 12s d) —60 m/s
P.132 a) 50 m/s d) 15.000 m
b) 2.500 m e) =114,8s
c) 605 f} = —548 m/s
Testes propostos
T94a T95c T96e T97a T98e
T100e T.101c T.102e T.103e T.104b
T106c 7T10704 T.108c T109d T.110d
TilZe Tll3a T.114b T.115a T116c
T.118d T.119e
Teste sua leitura
L8d L.9 b L10c Litb L12d
@ Capítulo?
Vetores
Exercícios propostos
P.133 V,=10
5
P.134
a/ie a
a+c
a+b
P.135 5; 1
P.136
EBC dr
Bites
RESPOSTAS
P.137
P.138
| P139 2;2
| P140 z
|
VV z
A Y
«e —
5 ———————
v-v
P.141
a-b,
T.99 b à
T.105 b
TAN d a-
7.117 e 3b
b-a,
L.13e
P1422 =3];b =N; = -2X;d = -2
P143 v, = 25 m/s; v, = 43,3 m/s
P.144 (2, 3), (2, 0), (0, —2) e (4, 3)
vo
P145 a) x — z f a —— E
v
b) P g) X ~
Ad vo
fr s U
M
K
c) h) e—r >
7 V,
T 's `
d A —— CE V=0
V `
e) D — >F
v;
P.146 a) b)
P147 7T
b
P148 A +D+B+C-O
Testes propostos
T120b T.121d T1i22b T1i23d T.124b
T.126c Ti27d T.128b
T.125 b
o Capítulo 8
Velocidade e aceleração vetoriais
Exercícios propostos
P.149 a) 50r m c) 5,07 m/s
b) 1004/2 m d) 10/2 ms
P.150 a) = 27,5 km/h
b) Tucuruvi
d
d| = 19 km
Jabaquara
c) = 25,9 km/h
P.151 a) 2,5 m/s b) 1,2 m/s?
P.152 a) b)
v P v P a,
adaa,
P.153 a) 2 m/s b) 4 m/s? c) 3 m/s? d) 5 m/s
P.154 a) 4,5 m/s? b) zero c) 4,5 m/s
P155 a) 4m/$ b) zero c) 4m/g
P.156 15 km/he 3 km/h
P157 5 km/h
CCE CLEN SLANDO COL EN LIC CUONCOS ECN ONCE LED CU DANO ALON S UCLA D UC RSA CCC U LAOL ONO ONDAS ACUSADO ORA DO SAS
158 1h
Elo
P.159 VE = =v
P160 a) v,=0 b) Vz = 2V,
P.161 5/2 m/s
P.162 a) 5 m/s b y= -1 + k
P.163 —
Vp
MU
/ Nau
— D —
MUV a; MUV a,
— —»
oo o—eo e ——— o...
A B— C E — F
B VF
P.164 5,0 m/s?
P.165 a) 0,2 h c) 1km
b) 0,6km d) y7 km/h = 2,6 km/h
P.166 205
Testes propostos
T.129c T.130c Tl3la T.132e T.133c T134c
T.135b T136b T.137d T.138d T.139e T140d
T.141a T.142 soma = 28 (04 + 08 + 16) T.143 a
T.144c T.145b Tl46d T.147a T.148e T.149a
T.150 e
Teste sua leitura
L.14 soma = 23 {01 + 02 + 04 + 16)
L.15 a) ~= 588 m
b) 98 s ,
c) i
g '
ER!
E:
| A
E : = | Av, Dr, Altino Arantes
Al »
xii
= R. Luís Góis | Doo
| . |
[dl = 463 m
d) = 4,7 m/s
8 Capítulo 9
Lançamento horizontal
e lançamento oblíquo no vácuo
Exercícios propostos
P167 a) 20s b) 5.000 m c) = 320 m/s
P168 28,8 m à frente
P.169 a) segmento de reta vertical
b) arco de parábola
c) 125
d) 100 m/s
e) = 156,2 m/s
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P.170 a)
b) 0,55
c) igual, em vista do princípio de independência dos
movimentos
d) 2,5m
e) = 7 ms
P.171 a) 5,0 m/s c) = 3,7 m; 8,6m
b) 0,86 s
P.172 a) 4,0 s; 2,085
b) = 20,6 m/s
c) 8 é o ângulo cujo cosseno é = 0,24.
d) 20m
P.173 5,6 m
P.174 a) 6s c) 960 m e) 80 m/s
b) 125 d) 180 m fì 100 m/s
P.175
A v (m/s)
bm
+ >
0 12 t(s)
A v (m/s)
P.176 a) 1,25 m
P.177 a) 3,185
P178 a) x = 50t (SI; y = 5ť (SI)
x?
y = 500
c) x = 500 m; y = 500 m
d) = 112 m/s
P.179 9 m/s
P.180 = 68,3 m/s
P181 60 m/s
P182 a) 0,65
P183 a) 1,5 m/s
P184 a) 900 m
P.185 50 m/s
P186 a) 3,755
P187 = 11,2 m/s
P188 a) = 0,435 b) =21m c) =7,5 ms
P.189 a) v, = —7,0 m/s (eixo vertical y orientado para cima)
b) =1,75
b) 1,0s
b) 38 fuscas
c) 2 ms
c) 540m
b) = 454,7 m
Testes propostos
Ti5fa T.152d T.153c T.154d T.155d T156d
T.157e T158c T.159e T.160c T.161b T.162a
T163c T.164b T.165a T.166c T.167a T.168d
T.169a T.170a T.171b T172c T.173d T.174c
E Capítulo 10
Movimentos circulares
Exercícios propostos
P190 horas: T = 12 h; f = E volta/h
minutos: 7 = 1 h; f= 1 volta/h
segundos: T = 1 min; f = 1 volta/min
P.191 a) 2 Hz b) 0,55
P.192 a) 7.200 s b) = 1,4107 Hz
P.193 4s e 0,25 Hz
P.194 8h
P.195 T= 7,6 -10° s; f= 1,3 107 Hz
P.196 a) 0,2 Hz d) 4x cm/s
b) 55 e) 1,67? cm/s?
c) Eu rad/s
5
2
P197 a) 45 b) E rad/s c) EL cm/s?
2 4
P.198 a) 0,50 rad/s b) 3,5 m/s5? c) = 12,6s
P.199 a) 2 rad; 1 rad/s oO f= E Hz;T=27s5
n
Q=2+tSI)
P.200 2 Hz; 0,5 s (para os dois pontos)
b)
a)
b) 4x rad/s
c) 0,6r m/s e 0,47 m/s
P.201 1,6 rad
P.202 1.600 km/h; = 3,1 -10 m/s5?
P.203 30 km/s; 6,0 - 10° m/s
P.204 5 rad/h = + rad/h; 1,05 + 10º km/h
P.205 a) 300 rpm b) m m/s
P.206 a) 205 b) 0,05 Hz o ZÆ rad/s d) E cms
10 20
P.207 w, = 15 rad/s; horário; o, = 20 rad/s; horário
P.208 a) f = fe = 50 rpm b) — m$s
15
P.209 a) 25 rad/s b) = 8,33 rad/s
P.210 a) 4 rad/s? b) 40 rad/s; 20 m/s
P.211 = 15,9 voltas
P.212 a) 55s c) Z m/s
b) E rad/s ) bm m/s?
25
P.213 2
P.214 a) 2x rad/h b) z m/h
P.215 v, = 1,1 + 10° km/h = 3,0 km/s
P.216 40 rad/s e = 6,4 Hz
P.217 A: linha 2; B: linha 3; C: linha 1
O proprietário do carro B deve ser mais precavido.
P.218 a) 2,4 m/s b) 3,0 m/s
P.219 3,18 rad/s?
Respostas
P.220 = 20,7 voltas
P.221
1.500 m/s
P.222 = 2,6 m/s
P.223 fm = 30 rpm
As frequências múltiplas (60 rpm, 90 rpm, ...) também
constituem soluções.
P224 a) 40m b) 605
31 T
P.225 a) — rad/s; — rad/s c) 6r cm/s; 27 cm/s
20 10
b) Ao s; 205
3
P226 a) =525 b) 0,1 m/s
P.227 a) 0,10 mm b) = 24,4 cm/s
P.228 a) 5,0 cm/s b) 2,5 rad/s
P.229 x=21ey=49
Testes propostos
T.175d T176d T.177c T.178a T.179a T.180b
T.181b T.182d T.183c T.184a T.185e T.186a
T.187b T.188a T.189b T.190e T.19łc T.192a
T.193c T.194a T.195b T.196b T.197d T.198c
T.199d T.200e T.201c T.202b T.203d
Teste sua leitura
L.16 a) 30 Hz, 60 Hz, 90 Hz, ..., n + 30 Hz c) 54 m/s
L17
b) 180 rad/s
18 Hz L.18 b
Capítulo 11
Os princípios fundamentais
da Dinâmica
Exercícios propostos
P.230
P.231
P.232
P.233
P.234
P.235
P.236
P.237
P.238
P.239
partícula B
c
Princípio da inércia (primeira lei de Newton): um corpo |
livre da ação de forças tende a manter constante sua velo-
cidade vetorial.
Por inércia o corpo tende a permanecer em repouso e,
com a retirada do papel, ele cai verticalmente.
a) 5 m/s b) 3 m/s?
10 m/s”
a) 2.500 N b) 400m
1,5: 10 N
a) 0,50 kg b) 1,6 m/s
a) A afirmação está errada, pois
a força F está aplicada na
>
mesa e — F age na pessoa que
P’
aplicou a força F na mesa.
Desse modo, F e — F não se
equilibram, por estarem apli-
cadas em corpos distintos.
b) A Terra atrai o corpo com a
força peso P, e o corpo atrai
a Terra com a força -P (veja
figura ao lado).
P.240
P.241
P.242
P.243
P.244
P.245
P.246
P.247
P.248
P.249
P.250
P.251
P.252
P.253
P.254
P.255
P.256
P.257
P.258
P.259
P.260
P.261
P.262
a) 1m/s
b) 4N
a) 2 m/s? b) 6N c)
2,55 N
300 N
Pelo corpo de massa maior. Nessas condições, menor será
a intensidade da força de tração no fio.
c) Fa 56N; Fr =4N
10N
a) 6m/s b) 12 N
a) 2,5 m/s c) 125 N
b) 150 N
a) 2 m/s? b) 6N
a) 5 m/s b) 15 N;30N
(A)80 N (B) 40 N
a) 10.000 N c) 8.000 N
b) 12.000 N
a) 910 N c) 630 N
b) 700 N d) zero
acelerado; uniforme; retardado
a) a = g (gravidade) b) nenhum
a) 3N b) 6 m/s?
25N
2,5 m/s?
a) 80 N b) 0,35
a) 5.250 N b) 15.250 N
20 N
a, m= (M, o Mp — 1}
2
b) fn = OM +1
M: =M;
a = 2,2 m/s; g = 9,8 m/s?; 588 N; queda livre
a) a= a =0
b) a, = 0; ag = 5 m/s?
c) aa = 5 m/s; ag = 15 ms
P.263 A = (m - M): s
Meta
P264 a) F= (M, + My): go = E
a) (Ma ra c) g M, z
b) A = 4M + Mig?
P.265 = 9N
P.266 400 N
Testes propostos
T.204a T.205c T206d T.207d T.208e T.209d
T210e T211d T212b T.213c T214e T215d
T216d T217a T218e T219d T220d T.221b
T.222c T.223c T224 corretas: 1, 2,3 e4 T.225 d
T226e T227c T228d T229c T.230a T231c
T.232a T233a
[|] Capítulo 12
Forças de atrito
Exercícios propostos
P.267 a) 40N b) 0,20 c) =204N
P.268 50m
DOOR OL CLOUD LELLO USNUL ONCE RLL ULLCNEDEONOL DIDO OCULOS NUNCA OS CU RS CNA COR A CU SU ONO An oO so Reno sa cs 0
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P.269 0,3
P.270 2 m/s; 80 N
P.271 a) não; 40 N
b) não (iminência de movimento); 60 N
c) sim; 40 N
P.272 30 N
P273 = 35 m/s
P.274 5,0 m/s
P.275 1) errada
P.276 5,0 m/s
P.277 4,0 m/s
P.278 a) 0,60
P279 a) 1,0 m/s
2) certa 3) errada 4) errada
b) 12,0 N
b) 30 N
(ma — ma) +g — 244
Ma + Mg
(mg — ma)’ g
P.280 a) a =
P.281
nula
= 0,57
)
)
P.282 a) Entrará em movimento.
)
)
)
1,52 m/s”, para cima
P.283 Permanece em repouso.
; memene
Í
F=5,0N
O bloco B não está sujeito a forças horizontais.
1
P.284 3 25N
P285 2 =15; 8 -=
R h
P.286 à)
Fo
—>
Reação de F: -F aplicada na mão do operador.
Reação de P: -P P aplicada no centro da Terra.
Reação de R: -R aplicada no quadro-negro.
b) 1,25 N
c) 6,25 m/s” e zero
P.287 a) zero b} 8,05
P.288 a) b) 2,0 m/s
RESPOSTAS
P.289 a) 50N b) 0,50
P.290 24 N
P.291 a) 1,5 m/s b) 0,1
P.292 a)
b) Se F for maior do que 1,5 - 10? N, a moeda escorrega.
P.293 60 N
P.294 a, = 10 m/s’; ag = 5,0 m/s
P295 1N
Testes propostos
T.234b T.235 soma = 06 (02 + 04)
T.237 soma = 22 (02 + 04 + 16) T.238d T.239€e
T240a T241c T242a T243e T244d T245a
T.246b T247d T.248 soma = 41 (01 + 08 + 32)
T.236 e
T.249b T250d T.251e T.252a T253a T.254€
Teste sua leitura
L.19 a 1.20 e
@ Capítulo 13
Forças em trajetórias curvilíneas
Exercícios propostos
P.296
P.297
Ep = 80 N
a) Não conseguirá fazer a curva.
b) A velocidade máxima não irá se alterar,
) Sim. O vetor velocidade varia em direção e sentido.
P.298 a) P: peso do sistema (bicicleta-ciclista)
Px: força normal aplicada pela pista
R
P œ
b) 8 é o ângulo cuja tangente é = 0,57.
c) Não depende da massa.
P.299 a) direção: vertical
sentido: de cima para baixo
módulo: 24 N
b) no ponto $
P.300 6 m/s
P301 a) 5N
P.302 a
b) = 0,4 Hz
b) O corpo não tende a subir, apenas deixa de ficar na P.319 600] e 200 W
iminência de escorregar para baixo. “P320a) 20-10) b) 8,05
c) Se o módulo do peso fosse 2, o corpo continuaria na | P.321 5,0 m
iminência de escorregar para baixo e, portanto, não | P322 a) 25J b) 12,5 W c) 25W
haveria movimento segundo a vertical, | P323 75%
P.303 1,92 N e 2,88 N l. P.324 7 cv
P.304 | P325 1 kW= = hp
| P326 a) 2,5 m/s c) 240)
ou b) 4,8 kg d) 10 m/s
P.327 40)
P328 a) 400 kJ b) 1,6 m/s
P.329 a) 2,0 m/s” b) -4
, o. N | P330 a) 3 m/s b) 54 kW
ci Fica multiplicado por — . | ;
P305 = 0.53 2 | P331 a) 50-10 N c) 2,0 m/s
Us Sos m | b) 7,5: 10! N d) 3,0 m/s
P.306 32.500 N | P332 60 kW
P.307 8.000 N l P333 1,25 hp
P.308 a 334 a) 6.000) b) 200 W ©) 50%
| P335 180 hp
P336 a) R= 1,510 N; A=25-10 NA =0
F, b) 50 kw
€ : P.337 25 kW
- Testes propostos
b) 200 N/m | T269e T.270d T271e T272e T273d T274a
P309 50 T275c T276c T277c T278a T279c T.280c
P.310 a) 0,252 N :
MS O Capítulo rs
Energia
Exercícios propostos
| P338 8.000)
| P339 9.375 N
I s P.340 a) 576]; —576) b) 3.200 N
Testes propostos | P34 95]
| P342 a) —12] b) 6N
T.255a T.256b T257d T258b T.259a T.260e
T.261d T262c T263b T.264e T.265e T.266a ; P343 a) 2,5]e 1,8] ) 0,70] e zero
T.267 soma = 86 (02 + 04 + 16 +64) T268c | P344 a) 25) b) 250)
| P345 a) 1,0 -10° N/m b) 0,50]
, P.346 a) 24 N/m 13,0)
[| Capítulo 14 | P347 10ms
Trabalho “P34872m
E = P349 90)
P311 a) Z= 40); CG, = 40] P351 3mg
b) zero — 5
| , | P352 a) 5Rg b ns —
P312 2,5- 10°] 2+ (1 — u cotg 8)
P313 a) 2 m/s b) 6] | P353 40 cm
P.314 1,6) P.354 0,6 m
P315 Z, = 80 J; Zp = 40]; 5 = 0 P.355 0,10 cm; 10 cm
P.316 a) 0,25] b) +1,0) o +075} P356a) 5)
p KWh 3 bx=2m:£=0cE=5]x=3m: E =-1]e£ =6)
317 30 kWh ou 1,08 + 10º] o) uniforme
P318 a) 2.400) b) 240 W ' d) acelerado
e 482 Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998
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P.357
P.358
P.359
P.360
P.361
P.362
P.363
P.364
P.365
P.366
P.367
P.368
P.369
P.370
P.371
P.372
P.373
P.374
P.375
P.376
P.377
P.378
P.379
10 m/s
a) 3) b) —3]
a) 4,0 m/s co LON e) 5,0m/s
b) 2,0 m/s d) 80m
a) 0,20 b) —2,0)
-75])
a) 10 m/s” b) 3,0- 10°]
a) 6,0 m/s o 1,0-10 N
b) = 6,7 m/s
a) 8 ms c) 1,6m
b) 1.440)
a P= Mg: peso da partícula
F força de contato da rampa sobre a partícula
= 5,5 m/s
a) 30 m/s”
b) nula
5 cm
a) 20m
b) 160 N/m
)
9,5 kg
) 10)
a) 800 N; 20 m
D) 480 N/m
0,25 m
a
o
b
c
9m
10 vezes
)
)
) —1.600)
a) 0,375]
)
)
b) = 12,8 m/s
b) 5,0 m/s
v
60-10]
o 2
massa.
2Rg
3
n E
3
a) 5-10 W
b} 6.050 N
a) vp = 5,0. J3 m/s; vy = 5,0 m/s
b) u = 5,0- V3 m/s
c) w = 5,0 m/s
RESPOSTAS
A velocidade seria a mesma, pois não depende da |
Testes propostos
T.281b T.282a T.283a T284e T.285c
T.287 a T288e T289b T.290e T291d
T.292 soma 63(01+02+04+08+16 +32)
T294d T.295a T.296e T297b T.298b
T.300a T301b T302b T303c T.304c
T.306 c T.307a T.308c T.309a
T.310 soma = 35 (01 + 02 + 32) T311 a
T313d T314soma 57 (01 + 08 + 16 + 32)
T.316b T317c
Teste sua leitura
L.21 e 1.22 d L.23 d L.24 e L.25 a
Capítulo 16
Impulso e quantidade de movimento
Exercícios propostos
P.380 direção: vertical; sentido: de baixo para cima;
intensidade: 40 N » s
P.381 direção: vertical; sentido: de cima para baixo;
intensidade: 18 N» s
P.382 a) 60N+s;45 Nes
b) 7,5 N
P.383 direção: horizontal; sentido: da esquerda para a direita;
intensidade: 10 kg - m/s
P.384 a) 16 kg+m/s o 112 kg m/s
b) zero
P.385 sentidos opostos
P.386 2,5)
P.387 1,0 kg © m/s
P.388 a) TONS; c) 55 kg: m/s
b) 45 kg- m/s
P.389 100 N's
P.390 2,1 N
P.391 10Nes
P.392 a)
b) direção e sentido: os mesmos de Va módulo: 40 kg © m/s
c) direção e sentido indicados na figura a seguir;
módulo: = 56,6 Nes
P.393 a 015 Nes
b) 2,5 m/s
P394 à) 20N+s
b) 2 m/s
P395 1 m/s
P.396 0,75]
P.397
Ur]
P.398 90 m/s
399 30: /3 m/s
T.286b
T.293 b
T.299 b
T.305 a
T.312 c
T.315 c
direção e sentido: os mesmos de v;; módulo: 40 kg + m/s
P.400
P.401
P.402
P.403
P.404
P.405
P.406
P.407
P.408
P.409
P410
P.411
P.412
P,413
P.414
P415
P.416
P.417
P.418
P.419
P.420
P.421
P.422
P.423
P.424
P425
P.426
P.427
P.428
P429
b) 2,4» 10° m/s
falsa, pois v = 108 km/h
a) 90 m/s e 0,6 m/s
) —-3,6: 10º)
a) 2,5kg- m/s
) Não; não houve impulso na horizontal.
a) Ocorrem três choques: bola 1 com a bola 2; bola 2
com a parede; bola 2 com a bola 1.
b) Após os choques, a bola 2 fica parada e a bola 1 volta |
com velocidade de módulo v,. |
6 m/s; 4 m/s
vi = 10,29 m/s (em sentido contrário ao inicial) e
vg = 2,71 m/s
0,30 m/s; 2,7 + 10º)
va = 1,43 m/se vg = 6,43 m/s
v4 = 2,34 m/s e v; = 2,46 m/s; sentidos opostos aos |
iniciais |
a) 20 m/s c) 9,8m
b) 6 m/s; 14 m/s
a) 10Nes
b} 500 N
c) perfeitamente elástico (e = 1)
v = 400 m/s
demonstração
a) 0,80 c) 90N
b) 0,90 N-s
a) 60º b) 17,4 m/s; 10 m/s
a) 27] 14,8Nes b) 3
a) 40,5 kN b) 10 vezes maior
a) 10N b) 10° kg
a)
b) E = mv
At
a) 6Nes
b) Sim; houve transferência de quantidade de movimento.
a) 2,0 m/s b) 4
a) 6kg - m/s b) 6 m/s
a) 6,043 «10% kg - m/s
0,25 m/s
A previsão de Pedro é a correta.
a) V10 m/s e zero b) i m
F
a) 2? =1 (ação-e-reação)
Foa
b Ma - 15 |
Ma 13
7 2
a) 3 m/s ou=2,3 m/s b) 4,0 +10 N
v-M. 5a
m |
a) va = 1,6 m/s; v, = 0
Vs, = 0; vs = 1,2 m/s
b) zero
Testes propostos
T318b T.319e T320d T.321e T322c T323a
T.324c T325b T326c T327a T328a T329a
T330b T331d T332b T.333 soma = 09 (01 + 08)
T.334d T335d T336b T337d T338e T339d
T.340d T341a T342a T343b T344c T345d
Teste sua leitura
L.26 b
L.27 a) Porque o tempo de interação entre a xícara e o piso é
maior quando o piso é fofo.
b) 14N;27N
@ Capítulo 17
À Gravitação Universal
Exercícios propostos
P.430 a em À
Atayp < Atav
) va em P; v
b) Atyp < Ata =
)
mín.
P.431 a) 112 dias terrestres
b) =7,0-
P.432 73 dias
P.433 10,5 anos terrestres
P.434 27 anos terrestres
10º km?/dia terrestre
P.435 4R
P436 = 3,6-102 N
P.437 = 1,8-102 N; fr = 2,0- 10?
TL
P.438 a) 10N b) 45N c) 20N
P.439 a 0,75d do corpo de maior massa
P.440 2R
P.441 2,5g
8
P.442 —
9
P.443 = 444,4 N
P.444 1,25 -+ 10” rad/s
P445 a) =7-10 ms b) =71-10s
P.446 a) 625 N
b) Seu peso “funciona” como força centrípeta, tendo
como única função mantê-la em movimento circular.
P.447 = 2,3 km/s
P.448 a) = 4,0 anos terrestres
P.449 a) = 1,16 10” m?
b) mais curto
b) segunda lei de Kepler
P.450 Passaria a Z. * Br
P451 34: 10º m ou 34 unidades de 10º m
P.452 269,5 m/s
P.453 a) Too
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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P454 90
P.455 a) = 0,95 m/s
As condições de trabalho na superfície do asteróide
não são semelhantes às da Terra.
b) A energia fornecida pelo artefato nuclear (4,0 + 104 J)
é muito menor do que a necessária (= 13,2 + 107 J).
P.456 a)
b) 2=3
vı
2, m%
Q) M = 3T p
GT
P457 a) v=@ R ou v= TR
2
b) R 3 ER
Or
P.458 a) 8,0 km/s
b) 80 min
p459 =L
CT
P.460 a) 2
J2
b —
a
Testes propostos
T346d T347e T348d T349e T350c T351b
T352b T353a T354c T355c T356b T.357b
T358d T359e T360a T361a T362c T363€
T364e T365e T.366e
Teste sua leitura
L28e 129c L30e
OB Capítulo 18
Sistema de forças aplicadas a um
ponto material. Equilíbrio
do ponto material
Exercícios propostos
P461 4N<Ff,=10N
P.462 3
P463 = 8,6 N
P464 Ta, = 40 N; Ta = 34,8 N
P.465 a) 60 N
b) 30/3 N
)
)
P.466 a) 36N
b) 364/3 N
P.467 vertical, para cima, 150 N
esesesoosussouoseaseoncocseesesoocesovonesoasesesosesesocsorosnesoncaesosoeo
RESPOSTAS
P.468 a)
i
|
|
|
|
|
|
|
|
c) 700 N
P.469 22 N
P470 aa =p
b) 50N;50/3 N; 100 N
P.471 a) Mmg’ cos 8 = m,
b) O bloco A sobe e passa a oscilar em torno da posição
de equilíbrio.
P.472 5 voltas
P473 16,3 N = Q s 33,7 N; sim
Testes propostos
T.367d T368d T.369b T.370c
T3723b T.374b T375a
T.379 d
T.371d T372a
T.376d T.377b T378b
o) Capítulo 19
Equilíbrio dos corpos extensos
Exercícios propostos
P.474 a) M; = 0; M, =-04Nem;M,=0M,=04N:m
b) M; =-2,5N-m
1. 1.
P.475 T = Z NX = 000 N=; Y, =50NÎ
P476 a) F= 20/3 N
10y 3
b) X, = 1083 Ny -10N!
3
P477 Y,=15N;Y,=35N
P478 P;= 1,5: 10º N
P479 tg O = 2
3
P.480 a) o. é o ângulo cuja tangente vale A
a
b) P = dahg
nesesouonessossassoseosvasaoseuesnessceesossesesnevsnersrosarosseesocsessees
P481 a) não
Equilíbrio
estável
Equilíbrio
instável P = Pu + Pop
P.482 A moça consegue soltar o parafuso.
P.483 55 N
P.484 a) 192 N
P.485 1,8 m
P.486 3 m
Y, = 1643 N
b) X,=96N
b) tga =2
P.489 20 N; 10 N
P.490 x = 10 cm; y = 5 cm
P.491 a)
| P492 Quando a pessoa tende a se le-
vantar, ela perde contato com a
cadeira, e a reta vertical em seu
centro de gravidade não passa
pela base de apoio, que são seus
pés. Nessas condições, o momen-
to do peso P em relação ao ponto
de apoio (pés da pessoa) faz com
que ela volte à posição original,
sem conseguir levantar-se.
P.493 225 N
P.494 Para haver equilíbrio, a reta vertical traçada pelo centro de
gravidade do menino deve passar pela mão dele (base de
apoio).
P.495 375 N
P.496
Testes propostos
T380a T381d T382a
T386b T.387 e
T.392b T393b T394e
T398d T399a
T.383 a
T388b T389a
T.384 c
T.390 a
T.396 a
T.385 a
T.391 b
T.395 a T.397 d
Teste sua leitura
L.31 100 N
6
)
)
L.32 a) inter-resistente
) interfixa
) interpotente
) interpotente
o Tb TO»
) interfixa
) 150 N
) 130 N
D
L.33
Ta
@ capitulo 20
Hidrostática
Exercícios propostos
P.497 2 -10° N/m?
P.498 5 + 10° N/m?
P.499 50 N/m”, 125 N/m? e 500 N/m?
P.500 10 g/cm”
P.501 a) 2,5 g/cm
b) = 2,6 gem
P502 0,9 g/cm”
P.503 0,42 g/cm’?
P.504 a) 6,8 < 10° Pa
b) 1,68 - 10° Pa
c) 1,32 +10) N
40-10 Nm
2,0: 10° kg/m?
1,0 - 10 Nm; 2,0 © 10° N/m?
P.505 a
b
)
)
)
c)
asesasseersoeresecoso LEEEEITETETTTT teoroesecsssersa taessroorsesaseceessuvonezeogaresosevooerayeszaoossesessoarztssdoonvosasessetenresrsressesssssenteerse
«486
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P.506 a) 1,1: 10° Nim”;
b) 22:10" N
c) 210 kg/m’
P.507 a) 96 cmHg, 960 mmHg e = 1,26 atm
b) 96 cm
P.508 27,2 cm
P.509 4,85 g/cm”
P.510 500 N; 0,6 cm
P.511 a) 1.000 N
b) 400 N
a) 63N
b) glicerina
P.512
1
P513 —
3
P.514 A dissolução de sal na água aumentou sua densidade e
conseguentemente o empuxo sobre a bola. Ao ser mode-
lada na forma de barquinho, a massa teve a densidade di-
minuída por causa das cavidades internas, ficando menor
do que a densidade da água.
P515 a) 0,6 gem”
b) 200g
P.516 3 g/cm”
P.517 a)
empuxo
F= força do dinamômetro
P = peso da esfera
b) 2,0 10 m
P.518 a)
250 kg/m? d) 10 m/s
) 50N e) 0,01 m?
10 m/s
T,=100N;T,=0
) 5 m/s; 50 N
P.519
) 100 N; zero
P.520 a) 7,0 N b) 19N
P.521 a) 75 kg b) 7,5 + 10° N/m?
P.522 0,68 g/cm?
P.523 2,4 g/cm?
P.524 a) 0,125 m
b) 1,1 -10° N/m?
P.525 a) 30m b) 1 m/s
P.526 = 36,7 mmHg
P527 a) = 2,4 + 10° Pa b) 48 N
P.528 1,6: 10º N
P529 a) 0,36 N b
P.530 40 N/m
P.531 a) 2,5 © 10° Nm
P.532 a) AF = 0 (desce com velocidade constante)
—
1,2 + 10° kg/m?
b) 1,2m
c) 15 min
P.533 a) 2,5 -10 N b) 2,5 -10° kg
P.534 108 toras
P.535 a) 0,5 g/cm° b) 1,5 g/cm?
ssessesecsucesssecereseanosesesrenssoreacsesoaseooosesrecacesosereoneronceee
RESPOSTAS
P.536 1. a) Para níveis abaixo de 20 cm, a caixa flutua e, portan-
to, o peso e o empuxo têm módulos iguais. O fio fica
frouxo. Logo, T = 0.
b) Entre os níveis 20 cm e 40 cm a tensão T aumenta
em virtude do aumento do empuxo E. O aumento
do empuxo é proporcional ao volume do líquido
deslocado e este varia linearmente com a altura da
caixa que vai sendo imersa.
c) Acima de 40 cm a caixa fica totalmente imersa e o
empuxo não mais varia. Assim, a tensão permanece
constante.
Il. 20 cm
HI = 8 + 10° kg/m’?
P537 a) 2m b) 0,68)
Testes propostos
T400d T401d T402d T403b T404a T405d
T406b T407e T408d T409d T.410a T.411a
T412b T4l3a T414b T.415a T4l6e T.417c
T.418d T419d T420c T.421a T422a T423c
T424a T425c T426b T427d T428d T429c
T430b T431e T432a T433d T434a T435b
T436a T437c T438e T439b T440c T441d
Teste sua leitura
L.34 a) 1,68m b) 128 cm*/s
L.35 b
L.36 d
EB capítulo 21
Hidrodinâmica
Exercicios propostos
P.538 a) 25 cm/s b) 604
P.539 a) 2,5 «10° cm°/⁄s
b) 1,0 + 10º cm/s
c) 6,25 - 10 mm/s
P540 1-3
V2
P541 a) A o 0,40
Az
b} 1,5 + 10° Pa
P.542 demonstração
P.543 a) 2,4 + 10° Nim” b) = 5,5 m/s
P.544 a) 4,0 m/s c) 1,2m
b) 40 em*/s
P.545 a) = 0,104 %/s b) = 485
P.546 erradas: 1 e3
corretas: 2 e 4
P.547 a) 1,5: 10 Nm
b) 8,1:10't
P.548 O fenômeno é explicado pelo “efeito Bernoulli”.
10º
= — Nim
âp 4n m
P549 4,2 - 10° Pa
c) = 1,0- 10° km/h
Testes propostos
T.442e T443b T444a T.445b T.446a
T.447 erradas: 0, 2 e 3; correta: 1
ersceseesasovoesesossesosececeosceccoserssosorveossosnacreoeseorsaserosesseo
“ooo...
abscissa, 82
aceleração
angular, 163
instantânea, 165
média, 165
centrípeta, 129, 249
escalar, 47
do MUV, 53
instantânea, 48
média, 47
normal, 129
tangencial, 129
vetorial, 130
instantânea, 129
média, 128
aceleração da gravidade, 70, 72, 195,
365, 366
no equador, 368, 369
normal, 70, 198, 369
nos pólos, 368, 369
Adams, John Couch, 364
adição vetorial, 116
aerodinâmica, 234
afélio, 357
air-bag, 348
Airy, George, 364
alavanca, 416
interfixa, 416
interpotente, 416
inter-resistente, 416
alavancas no corpo humano, 417
alcance, 148
máximo, 149
algarismos significativos, 6
altura máxima, 148
ângulo de tiro, 148
ano-luz, 39
Aristarco, 12
Aristóteles, 12, 190
Arquimedes, 417, 435, 455
atmosfera (atm), 428
átomo, 3
atrito, 224
dinâmico, 224, 229
estático, 224, 228, 229
CNLCDOROND CONCORDO DONOS LEONA UGARIT CNNO OCO O DLL LLONC TON CONDE SURTOS OEA Les O asa coca
O
balança de braços iguais, 189, 436
balança de molas, 209
bar, 422
baricentro, 400
barômetro, 429
Bernoulli, Daniel, 460, 469
Bernoulli, Jakob, 469
Bernoulli, Johann, 469
Bernoulli, Nicolaus, 469
binário, 398
biocombustível, 317
biodiesel, 317
biomassa, 317
Bouvard, Alexis, 364
Brahe, Tycho, 354, 383
Buridan, Jean, 12
calor, 299
caloria (cal), 299
campo
de forças, 197
de gravidade, 365
elétrico, 197
gravitacional, 197, 365
catraca, 173
cavalo-vapor (cv), 272
célula fotovoltaica, 317
centímetro de mercúrio (cmHg), 427
centro de gravidade, 400, 419
centro de massa, 400
Challis, James, 364
choque, 330
frontal, 330
oblíquo, 337
parcialmente elástico, 331
perfeitamente elástico, 330
perfeitamente inelástico, 331
superelástico, 333
unidimensional, 330
ciclóide, 17
ciclos por segundo, 166
Cinemática, 14
coeficiente
angular, 86
de arrasto aerodinâmico, 233
de atrito, 230
cinético, 226
dinâmico, 224
estático, 229
de restituição, 332
coletor solar, 317
colisão, 330
componentes de um vetor, 121
composição de movimentos, 132
conceito dinâmico de força, 191
cônicas, 151
conservação
da energia, 300
da energia mecânica, 288
da quantidade de movimento, 326,
327, 350, 351
constante
de gravitação universal, 361
elástica, 196
constantes físicas, 473
coordenadas, 82
Copérnico, Nicolau, 12, 354
coroa, 173
corpo extenso, 14
corpos em órbita, 369
corpos flutuantes, 454
cosseno, 121
O —
deformação elástica, 196
Demócrito, 12
densidade, 423
Descartes, René, 351
diagramas de energia, 297
diástole, 452
dina (dyn), 198
Dinâmica, 189
dinamômetro, 195, 206
direção, 114
dragster, 48, 72
O
efeito
estroboscópico, 186
Bernoulli, 460
Magnus, 461
Einstein, Albert, 5
elétrons, 3
elétron-volt, 264
eletrosfera, 3
elevador hidráulico, 434
elipse, 356
energia, 282
cinética, 282, 283
da biomassa, 317
das marés, 318
elétrica, 300
eólica, 317
luminosa, 300
mecânica, 288, 289
nuclear, 300, 318
potencial, 282
elástica, 285, 287
gravitacional, 285, 286, 298, 370
química, 300
solar, 317
térmica, 299
empuxo, 436
equação
da continuidade, 458
de Bernoulli, 460
de Torricelli, 62, 462
do 2º grau, 57
fundamental da Dinâmica, 193
equilíbrio
de líquidos imiscíveis, 432
dinâmico, 191
do ponto material, 389
dos corpos extensos, 398
estático, 191
estável, 403
indiferente, 404
instável, 404
erg (erg), 264
escoamento
estacionário, 457
permanente, 457
turbulento, 457
esfigmomanômetro, 452
espaço, 15
angular, 163
inicial, 31
linear, 163
Estação Espacial Internacional, 380
Estática, 384
experiência de Torricelli, 428
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de tevereiro de 1998.
-——— O — —
e fio ideal, 202
e fluido
ideal, 457
incompressível, 457
não-viscoso, 457
real, 457
e flutuação, 437
e fontes alternativas de energia, 315
e fontes convencionais de energia, 315
e força, 189
centrífuga, 257
centrípeta, 249
conservativa, 270
de adesão, 224
de atrito, 224
de escorregamento, 224
dinâmico, 224
estático, 229
estático máxima, 229
de campo, 196
de contato, 196
de inércia, 211, 257
de resistência do ar, 233
de tração, 202, 206
dissipativa, 270
elástica, 269
em referencial não-inercial, 257
gravitacional, 361
normal, 202
resultante, 193
e forças
externas, 326
internas, 204, 326
e freio
ABS, 247
a disco, 433
convencional, 247
e frequência, 166
e função
constante, 83
do 1º grau, 84
do 2º grau, 85
linear, 84
e função horária, 31
angular do MCU, 168
da velocidade, 52, 56
do MUY, 55
do espaço do MUV, 56, 95
do movimento, 31
do MU, 32
do MUV, 56
e funções do MCU, 168
e funções do MCUV, 175
Galilei, Galileu, 80, 190, 354
Galle, Johann Gottfried, 364
globo da morte, 249, 253
GPS, 28
Gráficos, 82
de colunas, 110
de setores, 110
do MU, 90
do MUV, 93
* grama (g), 189
e grandezas
adimensionais, 225
angulares, 163, 165
escalares, 114
físicas, 473
lineares, 165
vetoriais, 114
gravidade no interior da Terra, 366
Gravitação Universal, 222, 353
e ea o
Heráclito, 12
Hertz, Heinrich, 166
hertz (Hz), 166
Hidrodinâmica, 457
Hidrostática, 421
Hooke, Robert, 196
horse-power (hp), 272
Hubble, 2
0
iminência de movimento, 229
imponderabilidade, 371
impulso, 320
inércia, 191
intervalo de tempo, 18
joule (J), 264
Joule, James Prescott, 264
—D—O
e.
Kepler, Johannes, 354, 382
— 0G-
“e. . ò> à
lâmpada estroboscópica, 186
lançamento
horizontai, 144
na vertical, 70
oblíquo, 148
lei
da Gravitação Universal, 360, 361
das áreas, 356
das deformações elásticas, 195
das órbitas, 355
de Hooke, 196
dos períodos, 357
dos cossenos, 194, 387
leis
de Kepler, 355
de Newton, 190
Le Verrier, Urbain, 364
linha poligonal de forças, 385
linhas de corrente, 457
lixo atômico, 318
lixo espacial, 372
looping (loop), 293
Lowell, Percival, 364
— 0
Magnus, Heinrich Gustav, 461
manômetros, 422
máquina de Atwood, 208
máquinas simples, 416
marchas da bicicleta, 173
marco zero, 15
Mar Morto, 437
massa, 189
gravitacional, 197
inercial, 197
massa específica, 423
Mástlin, Michael, 382
matéria, 3
Mecânica, 3, 189
Clássica, 203
método da linha poligonal, 389
método das projeções, 389
método experimental ou científico, 4
metro (m), 5, 473
milímetro de mercúrio (mmHg), 427
módulo do vetor, 115
momento
de uma força, 396
do binário, 398
linear, 322
moto-contínuo, 290
moto-perpétuo, 290
móvel, 14
movimento, 16
acelerado, 50, 51, 52
circular
uniforme, 130, 167
uniformemente variado, 131,
175
de arrastamento, 133
progressivo, 30
relativo, 133
resultante, 133
retardado, 50, 51, 52
retilineo
uniforme, 130
uniformemente acelerado, 131
uniformemente retardado, 131
uniformemente variado, 131
retrógrado, 30
uniforme, 32
uniformemente variado, 53
variado, 47
vertical no vácuo, 70
nêutrons, 3
Newton, Isaac, 190, 222, 351
newton (N), 194
notação científica, 7
núcleo, 3
órbita, 355
ordem de grandeza, 7
ordenada, 82
origem dos espaços, 15
origem dos tempos, 31
oscilador harmônico, 289
parábola, 85, 151
paradoxo hidrostático, 430
pára-quedas, 235
pascal (Pa), 422
Pascal, Blaise, 433, 456
pêndulo, 166
balístico, 336
cônico, 254
múltiplo, 334
simples, 256
periélio, 357
período, 166
peso, 194
aparente, 209, 436
Pitot, Henri, 464
COCRONCLES nen S PACO ENCELASO CONT CELODLOCLLLCSNLO CLS ULCOROLELNA CCC LSNOSA LAOL CSS ADE SUR OSASCO LESSA OO CERA ATACA A O OUTROS a 0
Invice Remissivo
planeta-anão, 355
planetas, 354
plano cartesiano, 82
plano inclinado, 210
Pontes, Marcos César, 380
ponto de suspensão, 403
ponto material, 14
posição, 14
potência, 271
instantânea, 271
média, 271
prefixos, 472
prensa hidráulica, 434
pressão, 421
arterial, 452
diastólica, 452
sistólica, 452
atmosférica, 428
dinâmica, 460
em um líquido, 426
estática, 460
hidrostática, 427
normal, 429
princípio
da ação-e-reação, 200, 201, 222
da conservação da energia, 300
da conservação da quantidade de
movimento, 327
da independência dos movimentos
simultâneos, 144
da inércia, 190
da simuitaneidade, 134, 144
de Pascal, 433
fundamental da Dinâmica, 193
projeções ortogonais de uma força,
386
prótons, 3
psi, 422
Ptolomeu, Cláudio, 12, 353
O
quantidade de movimento, 322, 351
quarks, 3
queda livre, 70
quilograma (kg), 189, 473
quilograma-força (kgf), 198
quilograma-padrão, 189
quilowatt (kW), 272
quilowatt-hora (kWh), 264
COCONOLAC AOC NEDERLANDS CAUSAL DUO U SCROLLS NONDI DOLLS DC DC OA ODOR ON LOC ORA O CUSCO a en so cas 00
O
radiano (rad), 164
ramos da Física, 3
reação normal do apoio, 202
referencial, 16
de Copérnico, 192
inercial, 192
não-inercial, 257
regra do paralelogramo, 116
rendimento, 276
repouso, 16
resistência do ar, 233
resultante, 193, 385
centrípeta, 249, 256
do binário, 398
tangencial, 256
rotações por minuto (rpm), 166
rotor, 253
Rutherford, Ernest, 3
e
satélite
em órbita circular, 369
geoestacionário, 170
rasante, 370
segmento orientado, 115
segundo (s), 5, 473
seno, 121
sentido, 114
sistema
CGS, 198
de referência, 16
isolado, 326
MKS, 197
planetário, 353
geocêntrico, 353
heliocêntrico, 354
solar, 354
técnico, 198
Sistema Internacional de Unidades
(SI), 197, 471
sístole, 452
sobrelevação, 252
Stevin, Simon, 426, 455
subtração vetorial, 118
o
tangente, 86
teorema
da energia cinética, 283
das três forças, 399
de Arquimedes, 435
de Stevin, 426
do impulso, 323
teoria da relatividade, 203
TGV, 20, 273
Tombaugh, Clyde, 364
tonelada (t), 189
torque, 396
Torricelli, Evangelista, 428, 455
trabalho, 262
da força elástica, 269, 270
de uma força constante, 262, 263
de uma força qualquer, 265
do peso, 267, 268
motor, 263
resistente, 263
tração
motora, 233
nas quatro rodas, 233
traseira, 233
trajetória, 15
transmissão de movimento circular
uniforme, 172
tubo de Newton, 4
tubo de Pitot, 464
tubo de Venturi, 463
túnel aerodinâmico, 234
unidade técnica de massa (utm), 198
unidades de medida (v. nome da gran-
deza)
unidades do SI, 471
derivadas, 471
fundamentais, 471
usina
hidrelétrica, 315
mareomotriz, 318
nuclear, 318
termelétrica, 316
—
vantagem mecânica, 416
variação
da velocidade, 47
do espaço, 18
vasos comunicantes, 432
vazão, 457
velocidade
angular, 163
instantânea, 164
média, 164
areolar, 356
da luz, 38
de arrastamento, 133
de cruzeiro, 67
de escape, 370
do som, 39
escalar, 18
instantânea, 19
média, 18
média no MUV, 60, 96
inicial, 53
limite, 234
relativa, 40, 133
resultante, 133
vetorial
instantânea, 127
média, 126
Venturi, Giovanni Battista, 463
versor, 120
vetor, 115
componente, 121
de módulo unitário, 120
deslocamento, 125
diferença, 118
nulo, 116
oposto, 117
soma, 116
viscosidade, 457
Vitrúvio, 455
Watt, James, 272
watt (W), 272
Os FUNDAMENTOS DA Física
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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OS FUNDAMENTOS DA RAMALHO
NICOLAU
TOLEDO
Um marco no ensino da Física no Brasil
Principais características da obra:
Linha do tempo revista e atualizada.
e Exercícios resolvidos em todos os capítulos.
e Exercícios propostos.
e Exercícios propostos de recapitulação.
Testes de vestibulares de todo o país.
e Exercícios especiais.
e Atividades experimentais.
e Leituras complementares.
e História da Física.
e Índice remissivo.
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Novidades desta 9º edição:
* A Física em nosso Mundo: são leituras que
aproximam o aluno das diversas aplicações
dessa ciência. Ao final desta seção, há questões
criteriosamente escolhidas, que possibilitam
que o estudante teste sua leitura.
e Entre na rede: incluem sugestões de endereços
eletrônicos da Internet, geralmente com simu-
lações e animações sobre o tema estudado.
©} CD-ROM contendo:
e animações
* quadros de resumo
e banco de questões
=IIl Moderna |
Qual o valor da velocidade escalar média em MS de um móvel que se desloca 432 km em 6 h?Vm = 432 / 6 = 72 km/h
A tarefa solicita que a velocidade esteja em metros por segundo (m/s). Para isso, precisamos converter de km/h --> m/s. Para fazer isso é preciso dividir o valor pelo fator 3,6.
Qual o valor da velocidade escalar média de um móvel que se desloca 432 km em 6 h Monte o diagrama e efetue o cálculo nas unidades corretas?Resposta. É sempre bom lembrar que, na passagem de km/h para m/s, nós dividimos o valor por 3,6. Dividindo por 3,6: O resultado será 20m/s.
Qual o valor da velocidade escalar média em m s de um móvel que se desloca 320 km em 4 h?Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 km por 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se desloca sempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo da estrada.
Qual o valor da velocidade escalar média em m s de um móvel que parte de uma cidade e 2 h depois está numa cidade distante 280km *?Resposta verificada por especialistas. A velocidade escalar média do móvel é de aproximadamente 1,57 m/s.
|
Qual o valor da velocidade escalar média em m s de um móvel que se desloca 432 km em 6 h Monte o diagrama e efetue o cálculo nas unidades?
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