Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 8 unidades

QUESTÃO

Poderá ver também exercícios sobre: Matemática, Poliedros

(Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 8
E) 11

RESPOSTA: D

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

(FAAP-SP)

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

(PUC-MG)

Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

(UF-AM)

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

respostas

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

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V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
 

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O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 

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* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

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P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

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Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12

Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
 

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Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre a relação de Euler, fórmula matemática que relaciona o número de faces, arestas e vértices de poliedros convexos.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Exercícios de Matemática

Questão 1

Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?

a) 16

b) 18

c) 32

d) 34

e) 40

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Questão 2

(FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 14

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Questão 3

Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?

a) 16

b) 14

c) 11

d) 9

e) 7

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Questão 4

O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?

a) 18

b) 20

c) 36

d) 34

e) 19

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Respostas

Resposta Questão 1

Para calcular o número de arestas, basta usar a relação de Euler. Observe:

V – A + F = 2

18 – A + 16 = 2

– A = 2 – 18 – 16

A = 16 + 16

A = 32

Gabarito: letra C.

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Resposta Questão 2

Dizer que o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades é o mesmo que escrever:

A = V + 6

Substituindo esse valor de A na relação de Euler, teremos:

V – A + F = 2

V – (V + 6) + F = 2

V – V – 6 + F = 2

F = 2 + 6

F = 8

Gabarito: letra B.

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Resposta Questão 3

Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:

V – A + F = 2

F – A + F = 2

2F – A = 2

Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.

2F – 16 = 2

2F = 2 + 16

2F = 18

F = 18
      2

F = 9

O poliedro possui 9 faces.

Gabarito: letra D.

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Resposta Questão 4

Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos:

V – A + F = 2

F – A + F = 2

2F – A = 2

Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces:

2F – 34 = 2

2F = 2 + 34

2F = 36

F = 36
      2

F = 18

O poliedro possui 18 faces.

Gabarito: letra A.

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Qual o número de arestas de um poliedro convexo?

Qual é o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices?

Qual o número de faces de um poliedro convexo que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades?

Quantas faces possui um poliedro convexo que tem 34 arestas sabendo que o número de faces é igual ao número de vértices?