Qual a medida de cada lado de um hexágono regular?

Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.

Um polígono convexo é regular quando seus lados são todos iguais (possuem a mesma medida) e seus ângulos internos também são iguais.

Na geometria plana, existem diferentes tipos de polígonos e, para muitos deles, há uma fórmula matemática para se calcular sua área.

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Área de um triângulo regular

Um triângulo regular é também chamado de triângulo equilátero. Obtemos a sua área através da seguinte fórmula matemática:

Onde a é a medida do lado do triângulo. Obtemos essa fórmula da seguinte maneira:

Considere o triângulo regular ABC, de lado a:

Vamos nos concentrar em um dos triângulos retângulos que foram formados, ABD e aplicar o Teorema de Pitágoras.

Agora, como a área de um triângulo qualquer é:

Assim, em todo triângulo regular encontramos a sua área utilizando a fórmula

Área de um quadrado

Um quadrado, por si só, já é regular pois, por definição, é um quadrilátero cujos lados são sempre iguais.

Calculamos a sua área multiplicando a sua base pela sua altura:

Área de um hexágono regular

Vamos considerar um hexágono regular de lado L e apótema a.

O hexágono é o único polígono regular onde todos os seus 6 triângulos são também regulares (equiláteros).

Assim, para calcular a área de um dos triângulos basta utilizar a fórmula:

Como temos 6 triângulos que formam o hexágono, a sua área será, então:

Fórmula geral para cálculo da área de qualquer polígono regular

Existe uma fórmula que nos dá a área de qualquer polígono regular. A fórmula é a seguinte:

Onde n é a quantidade de lados do polígono, L é a medida do lado desse polígono e a é a medida do apótema, quase sempre dado.

Para chegarmos à fórmula, vamos considerar o hexágono abaixo e suponhamos que não sabemos da existência de uma fórmula específica pra ele (como vimos anteriormente).

Um hexágono é um polígono regular de 6 lados. Podemos dividir esse polígono em 6 triângulos idênticos. Assim, para determinar a área desse hexágono, basta determinar a área de um dos triângulos e, em seguida, multiplicar o resultado por 6.

A área de um triângulo qualquer é calculada multiplicando-se a sua base pela sua altura e dividindo esse resultado pela metade, ou seja,

No caso desse hexágono, a base do triângulo em destaque será L e a altura será a, que é o apótema do hexágono.

O apótema é a medida do segmento que parte do centro do polígono e forma ângulo de 90° com um de seus lados. Nesse caso, o apótema a desse polígono tem a mesma medida que a altura do triângulo em destaque.

Assim, a área será:

Como o hexágono é composto por 6 triângulos iguais ao destacado, para encontrar a área do hexágono, devemos multiplicar a área do triângulo por 6: 

Veja que, se fosse um polígono de 5 lados, teríamos 5 triângulos e, por isso, multiplicaríamos a área do triângulo por 5. O mesmo aconteceria com um polígono regular de 10 lados: teríamos 10 triângulos e a área seria multiplicada por 10.

Considerando, então, um polígono de n lados, teríamos n triângulos iguais e a área deveria ser multiplicada por n. Assim,

Observe que, ajeitando a fórmula para

Se a medida do apótema não for dada, teremos que o encontrá-la.

Apótema

Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado mede 3 cm.

Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta dividir 360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°.

O apótema sempre divide o ângulo em dois outros ângulos de mesma medida, no nosso caso, 30°. Agora, podemos usar algumas relações trigonométricas para encontrar o valor do apótema:

Generalizando para o caso onde temos um polígono de lado n lados de medida L:

O ângulo do apótema será dado por

Aplicando trigonometria para encontrar o apótema:

Com essa fórmula do valor do apótema, a nossa fórmula

Essa é a fórmula geral para se calcular a área de qualquer polígono regular.

Exemplos

1. Qual a área de um polígono regular de 12 lados, onde cada lado mede 4 cm?

Aplicando a fórmula obtida teremos:

2. Qual a área de um polígono regular de 4 lados, que tem 6 como medida de cada lado?

Temos um quadrado de lado 6, cuja área pode ser calculada por:

Mas vamos calcular utilizando a fórmula obtida anteriormente:

O que nos mostra a validade da fórmula.

Referências:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

Qual a medida do lado de um hexágono regular?

Qual é medida de cada ângulo interno do hexágono regular?