Quais desses triângulos são congruentes entre si Ie II Ie IV II e III III e IV?

Dois polígonos, com o mesmo número de lados, são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Em outras palavras, polígonos semelhantes possuem o mesmo formato, mas suas dimensões nem sempre apresentam o mesmo tamanho. Observe na imagem a seguir um exemplo contendo dois triângulos semelhantes. Como essas figuras também são polígonos, então essa também é a sua definição de semelhança.

Os triângulos são polígonos que possuem o menor número de lados, portanto, é possível criar estratégias para diminuir o trabalho de verificar a semelhança entre eles. Essas estratégias são conhecidas como casos de semelhança de triângulos e serão discutidas a seguir.

1º Caso de semelhança: Ângulo-Ângulo (AA)

Sempre que dois triângulos possuírem dois ângulos correspondentes congruentes, eles já serão completamente semelhantes. Perceba que, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, eles também apresentam o terceiro ângulo congruente. Isso é garantido pela soma dos ângulos internos dos triângulos que sempre será igual a 180°.

O exemplo seguinte mostra em vermelho dois ângulos congruentes de dois triângulos distintos. O restante das medidas foi colocado em cinza apenas para perceber-se a semelhança entre os triângulos.

Observe que os lados correspondentes desses dois triângulos são proporcionais e que os ângulos que sobraram, destacados na cor cinza, são congruentes.

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2º Caso de semelhança: Lado-Lado-Lado (LLL)

Sempre que dois triângulos possuírem três lados correspondentes proporcionais, então eles serão semelhantes. Em outras palavras, triângulos que possuem três lados proporcionais sempre apresentam os ângulos correspondentes congruentes.

O exemplo a seguir mostra dois triângulos semelhantes, pois eles possuem as medidas de seus três lados proporcionais. Em cinza, estão as medidas dos ângulos desses triângulos.

3º Caso de semelhança: Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Se dois triângulos distintos possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre esses lados é congruente, então esses dois triângulos são semelhantes. Na imagem a seguir, veja um exemplo de triângulos com dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente. Colocamos no exemplo o restante das medidas do triângulo em cinza para evidenciar a semelhança entre eles.

Exemplo

Os dois triângulos a seguir são semelhantes. Determine a medida do segmento DF.

Como dois triângulos semelhantes possuem lados correspondentes proporcionais, para descobrir a medida de x, basta montar a proporção:

 5  =  4 
x     14

4x = 5·14

4x = 70
x = 70
      4

x = 17,5 cm

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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09 Dado um polígono convexo regular ABCDEF... de gênero desconhecido, 
considere as bissetrizes de seus ângulos internos A e D. Sabendo que o ângulo 
formado por essas bissetrizes é igual a 
3
40
 da soma de todos os ângulos 
internos do polígono, pede-se para calcular quantas diagonais ele possui.
 10 O número de gêneros de polígonos regulares tais que quaisquer duas 
de suas diagonais, que passam pelo seu centro, formam entre si ângulo 
expresso em graus por um número inteiro, é:
(A) 17. (D) 23.
(B) 18. (E) 24.
(C) 21.
 11 (ITA-2003) Considere três polígonos regulares tais que os números que 
expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão 
aritmética. Sabe-se que o produto desses três números é igual a 585 e que 
a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780o. O 
número total das diagonais nesses três polígonos é igual a:
(A) 63. (D) 97.
(B) 69. (E) 106.
(C) 90.
 12 (ITA-1998) Considere as afirmações sobre polígonos convexos:
I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com 
o número de lados.
II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do 
número de lados.
III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono 
é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.
Então:
(A) Todas as afirmações são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
 13 Um hexágono ABCDEF convexo é tal que AB//DE, BC//EF e CD//AF. 
Prove que os ângulos internos nos vértices opostos são iguais.
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
 01 (ITA-Adaptado) Considere um polígono convexo não necessariamente 
regular de gênero x. Sabe-se dele que a soma de x – 1 ângulos internos 
desse polígono é 2014°. Calcule o número de diagonais desse polígono.
 02 Prove que, em um polígono convexo, o número máximo de ângulos 
internos agudos é 3.
 03 Um hexágono ABCDEF é equiângulo. Sabendo que AB = 7, BC = 8, 
CD = 6, DE = 10, calcule os lados EF e FA. 
 04 Prove que em qualquer pentágono convexo, existem dois ângulos 
internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a 216°.
RASCUNHO
Matemática V – Assunto 2
250 Vol. 1
1. Definição e propriedades 
iniciais
Triângulo é o polígono de gênero 3. Não possui diagonais, e é sempre 
convexo. Possui portanto três lados, três vértices, três ângulos internos 
[que somam 180˚] e três ângulos externos.
Podemos classificar os triângulos quanto às medidas dos lados:
I. Escaleno: todos os seus lados são diferentes;
II Isósceles: possui pelo menos dois lados iguais;
III Equilátero: possui todos os lados iguais.
Podemos classificá-los também quanto aos ângulos internos:
I. Acutângulo: todos os seus ângulos internos são agudos;
II. Retângulo: possui um ângulo interno reto;
III. Obtusângulo: possui um ângulo interno obtuso.
Se um triângulo é retângulo, chamamos o lado oposto ao ângulo reto 
de hipotenusa, e os outros dois lados de catetos.
2. Desigualdade triangular – 
teorema da envolvente
A desigualdade triangular estabelece o seguinte: dados dois pontos, 
A e B, e um ponto X qualquer variável, sempre vale que AB ≤ AX + XB, 
com igualdade se, e somente se, X está entre A e B. Essa desigualdade 
pode ser estendida: dada uma poligonal fechada, um lado é menor que a 
soma de todos os outros lados.
A partir disso, podemos concluir a condição de existência de um 
triângulo: dados os lados de um possível triângulo, ele existe se, e somente 
se:
a b c
b c a a b c a b
c a b
< +
< + ⇔ − < < +
< +





Além do mais, deduz-se o Teorema da Envolvente: se dois caminhos 
convexos de A para B são tais que a região definida por um [o envolvente] 
contém a região definida pelo outro [o envolvido], então o comprimento 
daquele será maior que o desse.
Uma desigualdade muito útil é a seguinte: num triângulo, o maior 
lado é sempre oposto ao maior ângulo, e o menor lado é sempre oposto 
ao menor ângulo.
3. Congruência de triângulos
Dizemos que dois triângulos são congruentes se, e somente se, os 
lados e os ângulos internos de um são homologamente congruentes aos 
lados e ângulos internos do outro. Formalmente, dizemos:
∆ ∆ABC DEF A D B E C F AB DE AC DF BC EF= ⇔ = = = = = =� � � � � �, , , , , .
Pa r a d e m o n s t r a r 
que dois triângulos são 
congruentes, basta testar 
se vale um dos cinco 
casos de congruência que 
seguem:
I. LAL – Lado/ângulo/lado: Triângulos com par de lados iguais formando 
ângulos congruentes são congruentes entre si.
x
α
y
II. ALA – Ângulo/lado/ângulo: Triângulos com par de ângulos iguais com 
os lados comuns a eles congruentes são congruentes entre si.
x α
β
III. LAAo – Lado/ângulo/ângulo oposto: Triângulos com lado, ângulo 
adjacente ao lado e ângulo oposto a ele congruente um aos do outro 
são congruentes.
x α
β
IV. LLL – Triângulos com todos os lados congruentes um aos do outro 
são congruentes.
251IME-ITA
Matemática V
Assunto 3Triângulos
x
y
z
V 90˚HC – Caso especial para triângulos retângulos: Triângulos 
retângulos que possuam hipotenusas iguais e um cateto de um igual 
a um do outro são congruentes.
a
b
Obs.: LLA não é caso de congruência!
Os triângulos ABC e ABD 
possuem dois pares de lados 
em comum e os ângulos 
opostos a um deles iguais. 
Eles não são congruentes: um 
está dentro do outro
4. Cevianas notáveis – pontos 
notáveis
Dado um triângulo ABC, dizemos que o segmento AD é uma ceviana se 
o ponto D está sobre a reta suporte do lado BC. Caso D esteja sobre o lado 
BC, dizemos que AD é ceviana interna. Caso contrário, AD é ceviana externa. 
Algumas cevianas possuem propriedades impor tantes, e têm 
nomenclatura especial.
a. Mediana [e o baricentro]: 
se M é ponto médio de 
BC, chamamos AM de 
mediana relativa ao lado 
BC. Cada triângulo possui 
três medianas, que são 
concorrentes num ponto 
chamado baricentro. O 
baricentro G divide uma 
mediana AM na razão 
AG : GM = 2. Traçadas 
as medianas, o triângulo 
original fica dividido em seis 
triângulos de áreas iguais.
b. Bissetriz interna [e o incentro]: se D sobre o lado BC é tal que AD 
bissecta o ângulo interno em A, chamamos AD de bissetriz interna 
relativa ao vértice A, ou relativa ao lado BC. Cada triângulo possui 
três bissetrizes internas, que são concorrrentes num ponto chamado 
incentro. O incentro equidista dos lados do triângulo, logo é centro de 
uma circunferência inscrita no triângulo.
c. Altura [e o ortocentro]: se D sobre a reta BC é tal que AD é 
perpendicular a BC, dizemos que AD é altura relativa a BC. A altura pode 
ser uma ceviana externa ou até mesmo um lado, como nas figuras. As 
três alturas traçadas a partir de cada vértice são concorrentes num 
ponto chamado ortocentro.
d. Bissetriz externa [e o exincentro]: se o triângulo ABC é escaleno, 
então existe D sobre a reta BC tal que AD é bissetriz do ângulo externo 
em A. Chamamos AD de bissetriz externa. São três bissetrizes externas, 
uma para cada vértice. Duas retas bissetrizes externas e uma interna 
do vértice remanescente são concorrentes num ponto chamado 
exincentro relativo àquele vértice. São três exincentros, e eles são 
centros de círculos tangentes às retas suportes dos lados do triângulo. 
Mediatriz
A mediatriz de um segmento AB 
é a reta perpendicular a AB no 
seu ponto médio. Num triângulo, 
as mediatrizes dos lados nem 
sempre são cevianas, já que não 
passam necessariamente pelo 
vér tice oposto. Porém, no caso 
do triângulo, as mediatrizes dos 
lados são concorrentes num 
ponto chamado circuncentro, que 
equidista dos vértices, e, portanto, 
é centro de uma circunferência 
circunscrita ao triângulo.
5. Triângulo isósceles
Podemos provar que um triângulo tem uma das propriedades abaixo 
se,

Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie II Ie IV II e III III e V IV EV?

Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie III II e III II e V III e?

Quais são os triângulos congruentes?

Quais desses triângulos são semelhantes entre si Ie II Ie IV?