Quantos números ímpares podemos formar usando uma única vez cada um dos algarismos 3 4 7, 8 e 9

Sequência dos números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, Observando as sequências, podemos notar que: Os números pares, são números naturais que terminam em 0, 2, 4, 6, 8. Os números ímpares, são números naturais que terminam em 1, 3, 5, 7, 9.

Quais são os números ímpares de 1 a 70?

37, 39, 43, 45, 49, 51, 55, 57, 61, 63, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 89, 91, 93, 95, 97.

Quais são os números ímpares de 1 a 51?

a) Até chegar ao número 81. 45 -47 -49 – 51- 53- 55- 57- 61- 63- 65- 67- 69-71-73-75- 77- 79- 81 .

Quais são os números pares de 0 a 100?

( 0,2,4,6,8,10); (12,14,16,18,20); (22,24,26,28,30); ( 32,34,36,38,40); ( 42,44,46,48,50) ; (52,54,56,58,60); ( 62,64,66,68,70); ( 72,74,76,78,80); (82,84,86,88,90); ( 92,94,96,98,100)No caso 50. Espero ter ajudado.

Quantos números ímpares existem entre 72 e 461?

A metade de 396 é 198, por isso, podemos dizer que existem 198 números ímpares entre 72 e 468.

Quais são os números ímpares de 5 algarismos?

Resolução: Sabemos que os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9.

Quantos números ímpares podemos formar usando uma única vez cada um dos algarismos 3 4 7 8 e 9?

Resposta: 72 números. Explicação passo-a-passo: Para ser ímpar basta terminar em um número ímpar.

Quais são os números ímpares de 0 a 60?

Os números terminados em 1, 3, 5, 7, 9 são chamados de ímpares. Todo número ímpar, quando dividido por 2, deixa resto igual a 1. Os números terminados em 0, 2, 4, 6, 8 são chamados de pares. Os números pares, quando divididos por 2, deixam resto 0.

Quais os números que divididos por 2 deixam o resto 1?

OS NÚMEROS ÍMPARES SÃO AQUELES QUE,QUANDO DIVIDIDOS POR 2,SEMPRE DEIXAM 1 DE RESTO. TODO NÚMERO QUE TEM OS ALGARISMOS 1,3,5,7 E 9 NA ORDEM DAS UNIDADES SIMPLES REPRESENTA UM NÚMERO ÍMPAR.

É par ou é ímpar?

É possível ainda descobrir se um número é par ou ímpar pelo seguinte critério: Todo número cujo último algarismo for 0, 2, 4, 6 e 8 será par, e todo o número que o último digito for 1, 3, 5, 7, 9 será ímpar.

Chama-se  Combinatória   a parte da matemática que:
se preocupa em agrupar e contar coleções de objetos.

As contagens seguem crtérios específicos e são feitas de duas maneiras:
princípio aditivo  e  princípio multiplicativo.

Princípio aditivo

O  princípio aditivo  ou  princípio da Inclusão-Exclusão  é: 
uma forma de contagem do número de elementos que pertencem à:
união de dois ou mais conjuntos não necessariamente disjuntos.

Para dois conjuntos  A   e   B,  o número de elementos dessa união é dado por:

n(A  ∪  B)  =  n(A)  +  n(B)  –  n(A  ∩  B)

Para três conjuntos  A,  B   e   C,  o número da união é dado por:

n(A  ∪  B  ∪  C)  =
n(A)  +  n(B)  +  n(C)  –  n(A  ∩  B)  –  n(A  ∩  C)  –  n(B  ∩  C)  +  n(A  ∩  B  ∩  C)

Princípio multiplicativo

O princípio multiplicativo  ou  princípio fundamental da contagem  diz que:
se há  "x"  modos de se tomar uma decisão  A  e,  tomada essa decisão,
há  "y"  modos de se tomar uma decisão  B,  então:
o número de modos que se pode tomar sucessivamente as decisões  A  e  B é:
x  ⋅  y

Considerando   x,  y,  z   modos para,  respectivamente,  três decisões,  tem-se:
x  ⋅  y  ⋅  z

Exemplo:
Uma pessoa tem  3  calças,  6 blusas  e  2 pares de sapatos,  todos diferentes.
De quantas maneiras distintas ela poderia se vestir usando uma peça de cada?

Como ela deve usar uma calça,  uma blusa  e  um par de sapato,  então:
o número total é dado por:
3  ⋅  6  ⋅  2  =  36

Forma Geral

De uma forma geral,  quando se tem:
x1   maneiras de se tomar a decisão  1,
x2   maneiras de se tomar a decisão  2,
x3   maneiras de se tomar a decisão  3,
.
.
.
xn   maneiras de se tomar a decisão  n.

Então,  o número de possibilidades é:
x1  ⋅  x2  ⋅   .  .  .  ⋅  xn

Exemplos:
①  Quantos anagramas pode-se fazer com as letras  A,  B,  C,  usando-as uma única vez?

Os anagramas possíveis são:
ABC,  ACB,  BAC,  BCA,  CAB  e  CBA.

Contudo não se deseja saber quais são,  mas sim quantos são.

Para não ter que escrevê-los para poder contá-los,  usa-se:
o princípio fundamental da contagem.
___  ___  ___

Na 1ª posição há  3  posibilidades (qualquer uma das três letras).
Na 2ª posição há  2  posibilidades (qualquer uma das três,  menos a que já foi usada).
Na 3ª posição há apenas  1  possibilidade (a que sobrou das três).

Assim:
Três possibilidades na 1ª posição,  duas na 2ª  e  uma na 3ª.
___  ___  ___

3  ⋅  2  ⋅  1  =  6

②  Com os dígitos  0,  1,  2,  3,  4,  quantas centenas podem ser formadas?

Como se quer formar centenas então não se pode ter o zero no primeiro algarismo.

Começando então pela primeira posição:
___  ___  ___

Na 1ª posição só pode ter  1,  2,  3  ou  4.  Logo,  quatro possibilidades.

Na 2ª posição pode ter qualquer um dos  5  dígitos menos o que já foi colocado.
Logo,  também quatro possibilidades.

Na 3ª posição pode ter qualquer um dos  5  dígitos menos os dois que já foram colocados.
Logo,  três possibilidades.

Assim:
Quatro possibilidades na 1ª posição,  quatro na 2ª  e  três na 3ª.
___  ___  ___

4  ⋅  4  ⋅  3  =  48

Fatorial  ( ! )

O  fatorial  de um número natural  "n"  é  igual ao:
produto sucessivo desse número pelos seus antecessores até a unidade.

O fatorial de  "n",  representado por  "n!"  (lê-se:  “n  fatorial  ou  fatorial de  n”),  é:

n!  =  n  ⋅  (n  –  1)  ⋅  (n  –  2)  ⋅  (n  –  3)  ⋅   .  .  .  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1

Exemplo:
Determine o fatorial de  5.

5!  =  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
5!  =  120

NOTA:

Por convenção:
0!  =  1
1!  =  1

Representações do fatorial

É fácil notar que,  por exemplo,  o fatorial de  6  é:
6!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  5!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  4!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  3!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  2!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1

Assim:
se no produto pelos antecessores do número parar antes do número 1,
escreve-se o símbolo do fatorial no número que parar.

Daí,   o fatorial de  "n",  pode ser escrito,  por exemplo,  como:
n!  =  n  ⋅  (n  –  1)  ⋅  (n  –  2)  ⋅  (n  –  3)!
n!  =  n  ⋅  (n  –  1)  ⋅  (n  –  2)!
n!  =  n  ⋅  (n  –  1)!

Isto é muito útil para simplificar algumas expressões.

Análise Combinatória

Permutações Simples

Chama-se  permutação simples  aos agrupamentos de  "n"  elementos distintos,
de modo que cada agrupamento difere do outro apenas pela ordem de seus elementos.

Cálculo da permutação simples

Obtendo o número de maneiras que se pode agrupar  "n"  elementos em  "n"  posições.

Para a primeira posição pode-se ter  "n"  maneiras.
Para a segunda posição pode-se ter  "n  −  1"  maneiras.
Para a terceira posição pode-se ter  "n  −  2"  maneiras.

E assim sucessivamente até a última posição que só terá uma maneira de se escolher.

Portanto,  o número de ordens em que se pode colocar  "n"  objetos distintos é:
Pₙ  =  n!

Pₙ  =  n  ⋅  (n  −  1)  ⋅  (n  −  2)  ⋅   .  .  .  ⋅  1

Exemplo:
Com os dígitos  1,  2,  3  e  5,  quantos números de  4 algarismos distintos se pode formar?

Os algarismos têm de ser distintos,  isto é,  diferentes.

Qualquer exemplo que se faça terá exatamente  4  elementos.

Tomando,  por exemplo:
3215  e  3251 diferem apenas pela ordem dos elementos.

Logo,  trata-se de uma permutação simples de  4  elementos  (os números  1,  2,  3,  5).

P4  =  4!  =  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1  =  24

Arranjos Simples

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos distintos,  com  p  ≤  n,  onde:
cada agrupamento difere do outro pela  natureza  ou  pela ordem de seus elementos.

Neste caso se tem um  arranjo simples  de  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p".

O número de arranjos simples é dado por:

Exemplo:
Com os dígitos   1,  2,  3,  4,  5  e  6,  quantos números de 4 algarismos distintos pode-se formar?

Qualquer exemplo usará apenas quatro dos seis elementos.

2345  é  diferente de  2354  (pela ordem dos elementos).
2345  é  diferente de  2346  (pela natureza),  pois não foram usados os mesmos elementos.

Logo,  trata-se de:
arranjo simples  (cada exemplo usa algarismos distintos)  de  6  elementos,  tomados  4  a  4.

A6, 4  =  

Combinação Simples

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos distintos,  com  p  ≤  n,  onde:
cada agrupamento difere do outro apenas pela  natureza  de seus elementos.

Neste caso se tem uma  combinação simples  de  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p".

O número dessas combinações simples é dado por:

Exemplo:
Quantos subconjuntos com  2  elementos possui um conjunto com  5  elementos?

Considerando o conjunto   { a,  b,  c,  d,  f }.

Um conjunto com dois elementos seria,  por exemplo:
{ a,  b }  que é diferente de  { a,  c }  pela natureza de seus elementos.
Já os conjuntos  { a,  b }   e   { b,  a }   não são diferentes,   mas o mesmo conjunto.

Então,  trata-se de uma  combinação simples  de  5  elementos,  tomados  2  a  2.

C5, 2  =  

Observações:

Qualquer que seja o natural   n  ≥  1 tem-se:
Cn, 0  =  Cn, n  =  1 e Cn, 1  =  n

Exemplos:

Propriedades da combinação simples

①  A combinação é igual ao quociente entre arranjo e permutação  (todos simples):

②  A combinação simples admite os números complementares:

Exemplo:

Permutação Circular  ou  Cíclica

Dado um conjunto com  "n"  elementos onde se deseja ordená-los de maneira que:
o primeiro e o último se encontrem,  isto é,  tenham a forma.

Com os elementos   A,  B,  C  e  D  em círculo,  tem-se que:
ABCD,  BCDA,  CDAB   e   DABC  são todos iguais  (correspondem a um único agrupamento).

O número de  permutações cíclicas  é  dado por:
PCn  =  (n  –  1)!

Exemplo:
Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com  5  crianças?

Como a primeira e a última se encontram tem-se uma permutação circular dos  5  elementos.

PC5  =  (5  –  1)!
PC5  =  4!
PC5  =  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
PC5  =  24

Permutação com Repetição

Supondo que se tem  "n"  elementos para permutar,  sendo que:
q1  desses elementos são de um mesmo tipo,  q2  de outro tipo,  e assim por diante,  onde:
q1   +   q2   +   .  .  .   +   qp  ≤  n

Neste caso se tem uma  permutação com repetição  de  "n"  elementos onde se tem:
"q1"  de um tipo,   "q2"  de outro tipo,   "q3"  de um terceiro tipo,   etc.

O número de  permutações com repetição  é  dado por:

Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra  ARARAS?

Arranjo com Repetição

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos não necessariamente distintos,  onde:
cada agrupamento difere do outro pela ordem ou pela natureza de seus elemento,  com  p  ≤  n.

Então se tem um  arranjo com repetição  dos  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p",  onde:
"p"  é o número máximo de repetições.

O número desses arranjos é dado por:

ARₙ, ₚ  =  np

Exemplo:
Com os dígitos   1,  2,  4,  5,  7,  9,  quantos números de  3  algarismos podem ser formados?

Como não foi dito que os três algarismo devem ser distintos,  então,  por exemplo:
242  pode ser um desses números,  e assim:
um número difere do outro tanto pela natureza como pela ordem de seus elementos.

Então,  trata-se de um  arranjo com repetição  de  6  elementos  3  a  3.

AR6,3  =  63
AR6,3  =  6  ⋅  6  ⋅  6
AR6,3  =  216

Combinação com Repetição

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos não necessariamente distintos,  onde:
cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elemento.

Então se tem uma  combinação com repetição  de  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p",  onde:
"p"  é o número máximo de repetições.

O número dessas combinações é dado por:

Exemplos:
①  Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da equação   x  +  y  +  z  =  4?

De uma forma geral,  pode-se considerar a equação como sendo:
x1   +   x2   +   .   .   .   +   xn  =  p

É bom lembrar que por ser um conjunto  (conjunto-solução),  a ordem não importa.

Assim,  "n"  é  o número de incógnitas  e  "p"  o resultado da soma,  então tem-se:

CR3, 4  =  C3 + 4 – 1, 4  =  C6, 4  =  C6, 2  =  

②  Quantas são as soluções inteiras positivas da equação   x  +  y  +  z  =  4?

Neste caso,  pela incógnita não poder ser zero,  se tomaria:
x  =  a  +  1   y  =  b  +  1   z  =  c  +  1

a  +  1  +  b  +  1  +  c  +  1  =  4
a  +  b  +  c  =  4  –  3
a  +  b  +  c  =  1

Assim,  n  =  3   e   p  =  1,  daí:

CR3, 1  =  C3 + 1 – 1, 1  =  C3, 1  =  3

Caso se queira saber o conjunto-solução:
S  =  { (1,  1,  2)};  (1,  2,  1);  (2,  1,  1) }

Lembrar que na escrita de cada solução a ordem importa.
Isto é,  (1,  2)  ≠  (2,  1).

Mas no conjunto-solução  (quantidade de solução),  não.
Isto é,  em:
S1  =  { (1,  2);  (2,  1) }  há duas soluções,  mas em:
S2  =  { (2,  1);  (1,  2) }  são as mesmas duas soluções de  S1.

Observação:

A principal diferença entre  arranjo  e  combinação  é  que:
no arranjo,  os agrupamentos,  por exemplo:
ABC  e  ACB  são diferentes,  ou seja,  a  ordem importa.

Já na  combinação  a ordem  não  importa.

Assim,  se em um grupo de  5  pessoas,  2  forem escolhidas para ir ao shopping,
tanto faz dizer que os escolhidos foram,  por exemplo:
Ana  e  Bia  como dizer  Bia  e  Ana.
Logo,  trata-se de uma  combinação.

Porém,  se forem escolhidos para gerente e secretária do shopping,
em   Ana  e  Bia  (Ana  é a gerente  e  Bia  a secretária),
já em  Bia  e  Ana  (Bia  é a gerente  e  Ana  a secretária).
Logo,  trata-se de um  arranjo.

Exercícios Resolvidos

R01 — Quantos são os divisores de  210  ⋅  39?  Quantos divisores são pares?

Para 1ª pergunta:

Cada potência de  2  multiplicada por cada potência de  3  representa um divisor.
20  ⋅  30  =  1  ⋅  1  =  1  é  um divisor.
21  ⋅  30  =  2  ⋅  1  =  2,  é outro divisor.
20  ⋅  31  =  1  ⋅  3  =  3,  mais um divisor,  e,  assim por diante.

Então os divisores dependem das potências,  isto é:
no caso da base  2  os expoentes podem ser:
E(2)  =  {0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10}.
Logo,  11  expoentes.

No caso da base  3  os expoentes podem ser:
E(3)  =  {0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9}.
Logo,  10  expoentes.

Então,  há  11  possibilidades para a base  2   e   10  possibilidades para a base  3, então:
11  ⋅  10  =  110  divisores.

Para 2ª pergunta:

Para que o divisor seja um número  par  é  necessário que a base  2  não desapareça,  isto é:
que o expoente do  2  não seja zero,  assim:
haverá  10  possibilidades pra base  2  e  também pra base  3.

Assim,   10  ⋅  10  =  100  divisores são números pares.

R02 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores:
amarelo,  preto  e  vermelho,  sem que dois quadrados consecutivos tenham:
a mesma cor e que nem o primeiro nem o último sejam pintados de amarelo?

Começa-se pelas condições impostas que é para o primeiro e o sexto.
Há apenas duas opções  (vermelho  ou  preto).

A segunda posição pode-se:
pintar com qualquer uma das três cores exceto a que foi pintada a primeira.

Para terceira e quarta a mesma coisa.

Para a quinta posição não se pode pintar:
com a mesma cor da quarta nem da sexta,  então só há uma opção.

Assim tem-se:
2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  1  ⋅  2  =  32  modos diferentes.

R03 — Quantos são os anagramas da palavra  “PRATO”  que começam por consoante?

Cada anagrama corresponde a uma ordem das  5   letras.
Para formar um anagrama começando por consoante se deve começar por  P,  R  ou  T.

Se começar por  P  significa que ele não irá trocar de lugar com as demais:
P __ __ __ __

Assim,   apenas quatro elementos irão permutar.

O mesmo ocorre,  com o fato de se começar por:
R __ __ __ __   ou   T __ __ __ __

Totalizando  “três casos”  iguais,  logo se tem:
P4  +  P4  +  P4  =  3  ⋅  P4  =  3  ⋅  4!  =  3  ⋅  24  =  72  anagramas.

R04 — De quantas formas pode-se ordenar  8  pessoas de modo que:
duas determinadas pessoas não fiquem juntas?

O número total que se pode ordenar é dado pela permutação de todos os elementos:
P8

Mas isto inclui os casos em que duas determinadas estejam juntas.

Supondo,  por exemplo,   que:
Ana  e  Bia  sempre ficassem juntas,  elas formariam apenas um elemento.

As duas formando um elemento mais as outras seis,  totalizam sete:
P7
Mas as duas também poderiam permutar entre si,  neste caso:
P2.

O número que as duas ficariam juntas é:
P7  ⋅  P2

Para que duas não fiquem juntas tem-se:
o número total menos os casos em que estão juntas.

P8  –  P2  ⋅  P7  =  8!  –  2!  ⋅  7!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  8  ⋅  7!  –  2  ⋅  7!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  7!  ⋅  (8  –  2)
P8  –  P2  ⋅  P7  =  7!  ⋅  6
P8  –  P2  ⋅  P7  =  6  ⋅  7!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  6  ⋅  7  ⋅  6!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  42  ⋅  720
P8  –  P2  ⋅  P7  =  30 240  modos diferentes.

R05 — De quantas formas podemos acomodar  3  pessoas em  5  cadeiras?

Neste caso,  tem-se cinco cadeiras:
A,  B,  C,  D,  E  das quais se usará apenas  3  (onde sentarão as três pessoas).

Claro que a escolha  ABC  é diferente de  ABD,  pois são cadeiras diferentes.

ABC  e  ACB  embora sejam as mesmas cadeiras são agrupamentos diferentes,
pois as pessoas são distintas e em posições diferentes formam outro agrupamento.

Logo,  tem-se um  arranjo simples  de  5  elementos tomados  3  a  3.

A5, 3  =  

R06 — Numa reta há  6  pontos e em outra reta paralela a esta,  5 pontos.
Quantos triângulos podem ser formados com esses pontos?   E quantos quadriláteros?

Para 1ª pergunta:

Como as retas são paralelas,  deve-se pegar:
dois pontos de uma reta  e  um ponto da outra reta para formar triângulos.

Chamando dois pontos da 1ª reta de  A  e  B,  e  um ponto da segunda reta como  C,  então: 
os vértices  A  e  B  (1ª reta)  formam com o vértice  C  (2ª reta)  um triângulo  e,
o vértice  C  (2ª reta)  forma com os vértices  A  e  B  (1ª reta)  o mesmo triângulo.

Logo,  trata-se de uma  combinação simples,  onde:
escolhe-se  2  pontos da primeira reta  e [1]  1  da segunda reta
ou [2]  1  ponto da primeira reta  e [1]  2  pontos da segunda reta.

Daí:
C6, 2  ⋅  C5,1   +   C6, 1  ⋅  C5, 2  =

[1]  –   Como  é  uma coisa   e   outra,  se faz o produto.
[2]  –   Como  é  uma coisa   ou   outra,  se faz a soma.

Para 2ª pergunta:

Para formar quadriláteros,  é preciso escolher  2  pontos em cada reta.

C6, 2  ⋅  C5, 2  =

R07 — Quantos são os anagramas da palavra  ANAGRAMA,  que:
mantêm juntas as letras  ANGM  nesta ordem?   E que tenham as letras  NGRM  juntas?

Para 1ª pergunta:

Como as letras  ANGM  devem ficar juntas elas formam apenas um elemento que:
com as letras  AAAN  restantes,  formam 5 elementos.

Os  5  elementos serão permutados,  mas há repetição da letra  A  (3 vezes),
a letra  A  que está em  ANGM  não conta,  pois  ANGM  é um elemento unido.

Logo,  trata-se de uma  permutação com repetição  de  5  elementos com  3  repetidos.

PR5, 3  =  

Para 2ª pergunta:

Considerando as letras  NGRM  juntas,  que podem ser permutadas entre  si,  tem-se:
P4  maneiras.

Como  NGRM  é um elemento que com  AAAA,  formam  5  elementos com repetição das 4 letras  A.
Assim,  tem-se:
PR5, 4  maneiras.

Como se deve ter  P4  "e" PR5, 4  maneiras,  se tem o produto dos dois,  isto é:

P4  ⋅  PR5, 4  =  4!  ⋅  

R08 — Seja  A  um conjunto com  4  elementos  e  um outro  B,  com  3  elementos.
Quantas são as funções de  A  em  B?   E quantas são sobrejetoras?

Para 1ª pergunta:

Para ser função,  nenhum dos  4  elementos do primeiro conjunto pode sobrar.

Como cada um deles pode ter o mesmo correspondente então:
pode-se ter no máximo quatro repetições.

Daí:
AR3, 4  =  34  =  3  ⋅  3  ⋅  3  ⋅  3  =  81  funções.

Para 2ª pergunta:

Supondo  A  =  {1,  2,  3,  4}   e   B  =  {6,  7,  8}   tais conjuntos.

Para ser sobrejetora,  não pode sobrar elementos no segundo conjunto.

Então do total de funções deve-se retirar aquelas que:
não se correspondem com os  3  elementos de  B,  ou seja:
aquelas que se correspondem apenas com  1  ou  com  2  elementos.

Para que todos os elementos do conjunto  A  se correspondam com dois de  B.
Neste caso,  {6,  7},   {7,  8}   e   {6,  8}.

Então:
C3, 2 (para a escolha dos dois dentre os  3  de  B)

E eles podem ser repetidos no máximo  4  vezes,  então:
AR2, 4

Como tem que ocorrer um  e  outro,  o número com  2  elementos de  B  é:
C3, 2  ⋅  AR2, 4

Mas quando se escolheu dois dos três elementos de  {6,  7},   {7,  8}   e   {6,  8}.

Foi contado duas vezes as situações com  1  elemento nos casos:
{(1,  6);  (2,  6);  (3,  6);  (4,  6)},  {(1,  7);  (2,  7);  (3,  7);  (4,  7)} e {(1,  8);  (2,  8);  (3,  8);  (4,  8)}.

As que se correspondem com apenas  1  elemento de  B,  se escolhe  1  dentre:  {6,  7,  8}.

Então:
C3, 1 (para a escolha de um dentre os  3  de  B)

O elemento escolhido de  B  pode ser repetido no máximo  4  vezes,  então:
AR1, 4

Como tem que ocorrer um  e  outro,  o número com  1  elemento de  B  é:
C3, 1  ⋅  AR1, 4

Assim,  o número de casos com  1  ou  2  elementos de  B  é:
C3, 2  ⋅  AR2, 4 – C3, 1  ⋅  AR1, 4  =  
3  ⋅  24  –  3  ⋅  14  =  3  ⋅  16  –  3  ⋅  1  =  48  –  3  =  45

Então,  o número de funções sobrejetoras   é:
81  –  45  =  36

De uma forma geral se:
n(A)  =  m   e   n(B)  =  n

Então o número de funções sobrejetoras de  A  em  B  é dado por:

R09 — Num parque há  5  tipos de brinquedos que podem usar o mesmo bilhete de entrada.
Com  3  bilhetes de quantas formas se pode brincar neste parque usando todos os bilhetes?

Considerando os brinquedos:  A,  B,  C,  D,  E.

Utilizar os bilhetes  ABC  ou  BAC  dá no mesmo,  pois são os mesmos brinquedos.

Logo,  trata-se de uma  combinação,  mas pode-se brincar no mesmo brinquedo até  3  vezes.

Logo,  é  com repetição.

Uma  combinação com repetição  de  5  elementos,  tomados  3  a  3.

CR5, 3  =  C5 + 3 – 1, 3  =  C7, 3  =

R10 — Num jogo de dominó em uma mesa retangular com exatamente  4  pessoas.
Tendo  6  pessoas,  de quantas maneiras se pode posicioná-las nesse jogo?

Para escolher as quatro pessoas que irão participar do jogo tem-se:
uma  combinação  de  6  tomados  4  a  4 (pois,  é apenas uma escolha).

Para posicionar os quatro que irão jogar tem-se:
uma permutação circular  dos  4  elementos.

Então,  tem-se a combinação de  6,  4  a  4 e a permutação circular de  4.
C6, 4  ⋅  PC4

Como   C6, 4  =  C6, 2,  então:

C6, 2  ⋅  PC4  =

R11 — Sabendo-se que  

Como  8  –  (p  +  2)  =  8  –  p  –  2  =  6  –  p e  8  –  (p  +  1)  =  8  –  p  –  1  =  7  –  p

Então:
C8,  p + 2  =  

Daí:
C8,  p + 2  :  C8,  p + 1  =  2

7  –  p  =  2  ⋅  (p  +  2)
7  –  p  =  2 p  +  4
7  –  4  =  2 p  +  p
3  =  3  p
3/3  =  p
1  =  p

Portanto,   p  =  1.

R12 — Quantos coquetéis,  mistura de duas ou mais bebidas,
podem ser feitos a partir de  7  ingredientes distintos?

Exercícios Propostos

P01 — Quantos divisores de   210  ⋅  39   formam quadrados perfeitos?

P02 — Em uma sala há  6  lâmpadas com seis interruptores distintos.
De quantos modos pode ser iluminada essa sala?

P03 — De quantas maneiras pode-se dispor  4  homens  e  4  mulheres em uma fila,
sem que dois homens fiquem juntos?

P04 — Lançam-se três dados.   Em quantos dos resultados possíveis,  a soma dos pontos é  12?

P05 — Quantos inteiros entre  1000  e  10000  inclusive,  não são divisíveis por  2  nem por  5?

P06 — De quantas formas pode-se ter o  1º,  2º  e  3º  lugares de um campeonato com  10  times?

P07 — Com as letras da palavra  ADEUS,  se pode formar:
a)  quantos anagramas?
b)  quantos anagramas que começam com a letra  D?
c)  quantos anagramas que começam com vogal?
d)  quantos anagramas que começam com consoante e terminam em vogal?

P08 — De quantos modos pode-se ordenar:
2  livros de matemática,  3  de português  e  4  de física, de modo que:
os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos  e,
além disso,  os de física fiquem sempre na mesma ordem?

P09 — Quantos são os anagramas da palavra  INDEPENDENTE:
a)  começados por  IND?
b)  começados por  IND  e  terminados em   T?
c)  que contenham as letras  I  e  P  sempre juntas?
d)  que contenham as letras  I  e  P  sempre juntas nesta ordem?
e)  que contenham as letras  I  e  P  sempre juntas e termine em  TE?

P10 — Com os dígitos  1,  2,  3,  4  e  5,  quantos números de: 
5  algarismos distintos e maiores que  30 000  se pode formar?

P11 — Quantos números pares de três algarismos distintos pode-se formar com os dígitos: 
1,  3,  5,  6,  8  e  9?

P12 — Quantos números ímpares,  compreendidos entre  300  e  4 000  e,
com todos os algarismos distintos,  pode-se formar com os dígitos  1,  3,  5,  6,  7  e  9?

P13 — Quantas matrizes quadradas de ordem  3  pode-se formar usando os dígitos:
1,  2  e  3,  cada um uma vez e seis zeros?

P14 — Um trem é constituído de  1  locomotiva  e  6  vagões distintos,  sendo um deles restaurante.
Sabendo que a locomotiva cai na frente e que o do restaurante não pode estar logo após a locomotiva,
encontre o número de modos diferentes para montar a composição?

P15 — Quantos números de  3  algarismos distintos pode-se formar:
com os  10  primeiros números naturais?

P16 — De quantas maneiras pode-se escolher  3  representantes de um grupo de  10  pessoas?

P17 — Uma empresa tem  3  diretores  e  5  gerentes.  Quantas comissões de:
5  pessoas podem se formadas contendo no mínimo  1  diretor?

P18 — Uma sociedade tem um conselho administrativo formado por  12  membros,  sendo:
3/4  de brasileiros  e  os demais estrangeiros.
Quantas comissões de  5  conselheiros podem ser formadas com  3  brasileiros?

P19 — De quantas maneiras distintas um grupo de  10  pessoas pode ser divididos em: 
3  grupos de  5,  3  e  2  pessoas?

P20 — Com os dígitos  0,  1,  2,  3,  4,  5  e  6  são formados números de  4  algarismos distintos.
Quantos são divisíveis por  5?

P21 — Com os dígitos   0,  1,  2,  3,  4,  5  e  6  são formados números de  4  algarismos.
Quantos são divisíveis por  5?

P22 — Qual o número de diagonais do decágono?

P23 — Calcular o número de múltiplos de  9  com  4  algarismos distintos que podem:
ser formados com os dígitos  2,  3,  4,  6  e  9?

P24 — Considerando que a loteria esportiva tenha  13  jogos,  quantos são os possíveis resultados?

P25 — Sabendo que as placas de carro são formadas por  3  letras e  4  números.
Qual o número máximo de carros que podem ser emplacados em uma cidade onde só pode começar por  K  ou  L?

P26 — Colocando em ordem crescente todos os números de  5  algarismos distintos obtidos com:
1,  3,  4,  6  e  7,  que posição ocupa o número  61 473?

P27 — Quantos são os naturais ímpares com  5  algarismos distintos?

P28 — Quantos são os anagramas da palavra  ESTUDAR  que começam com vogal?
Que começam e terminam em vogal?   Que tenham as vogais juntas?

P29 — De quantas maneiras pode-se ordenar: 
5  livros de Matemática,  3  livros de Química  e  2  livros de Física.
Todos diferentes,  de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos?

P30 — De quantas formas pode-se ordenar  6  moças e  4  rapazes de modo que:
as moças permaneçam juntas?

P31 — De quantas formas pode-se ordenar  8  pessoas de modo que:
duas determinadas pessoas não fiquem juntas?

P32 — Quantos são os anagramas da palavra  MATEMÁTICA  de forma que:
as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas?

P33 — Quantos são os anagramas da palavra  ÁLGEBRA  que não possuem  2  vogais juntas?

P34 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores:
verde,  amarelo,  azul  e  branco,  sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor?

P35 — Quantas são as raízes inteiras não negativas da equação:
x  +  y  +  z  =  6?

P36 — Quantas são as raízes inteiras positivas da equação:
x  +  y  +  z  =  7?

P37 — Quantos subconjuntos com  3  elementos possui um conjunto com  n  elementos?

P38 — Quantos são os anagramas da palavra  COMBINATÓRIA?
Que alternam consoantes e vogais?   Que possuem as vogais juntas?

P39 — Quantos segmentos de reta podem ser formados com extremidades em  15  pontos dados?

P40 — Quantas diagonais possui um polígono convexo com  8  lados?

P41 — De quantas maneiras podemos pedir um sorvete de três bolas se dispomos de  5  sabores diferentes?

P42 — Quantos são os anagramas da palavra  ESCOLA  que terminam em vogal?

P43 — Quantos são os números com  5  algarismos não repetidos formados com  1,  2,  3,  4,  5?
E que sejam ímpares?   E que sejam maiores que  34 125?

P44 — Quantos são os números com  10  algarismos?   E se os algarismos forem distintos?

P45 — De quantas maneiras podemos arrumar  9  pessoas em  3  quartos cada quarto com  3  pessoas?

Quantos números ímpares podemos formar usando uma única vez cada um dos algarismos 3 4?

Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 2 3 4 5 e 6?

Quantos números ímpares de 5 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 1 3 4 5 7 8 e 9?

Quantos números de algarismos distintos é possível formar com algarismos ímpares 1 3 5 7 9?