Quando duas grandezas são inversamente proporcionais é correto afirmar que?

GRANDEZA DIRETAMENTE & INVERSAMENTE PROPORCIONAL

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O que significa dizer que duas grandezas são inversamente proporcionais?
Como saber se os números são inversamente proporcionais?
Como saber se uma questão e inversamente proporcional?
Como funciona as grandezas inversamente proporcionais?

Professor Diminoi

Grandeza

Grandeza é o que pode ser medido. A grandeza não é o objeto que pode ser medido, mas a medida que é possível ser observada nele, como: distância, peso, velocidade etc.

As grandezas também podem ser verificadas em razoes, como é o caso da velocidade, que é uma grandeza resultante da divisão entre distância e tempo, os quais, por sua vez, são outras duas grandezas.

Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, como o comprimento que pode ser determinado por uma régua

O que é proporcionalidade entre grandezas?

A razão entre duas grandezas é algo comum, que pode ser feito para avaliá-las e para obter outras grandezas e propriedades como resultado. Quando existe uma igualdade entre duas razões distintas, obtidas pela divisão entre duas grandezas em momentos distintos, ela é chamada de proporcaso, e as grandezas, nesse caso, são ditas proporcionais. Essa é a forma usada para os cálculos que envolvem regra de tres, por exemplo.

Exemplo 1:

Um automóvel se locomova a 50 km/h e, em determinado período de tempo, percorra 100 km. Se esse automóvel estivesse a 100 km/h, dentro desse mesmo intervalo de tempo, o espaço percorrido por ele seria de 200 km.

Resolucao

A razão entre velocidade e espaço percorrido desse automóvel pode ser avaliada em dois momentos distintos e possui resultados iguais: 0,5.

50 = 100 = 0,5
100 200

Isso significa que as grandezas são proporcionais, isto é, a variação de uma das grandezas faz com que a outra também sofra variação na mesma taxa que a primeira. Dessa forma, ao dobrarmos a velocidade do automóvel, dobramos também o espaço percorrido por ele em um mesmo intervalo de tempo.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Pelo fato de duas grandezas serem proporcionais, quando os valores de uma são alterados, os valores da outra também são alterados, por consequência, na mesma proporção que a primeira. Dizemos que as grandezas A e B são diretamente proporcionais quando, aumentando a medida da grandeza A, a medida da grandeza B aumenta, em consequência disso, na mesma proporção.

Se duas grandezas forem diretamente proporcionais, diminuir a medida da grandeza A fará com que a medida da grandeza B também diminua na mesma proporção, por isso, a palavra diretamente é usada para representar esse tipo de proporcionalidade entre grandezas.

Na situação apresentada anteriormente, o automóvel dobrou a velocidade, e isso fez o espaço percorrido dobrar.

A consequência do aumento da velocidade foi um aumento no espaço percorrido, na mesma proporção da velocidade. Por esse motivo, as grandezas velocidade e espaço percorrido são diretamente proporcionais na situação avaliada.

QUESTOES RESOLVIDAS

01) Em uma determinada prova, um candidato que acertou 12 questões recebeu um total de 39 pontos. Sabendo que o valor das questões é sempre o mesmo, um candidato que obteve 52 pontos acertou um total de:

(A) 15 questões

(B) 16 questões

(D) 18 questões

(E) 20 questões

Resolucao

Sabemos que a pontuação é diretamente proporcional à quantidade de pontos, então, temos que:

Alternativa B

02) Os ângulos de um triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6, então, a medida do seu menor ângulo é de:

(A) 12º

(B) 36º

(D) 60º

(E) 72º

Resolucao

Sabemos que a soma dos angulos internos de um triangulo é sempre igual a 180º, e que 4 + 5 + 6 =15, então, 15 está para 180º, assim como 4 está para o menor ângulo:

Alternativa C

03) Uma herança de R$ 3.000.000 será dividida de forma diretamente proporcional entre as idades dos três herdeiros. Sabendo que eles possuem 24, 28 e 44 anos, o herdeiro de maior idade receberá um total de:

(A) R$ 950.000

(B) R$ 975.000

(D) R$ 1.375.000

(E) R$ 1.625.000

Resolucao

Ao realizar a soma das idades, temos que 24 + 28 + 44 = 96, então, 96 está para 3.000.000, assim como 44 está para x, em que x é a herança recebida pelo herdeiro de maior idade:

Alternativa D

04) Um automóvel percorreu 272 km e consumiu um total de 32 litros de etanol. Supondo que esse consumo se mantenha o mesmo, e que o tanque do carro tem capacidade máxima de 50 litros, então, a quantidade de quilômetros que esse automóvel percorre quando está de tanque cheio é igual a:

(A) 280 km

(B) 298 km

(D) 375 km

(E) 425 km

Resolucao

Sabemos que o consumo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Seja x a quantidade de quilômetros que o veículo faz com 50 litros, então, temos que:

Alternativa E

05) Das situações a seguir, marque aquela que contém uma relação entre duas grandezas diretamente proporcionais:

(A) Velocidade de um automóvel e o tempo que ele demora para fazer determinado percurso.

(B) Tempo de funcionamento de um aparelho eletrônico e a energia consumida.

(D) Número de eleitores e a quantidade de votos obtidos por um determinado candidato.

Resolucao

O tempo de funcionamento de um aparelho é diretamente proporcional à energia consumida, pois quanto maior o tempo de funcionamento, maior será o consumo, e sabemos que esse aumento será de forma proporcional.

Alternativa B

06) (Enem) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos.

Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes.

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é

(A) 153.

(B) 460.

(D) 1380.

(E) 3066.

Resolucao

Montando a proporção, temos que:

Agora basta multiplicar por R$ 3:

460 · 3 = 1380

Alternativa D

07) Para a produção de 15 litros de etanol, são necessários 187,5 kg de cana-de-açúcar. Com um total de 250 kg de cana-de-açúcar, é possível produzir um total de:

(A) 18 L

(B) 20 L

(D) 25 L

(E) 30 L

Resolucao

Seja x a quantidade de litros produzidos por 280 kg, montando a proporcao, temos que:

Alternativa B

08) (OMNI) Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou calculado, porém quando analisamos duas grandezas proporcionais, elas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Sabendo disso, analise as alternativas abaixo e marque a opção CORRETA.

(A) Distância e tempo são grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior a distância que precisa ser percorrida, menos tempo será gasto no percurso.

(B) Velocidade e quantidade de alimento comprado por uma família são grandezas diretamente proporcionais.

(D) Velocidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade, menor o tempo gasto em um percurso.

Resolucao

Sabemos que quanto maior a quantidade de pessoas, maior deve ser a quantidade de carne, e esse aumento é de forma proporcional.

Alternativa C

09) Na bula de um remédio para crianças, a dosagem recebida é diretamente proporcional ao peso da criança. Sabendo que são recomendadas 3 gotas do medicamento a cada 2 kg, então, a dosagem oferecida para uma criança que tem 18 kg é de:

(A) 22 gotas

(B) 24 gotas

(D) 30 gotas

(E) 54 gotas

Resolucao

Sabemos que são gastas 3 gotas para cada 2 kg, então, de forma proporcional, se a criança tem 18 kg, basta dividir seu peso por 2, e multiplicar por 3, ou seja, 18 : 2 = 9 e 9 · 3 = 27 gotas.

Alternativa C

10) Em uma fábrica de luvas, uma certa máquina, funcionando 5 horas por dia, consegue fabricar um total de 14.000 luvas. Devido a um pedido de emergência de produção para atender a demanda da pandemia, a fábrica realizou uma produção de 33.600 luvas. O tempo de funcionamento dessa máquina para realizar essa produção é de:

(A) 8 horas

(B) 9 horas

(D) 11 horas

(E) 12 horas

Resolucao

De forma proporcional, sabemos que 5 está para 14.000, assim como x está para 33.600.

Alternativa E

11) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²?

(A) 4 horas

(B) 5 horas

(D) 9 horas

Resolucao

Montando a proporção, temos que:

Alternativa C

12) Os ângulos de um quadrilátero são diretamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 7. Então, a medida do menor ângulo desse quadrilátero é igual a:

(A) 45º

(B) 75º

(D) 180º

(E) 35º

Resolucao

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilatero é sempre igual a 360º. Realizando a soma dos números 2 + 3 + 4 + 7 = 16, então sabemos que 16 está para 360º assim como 2 está para o menor ângulo, representado por x. Montando a proporção, temos que:

Alternativa A

13) (Vunesp) Para uma prova, 150 candidatos deveriam ser acomodados nas salas A, B, C e D de um colégio, com capacidade para receber 60, 50, 40 e 30 candidatos, respectivamente. A organização decidiu preencher inicialmente todos os lugares da sala menor, e os candidatos restantes foram repartidos entre as demais salas de forma diretamente proporcional à capacidade de cada uma. O número de lugares não ocupados na sala de maior capacidade foi igual a:

(A) 8

(B) 10

(D) 14

(E) 16

Resolucao

Sabendo que a sala menor será toda preenchida, 150 – 30 = 120 candidatos restantes. Os 120 candidatos restantes serão divididos de forma proporciaonal, então, sabemos que:

Sabemos que:

A + B + C = 120

Substituindo os valores encontrados, temos que:

60k + 50k + 40k = 120

150k = 120

k = 120/150

k = 0,8

Dessa forma, a ocupação de cada uma das salas será:

60k → 60 · 0,8 = 48

Como há uma capacidade de 60 lugares, 60 – 48 = 12 lugares não ocupados.

Alternativa C

14) (Enem) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos.

Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes.

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é

(A) 153.

(B) 460.

(D) 1380.

(E) 3066.

Resolucao

Sabendo que a criança precisa de 9200 tíquetes, e que ela ganha 20 por período, ao realizar a divisao, encontraremos quantos períodos ela jogará.

9200 : 20 = 460

Para cada período, gasta-se R$ 3. Sendo assim, 460 · 3 = 1380.

Alternativa D

15) (Enem)

Fontes alternativas

Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura animal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o óleo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14 milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel.

Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 (adaptado).

Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha transformada e o volume de biodiesel produzido.

Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente,

(A) 6 milhões.

(B) 33 milhões.

(D) 146 milhões.

(E) 384 milhões.

Resolucao

Sabendo que 14 milhões de quilogramas de banha são convertidos em 112 milhões de litros de biodiesel, ao dividir 112 milhões por 14, vamos encontrar quantos litros de biodiesel podem ser produzidos com 1 milhão de quilogramas de banha.

112 : 14 = 8, ou seja, 1 milhão de kg de banha é convertido em 8 milhões de litros de biodiesel. Agora, para saber quantos kg de banha são necessários para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, basta dividir 48 por 8.

48 : 8 = 6 milhões

Alternativa A

16) (Enem) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos.

Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.

De acordo com as informações do gráfico,

(A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.

(B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.

(D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.

(E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.

Resolucao

Sabe-se que existe sim relação entre o tabagismo e os casos de câncer de pulmão, porém, analisando o gráfico, é possível perceber que o crescimento não é proporcional, note que, em alguns intervalos, os casos de câncer são constantes.

Alternativa E

17) Os ângulos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 15, então, podemos afirmar que o menor ângulo mede:

(A) 108º

(B) 50,4º

(D) 42º

(E) 50,4º

Resolucao

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º.

Seja x, y, e z os ângulos do triângulo, como eles são proporcionais a 3,7 e 15, então, temos que:

x = 3 · 7,2 = 21,6º

y = 7 · 7,2 = 50,4º

z = 15 · 7,2 = 108º

Alternativa C

18) Os lados de um retângulo são proporcionais a 2 e 3. Sabendo que a sua área é de 216 m², as dimensões dos retângulos são, respectivamente:

(A) 12 e 18

(B) 4 e 54

(D) 10 e 26

(E) 13,5 e 16

Resolucao

Sabendo que os lados são proporcionais a 2 e 3, então, seja x e y os lados do retangulo, existe k, tal que:

Assim, temos que:

x = 2k

y = 3k

Sabendo que a área é 216 m², então, temos que:

A = 2k · 3k = 6k²

6k² = 216

k² = 216/6

k² = 36

k = √36

k = 6

Alternativa A

19) Uma herança de R$ 1.500.000 foi dividida entre os filhos de forma diretamente proporcional à idade de cada um deles. Sabendo que há três filhos, com 14, 16 e 20 anos de idade, podemos afirmar que o filho do meio receberá:

(A) R$ 600.000

(B) R$ 420.000

(D) R$ 500.000

(E) R$ 450.000

Resolucao

Sejam A, B e C os filhos de 14, 16 e 20 anos, respectivamente:

x = 14k

y = 16k

z = 20k

Então, temos que:

14k + 16k + 20k = 1.500.000

50k = 1.5000.000

k = 1.500.000/50

k = 30.000

y = 16 · 30.000 = 480.000

Alternativa C

20) Os ângulos de um quadrilátero são proporcionais a 3, 6, 12, 15. Assim, podemos afirmar que o valor do maior ângulo é:

(A) 150º

(B) 120º

(D) 30º

(E) 135º

Resolucao

A soma dos angulos internos de um quadrilátero é igual a 360º. Sejam x, y, z e w os ângulos do quadrilateros, temos que:

Alternativa A

21) A idade de três irmãos é diretamente proporcional a 4, 6 e 10 anos. Sabendo que a soma da idade dos três é igual a 70, podemos afirmar que o mais novo possui:

(A) 10 anos

(B) 12 anos

(D) 16 anos

(E) 18 anos

Resolucao

Como as idades são proporcionais, e sejam A, B e C as idades de cada um desses irmãos, então, temos que:

Assim, temos que:

A = 4k

B = 6k

C = 10k

Sabendo que a soma é igual a 70, então:

4k + 6k + 10 k = 70

20k = 70

k = 70/20

k = 3,5

Como queremos a idade do mais novo:

A = 4 · 3,5 = 14 anos

Alternativa C

22) Um automóvel faz 35 km com 5 litros de etanol. Realizando uma viagem de uma cidade para outra, com base nesse consumo, qual deve ser a quantidade de etanol necessária para percorrer 196 km?

(A) 28 litros

(B) 25 litros

(D) 30 litros

(E) 18 litros

Resolucao

Sabendo que existe proporção entre a distância percorrida e o consumo de combustível, ao dividir 35 por 5, encontraremos o consumo 35 : 5 = 7 km/l. Sabendo que a viagem é de 196 km, 196 : 7 = 28 litros.

Alternativa A

23) Das relações entre as grandezas a seguir, identifique aquela que não é diretamente proporcional.

(A) Quantidade de funcionários e produtividade

(B) Distância percorrida e consumo do veículo

(D) Valor pago pela verdura e peso

Resolucao

Quanto maior a velocidade, menor será o tempo gasto no percurso.

Alternativa C

24) Um triângulo retângulo possui os lados diretamente proporcionais a 3, 4 e 5. Sabendo que sua hipotenusa é igual a 31 cm, o valor do perímetro desse triângulo é:

(A) 28,4 cm

(B) 42,6 cm

(D) 74,4 cm

(E) 82,8 cm

Resolucao

Sejam a e b os catetos do triangulo, vamos montar a proporção:

P = a + b + 31

P = 18,6 + 24,8 + 31 = 74,4

Alternativa D

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas que são inversamente proporcionais ainda variam uma em consequência da outra e na mesma proporção, entretanto, o aumento da medida relativa à primeira faz com que a medida relativa à segunda diminua. Se diminuirmos a medida relativa à primeira grandeza, isso fará com que a medida relativa à segunda aumente. É por isso que essa proporcionalidade é chamada de inversa.

Exemplo 1:

Em uma fábrica de sapatos que possui 25 funcionários, é produzida uma determinada quantidade de sapatos em 10 horas. Se o número de funcionários for 50, essa mesma quantidade de sapatos será produzida em 5 horas.

É evidente que o dobro de funcionários fará o trabalho na metade do tempo. Isso acontece porque as grandezas horas trabalhadas e quantidade de funcionários são inversamente proporcionais.

Regra de três

A regra de três é a ferramenta usada para descobrir uma das medidas de uma proporção. Ela também é válida para quando essa proporção é obtida por meio de grandezas.

Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, monte a proporção entre as medidas observadas e utilize a propriedade fundamental das proporções para encontrar a medida procurada.

Exemplo 2:

Um automóvel a 50 km/h percorre 100 km. Se esse automóvel estivesse a 75 km/h, teria percorrido quantos quilômetros no mesmo período de tempo?

Resolucao

50 = 75
100 x

50x = 75·100

50x = 7500

x = 7500
50

x = 150 km.

Além disso, quando as grandezas forem inversamente proporcionais, será necessário inverter uma das frações da proporção formada por elas antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções.

Exemplo 3:

Um automóvel está a uma velocidade de 50 km/h e gasta duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h?

Resolucao

Montando a proporção, teremos:

50 = 2
75 x

Aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso deve diminuir, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das frações, teremos:

50 = x
75 2

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

75x = 50·2

75x = 100

x = 100
75

x = 1,33

Isso significa que o tempo gasto será de uma hora e 20 minutos. (1,33 h está na base decimal, por isso precisa ser convertido para horas, o que também pode ser feito por regra de três).

Exemplo 4:

Um automóvel desloca-se a 60 km/h e demora 3 horas para chegar a seu destino. Se esse mesmo automóvel estivesse a 90 km/h, quanto tempo levaria para completar esse mesmo percurso?

Resolucao

A proporção construída a partir dessa situação é:

60 = 3
90 x

Essas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a velocidade, gastaremos menos tempo em um mesmo percurso. Portanto, inverteremos uma das equações:

90 = 3
60 x

Agora, basta aplicar a propriedade fundamental das proporções e resolver a equação resultante:

90x = 3 . 60

80x = 180

x = 180
90

x = 2

Serão gastas duas horas a 90 km/h.

QUESTOES RESOLVIDAS

01) Das situações abaixo, marque aquela que descreve duas grandezas inversamente proporcionais:
(A) Quantidade de pessoas em um churrasco e a quantidade de carne necessária.

(B) Número de habitantes em uma cidade e a taxa de mortalidade.

(D) Comprimento da altura e a área de um polígono.

(E) Vazão de um ralo e o tempo necessário para esvaziar um reservatório.

Resolucao

Quanto maior a vazão da água para esvaziar o reservatório, menor será o tempo necessário para tanto, ou seja, essas grandezas são inversamente proporcionais.

Alternativa E

02) (IF-SP) Para fazer uma viagem, levamos em consideração duas grandezas: velocidade do meio de transporte e tempo de viagem. Essas duas grandezas são

(A) completamente proporcionais.

(B) desproporcionais.

(D) subitamente proporcionais.

(E) inversamente proporcionais.

Resolucao

A relação entre velocidade e tempo nessa situação é inversamente proporcional, pois se eu aumento a velocidade, o tempo que eu levo para chegar até o destino será menor.

Alternativa E

03) Em uma empresa, os três melhores funcionários serão premiados e dividirão um valor de R$ 38.200 de forma inversamente proporcional ao número de vendas perdidas durante o ano.

Sabendo que o funcionário que ficou em primeiro lugar perdeu 28 vendas, o segundo, 32, e o terceiro, 36, o valor recebido pelo funcionário que perdeu menos vendas é igual a:

(A) R$ 8600

(B) R$ 9000

(D) R$ 11.200

(E) R$ 14.400

Resolucao

Sejam a, b, c a quantidade recebida por funcionário, sabemos que a + b + c = 38.200. Montando as proporções, temos que:

Substituindo na soma, temos que:

Agora que encontramos o valor de k, queremos o valor recebido pelo funcionário que perdeu menos vendas, para isso, basta dividir k por 28.

Alternativa E

04) Um triângulo possui ângulos internos proporcionais aos números 1, 3 e 6, então, o valor do seu maior ângulo é:
(A) 30°

(B) 60°

(D) 120°

(E) 150°

Resolucao

Sejam a, b e c os ângulos internos dotriangulo, e sabendo que a soma deles é sempre igual a 180º, então, temos que a + b + c = 180º. Como eles são inversamente proporcionais a 1, 3 e 6, escreveremos a proporcoa:

Substituindo os valores de a, b e c, temos que:

Agora que sabemos o valor de k, o maior ângulo é a = k, então, a = 120º.

Alternativa D

05) Marque a alternativa que melhor define quando duas grandezas são inversamente proporcionais:

(A) Duas grandezas, A e B, são inversamente proporcionais quando existe uma relação entre elas, em uma determinada situação, que faz com que na medida em que a grandeza A aumenta o seu valor, a grandeza B também aumente, na mesma proporção. Um exemplo disso é a quantidade de partidas vencidas e a pontuação de um time no campeonato.

(B) Duas grandezas são inversamente proporcionais quando elas não possuem nenhuma relação, ou seja, se uma das grandezas aumentar o seu valor, a outra pode aumentá-lo ou diminui-lo.

(C) Duas grandezas são inversamente proporcionais quando na medida em que o valor de uma delas aumenta, o valor da outra diminui na mesma proporção. Um exemplo disso é a relação entre a velocidade e o tempo gasto em um percurso fixo.

(D) Duas grandezas nunca serão inversamente proporcionais, pois existem grandezas diretamente proporcionais e grandezas que não se relacionam e são improporcionais.

Resolucao

A alternativa que define corretamente as grandezas inversamente proporcionais .

Alternativa C

06) Durante a pandemia de covid-19, os cientistas buscaram sempre relacionar grandezas para compreender melhor o fenômeno. Os estatísticos perceberam que existe uma relação entre as grandezas: número de vacinados e quantidade de casos graves. Como era de se esperar, com metade da população vacinada, o número de casos graves da doença caiu também pela metade. Sabendo da eficácia da vacina, podemos afirmar que as grandezas citadas se relacionam de forma

(A) inversamente proporcional.

(B) diretamente proporcional.

(D) subitamente proporcional.

(E) essas grandezas se relacionam, mas não há proporção entre elas.

Resolucao

Note que se o número de vacinados dobrou e a quantidade de casos graves caiu pela metade, existe então proporção entre as grandezas e de forma inversa.

Alternativa A

07) (Enem) Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

- cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;

- o total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000;

- o valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital.

As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.

Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

(A) R$ 3100

(B) R$ 6000

(D) R$ 15.000

(E) R$ 15.500

Resolucao

Cada empresa receberá de forma inversamente proporcional ao tempo de uso da máquina, então, sejam x, y, z o recebimento de cada empresa, temos que:

Sabemos que a soma x + y + z = 31.000, logo, temos que:

Conhecendo o valor de k, 5 anos são a maior idade de uso da máquina por uma empresa, então, basta calcular k dividido por 5.

Alternativa B

08) Um automóvel gasta 2 horas para realizar um determinado percurso. Sabendo que outro automóvel fez o mesmo percurso a uma velocidade média de 60 km/h e levou 3 horas, qual foi a velocidade do primeiro automóvel?

(A) 50 km/h

(B) 65 km/h

(D) 80 km/h

(E) 90 km/h

Resolucao

Sabemos que essas grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional, pois à medida que a velocidade aumentar, o tempo diminuirá. Então, temos que:

Velocidade Tempo

60 km/h 3 horas

x 2 horas

Como as grandezas são inversamente proporcionais, temos que:

60 · 3 = 2x

180 = 2x

x = 180 : 2

x = 90 km/h

Alternativa E

09) Sabemos que a densidade de uma substância é calculada pela razão entre a massa e o volume. Se determinada substância possui 2 cm³ de volume, com densidade de 100 g/cm³, tendo a mesma massa, qual deve ser o volume de uma outra substância para que a sua densidade seja de 80 g/cm³?

(A) 2,2 cm³

(B) 2,5 cm³

(D) 3,0 cm³

(E) 3,4 cm³

Resolucao

Analisando as grandezas, sabemos que o volume é inversamente proporcional à densidade. Montando a tabela, é possível calcular o valor de x.

Densidade Volume

80 g/cm³ x cm³

100 g/cm³ 2 cm³

Então, multiplicando reto, temos que:

80x = 100 · 2

80x = 200

x = 200 : 80

x = 2,5 cm³

Alternativa B

10) Um ângulo raso foi dividido em três partes inversamente proporcionais aos números 1, 3 e 6. Nessas condições, o menor ângulo mede:

(A) 20º

(B) 45º

(D) 90º

(E) 120º

Resolucao

Sejam a, b e c os angulos internos desse tringulo, então, temos que:

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º, então, temos que:

Por fim, o menor ângulo é o ângulo c, que é k : 6.

Alternativa A

11) (Objetiva 2015) Em determinado dia de trabalho, três auxiliares administrativos arquivaram 1324 processos ao todo. Sabendo-se que a quantidade de processos que cada auxiliar arquivou é inversamente proporcional às suas idades, que são 28, 30 e 54 anos, respectivamente, assinalar a alternativa CORRETA:

(A) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 542 processos.

(B) O auxiliar administrativo com 30 anos arquivou 504 processos.

(D) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 544 processos.

Resolucao

Sejam x, y e z a produção dos funcionários de 28, 30 e 54 anos respectivamente, então, temos que:

Realizando a soma x + y + z = 1324

Conhecendo o valor de k, agora calcularemos a produção de cada um dos funcionários:

Podemos afirmar que o funcionário que possui 30 anos arquivou 504 processos.

Alternativa B

12) Para a realização de uma obra, foram contratados 6 operários que levaram 18 dias para executar a metade desse trabalho. Se forem contratados mais 3 funcionários, qual será o tempo total gasto na obra?

(A) 12 dias

(B) 24 dias

(D) 30 dias

(E) 36 dias

Resolucao

Sabemos que 6 operários levaram 18 dias para fazer a metade da obra, agora há 9 operários, então, podemos montar a tabela a seguir:

Operários Tempo

6 18

9 x

Multiplicando reto, temos que:

9x = 18 · 6

9x = 108

x = 108 : 8

x = 12

Sabemos que eles levarão 12 dias para finalizar a obra, logo, o tempo total gasto será: 18 + 12 = 30 dias.

Alternativa D

13) Uma herança de R$ 2.950.000 foi dividida aos três herdeiros de forma inversamente proporcional aos números 2, 5 e 7. Sendo assim, o herdeiro que recebeu a maior parte herdou um total de:

(A) R$ 1.950.000

(B) R$ 2.100.000

(D) R$ 1.750.000

(E) R$ 900.000

Resolucao

Sejam x, y e z os valores recebidos por cada um dos herdeiros, então, temos que:

Sabemos que a soma x + y + z = 2.950.000.

Agora queremos encontrar o valor recebido pelo herdeiro que teve a maior parte, então, temos que:

Alternativa D

14) (Enem) Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;
O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000;
O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital.

As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.

Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

(A) R$ 3100

(B) R$ 6000

(D) R$ 15.000

(E) R$ 15.500

Resolucao

Cada empresa receberá de forma inversamente proporcional ao tempo de uso da máquina, então, sejam x, y, z o recebimento de cada empresa, temos que:

Sabemos que a soma x + y + z = 31.000, logo, temos que:

Conhecendo o valor de k, a empresa que tem maior idade é a de 5 anos, então, basta calcular k divido por 5.

Alternativa B

15) Em uma fábrica, há três máquinas e a produção é inversamente proporcional ao tempo de uso das máquinas em meses. Sabendo que as três possuem, respectivamente, 28, 32 e 36 meses de uso, e que, em um determinado tempo, as máquinas produziram, ao todo, 3820 peças, a quantidade de peças produzidas pela máquina mais nova é igual a:

(A) 860

(B) 900

(D) 1120

(E) 1440

Resolucao

Sejam x, y e z a produção de cada uma das máquinas, temos que:

A soma de x + y + z = 3820, então, temos que:

A máquina mais nova tem 28 meses de uso, então, basta realizar a divisão de k por 28.

Alternativa E

16) Analisando as alternativas abaixo, marque aquela em que as grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional.

(A) A distância percorrida por um veículo e o tempo de percurso em uma velocidade constante.

(B) A idade da pessoa e o seu salário mensal.

(D) A quantidade de concreto produzido e a quantidade de cimento necessária.

(E) O número de acertos em uma prova e a nota obtida pelo candidato.

Resolucao

Sabemos que, quanto maior a vazão da água, menor o tempo que a mangueira levará para encher o reservatório.

Alternativa C

17) As sequências de números (a, -2, 1) e (2, b, 4) são inversamente proporcionais, então, o valor da soma a + b é igual a:

(A) -1

(B) 0

(D) 2

(E) 4

Resolucao

Sabendo que as grandezas são inversamente proporcionais, temos que:

Assim, a soma a + b = 2 + (-2) = 0

Alternativa B

18) (Enem) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.

A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é:

(A) S = k.b.d2

(A) S = k.b.d

(D) S = k.b2.d

(E) S = k.b.2d

Resolucao

Multiplicamos a constante k pelos valores diretamente proporcionais e dividimos k pelos valores inversamente proporcionais, então, temos que b e d² são proporcionais a k, e x² é inversamente proporcional.

Alternativa A

19) (IFSP) Para fazer uma viagem, levamos em consideração duas grandezas: velocidade do meio de transporte e tempo de viagem. Essas duas grandezas são:

(A) completamente proporcionais.

(B) desproporcionais.

(D) subitamente proporcionais.

(E) inversamente proporcionais.

Resolucao

5Sabemos que à medida que a velocidade aumentar, o tempo diminuirá, o que faz com que essas grandezas sejam inversamente proporcionais.

Alternativa E

QUESTOES COM GABARITO – DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

01) Um automóvel gasta 2 horas para realizar um determinado percurso. Sabendo que outro automóvel fez o mesmo percurso a uma velocidade média de 60 km/h e levou 3 horas, qual foi a velocidade do primeiro automóvel?

(A) 50 km/h

(B) 65 km/h

(D) 80 km/h

(E) 90 km/h

Alternativa E

02) (Enem) Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

- Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;

- O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000;

- O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital.

As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.

Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

(A) R$ 3100

(B) R$ 6000

(D) R$ 15.000

(E) R$ 15.500

Alternativa B

03) (IFSP) Para fazer uma viagem, levamos em consideração duas grandezas: velocidade do meio de transporte e tempo de viagem. Essas duas grandezas são:

(A) Completamente proporcionais;

(B) Desproporcionais;

(D) Subitamente proporcionais;

(E) Inversamente proporcionais.

Alternativa E

04) Analisando as alternativas abaixo, marque aquela em que as grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional.

(A) A distância percorrida por um veículo e o tempo de percurso em uma velocidade constante;

(B) A idade da pessoa e o seu salário mensal;

(D) A quantidade de concreto produzido e a quantidade de cimento necessária;

(E) O número de acertos em uma prova e a nota obtida pelo candidato;

Alternativa C

05) Em uma fábrica, há três máquinas e a produção é inversamente proporcional ao tempo de uso das máquinas em meses. Sabendo que as três possuem, respectivamente, 28, 32 e 36 meses de uso, e que, em um determinado tempo, as máquinas produziram, ao todo, 3820 peças, a quantidade de peças produzidas pela máquina mais nova é igual a:

(A) 860

(B) 900

(D) 1120

(E) 1440

Alternativa E

06) (Objetiva) Em determinado dia de trabalho, três auxiliares administrativos arquivaram 1324 processos ao todo. Sabendo-se que a quantidade de processos que cada auxiliar arquivou é inversamente proporcional às suas idades, que são 28, 30 e 54 anos, respectivamente, assinalar a alternativa CORRETA:

(A) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 542 processos.

(B) O auxiliar administrativo com 30 anos arquivou 504 processos.

(D) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 544 processos.

Alternativa B

07) Sabemos que a densidade de uma substância é calculada pela razão entre a massa e o volume. Se determinada substância possui 2 cm³ de volume, com densidade de 100 g/cm³, tendo a mesma massa, qual deve ser o volume de uma outra substância para que a sua densidade seja de 80 g/cm³?

(A) 2,2 cm³

(B) 2,5 cm³

(D) 3,0 cm³

(E) 3,4 cm³

Alternativa B

08) Uma herança de R$ 2.950.000 foi dividida aos três herdeiros de forma inversamente proporcional aos números 2, 5 e 7. Sendo assim, o herdeiro que recebeu a maior parte herdou um total de:

(A) R$ 1.950.000

(B) R$ 2.100.000

(D) R$ 1.750.000

(E) R$ 900.000

Alternativa D

09) (BNB – FGV) Três grandezas, A, B e C, são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C. Quando B = 6 e C = 3 tem-se A = 1. Quando A = 3 e C = 2, o valor de B é:

(A) 1

(B) 2

(D) 6

(E) 8

Alternativa E

10) (Enem) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos.

Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.

Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes.

Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é

(A) 153.

(B) 460.

(D) 1380.

(E) 3066.

Alternativa D.

Continua....

O que significa dizer que duas grandezas são inversamente proporcionais?

Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando um aumento na medida de uma delas faz com que a medida da outra seja reduzida na mesma proporção.

Como saber se os números são inversamente proporcionais?

Um número é inversamente proporcional, quando esta para o inverso do outro. Observe que o quociente de cada termo da primeira sucessão pelo inverso do termo correspondente da segunda sucessão são todos iguais. Então, os números 2, 3, 4 são inversamente proporcionais aos números 12, 8, 6.

Como saber se uma questão e inversamente proporcional?

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando elas não possuem nenhuma relação, ou seja, se uma das grandezas aumentar o seu valor, a outra pode aumentá-lo ou diminui-lo.

Como funciona as grandezas inversamente proporcionais?

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, dobrando uma grandeza, a correspondente reduz pela metade; triplicando uma grandeza, a outra reduz para terça parte... e assim por diante.