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Fra��es e n�meros decimais Liliane E.Banzatto Material desta p�gina
1 O papel das fra��es e n�meros DecimaisEsta p�gina trata do estudo de fra��es e n�meros decimais, bem como seus fatos hist�ricos, propriedades, opera��es e aplica��es. As fra��es decimais e n�meros decimais possuem not�ria import�ncia cotidiana. Tais conceitos s�o usados em muitas situa��es pr�ticas, embora, muitas vezes passem despercebidas. Indo ao supermercado comprar \(1/2\) kg de caf� por 2,80 e pagando a compra com uma nota de 5,00, obt�m-se 2,20 de troco. Neste exemplo, observamos o uso de fra��es e n�meros decimais. Atrav�s deste tipo de compra, usamos o conceito de fra��o decimal juntamente com o sistema de pesagem (\(1/2\) kg, n�meros decimais juntamente com o sistema monet�rio. Muitas outras situa��es utilizam de fra��es e n�meros decimais. Nota: Para dividir um n�mero \(X\) por outro n�mero n�o nulo \(Y\), usamos frequentemente a nota��o \(X/Y\), por ser mais simples. 2 Elementos hist�ricos sobre os n�meros DecimaisHoje em dia � comum o uso de fra��es. Houve tempo, por�m que as mesmas n�o eram conhecidas. O homem introduziu o uso de fra��es quando come�ou a medir e representar medidas. Os eg�pcios usavam apenas fra��es que possuiam o n�mero 1 dividido por um n�mero inteiro, como por exemplo: \(1/2\), \(1/3\), \(1/4\), \(1/5\),etc Tais fra��es eram denominadas fra��es eg�pcias e ainda hoje t�m muitas aplica��es pr�ticas das mesmas. Outras fra��es foram descobertas pelos mesmos eg�pcios as quais eram expressas em termos de fra��es eg�pcias, como: \(5/6=1/2+1/3\). Em geral, os babil�nios usavam fra��es com denominador \(60\). Talvez o uso do n�mero \(60\) pelos babil�nios se deve ao fato que � um n�mero menor do que \(100\) com a maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fra��es com denominador \(12\). Provavelmente os romanos usavam o n�mero \(12\) por ser um n�mero que embora pequeno, possui um n�mero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas nota��es foram usadas para representar fra��es. A atual maneira de representa��o data do s�culo XVI. Os n�meros decimais t�m origem nas fra��es decimais. Por exemplo, a fra��o \(1/2\) equivale � fra��o \(5/10\) que equivale ao n�mero decimal \(0,5\). Stevin (engenheiro e matem�tico holand�s), em 1585 ensinou um m�todo para efetuar todas as opera��es por meio de inteiros, sem o uso de fra��es, no qual escrevia os n�meros naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posi��o ocupada pela v�rgula no numeral decimal. A nota��o abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matem�tico escoc�s. \[\dfrac{1437}{1000}=1,\stackrel{1}{4}\stackrel{2}{3}\stackrel{3}{7}\] A representa��o dos algarismos decimais, provenientes de fra��es decimais, recebia um tra�o no numerador indicando o n�mero de zeros existentes no denominador. \[\frac{437}{100} = 437/100 = 4\underline{37}\] Este m�todo foi aprimorado e em \(1617\) Napier prop�s o uso de um ponto ou de uma v�rgula para separar a parte inteira (PI) da parte decimal (PD). \[\frac{437}{100} = 437/100 = 4,\underline{37}\] e mais tarde para \[\frac{437}{100} = 437/100 = 4,37\] Por muito tempo os n�meros decimais foram usados apenas para c�lculos astron�micos em virtude da precis�o proporcionada. Os n�meros decimais simplificaram muito os c�lculos e passaram a ser usados com mais �nfase ap�s a cria��o do sistema m�trico decimal. 3 Fra��es e N�meros DecimaisDentre todas as fra��es, existe um tipo especial cujo denominador � uma pot�ncia de \(10\). Este tipo � denominado fra��o decimal. Exemplos de fra��es decimais, s�o: \[\frac{1}{10},\quad \frac{3}{100},\quad \frac{23}{100},\quad \frac{1}{1000},\quad \frac{1}{10^3}\] Toda fra��o decimal pode ser representada por um n�mero decimal, isto �, um n�mero que tem uma parte inteira (PI) e uma parte decimal (PD), separados por uma v�rgula. A fra��o \(127/100=\frac{127}{100}\) pode ser escrita na forma mais simples, como: \[127/100 = 1,27\] onde \(1\) representa a parte inteira e \(27\) representa a parte decimal. Esta nota��o subentende que a fra��o \(127/100\) pode ser decomposta na seguinte forma: \[\begin{align*} \frac{127}{100} & = \frac{100+27}{100}\\ & = \frac{100}{100}+\frac{27}{100}\\ & = 1 + 0,27 = 1,27 \end{align*}\] A fra��o \(\frac{8}{10}=8/10=0,8\), onde 0 � a parte inteira e 8 � a parte decimal. Aqui notamos que este n�mero decimal � menor do que \(1\) pois o numerador � menor do que o denominador da fra��o. 4 Leitura de n�meros decimaisPara ler n�meros decimais, primeiro devemos observar a posi��o da v�rgula que separa a parte inteira (PI) da parte decimal (PD). Um n�mero decimal pode ser posto na forma gen�rica: Centenas, Dezenas, Unidades, D�cimos, Cent�simos, Mil�simos Por exemplo, o n�mero 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena, 3 dezenas, 0 unidades, 8 d�cimos, 2 cent�simos e 4 mil�simos Exemplos:
5 Transformando fra��es decimais em n�meros decimaisPodemos escrever a fra��o decimal \(1/10\) como: \(0,1\). Esta fra��o � lida como: um d�cimo. A v�rgula separa a parte inteira(PI) da parte fracion�ria (PF): \[\begin{matrix} \hline \text{PI} & \text{v�rgula} & \text{PF} \\ \hline 0 & , & 1 \\ \hline \end{matrix}\] Uma outra situa��o mostra que a fra��o decimal \(231/100\) pode ser escrita como \(2,31\), que se l� da seguinte maneira: dois inteiros e trinta e um cent�simos. A v�rgula separa a parte inteira da parte fracion�ria: \[\begin{matrix} \hline \text{PI} & \text{v�rgula} & \text{PF} \\ \hline 2 & , & 31 \\ \hline \end{matrix}\] Em geral, transforma-se uma fra��o decimal em um n�mero decimal fazendo com que o numerador da fra��o tenha o mesmo n�mero de casas decimais que o n�mero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divis�o do numerador pelo denominador. Por exemplo:
6 Transformando n�meros decimais em fra��es decimaisTamb�m � poss�vel transformar um n�mero decimal em uma fra��o decimal. Para isto, toma-se como numerador o n�mero decimal sem a v�rgula e como denominador a unidade (\(1\)) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do n�mero dado. Como exemplo, temos:
7 Propriedades dos n�meros decimais7.1 Anexar zeros ap�s o �ltimo algarismoUm n�mero decimal n�o se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros � direita do �ltimo algarismo n�o nulo de sua parte decimal. Por exemplo:
7.2 Multiplicando por uma pot�ncia de 10Para multiplicar um n�mero decimal por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a v�rgula para a direita 1, 2, ou 3 casas decimais. Por exemplo:
7.3 Dividindo por uma pot�ncia de 10Para dividir um n�mero decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a v�rgula para a esquerda 1, 2, 3, etc casas decimais. Por exemplo:
8 Opera��es com n�meros decimais8.1 Adi��o e Subtra��oPara somar ou subtrair n�meros decimais, devemos seguir alguns passos: Passo1: Igualar a quantidade de casas decimais dos n�meros decimais a serem somados ou subtra�dos acrescentando zeros � direita de suas partes decimais. Por exemplo:
Passo2: Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
Duas situa��es: Uma com 2,4+1,713: \[\begin{array}{cl} \hline & 2,400 \\ + & 1,713 \\ \hline & 4,113 \\ \hline \end{array}\] e outra com 2,4-1,723: \[\begin{array}{cl} \hline & 2,400 \\ - & 1,713 \\ \hline & 0,687 \\ \hline \end{array}\] 8.2 Multiplicando n�meros decimaisMultiplicamos dois n�meros decimais transformando cada um deles em fra��es decimais e realizando a multiplica��o com numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo: \[\begin{align*} 2,25{\times}3,5 & = \frac{225}{100} {\times} \frac{35}{10} \\ & = \frac{225{\times}35}{100{\times}10} \\ & = \frac{7875}{1000} = 7,875 \end{align*}\] Podemos tamb�m multiplicar os n�meros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas com as casas do multiplicador. Por exemplo: \[\begin{array}{rcll} \hline 225 & 2,25 & \text{2 casas decimais} & \text{multiplicando} \\ 35 & 3,5 & \text{1 casa decimal} & \text{multiplicador} \\ \hline 7875 & 7,875 & \text{3 casas decimal} & \text{produto} \\ \hline \end{array}\] 8.3 Dividindo n�meros decimaisComo visto antes, se multiplicamos tanto o dividendo como o divisor de uma fra��o por 10, 100 ou 1000, o quociente n�o se altera. Usando essas informa��es podemos efetuar divis�es entre n�meros decimais como se fossem divis�es de n�meros inteiros. Por exemplo, para realizar a divis�o: \(3,6�0,4\), notamos que tanto o dividendo como o divisor possuem apenas uma casa decimal, assim, multiplicando o numerador e o denominador da fra��o por 10, obtemos n�meros inteiros no numerador e no denominador da fra��o. Na pr�tica, dizemos que estamos cortando a v�rgula. \[3,6�0,4=\frac{3,6}{0,4}=\frac{3,6{\times}10}{0,4{\times}10}=\frac{36}{4}=9\] A divis�o \(0,35�7\) pode ser escrita na forma: \[\frac{0,35}{7} =\frac{0,35{\times}100}{7{\times}100} = \frac{35}{700} = \frac{35�7}{700�7} = \frac{5}{100} = 0,05\] Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor � um inteiro, logo multiplicamos ambos por \(100\) para que o quociente n�o se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor ser�o inteiros. Exerc�cio: Uma pessoa de bom cora��o doou \(35\) medidas de terra para \(700\) pessoas. Sabendo-se que cada medida corresponde a \(24.200\) metros quadrados, qual ser� a �rea que cada um receber�? 8.4 Dividindo um n�mero por outro maiorVamos considerar a divis�o de \(35\div 700\). Transformamos o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, etc, para obter 350 d�cimos, 3500 cent�simos, etc at� que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divis�o se torne poss�vel. Neste caso, devemos multiplicar por 100. Assim a divis�o de 35 por 700 � transformada numa divis�o de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma v�rgula ap�s o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente fica dividido por 100. \[\begin{array}{rr|ll} \hline \text{dividendo} & 3500 & 700 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & 0,05 & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\] Realizamos a divis�o de 3500 por 700 para obter 5, lembramos que foram anexados 2 zeros e conclu�mos que agora devemos dividir por 100, para obter 0,35/7=35/700=0,05. 8.5 Divis�o de 10 por um n�mero naturalA divis�o \(10\div 16\) n�o resulta em um inteiro no quociente. Como \(10<16\), o quociente da divis�o n�o � um inteiro, assim para dividir o n�mero 10 por 16, montamos uma tabela semelhante � divis�o de dois n�meros inteiros. \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 10 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & {} & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\]
9 Compara��o de n�meros decimaisA compara��o de n�meros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses n�meros. Para isso, fazemos uso dos sinais: \(>\) (maior), \(<\) (menor) ou \(=\) (igual). 9.1 N�meros com partes inteiras diferentesO maior n�mero � aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:
9.2 N�meros com partes inteiras iguaisIgualamos o n�mero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necess�rios. Ap�s esta opera��o, temos dois n�meros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual � o maior deles. Alguns exemplos, s�o:
10 PorcentagemAo abrir um jornal, ligar uma televis�o, olhar vitrines, � comum depararmos com express�es do tipo:
A porcentagem � um modo de comparar n�meros usando a propor��o direta, onde uma das raz�es da propor��o � uma fra��o cujo denominador � \(100\). Toda raz�o \(a/b\) na qual \(b=100\) chama-se porcentagem. Exemplos:
Quantos números entre 1.000 e 8.000 podemos formar usando apenas 1 3 5?Existem 96 números entre 1000 e 8000 formados com apenas 1, 3, 5, 7 e 9.
Quantos números de 5.000 a 6999 contém pelo menos um número 3?Resposta verificada por especialistas
De 5000 a 6999, temos 6999 - 5000 + 1 = 2000 números , que contém o algarismo 3 ou sem o 3.
Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 5 6 8 e 9 *?Resposta. Explicação passo a passo: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? Logo, pelo princípio multiplicativo ou fundamental da contagem (PFC): há 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 4 5 6 7e8?com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7 e 8, é possível criar 336 distintos números de três algarismos.
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