Qual é o conjunto que é subconjunto de si mesmo?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino M�dio

Teoria dos Conjuntos

Rossana M. Martins Pereira
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Alguns conceitos primitivos
• 2 Algumas nota��es para conjuntos
• 3 Subconjuntos
• 4 Alguns conjuntos especiais
• 5 Reuni�o de conjuntos
• 6 Interse��o de conjuntos
• 7 Propriedades dos conjuntos
• 8 Diferen�a de conjuntos
• 9 Complemento de um conjunto
• 10 Leis de Augustus De Morgan
• 11 Diferen�a sim�trica

1 Alguns conceitos primitivos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem defini��o. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, Paul Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o portugu�s sob o t�tulo (nada ing�nuo de): Teoria Ing�nua dos Conjuntos.

Conjunto: representa uma cole��o de objetos.

1. O conjunto de todos os brasileiros.
2. O conjunto de todos os n�meros naturais.
3. O conjunto de todos os n�meros reais tal que \(x^2-4=0\).

Em geral, um conjunto � denotado por uma letra mai�scula do alfabeto: A, B, C, etc, Z.

Elemento: � um dos componentes de um conjunto.

1. Jos� da Silva � um elemento do conjunto dos brasileiros.
2. 1 � um elemento do conjunto dos n�meros naturais.
3. -2 � um elemento do conjunto dos n�meros reais que satisfaz � equa��o \(x^2-4=0\).

Em geral, um elemento de um conjunto, � denotado por uma letra min�scula do alfabeto: a, b, c, \(\cdots\), z.

Pertin�ncia: � uma caracter�stica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

1. Jos� da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
2. 1 pertence ao conjunto dos n�meros naturais.
3. -2 pertence ao conjunto de n�meros reais que satisfaz � equa��o \(x^2-4=0\).

S�mbolo de pertin�ncia: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o s�mbolo \(\in\) que se l�: pertence.

Para afirmar que 1 � um n�mero natural ou que 1 pertence ao conjunto dos n�meros naturais, escrevemos:

\[1 \in N\]

Para afirmar que \(0\) n�o � um n�mero natural ou que \(0\) n�o pertence ao conjunto dos n�meros naturais, escrevemos:

\[0 \notin N\]

Um s�mbolo matem�tico muito usado para a nega��o � a barra \(/\) tra�ada sobre o s�mbolo normal.

2 Algumas nota��es para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto � representado com os seus elementos envolvidos pelas chaves \(\{\) e \(\}\) atrav�s de duas formas b�sicas e de uma terceira forma geom�trica:

Apresenta��o: Os elementos do conjunto est�o dentro de duas chaves \(\{\) e \(\}\).

1. \(A=\{a,e,i,o,u\}\)
2. \(N=\{1,2,3,4,...\}\)
3. \(M=\{\text{Jo�o}, \text{Maria}, \text{Jos�}\}\)

Descri��o: O conjunto � descrito por uma ou mais propriedades.

1. \(A=\{x: x \text{ � uma vogal}\}\)
2. \(N=\{x: x \text{ � um n�mero natural}\}\)
3. \(M=\{x: x \text{ � uma pessoa da fam�lia de Maria}\}\)

Diagrama de Venn-Euler: (l�-se: Ven-�iler) Os conjuntos s�o mostrados graficamente.

3 Subconjuntos

Dados os conjuntos \(A\) e \(B\), dizemos que \(A\) est� contido em \(B\), denotado por \(A \subset B\), se todo elemento de \(A\) tamb�m est� em \(B\). Algumas vezes dizemos que um conjunto \(A\) est� propriamente contido em \(B\), quando o conjunto \(B\), al�m de conter os elementos de \(A\), cont�m tamb�m outros elementos. O conjunto \(A\) � um subconjunto de \(B\) e o conjunto \(B\) � o superconjunto que cont�m \(A\).

4 Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: � um conjunto que n�o possui elementos. � representado por \(\{\;\;\}\) ou por \(\emptyset\). O conjunto vazio est� contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: � um conjunto que cont�m todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e tamb�m cont�m todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo � representado por uma letra \(U\). Na sequ�ncia n�o mais usaremos o conjunto universo.

5 Reuni�o de conjuntos

A reuni�o dos conjuntos \(A\) e \(B\) � o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) ou ao conjunto \(B\).

\[A \cup B = \{ x: x \in A \text{ ou } x \in B \}\]

Exemplo: Se \(A=\{a,e,i,o\}\) e \(B=\{3,4\}\) ent�o \(A\cup B=\{a,e,i,o,3,4\}\).

6 Interse��o de conjuntos

A interse��o dos conjuntos \(A\) e \(B\) � o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e ao conjunto \(B\).

\[A \cap B = \{ x: x \in A \text{ e } x \in B \}\]

Exemplo: Se \(A=\{a,e,i,o,u\}\) e \(B=\{1,2,3,4\}\) ent�o \(A\cap B=\emptyset\).

Quando a interse��o de dois conjuntos \(A\) e \(B\) � o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos s�o disjuntos.

7 Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), a reuni�o de \(A\) e \(B\), denotada por \(A\cup B\) e a interse��o de \(A\) e \(B\), denotada por \(A\cap B\), ainda s�o conjuntos no universo que estamos trabalhando.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto \(A\), tem-se que:

   \[A \cup A = A \text{ e } A \cap A = A\]

3. Inclus�o: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:

   \[A \subset A \cup B, B \subset A \cup B, A \cap B \subset A, A \cap B \subset B\]

4. Inclus�o relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:

   \begin{align} A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B \\ A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A \end{align}

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tem-se que:

   \begin{align} A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \end{align}

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\) e \(B\), tem-se que:

   \begin{align} A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A \end{align}

7. Elemento neutro para a reuni�o: O conjunto vazio \(\emptyset\) � o elemento neutro para a reuni�o de conjuntos, tal que para todo conjunto \(A\), se tem:

   \[A \cup \emptyset = A\]

8. Elemento nulo para a interse��o: A interse��o do conjunto vazio \(\emptyset\) com qualquer outro conjunto \(A\), fornece o pr�prio conjunto vazio, isto �,

   \[A \cap \emptyset = \emptyset\]

9. Elemento neutro para a interse��o: O conjunto universo \(U\) � o elemento neutro para a interse��o de conjuntos, tal que para todo conjunto \(A\), se tem:

   \[A \cap U = A\]

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tem-se que:

    \begin{align} A \cap (B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{align}

Os gr�ficos abaixo mostram a distributividade.

8 Diferen�a de conjuntos

A diferen�a entre os conjuntos \(A\) e \(B\) � o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e n�o pertencem ao conjunto \(B\).

\[A-B = \{x: x \in A \text{ e } x \notin B\}\]

Do ponto de vista gr�fico, a diferen�a pode ser vista como:

9 Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto \(B\) contido no conjunto \(A\), denotado por \(C_AB\), � a diferen�a entre os conjuntos \(A\) e \(B\), ou seja, � o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto \(A\) e n�o pertencem ao conjunto \(B\).

\[C_A B = A-B = \{x: x \in A \text{ e } x \notin B\}\]

Graficamente, o complemento do conjunto \(B\) no conjunto \(A\), � dado por:

Quando n�o h� d�vida sobre o universo \(U\) em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra \(c\) posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: \(\emptyset^c=U\) e \(U^c=\emptyset\) .

10 Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reuni�o dos conjuntos \(A\) e \(B\) � a interse��o dos complementares desses conjuntos.

   \[(A \cup B)^c = A^c \cap B^c\]

2. O complementar da reuni�o de uma cole��o finita de conjuntos � a interse��o dos complementares desses conjuntos.

   \[(A_1 \cup A_2 \cup ...\cup A_n)^c = A_1^c \cap A_2^c \cap ...\cap A_n^c\]

3. O complementar da interse��o dos conjuntos \(A\) e \(B\) � a reuni�o dos complementares desses conjuntos.

   \[(A \cap B)^c = A^c \cup B^c\]

4. O complementar da interse��o de uma cole��o finita de conjuntos � a reuni�o dos complementares desses conjuntos.

   \[(A_1 \cap A_2 \cap\cdots\cap A_n)^c = A_1^c \cup A_2^c \cup\cdots\cup A_n^c\]

11 Diferen�a sim�trica

A diferen�a sim�trica entre os conjuntos \(A\) e \(B\) � o conjunto de todos os elementos que pertencem � reuni�o dos conjuntos \(A\) e \(B\) e n�o pertencem � interse��o dos conjuntos \(A\) e \(B\).

\[A \Delta B = \{x: x\in A\cup B \text{ e } x\notin A\cap B \}\]

O diagrama de Venn-Euler para a diferen�a sim�trica �:

Exerc�cio: Dados os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), pode-se mostrar que:

1. \(A=\emptyset\) se, e somente se, \(B=A \Delta B\).
2. O conjunto vazio � o elemento neutro para a opera��o de diferen�a sim�trica. Usar o �tem anterior.
3. A diferen�a sim�trica � comutativa.
4. A diferen�a sim�trica � associativa.
5. \(A \Delta A=\emptyset\) (conjunto vazio).
6. A interse��o entre \(A\) e \(B \Delta C\) � distributiva, isto �:

   \(A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)

7. \(A \Delta B\) est� contida na reuni�o de \(A \Delta C\) e \(B \Delta C\), mas esta inclus�o � pr�pria, isto �:

   \(A \Delta B \subset (A \Delta C) \cup (B \Delta C)\)

O que é um subconjunto próprio?

Quais são os subconjuntos do conjunto?

O que é um conjunto igual?

Como saber o subconjunto de um conjunto?