Um capital de 800 aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês resultou no montante de 880

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Um capital de 800,00 aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês resultou no montante de 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo de aplicação?

Uma vez que o regime de capitalização foi a juros simples , iremos utilizar a seguinte fórmula para os cálculos: M = C * (1 + i * t) onde M é o montante final (já fornecido, no valor de 880), C é o capital investido (já fornecido, no valor de 800), i é a taxa de juros (já fornecida, no valor de 2% ao mês) e t é o período do investimento. Substituindo os valores na equação apresentada, temos: 880 = 800 * (1 + 0,02*t) 1,1 = 1 + 0,02*t 0,1 = 0,02*t t = 5 meses Portanto, esse investimento ocorreu durante 5 meses.

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GRUPO 1 – EXERCÍCIOS DE EXEMPLO PARA AS AULAS

JUROS SIMPLES

1. Um capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses?

RESOLUÇÃO: Temos que $C=530$, $i=3\%=0,03$ e $n=5$. Aplicamos então na fórmula dos juros simples:



$latex\Rightarrow M=609,50$

2. Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?

RESOLUÇÃO: Neste exercício, temos que , e . Aplicamos na fórmula:






Como a taxa dada está dada em anos, a quantidade de tempo é dada em anos. Logo, 4 anos.

JUROS COMPOSTOS

3. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6000,00, à taxa de 1% ao mês?

RESOLUÇÃO: Aplicando na fórmula, temos:

Observe que esse é o montante, e não a quantidade de juros. Para obter os juros basta subtrair o capital do montante

4.O capital de R$ 2000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros?

RESOLUÇÃO: Nesse caso, não temos o montante. Mas o montante nada mais é do que capital + juros. Então temos:

5. Qual deve ser o tempo gasto para que a quantia de R$ 30000,00 gere o montante de R$ 32781,81, quando aplicada à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos?

RESOLUÇÃO: Vamos aplicar a fórmula:

Observe que temos uma equação exponencial. Então usamos a operação contrária, o logaritmo. Pode-se aplicar o logaritmo de qualquer base, mas, para o uso em calculadora, usaremos o logaritmo na base 10.

INFLAÇÃO

6. Um produto custava R$ 500,00 em 2012. Considerando que em 2013 a inflação registrada para o ano de 2012 foi de 6% e em 2014 foi de 7% para o ano de 2013, qual será o custo desse mesmo produto em 2014?

RESOLUÇÃO: Primeiro vamos calcular a inflação acumulada para o período de dois anos. Vamos fazer , sendo a taxa de inflação para cada uma dos períodos e depois multiplicar esses dois valores:

Multiplicamos então esse valor pelos R$ 500,00. Logo,

7. Um produto custa hoje R$ 3500,00. Considerando que a inflação nos últimos 5 anos, para cada um dos anos, foi de 2%, quanto custava esse mesmo produto há 5 anos?

RESOLUÇÃO: Vamos chamar de o valor atual do produto e de o valor há 5 anos. Sabemos que o valor há cinco anos foi multiplicado pelo valor cinco vezes. Então temos:

8.Sabendo que ao longo de 10 anos um produto dobrou de valor, qual é a taxa de inflação anual para esse produto?

RESOLUÇÃO: Vamos chamar de o valor atual do produto e de o valor há 10 anos. O valor de hoje é o dobro do de 10 anos atrás, isto é, é . Então (supondo  :}

GRUPO 2 – EXERCÍCIOS PARA AVALIAÇÃO

1. Quanto rendeu a quantia de R$ 60,00, aplicada à juros simples, coma taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses?

RESOLUÇÃO: Temos e . Temos que tomar cuidado com a quantidade de tempo. Como a taxa está registrada em meses, temos que fazer a conversão devida: 1 ano e 3 meses é igual a 12 meses + 3 meses = 15 meses. Agora aplicamos na fórmula:

Encontramos o montante. Os juros são a diferença desse montante e o capital: Então

2. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?

RESOLUÇÃO: Aplicamos na fórmula os dados e :

3. Um valor emprestado de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraído e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

RESOLUÇÃO: Vamos primeiramente modificar a fórmula dos juros compostos para deixá-la em função dos juros:

Portanto, a taxa seria de 1% ao mês.

4. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?

RESOLUÇÃO: Vamos utilizar a fórmula deduzida do exercício anterior.
Note que o tempo está em meses e a taxa em anos. Façamos a correção: 24 meses = 2 anos.

Logo, o capital é de R\$ 220,00.

5. Aplicando certa quantia na poupança, a juros mensais de 1% durante dois meses, os juros obtidos serão de R$ 200,00 no sistema de juros compostos. Qual é essa quantia?

RESOLUÇÃO: Neste caso, não conhecemos o montante. Mas sabemos que ele é a soma dos juros com o capital. Então temos:

Portanto, o capital é de R$ 9950,25, aproximadamente.

6. Em qual situação a aplicação de R$ 4000,00 terá maior rendimento e de quanto a mais:

• Sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses?
• Sistema de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses?

RESOLUÇÃO: Precisamos verificar cada um dos casos:
(1) Sistema de juros simples à taxa de 3% ao mês durante 2 meses:

(2) Sistema de juros compostos à taxa de 2\% ao mês durante 3 meses:

\Assim, o sistema de juros compostos rende mais na quantidade de R$ 4,832.

7. Tomando emprestado de um banco um capital a juros compostos mensais de 4%, em quanto tempo se triplicará o a dívida contraída?

RESOLUÇÃO: A dívida será triplicada, então se tivermos um capital emprestado, então o montante da dívida será de , Temos então, supondo :

Como a taxa de juros está em meses, o tempo também estará. Portanto, são 28 meses.

8. Guto precisará de R$ 800,00 daqui a 8 meses. Sabendo que o banco está pagando 1,5% ao mês, quanto ele deve aplicar hoje para ter essa quantia?

RESOLUÇÃO: Como ele precisa de R$ 800,00 daqui a 8 meses, este será o montante desejado para um certo capital C, teremos:

9. Certo país registrou uma taxa de inflação de 3% em certo ano e se eleva em 1 ponto percentual em cada ano. Passados três anos, os preços teriam aumentado em quantos pontos percentuais?

RESOLUÇÃO: Se ela se eleva em 1 ponto percentual, teremos 3, 4 e 5% nos três anos. Assim, a inflação acumulada é:

Assim, será de 0,12476, ou seja, 12,476%.

10. Um país apresentou ao longo de quatro anos as taxas de inflação de 4%, 6%, 5,5% e 2%. Uma pessoa fez uma aplicação no banco no início desta série de taxas de inflação. Qual deve ser a taxa de juros do investimento para que pelo menos se mantenha o mesmo poder de compra?

RESOLUÇÃO: A taxa de investimento tem que cobrir a inflação. Como juros compostos e inflação são calculadas da mesma forma, então a taxa de investimento desejada é inflação acumulada no período:

A taxa acumulada de investimento deve ser de, aproximadamente, 18,6% para repor a inflação.

GRUPO 3 – EXERCÍCIOS PARA GEOGEBRA

1. Vamos supor que alguém precise tomar um empréstimo de R$ 4000,00. Ciente dos problemas das pessoas que se endividam gravemente ao tomar empréstimos, essa pessoa colheu as seguintes informações de taxa de juros para vários bancos:

a) Construa as funções que representem o montante devido para cada um dos bancos. Utilize a linguagem  f(x)=a(1+i)$\wedge$x. Atente-se ao fato de que os números decimais devem ser expressos com ponto ao invés de vírgula.

RESOLUÇÃO: Baseando-se na fórmula de juros compostos, teremos: , , , e

Construindo no Geogebra, teremos:

b) Para o prazo de 1 ano, qual é a taxa de juros devida aos bancos A, B, C, D e E? Pense em alternativas: como saber esse dado tendo em vista os gráficos?

RESOLUÇÃO: Temos duas alternativas: colocar no campo de entrada , , , e . Teremos os números f a j indicados na Janela de Álgebra.

Se quisermos uma visão geométrica, basta traçar uma reta paralela ao eixo y passando pela coordenada . Basta colocar este mesmo comando. Em cada encontro da reta com cada um dos gráficos, basta-nos colocar um ponto em cada uma das intersecções. O resultado é absolutamente o mesmo:

c) Para o montante devido de R$ 8000,00, quanto tempo de empréstimo é suficiente nos bancos A, B, C, D e E? Dica: apele neste item para entidades geométricas – ponto e reta.

RESOLUÇÃO: Fazemos agora algo semelhante. Agora nos basta traçar uma reta paralela ao eixo x na coordenada e traçar os pontos das intersecções:

Basta observar as coordenadas dos pontos F a J na variável x e a resposta está dada.

2. Agora, queremos prever um comportamento variando a taxa de juros. Mantenha o capital que foi emprestado, de R$ 4000,00. Crie um controle deslizante para a taxa de juros entre 0 e 15%, com intervalo de meio ponto. Estipule uma meta para o montante devido e trace uma função que o descreva. Para todas as taxas descritas, qual o tempo necessário para alcançar esse montante?

RESOLUÇÃO: Primeiro passo é criar um controle deslizante como pedido no exercício. Nomeie-o de i. O resultado será:

Depois, criar a função . Ao inseri-la no comando, a taxa colocada tem que ser a variável i, que se conectará ao controle deslizante. O resultado será:

Agora, fixemos um montante qualquer. Seja, por exemplo, 6000. Então inserimos a reta . No encontro da reta com o gráfico, coloquemos um ponto. Teremos o seguinte resultado:

Agora basta deslizar o controle e ver como a coordenada do ponto A varia. Também é possível deslocar a reta do montante para cima ou para baixo.

Exercícios para avaliação
1. (Prova Brasil) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na construção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 mil. A expressão que representa o custo do parque, em mil reais, é:

a) 
b) 
c) 
d) 

Resolução: O parque custou no total R$ 850,00 e esse custo foi dividido para o parque e as três creches:

O ponto de interrogação marca que não sabemos o custo do parque. Substituindo pela variável , temos:  .

2. (Prova Brasil) As figuras mostradas a seguir estão organizadas dentro de um padrão que se repete:

Mantendo essa disposição, a expressão algébrica que representa o total de pontos T em função da ordem n para (n=1,2,3,…) é:

a) 
b) 
c) 
d) 

Resolução: Para cada ordem, notamos que há um quadrado cuja quantidade de pontos por lado é da mesma ordem (3º na ordem, 3 pontos no lado). Portanto, calculamos a quantidade de pontos por e em cada um deles tem um ponto fora do quadrado. Então,

3. (Prova Brasil) Paulo é dono de uma fábrica de móveis. Para calcular o preço V de venda, em reais, de cada móvel que fabrica, ele usa a seguinte fórmula: , sendo C o preço de custo em reais desse móvel. Considere que o preço de custo de um móvel que Paulo fabrica é R$ 100,00. Então, ele vende esse móvel por:

a) R$ 110,00
b) R$ 150,00
c) R$ 160,00
d) R$ 210,00

Resolução: Basta calcular o valor numérico trocando C por R$ 100,00:\\

4. (Caderno de questões OBMEP) A expressão , onde ,  é igual a:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Resolução: Temos uma série de manipulações algébricas que devem obedecer ao que foi visto nas propriedades de potências:

5. (Caderno de questões OBMEP) Se  então é igual a:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Resolução: Aplicamos a regra da proporcionalidade:\\\\

Na primeira aula da turma A vimos que a fórmula de Bhaskara sempre funciona. Mas a pergunta, que passou a nortear o nosso estudo de matemática, era a seguinte:

“Eu sei que funciona. Mas por que funciona?”

Bem como resolvido em aula, segue então a demonstração:

A expressão conhecida como fórmula de Bhaskara é dada por

onde a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau  

Demonstração:

Seja a equação do 2º grau  .

> Dividimos todos os termos da equação por a:  

> Passamos    para o outro lado da equação:

> Adicionamos    a ambos os lados da igualdade de modo a formar um trinômio quadrado perfeito do lado esquerdo da equação. Fazemos as somas algébricas e expressamos o trinômio quadrado perfeito na sua forma fatorada:

> Extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação, sempre atentando-se ao fato de que

> Passamos    para o outro lado e fazemos a soma algébrica:

Em sala de aula acabamos discutindo a modelagem de um problema (a turma B verá posteriormente). Vejamos:

Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nasceu. Atualmente, a razão entre os quadrados das idades de Eduardo e Carlos é   .  Determine a idade atual de cada um.

A modelagem do problema gerou o sistema:

Seja  a idade de Carlos e  a idade de Eduardo. Logo, o sistema que descreve o problema é:

Houve o questionamento sobre o porque escrevemos a fração  como    e não como  .  A escolha se justifica pelo fato de que a fração    é um número menor do que 1. Como as idades de Carlos e Eduardo são maiores do que 1, e Carlos é mais velho que Eduardo, isto é,  , então , logo,  deve ficar no denominador.

Mas vamos supor que a forma  também seja válida como modelagem para o problema resolvido.

> A incógnita  já está isolada na primeira equação. Basta substituí-la na segunda equação:

(dividindo todos os termos da equação por 5)

Vamos resolver essa equação do 2º grau utilizando a fatoração do trinômio do 2º grau:

Isto é, queremos encontrar dois números que multiplicados deem 45 e somados deem 18. Temos então 3 e 15 que atendem essas condições. Montamos então a fatoração do trinômio:

.

Logo, temos que .  Como é uma multiplicação que resulta 0, ou   ou  .  Perceba que ambas as respostas são negativas, o que é impossível tratando-se de idades. Logo, esta modelagem não serve para resolver o problema.

Os problemas envolvendo frações devem seguir a lógica de resolução de problemas no geral:

• Compreender o que o exercício está pedindo
• Levantar os dados que o exercício dá
• Adotar uma modelagem matemática para o problema
• Resolvê-la adequadamente
• Interpretar as soluções que a modelagem oferece.

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 1: De um lote de vacinas, foram aplicadas    no primeiro mês,   no segundo mês e as 880 restantes no terceiro mês. Assim, a quantidade de vacinas que havia nesse lote era?

O exercício pergunta pela quantidade de vacinas do lote. Chamemos essa quantidade de L. Assim sendo, essa quantidade L foi dividida em três partes, que são frações de L e uma quantidade avulsa. Temos então:

O lote contém 1920 vacinas no total.

Exemplo 2: Uma fábrica emprega 200 funcionários dos quais 50 são mulheres. O dono deseja contratar mais mulheres de modo que a fábrica passe a possuir em seu quadro  de mulheres. Quantas ele deverá contratar?

Devemos perceber que para alcançar essa proporção do número de mulheres para o número de funcionários, ao alterar o número de mulheres também se altera o número de funcionários no geral. Chamemos de m o número de mulheres a serem contratadas. Então temos:

É necessário contratar 50 mulheres.

Exemplo 3: Carlos recebe mensalmente R$ 2000,00 e fez os cálculos mensais das despesas. Dos seus proventos,    ele utiliza para despesas com alimentação. Do restante do dinheiro,    ele utiliza para pagar dívidas. Com o que sobrou ele ainda aplica    na poupança. O que sobrou ele utiliza com lazer. Quanto ele gasta com lazer?

É necessário perceber que essas frações estão sendo calculadas sobre quantidades distintas (é sempre calculado pelo o que sobra após a operação anterior. Então façamos este exercício por partes.

>  é gasto com alimentação:

 , logo, sobra 

> é gasto com dívidas:

 , logo, sobra 

> é posto na poupança:

 , logo, sobra 

Portanto, o restante, que é equivalente a R$ 800,00, é gasto com lazer.

Vejamos agora alguns exercícios:

1. No desfile de escola de samba “Acadêmicos da Vila”, um passista faz    do percurso em    de hora. Mantendo a mesma velocidade, o tempo gasto para completar o restante do percurso foi, em minutos, igual a?

2. Tradicionalmente, os paulistas costumam comer pizza nos finais de semana. A família de João, composta por ele, sua esposa e seus filhos, comprou uma pizza tamanho gigante cortada em 20 pedaços iguais. Sabe-se que João comeu  da pizza, sua esposa comeu e sobraram N pedaços para seus filhos. O valor de N é?

3. Um motorista percorre acampamentos de refugiados para verificar o abastecimento e as necessidades dos mesmos. Após ter enchido o tanque de seu veículo, esse motorista gastou  da capacidade do tanque para chegar ao acampamento A, gastou mais 28 L para ir do acampamento A ao B, sobrando no tanque uma quantidade equivalente a    da sua capacidade. Qual a quantidade de litros que sobrou no tanque?

4. Um simulado será composto por 4 disciplinas e terá, ao todo, 50 questões. Português participará com , Química e Biologia com cada. Quantas questões teremos de Álgebra e que fração representa esse número de questões?

5. Se uma pessoa ganha R$ 960,00 por mês e gasta desse total  em condução, em medicamentos, em alimentação e em roupas, quanto sobra para outros gastos?

Respostas: 1.30 min; 2. 7 pedaços; 3. 20 litros; 4. , 15 questões; 5. R$ 288,00