Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais aos números 3 + 5 e 7

Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica.

Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade:

a + b + c = 180

Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois.

Exemplos

1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir?

Solução:

Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever:

α + 50 + 50 = 180

α = 180 – 50 – 50

α = 80°

2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir.

Solução:

Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever:

2x + 3x + 4x = 180

9x = 180

x = 180
     9

x = 20

Demonstração

O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ânguloraso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida.

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Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo.

Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir:

Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo:

Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir.

Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto:

α + β + γ = 180°

Em uma determinada prova, um candidato que acertou 12 questões recebeu um total de 39 pontos. Sabendo que o valor das questões é sempre o mesmo, um candidato que obteve 52 pontos acertou um total de:

A) 15 questões

B) 16 questões

C) 17 questões

D) 18 questões

E) 20 questões

Os ângulos de um triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6, então, a medida do seu menor ângulo é de:

A) 12º

B) 36º

C) 48º

D) 60º

E) 72º

Uma herança de R$ 3.000.000 será dividida de forma diretamente proporcional entre as idades dos três herdeiros. Sabendo que eles possuem 24, 28 e 44 anos, o herdeiro de maior idade receberá um total de:

A) R$ 950.000

B) R$ 975.000

C) R$ 1.225.000

D) R$ 1.375.000

E) R$ 1.625.000

Um automóvel percorreu 272 km e consumiu um total de 32 litros de etanol. Supondo que esse consumo se mantenha o mesmo, e que o tanque do carro tem capacidade máxima de 50 litros, então, a quantidade de quilômetros que esse automóvel percorre quando está de tanque cheio é igual a:

A) 280 km

B) 298 km

C) 350 km

D) 375 km

E) 425 km

Das situações a seguir, marque aquela que contém uma relação entre duas grandezas diretamente proporcionais:

A) Velocidade de um automóvel e o tempo que ele demora para fazer determinado percurso.

B) Tempo de funcionamento de um aparelho eletrônico e a energia consumida.

C) Quantidade de funcionários para executar um serviço e o número de acidentes de trabalho ocorridos.

D) Número de eleitores e a quantidade de votos obtidos por um determinado candidato.

(Enem 2012) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos.

Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes.

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é

A) 153.

B) 460.

C) 1218.

D) 1380.

E) 3066.

Para a produção de 15 litros de etanol, são necessários 187,5 kg de cana-de-açúcar. Com um total de 250 kg de cana-de-açúcar, é possível produzir um total de:

A) 18 L

B) 20 L

C) 22 L

D) 25 L

E) 30 L

(OMNI) Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou calculado, porém quando analisamos duas grandezas proporcionais, elas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Sabendo disso, analise as alternativas abaixo e marque a opção CORRETA.

A) Distância e tempo são grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior a distância que precisa ser percorrida, menos tempo será gasto no percurso.

B) Velocidade e quantidade de alimento comprado por uma família são grandezas diretamente proporcionais.

C) Em um churrasco, a quantidade de carne e a quantidade de pessoas são grandezas diretamente proporcionais.

D) Velocidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade, menor o tempo gasto em um percurso.

Na bula de um remédio para crianças, a dosagem recebida é diretamente proporcional ao peso da criança. Sabendo que são recomendadas 3 gotas do medicamento a cada 2 kg, então, a dosagem oferecida para uma criança que tem 18 kg é de:

A) 22 gotas

B) 24 gotas

C) 27 gotas

D) 30 gotas

E) 54 gotas

Em uma fábrica de luvas, uma certa máquina, funcionando 5 horas por dia, consegue fabricar um total de 14.000 luvas. Devido a um pedido de emergência de produção para atender a demanda da pandemia, a fábrica realizou uma produção de 33.600 luvas. O tempo de funcionamento dessa máquina para realizar essa produção é de:

A) 8 horas

B) 9 horas

C) 10 horas

D) 11 horas

E) 12 horas

(UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²?

A) 4 horas

B) 5 horas

C) 7 horas

D) 9 horas

Os ângulos de um quadrilátero são diretamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 7. Então, a medida do menor ângulo desse quadrilátero é igual a:

A) 45º

B) 75º

C) 90º

D) 180º

E) 35º

Alternativa B

Sabemos que a pontuação é diretamente proporcional à quantidade de pontos, então, temos que:

Alternativa C

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º, e que 4 + 5 + 6 =15, então, 15 está para 180º, assim como 4 está para o menor ângulo:

Alternativa D

Ao realizar a soma das idades, temos que 24 + 28 + 44 = 96, então, 96 está para 3.000.000, assim como 44 está para x, em que x é a herança recebida pelo herdeiro de maior idade:

Alternativa E

Sabemos que o consumo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Seja x a quantidade de quilômetros que o veículo faz com 50 litros, então, temos que:

Alternativa B

O tempo de funcionamento de um aparelho é diretamente proporcional à energia consumida, pois quanto maior o tempo de funcionamento, maior será o consumo, e sabemos que esse aumento será de forma proporcional.

Alternativa D

Montando a proporção, temos que:

Agora basta multiplicar por R$ 3:

460 · 3 = 1380

Alternativa B

Seja x a quantidade de litros produzidos por 280 kg, montando a proporção, temos que:

Alternativa C

Sabemos que quanto maior a quantidade de pessoas, maior deve ser a quantidade de carne, e esse aumento é de forma proporcional.

Alternativa C

Sabemos que são gastas 3 gotas para cada 2 kg, então, de forma proporcional, se a criança tem 18 kg, basta dividir seu peso por 2, e multiplicar por 3, ou seja, 18 : 2 = 9 e 9 · 3 = 27 gotas.

Alternativa E

De forma proporcional, sabemos que 5 está para 14.000, assim como x está para 33.600.

Alternativa C

Montando a proporção, temos que:

Alternativa A

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º. Realizando a soma dos números 2 + 3 + 4 + 7 = 16, então sabemos que 16 está para 360º assim como 2 está para o menor ângulo, representado por x. Montando a proporção, temos que:

Como calcular os ângulos internos de um triângulo?

Qual é o número de ângulos internos de um triângulo?

O que são os ângulos internos de um triângulo?

Qual é a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo?