Uma função é classificada como polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio. Esse tipo de função é bastante comum para descrever situações cotidianas. Show
Definimos como função polinomial uma função em que a lei de formação é um polinômio. Existem diferentes tipos de funções polinomiais, que são nomeadas de acordo com o grau do polinômio que descreve a sua lei de formação, como a função polinomial do 1º grau, a função polinomial do 2º grau e assim sucessivamente. Para calcular o valor numérico de uma função polinomial, basta substituir o valor dado em sua lei de formação e calcular o valor numérico da expressão algébrica. Ao realizar o estudo de funções polinomiais, é bastante recorrente a representação gráfica da função. Quando representamos uma função polinomial do 1º grau no plano cartesiano, o seu gráfico é sempre uma reta. Já a função polinomial do 2º grau possui o gráfico no formato de uma parábola. É possível também fazer a representação gráfica de funções polinomiais com graus maiores, se necessário. Leia também: Diferenças entre função e equação Resumo
f(x) = an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O que é uma função polinomial?Conhecemos como função polinomial qualquer função f: A → B em que a lei de formação é um polinômio de grau n. f(x) = an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0
Exemplos:
Grau de uma função polinomialPara saber qual é o grau da função polinomial, analisamos o grau do polinômio que descreve essa função. O grau do polinômio é o maior expoente que existir na incógnita. O grau da função polinomial é fundamental para compreender melhor qual é o comportamento da função.
A função polinomial do 1º grau é conhecida também como função afim, e a sua lei de formação é f(x) = ax+b. Exemplos:
Leia também: Estudo do sinal da função afim
A função polinomial do 2º grau é também conhecida como função quadrática. Para que uma função polinomial seja do 2º grau, é necessário que a sua lei de formação seja do tipo f(x) = ax² + bx + c. Exemplos:
A função polinomial do 3º grau é conhecida também como função cúbica. Para que a função seja cúbica, sua lei de formação deve ser f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Exemplos:
Conhecemos como função polinomial do 4º grau a função cuja lei de formação é um polinômio do tipo f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e. Exemplos:
Utilizando a mesma ideia aplicada nas anteriores, a lei de formação da função polinomial do 5º grau é f(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx² + ex + f. Exemplos:
A lei de formação de uma função polinomial do 6º grau é f(x) = ax6 + bx5 + cx4 + dx³ + ex² + fx + g. Exemplos:
Valor numérico da funçãoO valor numérico da função quando x = k nada mais é do que f(k). Para calculá-lo, basta substituir o valor desejado no lugar da incógnita. Exemplo: Dada a função f(x) = x4 + x³ – 3x² – 5x + 1, calcule f(2). Resolução: Queremos o valor numérico da função quando x =2, então, substituindo na lei de formação, temos que: f(2) = 24 + 2³ – 3·2² – 5·2 + 1 f(2) = 16 + 8 – 3·4 – 10 + 1 f(2) = 24 – 12 – 10 + 1 f(2) = 12 – 10 + 1 f(2) = 2 + 1 f(2) = 3 Leia também: Estudo da variação do sinal de uma função do 2° grau Gráfico da função polinomialQuando encontramos o valor numérico da função para determinados valores de x, é possível representar esse valor numérico no plano cartesiano como pontos do tipo (k, f(k)). Ao fazer a representação de vários pontos no plano cartesiano, é possível compreender o comportamento da função.
Funções do tipo f(x) = ax +b possuem como gráfico uma reta. Vejamos a representação gráfica da função f(x) = x+1:
Funções do segundo grau possuem como gráfico uma parábola. Vejamos o gráfico da função f(x) = x² – 2:
O gráfico de uma função do 3º grau é conhecido como cúbica. Vejamos o exemplo do gráfico da função f(x) = x³ – 2x: Igualdade de polinômiosPara comparar dois polinômios que possuem mesma variável, é necessário que os termos do mesmo grau tenham o mesmo coeficiente. Exemplo: Dados os polinômios p(x) e q(x), encontre o valor de a, b e c para que p(x) = q(x).
Resolução: Para que p(x) seja igual a q(x), primeiro vamos igualar o coeficiente de x²: a – 5 = – 2 a = – 2 + 5 a = 3 Agora igualamos os coeficientes de x: b – 1 = 4 b = 4 + 1 b = 5 Por fim, falta igualar os termos independentes: c = – 5 Leia também: Equação polinomial — expressão envolvendo um polinômio e uma igualdade Operações com polinômiosPara trabalhar com funções polinomiais, é importante o domínio das operações básicas entre polinômios.
Na adição de polinômios, fazemos uma simplificação dos termos semelhantes. Exemplo: Calcule p(x) + q(x) sabendo que p(x) = 2x² + 3x – 5 e q(x) = x³ + 3x² + x + 2. Resolução: p(x) + q(x) = (2x² + 3x – 5) + (x³ + 3x² + x + 2) Somando os termos semelhantes, temos que: 2x² + 3x² = 5x² 3x + x = 4x – 5 + 2 = – 3 Note também que não há nenhum termo semelhante ao x³, então a soma dos polinômios será: p(x) + q(x) = x³ + 5x² +4x – 3
A subtração é análoga à adição, ou seja, vamos simplificar os termos semelhantes; porém, antes, é necessário trocar o sinal de todos os termos do segundo polinômio. Exemplo: Calcule p(x) – q(x) sabendo que p(x) = 2x² + 3x – 5 e q(x) = x³ + 3x² + x + 2. Resolução: p(x) – q(x) = (2x² + 3x – 5) – (x³ + 3x² + x + 2) Primeiro vamos escrever o oposto de cada um dos termos do segundo polinômio. p(x) – q(x) = (2x² + 3x – 5) + (– x³ – 3x² – x – 2) Agora, simplificando os termos semelhantes: 2x² – 3x² = – x² 3x – x = 2x – 5 – 2 = – 7 Não há nenhum termo semelhante ao – x³, então a subtração será: p(x) – q(x) = – x³ – x² + 2x – 7
Para realizar a multiplicação de polinômios, utilizamos a propriedade distributiva. Exemplo: Dados os polinômios p(x) = 2x + 1 e q(x) = x – 3, calcule p(x) · q(x). Resolução: p(x) · q(x) = (2x + 1) ( x – 3) p(x) · q(x) = 2x² – 6x + x – 3 Agora, se possível, simplificamos os termos semelhantes: p(x) · q(x) = 2x² – 5x – 3
Para realizar a divisão entre dois polinômios, utilizamos o método de chaves, que é o mesmo utilizado para dividir dois números quaisquer. Exemplo: Calcule a divisão entre p(x) = x² – x + 6 e q(x) = x – 3. Resolução: Leia também: Função exponencial — a função que sua variável está no expoente Exercícios resolvidos sobre função polinomialQuestão 1 O valor de uma corrida de um táxi é calculado por meio de uma função que relaciona a distância percorrida d em quilômetros, além da taxa fixa de R$ 4,50, conhecida como bandeira fixa. Sabendo que o valor por km rodado é de R$ 2,75, o valor pago por esse cliente após rodar 8 km é de: A) R$ 22,00 Resolução: Alternativa C. Primeiro vamos descrever a função que relaciona o valor pago V pela quantidade de km percorridos. Sabemos que são cobrados 2,75 por km rodado, além da taxa fixa de 4,50. V(d) = 2,75d + 4,50 Queremos o valor numérico para d = 8: V(8) = 2,75 · 8 + 4,50 V(8) = 22 + 4,50 V(8) = 26,50 Questão 2 Das alternativas a seguir, marque aquela que contém uma função polinomial. Resolução: Alternativa D.
O que é função polinomial do 2o grau?Uma função é classificada como de segundo grau quando ela pode ser expressa na forma de y = ax² + bx + c. Em outras palavras, ela precisa ter ao menos uma incógnita (majoritariamente representada pela letra “x”) elevada ao quadrado, sendo assim, o coeficiente “a” obrigatoriamente precisa ser diferente de zero.
Como fazer uma função polinomial do 2 grau?Tal função pode ser escrita como f(x) = ax² + bx + c. A função de segundo grau, também chamada de função quadrática ou função polinomial do 2° grau, é escrita como: f(x) = ax² + bx + c. Sendo os coeficientes "a, b e c" números reais e "a" diferente de 0 (zero).
O que é função polinomial exemplos?O que é uma função polinomial? Uma função polinomial ou polinômio é classificada pelo seu grau, que é o maior expoente da função com coeficiente não nulo. a) Exemplo: f(x) = x⁴ + 2 , g(x) = x² – 3x . O grau do polinômio resultante da multiplicação entre f(x) e g(x) é 6.
Qual diferença uma função polinomial do 1º grau é uma função do 2º grau?Por exemplo, quando o polinômio da lei de formação possui grau 1, a função é conhecida como função polinomial do 1º grau, ou função afim; quando possui grau 2, a função é chamada de função do 2º grau ou função polinomial do 2º grau.
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